人教版八年级数学上册《第13章轴对称》单元检测试题(含答案)
人教版八年级数学上册第13章《轴对称》单元练习题(含答案)
人教版八年级数学上册第13章《轴对称》单元练习题（含答案）一、单选题1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ．(3,2)-B ．(2,3)-C ．(2,3)-D ．(3,2)-3．下列黑体字中，属于轴对称图形的是（ ）A ．善B ．勤C ．健D ．朴4．如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ； ②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若4AC =，10AB =，则ACD 的周长为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．145．图1是光的反射规律示意图．其中，PO 是入射光线，OQ 是反射光线，法线KO ⊥MN ，∠POK 是入射角，∠KOQ 是反射角，∠KOQ ＝∠POK ．图2中，光线自点P 射入，经镜面EF 反射后经过的点是( )A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点6．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠AED '＝50°，则∠EFC 等于( )A ．65°B ．110°C ．115°D ．130°7．如图，在ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD △的周长为（ ）A ．25B ．22C ．19D ．188．如图，在ABC 中，AB AC =，40A ︒∠=，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒9．如图是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东35度方向，B 岛在A 岛的北偏东80度方向，C 岛在B 岛的北偏西55度方向，则A ，B ，C 三岛组成一个（ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形10．如图，在等边ABC 中，BC 边上的高6AD =，E 是高AD 上的一个动点，F 是边AB 的中点，在点E 运动的过程中，EB EF +存在最小值，则这个最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．811．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BAF =∠CAG =90°，AB =AF ，AC =AG ，连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ， 则下列结论：①BG =CF ；②BG ⊥CF ；③∠EAF =∠ABC ；④EF =EG ，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④ 12．如图，在ABC 中，45,ABC AD BE ∠=︒,分别为,BC AC 边上的高，,AD BE 相交于点F ，连接CF ，则下列结论：①BF AC =；②FCD DAC ∠=∠；③CF AB ⊥；④若2BF EC =，则FDC △周长等于AB 的长．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①③④C ．①③D ．②③④二、填空题13．已知△ABC 是等腰三角形．若∠A =40°，则△ABC 的顶角度数是____．14．如图，,AC BD 在AB 的同侧，2,8,8AC BD AB ===，点M 为AB 的中点，若120CMD ∠=，则CD 的最大值是_____．15．如图，△ABC 的边CB 关于CA 的对称线段是CB '，边CA 关于CB 的对称线段是CA '，连结BB '，若点A '落在BB '所在的直线上，∠ABB '＝56°，则∠ACB ＝___度．16．如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若AFC △是等边三角形，则B ∠=_________°．17．如图，在等边△ABC 中，点E 是边AC 上一点，AD 为BC 边上的中线，AD 、BE 相交于点F ，若∠AEB ＝100°，则∠AFB 的度数为_____．18．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，20B ∠=︒，PQ 垂直平分AB ，垂足为Q ，交BC 于点P ．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边,AC AB 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F ；⑤作射线AF ．若AF 与PQ 的夹角为α，则α=________°．三、解答题19．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．（1）若2a =，3b =，求c 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若c 为奇数，试判断ABC 的形状，并说明理由．20．如图，在ABC 和ADE 中，AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒．(1)当点D 在AC 上时，如图①，线段BD ，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；(2)将图①中的ADE 绕点A 顺时针旋转()090αα︒<<︒，如图②，线段BD ，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．(3)拓展应用：已知等边ABC 和等边ADE 如图③所示，求线段BD 的延长线和线段CE 所夹锐角的度数．21．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE AE ⊥，延长AE 交BC 的延长线于点F ．(1)请判断FC 与AD 的数量关系，并说明理由；(2)若AB ＝6，AD ＝2，求BC 的长度．22．已知△ABC 和△DEF 为等腰三角形，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠BAC ＝∠EDF ，点E 在AB 上，点F 在射线AC 上．(1)如图1，若∠BAC ＝60°，点F 与点C 重合，求证：AF ＝AE +AD ；(2)如图2，若AD ＝AB ，求证：AF ＝AE +BC ．23．（1）如图1，在等边三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，AD 与CE 相交于点O ．求证：OA =2DO ；（2）如图2，若点G 是线段AD 上一点，CG 平分∠BCE ，∠BGF =60°，GF 交CE 所在直线于点F ．求证：GB =GF ．（3）如图3，若点G 是线段OA 上一点（不与点O 重合），连接BG ，在BG 下方作∠BGF =60°边GF 交CE 所在直线于点F ．猜想：OG 、OF 、OA 三条线段之间的数量关系，并证明．24．如图，在ABC 中，AD BC ⊥,AD BD =；点F 在AD 上，DF DC =．连接BF 并延长交AC 于E ．（1）求证：BF AC =；（2）求证：BE AC ⊥；（3）若AB BC =，BF 与AE 有什么数量关系？请说明理由．25．如图，在Rt ABC 中，9030C A ∠=︒∠=︒，．点D 是AB 中点，点E 为边AC 上一点，连接CD DE ，，以DE 为边在DE 的左侧作等边三角形DEF ，连接BF ．△的形状为______；（1）BCD（2）随着点E位置的变化，DBF∠的度数是否变化？并结合图说明你的理由；AC=，请直接写出DE的长．（3）当点F落在边AC上时，若626．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：△ABE≌△CBF；(2)若∠CAE=30°，求∠ACF度数．27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.(1)求证:AE=2CE;(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由.28．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BPQ的度数；(3)若BQ⊥AD于Q，PQ＝6，PE＝2，求AD的长。
八年级数学上册《第十三章轴对称》单元试题(人教版含答案)
第十三章《轴对称》单元练习题一、选择题1.如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，顶点B在直线DE上，且DE∥AC，则∠CBE等于（）A． 40°B． 50°C． 70°D． 80°3.若A（2a﹣b，a+b）关于y轴对称点是A1（3，﹣3），则P（a，b）关于x轴对称点P1的坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，1）4.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，则△BCD的周长为（）A． 13B． 15C． 18D． 215.如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ 时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（）A．PD=DQB．DE=ACC．AE=CQD．PQ⊥AB6.已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足（a﹣b）2++|c2﹣64|=0，则三角形的形状是（）A．底和腰不相等的等腰三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形7.以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（）A． 2，3，4B． 5，5，10C． 2，2，1D． 1，2，38.要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（）A．∠A=50°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=100°C．∠A+∠B=90°D．∠A+∠B=90°二、填空题(9.如图，等边△ABC周长是12，AD是∠BAC的平分线，则BD=．10.如图的4×4的正方形网格中，有A、B、C、D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选点（C或D）．11.在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若三角形ABC 的边长为1，AE=2，则CD的长为．12.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠C′的度数为．13.如图，在△ABC中，D为AB上的一点，且DE垂直平分AC，∠B=115°，且∠ACD：∠BCD=5：3，则∠ACB=__________度．14.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，AD平分∠BAC，则BD=____________．15.如图，△ABC是等边三角形，则∠ABD=度．16.如图将边长为5cm的等边△ABC，沿BC向右平移3cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是三角形，DM=cm．三、解答题17.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．18.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点M．（1）在给出图上画出一个格点△MB1C1，并使它与△ABC全等且A与M是对应点；（2）画出点B关于直线AC的对称点D．19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（3，1），C（-2，-2）.（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′（A，B，C的对称点分别是A′，B′，C′），并直接写出A′，B′，C′的坐标.（2）求△A′B′C′的面积.20.如图，已知五边形ABCDE是轴对称图形，点B，E是一对对称点，请用无刻度的直尺画出该图形的对称轴．（保留作图痕迹，不要求写作法）21.在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长．第十三章《轴对称》单元练习题答案解析1.【答案】B【解析】可依据题意线作出简单的图形，结合图形可得∠B=∠A，进而可得其为等腰三角形．解：如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，∴∠ACD=∠DCE，∠A=∠ACD，∠B=∠DCE∴∠B=∠A，∴△ABC为等腰三角形．故选B2.【答案】C【解析】由已知AB=AC，∠ABC=70°，根据等腰三角形的性质，得出∠C的度数，再利用DE∥AC，可得∠CBE=70°，答案可得．解：∵AB=AC（已知），∴∠C=∠ABC=70°（等边对等角），又∵DE∥AC（已知），∴∠CBE=∠C=70°（两直线平行，内错角相等）故选C．3.【答案】C【解析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得方程组，根据解方程组，可得P点坐标，根据关于关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．解：由A（2a﹣b，a+b）关于y轴对称点是A1（3，﹣3），得2a-b=-3，a+b=-3，所以a=-2，b=-1，∴P（﹣2，﹣1）．P（a，b）关于x轴对称点P1的坐标是（﹣2，1），故选：C．4.【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，进而得出△BCD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC求出即可．解：∵AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴△BCD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．故选A．5.【答案】D【解析】过P作PF∥CQ交AC于F，∴∠FPD=∠Q，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，∴AP=PF，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD与△DCQ中，∠FPD=∠Q，∠FDE=∠CDQ，PF=CQ∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ，DF=CE，∴A选项正确，∵AE=EF，∴DE=AC，∴B选项正确，∵PE⊥AC，∠A=60°，∴AE=AP=CQ，∴C选项正确，故选D．6.【答案】B【解析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．解：由（a﹣b）2++|c2﹣64|=0得：a﹣b=0，b﹣8=0，c2﹣64=0，又a，b，c是三角形的三边长，∴a=8，b=8，c=8，所以三角形的形状是等边三角形，故选：B．7.【答案】C【解析】根据三角形的三边关系对以下选项进行一一分析、判断．解：A．∵2≠3≠4，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；B．∵5+5=10，∴本组数据不可以构成三角形；故本选项错误；C．∵1+2＞2，∴本组数据可以构成等腰三角形；故本选项正确；D．∵1+2=3，∴本组数据不可以构成三角形；故本选项错误.故选C．8.【答案】D【解析】等腰三角形有两个底角相等，根据三角形的内角和是180°，进行判断即可．解：A、若∠A是顶角时，则50°+120°＜180°，所以此种情况组不成等腰三角形；若∠B是顶角时，在50°+50°+160°＜180°，所以此种情况组不成等腰三角形；总之，本组数据不能使得△ABC是等腰三角形；故本选项错误；B、若∠A是顶角时，则50°+200°＞180°，所以此种情况组不成等腰三角形；若∠B是顶角时，在100°+100°＞180°，所以此种情况组不成等腰三角形；总之，本组数据不能使得△ABC是等腰三角形；故本选项错误；C、当∠A+∠B=90°时，∠C=90°；但∠A=10°，∠B=80°时，三角形ABC的三个内角没有那两个相等，所以构不成等腰三角形；故本选项错误；D、当∠B是顶角时，则2∠A+∠B=180°，∴∠A+∠B=90°；故本选项正确；故选D．9.【答案】2【解析】根据等边三角形的性质求得BD=CD，并且求得边BC的长度，进而即可求得BD的长．解：∵△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，∴AB=BC=CA，BD=CD，∵等边△ABC周长是12，∴BC=4，∴BD=2．故答案为2．10.【答案】C【解析】首先求得点A关于直线a的对称点A′，连接A′B，即可求得答案．解：如图，点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，∵A′B与直线a交于点C，∴点P应选C点．故答案为：C．11.【答案】1或3【解析】当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点，由EC=ED，利用三线合一得到F为CD的中点，再由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠ABC=60°，可得出∠BEF=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，根据EB的长求出BF的长，由BF﹣BC求出CF的长，即可得到CD的长；当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点，由EC=ED，利用三线合一得到F为CD的中点，再由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠ABC=∠EBF=60°，可得出∠BEF=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，根据EB的长求出BF的长，由BF+BC求出CF的长，即可得到CD的长．解：当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点，可得∠EFB=90°，∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=12CD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠BEF=30°，∵BE=AB+AE=1+2=3，∴FB=12EB=32，∴CF=FB﹣BC=12，则CD=2CF=1；当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点，可得∠EFC=90°，∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=12CD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠EBF=60°，∴∠BEF=30°，∵BE=AE﹣AB=2﹣1=1，∴FB=12BE=12，∴CF=BC+FB=32，则CD=2CF=3，综上，CD的值为1或3．故答案为：1或3.12.【答案】20°【解析】根据轴对称的性质求出∠A′，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠A′=∠A=50°，在△A′B′C′中，∠C′=180°﹣∠A′﹣∠B′=180°﹣50°﹣110°=20°．故答案为：20°．13.【答案】40【解析】根据垂直平分线的性质与三角形的全等可以得出∠A=∠ACD，再根据三角形的内角和和角的比计算．解：∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°∴Rt△ADE≌Rt△CDE∴∠A=∠ACD又∵∠ACD：∠BCD=5：3，∴∠ACD：∠ACB=5：8∴∠A：∠ACB=5：8又∵∠B=115°∴∠A+∠ACB=65°∴∠ACB=（65×8）÷13=40°．14.【答案】4【解析】根据三线合一定理即可求解．解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=BC=4．故答案是：4．15.【答案】120【解析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC的度数，进而求出∠ABD的度数即可．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，则∠ABD=120°．故答案为：120．16.【答案】等边 3【解析】本题考查平移的性质，经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等．解：∵AB∥DE，∴∠MEC=∠B，∠CME=∠A，∵△ABC是等边三角形，∴∠MEC=∠EMC=∠ACB，∴△MEC是等边三角形，沿BC向右平移3cm，∴BE=3cm，EC=2cm，∴DM=DE﹣EM=5﹣2=3cm．17.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．【解析】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．18.【答案】解：（1）△MB1C1即为所求；（2）如图所示，点D即为所求点．【解析】（1）把△ABC向右平移，使点A与点M重合即可；（2）画出点B关于直线AC的对称点D即可．19.【答案】解：（1）如图：（2）△A′B′C′的面积=5×5-×5×3-=6.5.【解析】（1）分别作出点A，B，C的对称点A′，B′，C′，然后顺次连接各点即可，根据图形然后直接写出A′，B′，C′的坐标；（2）利用图形的面积的和差关系可计算出△A′B′C′的面积.20.【答案】如图所示，直线AK即为所求的一条对称轴（解答不唯一）．【解析】方法不唯一，至少可以有以上两种方法.如左图所示，因为五边形ABCDE是轴对称图形，点B，E是一对对称点，则C，D为一对对称点，故连接BD，CE，可以利用三角形全等说明K即为所求.第二幅图，因为五边形ABCDE是轴对称图形，点B，E是一对对称点，故延长BC，延长ED，则两线的交点必然为对称轴上一点，故连接AK即可.21.【答案】解：设三角形的腰AB=AC=x cm若AB+AD=24cm，则：x+x=24∴x=16三角形的周长为24+30=54（cm）所以三边长分别为16cm，16cm，22cm；若AB+AD=30cm，则：x+x=30∴x=20∵三角形的周长为24+30=54（cm）∴三边长分别为20cm，20cm，14cm；因此，三角形的三边长为16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm．【解析】两种情况讨论：当AB+AD=30 cm，BC+DC=24 cm或AB+AD=24 cm，BC+DC=30 cm，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm．。
人教版八年级数学上测第十三章《轴对称》检测题(含答案)
人教版八年级数学上测第十三章《轴对称》检测题（含答案）一、选择题(每小题3分，共30分)1. 现实世界中，对称现象无处不在，下列汉字是轴对称图形的是（）A. 爱B. 我C. 中D. 华【答案】C.2.点M(1，2)关于x轴对称点的坐标为（）A.(－1，2)B.(－1，－2)C.(1，－2)D.(2，－1)【答案】C.3. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B度数为（）A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°【答案】B.4.下列每个网格中均有两个图形，其中一个图形可由另一个轴对称变换得到的是（）A. B. C. D.【答案】B.5. 如图，∠MON内有一点P，点P关于OM、ON的对称点分别是G、H，连GH分别交OM、ON于A、B点，若GH＝10cm，则△P AB的周长为（）A. 5cmB.10cmC. 20cmD.15cm【答案】B. 提示：根据对称性，AG＝AP，BH＝GP，∴AP＋AB＋BP＝AG＋AB＋BH＝GH＝10.6.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A. 55° ，55°B. 70°，40或70°，55°C.70°，40°D. 55°，55°或70°，40°【答案】D.7. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△CDE，连接AE交CD于点F，则∠DF A的度数为（）A. 45°B. 55°C. 60°D. 75°【答案】D. 提示：∠ADE＝90°＋60°＝150°，∠DAF＝∠DEA＝15°，则∠DF A＝75°.8. 如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE的长度为（）A. 5cmB. 5.4cmC. 2.4cmD. 3cm【答案】C. 提示：作DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，故设DE＝DF＝h，由S△ABD＋S△CBD＝S△ABC，得：12(AB＋BC)h＝36，代入数值，解得h＝2.4，故选C.9. 如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（）A.2ba+B.2ba-C. a－b D. b－a【答案】C. 提示：AD＝BD＝BC＝b，CD＝AC－AD＝a－b.10. 如图OE是等边△AOB的中线，OB＝4，C是直线OE上一动点，以AC为边在直线AC下方作等边△ACD，连接ED，下列说法正确的是（）A. ED的最小值是2B. ED的最小值是1C. ED有最大值D. ED没有最大值也没有最小值【答案】B. 提示：连BD，则易得△AOC≌△ABD(SAS)，∴∠ABD＝∠AOC＝30°，当∠BDE＝90°时，ED最小，此时ED＝12BE＝1，故选B.二、填空题(每小题3分，共18分)11. 点P(m，n)和点Q(n－1，2m)关于x轴对称，则m＋n的值为__________.【答案】13. 提示：m＝n－1，2m＋n＝0，联立解得m＝－13，n＝23，∴m＋n＝13.12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC，若DE＝1，则BC的长是__________.【答案】3. 提示：由条件得AD＝BD，∠CAD＝∠BAD，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，CD＝DE＝1，BD＝2DE＝2，∴BC＝CD＋BD＝3.13. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若AE＝3，△ABD周长为13，则△ABC周长为________.【答案】19. 提示：由题知AC＝2AE＝6，AD＝CD，∴BC＝BD＋AD，∵AB＋BD＋AD＝13，∴AB＋BC＝13，∴AB＋BC＋AC＝13＋6＝19.14. 如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的力向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入的球袋是________.【答案】1号袋. 提示：如图所示.15. 如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是___________ .【答案】92°. 提示：由飞镖模型，∠DNC＝∠C＋∠D＋∠DMC，即：180°－∠2＝46°＋46°＋(180°－∠1)，∴∠1－∠2＝92°.16 .已知A(1，2)、B(7，4)，点M、N是x轴上的动点(M在N左边)，MN＝3，当AM＋MN＋NB最小时，直接写出点M的坐标为___________.【答案】(2，0). 提示：作点A关于x轴的对称点A′，将点B向左平移3个单位得点B′，连接A′B′，交x轴于点M.三、解答题(共8小题，共72分)17. (8分)如图，已知点M、N和∠AOB，用尺规作图作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到∠AOB两边的距离相等.(保留作图痕迹，不写作法)【答案】1.作∠AOB的平分线OC；2.连MN，作MN的垂直平分线EF；则射线OC与直线EF的交点P即为所求.18. (8分)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足.(1)直接写出∠BAC的度数；(2)求∠DAF的度数；(3)若△DAF的周长为20，求BC的长.【答案】(1)∠BAC＝100°；(2)∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠BAD＝∠B＝30°，∠CAF＝∠C＝50°，∴∠DAF＝∠BAC－∠BAD－∠CAF＝100°－30°－50°＝20°；(3) ∵△DAF的周长为20，∴AD＋DF＋AF＝20，∴BC＝BD＋DF＋CF＝AD＋DF＋AF＝20.19. (8分)(1)如图，已知△ABC，请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'(其中A'、B'、C'分别是A、B、C的对应点)；(2)直接写出点A'、B'、C'点的坐标；(3)求△ABC的面积是多少?(4)用无刻度的直尺在y轴上找一点Q，使得QA＋QB之和最小.(用虚线表示画图过程)【答案】(1) A'(2，3)、B'(3，1)、C'(－1，－2)；(2)S△ABC＝5×4－12×1×2－12×3×4－12×3×5＝5.5；(3) 连接A′B(或AB′)交y轴于Q，即可.20. (8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，请添加一个条件，使DE＝DF，并说明理由.【答案】添加的条件是：D为BC的中点. 理由如下：方法1：连接AD.∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.方法2：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵D为BC中点，∴BD＝CD.在△BDE与△CDF中，∵∠B＝∠C，∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.21. (8分)如图，△ABC 是等边三角形，点D 在BC 延长线上，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于G ，EF ⊥BC 于点F ，若CD ＝3AE ，CF ＝6，求AC 的长. 【答案】设AE ＝x ，则CD ＝3x .在等边△ABC 中，∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°， 又DE ⊥AB ，∴∠D ＝∠AGE ＝∠CGD ＝30°. ∴AG ＝2AE ＝2x ，CG ＝CD ＝3x ， ∴AB ＝BC ＝AC ＝2x ＋3x ＝5x . 则BE ＝5x －x ＝4x ，又∵EF ⊥BC ，∠B ＝60°，∴BF ＝12BE ＝2x ，∴BC ＝BF ＋CF ＝2x ＋6.∵BC ＝AC ，∴2x ＋6＝5x ，∴x ＝2. ∴AC ＝5x ＝10.22. (10分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，E 为BC 边上一点，以E 为顶点作∠AEF ，∠AEF 的边交AC 于点F ，使∠AEF ＝∠B . (1)如果∠ABC ＝40°，则∠BAC ＝________； (2)判断∠BAE 与∠CEF 的大小关系，并说明理由；(3)当△AEF 为直角三角形时，求∠AEF 与∠BAE 的数量关系.【答案】(1)100°； …………… 2分 (2)∠BAE ＝∠CEF ，理由如下： ∵∠AEC 是△ABE 的外角， ∴∠AEF ＋∠CEF ＝∠B ＋∠BAE . 又∵∠AEF ＝∠B ，∴∠CEF ＝∠BAE . …………… 5分(3)由(2)，设∠CEF ＝∠BAE ＝α，设∠AEF ＝∠B ＝∠C ＝β.则∠AFE ＝∠CEF ＋∠C ＝α＋β.∵∠AEF ＝∠B ＜90°，故分两种情况考虑：1°当∠EAF 为直角时，如图1，由∠AEF ＋∠AFE ＝90°，CBAFECBA备用图1CBA备用图2得β＋(α＋β)＝90°，∴α＋2β＝90°，故有：∠BAE＋2∠AEF＝90°.2°当∠AFE为直角时，如图2，得α＋β＝90°，即：∠BAE＋∠AEF＝90°.综上，当△AEF为直角三角形时，∠BAE＋2∠AEF＝90°或∠BAE＋∠AEF＝90°. …………… 10分23. (10分)已知Rt△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，点D为直线BC上的一动点(点D不与点B、C重合)，以AD为边在AD的右侧作Rt△ADE，AD＝AE，∠ADE＝∠AED ＝45°，连接CE.(1)〖发现问题〗如图1，当点D在边BC上时，①请写出BD和CE之间的数量关系为_____________，位置关系为____________；②求证：CE＋CD＝BC；(2)尝试探究:如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，(1)中BC、CE、CD 之间存在的数量关系是否成立? 若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系(不必证明)；(3)拓展延伸：如图3，当点D在CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝6，CE＝2，求线段CD的长.【答案】(1)①BD＝CE，BD⊥CE，…………… 2分②由条件得∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝45°，∴CE＋CD＝BD＋CD＝BC. …………… 5分(2) 不成立，此时关系式为BC＋CD＝CE. …………… 7分提示：同上，证明△BAD≌△CAE(SAS)，得BD＝CE，即BC＋CD＝CE.(3) 由条件得∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE. ∵BD＋BC＝CD，∴CD ＝CE ＋BC ＝2＋6＝8. …………… 10分24. (12分)等腰Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点A 在x 轴正半轴上，C 在y 轴负半轴上.(1)如图1，求证：∠BCO ＝∠CAO ；(2)如图2，若OA ＝4，OC ＝2，M 是AB 与y 轴交点，求△AOM 的面积；(3)如图3，点C (0，2)，点Q 、A 均在x 轴上，且S △ACQ ＝6a (a 为已知数). 分别以AC 、CQ 为腰在第一、第二象限作等腰Rt △CAN 、等腰Rt △QCM ，连接MN 交y 轴于P 点，间：S △MON 是否发生改变?若不变，求出S △MON 的值；若变化，求S △MON 的取值范围.【答案】(1) ∵∠ACB ＝90°，∴∠BCO ＋∠ACO ＝90°. 又∵∠AOC ＝90°，∴∠CAO ＋∠ACO ＝90°. ∴ ∠BCO ＝∠CAO . …………… 3分(2) 过B 作BD ⊥y 轴于D ，则△BCD ≌△CAO (AAS )， ∴BD ＝CO ＝2，CD ＝AO ＝4，OD ＝CD －OC ＝2，∴B (－2，2). 又∵A (4，0)，C (0，－2)，由割补法，得S △ABC ＝4×6－12×2×4－12×2×4－12×2×6＝10， 又2142△△BCM ACM S BD S OA ===，∴S △ACM ＝23S △ABC ＝203. ∵S △AOC ＝12×2×4＝4，∴S △AOM ＝S △ACM －S △AOC ＝203－4＝83. (3) 过N 作NE ∥CM 交y 轴于E ，则∠CNE ＋∠MCN ＝180°，∵∠MCQ ＋∠ACN ＝90°＋90°＝180°， ∴∠ACQ ＋∠MCN ＝180°， ∴∠CNE ＝∠ACQ . 又∵∠ECN ＋∠ACO ＝90°，∠QAC ＋∠ACO ＝90°， ∴∠ECN ＝∠QAC . 在△ECN 和△QAC 中，∵∠CNE ＝∠ACQ ，CN ＝AC ，∠ECN ＝∠QAC ， ∴△ECN ≌△QAC (ASA )，∴CE＝AQ，EN＝QC＝MC.又NE∥CM，∴△PEN≌△PCM(ASA)，∴PE＝PC.∵点C(0，2)，S△ACQ＝6a，∴AQ＝6a.∴CE＝AQ＝6a，∴CP＝PE＝3a.∴OP＝OC＋CP＝2＋3a.过M作MF⊥y轴于F，过N作NG⊥y轴于G，∵△MCQ为等腰直角三角形，∴△MCF≌△CQO(AAS)，∴MF＝CO＝2，同理，NG＝OC＝2.则S△MON＝S△MOP＋S△NOP＝12OP·MF＋12OP·NG＝2OP＝6a＋4.。
人教版八年级数学上册《第十三章轴对称》单元测试卷含答案
人教版八年级数学上册《第十三章轴对称》单元测试卷含答案一．选择题（共10小题）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC ＝6，则DC为（）A．5B．8C．9D．103．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，交AB于点D，若∠BAC＝100°，则∠ADC的度数为（）A．60°B．50°C．65°D．70°5．下列命题中：①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC一定与△A′B′C′全等；④有一个角是60度的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46．已知等腰三角形两边的长x、y满足|x2﹣9|+（y﹣4）2＝0，则三角形周长为（）A．10B．11C．12D．10或117．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是（）A．6B．4C．3D．28．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）A．1B．2C．3D．49．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC是钝角．点D在底边BC上，连接AD，恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠B的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60°10．若二元一次方程组的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为（）A．4B．1.5或2C．2D．4或2二．填空题（共8小题）11．等边三角形的两条中线所成的锐角的度数是度．12．已知点P（1﹣a，3+2a）关于x轴的对称点落在第三象限，则a的取值范围是．13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，则顶角为．14．如图，等腰三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝40°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2的度数为度．15．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是．16．如图，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点M，且过点M的直线DE∥BC，分别交AB、AC于D、E两点，若AB ＝12，AC＝10，则△ADE的周长为．17．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是秒．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为．三．解答题（共7小题）19．△ABC在直角坐标系内的位置如图所示：（1）分别写出点A，C的坐标：A的坐标：，C的坐标：；（2）请在这个坐标系内画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（3）求△A1B1C1的面积．20．已知一个三角形的两条边长分别为4cm，8cm．设第三条边长为x cm．（1）求x的取值范围．（2）若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长．21．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE．（1）求∠EDC的度数；（2）若AD＝2，求△AED的面积．22．如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，求证：△ABC为等腰三角形．23．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，以AD为边作等腰三角形ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于点F，∠BAD＝15°．（Ⅰ）求∠CAE的度数；（Ⅱ）求∠FDC的度数．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线MF交AC 于F，交BC于M．（1）求∠BDE的度数；（2）证明△ADF是等边三角形；（3）若MF的长为2，求AB的边长．参考答案一．选择题（共10小题）1．B．2．A．3．：D．4．A．5．B．6．D．7．A．8．C．9．B．10．C．二．填空题（共8小题）11．60．12．a＞1．13．48°或132°．14．250．15．15．16．22．17．4．18．10．三．解答题（共7小题）19．解：（1）A（0，3），C（﹣2，1）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；点B1（﹣4，﹣4）；故答案为：（﹣4，﹣4）；（3）△A1B1C1的面积＝．20．解：（1）根据三角形三边关系得，8﹣4＜x＜8+4即4＜x＜12；（2）∵三角形是等腰三角形，等腰三角形两条边长分别为4cm，8cm，且4＜x＜12∴等腰三角形第三边只能是8cm∴等腰三角形周长为4+8+8＝20cm．21．（1）解：∵△ABC是等边三角形∴∠BAC＝60°AB＝AC＝BC∵AD为中线∴AD⊥CD∵AD＝AE∴∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝15°；（2）解：过D作DH⊥AC于H∴∠AHD＝90°∵∠CAD＝30°∴∵AD＝AE＝2∴．22．证明：∵AB∥CD∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE．∵DC平分∠ACE∴∠ACD＝∠DCE∴∠B＝∠A∴AC＝BC∴△ABC为等腰三角形．23．解：（Ⅰ）∵三角形ABC为等边三角形∴∠BAE＝60°∵∠BAD＝15°∴∠DAC＝60°﹣15°＝45°∵∠DAE＝80°∴∠CAE＝80°﹣45°＝35°；（Ⅱ）∵∠DAE＝80°，AD＝AE∴∠ADE＝（180°﹣80°）＝50°∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+60°＝75°又∵∠ADE＝50°∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣50°＝25°．24．（1）证明：∵AB＝AC∴∠B＝∠C∵FE⊥BC∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°∴∠F＝∠BDE∵∠BDE＝∠FDA∴∠F＝∠FDA∴AF＝AD∴△ADF是等腰三角形；（2）解：∵DE⊥BC∴∠DEB＝90°∵∠F＝30°∴∠BDE＝30°∵BD＝4∴∵AB＝AC∴△ABC是等边三角形∴AC＝AB＝BE+EC＝825．（1）解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°∴∠B＝∠C＝×（180°﹣∠BAC）＝30°在△BDE中，BD＝BE∴∠BDE＝∠BED＝×（180°﹣∠B）＝75°；（2）证明：∵CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M ∴DF＝CF，∠FMC＝90°∴∠FDC＝∠C＝30°∴∠AFD＝∠FDC+∠C＝60°在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°∴∠CAD＝∠AFD＝60°∴△ADF是等边三角形；（3）在Rt△FMC中，∠C＝30°，MF＝2∴CF＝2MF＝4∴DF＝CF＝4由（2）可知：△ADF是等边三角形∴AF＝DF＝4∴AB＝AC＝AF+CF＝4+4＝8．。
八年级初二上册数学 人教版单元测试《轴对称》 练习试题 测试卷(含答案)(1)
人教版八年级数学上册 《第十三章 轴对称》单元测试卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1．下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是( )2．图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线( )A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 43．下列说法正确的是( )A ．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B ．顶角相等的两个等腰三角形全等C ．等腰三角形的两个底角相等D ．等腰三角形一边不可以是另一边的2倍4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝15°，DE 垂直平分AB 交BC 于点E ，BE ＝4，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．以上都不对5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD ，CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，BD ，CE 相交于点F ，则图中的等腰三角形有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个6．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B ，C 为圆心，以大于12 BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若CD ＝AC ，∠A ＝50°，则∠ACB 的度数为( )A．90° B．95° C．100° D．105°7．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是( )A．10 B．8 C．6 D．48．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，－2)，在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，4*6=24）9．如图，△ABC沿着直线MN折叠后，与△DEF完全重合，AC，DF交于点P．△ABC与△DEF 关于直线_______对称，直线MN是_________；10．如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝50°，BD垂直平分AE，垂足为点D，则∠EBC的度数为_____．11．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，点C 落在C′处，连接BC′，则BC′的长为________．12．已知a>0，b<0，则点P(a＋1，b－1)关于y轴的对称点一定在第__ __象限．13．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的点D处，折痕BE与AC交于点E，则折痕BE的长为__ __．14．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，点D到AB的距离为3，∠BAD＝60°，点F为AB的中点，点E为AC上的任意一点，则EF＋EB的最小值为________．三、解答题（共5小题，44分）15．(6分) 如图，在△AOB中，点C在OA上，点E，D在OB上，且CD∥AB，CE∥AD，AB＝AD，求证：△CDE是等腰三角形．16．(8分) 如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC ＋∠BCF＝150°，求∠AFE＋∠BCD的大小．17．(8分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC＝AB．18．(10分) 如图，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H．(1)求证△BCE≌△ACD；(2)求证CF＝CH；(3)判断△CFH的形状并说明理由．19．(12分) (1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD 的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC 得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．因此，AB，AD，DC之间的等量关系是__ __；(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．参考答案1-4DCCA 5-8CDCD9．MN，对称轴10．100°11．312．三13．414．315．解：∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠B．又∵CE∥AD，∴∠CED＝∠ADB，又AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，∴∠CDE＝∠CED，∴△CDE是等腰三角形16．解：∵六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，∠AFC＋∠BCF ＝150°，∴∠AFC＝∠EFC，∠BCF＝∠DCF，∴∠AFE＋∠BCD＝2(∠AFC＋∠BCF)＝300°17．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝120°－45°＝75°(2)∵∠ADC＝∠B＋∠DAB＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，又∵AB＝AC，∴DC＝AB18．(1)证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD ＝60°．∴∠BCE＝60°＋∠ACE＝∠ACD．∴△BCE≌△ACD(SAS)．(2)证明：∵△BCE≌△ACD，∴∠FBC＝∠HAC．∵∠ACB＝60°，∠FCH＝180°－∠ACB －∠ECD＝60°，∴∠BCF＝∠ACH．又∵BC＝AC，∴△BCF≌△ACH(ASA)．∴CF＝CH．(3)解：△CFH是等边三角形．理由：∵CF＝CH，∠FCH＝60°，∴△CFH是等边三角形．19．解：(1)AD＝AB＋DC(2)AB＝AF＋CF．证明如下：如图，延长AE交DF的延长线于点G，∵AB∥DC，∴∠BAE ＝∠G，又∵BE＝CE，∠AEB＝∠GEC，∴△AEB≌△GEC(AAS)，∴AB＝GC．∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG，∵∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝FG．∵CG＝FG＋CF，∴AB＝AF＋CF。
第十三章 轴对称 单元试卷 (含答案) 2024-2025学年人教版八年级数学上册
第十三章轴对称一、单选题1．下列图形是轴对称图形的是()A．B．C．D．2．等腰三角形的两边长分别是4和8，则它的周长是（）A．16B．20C．16或20D．183．下列说法正确的是（）A．有两个角相等的三角形一定是等边三角形B．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称C．等腰三角形的对称轴是顶角的平分线D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形AB的长为4．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，分别以点A，点B为圆心，大于12半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（ ）A．7B．8C．10D．125．如图，在ΔABC中，AB=AC，点D在BC上，点E在AC上，且DA=DE．若∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．80°6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°7．如图，ΔABC和ΔADE关于直线MN对称，则下列结论中不正确的是（）A．∠FAE=∠FACB．直线MN平分BCC．ΔABC和ΔADE的周长相等D．ΔABC和ΔADE的面积相等8．如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1:∠2:∠3=13:3:2，则∠α的度数为（）A．80°B．100°C．90°D．50°9．在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=70°．在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．7条B．8条C．9条D．10条10．如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN=6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM=7，则AC的长为（ ）A．8B．9C．10D．12二、填空题11．等腰三角形的一个外角是110°，则它的顶角的度数是．12．在平面直角坐标系中，点P(1,―5)关于x轴对称点的点的坐标是．13．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠C＝20°，线段BC的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝．14．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=50∘，CD⊥AB于D，则∠DCB等于．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），点C在坐标轴上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标；满足条件的点C一共有个．16．如图，△ABD，△ACE都是等边三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=度．17．如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点F、E，若BF=FE=EC，则∠A的度数为．三、解答题18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．（1）作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′并写出顶点坐标．（2）求出△ABC的面积．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是底边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点D、E、F．（1）试说明PD与PE的关系．（2）请证明PD+PE与BF的关系．20．如图，在△ABC中，EF是边AC的垂直平分线，AB=EC，D是BE的中点，∠BAD=28°，求∠BAC的度数．21．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．22．数学课上，老师出示了如下框中的题目：小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你接着继续完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线上AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC 的边长为3，AE＝5，求CD的长（请你直接写出结果）．23．如图1，△ABC是边长为5厘米的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t(s)．(1)当运动时间为t秒时，BQ的长为________厘米，BP的长为________厘米；(用含t的式子表示)(2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形；(3)如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．参考答案：题号12345678910答案A B D C C C B B A C11．70°或40°12．（1，5）．13．100°14．25∘15．（0，2）（答案不唯一）516．12017．120°18．解：（1）A′（3，2），B′（4，-3），C′（1，﹣1）（2）S △ABC =3×5﹣12×1×5﹣12×2×3﹣12×2×3=15﹣52﹣3﹣3=13219．解：（1）∵点P 是BC 的中点，∴BP ＝PC ，∵AB ＝AC∴∠B ＝∠C ，且BP ＝PC ，∠BDP ＝∠PEC ＝90°∴△BDP ≌△CEP （AAS ）∴PD ＝PE （2）PD+PE ＝BF理由如下：如图，连接AP ，∵S △ABC ＝S △ABP +S △APC ，∴12AC×BF ＝12AB×PD+12×AC×PE ∴BF ＝PD+PE ．20．解：如图，连接AE ，∵EF是边AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴∠C=∠EAC，∵AB=EC，∴AB=AE，∵D是BE的中点，∴∠BAD=∠EAD=28°，∠ADE=90°，∴∠AED=90°―∠EAD=62°，∵∠AED是△ACE的一个外角，∴∠AED=∠C+∠EAC=62°，∴∠C=∠EAC=31°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠EAC=28°+28°+31°=87°，∴∠BAC=87°．21．证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，∴∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，即∠ABD=∠DCE=90°，∴在Rt△DCE和Rt△DBM中，∵BD=CD，BM=EC∴Rt△DCE≌Rt△DBM（HL），∴∠BDM=∠CDE，又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，∴∠MDN=∠NDE=60°∴DM=DE（上面已经全等）在△DMN和△DEN中∵DM=DE，∠MDN=∠NDE，DN=DN∴△DMN≌△DEN（SAS），∴NM=EN即NM=CE+CN∴BM+CN=NM．22．解：（1）如图1中，结论：AE=BD．∵△ABC是等边三角形，AE=EB，∴∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°，∵ED=EC，∴∠D=∠ECD=30°，∵∠EBC=∠D+∠BED，∴∠D=∠BED=30°，∴BD=BE=AE．（2）AE＝DB．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∴∠AEF＝∠AFE＝∠BAC＝60°，∴AE＝AF＝EF，∴AB ﹣AE ＝AC ﹣AF ，即BE ＝CF ，∵∠ABC ＝∠EDB+∠BED ，∠ACB ＝∠ECB+∠FCE ，∵ED ＝EC ，∴∠EDB ＝∠ECB ，∴∠BED ＝∠FCE ，在△DBE 和△EFC 中{ED =BC ∠DEB =∠ECF EB =FC，∴△DBE ≌△EFC （SAS ），∴DB ＝EF ，∴AE ＝BD ，故答案为：＝．（3）分为四种情况：①当点E 在AB 的延长线上，点D 在CB 的延长线上时，如图：∵AB ＝AC ＝3，AE ＝5，同（2）可得BD=AE ，∴BD ＝AE ＝5，∴CD ＝3+5＝8；②当点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 的延长线上时，如图，过A 作AN ⊥BC 于N ，过E 作EM ⊥CD 于M，∵等边三角形ABC ，∴∠AEM=90°-∠B=30°，∴BM ＝12BE ＝12×（3+5）＝4，∴CM ＝BM-BC ＝4﹣3＝1，∵EC=ED ，EM ⊥CD ，∴CD ＝2CM ＝2；③当点E 在AB 的延长线上，点D 在BC 的延长线上时，如图，∵∠ECD ＞∠EBC （∠EBC ＝120°），而∠ECD 不能大于120°，否则△EDC 不符合三角形内角和定理，∴此时不存在EC ＝ED ；④当点E 在BA 的延长线上，点D 在CB 的延长线上时，如图，∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC，∴此时情况不存在，综上所述：CD的长是8或2．23．（1）解：由题意得，AP=BQ=t cm，∵AB=5cm，∴BP=AB―AP=(5―t)cm，故答案为：t，(5―t)；（2）解：①当∠PQB=90°时，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠BPQ=30°，∴PB=2BQ，∴5―t=2t，解得，t=5；3②当∠BPQ=90°时，∵∠B =60°，∴∠BQP =30°，∴BQ =2BP ，∴t =2(5―t )解得t =103 ；综上所述，当 t =53 或 t =103 时，△PBQ 为直角三角形．（3）解：∠CMQ 不变，且∠CMQ =60°，理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠ABC =∠CAB =60°，在△ABQ 与△CAP 中，{AB =CA ∠B =∠CAP =60°AP =BQ =t，∴△ABQ≌△CAP (SAS)，∴∠BAQ ＝∠ACP ，∴∠CMQ =∠ACP +∠CAM =∠BAQ +∠CAM =∠BAC =60°，∴∠CMQ不会变化．。
人教版八年级上册数学第13章 轴对称 单元练习卷(配套练习附答案)
【解析】
【分析】
首先要进行分析题意，“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论．
【详解】本题可分两种情况：
①当70°角为底角时,顶角为180°−2×70°=40°；
②70°角为等腰三角形的顶角；
因此这个等腰三角形的顶角为40°或70°.
故选C
【点睛】考查等腰三角形的性质，注意分类讨论，不要漏解.
∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，
∵BC=9cm，∴MN=3cm．
故答案为3cm．
考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质；
【点睛】考查等边三角形 性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.
4.等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_____．
【答案】6和4或5和5．
【解析】
当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理；
当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理．
故该等腰三角形的另两边为6和4或5和5．
A. B. C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】
根据轴对称性质可得出PM=MQ，PN=RN，因此先求出QN的长度，然后根据QR=QN+NR进一步计算即可.
【详解】由轴对称性质可得：PM=MQ=2.5cm，PN=RN=3cm，
∴QN=MN−MQ=1.5cm，
∴QR=QN+RN=4.5cm，
人教版八年级数学上《第13章轴对称》单元测试题(含答案解析)
2018年秋人教版八年级上册数学《第13章轴对称》单元测试题一．选择题（共10小题）1．下列图形中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC ＝10，AC＝6，则△ACD的周长是（）A．14B．16C．18D．204．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（）A．（5，1）B．（5，﹣1）C．（﹣5，1）D．（﹣5，﹣1）5．已知等腰三角形两边长分别为6cm、2cm，则这个三角形的周长是（）A．14cm B．10cm C．14cm或10cm D．12cm6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB ＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°9．下列三角形，不一定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形10．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．9D．10二．填空题（共8小题）11．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝12．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且BC＝8，AC＝6，则△ACD的周长为．13．已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），则点P的坐标是．14．等腰三角形ABC中，∠A＝110°，则∠B＝°．15．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为．16．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于°．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．若BE⊥AC，AF⊥BC，垂足分别为点E，F，连接EF，则∠EFC＝．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．三．解答题（共7小题）19．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．20．如图，在△ABC中，∠C＝90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．21．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出点C1的坐标；（3）求△ABC的面积．22．已知等腰三角形△ABC的一边长为5，周长为22．求△ABC另两边的长．23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．24．如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．①若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？②若P为线段BC上任意一点，则①中关系还成立吗？③若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．2018年秋人教版八年级上册数学《第13章轴对称》单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图形中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°【分析】首先根据对称的两个图形全等求得∠C的度数，然后在△ABC中利用三角形内角和求解．【解答】解：∠C＝∠C'＝30°，则△ABC中，∠B＝180°﹣105°﹣30°＝45°．故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，理解轴对称的两个图形全等是关键．3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC ＝10，AC＝6，则△ACD的周长是（）A．14B．16C．18D．20【分析】由AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝BD，继而可得△ACD的周长为：AC+BC，则可求得答案．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵AC＝6，BC＝10，∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16．故选：B．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．4．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（）A．（5，1）B．（5，﹣1）C．（﹣5，1）D．（﹣5，﹣1）【分析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P1的坐标，再根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．【解答】解：∵将点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，∴点P1的坐标是（5，1），∴点P1关于x轴的对称点P2的坐标是（5，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．5．已知等腰三角形两边长分别为6cm、2cm，则这个三角形的周长是（）A．14cm B．10cm C．14cm或10cm D．12cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：①6cm为腰，2cm为底，此时周长为14cm；②6cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．∴其周长是14cm．故选：A．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB ＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°【分析】分两种情况：∠BAC为锐角，∠BAC为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出AE＝BE，然后根据三角形内角和定理即可解答．【解答】解：如图1，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAC＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAC＝∠ABE＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝65°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝15°如图2，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAE＝∠EBA＝50°，∴∠BAC＝130°∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝25°∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝75°故选：C．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB＝45°，即可得出结论．【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．9．下列三角形，不一定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形【分析】分别利用等边三角形的判定方法分析得出即可．【解答】解：A、根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B、有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C、三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，注意熟练掌握：由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．9D．10【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．故选：C．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．二．填空题（共8小题）11．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝5【分析】根据垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而求出BD的长度．【解答】解：∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∵BC＝9，AD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝9﹣4＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．12．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且BC＝8，AC＝6，则△ACD的周长为14．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝14，故答案为：14．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13．已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），则点P的坐标是（1，2）．【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出点P坐标．【解答】解：∵P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），∴点P坐标是（1，2）．故答案是：（1，2）．【点评】此题主要．考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．14．等腰三角形ABC中，∠A＝110°，则∠B＝35°．【分析】根据钝角只能是顶角和等腰三角形的性质求得两个底角即可确定答案．【解答】解：∵等腰三角形中，∠A＝110°＞90°，∴∠B＝＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解钝角只能是等腰三角形的顶角．15．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为40°．【分析】设顶角的度数为x，表示出底角的度数．根据三角形内角和定理列方程求解．【解答】解：设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x+30）°．根据题意，得x+2（x+30）＝180，解得x＝40．故答案为：40°．【点评】此题考查等腰三角形性质和三角形内角和定理，属基础题．16．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于45°．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；【解答】解：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝15°，∴∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∴∠ECD＝∠A+∠CDB＝15°+30°＝45°，故答案为45．【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．若BE⊥AC，AF⊥BC，垂足分别为点E，F，连接EF，则∠EFC＝45°．【分析】先根据线段垂直平分线的性质及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，由AB＝AC，AF⊥BC，可知BF＝CF，BF ＝EF；根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF；∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．故答案为：45°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，同时要熟悉直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是9.6．【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示．＝BC•AD＝AC•BQ，∵S△ABC∴BQ＝＝＝9.6．故答案为：9.6．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．三．解答题（共7小题）19．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．【分析】连接PB，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：PA＝PC．理由：∵直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，∴PA＝PB，PC＝PB，∴PA＝PC．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答此题的关键．20．如图，在△ABC中，∠C＝90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．【分析】利用线段垂直平分线的性质计算．【解答】解：已知DE垂直且平分AB⇒AE＝BE⇒∠EAB＝∠B又因为∠CAE＝∠B+30°故∠CAE＝∠B+30°＝90°﹣2∠B⇒∠B＝20°∴∠AEB＝180°﹣20°×2＝140°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识，注意角与角之间的转换．21．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出点C1的坐标；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）、（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（3）用一个矩形的面积减去三个三角形的面积计算△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）点C1的坐标为（4，3）；（3）△ABC的面积＝3×5﹣×3×1﹣×3×2﹣×5×2＝．【点评】本题考查了作图﹣对称性变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．22．已知等腰三角形△ABC的一边长为5，周长为22．求△ABC另两边的长．【分析】分两种情况：①设AB＝AC＝5，②设BC＝5，根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∴不妨设AB＝AC，又∵一边长为5，①设AB＝AC＝5，∵△ABC的周长为22，∴BC＝22﹣5﹣5＝12；∵5+5＜12，∴不成立（舍）；②设BC＝5，∵△ABC的周长为22，∴AB＝AC＝（22﹣5）÷2＝8.5，∵8.5+5＞8.5，符合题意，∴△ABC另两边长分别为8.5，8.5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．【分析】根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论．【解答】解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABF+∠AFB＝∠CBF+∠BED＝90°，∴∠AFB＝∠BED，∵∠AEF＝∠BED，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF．【点评】此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．24．如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．【分析】先利用角平分线的定义和平行线的性质得到∠1＝∠2，所以DB＝DO，同理可得EO＝CE，利用等线段代换得到△ADE的周长＝AB+AC，然后利用△ABC的周长为15得到AB+AC＝9，从而得到△ADE的周长．【解答】解：∵点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，∴∠1＝∠3，∵DE∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴DB＝DO，同理可得EO＝CE，∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+DO+AE+OE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC，∵△ABC的周长为15，∴AB+AC+BC＝15，而BC的长为6，∴AB+AC＝9，∴△ADE的周长为9．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了平行线的性质．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．①若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？②若P为线段BC上任意一点，则①中关系还成立吗？③若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．【分析】①如图1，连接PA，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；②连接PA ，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）如图2，连接PA ，根据三角形的面积列方程即可得到结论；如图3，过点C 作CG ⊥PE 于G ，根据矩形的性质和全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）CD ＝PE +PF ，理由：如图1，连接PA ，∵CD ⊥AB 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∵S △ABC ＝AB ×CD ，S △PAB ＝AB ×PE ，S △PAC ＝AC ×PF ，又∵S △ABC ＝S △PAB +S △PAC∴AB ×CD ＝AB ×PE +AC ×PF ，∵AB ＝AC∴CD ＝PE +PF ；（2）①中关系还成立，理由：连接PA ，∵CD ⊥AB 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∵S △ABC ＝AB ×CD ，S △PAB ＝AB ×PE ，S △PAC ＝AC ×PF ，又∵S △ABC ＝S △PAB +S △PAC∴AB ×CD ＝AB ×PE +AC ×PF ，∵AB ＝AC∴CD ＝PE +PF ；（3）结论：PE ﹣PF ＝CD 或PF ﹣PE ＝CD ，如图2，连接PA ，∵CD ⊥AB 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∵S △ABC ＝AB ×CD ，S △PAB ＝AB ×PE ，S △PAC ＝AC ×PF ，又∵S △ABC ＝S △PAC ﹣S △PAB∴AB ×CD ＝AC ×PF +AB ×PE ，∵AB ＝AC ，∴CD ＝PF ﹣PE ；如图3，过点C 作CG ⊥PE 于G ，∵PE ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴∠CDE＝∠DEG＝∠EGC＝90°．∴四边形CGED为矩形．∴CD＝GE，GC∥AB．∴∠GCP＝∠B．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．∴∠FCP＝∠ACB＝∠B＝∠GCP．在△PFC和△PGC中，，∴△PFC≌△PGC（AAS），∴PF＝PG．∴PE﹣PF＝PE﹣PG＝GE＝CD；【点评】本题考查了等腰三角形的性质；在解决一题多变的时候，基本思路是相同的；注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用．。
第13章 轴对称 人教版数学八年级上册单元测试卷(含答案)
第十三章 轴对称时间:60分钟 满分:100分一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.(2022·辽宁盘锦双台子区期末)下列由黑白棋子摆成的图案中,是轴对称图形的是( ) A B C D2.(2022·福建福州鼓楼区期中改编)在平面直角坐标系中,若点(2,m)与点(n,3)关于x 轴对称,则(m+n)2 023的值为( )A.0B.-1C.1D.32 0233.如图是3×3的正方形网格,其中已有2个小方格被涂成了黑色.现在要从编号为①—④的小方格中选出1个也涂成黑色,使黑色部分依然是轴对称图形,不能选择的是( )A.①B.②C.③D.④4.(2022·四川遂宁期末)若等腰三角形的一个外角等于70°,则它的底角的度数为( ) A.35° B.70° C.110° D.55°5.(2022·河南周口期末)元旦联欢会上,同学们玩抢凳子游戏,在与A,B,C三名同学距离相等的位置放一个凳子,谁先抢到凳子谁获胜.如果将A,B,C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点,那么凳子应该放在△ABC的( )A.三边中线的交点处B.三边垂直平分线的交点处C.三边上高的交点处D.三条角平分线的交点处6.(2022·山东菏泽期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,BE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD=20°,则∠ABE的度数为( ) A.20° B.35° C.40° D.70°(第6题) (第7题)7.如图,直线a,b相交形成的夹角中,锐角为52°,交点为O,点A在直线a上,直线b 上存在点B,使以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,这样的点B有( )A.4个B.3个C.2个D.1个8.(2022·广东广州天河区期末)在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,若按如图所示的尺规作图方法作出线段BD,则下列结论错误的是( )A.AD=BDB.∠BDC=72°C.S△ABD∶S△BCD=BC∶ACD.△BCD的周长=AB+BC9.(2022·山东烟台期末)如图,∠AOB=60°,点P在射线OA上,OP=22,点M,N在射线OB上(点M在点N的左侧),且PM=PN.若MN=4,则OM的长为( ) A.7 B.8 C.9 D.11(第9题) (第10题) 10.(2022·辽宁大连期末)如图,∠ABC=30°,点D是∠ABC内部的一点,连接BD.若BD=1m,点E,F分别是边BA,BC上的动点,则△DEF的周长的最小值为( )A.0.5mB.1mC.1.5mD.2m二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)11.新风向开放性试题汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性,黑体的汉字“王”“中”“田”等都是轴对称图形,请再写出两个这样的汉字: .12.(2022·安徽合肥庐阳区期末改编)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE.若CE=3,则AE= .(第12题) (第13题)13.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,若∠BAD=24°,则∠C的度数为 .14.新风向新定义试题(2021·江苏苏州期末)定义:等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k(k>1)称为这个等腰三角形的优美比.若在等腰三角形ABC中,∠A=36°,则它的优美比为 .15.(2022·河南济期末)在平面直角坐标系中,对△ABC进行如图所示的轴对称变换.若原来点A的坐标是(a,b),则经过第2 023次变换后,点A所对应的坐标是 .16.(2021·北京西城区期末)如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于三、解答题(共6小题,共52分)17.(6分)(2022·湖北十堰期末节选)如图,△ABC的顶点A,B,C都在小正方形的格点上,利用网格线按下列要求画图.(1)画出△A1B1C1,使它与△ABC关于直线l成轴对称;(2)在直线l上找一点P,使点P到点A,B的距离之和最短.(要求:不写作法,保留作图痕迹)18.(8分)(2022·湖北十堰郧阳区期中改编)某市发生地震后,为了抢救伤员,一架救援直升机从该市A地起飞,运送一批地震伤员沿正北方向到机场N,如图.上午8时,直升机从A地出发,以200 km/h的速度向正北方向飞行,9时到达B地,此时,机场的导航站传来信息:在C处有一座高山,因受天气影响,高山周围80 km内能见度低,飞行时会遇到危险.经测量得∠NAC=15°,∠NBC=30°.问该直升机继续向机场N飞行是否有危险,请说明理由.19.(8分)新风向开放性试题(2022·江苏南京鼓楼区期中)证明:有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知:如图,在△ABC中, .求证: .证明:20.(8分)如图,在等边三角形ABC的外侧作直线AP,点C关于直线AP的对称点为点D,连接AD,BD,其中BD交直线AP于点E.(1)依题意补全图形;(2)若∠PAC=15°,求∠AEB的度数;21.(10分)新风向探究性试题(2022·河北石家庄裕华区期末)【问题】如图,在△ABC中,点D为BC边上一点,BD=BA.EF垂直平分AC,交AC 于点E,交BC于点F,连接AD,AF.若∠B=30°,∠BAF=90°,求∠DAC的度数.【探究】如果把【问题】中的条件“∠B=30°”去掉,其他条件不变,那么∠DAC的度数会变吗?请说明理由.22.(12分)如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N 第一次到达点B时,M,N同时停止运动.(1)当点M,N运动几秒时,M,N两点重合?(2)当点M,N运动几秒时,可得到等边三角形AMN?(3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如果能,请求出此时M,N运动的时间.第十三章 轴对称选择填空题答案速查12345678910D B D A B B A C C B11.甲,本(答案不唯一)12.613.39°14.215.(-a,b)16.181.D高分锦囊判断一个图形是不是轴对称图形,关键看能否找到这样一条直线,使这个图形沿这条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合.2.B ∵点(2,m)与点(n,3)关于x轴对称,∴m=-3,n=2,∴(m+n)2 023=(2-3)2 023=-1.3.D 图示速解如图,将编号为④的小方格涂成黑色,黑色部分不是轴对称图形.4.A 由题意可得,与等腰三角形的这个外角相邻的内角等于110°.∵三角形的内×(180°-110°)=35°.角和为180°,∴底角不可能等于110°,∴底角度数为125.B ∵三角形的三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等,∴凳子应放在△ABC的三边垂直平分线的交点处.6.B ∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,【关键】等腰三角形的“三线合一”∴∠CAB=2∠CAD=40°,∴∠ABC=1×(180°-40°)=70°.∵BE是△ABC的角平分线,2∴∠ABE=1∠ABC=35°.2一题多解∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,∴AD⊥BC,∴∠C=90°-20°=70°,∴∠ABC=∠C=70°.又BE是△ABC的角平分线,∴∠ABE=1∠ABC=35°.27.A 图示速解如图,要使△OAB为等腰三角形,应分三种情况讨论:①当OB=AB时,作线段OA的垂直平分线,与直线b的交点为B1;②当OA=AB时,以点A为圆心,OA 的长为半径作圆,与直线b交于点B2;③当OA=OB时,以点O为圆心,OA的长为半径作圆,与直线b交于点B3,B4.故选A.8.C ∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°.由作图痕迹可知BD平分∠ABC∴∠DBC=∠ABD=∠A=36°,【关键】由尺规作图可以得出BD平分∠ABC∴AD=BD,∠BDC=72°.故A,B选项不符合题意.由以上可知∠C=∠BDC,∴BD=BC,∴AD=BC.∵S△ABD∶S△BCD=AD∶CD,∴S△ABD∶S△BCD=BC∶CD.【关键】两三角形同高不同底故C选项符合题意.∵BD=AD,△BCD的周长=BC+CD+BD,∴△BCD的周长=BC+CD+AD=BC+AC=AB+BC.故D选项不符合题意.7.C 如图,过点P作PC⊥OB于点C,∵∠AOB=60°,∴∠OPC=90°-∠AOB=30°.∵OP=22,∴OC=1OP=11.∵2MN=2,∴OM=OC-MC=11-2=9.PM=PN,MN=4,∴MC=1210.B (转化思想)如图,作点D关于AB的对称点G,作点D关于BC的对称点H,连接GH交AB于点E,交BC于点F,此时△DEF的周长有最小值,连接GB,BH.由线段垂直平分线的性质可得,GE=ED,DF=FH,由轴对称的性质得BG=BD,BD=BH,∴ED+DF+EF=GE+EF+FH=GH,此时△DEF的周长最小值为GH.∵∠GBA=∠ABD,∠DBC=∠CBH,BD=m,∴∠GBH=2∠ABC=2×30°=60°,∴△GBH是等边三角形,∴GH=BG=BD=m,∴△DEF的周长的最小值为m.【关键】发现△GBH是等边三角形11.甲,本(答案不唯一,只要是轴对称图形即可)12.6 ∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠CBA=60°.∵DE是线段AB的垂直平分线,∴BE=AE,∴∠ABE=∠A=30°,∴∠CBE=60°-30°=30°.∵∠C=90°,CE=3,∴BE=2CE=2×3=6,∴AE=6.13.39° ∵AB=AD,∠BAD=24°,∴∠B=∠ADB=1×(180°-24°)=78°.2又AD=DC ,∴∠C=∠CAD=12∠ADB=12×78°=39°.14.2 (分类讨论思想)当∠A 为顶角时,则底角∠B=∠C=72°,此时,优美比=72°36°=2;当∠A 为底角时,则顶角为108°,此时,优美比=36°108°=13(不合题意,舍去).15.(-a ,b ) 第1次变换后,点A 在第四象限;第2次变换后,点A 在第三象限;第3次变换后,点A 在第二象限;第4次变换后,点A 在第一象限,回到原始位置,…,以此类推,每4次变换为一组循环.因为2 023÷4=505……3,所以第2 023次变换后,点A 在第二象限,坐标为(-a ,b ).16.18 ∵△ABC 是等边三角形,∴∠C=∠BAC=60°.∵AD ⊥BC ,∴BD=CD ,∠DAC=12∠BAC=30°.∵AD=12,∴DE=12AD=6.∵DE ⊥AC ,∴∠EDC=90°-∠C=90°-60°=30°,∴EC=12DC ,∴BC=4EC.∵S △EDC =12ED ·EC=12×6×EC=3EC ,S △ABC =12AD×BC=12×12×BC=6BC=24EC ,∴S △EDCS △ABC =3EC24EC =18.17.【参考答案】(1)如图,△A 1B 1C 1即为所求作.(3分)(2)如图,点P 即为所求作.(6分)18.【参考答案】该直升机继续向机场N 飞行无危险.(1分)理由:如图,过点C 作CD ⊥AN 于点D ,∵∠NAC=15°, ∠NBC=30°,∴∠ACB=15°,CD=12BC ,∴∠ACB=∠NAC ,∴BC=AB.(5分)由题意可得,AB=200 km,∴BC=200 km,∴CD=100 km.∵100>80,∴该直升机继续向机场N飞行无危险.(8分)19.【参考答案】已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.(2分)求证:△ABC是等腰三角形.(4分)证明:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中,∠B=∠C,∠ADB=∠ADC,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS),∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.(8分)20.【参考答案】(1)补全图形如图所示. (3分) (2)在等边三角形ABC中,AC=AB ,∠BAC=60°.由对称可知AD=AC ,∠PAD=∠PAC=15°,∴∠BAD=90°,AB=AD ,∴∠ABD=∠D=45°,∴∠AEB=∠D+∠PAD=60°.(8分)21.思路导图【参考答案】【问题】∵AB=BD ,∠B=30°,∴∠BAD=∠ADB=180°―30°2=75°.∵∠BAF=90°,∴∠AFB=90°-30°=60°.∵EF 垂直平分AC ,∴∠CAF=∠C.∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C ,∴∠C=∠CAF=12∠AFB=30°,∴∠CAD=∠ADB-∠C=75°-30°=45°.(5分)【探究】不变.(6分)理由:∵AB=BD ,∴∠BAD=∠ADB=180°―∠B 2=90°-12∠B.∵∠BAF=90°,∴∠AFB=90°-∠B.∵EF 垂直平分AC ,∴∠CAF=∠C.∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C ,∴∠C=∠CAF=12∠AFB=45°-12∠B ,∴∠CAD=∠ADB-∠C=90°-12∠B-(45°-12∠B )=45°.(10分)22.【参考答案】(1)设当点M ,N 运动x s 时,M ,N 两点重合,由题意,可得x×1+12=2x ,解得x=12.故当点M ,N 运动12 s 时,M ,N 两点重合.(2分)(2)设当点M ,N 运动t s 时,可得到等边三角形AMN ,此时AM=t ,AN=AB-BN=12-2t ,∴t=12-2t ,解得t=4.(4分)故当点M ,N 运动4 s 时,可得到等边三角形AMN.(5分)(3)当点M ,N 在BC 边上运动时,能得到以MN 为底边的等腰三角形.(6分)若△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形,则AN=AM ,∴∠AMN=∠ANM ,∴∠AMC=∠ANB.∵在△ABC 中,AB=BC=AC ,∴△ACB 是等边三角形,∴∠C=∠B=60°.(8分)在△ACM 和△ABN 中,∠AMC =∠ANB ,∠C =∠B ,AC =AB ,∴△ACM ≌△ABN ,∴CM=BN.(10分)设当点M ,N 运动时间为y s 时,△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形,∴CM=y-12,NB=36-2y ,∴y-12=36-2y ,解得y=16.故能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ,此时M ,N 运动的时间为16 s .(12分)。
人教版八年级数学上册《第十三章轴对称》测试卷-附带有答案
人教版八年级数学上册《第十三章轴对称》测试卷-附带有答案一、单选题1．以下是某些运动会会标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则其腰长为（）A．B．或C．D．以上都不对3．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．84．如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3=7：2：1，则∠α的度数为（）A．90°B．108°C．110°D．126°5．如图，中，是边的垂直平分线，分别交、于点、连接，若恰好为的平分线，则的度数是（）A．B．C．D．6．如图，在中、的垂直平分线分别交于点、若的周长是20，则的周长为（）A．4 B．7 C．9 D．117．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝5，点F是AD边上的动点，则BF＋EF的最小值为（）A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定8．如图，在△ABC，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠AOD的度数为（）A．92°B．90°C．88°D．84°二、填空题9．已知等腰三角形的两边长分别为3,6，则这个等腰三角形的周长为.10．如图，在中则°．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD=CD，∠BAD＝20°，DE⊥AC于E ，则∠EDC °．12．如图，在直角三角形中，点D在上，点G在上，与关于直线对称，与交于点E，若，则的度数是度．13．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1，则AD 的长为．三、解答题14．如图，在中，求的长15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上.①画出关于x轴的对称图形；②将向左平移3个单位后得到，画出，并写出顶点的坐标.16．如图所示，在△ABC中，AB＝BC，点D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交AC于点F，连接BF．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；（2）若点F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由．17．如图，在中，的垂直平分线分别交线段，于点M，P，的垂直平分线分别交线段，于点N，Q．（1）如图，当时，求的度数；（2）当时，求的度数．18．如图，在中，点分别在边上，且．（1）求证：是等腰三角形；（2）当时，求的度数；（3）若，判断是何种三角形．参考答案：1．B2．C3．B4．B5．C6．C7．B8．C9．1510．6511．2012．13．714．解：在中即BC的长为．15．解：如图所示：，即为所求；，即为所求，点（−3，−1）. 16．（1）解：∵∠AFD＝155°∴∠DFC＝25°∵DF⊥BC，DE⊥AB∴∠FDC＝∠AED＝90°在Rt△FDC中∴∠C＝90°﹣25°＝65°∵AB＝BC∴∠C＝∠A＝65°∴∠ABC＝180°﹣2×65°＝50°∵∠ABC+∠BDE＝∠EDF+∠BDE＝90°∴∠EDF＝∠ABC＝50°；（2）解：∠CFD＝∠ABC，理由如下：∵AB＝BC，且点F是AC的中点∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC∴∠CFD+∠BFD＝90°∠CBF+∠BFD＝90°∴∠CFD＝∠CBF.17．（1）解：∵、分别是的垂直平分线∴，∵∴∵∴∴（2）解：∵分别是的垂直平分线∴∴∴当P点在Q点右侧时，如图：∵∴∵∴．当P点在Q点左侧时∵∴∵∴．综上或．18．（1）证明：在和中是等腰三角形；（2）解：即；；（3）解：是等边三角形，理由如下：由（2）知又又是等边三角形。
人教版八年级上册数学第13章《轴对称》单元测试卷(含答案解析)
人教版八年级上册数学第13章《轴对称》单元测试卷班级_________ 姓名__________ 考号_____________ 得分____________一、选择题（每小题3分，共30分）1、下列图形中一定是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2、点A（a﹣3，﹣1）与点B（2，b+2）关于x轴对称，则a，b的值分别是（）A．a=1，b=﹣3 B．a=1，b=﹣1 C．a=5，b=﹣3 D．a=5，b=﹣13、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，若∠BAD=36°，则∠C的大小为（）A．36°B．38°C．40°D．42°4、等腰三角形的一个外角是140°，则其底角是（）A．40°B．70°或40°C．70°D．140°5、等腰三角形的周长为15，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（）A．3 B．4 C．5 D．66、如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=18°，∠EDC=12°，则∠DAE的度数为（）A．58°B．56°C．62°D．60°7、如图，四边形ABCD中，AB=AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD=100°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．45°C．60°D．80°8、如图，在△ABC中，∠C=90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（）A．B．C．D．9、在△ABC中，AB=AC，OB=OC，点A到BC的距离是6，O到BC的距离是4，则AO为（）A．2 B．10 C．2或10 D．无法测量10、如图，在Rt△ABC中（AB＞2BC），∠C=90°，以BC为边作等腰△BCD，使点D落在△ABC的边上，则点D的位置有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（每小题4分，共24分）11、在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴对称得到点A′，再将点A′向上平移2个单位，得到点A″，则点A″的坐标是（1，4）．12、一个等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为12和30两部分，则这个等腰三角形的腰长为20．13、如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=54°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是9°．14、如图，在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，垂足为点E，△BDE是等边三角形，若AD=4，则线段BE的长为．15、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，2），B（0，1）．在x轴上找一点P，使得PA+PB最小，则点P的坐标是（2，0），此时△PAB的面积是4．16、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=36°，在直线AC或BC上取点M，使得△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有8个．。
八年级数学上册第十三章《轴对称》测试-人教版(含答案)
八年级数学上册第十三章《轴对称》测试-人教版（含答案）题号一二三总分19 20 21 22 23 24分数一、选择题(每题3分，共30分)1以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（）A．1，1，2 B．1，1，3 C．2，2，1 D．2，2，52如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD3如图，DE是△ABC中AB边的垂直平分线，若BC＝6，AC＝8，则△BCE的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．164．如图，直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝120°，∠B＝110°，那么∠BCD的度数为( )A．50° B．60° C．70° D．80°5．如图，在等腰△ABO中，∠ABO＝90°，腰长为2，则A点关于y轴的对称点的坐标为（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，﹣2）C．（2，2）D．（2，﹣2）6．以下叙述中不正确的是（）A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B．有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C．等腰三角形一定是锐角三角形D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等7．如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P从点A出发，沿AB→BC的路径匀速运动，当点C停止，过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时间x（s）的函数关系图象如图②所示，当点P运动2.5s时，PQ的长是（）cm．A．B．C．D．8.如图13-5，P是∠AOB外的一点，M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q 恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上.若PM=2.5 cm，PN=3 cm，MN=4 cm，则线段QR的长为（）A.4.5 cmB.5.5 cmC.6.5 cmD.7 cm图13-5 图13-69.如图13-6，已知在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BD⊥AC，DE⊥BC，D，E分别为垂足，下列结论中正确的是（）A.AC=2ABB.AC=8ECC.CE=12BDD.BC=2BD10. 如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3＝7：2：1，则∠α的度数为（）A．90°B．108°C．110°D．126°二、填空题(每题3分，共24分)11如图所示，分别将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为P，Q，M，N的四个图形，按照“由哪个正方形剪开后拼成的轴对称图形”的对应关系：A与对应，B与对应，C与对应，D与对应．12如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地，此时可以判断C，D到B的距离相等，用到的数学道理是．13如图在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为．14设点P（2m﹣3，3﹣m）关于y轴的对称点在第二象限，则整数m的值为．15如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为．16定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝32°，以点C为圆心、BC的长为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠ABE的大小为______.18.如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC ＝84°，则∠BDC＝______.三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)19．如图，已知△ABC，（1）分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2；（2）直接写出B1和B2点坐标．20．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBD＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC．上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．21．如图，△ABC中，AB＝AC，DE是腰AB的垂直平分线．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若AB＝9，BC＝5，求△BDC的周长．22．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，连接CE．求证：∠BCE＝∠A+∠ACB．23．已知△ABC中，AC=BC，∠C=120°，点D为AB边的中点，∠EDF=60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE=DF．（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．24．已知等腰ABC，AC AB⊥交BA延长线于点D，点P在直线AC上=，30ABC∠=︒，CD AB运动，连接BP，以BP为边，并在BP的左侧作等边三角形BPE，连接AE．(1)如图1，当BP AC≌△△；⊥时，求证：ABP ACD(2)如图2，当点D与点E在直线CP同侧时，求证：AP AB AE=+；(3)在点P运动过程中，是否存在定直线，使得线段BE、CE始终关于这条直线对称，若存在，指出这一条直线，并加以证明：若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(每题3分，共30分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D C D C C D B D B二、填空题(每题3分，共24分)11如图所示，分别将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为P，Q，M，N的四个图形，按照“由哪个正方形剪开后拼成的轴对称图形”的对应关系：A与对应，B与对应，C与对应，D与对应．【考点】轴对称图形．【答案】见试题解答内容【分析】应根据各图形组成特征找出对应关系．【解答】解：A剪开后是三个三角形，B和C剪开后是两个直角梯形和一个三角形，D剪开后是两个三角形和一个四边形，因而，A与G对应，B与E对应，C与F对应，D与H对应．12如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地，此时可以判断C，D到B的距离相等，用到的数学道理是．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】三角形．【答案】见试题解答内容【分析】先根据题意得到AB垂直平分CD，然后根据线段垂直平分线的性质可判断C，D到B的距离相等．【解答】解：∵AB⊥CD，AC＝AD，∴AB垂直平分CD，∴BC＝BD，即C，D到B的距离相等．故答案为：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．13如图在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为．【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【答案】见试题解答内容【分析】根据等边三角形的性质得到AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，根据直角三角形的性质得到AE＝AD＝2，计算即可．【解答】解：等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，∴AD＝4，BC＝AC＝8，∠A＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，∴∠AFD＝∠CFE＝90°，∴AE＝AD＝2，∴CE＝8﹣2＝6，∴CF＝CE＝3，∴BF＝5，故答案为：5．14设点P（2m﹣3，3﹣m）关于y轴的对称点在第二象限，则整数m的值为．【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】平面直角坐标系；数感；运算能力．【答案】2．【分析】由于点P关于y轴的对称点在第二象限，则点P在第一象限，再根据点的坐标特征，即可得出整数m的值．【解答】解：由于点P关于y轴的对称点在第二象限，则点P在第一象限．依题意有解得＜m＜3．因为m为整数，所以m＝2，故答案为：2．15如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为．【考点】等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BF＝14，求得EG＝8，于是得到结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，∴∠G＝30°，∵BF＝7，∴BG＝2BF＝14，∴EG＝8，∵CE＝CG＝4，∴AC＝BC＝10，故答案为：10．16定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【答案】见试题解答内容【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或17．21°解析：∵AB＝AC，∠A＝32°，∴∠ABC＝∠ACB＝74°.依题意可知BC＝EC，∴∠BEC ＝∠EBC＝53°，∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝74°－53°＝21°.18．96°解析：如图，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于点F.∵AD是∠BAC的平分线，∴DE ＝DF .∵DP 是BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD .在Rt△DEB 和Rt△DFC 中，⎩⎨⎧DB ＝DC ，DE ＝DF ，∴Rt△DEB ≌Rt△DFC (HL)．∴∠BDE ＝∠CDF ，∴∠BDC ＝∠EDF .∵∠DEB ＝∠DFA ＝90°，∠BAC ＝84°，∴∠BDC ＝∠EDF ＝360°－90°－90°－84°＝96°.三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)19．如图，已知△ABC ，（1）分别画出与△ABC 关于x 轴、y 轴对称的图形△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2；（2）直接写出B 1和B 2点坐标．【分析】（1）分别作出点A 、B 、C 关于x 轴、y 轴对称的点，然后顺次连接；（2）根据坐标系的特点，写出点B 1和B 2的坐标．【解答】解：（1）所作图形如图所示：；（2）B1（2，2），B2（﹣2，﹣4）．20．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBD＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC．上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．【分析】①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形，首先证明△EBO≌△DCO，可得BO＝CO，根据等边对等角可得∠OBC ＝∠OCB，进而得到∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边可得AB＝AC，即可得到△ABC是等腰三角形．【解答】①③；②③；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形；证明：∵在△EBO和△DCO中，∵，∴△EBO≌△DCO（AAS），∴BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠EBO+∠OBC＝∠DCO+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．21．解：（1）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝＝70°．∵DE是腰AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∠DBA＝∠A＝40°，∴∠DBC＝70°﹣40°＝30°；（2）由（1）得：AD＝BD，∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝AB+BC＝9+5＝14．答：△BDC的周长是14．22．证明：∵BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，∴CE＝BE，∴∠ECB＝∠EBC，∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∴∠BCE＝∠A+∠ACB．23.【答案】（1）解：∵EF∥AB．∴∠FEC=∠A=30°．∠EFC=∠B=30°∴EC=CF．又∵AC=BC∴AE=BFD是AB中点．∴DB=AD∴△ADE≌△BDF．∴DE=DF（2）解：过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．∵AC=BC，∴∠A=∠B，又∵∠ACB=120°，∴∠A=∠B=（180°﹣∠ACB）÷2=30°，∴∠ADM=∠BDN=60°，∴∠MDN=180°﹣∠ADM﹣∠BDN=60°．∵AC=BC、AD=BD，∴∠ACD=∠BCD，∴DM=DN．由∠MDN=60°、∠EDF=60°，可知：一当M 与E 重合时，N 就一定与F 重合．此时：DM=DE 、DN=DF ，结合证得的DM=DN ，得：DE=DF ．二当M 落在C 、E 之间时，N 就一定落在B 、F 之间．此时：∠EDM=∠EDF﹣∠MDF=60°﹣∠MDF，∠FDN=∠MDN﹣∠MDF=60°﹣∠MDF，∴∠EDM=∠FDN，又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN ，∴△DEM≌△DFN（ASA ），∴DE=DF．三当M 落在A 、E 之间时，N 就一定落在C 、F 之间．此时：∠EDM=∠MDN﹣∠EDN=60°﹣∠EDN，∠FDN=∠EDF﹣∠EDN=60°﹣∠EDN，∴∠EDM=∠FDN，又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN ，∴△DEM≌△DFN（ASA ），∴DE=DF．综上一、二、三所述，得：DE=DF ．24. (1)证明∶如图1，∵CD ⊥AB ， BP ⊥AC ，∴∠ADC =∠APB =90°，∵在△ABP 和△ACD 中，ADC APB CAD BAP AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABP ≌△ACD ；(2)证明：如图3，在PA 上取一点M ，使得PM =AB ，∵△BPE是等边三角形，∴BE=PE，∠BEP=60°，∵AB=AC，∠ABC=30°，∴∠ACB=∠ABC=30°，∴∠BAP=∠ABC+∠ACB=60*，∴∠BEP=∠BAP，∴∠EPM=∠EBA，∴△PEM≌△BEA，∴EM=AE，∠PEM=∠BEA，∴∠AEM=∠AEB+∠BEM=∠PEM+∠MEB=∠BEP=60°，∴△AEM是等边三角形，∵AE=AM，∴AP=AM+PM=AE+AB；(3)解∶存在定直线，使得线段BE、CE始终关于这条直线对称，理由如下：①当点D与点E在直线CP同侧时，连接CE，如图4，∵△AEM是等边三角形，∴∠EAM=60°，∵∠BAP =60°，∴∠DAE =180°-∠DAE -∠EAM =60°，∴∠CAE =CAD +∠DAE =120°，∠BAE =∠BAP +∠AEM =120°，∴∠CAE =∠BAE ，∵在△CAE 和△BAE 中AE AE CAE BAE AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CAE ≌△BAE ，∴CE =BE ，∴点E 在线段BC 的垂直平分线上，△CEB 是等腰三角形，∵等腰三角形CEB 的对称轴为线段BC 的垂直平分线，∴线段BE 、CE 始终关于线段BC 的垂直平分线对称；②当点D 与点E 在直线CP 两侧时，在PC 上取一点M ，使得PM = BA ，如图5，∵△BPE 是等边三角形，∴BE =PE ，∠BEP =60°，∵AB =AC ，∠ABC =30°，∴∠ACB =∠ABC =30°，∴∠BAP =∠ABC +∠ACB =60°，∴∠BEP =∠BAP ，∴∠EPM =∠EBA ，∴△PEM ≌△BEA ，∴∠PME =∠BAE ， EM =AE ，∴∠PME =∠MAE ，∴∠MAE =∠BAE ，∵△ACE 和△ABE 中，CA AB MAE BAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△ABE ，∴CE =BE ，∴点E 在线段BC 的垂直平分线上，△CEB 是等腰三角形，∵等腰三角形CEB 的对称轴为线段BC 的垂直平分线，∴线段BE 、CE 始终关于线段BC 的垂直平分线对称；即∶在点P 运动过程中，存在定直线（线段BC 的垂直平分线），使得线段BE 、CE 始终关于这条直线对称．。
2022年秋学期人教版八年级数学上册第十三章【轴对称】检测题附答案解析
2022年秋学期八年级数学上册第十三章【轴对称】检测题一、单选题1．以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，已知AD 垂直平分线段BC ，25BAD ∠=︒，那么C ∠的度数为（）A ．25︒B ．50︒C ．65︒D ．70︒3．如图，DE ，DF 分别是线段AB ，BC 的垂直平分线，连接DA ，DC ，则（）A ．∠A ＝∠CB ．∠B ＝∠ADC C ．DA ＝DCD ．DE ＝DF4．如图，在ABC 中，AB AC =，40A ︒∠=，//CD AB ，则BCD ∠=（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒5．如图，直线m n ∥，ABC 是等边三角形，顶点B 在直线n 上，直线m 交AB 于点E ，交AC 于点F ，若1140∠=︒，则2∠的度数是（）A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．140︒6．如图，在ABC 中，AB AC =，30C ∠=︒，AB AD ⊥，4AD cm =，则BC 的长为（）．A ．8cmB ．12cmC ．15cmD ．16cm7．如图，ABC 中，若80BAC ∠=︒，70ACB ∠=︒，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（）A ．40BAQ ∠=︒B ．12DE BD =C ．AF AC =D ．25EQF ∠=︒8．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，－3），点B 的坐标为（3，－3），下列说法不正确的是（）A ．点A 在第三象限B ．点B 在第二、四象限的角平分线上C ．线段AB 平行于x 轴D ．点A 与点B 关于y 轴对称9．如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC 剪下△ABC ，展开即可得到一个五角星．若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36°），则在图③中应沿什么角度剪，即∠ABC 的度数为（）A ．144°B ．126°C ．120°D ．108°10．如图，在ABC 中，点D 为BC 边上一点，给出如下关系：①AD 平分BAC ∠；②AD BC ⊥于D ；③D 为BC 中点．甲说：如果①②同时成立，可证明AB AC =；乙说：如果②③同时成立，可证明AB AC =；丙说：如果①③同时成立，可证明AB AC =．则正确的说法是（）A ．甲、乙正确，丙错误B ．甲正确，乙、丙错误C ．乙正确，甲、丙错误D ．甲、乙、丙都正确11．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（﹣5，12），它关于y 轴的对称点为B ，则△ABO 的周长为（）A ．24B ．34C ．35D ．3612．如图是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东35度方向，B 岛在A 岛的北偏东80度方向，C 岛在B 岛的北偏西55度方向，则A ，B ，C 三岛组成一个（）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形13．如图，在ABC 中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）A ．AF BF=B ．12AE AC =C ．90DBF DFB ∠+∠=︒D ．BAF EBC∠=∠14．如图，C 为线段AB 上一动点（不与点A 、B 重合），在AB 同侧分别作正三角形ACD 和正三角形BCE ，AE 与BD 交于点F ，AE 与CD 交于点G ，BD 与CE 交于点H ，连接GH ．以下五个结论：①AE ＝BD ；②GH ∥AB ；③AD ＝DH ；④GE ＝HB ；⑤∠AFD ＝60°，一定成立的是（）A ．①②③④B ．①②④⑤C ．①②③⑤D ．①③④⑤15．已知，在△ABC 中，AB AC =，如图，（1）分别以B ，C 为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于点D ；（2）作射线AD ，连接BD ，CD ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误．．的是（）A ．BAD CAD ∠=∠B ．△BCD 是等边三角形C ．AD 垂直平分BC D ．ABDC S AD BC= 16．如图，在Rt △ABC 中，∠CBA ＝90°，∠CAB 的角平分线AP 和∠MCB 的平分线CF 相交于点D ，AD 交CB 于点P ，CF 交AB 的延长线于点F ，过点D 作DE ⊥CF 交CB 的延长线于点G ，交AB 的延长线于点E ，连接CE 并延长交FG 于点H ，则下列结论：①∠CDA ＝45°；②AF ﹣CG ＝CA ；③DE ＝DC ；④CF ＝2CD +EG ；其中正确的有（）A ．②③B ．②④C ．①②③④D ．①③④17．如图所示，在四边形ABCD 中，2AD =，90A D ∠=∠=︒，60B ∠=︒，2BC CD =，在AD 上找一点P ，使PC PB +的值最小；则PC PB +的最小值为（）A ．4B ．3C ．5D ．618．如图，在直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（4，3），PQ ⊥x 轴于Q ，M ，N 分别为OQ ，OP 上的动点，则QN ＋MN 的最小值为（）A ．7225B ．245C ．125D ．9625二、填空题19．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A 滑行至B ，已知100m AB =，则这名滑雪运动员的高度下降了_______米．20．如图，在ABC 中，已知∠C =90°，AB 的垂直平分线交BC ，AB 于点D ，E ，∠CAB =50°，那么∠CAD =___________．21．如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是边AC 的中点．当△ECF 的周长取得最小值时，∠EFC 的度数为_____________．22．如图，在ABC 中，AB AC =，30C ∠=︒，AB AD ⊥，3cm =AD ，则BC 为____________cm ．23．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ，DB 平分∠ADC ，∠BCD ＝150°．则∠ABD 的度数为___°．三、解答题24．如图，在△ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，点D 、E 在BC 上，AD ⊥AC ，AE ⊥AB ．求证：AED 为等边三角形．25．如图，点D 是等边三角形ABC 的边BC 上一点，以AD 为边作等边△ADE ，连接CE .（1）求证：ABD ACE △≌△；（2）若∠BAD =20°，求∠AEC 的度数.26．如图，在ABC 和ADE 中，AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒．(1)当点D 在AC 上时，如图①，线段BD ，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；(2)将图①中的ADE 绕点A 顺时针旋转()090αα︒<<︒，如图②，线段BD ，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．(3)拓展应用：已知等边ABC 和等边ADE 如图③所示，求线段BD 的延长线和线段CE 所夹锐角的度数．27．如图所示，D 是ABC 边BC 的中点，E 是AD 上一点，满足AE BD DC ==，FA FE =．求ADC ∠的度数．28．如图，已知∠ABC ＝∠ADC ＝90°，BC ＝CD ，CA ＝CE ．(1)求证：∠ACB ＝∠ACD ；(2)过点E 作ME ∥AB ，交AC 的延长线于点M ，过点M 作MP ⊥DC ，交DC 的延长线于点P ．①连接PE ，交AM 于点N ，证明AM 垂直平分PE ；②点O 是直线AE 上的动点，当MO +PO 的值最小时，证明点O 与点E 重合。
人教版初中数学第13章《轴对称》单元测试题(含答案)
第13章 轴对称单元测试题一、选择题1.下列图形中，对称轴的条数最少的图形是A. B. C. D.2．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E .若AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为( )A ． 5cmB ． 6cmC ． 7cmD ． 8cm3．已知等腰△ABC 的周长为18 cm ，BC ＝8 cm ，若△ABC 与△A ′B ′C ′全等，则△A ′B ′C ′的腰长等于( )．A ． 8 cmB ． 2 cm 或8 cmC ． 5 cmD ． 8 cm 或5 cm 4. 已知等腰三角形的一个内角为︒70，则另两个内角的度数是（ ）A.︒55，︒55B.︒70，︒40C.︒55，︒55或︒70，︒40 ;D. 以上都不对 5.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A '处，若︒='∠20BC A ，则BD A '∠的度数为（ ）A.︒30B.︒25C.︒20D.︒156．如图，△ABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC ，AB 于D ，E 两点，并连接BD ，DE .若∠A ＝30°，AB ＝AC ，则∠BDE 的度数为( ) A ．45° B ．52.5° C ．67.5° D ．75°7．如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC 的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上画与△ABC 成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形(不包含△ABC 本身)共有( )A．1个B．3个C．2个D．4个8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB、AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE 和△ACD，且∠EDC＝45°，则∠ABC的度数为()A．75°B．80°C．70°D．85°9．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为()A．90°B．75°C．70°D．60°10.在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC上，AD=AE，∠CDE=20°，则∠BAD的度数为（）A.36°B.40°C.45°D.50°11.△ABC中，AB=AC≠BC，在△ABC所在平面内有点P，且使得△ABP、△ACP、△BCP 均为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A.1个B.4个C.6个D.8个12．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，则线段QR的长为()A．4.5 cm B．5.5 cm C．6.5 cm D．7 cm二、填空题13．矩形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是(0，0)、(-5，0)、(-5，-2)，则D点的坐标是________，D点关于x轴的对称点的坐标是_________．14．已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为7cm，则它的周长为_________________cm.15.如图，在△PAB中，∠A=∠B，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=53°，则∠P=______°.16.如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC，若∠A=70°，则∠PBC的度数是______度.17.轴对称是指______ 个图形的位置关系，轴对称图形是指______ 个具有特殊形状的图形．18．如图，AD是△ABC的对称轴，∠DAC＝30°，DC＝4cm，则△ABC是___三角形，△ABC 的周长＝___cm.19．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的平分线相交于点D，垂足为点P，连接BD，CD，若∠BAC＝84°，则∠BDC＝________．20.等腰三角形两内角度数之比为1：2，则它的顶角度数为______ ．三、解答题21.如图：的周长为30cm，把的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若，求的周长．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．23．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝4．（1）在AB边上求作点P，使PC＋PD最小；（2）求出（1）中PC＋PD的最小值．24. 如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D .（1）若设x AP =，则=PC ；=QC .（用含x 的式子表示）（2）当︒=∠30BQD 时，求AP 的长；（3）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长，如果变化请说明理由.参考答案1. B2.B . 3．D 4.C 5..B 6.C 7.B 8.A 9．D 10.B 11.C 12.A 13. （0，-2） （ 0，-2）14． 15或18 15.53°16.20 17. 两；一 18． 等边， 24 19．96° 20.或21. 解：由图形和题意可知：，，则，故的周长，答：的周长为22cm ．22．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .在△DBE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△DBE ≌△ECF ，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形．(2)解：如图，由(1)可知△DBE ≌△ECF ，∴∠1＝∠3.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＝40°，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝12(180°－40°)＝70°，∴∠1＋∠2＝110°，(10分)∴∠3＋∠2＝110°，∴∠DEF ＝70°.23. 解：（1）作D 点关于AB 的对称点D ′，连接CD ′交AB 于P ，P 即为所求，此时PC +PD =PC +PD ′=CD ′，根据两点之间线段最短可知此时PC +PD 最小．（2）作D ′E ⊥BC 于E ，则EB =D ′A =AD ， ∵CD =2AD ，∴DD ′=CD ，∴∠DCD ′=∠DD ′C ， ∵∠A =∠B =90°，∴四边形ABED ′是矩形， ∴DD ′∥EC ，D ′E =AB =4，∴∠D ′CE =∠DD ′C ， ∴∠D ′CE =∠DCD ′，∵∠C =60°，∴∠D ′CE =30°， ∴D ′C =2D ′E =2AB =2×4=8； ∴PC +PD 的最小值为8． 24. 解：（1）x -6；x +6；（2）∵△ABC 是边长为6的等边三角形，（3）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变。
八年级上册数学第十三章 轴对称 测试卷(含答案)
八年级上册数学第十三章轴对称测试卷一、选择题。
（每小题3分，共24分）1．以下四个图形中，对称轴条数最多的是（）A B C D2．如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击中（球可以经过多次反弹），那么该球最后将落入的球袋是（）A.1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋第2题图第3题图3．如图所示，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A. 30°B．36°C．45°D．70°4．小亮在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近8:00的是（）A B C D5．下列说法正确的是（）A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．顶角相等的两个等腰三角形全等C．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D．等腰三角形的两个底角相等6．小朋友文文把一张长方形的纸对折了两次（如图所示），使A，B都落在DC上，折痕分别是DE，DF，则∠EDF的度数为（）A. 60 °B．75°C．90°D．120°第6题图第8题图7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数是（）A. 60°B. 120°C. 60°或150°D.60°或120°8．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（）A. 3B. 2.5C. 2D. 1二、填空题（每小题3分，共24分）1．仔细观察如图所示的图案，并按规律在横线上画出合适的图形．______2，则该汽车的车牌号是______．3．已知么MON= 45°，其内部有一点P，它关于OM的对称点是A，关于ON的对称点是B，且OP =2cm，则S△AOB=______4．如图所示，DE是AB的垂直平分线，D是垂足，DE交BC于E，若BC=32cm，AC=18cm，则△AEC的周长为______cm.第4题图第6题图第7题图5．在直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为（-1，3），（-2，-4），(1，3)，（2，-4），则线段AB与CD的位置关系是______．6．如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AB=10，AC=8，P是AB边上的动点（不与点B重合），点B关于直线CP的对称点B'，连接B'A，则B’A长度的最小值是______．7．如图所示，△ABD、△ACE是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC =______．8．如图所示，有一块形状为等边△ABC的空地，DE，EF为空地中的两条路，且D为AB的中点，DE⊥AC于E，EF∥AB，现已知AE=5m，则地块△EFC的周长为______.三、解答题（共72分）1．如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．2．用围棋棋子可以在棋盘中摆出许多有趣的图案，如图甲，在棋盘上建立平面直角坐标系，以直线y=x为对称轴，我们可以摆出一个轴对称图形（其中A与A’是对称点），你看它像不像一条美丽的鱼？(1)请你在图乙中，也用10枚以上的棋子摆出一个以直线y=x为对称轴的轴对称图案，并在所摆的图形中找出两组对称点，分别标为B—B'，C—C'（注意棋子要摆在格点上）．(2)在给定的平面直角坐标系中，你标出的B，B'，C，C'的坐标分别是：B( )，B'( )，C( )，C'( )．根据以上对称点的坐标规律，写出点P(a，b)关于对称轴y=x对称点p’的坐标是( )．甲乙3．如图所示，△ABC和△A’B’C’关于直线MN对称，△A’B’C'和△A’’B’’C’’关于直线EF对称．(1)画出直线EF;(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB’’与直线MN, EF所夹锐角α的数量关系.4．如图所示，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB +BD与DE的长度有什么关系？并加以证明．5．如图所示，在等边三角形ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，作BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F.小明说：“E，F是BC的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明理由．6.元旦联欢会上，同学们在礼堂四周摆了一圈条桌，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间放一把椅子B．游戏规则是这样的：甲、乙二人从A 处同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．小张和小李比赛，比赛一开始，只见小张直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见小李已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了，如果小李不比小张跑得快，那他是不是有捷径呢？如果有，请把捷径画出来，并说明理由．参考答案一、1．B 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．C 二、1． 2．M645379 3.2cm ² 4. 50 5．关于y 轴对称 6.2 7. 120° 8. 45m三、1．连接AF. ∵AB=AC,∴∠B= ∠C=︒=︒-︒=∠-︒3021201802A 180．又∵EF 垂直平分AC ，∴AF = CF ∴∠CAF =∠C= 30°． ∴∠BAF= ∠BAC- ∠CAF=120°-30°=90°．在Rt △BAF 中，∵∠B=30°，∴BF =2AF.叉∵AF= CF,∴BF=2CF ．2．(1)按要求摆出图形并标出两组对称点B-B ’,C-C';(2)答案不唯一，只要满足点B 的横坐标等于点B ’的纵坐标，点B 的纵坐标等于点B ’的横坐标，点C 的横坐标等于点C ’的纵坐标，点C 的纵坐标等于点C ’的横坐标即可；根据以上对称点坐标的规律，可以发现P(a ，b)关于对称轴y=x 的对称点P ’的坐标为(b ，a)．3．(1)如图所示，连接B'B ’’，作线段B'B ’’的垂直平分线EF,则直线EF 是△A ’B ’C ’和△A ’’B ’’C ’’的对称轴．(2)连接BO ．因为△ABC 和△A'B'C'关于MN 对称，所以∠BOM=∠B 'OM.又因为△A ’B ’C ’和△A ’’B ’’C ’’关于EF 对称，所以∠B 'OE= ∠B ''OE.所以∠BOB''=∠BOM+ ∠B 'OM+∠B'OE+ ∠B ‘’OE =2(∠B'OM+∠B 'OE) =2a ．即∠BOB ’’= 2a.4. AB+BD= DE ，证明略．5．同意，连接OE ，OF.由题意可知：BE= OE,CF= OF,∠OBC=∠OCB= 30°, ∴∠BOE=∠OBC=30°,∠COF=∠OCB=30°,∴∠BOC=120°，∴∠EOF=60°, ∠OEF=60°, ∠OFE=60°.∴△OEF 是等边三角形，∴OE = OF= EF= BE=CF.∴E ，F 是BC 的三等分点．6．分别以北条桌和东条桌为对称轴，作A ，B 的对称点A ’,B ’，连接A'B ’,交两长条桌于C ，D 两点，则折线ACDB 就是捷径．连接A'M 和B'M 因为A ，A ’于CM 对称，B ，B ’关于DM 对称，所以AC=A'C ，AM=A'M ，BD=B'D,BM=B'M.所以折线ACDB 的长=AC+CD+DB=A'C+CD+DB'=A'CDB'=A'B ’，而AM+BM=A'M+B'M> A'B'，所以拆线ACDB 是捷径．。
八年级数学上册第十三章《轴对称》综合测试卷-人教版(含答案)
八年级数学上册第十三章《轴对称》综合测试卷-人教版（含答案）一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2022独家原创)下图是天气预报中的图形,其中是轴对称图形的为( )A BC D2.(2022独家原创)如图,在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,AC=8,∠ABC的平分线BD交边AC于点D,则AD+BD的长为( )A.10B.8C.6D.43.(2020湖南益阳中考)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B的度数为( )A.25°B.30°C.35°D.40°4.(2021河北石家庄二十八中期中)如图,△ABC中,点D在AC上,连接BD,∠ABD=2∠DBC,∠ADB=2∠C,∠DBC=∠A,则图中共有等腰三角形( )A.0个B.1个C.2个D.3个5.如图,在棋盘中建立直角坐标系xOy,现将A,O,B三颗棋子分别放置在(-2,2),(0,0),(1,0)处.如果在其他格点位置添加一颗棋子P,使四颗棋子A,O,B,P成为轴对称图形,则满足条件的棋子P的位置的坐标不正确的是( )A.(-2,3)B.(-3,2)C.(-2,-2)D.(0,-1)6.(2020湖北宜昌中考)如图,点E,F,G,Q,H在一条直线上,且EF=GH,我们知道按如图所作的直线l 为线段FG的垂直平分线.下列说法正确的是( )A.l是线段EH的垂直平分线B.l是线段EQ的垂直平分线C.l是线段FH的垂直平分线D.EH是l的垂直平分线7.(2020山东济南期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,∠DBC=60°,BC=1,则AD的长为( )A.1.5B.2C.3D.48.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,△AFG与△ABC关于直线DE成轴对称,∠CAE=10°,连接BF,则∠ABF的度数是( )A.30°B.35°C.40°D.45°第8题图第9题图9.如图,在钝角三角形ABC中,∠ABC为钝角,以点B为圆心,AB的长为半径画弧,再以点C为圆心,AC 的长为半径画弧,两弧交于点D,连接AD,与CB的延长线交于点E.下列结论错误的是( )A.CE垂直平分ADB.CE平分∠ACDC.△ABD是等腰三角形D.△ACD是等边三角形10.(2021河南郑州模拟)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D,下列选项中结论错误的是( )A.EF=BE+CFB.∠BOC=90°+12∠AC.点O到△ABC各边的距离相等D.设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn二、填空题(每小题3分,共24分)11.(2021山东淄博中考)在直角坐标系中,点A(3,2)关于x轴的对称点为A1,将点A1向左平移3个单位得到点A2,则点A2的坐标为.12.(2022独家原创)如图,在3×3的方格图中,将其中一个小方格涂阴影,使整个图形为轴对称图形,这样的轴对称图形共有个.13.(2022黑龙江齐齐哈尔三中期中)如图,将△ABC折叠,使点A与BC边中点D重合,折痕为MN,若AB=9,BC=6,则△DNB的周长为.14.(2019湖南永州中考)已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,点D为OC上一点,过D作直线DE⊥OA,垂足为点E,且直线DE交OB于点F,如图所示.若DE=2,则DF= .15.(2021江苏苏州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AF=EF.若∠CFE=72°,则∠B= °.16.(2022安徽芜湖一中期末)如图,已知点D、E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点,AD=6,点F是线段AD上的动点,则BF+EF的最小值为.17.如图,已知D为等边三角形纸片ABC的边AB上的点,过点D作DG∥BC交AC于点G,DE⊥BC于点E,过点G作GF⊥BC于点F.把三角形纸片ABC分别沿DG,DE,GF按如图所示的方式折叠,则图中阴影部分是三角形.18.(2021四川绵阳模拟)如图,∠BOC=60°,点A是OB的反向延长线上的一点,OA=10 cm,动点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动,如果点P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间,当t= 时,△POQ是等腰三角形.三、解答题(共46分)19.(2019广西中考)(6分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,-1),B(1,-2),C(3,-3).(1)将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;(2)请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2;(3)请写出A1、A2的坐标.20.(6分)如图,四边形ABCD中,AD=4,BC=1,∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,求CD的长.21.(2022浙江温州期末)(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,BE<BF.已知BE=CF.(1)求证:△ABE≌△ACF;(2)若点D在AF的延长线上,AD=AC,∠BAE=30°,∠BAD=75°,求证:AB∥DC.22.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF, BD=CE.(1)求证:△DEF是等腰三角形;(2)当∠A=44°时,求∠DEF的度数.23.(2018浙江绍兴中考)(8分)数学课上,张老师举了下面的例题:例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°) 张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:变式等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题;(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC 中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.24.(10分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB,点C为x轴正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD,连接DA并延长,交y轴于点E.(1)求证:OC=AD;(2)在点C的运动过程中,∠CAD的度数是否会变化?如果不变,请求出∠CAD的度数;如果改变,请说明理由;(3)当点C运动到什么位置时,以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形?参考答案1.C根据轴对称图形的定义可知,选项A中的图形不是轴对称图形,选项B中的图形不是轴对称图形,选项C中的图形是轴对称图形,选项D中的图形不是轴对称图形.故选C.2.B在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=70°,∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=1∠ABC=35°,2∴∠DBC=∠ACB,∴BD=CD,∴AD+BD=AD+CD=AC=8.故选B.3.B∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∴∠ACD=∠A=50°,又∵CD平分∠ACB,∴∠ACB=2∠ACD=100°,∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-50°-100°=30°,故选B.4.D图中共有等腰三角形3个.∵∠ADB=∠C+∠DBC,∠ADB=2∠C,∴∠DBC=∠C,∴△BCD是等腰三角形,∵∠ABD=2∠DBC,∴∠ABD=∠ADB,∴△ABD是等腰三角形,∵∠DBC=∠A,∴∠A=∠C,∴△ABC是等腰三角形,故选D.5.B满足条件的点P的位置如图所示,点P的坐标为(-2,3)或(3,2)或(-2,-2)或(0, -1),故选B.6.A设直线l与FG交于点O(图略),∵直线l为线段FG的垂直平分线,∴FO=GO,l⊥FG,∵EF=GH,∴EF+FO=GH+OG,即EO=OH,∴l为线段EH的垂直平分线,故选项A正确;∵EO≠OQ,∴l不是线段EQ的垂直平分线,故选项B错误;∵FO≠OH,∴l不是线段FH的垂直平分线,故选项C错误;∵l为直线,直线没有垂直平分线,∴EH不能平分直线l,故选项D错误.故选A.7.B ∵∠DBC=60°,∠C=90°,∴∠BDC=90°-60°=30°,∴BD=2BC=2×1=2, ∵∠C=90°,∠A=15°,∴∠ABC=90°-15°=75°, ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=75°-60°=15°, ∴∠ABD=∠A,∴AD=BD=2.故选B.8.C ∵△AFG 与△ABC 关于直线DE 成轴对称,∴△AFG ≌△ABC,∠GAE=∠CAE=10°,∴∠GAF=∠CAB,AB=AF,∵AB=AC,∠C=70°,∴∠ABC=∠ACB=70°,∴∠GAF=∠BAC=40°,∴∠BAF=40°+10°+10°+40°=100°,∵AB=AF,∴∠ABF=∠AFB=40°.故选C.9.D 由题意可得CA=CD,BA=BD,∴直线CB 是AD 的垂直平分线,即CE 垂直平分AD,故A 选项结论正确;∵AC=DC,CE ⊥AD,∴∠ACE=∠DCE,即CE 平分∠ACD,故B 选项结论正确;∵DB=AB,∴△ABD 是等腰三角形,故C 选项结论正确;∵AD 与AC 不一定相等,∴△ACD 不一定是等边三角形,故D 选项结论错误.故选D.10.D ∵在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O, ∴∠OBC=∠OBE,∠OCB=∠OCF,∵EF ∥BC,∴∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠FOC, ∴∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF, ∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF, 故A 选项结论正确;∵在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12(180°-∠A)=90°-12∠A,∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°+12∠A,故B 选项结论正确;过点O 作OM ⊥AB 于M,ON ⊥BC 于N,连接OA,如图,∵在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O,∴ON=OD=OM,∴点O 到△ABC 各边的距离相等,故C 选项结论正确;∵OD=m,∴ON=OD=OM=m,∴S △AEF =S △AOE +S △AOF =12AE ·OM+12AF ·OD=12OD ·(AE+AF)=12mn,故D 选项结论错误.故选D.11.(0,-2)解析∵点A(3,2)关于x轴的对称点为A1,∴A1(3,-2),∵将点A1向左平移3个单位得到点A2,∴点A2的坐标为(0,-2).12.3解析将其中一个小方格涂阴影,使整个图形为轴对称图形,这样的轴对称图形有3个,如图.13.12解析∵D为BC的中点,且BC=6,∴BD=12BC=3,由折叠的性质知NA=ND,则△DNB的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD=9+3=12.14.4解析过点D作DM⊥OB,垂足为M,如图所示.∵OC是∠AOB的平分线,DE⊥OA,∴DM=DE=2.在Rt△OEF中,∠OEF=90°,∠EOF=60°,∴∠OFE=30°,即∠DFM=30°.在Rt△DMF中,∠DMF=90°,∠DFM=30°,∴DF=2DM=4.故答案为4.15.54解析∵AF=EF,∴∠A=∠AEF,∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°,∴∠A=12×72°=36°,在Rt△ABC中,∠C=90°,∴∠B=90°-36°=54°.16.6解析如图,连接CE交AD于点F,连接BF,∵△ABC是等边三角形,∴BF=CF,∴BF+EF=CF+EF=CE,此时BF+EF的值最小,最小值为CE的长,∵D、E分别是△ABC中BC、AB边的中点,∴AD=CE,∵AD=6,∴CE=6,∴BF+EF的最小值为6.17.等边解析∵三角形ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,根据题意知点B和点C经过折叠后分别落在了点I和点H处,∴∠DIH=∠B=60°,∠GHI=∠C=60°,∴∠HJI=60°,∴∠DIH=∠GHI=∠HJI,∴阴影部分是等边三角形,故答案为等边.或1018.103解析分情况讨论:①当点P在OA上时,如图所示,△POQ是等腰三角形,PO=QO;∵PO=AO-AP=(10-2t)cm,OQ=t cm,.∴10-2t=t,解得t=103②当点P在射线OB上时,如图所示,△POQ是等腰三角形.∵∠BOC=60°,∴等腰△POQ是等边三角形,∴PO=QO.∵PO=AP-AO=(2t-10)cm,OQ=t cm,∴2t-10=t,解得t=10.故当t=103或t=10时,△POQ是等腰三角形.19.解析(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.(3)A1(2,3),A2(-2,-1).20.解析如图,延长AD交BC的延长线于点E.∵∠A=30°,∠B=90°,∴∠E=60°,AE=2BE,∵∠ADC=120°,∴∠EDC=60°,∴△EDC是等边三角形.设CD=CE=DE=x,∵AD=4,BC=1,∴AE=x+4,BE=x+1,∴2(x+1)=x+4,解得x=2,∴CD=2.21.证明(1)∵AB=AC,∴∠ABE=∠ACF,在△ABE 和△ACF 中,{AB =AC,∠ABE =∠ACF,BE =CF,∴△ABE ≌△ACF(SAS).(2)∵△ABE ≌△ACF,∴∠CAF=∠BAE=30°,∵AD=AC,∴∠ADC=∠ACD=75°,∴∠BAD=∠ADC,∴AB ∥CD.22.解析 (1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,在△DBE 和△ECF 中,{BE =CF,∠DBE =∠ECF,BD =CE,∴△DBE ≌△ECF(SAS),∴DE=EF,∴△DEF 是等腰三角形.(2)∵△DBE ≌△ECF,∴∠BDE=∠CEF,∠BED=∠CFE,∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=44°,∴∠B=12×(180°-44°)=68°,∴∠BDE+∠BED=112°,∴∠BED+∠CEF=112°,∴∠DEF=180°-112°=68°.23.解析 (1)当∠A 为顶角时,∠B=12×(180°-80°)=50°, 当∠A 为底角时,若∠B 为顶角,则∠B=180°-80°-80°=20°, 若∠B 为底角,则∠B=∠A=80°,∴∠B 的度数为50°或20°或80°.(2)分两种情况:①当90≤x<180时,∠A 只能为顶角,∴∠B 的度数只有一个.②当0<x<90时,若∠A 为顶角,则∠B=(180−x 2)°,若∠A 为底角,则∠B=x °或∠B=(180-2x)°,∴当180−x 2≠180-2x 且180−x 2≠x 且180-2x ≠x,即x ≠60时,∠B 有三个不同的度数.综上,当0<x<90且x ≠60时,∠B 有三个不同的度数.24.解析 (1)证明:∵△AOB,△CBD 都是等边三角形,∴OB=AB,CB=DB,∠ABO=∠DBC=60°,∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC,即∠OBC=∠ABD,在△OBC 和△ABD 中,{OB =AB,∠OBC =∠ABD,CB =DB,∴△OBC ≌△ABD(SAS),∴OC=AD.(2)点C 在运动过程中,∠CAD 的度数不会发生变化.理由如下: ∵△AOB 是等边三角形,∴∠BOA=∠OAB=60°,∵△OBC ≌△ABD,∴∠BAD=∠BOC=60°,∴∠CAD=180°-∠OAB-∠BAD=60°.(3)∵∠OAB=∠BAD=60°,∴∠OAE=180°-60°-60°=60°,∴∠EAC=120°,∠OEA=30°,∴以A,E,C 为顶点的三角形是等腰三角形时,AE 和AC 是腰, ∵A(1,0),∴OA=1,∵∠OEA=30°,∴AE=2OA=2,∴AC=AE=2,∴OC=OA+AC=1+2=3,∴当点C 的坐标为(3,0)时,以A,E,C 为顶点的三角形是等腰三角形.。
2022-2023学年人教版数学八年级上册第十三章《轴对称》单元测试
人教版数学八年级上册《第十三章轴对称》单元测试一、单选题（本大题共15小题，共45分）1.（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，-2）关于y轴的对称点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.（3分）如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE//AB，DF⊥AB，若AE=6，则DF等于()A. 2B. 3C. 4D. 63.（3分）直角坐标系中，点（-2，3）与（-2，-3）关于（）A. 原点中心对称B. x轴轴对称C. y轴轴对称D. 以上都不对4.（3分）一个等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是()A. 65°B. 70°C. 75°D. 100°5.（3分）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为()A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 12cm或15cm6.（3分）在等腰三角形ABC中，AB=AC，那么下列说法中不正确的是()A. BC边上的高线和中线互相重合B. AB和AC边上的中线相等C. 三角形ABC中∠B和∠C的角平分线相等D. 等腰三角形最多有一条对称轴7.（3分）2022年北京和张家口成功举办了第24届冬奥会和冬残奥会．下面关于奥运会的剪纸图片中是轴对称图形的是()A. B.C. D.8.（3分）下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是()A. 菱形B. 矩形C. 等腰梯形D. 正五边形9.（3分）若ΔABC是等边三角形，且点D、E分别是AC、BC上动点，始终保持CD=BE，不与顶点重合，则∠AFD的度数是()度．A. 30B. 45C. 60D. 无法确定10.（3分）下列图形中，是轴对称图形的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 411.（3分）点M（3，-4）关于x轴的对称点M′的坐标是（）A. （3，4）B. （-3，-4）C. （-3，4）D. （-4，3）12.（3分）ΔABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=3cm，则最长边AB的长为()A. 9cmB. 8cmC. 7cmD. 6cm13.（3分）点（5，-6）关于x轴的对称点的坐标是（）A. （-6，5）B. （-5，-6）C. （5，6）D. （-5，6）14.（3分）在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，则两对角线AC与BD的关系是()A. AC垂直平分BDB. BD垂直平分ACC. AC与BD互相垂直平分D. BD平分∠ADC15.（3分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”．将右图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，共15分）16.（3分）如图，在3×3的正方形网格中，网格纸的交点称为格点．已知A，B是两格点，C 也是图中的格点，且以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是________．17.（3分）已知点P(−1,2)，那么点P关于直线x=1的对称点Q的坐标是______.18.（3分）已知点P（a-1，5）和点Q（2，b-1）关于x轴对称，则（a+b）2012=____．19.（3分）有一三角形纸片ABC，∠A=80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是______．20.（3分）已知等腰三角形周长为12，一边长为5，则它另外两边差的绝对值是______.三、解答题（本大题共5小题，共40分）21.（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点ΔABC的顶点A、C的坐标分别为(−4,5)、(−1,3)．(1)请在图中正确作出平面直角坐标系；(2)请作出ΔABC关于y轴对称的ΔA′B′C′；(3)点B′的坐标为 ______ ，ΔA′B′C′的面积为 ______ ．22.（8分）如图，在平面直角坐标系中，A(1,3)，B(−4,1)，C(−3,−2)(1)画出ΔABC关于y轴对称的ΔA1B1C1；(2)ΔA1B1C1的面积是______；(3)在如图的网格中规定每个小正方形的顶点叫做格低，点D是第二象限内的格点，若ΔDBC是等腰三角形，则点D的坐标是______.23.（8分）在图示的方格纸中：(1)作出ΔABC关于MN对称的图形ΔA1B1C1;(2)说明ΔA2B2C2是由ΔA1B1C1经过怎样的平移得到的？(3)若方格的边长为1，求出四边形A1A2C2C1的面积．24.（8分）在等边ΔABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED.(1)如图1，若点E是AB的中点，求证：BD=AE；(2)如图2，若点E不是AB的中点时，(1)中的结论“BD=AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数理关系，若成立，请给予证明．25.（8分）如图1，等边ΔABC中，D是AB上一点，以CD为边向上作等边ΔCDE，连结AE．(1)求证：AE//BC；(2)如图2，若点D在AB的延长线上，其余条件均不变，(1)中结论是否成立？请说明理由．答案和解析1.【答案】C;【解析】∵点P（3，-2）关于y轴的对称点是（-3，-2），∴点P（3，-2）关于y轴的对称点在第三象限．故选C．2.【答案】B;【解析】解：如图，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DEG=∠DAE+∠ADE=15°+15°=30°，DE=AE=6，过D作DG⊥AC于G，则DG=12DE=12×6=3，∵DE//AB，∴∠BAD=∠ADE，∴∠BAD=∠CAD，∵DF⊥AB，DG⊥AC，∴DF=DG=3．故选：B．过D作DG⊥AC于G，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEG= 30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DG的长度是3，又DE//AB，所以∠BAD=∠ADE，所以AD是∠BAC的平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，得DF=DG．这道题主要考查三角形的外角性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟练掌握性质是解答该题的关键．3.【答案】B;【解析】解：点（-2，3）与（-2，-3）关于x轴轴对称．故选：B．4.【答案】A;【解析】解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°，∴底角=(180°−50°)÷2=65°．故选：A．等腰三角形中，给出了顶角为50°，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理直接求出底角，答案可得．这道题主要考查了等腰三角形的性质；等腰三角形中只要知道一个角，就可求出另外两个角，这种方法经常用到，要熟练掌握．5.【答案】C;【解析】解：(1)当3cm为腰时，因为3+3=6cm，不能构成三角形，故舍去；(2)当6cm为腰时，符合三角形三边关系，所以其周长=6+6+3=15cm．故选：C．题中没有指明哪个是底哪个是腰，则应该分两种情况进行分析，从而得到答案．该题考查了三角形三边关系与周长的求解．6.【答案】D;【解析】该题考查了等腰三角形的两腰相等，等边对等角，三线合一的性质以及轴对称图形的定义，是基础题型，比较简单．根据等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．(简称：等边对等角)；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)，和根据轴对称图形的对称轴的定义即可求解．解：A、BC边上的高线和中线互相重合，故本选项正确，不符合题意；B、AB和AC边上的中线相等，故本选项正确，不符合题意；C、三角形ABC中∠B和∠C的角平分线相等，故本选项正确，不符合题意；D、等腰三角形最多有3条对称轴，故本选项不正确，符合题意．故选D．7.【答案】D;【解析】解：A.不是轴对称图形，故A选项不符合题意；B.不是轴对称图形，故B选项不符合题意；C.不是轴对称图形，故C选项不符合题意；D.是轴对称图形，故D选项符合题意；故选：D.根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判定即可得出答案．此题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义进行求解是解决本题的关键．8.【答案】B;【解析】解：A、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故A选项错误；B、矩形，对边中点的所在的直线，只用一把无刻度的直尺无法画出，故B选项正确；C、等腰梯形，延长两腰相交于一点，作两对角线相交于一点，根据等腰梯形的对称性，过这两点的直线即为对称轴，故C选项错误；D、正五边形，作一条对角线把正五边形分成一等腰三角形与以等腰梯形，根据正五边形的对称性，过等腰三角形的顶点与梯形的对角线的交点的直线即为对称轴，故D选项错误．故选：B．针对各图形的对称轴，对各选项分析判断后利用排除法求解．这道题主要考查了轴对称图形的对称轴，熟练掌握常见多边形的对称轴是解答该题的关键．9.【答案】C;【解析】解：∵ΔABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABE=∠BCD，∠ABF+∠CBF=60°，在ΔABE和ΔBCD中，{AB=AC∠ABE=∠BCDCD=BE，∴ΔABE≌ΔBCD(SAS)，∴∠BAF=∠CBF，∴∠AFD=∠ABF+∠BAF=∠ABF+∠CBF=60°，故选：C.抓住题中“等边三角形的每个内角是60度”这一关键点入手，三角形全等后，再利用对应角相等进行等量代换，结合外角的知识，得出∠AFD的大小．此题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等边三角形的性质，外角等知识解决问题，体现数学的转化思想，培养学生的推理能力，综合应用能力．10.【答案】B;【解析】解：第一个图形、第三个图形是轴对称图形，共2个．故选：B.根据轴对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．11.【答案】A;【解析】点M（3，-4）关于x轴的对称点M′的坐标是（3，4）．故选A．12.【答案】D;【解析】解：设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，则k+2k+3k=180°，解得k=30°，2k=60°，3k=90°，∵最小边BC=3cm，∴最长边AB=2BC=2×3=6cm．故选D．根据比例设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，利用三角形内角和定理求出三个角，判断出ΔABC是直角三角形，并且有一个角是30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．该题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，利用“设k法”表示出三个角求解更加简便．13.【答案】C;【解析】解：点（5，-6）关于x轴的对称点的坐标是（5，6）．故选C．14.【答案】A;【解析】解：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线，∵BC=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线，∴AC垂直平分线段BD，故选：A.只要证明直线AC是线段BD的垂直平分线即可；此题主要考查线段的垂直平分线的判定，解答该题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型，本题也可以用全等三角形的知识解决问题．15.【答案】C;【解析】解：A.不是轴对称图形，故A选项不符合题意；B.不是轴对称图形，故B选项不符合题意；C.是轴对称图形，故C选项符合题意；D.不是轴对称图形，故D选项不符合题意；故选：C.根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判定即可得出答案．此题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义进行求解是解决本题的关键．16.【答案】8;【解析】该题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．解：如图，分情况讨论：①AB为等腰ΔABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰ΔABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故答案为8．17.【答案】（3，2）;【解析】解：设点Q的坐标为(x,y)，∵点P(−1,2)与点Q(x,y)关于直线x=1的对称，∴y=2，−1+x2=1，∴x=3，∴点Q的坐标为(3,2)，故答案为：(3,2).根据关于直线x=1的对称点的连线的中点在对称轴上，纵坐标相等进行解答．考查了坐标与图形变化−对称，熟练掌握轴对称的性质以及对称点的坐标关系是解答该题的关键．18.【答案】1;【解析】解：∵点P（a-1，5）和点Q（2，b-1）关于x轴对称，∴a-1=2，b-1=-5，解得a=3，b=-4，∴（a+b）2012=（3-4）2012=1．故答案为：1．19.【答案】25°或40°或10°;【解析】解：由题意知ΔABD与ΔDBC均为等腰三角形，对于ΔABD可能有①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−80°=100°，∠C=12(180°−100°)=40°，①AB=AD，此时∠ADB=12(180°−∠A)=12(180°−80°)=50°，∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−50°=130°，∠C=12(180°−130°)=25°，①AD=BD，此时，∠ADB=180°−2×80°=20°，∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−20°=160°，(180°−160°)=10°，∠C=12综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°．故答案为：25°或40°或10°．分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．该题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．20.【答案】0或3;【解析】解：∵等腰三角形的一边长为5，周长为12，∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5；当5为腰时，其它两边为5和2；∴另外两边差的绝对值是0或3.故答案为：0或3.已知给出的等腰三角形的一边长为5，但没有明确指明是底边还是腰，因此要分两种情况，分类讨论解答．此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．21.【答案】解：(1)(2)所作图形如图所示：(3)(2,1)；4;【解析】解：(1)(2)所作图形如图所示：(3)点B′的坐标为(2,1)，ΔA′B′C′的面积=3×4−12×2×4−12×2×1−12×2×3=4．故答案为：(2,1)，4．(1)根据点A、C的坐标作出直角坐标系；(2)分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接；(3)根据直角坐标系的特点写出点B′的坐标，求出面积．该题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出点A、B、C的对应点的坐标．22.【答案】172D1（-1，2），D2（-2，1），D3（-3，4）;【解析】解：(1)如图所示，ΔA1B1C1即为所求．(2)ΔA1B1C1的面积是5×5−12×5×2−12×1×3−12×5×4=172，故答案为：172.(3)如图所示，使ΔDBC是等腰三角形的点D的坐标为D1(−1,2)，D2(−2,1)，D3(−3,4)，故答案为：D1(−1,2)，D2(−2,1)，D3(−3,4).(1)分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；(2)利用割补法求解可得；(3)利用等腰三角形的概念结合网格求解可得．此题主要考查作图−轴对称变换，解答该题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．23.【答案】解：(1)如图所示：ΔA1B1C1，即为所求；(2)ΔA2B2C2是由ΔA1B1C1向右平移6个单位，再向下平移2个单位(或向下平移2个单位，再向右平移6个单位)得到的；(3)如图：四边形A1A2C2C1为平行四边形．则四边形A1A2C2C1的面积为：4×7−2[12×1×2+12(1+7)×2]=10，所以四边形A1A2C2C1的面积为10．; 【解析】该题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置以及变化情况是解答该题的关键．(1)根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；(2)根据平移的性质结合图形解答；(3)由作图可知四边形A1A2C2C1为平行四边形，根据平行四边形的面积计算公式即可．24.【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵点E是AB的中点，∴CE平分∠ACB，AE=BE，∴∠BCE=30°，∵ED=EC，∴∠D=∠BCE=30°．∵∠ABC=∠D+∠BED，∴∠BED=30°，∴∠D=∠BED，∴BD=BE．∴AE=DB．（2）解：AE=DB；理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形．∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠BED=∠ECF．在△DEB和△ECF中，{∠DEB=∠ECF ∠DBE=∠EFCDE=EC，∴△DEB≌△ECF（AAS），∴DB=EF，∴AE=BD．;【解析】(1)由等边三角形的性质得出AE=BE，∠BCE=30°，再根据ED=EC，得出∠D=∠BCE=30°，再证出∠D=∠DEB，得出DB=BE，从而证出AE=DB；(2)作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE=EF，再证明三角形全等，得出DB=EF，证出AE=DB.此题主要考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外角以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．25.【答案】证明：(1)∵ΔABC和ΔDCE是等边三角形，∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA−∠ACD=∠DCE−∠ACD，即∠BCD=∠ACE，在ΔBCD与ΔACE中，箼=AC∠BCD=∠ACE DC=EC,∴ΔBCD≌ΔACE(SAS)，∴∠B=∠CAE，∴∠B=∠CAE=∠ACB=60°，∴AE//BC；(2)成立，证明如下：∵同(1)可证ΔDBC≌ΔEAC，∴∠BDC=∠AEC，∵∠BCE+∠DCB=∠DCE=60°，∠BDC+∠DCB=∠ABC=60°，∴∠BCE=∠BDC，∴AE//BC．;【解析】【试题解析】这道题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是能证出∠B=∠CAE=∠ACB，熟练掌握三角形全等的判定与性质定理．(1)根据已知条件先证出∠BCD=∠ACE，再根据SAS证出ΔBCD≌ΔACE，得出∠B=∠CAE=∠ACB=60°，再根据平行线的判定即可证出AE//BC；(2)根据(1)证出的ΔDBC≌ΔEAC，得出∠BDC=∠AEC，由∠BCE+∠DCB=∠DCE=60°，∠BDC+∠DCB=∠ABC=60°，得出∠BCE=∠BDC，从而得到∠AEC=∠BCE，即可得出AE//BC．。
人教版八年级上册数学第13章《轴对称》测试题【含答案】
一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（）2．下列图形中对称轴只有两条的是（）3．如图1，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的（）A．轴对称性 B．用字母表示数C．随机性 D．数形结合4．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16 B．18C．20 D．16或205．如图2，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A′＝78°，∠C＝48°，则∠ABC的度数为（）A．48°B．54°C．74°D．78°6．图3是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是（）A．△ABD≌△ACDB．AF垂直平分线段EGC．连接BG，CE，其交点在AF上D．△DEG是等边三角形7．在平面直角坐标系ｘOｙ中，点P（-3，8）关于ｙ轴的对称点的坐标为（）A．（-3，-8）B．（3，8）C．（3，-8）D．（8，-3）8．如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，若将△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的点E处，则∠CED的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．70°二、填空题（每小题4分，共32分）9．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°，那么这个三角形是________三角形．10. 已知M，N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN的关系是________. 11．如图5，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝________．12．如图6，在△ABC中，AB＝AC＝3 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点N，交AB于点M.已知△BCN的周长是5 cm，则BC的长是________cm．13．如图7，A，B，C三个居民小区的位置呈三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在________________.14．如图8，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有________个.15．观察规律，并填空：16．如图9，O为△ABC内一点，O与D关于AB对称，O与E关于BC对称，O与F关于AC对称，∠BAC＝40°，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，则∠ADB＋∠BEC+∠CFA=_________.三、解答题（共64分）17．（9分）请在如图10所示的三个2×2的方格中各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）18．（8分）汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图11所示的三个汉字可以看成是轴对称图形，请在方框中再写出4个类似轴对称图形的汉字．19．（12分）如图12，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，D为BC上一点，BD＝AB，DE⊥BC，交AC于点E．（1）求证：△ADE是等腰三角形；（2）图中除△ADE是等腰三角形外，还有没有等腰三角形？若有，请一一写出来（不要求证明）；若没有，请说明理由．20．（11分）如图13，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小，在图中作出点P．21．（12分）如图14，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线DE交AB于点E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC的长．22．（12分）如图15，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE，则线段AE与BC有什么位置关系？请说明理由．第十三章轴对称测试题一、1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．B 8．D二、9．等边 10. 相等 11．80° 12．213. AB，BC，CA垂直平分线的交点处14. 6 15． 16. 360°三、17．解：答案不唯一，如图1所示．18．解：答案不唯一，如中、田、日、吕、呆等.19．（1）证明：因为BD＝AB，所以∠BAD＝∠BDA．因为DE⊥BC，所以∠BDE＝90°．又∠BAC＝90°，所以∠EAD＝∠EDA．所以AE＝DE，即△ADE是等腰三角形．（2）还有三个等腰三角形，△ABD、△ABC、△CDE．20．解：如图2，作点D关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求作．21．解：（1）因为DE垂直平分AC，所以CE＝AE，即△ACE是等腰三角形．所以∠ECD ＝∠A＝36°．（2）因为AB＝AC，∠A＝36°，所以∠B＝∠ACB＝（180°-36°）÷2=72°．因为∠ECD＝36°，所以∠BEC＝∠A+∠ECD=72°，即∠BEC＝∠B.所以BC＝CE＝5．22．解：AE∥BC.理由：因为△ABC和△DEC是等边三角形，所以BC＝AC，CD＝CE，∠ABC＝∠BCA＝∠ECD ＝60°．所以∠BCA－∠DCA＝∠ECD－∠DCA，即∠BCD＝∠ACE．在△ACE和△BCD中，AC＝BC，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，所以△ACE≌△BCD．所以∠EAC＝∠B＝60°.所以∠EAC＝∠ACB.所以AE∥BC．。
八年级数学上册《第十三章轴对称》单元检测卷及答案-人教版
八年级数学上册《第十三章轴对称》单元检测卷及答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．下列图标中轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A ．等腰三角形；B ．等边三角形；C ．直角三角形；D ．等腰直角三角形.3．如图，A 、B 在格点位置上，若要在所给网格中再找一个格点，使它与点A 、B 连成的三角形是轴对称图形，图中满足这样条件的格点共有（ ）个．A ．7B ．8C ．9D ．104．已知点 ()32P a +-，和点()4Q b ，关于x 轴对称，则b a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．149 D ．495．如图，△ABC 的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D ，E ，若∠BAC +∠DAE =150°，则∠BAC 的度数是（ ）A ．105B ．110C ．115D ．1206．如图，E 为ABC 内一点，BE 平分ABC ∠，AD BE ⊥垂足为点E ，交BC 于点D ，点D 恰好在AC 边的垂直平分线上，10BC =和6AB =，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，分别以ABC 的顶点A 和B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ．若643AB AC BC ===，，，则BCD 的周长为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．138．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠CAB ＝∠DAE ＝36°，AB ＝AC ，AD ＝AE.连接CD ，连接BE 并延长交AC ，AD 于点F ，G.若BE 恰好平分∠ABC ，则下列结论错误的是（ ）A ．∠ADC ＝∠AEB B ．CD ABC ．DE ＝GED ．CD ＝BE二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．已知等腰三角形的其中两边长分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为 ．10．如图，在△ABC 中，AB=AC ．以点C 为圆心，以CB 长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点D ，连结BD ．若∠A=28°，则∠CDB 的大小为 °．11．如图，△ABC 中，∠ABC=45°，AD 是∠BAC 的平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于F ，则∠CAF 的大小是 度．12．如图，点D 在ABC 内部DAB ≌EAC ，若添加一个条件： ．则ADE 是等边三角形．13．如图，已知：∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，AB ＝6，AC ＝4，则BE ＝ .三、解答题：（本题共5题，共45分）14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣1，5），B （﹣1，0），C （﹣4，3），在图中作出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1，并写出A 1点关于x 轴对称的点的坐标．15．如图，等腰 ABC 中， AB AC = 和 120BAC ∠=︒ ， AD AB ⊥ 交 BC 于点D 2AD = 求 BC 的长．16．如图，在ABC 中90C ∠=︒，AC 的垂直平分线分别交AC AB ，于点D ，M ．求证：点M 在BC 的垂直平分线上．17．如图， ABD 和 BCE 都是等边三角形，AE 与CD 相交于F ，连接BF ．（1）求证： AE CD = ；（2）求证：BF平分DFE．18．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F.（1）求证：△ABD≌△ACF；（2）若BD平分∠ABC，求证：CE＝12BD；（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数.参考答案：1．C 2．C 3．D 4．A 5．B 6．B 7．A 8．C9．1210．3811．4512．AD=DE 或∠EAD=60°或∠BAC=60°或AB=BC 等 13．114．解：△A 1B 1C 1如图所示；∵点A 1的坐标为（1，5）∴点A 1关于x 轴对称点的坐标（1，﹣5）．15．解：∵AB AC = 120BAC ∠=︒∴∠B =∠C =12(180°−∠BAC)=30°∵AD AB ⊥∴90BAD ∠=︒∴∠CAD =∠BAC −∠BAD =120°−90°=30°=∠C ∴CD =AD =2在 Rt △BAD 中 30B ∠=︒∴BD =2AD =4∴BC =BD +CD =4+2=6 ．16．证明：连接CM∵DM 是AC 的垂直平分线∴AM CM =∴A MCA ∠=∠∵90ACB ∠=︒∴9090A B MCA MCB ∠∠∠∠+=︒+=︒， ∴MCB B ∠=∠∴CM BM =∴点M 在BC 的垂直平分线上．17.（1）证明：∵ABD 和 BCE 都是等边三角形 ∴DB AB = BC BE = ∠DBA =∠CBE =60° ∴∠ABC +∠DBA =∠ABC +∠CBE即 DBC ABE ∠=∠ ，∴△DBC ≅△ABE(SAS)∴AE CD = ；（2）证明：过B 分别作CD 和AE 的垂线垂足分别为M 、N∵△DBC ≅△ABE∴∠BDM =∠BAN∵BM CD ⊥ BN ⊥AE∴∠DMB =∠ANB =90°又∵DB AB =∴△DMB ≅△ANB(AAS)∴BM BN =∵BM CD ⊥ BN ⊥AE∴BF 平分 DFE ∠18．（1）证明：∵∠BAC 是直角，CE ⊥BD∴∠BAC ＝∠CAF ＝∠BEC ＝90°∴∠CDE+∠DCE ＝90°，∠ABD+∠ADB ＝90°∵∠ADB ＝∠CDE∴∠ABD ＝∠ACF在△ABD 和△ACF 中 {∠BAD =∠CAF =90°AB =AC∠ABD =∠ACF∴△ABD ≌△ACF （ASA ）；（2）解：由（1）知 △ABD ≌ACF∴BD ＝CF∵BD ⊥CE ，BD 平分∠ABC∴BC ＝BF∵BD ⊥CE∴CE ＝EF∴CE ＝ 12 CF ＝ 12BD （3）解：∠AED 不变化理由：如图，过点A 作AG ⊥⊥CF 于G ，作AH ⊥BD 于H由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA）∴S△BAD＝S△CAF，BD＝CF∴BD•AH＝CF•AG，而BD＝CF∴AH＝AG∵AH⊥EB，AG⊥EG∴EA平分∠BEF∴∠BEA＝12∠BEG＝45°即：∠AED不变化.。
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第十三章 轴对称 单元测试答题时间:120 满分:150分一、选择题 （每题3分，共30分。
每题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填在下面的表格中）1、下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（ ）A ：B ：C ：D ： 2、如图所示，共有等腰三角形（ ）A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个3、若等腰三角形一边长为5,另一边长为6，则这个三角形的周长是（ ）A 18或15B 18C 15D 16或17 4、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝，则斜边的长为（ ）A ：2 ㎝B ：4 ㎝C ：6 ㎝D ：8㎝ 5、下列说法正确的是( )A ：等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B ：顶角相等的两个等腰三角形全等C ：等腰三角形的两个底角相等D ：等腰三角形一边不可以是另一边的二倍6、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）A ：11cmB ：7.5cmC ：11cm 或7.5cmD ： 以上都不对 7、如图：DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则∆EBC 的周长为（ ）厘米A ：16B ：18C ：26D ：288、如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）A ：90°B ： 75°C ：70°D ： 60°9、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是 （ ）CEBDACAFEA ：75°或15°B ：75°C ：15°D ：75°和30° 10、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论：①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个 二、填空题（每题3分，共30）11、在数字0、2、4、6、8中是轴对称图形的是 ； 12、等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是__________度；13、等腰三角形的一边长是6，另一边长是3，则周长为________________； 14、等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为 ；15、如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB ＋BC=12㎝，则AB= ㎝；16、如图：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的 实际时刻是________；17、如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15， 则△PMN 的周长为 ；18、点E （a,－5）与点F （－2,b ）关于y 轴对称，则a= ，b= ；19、在△ABC 是AB ＝5，AC ＝3，BC 边的中线的取值范围是 。
则顶角的度数为 ；20、如图：是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点, 立柱BC 、DE 垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°, 则DE 等于 ； 三、解答题（共36分）21、画图题（每题6分，共12分）（1）如图：A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所lOCBDA CBAP2P 1P NMOBA修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）（2）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M ，N 表示大学，AO ，BO 表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等。
你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；22.解答下列各题（共12分）（1）如图，写出△ABC △ABC 关于X 轴对称的△A 2B 2C 2的各点坐标。
（6（2）若3230a b -+-=，求P(－a,b)关于y 23、（6分）如图：在△ABC 中，∠B=90°，24、（6分）如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE=EF=FC 的道理。
三、（每题10分，共30分）25、如图：△ABC 和△ADE 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线。
求证：BE=DB 。
26、如图12，在∠ABC 内有一点P ，问： (1)能否在BA 、BC 边上各找到一点M 、N ，使△PMN 的周长最短，若能，请画图说明，若不能，说明理由.(2)若∠ABC=40°，在(1)问的条件下，能否求出∠MPN 的度数？若能，请求出它的数值.若不能，请说明原因.27、如图：E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE 。
求证：△ABC 是等腰三角形。
五、解答题（每题12分，共24分）28.如图，在平面直角坐标系中，直线l 实验与探究：(1) 由图观察易知A （0，2）关于直线l 点A '的坐标为（2，0），请在图中分别标明B (5，3) 、C (－2，5) 关于直线l 的对称点B '、C 的位置，并写出他们的坐标:B ' 、C ' ；归纳与发现：(2) 结合图形观察以上三组点的坐标，你会 发现：坐标平面内任一点P (a ，b )关于第一、三象ABADCE限的角平分线l的对称点P 的坐标为（不必证明）；运用与拓广：(3)已知两点D(1，－3)、E(－1，－4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小。
29．如图１，以ABC△的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，（1）试判断ABC△面积之间的关系，并说明理由．△与AEG（2）园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？参考答案一、选择1－5 AADBC 6－10 CBDDC二、填空11. 0.8 12. 120 13. 15 14. 500，800或650，650 15. 8cm16. 9：30 17. 15 18. a= -2, b= 5 19. 1<x<4 20. 2m三、21第一问:我们把靠近蓄水池的河岸记为直线L(如图).作法:(1)取点B关于直线L的对称点B';(即作BO垂直直线L于O,再在BO的延长线上截取OB'=OB)(2)连接AB',交直线L于C.则点C就是要求作的点.(即点C就是抽水站的位置)第二问:【分析】先连接MN ，根据线段垂直平分线的性质作出线段MN 的垂直平分线DE ，再作出∠AOB 的平分线OF ，DE 与OF 相交于P 点，则点P 即为所求。
【解答】解：如图所示：（1）连接MN ，分别以M 、N 为圆心，以大于1/2AB 为半径画圆，两圆相交于DE ，连接DE ，则DE 即为线段MN 的垂直平分线；（2）以O 为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA 、OB 于G 、H ，再分别以G 、H 为圆心，以大于1/2GH 为半径画圆，两圆相交于F ，连接OF ，则OF 即为∠AOB 的平分线；（3）DE 与OF 相交于点P ，则点P 即为所求。
22．（1）A(-3,2) B(-4,-3) C(-1,-1) 画图略A 2(-3,-2) B 2(-4, 3) C 2(-1, 1)（2）p ’(3,32)23. 22.50 24.1）O 点垂直BC 画一条辅助线，垂足为P 2）连接OE ，OF ，这两条辅助线3）有条定理：任意一条线段的中垂线，它上面的任意一点到线段的两个端点的距离是相等的。
以上是准备工作。
4）根据第3）点，那么我们可以得知，BE=OE5）在三角形BEO 中，根据第4）点，很容易就可以证明∠OBE=∠BOE=30°（因为BO 是角平分线）6）根据第1）点，我们的OP 是垂直于BC 的，那么△OBP 实际上是一个直角三角形，且一个角为30°，那么很容易就可以知道∠BOP=60° 7）由5）和6），可以得知∠EOP=30°，且同理∠FOP=30°，两角一加，∠EOF=60° 8）在三角形EOP 中，由7）可以知道∠OEP=60°，同理∠OFP=60°。
9）在三角形OEF 中，不就得到三个角都是60°了嘛。
所以三角形OEF 是个等边三角形。
这样就简单了。
10）BE=OE （第3点），OE=EF ，所以BE=EF ，同理CF=EF 。
结论：BE=EF=FC 25.解：∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，AD 为BC 边上的中线， ∴AE=AD ，D 为∠BAC 的角平分线，即∠CAD=∠BAD=30°， ∴∠BAE=∠BAD=30°，在△ABE和△ABD中，{AE=AD∠BAE=∠BADAB=AB，∴△ABE≌△ABD（SAS），∴BE=BD．26. ②能100027. 提示：过点D作DG∥AE交BC于G。
五、28. ①B’(3,5) C’(5,-2)②P’(b,a)③Q(-2,-2)29.(1)提示：分别作ABC△的AC、AG边上的高BM，EN。
通过全等证BM＝△与AEGEN，根据等底等高证得面积相等。
（2）a+2b。