新有理数的意义及相关知识
有理数 基础知识详解
有理数目录一、有理数的意义二、数轴与相反数三、绝对值四、有理数的加减法五、有理数的乘除六、有理数的乘方及混合运算七、科学记数法与近似数八、《有理数》全章复习与巩固一、有理数的意义要点梳理【学习目标】1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3.掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【要点梳理】要点一、正数与负数像+3、+1.5、12+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．要点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．二、数轴与相反数要点梳理【学习目标】1．理解数轴的概念及三要素；2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；3．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；4.掌握多重符号的化简.【要点梳理】要点一、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．2.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如 .要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.要点二、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.要点三、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4.要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数－数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3.作差法：设a、b 为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．4.求商法：设a、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立．若a、b 为任意负数，则与上述结论相反．5.倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.四、有理数的加减法要点梳理【学习目标】1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a 加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号．要点二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．要点诠释：将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.五、有理数的乘除要点梳理【学习目标】1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2.理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3.巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；4.培养观察、分析、归纳及运算能力.【要点梳理】要点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点诠释：(1)不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2.有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3.有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．要点二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12-，-2和12-是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2.有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即1(0) a b a bb÷=≠.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．六、有理数的乘方及混合运算要点梳理【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3.进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：n a a a a n ⋅⋅⋅= 个.在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数.要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．七、科学记数法与近似数要点梳理【学习目标】1.理解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示一个较大的数；2.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度；3.体会近似数在生活中的实际应用.【要点梳理】要点一、科学记数法把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，l≤|a |＜10，n 是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝74.210⨯.要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如-3000=3310-⨯；（2）把一个数写成10n a ⨯形式时，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少1.要点二、近似数及精确度1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.2.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米.八、《有理数》全章复习【学习目标】1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4.理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用；5.体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态0C表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如 ．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a 的绝对值记作a ．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．要点二、有理数的运算1．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·1b(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：2(3)9-=，3(3)27-=-．2．运算律：（1）交换律:①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；（2）结合律:①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=5210 ．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.。
有理数意义及相关概念
有理数意义及相关概念课前回顾【知识要点回顾】1．负数的出现：像3、21、0.8这样的大于0的数，叫做 ，为强调正数,前面可以加上“ ”号；像－3、－21、－0.8这样在正数的前面加上“ ”号的数，叫做 。
即不是正数也不是负数，同时 都大于0， 都小于0， 是正数和负数的分界。
2．相反意义的量：如果用正数表示某种意义的量，那么负数就表示其 意义的量。
3．有理数的分类： ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负有限循环小数负有限小数负分数正无限循环小数正有限小数正分数分数负整数零正整数整数有理数 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 4.若用字母a 来表示一个数，则有①0>a 时，a 为正数，－a 为②0<a 时，a 为负数，－a 为③0≥a 时，a 为④0≤a 时，a 为5．数轴的定义：规定了 、 和 的直线叫做数轴。
单位长度可视不同的要求而定，同时要注意单位长度和长度单位的区别。
6．数轴的画法：数轴的画法可分为四个步骤：①画直线②定原点③确定正方向（通常规定为向右）④确定单位长度，标注数字。
7．利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大，因此：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
【实战训练】1．下面说法正确的是( )A 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示出来B 数轴上右边的数表示正数,左边的数表示负数C 数轴上离开原点距离越远的点所表示的数越大D 1是最小的正整数2.有理数的集合是( )A 正数和负数的集合B 正整数、负整数与分数的集合C 整数与分数的集合D 整数与负数的集合3.（1）如果规定支出120元记作－120元，那么收入200元记作 。
(2)一种零件的长在图纸上标出为：50±0.01（单位：mm ），表示这种零件的长应是50mm ，加工要求最大不超过 ，最小不大于 。
有理数基础知识讲解
有理数基础知识讲解【学习目标】1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用.5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态00C表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作a ．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．要点二、有理数的运算1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a ·1b(b ≠0) ． (0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9-=， 3(3)27-=-．2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210⨯．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.【典型例题】类型一、有理数相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全.【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.举一反三：【变式】(1)321-的倒数是 ；321-的相反数是 ；321-的绝对值是 . -（-8）的相反数是 ；21-的相反数的倒数是_____.(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 .(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m ／min.(4) 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则=++)(323b a cd ____ .(5) 近似数0.4062精确到 位，近似数 5.47×105精确到 位，近似数3.5万精确到 位， 3.4030×105精确到千位是 .【答案】（1）35-； 213； 213；-8；2 （2）降价5.8元，70.2 元；（3）33.7510⨯；（4）3；（5）万分；千；千；3.40×1052．（2020春•射洪县月考）如果|x+3|+|y ﹣4|=0，求x+2y 的值．【思路点拨】根据非负数的性质，可求出x 、y 的值，然后将x 、y 的值代入代数式化简计算即可．【答案与解析】解：∵|x+3|+|y ﹣4|=0，∴x+3=0，y ﹣4=0，解得，x=﹣3，y=4，x+2y=﹣3+4×2=5．【总结升华】本题考查了绝对值的性质和非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．3．在下列两数之间填上适当的不等号：20052006________20062007． 【思路点拨】根据“a-b ＞0，a-b ＝0，a-b ＜0分别得到a ＞b ，a ＝b ，a ＜b ”来比较两数的大小．【答案】＜【解析】法一：作差法 由于20052006200520072006200610200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯，所以2005200620062007<法二：倒数比较法：因为2006112007112005200520062006=+>+= 所以2005200620062007< 【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．举一反三：【变式】比较大小：(1)199-________0.001； (2)23-________-0.68 【答案】（1）＜ （2）＞类型二、有理数的运算4．（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|（3）()1526061215⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（4）()()5410.751252⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（5）231111312112132442434(0.2)⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【答案与解析】 解：（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）=﹣12﹣5﹣14+39=﹣31+39=8（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|=﹣9÷9﹣6+4=﹣1﹣6+4=﹣3（3）()1526061215⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=×60﹣×60﹣×60=10﹣25﹣8=﹣23（4）()()5410.751252⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=﹣×[（﹣）÷（﹣）﹣32]=﹣×[2﹣32]=﹣×[﹣30]=24（5）231111312112132442434(0.2)⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3124575512416543415⎛⎫⎛⎫=⨯-++-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭14575524242412540434⎛⎫=-+⨯+⨯-⨯+ ⎪⎝⎭ 12705633012540=-++-+ 1121403912040=-+= 【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．举一反三：【变式】（2014秋•埇桥区校级期中）﹣33×（﹣5）+16÷（﹣2）3﹣|﹣4×5|+（﹣0.625）2．【答案】解：原式=﹣27×（﹣5）+16÷（﹣8）﹣|﹣20|+02=135﹣2﹣20+0=113．类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1的大小关系．A ．-a ＜a ＜1B ．1＜-a ＜aC ．1＜-a ＜aD ．a ＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y 的值．（3）转化思想：计算：3135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭ 【答案与解析】解：（1）将-a 在数轴上标出，如图所示，得到a ＜1＜-a ，所以大小关系为：a ＜1＜-a ． 所以正确选项为：D ．（2）因为| x|＝5，所以x 为-5或5因为|y|＝3，所以y 为3或-3．当x ＝5，y ＝3时，x-y ＝5-3＝2当x ＝5，y ＝-3时，x-y ＝5-(-3)＝8当x ＝-5，y ＝3时，x-y ＝-5-3＝-8当x ＝-5，y ＝-3时，x-y ＝-5-(-3)＝-2故（x-y ）的值为±2或±8（3）原式=33135(7)357724614142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．举一反三：【变式】若a 是有理数，|a|-a 能不能是负数?为什么?【答案】解：当a ＞0时，|a|-a ＝a-a ＝0；当a ＝0时，|a|-a ＝0-0＝0；当a ＜0时，|a|-a ＝-a-a ＝-2a ＞0．所以，对于任何有理数a ，|a|-a 都不会是负数．类型四、规律探索6．将1，12-，13，14-，15，16-，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】1200- 【解析】 认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是1210；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是1210-，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是1200-． 【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．。
有理数-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(人教版)(解析版)
有理数【知识梳理】1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．2、有理数的分类：①按整数、分数的关系分类：有理数；②按正数、负数与0的关系分类：有理数．注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．【考点剖析】一、有理数的意义一、单选题1．（2022秋·广东河源·七年级校考期末）下列结论正确的是（）A．有理数包括正数和负数B．有理数包括整数和分数C．0是最小的整数D．两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数也相等【答案】B【分析】根据有理数的相关联的知识点分析判断即可．【详解】∵有理数包括正有理数，零和负有理数，∴A错误，不符合题意；∵有理数包括整数和分数，∴B正确，符合题意；∵没有最小的整数，∴C错误，不符合题意；∵两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数相等或互为相反数，∴D错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了有理数的相关概念，正确理解相关概念是解题的关键．【答案】C【分析】根据整数和分数统称为有理数，判断即可．【详解】解：A、1.21是有理数，故此选项不符合题意；B、2−是有理数，故此选项不符合题意；C、2π不是有理数，故此选项符合题意；D、12是有理数，故此选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的概念，解题的关键是掌握整数和分数统称为有理数，注意有限小数或无限循环小数是有理数．【答案】C【分析】根据有理数的概念进行判别即可．【详解】解：5，32−，103003，211，0，0.12−，是有理数，共6个，2π−是无理数，故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是解题的关键．0.35，有理数有【答案】5【分析】根据有理数的概念进行判断即可．【详解】解：有理数包括整数和分数，∴是有理数的有221.2,020%0.357−，，，，共5个 故答案为：5【点睛】本题主要考查有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是解决本题的关键． 0.13，117−，0.1010010001（相邻两个【答案】3【分析】根据有理数的概念解答即可．有理数的概念：整数和分数统称为有理数．【详解】解：在 3.5+，0.13，117−，2π，0.1010010001（相邻两个1之间依次增加1个0）中，有理数有 3.5+，0.13，117−，共3个． 故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的概念是解题的关键．6．（2022秋·河北邯郸·七年级统考期中）一个九位数，最高位上是最大的一位数，千万位上是5，十万位上是最小的合数，百位上是最小的质数，其余各位都是0，这个数写作_______．【答案】950400200【分析】根据最大的一位数是9，千万位上是5，最小的合数是4，最小的质数是2，其余各位都是0即可解答．【详解】解：∵最大的一位数是9，千万位上是5，最小的合数是4，最小的质数是2，其余各位都是0， ∴这个数是950400200．故答案为：950400200．【点睛】本题考查的是有理数，熟知最小的合数是4，最小的质数是2是解题的关键．一、单选题 1．（2023秋·广西河池·七年级统考期末）下列说法错误的是（ ）A ．0既不是正数，也不是负数B ．零上4摄氏度可以写成4C +︒，也可以写成4C ︒C ．若盈利100元记作100+元，则20−元表示亏损20元D ．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示【答案】D【分析】根据0的特征、正负数的意义和相反意义的量进行判断即可．【详解】解：A ．0既不是正数，也不是负数，故选项正确，不符合题意；B ．零上4摄氏度可以写成4C +︒，也可以写成4C ︒，故选项正确，不符合题意；C ．若盈利100元记作100+元，则20−元表示亏损20元，故选项正确，不符合题意；D ．规定向正北走用正数表示，向正南走才用负数表示，故选项错误，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了0的特征、正负数的意义和相反意义的量，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．2．（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考阶段练习）下列语句正确的是（ ）①一个数前面加上“−”号，这个数就是负数；②如果a 是正数，那么a −一定是负数；③一个有理数不是正的就是负的；④0︒表示没有温度；A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】B【分析】根据正负数的定义和0的意义进行逐一判断即可．【详解】解：①一个正数前面加上“−”号，这个数就是负数，说法错误；②如果a 是正数，那么a −一定是负数，说法正确；③0是有理数，但是0既不是正数也不是负数，说法错误；④0︒表示有温度，说法错误；故选B ．【点睛】本题主要考查了正负数的定义和0的意义，熟知相关知识是解题的关键．3．（2022秋·全国·七年级专题练习）下面关于0的说法：（1）0是最小的正数；（2）0是最小的非负数；（3）0既不是正数也不是负数；（4）0既不是奇数也不是偶数；（5）0是最小的自然数；（6）海拔0m就是没有海拔．其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】0既不是正数也不是负数，是最小的非负数，最小的自然数，是偶数，判断即可得到结果．【详解】解：（1）0是最小的正数，错误，0不是正数也不是负数；（2）0是最小的非负数，正确，非负数即为正数与0；（3）0既不是正数也不是负数，正确；（4）0既不是奇数也不是偶数，错误，0是偶数；（5）0是最小的自然数，正确；（6）海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同；则正确的说法有3个．故选：D．【点睛】此题考查了有理数的分类和意义，掌握有理数的分类和0的意义是解本题的关键．4．（2022秋·河北保定·七年级统考期中）下面关于0的说法，正确的是（）A．0既不是正数也不是负数B．0既不是整数也不是分数C．0不是有理数D．0的倒数是0【答案】A【分析】依据倒数，有理数相关概念以及有理数分类判断即可．【详解】A．0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，符合题意；B．0是整数，不是分数，故此选项错误，不符合题意；C．0是有理数，故此选项错误，不符合题意；D．0不存在倒数，故此选项错误，不符合题意．故选A．【点睛】本题考查了有理数，0是重要的数字，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键．5．（2022秋·天津北辰·七年级统考期中）下列说法正确的是（）A．1是最小的正数B．﹣1是最大的负数C．绝对值等于本身的数是0D．0既不是正数也不是负数【答案】D【分析】根据正数、负数的概念，绝对值的意义分析判断即可．【详解】解：A、0是正数和负数的分界点，大于0的数都是正数，故1不是最小的正数，本选项不符合题意；B、0是正数和负数的分界点，小于0的数都是负数，故﹣1不是最大的负数，本选项不符合题意；C、0和正数的绝对值都等于本身，故本选项不符合题意；D、0既不是正数，也不是负数，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了正数和负数以及0的意义，解题的关键是掌握0是正数和负数的分界点，0既不是正数也不是负数，正数大于0，负数小于0．6．（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）既不是正数也不是负数的数是（）A．2−B．1−C．0D．1【答案】C【分析】根据有理数的分类，即可求解．【详解】解：A、2−是负数，故本选项不符合题意；B、1−是负数，故本选项不符合题意；C、0既不是正数也不是负数，故本选项符合题意；D、1是正数，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握0既不是正数也不是负数是解题的关键．7．（2022秋·山西临汾·七年级统考阶段练习）有下列两个判断：①正整数和负整数统称为整数；②整数和分数统称为有理数．其中正确的是（）A．①对，②错B．①错，②对C．①②都对D．①②都错【答案】B【分析】根据整数的分类和有理数的定义进行判断即可．【详解】解：①整数包括正整数、负整数和零，故①错误；②整数和分数统称为有理数，故②正确；综上分析可知，①错，②对，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了整数的分类和有理数的定义，熟练掌握整数包括正整数、负整数和零，是解题的关键．8．（2022秋·吉林长春·七年级统考期中）课堂上老师要求就数“”发表自己的意见，四位同学共说了下列四句话：①是整数，但不是自然数；②既不是正数，也不是负数；③不是整数，是自然数；④没有实际意义．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【分析】分别依据整数的定义、0的性质、和0的意义进行判断即可．【详解】解：自然数中包括0，当然0也是整数，所以①③都不正确；0既不是正数也不是负数，所以②正确；而在实际生活中0具有实际的意义，如0℃，所以④不正确；故正确的只有②，故选：D．【点睛】本题主要考查对0的理解，解题的关键是知道0是整数，也是自然数；0既不是正数也不是负数；0具有实际的意义．二、填空题9．（2023秋·全国·七年级专题练习）正数：比____大的数；负数：在正数前面加上_______的数，______既不是正数，也不是负数．【答案】0 负号0【分析】根据有理数的有关概念判断即可．【详解】解：根据题意，正数：比0大的数；负数：在正数前面加上负号的数，0既不是正数，也不是负数．故答案为：0，负号，0【点睛】本题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数的定义进行判断．10．（2022秋·全国·七年级专题练习）下列关于零的说法中，正确的是________①零是正数②零是负数③零既不是正数，也不是负数④零仅表示没有【答案】③【分析】根据零既不是正数也不是负数以及不同情形下零表示的意义不同进行逐一判断即可．【详解】解：①零不是正数，说法错误；②零不是负数，说法错误；③零既不是正数，也不是负数，说法正确；④零不仅仅表示没有，不同情形下，零表示的意义不同，说法错误；故答案为：③．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知零表示的意义是解题的关键．三、解答题11．（2022秋·山西太原·七年级太原市第十八中学校校考阶段练习）请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外）【答案】见解析【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决．【详解】解：①零既不是正数也不是负数；②零小于正数，大于负数；③零不能做分母；④零是最小的非负数；⑤零的相反数是零;⑥任何不为零的数的零次幂为1；⑦零乘以任何数都是零等．【点睛】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的数学特性．三、有理数的分类一、单选题 1．（2022秋·贵州贵阳·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）A ．0既不是正数，也不是负数B ．非负数就是正数C ．一个数前面加上“−”号这个数就是负数D ．正数和负数统称为有理数【答案】A【分析】根据有理数的有关概念判断即可．【详解】解：A 、0既不是正数，也不是负数，故符合题意；B 、非负数就是0和正数，故不符合题意；C 、一个数前面加上“−”号，这个数不一定是负数，如2−，故不符合题意；D 、零和正数和负数统称为有理数，故不符合题意；故选：A ．【点睛】此题考查有理数，关键是根据有理数的有关概念判断．【答案】C【分析】根据整数的定义，即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：11405+−−，，，属于整数， ∴整数一共有4个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了有理数，利用整数的定义是解题的关键．【答案】C 【分析】根据负分数的定义可以得到答案，要注意负小数也可以化为负分数．【详解】解：在数3570.5405156569−−−，，，，，中，负分数有370.54659−−−，，，共有3个， 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负分数的定义，要注意很容易将负小数漏掉，出现错误．二、填空题【答案】0.618，30%，7；7，0，1006+；132−【分析】根据有理数的分类即可解答．【详解】解：正分数集合：（0.618，30%，227）；非负整数集合：（7，0，1006+）；负分数集合：（132−）． 故答案为：0.618，30%，227；7，0，1006+；132−． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解决本题的关键．【答案】 62.49，， 60， 630−，， 3.144−−，【分析】根据分母为1的数是整数，可得整数集合；根据小于零的数是负数，可得负数集合；根据大或等于零的整数是非负整数，可得非负整数集合，根据小于零的分数是负分数，可得负分数集合，根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得有理数集合．【详解】解：正数：{6，2.4，29…}非负整数：{6，0…} 整数：{6，3−，0…} 负分数：{3 3.144−−，…}故答案为：6，2.4，29；6，0；6，3−，0；34−， 3.14−．【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键．三、解答题【答案】(1)2，3，7(2) 3.14−，5−，0.1212212221−⋯ (3)2，5− (4) 3.14−，227【分析】根据有理数的分类方法求解即可． 【详解】（1）解：正数有：2，3π，227，故答案为：2，3π，227；（2）解：负数有： 3.14−，5−，0.1212212221−⋯； 故答案为： 3.14−，5−，0.1212212221−⋯； （3）解：整数有：2，5−； 故答案为：2，5−；（4）解：分数有： 3.14−，227；故答案为： 3.14−，227．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．【答案】正数：3.14，72+，0.618；负数： 2.5−，2−，0.6−，0.101−；分数： 2.5−，3.14，0.6−，0.618，0.101−；非负数：3.14，72+，0.618，0．【分析】根据有理数的分类方法进行求解即可． 【详解】解： 2.5−是负数，是分数； 3.14是正数，是分数，是非负数；2−是负数；72+是正数，是非负数； 0.6−是负数，是分数；0.618是正数，是分数，是非负数；0是非负数；0.101−是负数，是分数；∴正数：3.14，72+，0.618； 负数： 2.5−，2−，0.6−，0.101−；分数： 2.5−，3.14，0.6−，0.618，0.101−； 非负数：3.14，72+，0.618，0．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．四、带“非”字的有理数一、单选题【答案】B【分析】根据有理数的分类进行分析解答即可．【详解】解：没有最小的整数，故①错误，0既不是正数也不是负数，但是有理数，故②错误，非负数是正数和0，故③错误，237是有限小数，故④错误，正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑤正确，综上可知，错误的说法为①②③④，故选：B【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【答案】A【分析】根据有理数的分类方法进行逐一判断即可．【详解】解：A．113,0.3,43−都是分数，故此选项符合题意；B．1, 2.5−−都是负数，故此选项不符合题意；C．0不是正数，故此选项不符合题意；D．132是分数，不是整数，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．3．（2022秋·山东日照·七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】根据有理数定义及其分类解答即可．【详解】没有最小的整数，故①错误；有理数包括正数、0、负数，故②错误；非负数就是正数和0，故③正确；整数和分数统称有理数，故④正确；故选：C【点睛】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键．【答案】C【分析】根据非负整数的概念求解即可．【详解】解：()33−−=，∴在3.67，0，1，23−，()3−−，157，6−中，非负整数有：0，1，()3−−，共3个，故选：C．【点睛】此题考查了非负整数的概念，解题的关键是掌握非负整数的概念．非负整数包括正整数和零．5．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（）A．正整数和负整数统称整数B．a−一定是负数C．21n+（n为整数）表示一个奇数D．非负数包括零和负数【答案】C【分析】根据有理数的分类进行判断即可．【详解】解：A．正整数、0和负整数统称整数，说法错误，不符合题意；B．a−不一定是负数，说法错误，不符合题意；C．21n+（n为整数）表示一个奇数，说法正确，符合题意；D ．非负数包括零和正数，说法错误，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．二、填空题【答案】6【分析】根据非负数包括正数和判断即可．【详解】解：在11+，，37−，45+，12，5−，0.26，1.38中，非负数有11+，，45+，12，0.26，1.38，共6个． 故答案为：6．【点睛】本题考查有理数的分类．正确掌握有理数的分类标准是解题的关键．三、解答题【答案】(1) 6.5+，0.5，52；(2)0，13，9−，1−；(3) 6.5+，0.5，0，13，152，3π．【分析】（1）根据正分数的定义：比0大的分数叫正分数，正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写，据此逐一进行判断即可得到答案；（2）根据整数的定义：整数是正整数、零、负整数的集合，据此逐一进行判断即可得到答案； （3）根据非负数的定义：正数和零总称为非负数，据此逐一进行判断即可得到答案 【详解】（1）解：根据正分数的定义，正分数有： 6.5+，0.5，152，故答案为： 6.5+，0.5，152；（2）解：根据整数的定义，整数有：0，13，9−，1−， 故答案为：0，13，9−，1−；（3）解：根据非负数的定义，非负数有： 6.5+，0.5，0，13，152，3π，故答案为： 6.5+，0.5，0，13，152，3π．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题关键是理解正分数，整数，非负数的定义，并正确区别．【答案】(1)13−， 2.23−，0，15%−，132−(2)0.1，27+，0，227(3)13−，0 (4)27+，0【分析】（1）根据“负数和0统称为非正数”即可进行解答； （2）根据“正数和0统称为非负数”即可进行解答； （3）根据“0和负整数统称为非正整数”即可进行解答； （4）根据“0和正整数统称为非负整数”即可进行解答．【详解】（1）解：非正数：{13−， 2.23−，0，15%−，132−，…}；故答案为：13−， 2.23−，0，15%−，132−；（2）解：非负数：{0.1，27+，0，227，…}；故答案为：0.1，27+，0，227；（3）解：非正整数：{13−，0，…}； 故答案为：13−，0；（4）解：非负整数：{27+，0，…}． 故答案为：27+，0．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的各个分类依据是解题的关键．【答案】(1)0,2021,101− (2)23.01,2021,13−−−(3)22,15%,3.14,0.6187+ (4)22,15%,101,3.14,0.6187+(5)0,2021−(6)22,0,15%,101,3.14,0.6187+【分析】根据有理数的分类即可解答．【详解】（1）解：整数：0,2021,101−（2）解：负数：23.01,2021,13−−−（3）解：正分数：22,15%,3.14,0.6187+ （4）解：正有理数：22,15%,101,3.14,0.6187+（5）解：非正整数：0,2021−（6）解：非负数：22,0,15%,101,3.14,0.6187+【点睛】本题考查的是有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【答案】5、0.75−、310+；3−、2021−；5、0、3+、310+．【分析】直接根据有理数的分类进行解答即可．【详解】分数集合：{15、0.75−、310+…}；负整数集合：{3−、2021−…}；非负数集合：{15、0、3+、310+…}．故答案为：15、0.75−、310+；3−、2021−；15、0、3+、310+．【点睛】此题考查的是有理数，掌握分数、负整数、非负数的概念是解决此题关键．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2022秋•东港区校级期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据有理数定义及其分类解答即可．【解答】解：①没有最小的整数，故①错误，不符合题意；②有理数包括正有理数、0、负有理数，故②错误，不符合题意；③非负数就是正数和0，故③正确，符合题意；④整数和分数统称有理数，故④正确，符合题意；故选：C．【点评】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键．2．（2022秋•朝阳区期末）下面的说法中，正确的是（）A．正有理数和负有理数统称有理数B．整数和小数统称有理数C．整数和分数统称有理数D．整数、零和分数统称有理数【分析】根据有理数的分类进行判断即可．【解答】解：A．正有理数、0和负有理数统称为有理数，故不符合题意；B．无限不循环小数是无理数，故不符合题意；C．整数和分数统称为有理数，故符合题意；D．整数包括零，故不符合题意．故选：C．【点评】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键．3．（2022秋•河池期末）下列数中，是正整数的是（）A．﹣1B．0C．1D．【分析】根据正整数的定义进行逐一判断即可．【解答】解：∵这四个数中，只有1是正整数，∴只有选项C符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了正整数的定义，熟知定义是解题的关键．4．（2022秋•巴南区期末）在﹣2022，﹣1，0，1这四个有理数中，最小的有理数是（）A．﹣2022B．﹣1C．0D．1【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．依此即可求解．【解答】解：∵﹣2022＜﹣1＜0＜1，所以最小的有理数是﹣2022．故选：A．【点评】本题考查了有理数大小比较，关键是熟练掌握有理数大小比较的方法．5．（2022秋•隆回县期末）在，，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为（）A．3B．4C．6D．5【分析】先求出m，n，k的值，再进行计算即可．【解答】解：∵，0.12，14是正有理数，共3个；0，14是非负整数，共2个；，，0.12，﹣1.5是分数，共4个，∴m＝3，n＝2，k＝4，∴m﹣n+k＝3﹣2+4＝5．故选：D．【点评】本题考查的是有理数，熟知有理数的分类是解题的关键．6．（2022秋•竞秀区期末）在下列选项中，所填的数正确的是（）A．分数{﹣3，0.3，，…}B．非负数{0，﹣1，﹣2.5，…}C．正数{2，1，5，0，…}D．整数{3，﹣5，…}【分析】根据有理数的分类方法进行逐一判断即可．【解答】解：A．都是分数，故此选项符合题意；B．﹣1，﹣2.5都是负数，故此选项不符合题意；C．0不是正数，故此选项不符合题意；D．是分数，不是整数，故此选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．7．（2022秋•宛城区校级期末）下列说法错误的是（）A．0既不是正数，也不是负数B．零上6摄氏度可以写成+6℃，也可以写成6℃C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示D．没有最小的有理数【分析】根据有理数的概念和性质判断即可．【解答】A．0既不是正数，也不是负数，正确，故该选项不符合题意；B．零上6摄氏度可以写成+6℃，也可以写成6℃，正确，故该选项不符合题意；C．向东走可以用正数表示，也可以用负数表示，根据相反意义的关系，即可表示另一个方向，故该选项不正确，符合题意；D．没有最小的有理数，正确，故该选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了有理数的基本概念，熟练掌握有理数的基本概念是解题的关键．8．（2022秋•荆门期末）数0.1不属于（）A．正数B．整数C．分数D．有理数【分析】根据有理数的分类解得即可．【解答】解：数0.1是正数，是分数（小数可以化成分数），是有理数，但不是整数．故选：B．【点评】本题考查了有理数，解题的关键是熟练掌握有理数的分类．9．（2022秋•广阳区校级期末）下列各数：，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.，其中有理数的个数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】直接利用有理数的概念分析得出答案．【解答】解：﹣，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.，其中有理数为：﹣，1.010010001，，0，0.，共5个．故选：D．【点评】此题主要考查了有理数的相关概念，正确把握相关定义是解题关键．10．（2022秋•南宫市期末）若有理数的分类表示为：，则“”表示的是（）A．正有理数B．负有理数C．0D．非负数【分析】根据有理数及整数的分类方法判断即可．【解答】解：有理数包括：整数与分数，整数包括：正整数，0和负整数，则“”表示的是0．故选：C．【点评】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类方法是解本题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•枣阳市期末）在数﹣1，﹣9，﹣2.23，0，+3，，﹣π，，﹣0.01001中，是负分数．【分析】根据有理数的分类逐一判断即可得到答案．【解答】解：负整数：﹣1，﹣9；正整数：+3；正分数：；负分数：﹣2.23，，﹣0.01001；无理数：﹣π，故答案为：﹣2.23，，﹣0.01001．【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握负分数的概念是解题关键，注意所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，而无限不循环小数，不能化成分数的形式．12．（2022秋•福清市期末）写一个比﹣1小的有理数．（答案不唯一）（只需写出一个即可）【分析】根据负数的大小比较，绝对值大的反而小，只要绝对值大于1的负数都可以．【解答】解：根据题意，绝对值大于1的负数均可，例如﹣2（答案不唯一）．【点评】只要是负数并且绝对值大于1的数就可以，也可以利用数轴根据右边的总比左边的大，选择﹣1左边的数．13．（2022秋•魏县期中）一个九位数，最高位上是最大的一位数，千万位上是5，十万位上是最小的合数，百位上是最小的质数，其余各位都是0，这个数写作．【分析】根据最大的一位数是9，千万位上是5，最小的合数是4，最小的质数是2，其余各位都是0即可解答．【解答】解：∵最大的一位数是9，千万位上是5，最小的合数是4，最小的质数是2，其余各位都是0，∴这个数是950400200．故答案为：950400200．【点评】本题考查的是有理数，熟知最小的合数是4，最小的质数是2是解题的关键．14．（2022秋•新城区校级期中）月考成绩出来后，组长记录了她们组6名同学的数学成绩，她以80分作为计分标准，超过的部分计为正数，不足的部分计为负数，若她们组6名同学的成绩为+16，﹣10，0，+18，﹣4，﹣8，则这6名同学的实际成绩最高分数是分．【分析】这列数字中的最大数加上80就是实际的最高分．【解答】解：80+18＝98（分），故答案为：98．【点评】本题考查了有理数，有理数的比较是解题的关键．15．（2022秋•西峰区校级期末）在“﹣1，﹣0.3，+1，0，﹣2.7”这五个数中，负有理数是．【分析】根据小于零的有理数是负有理数，可得答案．【解答】解：负有理数是﹣1，﹣0.3，﹣2.7．故答案为：﹣1，﹣0.3，﹣2.7．【点评】本题考查了有理数，掌握小于零的有理数是负有理数是关键．16．（2022秋•新市区校级期末）在﹣15，，﹣0.23，0.51，0，7.6，2，﹣，314%中，非负数有个．【分析】利用有理数的定义判断．【解答】解：在﹣15，，﹣0.23，0.51，0，7.6，2，﹣，314%中，。
有理数知识点总结归纳
有理数知识点总结归纳有理数是数学中的一个重要概念，是整数和分数的统称。
在数学的学习中，对于有理数的理解和运算是基础中的基础。
本文将对有理数的相关知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握有理数的概念与运算。
一、有理数的定义有理数指的是可以写成两个整数的比例形式的数，即分数，同时还包括所有整数。
有理数可以表示为 p/q的形式，其中p和q是整数，且q不等于零。
二、有理数的分类1. 正有理数：即大于零的有理数，如1/4, 2/3, 5/7等。
2. 负有理数：即小于零的有理数，如-1/3, -2/5, -4/7等。
3. 零：即整数与分数中的0，如0/1, 0/2, 0/3等。
三、有理数的比较1. 相反数的比较：对于两个有理数a和-b，如果a > -b，则a大于-b；如果a = -b，则a等于-b；如果a < -b，则a小于-b。
2. 同号数的比较：对于两个同号的有理数a和b，如果a > b，则a大于b；如果a = b，则a等于b；如果a < b，则a小于b。
3. 异号数的比较：对于一个正有理数和一个负有理数，正数永远大于负数。
四、有理数的运算1. 加法运算：对于两个有理数a和b，可以直接将它们的分母取公倍数，然后按照分数的加法规则进行计算。
例如：3/4 + 2/5 = (3*5)/(4*5) + (2*4)/(5*4) = 15/20 + 8/20 = 23/202. 减法运算：减法的原理类似于加法，只需要将第二个数改为相反数后进行加法运算。
例如：3/4 - 2/5 = 3/4 + (-2/5) = 15/20 + (-8/20) = 7/203. 乘法运算：乘法的规则是将两个有理数的分子乘积作为结果的分子，分母乘积作为结果的分母。
例如：3/4 * 2/5 = (3*2)/(4*5) = 6/20 = 3/104. 除法运算：除法的规则是将第一个数作为被除数，第二个数的倒数作为除数，然后进行乘法运算。
初一有理数的知识点归纳总结
初一有理数的知识点归纳总结有理数是数学中一种重要的数类，是整数和分数的统称。
在初中数学中，有理数的概念常常会出现，学好有理数的相关知识点对于后续数学学习的顺利进行至关重要。
下面对初一学习的有理数相关知识点进行归纳总结。
一、有理数的定义及表示法1. 有理数是整数和分数的统称，可以表示为p/q的形式，其中p、q为整数且q≠0。
2. 有理数可以用数轴上的点表示，数轴上的0表示0，正方向表示正有理数，负方向表示负有理数。
二、有理数的大小比较1. 相反数：对于有理数a，存在一个有理数-b，使得a+b=0，称-b为a的相反数。
相反数具有相等的绝对值，但符号相反。
2. 绝对值：对于有理数a，如果a≥0，则a的绝对值为a；如果a<0，则a的绝对值为-a，记作|a|。
三、有理数的四则运算1. 加法和减法：- 同号数相加减：同号数相加减，绝对值不变，符号不变。
- 异号数相加减：异号数相加减，绝对值减小，结果的符号由绝对值大的数的符号决定。
2. 乘法和除法：- 同号数相乘除：同号数相乘除，结果为正数。
- 异号数相乘除：异号数相乘除，结果为负数。
- 0的乘法：任何数与0相乘，结果都为0，0除以任何非零数结果为0。
四、有理数的化简与还原1. 化简是指将一个有理数的分子和分母的公因数约分，从而得到一个和原有数等值的简化分数。
2. 还原是指将一个有理数的分子和分母经过运算，得到一个相对较大的数。
五、有理数的实际应用1. 有理数在数轴上的表示可以帮助我们了解数值的大小关系和相对位置关系。
2. 有理数在生活中的应用包括温度计的读数、海拔高度的标定等。
3. 有理数在数学问题中的应用包括解方程、分数的运算等。
六、有理数的乘方与开方1. 乘方：对于有理数a和正整数n，我们定义a的n次方为an，其中an=a*a*...*a(n个a的积)。
2. 平方根：对于非负有理数a，我们称b为a的平方根，当b*b=a 时。
3. 立方根：对于任意有理数a，我们称b为a的立方根，当b*b*b=a 时。
七年级数学第一单元有理数知识点
七年级数学第一单元有理数知识点有理数是七年级数学的重要基础内容，它为后续的数学学习打下了坚实的基础。
下面我们来详细了解一下有理数的相关知识点。
一、有理数的定义有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。
例如，5 是整数，属于有理数；025 是有限小数，属于有理数；1/3 是无限循环小数，也属于有理数。
与之相对的是无理数，无理数是无限不循环小数，如圆周率π。
二、有理数的分类1、按定义分类有理数可以分为整数和分数。
整数包括正整数、0、负整数。
例如 3、0、－5 等。
分数包括正分数和负分数。
比如 1/2、－3/4 等。
2、按性质分类有理数可以分为正有理数、0、负有理数。
正有理数包括正整数和正分数，比如 2、3/5 。
负有理数包括负整数和负分数，例如－1、－2/7 。
三、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
数轴的作用非常大，它可以帮助我们直观地理解有理数的大小关系。
在数轴上，右边的数总比左边的数大。
例如，在数轴上表示 2 的点在表示 1 的点的右边，所以 2 大于 1 。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
四、相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
例如，5 和－5 互为相反数，0 的相反数是 0 。
互为相反数的两个数的和为 0 。
五、绝对值绝对值的定义：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0 。
例如，｜5| ＝ 5 ，｜－3| ＝ 3 ，｜0| ＝ 0 。
绝对值的性质：（1）绝对值具有非负性，即绝对值总是大于或等于 0 。
（2）互为相反数的两个数的绝对值相等。
六、有理数的大小比较1、正数都大于 0 ，负数都小于 0 ，正数大于一切负数。
2、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
例如，比较－2 和－5 的大小。
因为｜－2| ＝ 2 ，｜－5| ＝ 5 ，2 ＜ 5 ，所以－2 ＞－5 。
七年级数学上册 1.2 有理数课标解读素材 (新版)新人教版
有理数课标解读1.有理数的意义是在回顾先前学习的正整数、负整数、零，正分数、负分数等相关内容后给出的，据此可以给出有理数两种方法的分类，即整数和分数的统称，或正有理数、负有理数和零。
为了更好地研究有理数的相关概念和性质，需要介绍数轴，学习“用数轴上的点表示有理数”，从而建立了(有理)数与形(数轴—直线)的对应关系，也为研究有理数大小的比较方法、相反数和绝对值提供了直观手段。
2.对有理数概念的深化理解，教材是借助于数轴来完成的。
数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线。
《课标》要求“能用数轴上的点表示有理数“，即有理数可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点并不都表示有理数。
数轴上的点也可以表示无限不循环小数(即无理数)。
限于知识的局限(实数与无理数的概念将在七下学习)，这里只要求学生理解“有理数可以用数轴上的点来表示”即可，不必向学生作过多的说明。
3.借助于数轴，我们可以直观地得到有理数大小的比较方法，即“正数大于负数与零；零大于负数；两个负数，绝对值大的反而小”。
对两个负数大小的比较方法，需要借助于对数轴表示的数的直观介绍与感知，让学生明白，越是向数轴正方向上移动的点表示的数越大，越是向数轴负方向上移动的点表示的数越小。
4.对相反数、绝对值的概念与性质，既是一种规(约)定，又可以借助于数轴理解一个数的相反数、绝对值的意义。
两个数只有符号不同(言下之意是其他完全相同)，则它们互为相反数，并规定：0的相反数是0。
人教版七上教材还用字母表示了数与互为相反数，并通过反问“一定是负数吗？”进一步揭示了“字母可能是负数，也可能是正数或0”。
在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。
字母表示一个数的相反数与绝对值，学生初始理解可能困难，需要教师仔细地分析和讲解对一个数的绝对值，教材是利用其几何意义(即数轴上表示数离开原点的距离)来定义的。
正因为表示数离开原点的距离，因此就不可能是负数，即或，这样就容易得到下面的结论：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
有理数知识点梳理
第一部分有理数知识点梳理一、有理数的意义1、正数和负数知识点1 负数的引入正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。
用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。
知识点2 正数和负数的概念（1）像3、1.5、、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。
（2）像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。
负数比0小。
（3）零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。
注意：（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号，例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。
（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。
因为字母a可以表示任意的数，若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0；当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。
知识点3 有理数的有关概念（1）有理数：整数和分数统称为有理数。
注：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。
但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。
（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。
（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。
（2）整数包括正整数、零、负整数。
例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。
七年级数学 有理数知识点
七年级数学有理数知识点七年级数学--有理数知识点有理数是指带分数、正整数、负整数和0四种数的统称。
在学习有理数的概念、性质、运算等知识点中，初中数学的七年级是基础阶段，下面我们来逐一了解。
一、有理数定义有理数定义是指一些可以表示为分数形式的数，这些数皆可以用整数表示，在它们组成的集合中，0和平方不大于0的整数属于这个集合。
二、绝对值数轴被分为两段，以0为分界点，左侧全是负数，右侧全是正数；对于同一数轴上的任何两个点a，b，它们的距离就是|a-b|，也就是它们所代表的有理数的绝对值。
三、有理数的比较有理数可以使用大小关系符号进行比较。
对于两个不同的有理数a、b，如果a<b，我们说a小于b，同理，如果a>b，我们说a 大于b，a和b的大小关系有三种可能情况：a=b、a<b、a>b。
对于相等关系的判定，我们使用等于号“=”，对于大小关系的判定，只需看括号内的符号，如a<b，则a小于b。
四、有理数的负数- 一个正整数的相反数是用相反符号表示的数；- 零的相反数仍然是零；- 一个负整数的相反数是用相反符号表示的正整数。
五、有理数的加减法有理数的加减法运算是根据同号异号进行分类讨论，基本法则可以总结为：1. 同号相加，取相同符号，结果取绝对值之和；2. 异号相加，取较大数的符号，结果取较大数的绝对值减去较小数的绝对值；3. 同号相减，取相反符号，结果取绝对值之差；4. 异号相减，取前一个数的符号，结果取前一个数的绝对值加上后一个数的绝对值。
六、有理数的乘除法有理数的乘除法同样是根据同号异号进行分类讨论，基本法则可以归结为：1. 同号相乘，结果为正；异号相乘，结果为负；2. 分子分母同色，约掉后需保留符号；异色无需再约分，最终结果直接相乘即可。
七、有理数的混合运算有理数可以进行混合运算，包括加减乘除四种基本运算方法。
在实际应用中，混合运算更常见，需要注意转换运算法则为逐步化简，先乘除后加减。
有理数的意义及运算
有理数的意义及运算有理数是数学中一个重要的概念，是在数轴上广泛应用的基本数类之一。
它们不只是简单的数字，还在我们生活的方方面面扮演着重要角色。
从日常的购物算账到工程设计，有理数都显得尤为重要。
有理数的定义是非常明确的。
一个数如果可以表示为两个整数之比（即在形式上为a/b，a和b是整数且b不为零），那么这个数就属于有理数的范畴。
比如，3（可以写成3/1）、-1/2、0都是有理数。
而平方根2、π等则不属于有理数，因为它们无法用整数字表示。
在我们的学习中，对有理数的理解不仅限于其定义。
还需掌握它们的性质和运算。
有理数的集合不仅包括正数和负数，还涵盖了零。
在数轴上，有理数通过分数和小数的方式表现出来，令其在实际问题中更易于使用。
有理数自身具备几个重要的性质。
有理数是稠密的，这意味着在任意两个有理数之间，总是可以找到另一个有理数。
例如，在1和2之间，有1.5、1.25等；在-1和0之间，有-0.5、-0.75等。
这一性质使得有理数能够精准地表示一些功能的变化，尤其在科学和工程中，需对数据进行细致分析时，这一优势极为显著。
在我们实际应用有理数时，运算是不可或缺的一环。
加法、减法、乘法和除法四种基本的数学运算是处理有理数的主要方式。
对于两个有理数进行加法运算，首先需要找到共同的分母，然后再合并分子。
而减法运算与加法类似，通常也是需要统一分母后再进行操作。
乘法和除法相对简单，直接将分子乘以分子，分母乘以分母。
值得注意的是，当进行除法运算时，除数不能为零，因为零在数学中是无法作为分母的。
运算过程中的简化同样重要。
比如，当我们有一项表达式，例如(3/4)+(1/2)，要想简化成一个更直接的形式，需要把1/2转换成相同的分母。
1/2可以写成2/4，如此一来，两者相加后的结果就是5/4。
类似地，在减法和乘法时，简化步骤能够提高计算速度并减少错误。
当面对负数时，计算的过程同样适用。
有理数的负数与正数在运算中同样可以灵活应用。
有理数的定义及相关概念
拓展题
0是整数吗?自然数一定是整数吗?0一定是正整数 吗?整数一定是自然数吗?
2、下列说法正确的是（ ） A.正整数和正分数统称为正有理数。 B.正整数和负分数统称为整数。 C.正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 D.0不是有理数。
3、既不是正数又不是整数的有理数是（ ）
A.0和正分数
B.只有负分数
C.负整数和负分数
D.正整数和正分数
4、下列不是有理数的有（ ）
1、数集可以用大括号表示，也可以用圆圈表示。
2、一个数集内的数有无限多个时，我们不能全部写 出，要用“…”，如非负整数集{0，1，2，3，4…}。
3、一个数集内不能有两个一样的数。 4、所有的有理数组成的数集叫做有理数集；
那么，什么叫做整数集,正数集, 自然数集，非负 整数集?
知 1、把下列各数填入相应的集合
A.3.1415926 B.0
C.0.666……
D.π
5、下列说法错误的是（ A.自然数一定是有理数 C.自然数一定是非负数
） B.自然数一定是整数 D.整数一定是自然数
6．说出下列生活情景中用到的数所属的集合. ⑴摩托车的里程表上读出的数；
⑵中央电视台播放的天气预报中，播报各地的 气温所用到的数； ⑶老师批改试卷时用到的数； ⑷烤鸭店的柜台上的电子秤上读出的数； ⑸表示某关概念 整数和分数统称为有理数。
正整数、零和负整数统称为整数，正分数和 负分数统称为分数。
非负数：大于等于0的数叫非负数即a≥0 非正数：小于等于0的数叫非正数即a≤0
非正整数： 小于等于0的整数； 非负整数： 大于等于0的整数
2:数的分类
按定义来分
正整数
整数零
…0.…67
有理数知识点整理
有理数知识点整理有理数知识点整理数学是一门基础学科，其中有理数是非常重要的基础知识之一。
本文将为大家梳理有理数的定义、性质和相关知识点，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
一、有理数的定义有理数是指可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为零。
具体地，有理数可以写成分数形式，如$\frac{m}{n}$（其中m为分子，n为分母），且n不为零。
整数也是有理数的一种，当分母为1时，分数可以简化为整数。
二、有理数的性质1、有理数是封闭的，即所有的有理数都可以表示为分数形式，并且不存在无限循环的有理数。
2、有理数是有限的，即有理数可以用有限的数字和符号来表示，这一点在计算机科学中具有重要意义。
3、有理数具有加法和乘法的交换律和结合律，即对于任何有理数a 和b，有：（1）a+b=b+a；（2）a×b=b×a；（3）（a+b）+c=a+（b+c）；（4）（a×b）×c=a×（b×c）。
4、有理数具有乘法分配律，即对于任何两个有理数a和b，以及任意整数c，有：（1）（a+b）×c=ac+bc；（2）a×（b+c）=ab+ac。
三、相关知识点1、有理数的加减法：有理数的加减法遵循交换律和结合律，即对于任何有理数a和b，有：（1）a+b=b+a；（2）a-b=-（b-a）。
2、有理数的乘除法：有理数的乘除法遵循交换律和结合律，即对于任何两个有理数a和b，有：（1）a×b=b×a；（2）（a×b）×c=a×（b×c）。
同时，对于任何有理数a和b（其中b不为零），有：（1）a÷b=a×（1/b）；（2）a÷(1/b)=ab。
3、有理数的化简：通过约分和通分，可以将有理数化简为最简形式，即分子和分母没有公共因数。
同时，对于任何有理数a和b（其中b 不为零），有：（1）a/b=(-a)/(-b)；（2）a/(b/c)=ac/b；（3）1/a=1×(1/a)；（4）(-1)/a=(-1)×(1/a)。
有理数知识点总结归纳
有理数知识点总结归纳有理数是数学中的一种数形式，包括整数、分数和小数。
它们都可以用有限或无限循环的十进制表示。
有理数的概念在数学中具有重要的地位，是许多数学分支的基础知识。
本文将对有理数的基本概念、性质和运算法则进行归纳总结。
一、有理数的基本概念有理数是可以表示为两个整数比值的数。
其中，整数包括正整数、负整数和零，分数是两个整数的比值。
有理数可以用分数形式表示，如2/3，也可以用小数形式表示，如0.5。
有理数的表示形式不唯一，但它们都具有有限或无限循环的十进制表示。
二、有理数的性质1. 有理数可以进行加、减、乘、除四则运算，并且运算结果仍然是有理数。
2. 有理数可以进行比较。
对于任意两个不相等的有理数a和b，恒有a>b或a<b。
3. 有理数具有传递性和相等性。
即若a>b，b>c，则a>c；若a=b，b=c，则a=c。
4. 有理数加法满足交换律、结合律和分配律。
三、有理数的运算法则1. 加法和减法：对于两个有理数a/b和c/d，可以先找到它们的公共分母，然后按照相同的分母进行加法或减法运算即可。
2. 乘法：对于两个有理数a/b和c/d，将其分数形式相乘，然后约分得到最简形式。
3. 除法：对于两个有理数a/b和c/d，将其分数形式相除，然后约分得到最简形式。
4. 幂运算：对于有理数a/b的m次幂，将a的m次幂除以b的m次幂，然后根据幂的正负性确定结果的正负性。
四、有理数的应用有理数在实际生活中有很多应用，比如表示温度、长度、重量等。
在科学研究、经济金融、数学建模等领域中，有理数的运算和性质也具有很大的应用价值。
总结：有理数是数学中的一种重要形式，包括整数、分数和小数。
它们可以用有限或无限循环的十进制表示，并且符合相应的运算法则。
有理数的应用广泛，具有重要的实际价值。
通过本文的归纳总结，我们对有理数的概念、性质和运算法则有了更深刻的理解。
01-有理数的意义—初中数学知识点解读与提高
有理数的意义要点一、正数与负数像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．要点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．类型一、正数与负数：中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元 B．收入20元C．支出80元 D．收入80元在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．C解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．故选：C．12+12-π1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”， 则下列各袋大米中质量不合格的是（ ）A ．50.0千克B ．50.3千克C ．49.7千克D ．49.1千克D ．解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？(1) -500元；既没有收入也没有支出. (2) 不是一对具有相反意义的量，不能表示.【变式3】如果60m 表示“向北走60m ”，那么“向南走40m ”可以表示为（ ）．A ．－20mB ．－40mC ．20mD ．40mB: 体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0 （1） 这8名男生有百分之几达到标准？ （2） 他们共做了多少引体向上？（1）由题意可知：正数或0表示达标，而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：；答：这8名男生有62.5%达到标准.（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个） 答：他们共做了引体向上56个.类型二、有理数的分类: 下面说法中正确的是( )． A ． 非负数一定是正数．B ． 有最小的正整数，有最小的正有理数．C ．一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数．D5100%62.5%8⨯=a -本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量一定要先弄清“基准”是什么.(A) 不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当为负数或0时，则为正数或0，而不是负数；(D)对【变式1】 判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ） （3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）√， ，，【变式2】下列四种说法，正确的是( ). (A)所有的正数都是整数 (B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数D: 请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265, ， . 正整数集合:{ …}，负整数集合:{ …}，整数集合: { …}，正分数集合:{ …}， 负分数集合:{ …}， 分数集合: { …}， 非负数集合:{ …}， 非正数集合:{ …}.正整数： 1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；负分数： -3.88，；分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，；非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0，；非正数：-700, -3.88, 0,a a -⨯⨯⨯723-723-723-723-一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.【变式】在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有个．2.类型三、探索规律: 某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是粒.()第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：，，，，，按此规律，第n组应该有种子数（）粒.【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个数是：-3【变式2】观察下列有规律的数：根据其规律可知第9个数是：12+n1123+⨯=1225+⨯=1327+⨯=1429+⨯=12+n,,301,201,121,61,21901研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.【巩固练习】一、选择题1. 下列语句正确的（）个（1）带“﹣”号的数是负数；（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数；（3）不存在既不是正数又不是负数的数；（4）0℃表示没有温度．A. 0B. 1C. 2D. 32.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A．0是整数 B．0是偶数C．0是正整数 D．0既不是正数也不是负数3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 ( )A．前进-18米的意义是后退18米B．收入-4万元的意义是减少4万元C．盈利的相反意义是亏损D．公元-300年的意义是公元后300年4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ( ) A．甲站的东边70千米处B.甲站的西边20千米处C．甲站的东边30千米处C.甲站的西边30千米处5．在有理数中，下面说法正确的是（）A．身高增长和体重减轻是一对具有相反意义的量B．有最大的数C．没有最小的数，也没有最大的数D．以上答案都不对6.下列各数是正整数的是（）A．－1 B．2 C．0．5 D． 2二、填空题1．如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作．2．在数中，非负数是______________；非正数是__________.3.把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 .4.既不是正数，也不是负数的有理数是 .5.如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记作__________米．6.是整数而不是正数的有理数是 .7.既不是整数，也不是正数的有理数是 .8.一种零件的长度在图纸上是（）毫米，表示这种零件的标准尺寸是毫米，加工要求最大不超过毫米，最小不小于毫米.三、解答题1．说出下列语句的实际意义.（1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14元（4）上升-2m (5)向南走-7m2．下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.cm2.1kg2.103.002.0 10+-3.随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，以50km 为标准，多于50km 的记为“+”，不足50km 的记为“﹣”，刚好50km 的记为“0”，记录数据如下表：（1）请你估计小明家的小轿车一月（按30天计）要行驶多少千米？（2）若每行驶100km 需用汽油8L ，汽油每升7.14元，试求小明家一年（按12个月计）的汽油费用是多少元？4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ，... ，... (2)-1,,-,,,,, , ,... ,...【答案与解析】一、选择题1.【答案】B 【解析】（1）带“﹣”号的数不一定是负数，如﹣（﹣2），错误；（2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数，正确；（3）0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误；（4）0℃表示没有温度，错误． 综上，正确的有（2），共一个．2.【答案】C【解析】0既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数.3. 【答案】D【解析】D 错误，公元-300年的意义应该是公元前300年.4. 【答案】 C【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在甲站的东边30千米处.5.【答案】C【解析】A 错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B 错误，没有最大的数也没有最小数；C 对.6. 【答案】B二、填空题1.【答案】﹣5米2.【答案】0.5，100，0，；，0，-45【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数.21314151-6171-112122-时间第一天第二天第四天第五天第六天第七天路程（km ） ﹣8 ﹣11 0 ﹣16 +41 +83.【答案】公元前2008年【解析】正负数表示具有相反意义的量.4.【答案】0【解析】既不是正数也不是负数的数只有零.5.【答案】-20. 【解析】解：∵向东行驶10米，记作+10米，∴向西行驶20米，记作﹣20米， 故答案为：﹣20．6.【答案】负整数和0【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0.7.【答案】负分数【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数.8.【答案】10，，【解析】表示的数的范围为：大于，而小于，即大于而小于. 三、解答题 1. 【解析】（1）输出-12t 表示输入12t ； （2）运进-5t 表示运出5t ； （3）浪费-14元表示节约14元； （4）上升-2m 表示下降2m ；(5)向南走-7m 表示向北走7m. 提示：“-”表示相反意义的量.2．【解析】3.【解析】解：（1）=50，50×30=1500（km ）．答：小明家的小轿车一月要行驶1500千米； （2）×8×7.14×12=10281.6（元），答：小明家一年的汽油费用是10281.6元．4．【解析】（1）9，-10，…，2011，…（2）10.039.9803.002.010+--（100.02）（10+0.03）9.9810.03111,,...,, (892011)--。
有理数的意义-知识讲解
有理数的意义-知识讲解有理数是数学中一类重要的数，它可以用整数作为分子和分母的比值表示。
有理数的意义体现在其在实际生活中的广泛应用，以下从有理数的定义、特点以及实际应用等方面进行讲解。
首先，有理数的定义是指可以写成两个整数的比值形式的数，其中分母不为零。
有理数包括整数、正整数、负整数、分数等。
例如，2，-3，1/4等都是有理数。
有理数的特点主要体现在以下几个方面：1.有理数包括整数和分数两个主要部分，整数由负整数、零和正整数组成，而分数可以写成两个整数的比值形式。
2.有理数可以进行加减乘除等基本运算，运算结果也仍然是有理数。
这一点在实际应用中十分重要，可以简化运算过程。
3.有理数可以用分数表示小数，并且保持有效位数，在实际应用中更加便于计算和表示。
4.有理数具有有限循环小数和无限循环小数两种形式。
循环小数是指在小数部分中有从一些位置开始重复的数字序列。
有理数在实际生活中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1.金融领域：有理数广泛应用于金融领域，如贷款利率、股票涨跌等计算中。
利率、股票涨跌等都可以用有理数来表示，便于计算和比较。
2.商业领域：商业中的销售额、成本、利润等也可以用有理数来表示。
商业决策涉及到大量的数值计算，有理数的应用可以方便快捷地进行计算和分析。
3.工程领域：在工程测量和设计中，有理数也有着重要的应用。
例如，建筑物的尺寸、管道的长度等都需要进行精确的测量和计算，有理数可以提供准确的数值。
4.科学领域：有理数常常出现在科学实验和数值模拟中。
例如，在物理实验中，测量得到的各种物理量可以用有理数表示，更方便进行分析和比较。
总结起来，有理数作为一类重要的数，具有重要的意义。
它不仅在数学学科中有着重要的地位，而且在实际生活中也有广泛应用。
通过有理数，我们可以方便地进行各种数值计算，解决实际问题，进一步提高数学能力和解决实际问题的能力。
因此，对有理数的学习和掌握对于每个学生来说都是十分重要的。
有理数知识点总结
有理数知识点总结有理数知识点总结有理数是数学中的一个重要概念，是整数和分数的统称。
它们常常出现在我们日常生活和学习中的各种问题中。
理解和掌握有理数的相关知识点，对于提高我们的数学水平和解决实际问题至关重要。
本文将对有理数的基本概念、性质、四则运算、化简以及应用等方面的知识进行总结和讨论。
一、有理数的基本概念1. 整数和分数：整数包括正整数、零和负整数；分数由分子和分母组成，分子表示几份，分母表示一份被分成几等份。
2. 有理数的定义：有理数指可以表示为两个整数的比值形式的数，分数和整数都是有理数。
3. 有理数的分类：有理数可分为正有理数、零和负有理数。
二、有理数的性质1. 有理数的比较性质：对于任意两个有理数a和b，存在以下关系：a=b，a>b或者a<b。
2. 有理数的相反数：对于任意有理数a，存在一个有理数-b，满足a+（-a）=0。
3. 有理数的绝对值：对于任意有理数a，其绝对值|a|定义为以下两种情况之一：如果a>0，则|a|=a；如果a≤0，则|a|=-a。
4. 有理数的倒数：对于任意非零有理数a，存在一个有理数1/a，满足a×（1/a）=1。
三、有理数的四则运算1. 有理数的加法：a+b的和可以表示为a和b的数轴上的位置关系；对于有理数相加，可以根据同号相加、异号相减的原则进行计算。
2. 有理数的减法：a-b的差可以表示为a和-b的和，可以化为加法问题进行计算。
3. 有理数的乘法：a×b的积可以根据同号得正、异号得负的原则进行计算。
4. 有理数的除法：a÷b的商可以表示为a和b的倒数的乘积，除法问题可以转化为乘法问题进行计算。
四、有理数的化简1. 有理数的约分：对于分数的分母和分子，如果它们有公约数，则可以约分。
2. 有理数的换算：将分数和整数进行相互转换，可以将分数化为整数或将整数化为分数。
3. 有理数的化简：对于复杂的有理数表达式，可以进行括号展开、合并同类项、提取公因数等化简操作。
七年级知识点总结有理数
七年级知识点总结有理数在七年级数学中，有理数是一个非常重要的知识点。
学习并掌握有理数的概念、运算和应用，对于学生未来的数学学习和日常生活都是有着至关重要的作用。
本文将系统地总结有理数的相关知识点，帮助七年级的学生更好地掌握这一内容。
一、有理数的概念有理数指能够表示成两个整数的比值的数，包括正有理数、负有理数和零。
其中，正有理数为大于零的有理数，负有理数为小于零的有理数，零为整数中唯一的有理数。
二、有理数的表示有理数可以使用分数表示，分数的分子和分母都是整数，分母不能为零。
例如，3/4、-5/6、0都是有理数。
有理数也可以用小数表示，不过需要注意的是，有些有理数用小数表示时可能会出现无限循环小数。
例如，1/3用小数表示就是无限循环小数0.3333...。
三、有理数的比较有理数的大小比较可以使用数轴、绝对值、同分异分、通分比较等方法。
在比较大小时，需要注意分母和符号的影响。
若符号相同，数值越大的数较大；若符号不同，正数大于负数。
四、有理数的四则运算有理数的加减乘除运算是七年级数学中的重要内容。
这里简单总结一下四则运算的规律：1. 加法规律：同号相加取绝对值相加，再加上原来的符号；异号相加取绝对值相减，再加上符号和绝对值较大的数的符号。
例如，5/6 + 2/3 = 5/6 + 4/6 = 9/6 = 3/2；-1/2 + 2/3 = 1/6（绝对值相减为1/6），再加负号和绝对值较大的2/3的符号（即负号），得到-1/6。
2. 减法规律：a-b = a+(-b)，即减法可转化为加法。
3. 乘法规律：符号相同结果为正，符号不同结果为负；分子相乘、分母相乘后再约分。
例如，-2/3 × -1/4 = 1/6；5/8 × -3/10 = -15/80。
4. 除法规律：a÷b = a×1/b，其中1/b为b的倒数。
另外，不能除以0。
例如，-4/5 ÷ -1/4 = -4/5 × -4/1 = 16/5。
有理数知识点总结
有理数知识点总结有理数是现代数学中最基本的概念之一，是指可以表示成整数之比的数。
在我们的日常生活中，有理数无处不在，我们常用的数字，如每日气温、电子屏幕的大小，都是有理数的范畴。
因此，学习有理数的相关知识是每个人都需要掌握的基础数学知识。
一、有理数的定义有理数是可以表示成两个整数之比的数，其中分母不等于0。
例如，1/2、-3/7 这些数都属于有理数的范畴。
二、有理数的运算在有理数的运算中，加减乘除是最基本的四种运算。
（1）有理数的加法在一般情况下，有理数的加法满足结合律、交换律和分配律。
例如: (1/2) + (3/4) = (2/4) + (3/4) = (5/4)（2）有理数的减法有理数的减法可以转化为加法，即减去一个数，相当于加上它的相反数。
例如: (5/6) - (2/3) = (5/6) + ( -2/3) = (5/6) + (-4/6) = (1/6)（3）有理数的乘法有理数的乘法也满足结合律、交换律和分配律。
例如: (2/3) × (3/4) = (2×3)/(3×4) = 6/12（4）有理数的除法有理数的除法也可以转化为乘法，即除以一个数，相当于乘上它的倒数。
例如: (2/3) ÷(3/4) = (2/3) ×(4/3) = 8/9三、有理数的大小比较在比较两个有理数的大小时，可以通过它们的分数形式进行比较，如果分数化简后，分子相等，那么分母越小，则这个数越大，反之亦然。
例如: 2/3 > 1/4四、有理数的绝对值有理数的绝对值是一个数的正值，不考虑它的正负。
例如: |-7| = 7， |3| = 3五、有理数的分数化简在运用有理数进行计算时，为了简化运算步骤，有时需要对分数进行化简。
例如: (12/15) = (4/5)，(30/24 ) = (5/4)六、有理数的分数相加相同分母的分数相加，直接在分子上进行加减即可。
新 有理数 知识点
有理数
正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它
们的意义相反，二是它们都是数量
有理数
有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数
的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b=b+a；结合律（a+b）+c=a+（b+c
有理数的减法
有理数的乘法
）。
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课后作业
姓名：成绩：
一 .选择
1.下面说法正确的是( )
A 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示出来
B 数轴上右边的数表示正数,左边的数表示负数
C 数轴上离开原点距离越远的点所表示的数越大
D 1是最小的整数
2、下面说法中正确的是（）
A、在有理数中，0没有意义
B、正有理数和负有理数组成全体有理数
C、0.3既不是整数，也不是分数，因此它不是有理数
D、0既不是正数，也不是负数
3.下列说法正确的是（ ）
A. 一个数，不是正数就是负数
B. 0不是自然数
C. 0是整数
D. 整数又叫自然数 4.下列结论中，一定正确的是（ ）
A. 若一个数是整数，则这个数一定是有理数
B. 若一个数是有理数，则这个数一定是整数
C. 若一个数是有理数，则这个数一定是负数
D. 若一个数是有理数，则这个数一定是正数 5.下列说法正确的是（ ）
A. 一个有理数不是正数就是负数
B. 一个有理数不是整数就是分数
C. 有理数是指整数、分数、零、负数这四类数.
D. 以上说法都正确
6.同一直线上的五点A 、B 、C 、D 、E 所对应的实数分别是a 、b 、c 、d 、e ，且A 点不在最左边，B 点不在最右边，C 点在D 点的右边，E 点位于A 点的左边，则下列判断正确的是（ ） A. a 最大 C. a 不是最小，且b 不是最大 B. c 最大 D. e 比a 大，且e 比c 小
7.在数轴上与原点的距离小于3的整数点有（ ）个. A. 2 B. 5 C. 4 D. 6
二.填空
1. 非负数为 和 ，非正数为 和
2. 不小于5.4-的负整数有 , 不大于4.5的非负整数有 .
3.数轴上点A 对应的数是3,点B 对应的数是5-,则这两点间距离为 个单位长度. 4、在下表适当的空格里面画上“√”号；
5.在数轴上与原点距离为1的点有________个，它们分别表示有理数_______和________；
三. 解答题
1、如下图，加工一种轴，直径在299.5毫米到 300.2毫米之间的产品都是合格品，表示为2.05
.0300
+-φ，
现加工一根轴，图上标明的加工要求是03
.004.045+-φ，如果加工成的轴
的直径是44.8毫米，它合格吗？
2.已知数轴上点M 所对应的数是-2，求出与点M 的距离等于2007 的点N 所对应的数，如果点P 所表示的数是-3，求点P 与点N 的距离．
3、若a 是小于1的正数，试用“<”号将11
,,,,0,1,1a a a a
---连接起来
4. 数a 、b 、c 、d 所对应的点A 、B 、C 、D 在数轴上的位置如图所示，那么a+c 与 b+d 的大小关系是__________________
5.已知0,0,0=+=+=+c d c b b a ，则d c b a ,,,四个数中，哪些数是互为相反数？哪些数是相等？
6．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个 单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整d c b a ,,,，且
102=-a d ，那么数轴上的原点应是哪一点？
7．一跳蚤在一直线上从0点开始，第一次向右跳1个单位，紧接着向左跳2个单位，
第三次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第2007次落下时， 落点处距离0点是多少个单位？
8.下图中数轴上标出的点中任意相邻 两点间的距离都相等，问y 的值是多少？
A B C
D
D
C A B。