初中几何变换思想之翻折

初中几何变换思想之翻
折
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中考汇编几何变换之翻折
1．（2016山东省枣庄市）如图，△ABC 的面积为6，AC =3，现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的C ′处，P 为直线AD 上的一点，则线段BP 的长不可能是（ ）
A ．3
B ．4
C ．
D ．10
2．（2015常州）将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ）
A ．338cm 2
B ．8cm 2
C ．33
16cm 2 D ．16cm 2 3．（2016江苏省淮安市）如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 ．
4．（2014年湖北天门学业3分）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和为 ▲ ．
5．（2014年四川凉山5分）如图，圆柱形容器高为18cm ，底面周长为24cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点B 处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外币A 处到达内壁B 处的最短距离为 ▲ ．
6．（2014年江苏盐城12分）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB =AC ，点P 为边BC 上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．求证：PD +PE =CF ．
小军的证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD +PE =CF ．
小俊的证明思路是：如图2，过点P 作PG ⊥CF ，垂足为G ，可以证得：PD =GF ，PE =CG ，则PD +PE =CF ．
【变式探究】如图3，当点P 在BC 延长线上时，其余条件不变，求证：PD ﹣PE =CF ； 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若
AD=8，CF=3，求PG+PH的值；（注：矩形即小学学过的长方形，对边平行且相等、四个角是直角）
【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，
ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，（且ADCE=DEBC，AB=，AD=3dm，
．改编为）∠A=∠ABC，AB=20dm ，AD=11dm ，BD=13dm．M、N分别为AE、BE 的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．
7、如图,△ABC中,∠C=90°,CA=CB,点M在线段AB上,∠GMB=1/2∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H.若MH=8cm，则BG=___cm.
8、如图，M、N是正方形ABCD边AB、CD上两动点，连接MN，将四边形BCNM沿MN折叠，使点B落在AD边上点E处、点C落在点F.（提示：正方形四边平行且相等，四个角是直角）
(1)求证：BE平分∠AEF；
(2)求证：C△EDG=2AB(注：C△EDG表示△EDG的周长)
9、在四边形ABDE中，C是BD边的中点。

(1)如图(1),若AC平分∠BAE,∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为
___;(直接写出答案)
(2)如图(2),AC平分∠BAE,EC平分∠AED,若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系写出结论并证明；
(3)如图(3),BD=8,AB=2,DE=8,若ACE=135°,则线段AE长度的最大值是___(直接写出答案).
10. 问题：如图①,在△ABC中,D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2.求BD的长。

(1)请你回答：图中BD的长为___；
(2)参考（1）的思路,探究并解答问题：如图②,在△ABC中,D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长。

答案
1、【解析】如图：
过B作BN⊥AC于N，B M⊥AD于M，∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′
处，∴∠C′AB=∠CAB，∴BN=B M，∵△ABC的面积等于6，边AC=3，∴1
2
×AC×BN=6，∴BN=4，
∴B M=4，即点B到AD的最短距离是4，∴BP的长不小于4，即只有选项A的3不正确，故选A．考点：翻折变换（折叠问题）．
2、试题分析：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，∵∠BAC=90°∠ACB=45°，∴AB=AC=4cm，∴
S△ABC=1
2
×4×4=8cm2．故选B．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．最值问题．
3、提示：过F点作FM⊥AB，垂足为M，连FB，利用面积法S△ABC=S△FBC+S△FBA求出FM再减FP既得答案为：．
考点：翻折变换（折叠问题）．
4、∵将正方形ABCD沿直线EF折叠，
∴AG=HG，AD=H M，DN=M N．
∵正方形ABCD的边长为2，
∴4个阴影三角形的周长之和=正方形ABCD的周长=8．
5、如答图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离．
根据勾股定理，得2222
A B A D BD121620
'='+=+=（cm）．
6、【答案】解：【问题情境】证明：如图②，连接AP，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴111
AB CF AB PD AC PE 222
⋅=⋅+⋅．
∵AB=AC，∴CF=PD+PE．
【变式探究】证明：如答图1，连接AP．∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
且S△ABC=S△ABP﹣S△ACP，
∴111
AB CF AB PD AC PE 222
⋅=⋅+⋅．
∵AB=AC，
∴CF=PD﹣PE．
【结论运用】如答图2，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．
∵AD=8，CF=3，∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5．
由折叠可得：D F=BF，∠BEF=∠DEF．
∴DF=5．
∵∠C=90°，
∴2222
=-=-=．
DC DF CF534
∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．
∴四边形EQCD是矩形．∴EQ=DC=4．
∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB．
∵∠BEF=∠DEF，∴∠BEF=∠EFB．∴BE=BF．
由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ，∴PG+PH=4．
∴PG+PH的值为4．
【迁移拓展】如答图3，延长AD、BC交于点F，作BH⊥AF，垂足为H，∵∠A=∠CBE．∴FA=FB．
由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH．
设DH=x dm，则AH=AD+DH=（11+x）dm．
∵BH⊥AF，∴∠BHA=90°．
∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2．
∵AB=20dm，AD=11dm，BD=13dm，
∴132﹣52=202﹣（11+x）2解得：x=5．
∴BH2=BD2﹣DH2=144．∴BH=12．∴ED+EC=12．
∵∠ADE=∠BCE=90°，且M、N分别为AE、BE的中点，
∴DM=E M=1
2
AE，CN=EN=1
2
BE．
∴△DE M与△CEN的周长之和=DE+DM+E M+CN+EN+EC=DE+AE+BE+EC
=DE+AB+EC=DE+EC+AB=12+20=32．
∴△DE M与△CEN的周长之和为32dm．
【考点】1．四边形综合题；2．折叠对称的性质；3．等腰三角形的判定和性质；4．直角三角形斜边上的中线性质；5．勾股定理；6．矩形的判定和性质； 7．方程思想的应用．
7、提示：将△BMG沿MG翻折
8、提示：过B点作EF的垂线、连结BG
9、提示：沿AC翻折△ABC、沿CE翻折△CDE
10、提示：①沿AC翻折△ADC并连接DD′，②沿AC翻折△ADC并连接DD′，再沿AD翻折△
ADB，连接BB′。