课标全国卷数学高考模拟试题精编(三)

课标全国卷数学高考模拟试题精编三【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答. 题号一 二三 选做题 总分13 14 15 16 17 18 19 20 21 得分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若复数z 满足3－iz ＝1＋i ，i 是虚数单位，则z ＝( ) A ．2－2i B ．1－2i C ．2＋i D ．1＋2i2．若集合A ＝{x ∈Z |2＜2x ＋2≤8}，B ＝{x ∈R |x 2－2x ＞0}，则A ∩(∁R B )所含的元素个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为( ) A ．80 B ．40 C.803 D.4034．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．设l 、m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题： ①l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α ②l ∥α，m ∥α，则l ∥m ③α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β ④l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m其中正确的命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知双曲线C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，P (1，－2)是C 上的点，且y ＝2x 是C 的一条渐近线，则C 的方程为( ) A.y 22－x 2＝1 B ．2x 2－y 22＝1C.y 22－x 2＝1或2x 2－y 22＝1 D.y 22－x 2＝1或x 2－y 22＝17．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.852 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.758．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)，把函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的一条对称轴方程是x ＝π3，则ω的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D.329．按右面的程序框图运行后，输出的S 应为( ) A ．26 B ．35 C ．40 D ．5710．(理)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧π4≤x ≤5π4|y |≤1所表示的平面区域为D ，现向区域D 内随机投掷一点，且该点又落在曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域内的概率是( ) A.22π B.2π C ．2 2 D ．1－2π(文)函数f (x )＝lg|sin x |是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数11．(理)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(文)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 、E 使BD→＝2DA →，AB →＝3BE →，那么CD →·CA →＋CE →·CA →＝( ) A ．3 B ．6 C ．－3 D ．－612．一个赛跑机器人有如下特性：(1)步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，0.3米，…，1.8米，1.9米；(2)发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；(3)当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒．则这个机器人跑50米(允许超出50米)所需的最少时间是( ) A ．48.6秒 B ．47.6秒 C ．48秒 D ．47秒 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13．(理)在(4x －2－x )6的展开式中，常数项为________．(文)若实数x ，y 满足－1＜x ＋y ＜4，且2＜x －y ＜3，则p ＝2x －3y 的取值范围是________．14．已知△ABC 中，BC ＝1，AB ＝3，AC ＝6，点P 是△ABC 的外接圆上一个动点，则BP →·BC→的最大值是________． 15．(理)若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m －12处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________.(文)已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取得最小值时，过点P 引圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝12的切线，则此切线段的长度为________． 16．已知数列a n ：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数a .①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出常数a ；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论． 18.(理)(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上，且A 1P →＝λA 1B 1→(1)证明：无论λ取何值，总有AM ⊥PN ；(2)当λ＝12时，求直线PN 与平面ABC 所成角的正切值．(文)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝AB ＝1，AC 交BD 于O 点．(1)求证：平面PBD⊥平面P AC；(2)求三棱锥D－ABP和三棱锥B－PCD的体积之比．19.(理)(本小题满分12分)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了阶梯水价计费方法，具体为：每户每月用水量不超过a吨的每吨2元；超过a吨而不超过(a＋2)吨的，超出a吨的部分每吨4元；超过(a＋2)吨的，超出(a＋2)吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：月用水量x(吨)34567频数1333 2将12费用，求Y的分布列和数学期望(精确到元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府决定适当下调a的值(3＜a＜4)，小明家响应政府号召节约用水，已知他家前3个月的月平均水费为11元，并且前3个月用水量x的分布列为：月用水量x(吨)46 3P 131313请你求出今年调整的(文)(本小题满分12分)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了阶梯水价计费方法，具体为：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：月用水量x(吨)34567频数1333 2(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：月用水量x(吨)1234567频数1020161615131020．(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x－y＋6＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求△F1MN的内切圆面积的最大值和此时直线l的方程．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a∈R)．(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)设g(x)＝x2－2x，若对任意x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲已知四边形ACBE，AB交CE于D点，BC＝15，DE＝2，DC＝3，EC平分∠AEB.(1)求证：△CDB∽△CBE；(2)求证：A、E、B、C四点共圆．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρsin 2θ＝cos θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22ty ＝22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，求|AB |的值．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|； (1)解不等式f (x )≥5；(2)若对任意实数x ，不等式|x ＋1|＋|x －2|＞ax 恒成立，求实数a 的取值范围． 课标全国卷高考模拟试题精编三1．B 由题意知，z ＝3－i1＋i ＝(3－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－2i. 2．C ∵A ＝{0,1}，B ＝{x |x ＞2或x ＜0}，∴∁R B ＝{x |0≤x ≤2}，A ∩(∁R B )＝{0,1}，故选C.3．D 由三视图知：三棱锥的底面为直角三角形，两直角边分别为5和4，三棱锥的高为4，所以三棱锥的体积为V ＝13×12×4×5×4＝403.4．C 因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，所以a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，不妨设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k ，由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 2110k 2＝－23110＜0，所以角C 为钝角，所以△ABC 一定是钝角三角形．5．A 两条直线垂直于同一个平面，则两直线平行，所以命题④正确；命题①中直线l 可能在平面α内；命题②中两直线可能相交或异面；命题③中，直线l 与平面β不一定垂直，故选A.6．A 由渐近线方程可设双曲线的方程为x 2－y 22＝λ(λ≠0)①，将P (1，－2)代入①中得λ＝－1，该双曲线的方程为y 22－x 2＝1.7．D 因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1－520＝0.75，故选D.8．B 平移后所得函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6，由x ＝π3是其图象的一条对称轴得ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得ω＝2＋6k (k ∈Z )，又ω＞0，所以ω的最小值为2.9．C 第一次循环：T ＝3i －1＝2，S ＝S ＋T ＝2，i ＝i ＋1＝2，不满足条件，再次循环；第二次循环：T ＝3i －1＝5，S ＝S ＋T ＝7，i ＝i ＋1＝3，不满足条件，再次循环； 第三次循环：T ＝3i －1＝8，S ＝S ＋T ＝15，i ＝i ＋1＝4，不满足条件，再次循环； 第四次循环：T ＝3i －1＝11，S ＝S ＋T ＝26，i ＝i ＋1＝5，不满足条件，再次循环； 第五次循环：T ＝3i －1＝14，S ＝S ＋T ＝40，i ＝i ＋1＝6，满足条件，输出S 的值为40. 10．(理)B作出平面区域D ，如图中四边形，易知其面积为2π.设曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 在区域D 内围成的区域面积为S 0，结合图象可知S 0＝∫5π4π4(sin x －cos x)d x ＝22，则所求概率P ＝S 0S D＝2π.(文)C 易知函数的定义域为{x|x ∈R 且x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|－sin x |＝lg|sin x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，又函数y ＝|sin x |的周期为π，所以函数f (x )＝lg|sin x |是最小正周期为π的偶函数． 11．(理)B作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，发现有2个不同的交点，故选B.(文)A 由BD →＝2DA →得CD →－CB →＝2(CA →－CD →)，则CD →＝23CA →＋13CB →.同理可得CE →＝－13CA →＋43CB →，所以CD →·CA →＋CE →·CA →＝(CD →＋CE →)·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CA →＋53CB →·CA →＝13CA →2＝3. 12．A 易知：当设置的步长为1.8米时，所需时间最少，此时迈步动作间隔27次，所以所需时间为27×1.8＝48.6秒．13．(理)解析：C r 6(4x )6－r (－2－x )r ＝C r 62x (12－3r )·(－1)r ，由12－3r ＝0，得r ＝4，所以C 46(－1)4＝15，所以常数项为15.答案：15(文)解析：画出条件－1＜x ＋y ＜4，且2＜x －y ＜3的可行域，由可行域知p ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)． 答案：(3,8) 14．解析：由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝223，则sin A ＝13，结合正弦定理可得△ABC的外接圆直径2r ＝BC sin A ＝3.如图建立平面直角坐标系，设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ，32sin θ，则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ＋12，32sin θ＋2，BC →＝(1,0)，所以BP →·BC →＝32cos θ＋12.易知BP →·BC →的最大值是2. 答案：215．(理)解析：由题意知m ＞0，因为y ＝x －12，所以y ′＝－12x －32，所以y ′|x ＝m ＝－12m －32，所以切线方程为y －m －12＝－12m －32(x －m )，即y ＝－12m －32x ＋32m －12，令x ＝0得y ＝32m －12；令y ＝0得x ＝3m ，因为切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，所以12·3m ·32·m －12＝18，解得m ＝64. 答案：64(文)解析：∵2x ＋4y ≥22x ＋2y ＝42，且当x ＝32，y ＝34时取得最小值，∴点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34，其到圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－14的距离为2，已知圆的半径为22，切线段的长度为62.答案：6216．解析：通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数11，分子分母之和为2；第二组有两个数21，12，分子分母之和为3；第三组有三个数31，22，13，分子分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个，第9个数，分子分母之和为15，所以a 99＝78，a 100＝69.故a 99＋a 100＝3724. 答案：372417．解：(1)选择②式计算a ＝sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝34.(2)猜想的三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin αcos 30°cos α－sin 30°sin 2x＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.18．(理)解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系则A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0A 1P →＝λA 1B 1→＝λ(1,0,0)＝(λ，0,0)，AP →＝AA 1→＋A 1P →＝(λ，0,1)，PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ，12，－1(1)∵AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴AM →·PN→＝0＋12－12＝0 ∴无论λ取何值，AM ⊥PN(2)λ＝12时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1， 而面ABC 的法向量n ＝(0,0,1) 设α为PN 与面ABC 所成角， 则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PN →·n |PN →||n |＝255，∴tan α＝2 所以直线与PN 与平面ABC 所成角的正切值为2.(文)解：(1)∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，AD ＝AB ，AC 为公共边， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC ，则BO ＝DO .又在△ABD 中，AB ＝AD ，∴△ABD 为等腰三角形． ∴AC ⊥BD ，∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BD ， 又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ， 又BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面P AC . (2)在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°，则BC ＝ 3. ∵S △ABD ＝12AB ·AD sin 120°＝12×1×1×32＝34， S △BCD ＝12BC ·CD ·sin 60°＝12×3×3×32＝334， ∴V D －ABP V B －PCD ＝V P －ABD V P －BCD ＝13S △ABD ·P A 13S △BCD ·P A＝S △ABDS △BCD＝13. 19．(理)解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤a 4x －2a ，a ＜x ≤a ＋2.6x －4a －4，x ＞a ＋2(2)当a ＝4时， y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤44x －8，4＜x ≤6.6x －20，x ＞6Y 的可能取值为6,8,12,16,22，Y 的分布列为：所以E (Y )＝6×112＋8×14＋12×14＋16×14＋22×16＝796≈13.(3)依题意，13[(4×4－2a )＋(6×6－4a －4)＋6]＝11， 得54－6a ＝33. 解得a ＝3.5.故今年调整的a 值为3.5.(文)解：(1)y 关于x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤44x －8，4＜x ≤6.6x －20，x ＞6(2)由(1)知：当x ＝3时，y ＝6； 当x ＝4时，y ＝8；当x ＝5时，y ＝12； 当x ＝6时，y ＝16；当x ＝7时，y ＝22. 所以该家庭去年支付水费的月平均费用为 112(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)． (3)由(1)和题意知：当y ≤12时，x ≤5， 所以“节约用水家庭”的频率为77100＝77%， 据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.20．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12b ＝61＋1a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎨⎧x ＝my ＋1x 24＋y 23＝1，∴(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4y 1·y 2＝－93m 2＋4，∴S △F 1MN ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋13m 2＋4＝123m 2＋4m 2＋1＝123m 2＋1＋1m 2＋1≤124＝3(当且仅当m ＝0时取等号)．设△F 1MN 的内切圆的半径为R ，则S △F 1MN ＝12(|MN |＋|F 1M |＋|F 1N |)R ＝4R ， ∴R max ＝34，这时所求内切圆面积的最大值为9π16，直线l 的方程为x ＝1. 21．解：f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x (x ＞0)． (Ⅰ)f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23. (Ⅱ)f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x (x ＞0)．①当a ≤0时，x ＞0，ax －1＜0，在区间(0,2)上，f ′(x )＞0；在区间(2，＋∞)上f ′(x )＜0， 故f (x )的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)． ②当0＜a ＜12时，1a ＞2，在区间(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上，f ′(x )＞0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a .③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)22x ，故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)． ④当a ＞12时，0＜1a ＜2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上，f ′(x )＞0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2.(Ⅲ)由已知，在(0,2]上有f (x )max ＜g (x )max . 由已知，g (x )max ＝0，由(Ⅱ)可知， ①当a ≤12时，f (x )在(0,2]上单调递增，故f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln 2＝－2a －2＋2ln 2， 所以，－2a －2＋2ln 2＜0，解得a ＞ln 2－1， 故ln 2－1＜a ≤12.②当a ＞12时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上单调递减，故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－2－12a －2ln a .由a ＞12可知ln a ＞ln 12＞ln 1e ＝－1,2ln a ＞－2，－2ln a ＜2， 所以，－2－2ln a ＜0，f (x )max ＜0， 综上所述，a ＞ln 2－1.22．解：(1)∵BC ＝15，DE ＝2，DC ＝3，∴CD CB ＝CBCE ， 又∵∠DCB ＝∠BCE ，∴△CDB ∽△CBE .(2)∵△CDB ∽△CBE ，∴∠DBC ＝∠BEC ， ∵EC 平分∠AEB ，∴∠AEC ＝∠BEC ， ∴∠AEC ＝∠DBC ，∴A 、E 、B 、C 四点共圆．23．解：(1)将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入ρ2sin 2θ＝ρcos θ中，得y 2＝x . ∴曲线C 的直角坐标方程为：y 2＝x . (2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t y ＝22t代入y 2＝x 整理得，t 2＋2t －4＝0，Δ＞0总成立． 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， ∵t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－4， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(－2)2－4×(－4)＝3 2.24．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－13，－1＜x ＜22x －1，x ≥2(1)解法一：不等式f (x )≥5⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1－2x ＋1≥5即x ≤－2；或⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜x ＜23≥5即解集为∅；或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥22x －1≥5即x ≥3综上：原不等式的解集为{x|x≤－2或x≥3}解法二：作函数图象如图，不等式的解集为{x|x≤－2或x≥3} (2)作函数f(x)的图象如图：不等式|x＋1|＋|x－2|＞ax恒成立．即f(x)≥ax恒成立等价于函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝ax的图象上方，由图可知a的取值范围为－2≤a＜32.。