概率论与数理统计习题解答(第4章)主编徐雅静

第4章习题答案

三、解答题

1. 设随机变量X

求)(X E ，)(2

X E ，)53(+X E ．

解：E (X ) =

∑∞

=1

i i

xp

= ()2-4.0⨯+03.0⨯+23.0⨯= -0.2

E (X 2

) =

∑∞

=1

2

i i p x

= 44.0⨯+ 03.0⨯+ 43.0⨯= 2.8

E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3()2.0-⨯+5 = 4.4

2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望． 解：记掷1颗骰子所掷出的点数为X i ，则X i 的分布律为

6,,2,1,6/1}{ ===i i X P

记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (X i ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=28

3. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p 1，借阅乙种图书的概率为p 2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的． (1) 某天恰有n 个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望．

(2) 某天恰有n 个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望． 解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X ，则X~B (n , p 1),所以E (X )= n p 1 (2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y ~B (n , p ),

记A ={借甲种图书}， B ={借乙种图书}，则p =｛A ∪ B ｝= p 1+ p 2 - p 1 p 2 所以E (Y )= n (p 1+ p 2 - p 1 p 2 )

4. 将n 个考生的的录取通知书分别装入n 个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X 表示n 个考生中收到自己通知书的人数，求E (X )．

解：依题意，X~B (n ，1/n )，所以E (X ) =1.

5. 设)(~λP X ，且}6{}5{===X P X P ，求E (X )． 解：由题意知X ～P （λ），则X 的分布律P {}k X ==

λ

λ-e k k

!

，k = 1,2,...

又P {}5=X =P {}6=X , 所以

λλ

λλ--=

e e

!

6!

56

5

解得

6=λ，所以E (X ) = 6.

6. 设随机变量X 的分布律为,,4,3,2,1,6

}{2

2 --===k k

k X P π问X 的数学期望是否存在？

解：因为级数∑∑∑∞

=+∞

=+∞

=+-=-=⨯

-1

1

21

2112211)1(6)6)1(()6)1((k k k k k k k

k k k πππ， 而

∑∞

=1

1

k k 发散，所以X 的数学期望不存在.

7. 某城市一天的用电量X （十万度计）是一个随机变量，其概率密度为

⎪⎩⎪⎨⎧>=-.0

,0,9

1)(3

/其它x xe x f x 求一天的平均耗电量．

解：E (X ) =⎰⎰⎰∞

-∞

-∞

∞-==0

3/203/9191)(dx e x dx xe x

dx x f x x x =6.

8. 设某种家电的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为

⎪⎩⎪⎨⎧>-=.0

,5,25

1)(2

其它x x x F

求这种家电的平均寿命E (X )．

解：由题意知，随机变量X 的概率密度为)()(x F x f '=

当x >5时，=)(x f 33

50

252x

x =⨯--

，当x ≤5时，=)(x f 0. E (X ) =10|5050)(5-53=-==∞

++∞∞+∞⎰⎰x

dx x x dx x xf

所以这种家电的平均寿命E (X )=10年.

9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X 的概率密度为

⎩

⎨

⎧<<-=.0,

10,)1(42)(5其它x x x x f 求X 的数学期望E (X )．

解：E (X ) =

dx x x dx x xf ⎰

⎰+∞

∞

-=-1

52)1(42)(=1/4

10. 设随机变量X 的概率密度如下，求E (X )．

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=.010,)1(2

3

01)1(23)(22

其它，，，，x x x x x f

解：0)1(102

3)1(0123)()(2

2=-++-=+∞∞-=⎰⎰⎰dx x x dx x x dx x xf X E .

1

11. 设),4(~p B X ，求数学期望)2

(sin

X E π． 解：X 的分布律为k n k

k n p p C k X P --==)1(}{， k = 0，1，2，3，4，

X 取值为0，1，2，3，4时，2

sin

X π相应的取值为0，1，0，-1，0，所以 )21)(1(4)1(1)1(1)2

(sin

13

343114p p p p p C p p C X E --=-⨯--⨯=π

12. 设风速V 在(0，a )上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数：

2

kV W =，（k > 0，常数），求W 的数学期望．

解：V 的分布律为⎪⎩

⎪⎨

⎧<<=其它 ,00 ,1

)(a v a v f ，所以 ===+∞∞-=⎰⎰a

a v a k dv a kv dx v f kv W E 03022|)31(1)()(23

1ka

13. 设随机变量(X ,

求E (X )，E (Y )，E (X – Y )．

解：E (X )=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E (Y )=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E (X -Y ) = E (X )- E (Y )=1/2-3/4= -1/4.

14. 设随机变量(X ，Y )具有概率密度⎩⎨⎧≤+≤≤≤≤=其它,

01

,10,10,24),(y x y x xy y x f ，求

E (X )，E (Y )，E (XY )

解：E (X )=

⎰⎰⎰⎰-=⋅1

10

2

2424x

D

ydydx x xydxdy x dx x x ⎰-⋅=1

02

2)1(2124dx x x x ⎰+-=10432)2412(52)51264(1

543=+-=x x x