第1章 概率论与随机过程1-3节

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表1
实验序号
n=5
抛硬币试验1
n=50 n=500
f n (H )
nH
1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 1 5 1 2 4 2
f n (H )
nH
22 25 21 25 24 21 18 24
nH
251 249 256 253 251 246 244 258
f n (H )
集合论 全集 空集 元素 子集 A的余集 A是B的子集 A与B相等 A与B的和集 A与B的交集 A与B的差集 A与B 没有相同元素
上 海 §2 频率与概率 大 学 (一)频率 通 一个随机试验有许多可能结果，常希望知道某些结 信 果出现的可能性有多大，即用数字定量的描述随机事件 学 发生的可能性的大小。 院
5. 若事件A与事件B不能同时发生，则称事件A与事件B是互 不相容的，记为AB=Ф。 例:基本事件就是互不相容的。 推论: 若在试验中，事件A与事件B必然有一个发生，且仅 A B S , AB ，则称 有一个发生，即事件A与事件B满足： 事件 A与事件B互逆,又称A是B的对立事件,记为 __ __ A B ( 或 B A )。
(二)频率的性质 设随机试验E；A，B为E的二个随机事件,则 n次试验中的频率具有下列性质: (1) 0 fn(A) 1； (2) (3) fn(S)＝1； fn()=0。 若A，B互不相容，即 AB＝，则有 fn(A∪B)＝fn(A)＋fn(B)。
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(三) 概率 概率定义: 对随机试验E所对应的样本空间S中的每 一事件A均赋予一实数，记为P(A)，若P(A)满足下列 条件： (1) 非负性：1≥ P(A) ≥0； (2) 规范性：P(S)＝1； (3) 可列可加性：设A1，A2，…,是一列两两互不相 容的事件，即AiAj＝，(ij), i,j＝1, 2, …,有
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(三) 样本空间：为了便于研究随机试验E，我们将随机试验E 的所有基本事件所组成的集合称作E的样本空间，记为S。 并将试验E中的基本事件称为样本空间S的元素，记为e。
随机试验 E 样本空间 S
E1 ： 抛一枚硬币,观察正面H,方面T出 现的情况； E2 ： 将一枚硬币抛两次,观察正反面的 出现情况； E3： 掷一颗孤骰子，观察出现的点数； E4 ：在一批灯泡中任意抽取一支,测试 它的寿命； E5： 记录某 一昼夜的最低温度x和最高 温度y。设这一地区的温度不会小 于T0,不会大于T1。
概率论中事件之间的关系与运算和集合论中集合之间的 关系与运算是一致的。因此可以对事件的分析转化为对集 合的分析，利用集合间的运算来分析事件间的关系。
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例: 以A表示“灯亮”这一事件，以B，C，D 分 别表示开关I，II，III闭合的事件。由此可 知： A, BC BD A __ BC A, BD __ 而 B A ,即事件 B 与事件A互不相容。
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，
事件之间的关系与事件之间的运算：
设试验E的样本空间为S；A，B，Ak ( k=1,2,…)是E的 事件。
1. 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含 事件A，记为 B A或 A B。 若事件B包含事件A，事件A B 也包含事件B，即B A 且A B， 则称事件A与事件B相等，记为 A A=B.

S1 :
{ H,T }
S2 : { (H,T),(H,H),(T,H),(T,T) } S3 : S4 : S5 : { 1，2，3，4，5，6 } { t ︳t≥0} { (x,y) ︳T0<x<y<T1 }
样本空间中的元素是由试验的内容（或目的）确定的。
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由于随机事件是由基本事件，或由基本事件合成的事 件，因此随机试验E的随机事件A可以与样本空间S中 的子集构成一一对应关系。

不能先验确定的随机性，即自变量与函数值非一一对应； 可无限持续性导致能量无限性， X (t ) dt 条件不满足； 可能具有互相影响的波及性或关联性。

可采用的研究方法：统计学方法。
上 本课程的目的: 海 如何解决输入为随机量的系统分析？问题？何谓统计学 大 方法？如何运用该方法？ 学 通 h(t ) Y ( t ) X( t ) h ( t ) X ( t ) 信 不满足 ： H ( ) X( t ) dt 学 线性非时变系统 院 方法: 1. 给定任意时刻 t 0 , X (t 0 ) 的统计描述方法, 以及如何求解 X ( t 0 )的统计特性; (概率论) 2. 时间量 t 连续变化时, 随机量 X ( t ) 的统计描述方法及其统 计特性; 3. 如何描述 X ( t )的频域及其基本特征; 4. 随机量 X ( t ) 通过线性时不变系统的响应. (其中2,3,4均为随机过程内容)
P(A1∪A2∪… )＝ P(A1)＋P(A2)+….
则称P(A)为事件A的概率。

概率与频率的关系:
lim f n A p A n
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例如：在E3试验中，“出现偶数点”事件A的出现,
则A={2,4,6}，A就是S3的子集。 如事件B: “点数小于3” 其子集为 B={1,2}

由此可知：试验E中的事件A是样本空间S中的 子集，而且事件A发生就是：当且仅当子集中 的一个基本事件发生。同时可推知：必然事 件就是样本空间S；不可能事件就是空集,记为 Ø。 注意： Ø也是一个子集。
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(二) 随机事件：在随机试验中，每一次试验可 能出现也可能不出现，而在大量重复试验中 却具有某种规律性的事件，称为此随机试验 的随机事件，记为A，B，…。


基本事件：随机试验中，由每一种可能结果 所构成的随机事件，称为基本事件。 必然事件。例：掷骰子试验中,“点数不大于6” 不可能事件。例：掷骰子试验中,“点数大于6”
B I
C D
II
A BB C D D S
III
X
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概率论中的事件与集合论中的集合关系
记号 S Ф E A ____ Aபைடு நூலகம்

A B
A=B
A B
AB A-B AB= Ф
概率论 样本空间 不可能事件 基本事件 事件 A的对立事件 事件A发生必然导致事件B发生 事件A与事件B 相等 事件A与事件B至少有一个发生 事件A与事件B同时发生 事件A发生而事件B不发生 事件A与事件互不相容
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引
言
本课程在整个专业课程中的作用： 1、本课程之前的课程所涉及和讨论的信号均为确定性信 号：即，信号的波形或函数表示，其变量之间的关系 一一对应。
这些课程的设立主要目的是解决： 分析确知电信号的组成分量，即信号时域，频域表 示，尤其是信号的付氏分析； 电路或系统对一确定的输入信号会产生什么样的作 用，即研究电路与系统的行为； 设计电路或系统对确知电信号的处理，以达到预期的 目的。
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§ 1 随机试验 随机事件 样本空间
(一) 随机试验:E
试验：各种科学实验，或对某一事物某个特征的
观察。
随机试验的例子：抛硬币，掷骰子，袋中取不同颜色的球，测试一批 产品的某项质量。
随机试验的特征:

1. 可以在相同条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确 试验所有可能结果的范围; 3. 每次试验前不能确定那个结果会出现。 满足上述条件的试验，称为随机试验E。
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学习本课程的方法
统计的概念： 以统计平均的思想描述信号的特征； 模型的概念： 研究一般化的系统与信号间的关系； 物理的概念： 注重数学推演的思想方法以及结论的物理 意义。


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第一章 概率论 自然界和社会上发生的现象是多种多样的,其大体 可分为两类: I.确定性现象:在一定条件下必然发生的现象。 II.随机现象: 在相同条件下，每次试验或观察的 可能结果不止一个，且在每次试验或观察之前无 法预知确切的结果,即不确定性。但在大量重复试 验或观察下,它的结果却呈现出规律性，即具有统 计规律性。这种在相同条件下，各试验结果均呈 现不确定性，但在大量重复试验中又具有统计规 律性的现象，称为随机现象。 概率论就是研究和揭示随机现象统计规律性的一 门科学。
结论：一个随机试验E的随机事件A，在 n次试验中出现 的频率 f n ( A) , 当试验的次数 n 逐渐增多时，它在一个常 数附近摆动，而逐渐稳定于这个常数，这个常数是客观 存在的。这个常数的客观存在性揭示了隐藏在随机现象 中的规律性，这种规律性就是通常所说的 统计规律性 。
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0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4
0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48
0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516
9
10
3
3
0.6
0.6
27
31
0.54
0.62
262
247
0.524
S
上 2. 若事件A与事件B至少有一个发生， 海 则称该事件为事件A与事件B的和， 大 记为A B 。 类似的,若事件A1，A2， 学 …，Ak ，…中至少有一个发生，该 通 事件称为事件A1，A2 ，…，Ak ，… 信 的和，记为 学 院 Ak A1 A2 ... Ak ...