江苏省泰州市2013届高三上学期期末考试数学(附答案) (11)
2013届高三数学上册期初检测试题(含答案)
2013届高三数学上册期初检测试题(含答案)江苏省泰州二中2013届高三期初（暑期）检测数学试题必做题部分（满分160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1、若，则=__________。
2、设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______________。
3、已知复数，,那么=_________。
4、若角的终边落在射线上，则=____________。
5、在数列中，若，，，则该数列的通项为。
6、甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位:环）如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是。
甲108999乙10107997、在闭区间－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是。
8、已知对称中心为原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程为___________________。
9、阅读下列程序:ReadS1ForIfrom1to5step2SS+IPrintSEndforEnd输出的结果是。
10、给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是。
①若；②函数的图象关于x=对称；③函数为偶函数，④函数是周期函数，且周期为2。
11、若函数在上是增函数，则的取值范围是____________。
12、设，则的最大值是_________________。
13、已知是定义在上的奇函数,则的值域为.14、已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是。
二、解答题：本大题共6小题，共90分。
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、(本小题满分14分)设函数,其中向量，(1)求的最小正周期；(2)在中，分别是角的对边，求的值。
16、(本小题满分14分)如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,为的中点.(1)求证:面；(2)求证:平面平面.17、(本小题满分14分)某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交元（为常数，2≤a≤5）的税收。
泰州市2014届高三上学期期末考试数学试题
2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)命题人：朱占奎 张乃贵 王宏官 范继荣 审题人：吴卫东 石志群注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合A ={}9,6,1，B ={}2,1，则A ∩B = ▲ . 2．复数bi a i +=+2)1((b a ,是实数，i 是虚数单位)，则b a +的值为 ▲ . 3．函数2lg(6)y x x =-++4 小学生中用分层抽样的方法抽取 别为1200，1000，800 为 ▲ .5 值是▲ .6．在ABC ∆中，2=，若 AC ，则的值为 ▲ .7．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．则点数相同的概率是 ▲ . 8．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点． 若41=AA ，2=AB ，则四 棱锥D ACC B 1-的体积 为 ▲ .9．以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近 线相切的圆的方程为 ▲ .10．设函数b a x a x x f +--=)()((b a ,都是实数)．则下列叙述中，正确的序号是 ▲ .(请把所有叙述正确的序号都填上) ①对任意实数b a ,，函数)(x f y =在R 上是单调函数； ②存在实数b a ,，函数)(x f y =在R 上不是单调函数；第8题A 1A③对任意实数b a ,，函数)(x f y =的图象都是中心对称图形； ④存在实数b a ,，使得函数)(x f y =的图象都不是中心对称图形． 11．已知在等差数列{}n a 中，若r t s p n m ++=++22，*∈N r t s p n m ,,,,,则r t s p n m a a a a a a ++=++22，仿此类比，可得到等比数列{}n b 中的一个正确命题： 若r t s p n m ++=++22，*∈N r t s p n m ,,,,,，则 ▲ . 12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1208642=a a a a ，且+++842862864111a a a a a a a a a6071642=a a a ，则9S 的值为 ▲ .13．在平面直角坐标系中，)2,1(),0,0(B A 两点绕定点P 顺时针方向旋转θ角后，分别到 )2,5(),4,4(B A ''两点，则θcos 的值为 ▲ .14．已知函数a x x f +=3)(与函数a x x g 23)(+=在区间),(c b 上都有零点，则2222422c bc b bc ac ab a +-+++的最小值为 ▲ .二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．(本题满分14分)已知函数)42sin(2)(π+=x x f ．(1)求函数)(x f y =的最小正周期及单调递增区间； (2)若56)8(0-=-πx f ，求)(0x f 的值．16．(本题满分14分)如图，在四棱锥ABCD E -中， ABD ∆为正三角形，CD CB ED EB ==,． (1)求证：BD EC ⊥；(2)若BC AB ⊥，N M ,分别为线段AB AE ,的中点， 求证：平面DMN ∥平面BEC ．第16题17．(本题满分15分)已知椭圆(1:2222>>=+b a by a x C 和圆222:a y x O =+，)0,1(),0,1(21F F -右两焦点，过1F 且倾斜角为])2,0((παα∈的动直线l交椭圆C 于B A ,两点，交圆O 于Q P ,两点(点A 在轴上方)．当4πα=时，弦PQ 的长为14．(1)求圆O 和椭圆C 的方程；(2)若点M 是椭圆C 上一点，求当AB BF AF ,,22成等差数列时，MPQ ∆面积的最大值．18．(本题满分15分)某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是l BD AB ==，3π=∠B 的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直与底面(C 不B A ,与重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿A C D →→运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为v 3．为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中θ=∠DCB 的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ 的函数(用含有v 和l 的式子)；(2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？第18题19．(本题满分16分)设函数x ae x x f +=41121)((其中a 是非零常数，e 是自然对数的底)，记)()(1x f x f n n -'=(2≥n ，*∈N n )(1)求使满足对任意实数x ，都有)()(1x f x f n n -=的最小整数n 的值(2≥n ，*∈N n )； (2)设函数)(...)()()(54x f x f x f x g n n +++=，若对5≥∀n ，*∈N n ，)(x g y n =都存在极值点n t x =，求证：点))(,(n n n n t g t A (5≥n ，*∈N n )在一定直线上，并求出该直线方程；(注：若函数)(x f y =在0x x =处取得极值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点．) (3)是否存在正整数)4(≥k k 和实数0x ，使0)()(010==-x f x f k k 且对于*∈∀N n ，)(x f n 至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k 和0x ，若不存在，说明理由．20．(本题满分16分)已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，数列{}n b 是等比数列． (1)若n n n n b a a c )(1-=+(*∈N n )，求证：{}n c 为等比数列；(2)设n n n b a c =(*∈N n )，其中n a 是公差为2的整数项数列，nn b )1312(=，若 1234516842c c c c c >>>>，且当17≥n 时，{}n c 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；(3)若数列{}n c 使得⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n c b a 是等比数列，数列{}nd 的前n 项和为n nn c c a -，且数列{}n d 满足：对任意2≥n ，*∈N n ，或者0=n d 恒成立或者存在正常数M ，使M d Mn <<1恒成立，求证：数列{}n c 为等差数列．2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学试题(附加题)21.［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。
江苏省泰州二中2013届高三第一次测试数学试题(附答案) (1)
泰州二中2013届高三第一次测试数学试题必做题部分（满分160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1、若}1log |{},822|{2>∈=≤≤∈=x R x B Z x A x，则B A ⋂=__________。
2、设0)1)((:;1|34:|≤---≤-a x a x q x p ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_______________。
3、已知复数11z i =-，21z i =+,那么21z z =_________。
4、若角α的终边落在射线)0(≥-=x x y 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-=____________。
212=a ，5、在数列}{n a 中，若11=a ，)(112*21N n a a a n n n ∈+=++，则该数列的通项为 。
6、甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位:环）如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是 。
7、在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 。
8、已知对称中心为原点的双曲线2122=-y x 与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程为___________________。
9、阅读下列程序:Read S ←1For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I Print S End for End输出的结果是 。
10、给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是 。
甲 10 8 9 9 9 乙1010799①若Z k k ∈=-=,2,cos cos πβαβα则；②函数)32cos(2π+=x y 的图象关于x=12π对称；③函数))(cos(sin R x x y ∈=为偶函数，④函数||sin x y =是周期函数，且周期为2π。
11、若函数52++=x mx y 在[2,)-+∞上是增函数，则m 的取值范围是____________。
江苏省泰州市高三数学上学期期末联考新人教版
江苏省泰州市2010届高三上学期期末联考数学一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分；将答案填在答题纸上。
1、设集合{}22|0,|201x A x B x x x x +⎧⎫=≤=-≤⎨⎬-⎩⎭，则()R C A B = 。
2、复数21i z i=+的共轭复数z = 。
3、平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm ，把一枚半径为1cm 的硬币任意平掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率为 。
4、若曲线()4f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为 。
5、某班有52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号是 。
6、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2e =，则其渐近线的方程为 。
7、在等比数列{}n a 中，若357911243a a a a a =，则2911a a 的值 为 。
8、如图，在ABC ∆中，3,2AB BC AC ==，若O 为ABC ∆的外心，则OB OC ⋅= .9、已知()y f x =是偶函数，当0x >时，()4f x x x=+，且当[]3,1x ∈--时，()n f x m ≤≤ 恒成立，则m n -的最小值是 。
10、函数()()()01log 09c ax b x f x x x +≤⎧⎪=⎨⎛⎫+> ⎪⎪⎝⎭⎩的图象如图所示，则 a b c ++= 。
11. 正方体的八个顶点中有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为 。
12. 设函数()22cos cos f x x x x m =++且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()f x 的值域恰为 17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则实数m 的值为 。
13. 已知直线l 的方程为2x =-，圆22:1O x y +=则以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰好有两个公共点的椭圆方程为 ；14. 函数()f x 的定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数，②存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，那么()y f x =叫做闭函数，现有()f x k =是闭函数，那么k 的取值范围是 。
江苏省泰州市高三数学上学期期末考试试题苏教版
高三数学试题(考试时间： 120分钟 总分160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知集合A ={}3,2,1，B ={}5,2,1，则A ∩B = ▲ .2．设复数z 1=2+2i,z 2=2-2i,则21z z= ▲ .3．若数据3,,,,,54321x x x x x 的平均数为3，则数据54321,,,,x x x x x 的平均数为 ▲ .4．设双曲线15422=-yx 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF 1F 2的面积为6，则点P 的坐标为 ▲ .5．曲线y =2ln x 在点(e,2)处的切线（e 是自然对数的底）与y 轴交点坐标为 ▲ .6．如图，ABCD 是一个4×5的方格纸，向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为 ▲ .7．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且),()(b f a f >则)(a f - ▲ )(b f -（用""""<>或填空）.8． 在空间中，用a b c ,, 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥； ③若//a γ，//b γ，则//a b ； ④若a γ⊥，b γ⊥，则//a b ；其中真命题的序号为 ▲ .9. 右图是一个算法流程图，则输出的P = ▲ .10. 已知点P (t ,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2+y 2=1内一点，直线tx +2ty =m 与圆C 相切，则直线x +y +m =0与圆C 的位置关系是 ▲ .11. 设a ∈R ，s ：数列{()2a n -}是递增的数列；t ：≤a 1.则s 是t 的 ▲ 条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中的一个）.12.各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则a 4的取值范围是 ▲ .13. 已知六个点A 1(x 1,1),B 1(x 2,-1),A 2(x 3,1),B 2(x 4,-1),A 3(x 5,1),B 3(x 6,-1)（x 1＜x 2＜x 3＜x 4D＜x 5 ＜x 6，x 6－x 1=5π)都在函数f (x )=sin(x +3π)的图象C 上.如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线C 上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为 ▲ .（两点不计顺序）14. 已知f (x )=2mx +m 2+2,m ≠0,m ∈R ,x ∈R .若｜x 1｜+｜x 2｜=1，则)()(21x f x f 的取值范围是▲ .二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15. （本题满分14分）已知向量a =（cos λθ,cos(10-λ)θ），b =(sin(10-λ)θ,sin λθ),λ、θ∈R .（1）求2a +2b 的值；（2）若a ⊥b，求θ；（3）若θ=20π，求证：a ∥b.16. （本题满分14分） 在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA =AB =AC =33BC ，点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE =4DE ，点M 是线段SD 上一点. (1)求证：BC ⊥AM ；(2)若AM ⊥平面SBC ，求证EM ∥平面ABS .17. （本题满分14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB =1，BC =2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC . （1）设∠MOD =30°，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.18. （本题满分16分）直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：12222=+b y a x （a >b >0）的左、右顶点分别是A 1，A 2，上、下顶点为B 2，B 1，点P （a 53，m ）（m ＞0）是椭圆C 上一点，PO ⊥A 2B 2，直线PO 分别交A 1B 1、A 2B 2于点M 、N . （1）求椭圆离心率；（2）若MN =7214，求椭圆C 的方程；（3）在（2）的条件下，设R 点是椭圆C 上位于第一象限内的点，F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，RQ 平分∠F 1RF 2且与y 轴交于点Q ，求点Q 纵坐标的取值范围.19. （本题满分16分）已知数列a n =n -16，b n =(-1)n ｜n -15｜，其中n ∈N *. （1）求满足a n +1=｜b n ｜的所有正整数n 的集合； （2）若n ≠16，求数列nna b 的最大值和最小值； （3）记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，求所有满足S 2m =S 2n （m ＜n ）的有序整数对（m ,n ）.20. （本题满分16分）已知函数f (x )=(x -a )(x -b )2，a ,b 是常数. (1)若a ≠b ，求证：函数f (x )存在极大值和极小值；(2)设（1）中f (x )取得极大值、极小值时自变量的值分别为x 1、x 2，令点A (x 1, f (x 1)),B (x 2,f (x 2)).如果直线AB 的斜率为-21，求函数f (x )和f ′ (x )的公共递减区间的长度 ； (3)若f (x )≥mxf ′ (x )对于一切x ∈R 恒成立，求实数m ,a ,b 满足的条件.2012～2013学年度第一学期期末考试高三数学试题(附加题)21.［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--导数及其应用
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编导数及其应用1、（南通市2013届高三期末）曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ． 答案：1e 2y x =-． 2、（苏州市2013届高三期末）过坐标原点作函数ln y x =图像的切线，则切线斜率为 ． 答案：1e3、（泰州市2013届高三期末）曲线y=2lnx 在点（e,2）处的切线与y 轴交点的坐标为 (0,0)4、（扬州市2013届高三期末）已知函数xmx x f -=ln )(（R m ∈）在区间],1[e 上取得最小值4，则=m ▲ ． e 3-5、（常州市2013届高三期末）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =．a ，b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为（2l b >），如图．设AE x =，△AEF 的面积为S ．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地 块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值． 解：（1）设AF y =，则22x y x y l +++=，整理，得222()l lxy l x -=-．………3分 2(2)4(12)l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈． …………………………………4分（2）()()]22'222422222,(0,4224l x lx l l S x l x l x b x l x l ⎛⎫⎛⎫-+-+=⋅=-⋅-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴当222b l -≤时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=-； 当222b l ->时，在220,2x l ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S >，S 递增，在22,2x l b ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S <，S 递减，故当222x l -=时，2max 3224S l -=.6、（连云港市2013届高三期末）（连云港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2+4x +8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y ＝x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【解】(1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分 当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x2不恒成立,不满足条件②,故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6分(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ，设f (x )= x -2ln x +a ，则f ´(x )=1-2x =x －2x≥0.所以f (x )在[2，10]上是增函数，满足条件①，由条件②，得x -2ln x +a ≥x 2，即a ≥2ln x -x2在x ∈[2，10]上恒成立，令g (x )=2ln x -x 2，则g ´(x )=2x －12=4－x2x，由g ´(x )>0得x <4，∴g (x )在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2. ………………10分 由条件③，得f (10)=10-2ln10+a ≤8，解得a ≤2ln10-2. ……………………12分 另一方面，由x -2ln x +a ≤x ，得a ≤2ln x 在x ∈[2，10]上恒成立, ∴a ≤2ln2,综上所述，a 的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，所以满足条件的整数a 的值为1. ……………14分7、（南京市、盐城市2013届高三期末）对于定义在区间D 上的函数()f x , 若任给0x D ∈, 均有0()f x D ∈, 则称函数()f x 在区间D 上封闭.试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭, 并说明理由； 若函数3()1x ag x x +=+在区间[3,10]上封闭, 求实数a 的取值范围； 若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭, 求,a b 的值.解: (1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,所以()f x 的值域为[-3,0]………2分 而[-1,0][2,1]⊄-,所以()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的……………… 4分(2)因为33()311x a a g x x x +-==+++, ①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]⊆,适合题意……………5分 ②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[,]114a a++, 由309[,]114a a++[3,10]⊆,得303119104aa +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得331a ≤≤,故331a <≤……………………7分③当3a <时,在区间[3,10]上有33()3311x a a g x x x +-==+<++,显然不合题意 …………………8分综上所述, 实数a 的取值范围是331a ≤≤……………………………9分 (3)因为3()3h x x x =-,所以2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-, 所以()h x 在(,1)-∞-上单调递减,在(1,1)-上递增,在(1,)+∞上递增.①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b ≥⎧⎨≤⎩,此时无解………10分 ②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意…………11分③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故22a b ≤-⎧⎨≥⎩, 又33()3()3a h a a a b h b b b ⎧≤=-⎨≥=-⎩,解得202202a a b b -≤≤≥⎧⎨≤≤≤⎩或或,从而22a b =-⎧⎨=⎩ ………12分 ④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b ah a b ≥⎧⎨≤⎩(*), 而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式……………………………13分⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意…………14分⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b ≥⎧⎨≤⎩,此时无解 ……………15分 综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=…………………16分8、（南通市2013届高三期末）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好． （1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？解：（1）由题意，AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<． …………2分设DP y =，则PC x y =-．因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-．由 222PA AD DP =+，得 2221()(2)2(1)x y x y y x -=-+⇒=-，12x <<．……5分（2）记△ADP 的面积为1S ，则11(1)(2)S x x=-- ………………………………………………………………6分23()222x x=-+≤-，当且仅当2x =∈(1，2)时，S 1取得最大值．……………………………………8分 故当薄板长为2米，宽为22-米时，节能效果最好． ……………………9分 （3）记△ADP 的面积为2S ，则221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x=-+--=-+，12x <<．…………………………10分于是，33222142(2)022x S x x x x-+'=--==⇒=．……………………………11分 关于x 的函数2S 在3(1,2)上递增，在3(2,2)上递减．所以当32x =时，2S 取得最大值． …………………………13分 故当薄板长为32米，宽为322-米时，制冷效果最好． ………………………14分9、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；（2） 求函数)(x f 单调区间；（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a的取值范围.A BCD（第17题）B 'P⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x (,0)-∞0 (0,)∞+()f x ' -+()f x减函数极小值增函数所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即l n e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥，函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤． 综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+ ．………………………………16分10、（泰州市2013届高三期末）已知函数f(x)=(x-a)2()x b -,a,b 为常数， （1）若a b ≠,求证：函数f(x)存在极大值和极小值（2）设（1）中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ，令点A 11(,()x f x )，B22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为12-，求函数f(x)和/()f x 的公共递减区间的长度（3）若/()()f x mf x ≥对于一切x R ∈ 恒成立，求实数m,a,b 满足的条件解：（1）[])2(3)()(/b a x b x x f +--= …………………………………………………1分b a ≠ 32b a b +≠∴0)(,=∴x f 有两不等 b 和32ba + ∴f （x ）存在极大值和极小值 ……………………………….……………………………4分（2）①若a =b ，f （x ）不存在减区间②若a >b 时由（1）知x 1=b ，x 2=32ba + ∴A （b ,0）B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+9)(2,322b a b a 21329)(22-=-+-∴b b a b a ∴)(3)(22b a b a -=- 23=-∴b a○3当a <b 时 x 1=32ba +,x 2=b 。
13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编4：三角函数
.
【答案】-1 29． （南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷）如图,点 O 为作简谐振动的物体的平衡位
置,取向右方向为正方向,若振幅为 3cm,周期为 3s,且物体向右运动到距平衡位置最远 处时开始计时.则该物体 5s 时刻的位移为________cm. O
(第 12 题)
答案:-1.5. 本题主要考查三角函数及其应用.考题取自教材的例题.教学中应关注课本,以及有关重 要数学模型的应用,讲评时还要强调单位书写等问题. 10 S(t)= 3sin( t ) ,求 S(5)= -1.5 即可. 3 2
2 2 2 2 2 2 2
3 5
5
1－2 3 又 tanα =2,所以 cos2α = 2 =2 ＋1 5 (2)方法一: π 因为 α ∈(0,π ),且 tanα =2,所以 α ∈(0, ). 2 3 π 4 又 cos2α =- <0,故 2α ∈( ,π ) ,sin2α = 5 2 5 7 2 2 π 由 cosβ =,β ∈(0,π ),得 sinβ = ,β ∈( ,π ) 10 10 2 4 7 2 3 2 2 所以 sin(2α -β )=sin2α cosβ -cos2α sinβ = ×()-(- )× =5 10 5 10 2 π π π 又 2α -β ∈(- , ),所以 2α -β =2 2 4 方法二: π 2tanα 4 因为 α ∈(0,π ),且 tanα =2,所以 α ∈(0, ),tan2α = =- . 2 2 1－tan α 3 从而 2α ∈( π ,π ) 2
经过点 P (1,1) , 点 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 是函数 f ( x ) sin(x )( 0) 图象上的任意 两点,若 f ( x1 ) f ( x 2 ) 2 时, x1 x 2 的最小值为
13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编6：数列
曲线 C 的切线,切点为 T2 ,设 T2 在 x 轴上的投影是点 H 2 ,,依次下去,得到第 n 1 (n N) 个切点 Tn 1 .则点 Tn 1 的坐标为______.
【答案】 n， en
2
9 ． （江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷）已知
(1) n (n 15) bn = n 16 an
(ii)当 n<16 时,
当 n 为偶数时
1 bn (n 15) = =-1n 16 n 16 an
n=14 时(
1 b 13 bn )max=- ( n )min=2 an 14 an 1 1 14 bn n 15 b = =1+ , n=1 , ( n )max=1= , n 16 15 15 an n 16 an
14（ ．江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷） 等差数列{an}的公差为-2,且 a1,a3,a4
成等比数列,则 a20=_______________.
【答案】 30 15（ ．南京市、 盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷） 已知数列{an}的通项公式为 an=-n+p,
an 满 足
a1 1, an 1 1 an (an 1) , (n N ) ,且
____.
【答案】 二、解答题
1 1 1 =2,则 a2013 4a1 的最小值为 a1 a2 a2012
7 2
25． （江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题）设数列
an 的各项均为正
数,其前 n 项的和为 S n ,对于任意正整数 m , n , S m n (1)若 a1 1 ,求 a2 , a3 , a4 及数列 an 的通项公式; (2)若 a4 a2 (a1 a2 1) ,求证:数列 an 成等比数列.
泰州市2014届高三上学期期末考试数学试题-Word版含答案
泰州市2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)命题人： 朱占奎 张乃贵 王宏官 范继荣 审题人： 吴卫东 石志群注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{}1,6,9A =，{}1,2B =，则AB = ▲ ．2．复数(1i +2)a bi =+（,a b 是实数，i 是虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 3．函数2log (3)y x =-的定义域为 ▲ ．4分层抽样的方法抽取300高中三个学段学生人数分别为1200，1000，800抽取的学生人数为 ▲ ．5．已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果S6．在ABC ∆中，2BD DC =，若12AD AB AC λλ=+，7．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．8．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 14AA =，2AB =，则四棱锥1B ACC D -9．以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 ▲ ．10．设函数()()f x x a x a b =--+（,a b 都是实数）．则下列叙述中，正确的序号是 ▲ ．（请把所有叙述正确的序号都填上） ①对任意实数,a b ，函数()y f x =在R 上是单调函数；②存在实数,a b ，函数()y f x =在R 上不是单调函数； ③对任意实数,a b ，函数()y f x =的图像都是中心对称图形； ④存在实数,a b ，使得函数()y f x =的图像不是中心对称图形． 11．已知在等差数列{}n a 中，若22m n p s t r ++=++，,,,,,m n p s t r ∈N *则22m n p s t r a a a a a a ++=++，仿此类比，可得到等比数列{}n b 中的一个正确命题：若22m n p s t r ++=++，,,,,,m n p s t r ∈N *，则 ▲ ． 12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2468120a a a a =，且4682682482461111760a a a a a a a a a a a a +++=，则9S 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系中，()0,0,(1,2)A B 两点绕定点P 顺时针方向旋转θ角后，分别到()4,4,A '(5,2)B '两点，则cos θ的值为 ▲ ．14．已知函数()3f x x a =+与函数()32g x x a =+在区间(,)b c 上都有零点，则2222242a ab ac bc b bc c +++-+的最小值为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15． （本题满分14分）已知函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递增区间； （2）若06()85f x π-=-，求0()f x 的值.16． （本题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，ABD ∆为正三角形，,EB ED CB CD ==.（1）求证：EC BD ⊥；（2）若A B B C ⊥，,M N 分别为线段,AE AB 的中点，求证：平面//DMN 平面BEC .17． （本题满分15分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y a +=，()()121,0,1,0F F -分别是椭圆的左、右两焦点，过1F 且倾斜角为α0,2πα⎛⎫⎛⎤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交圆O 于,P Q 两点（如图所示，点A 在x 轴上方）．当4πα=时，弦PQ（1）求圆O 与椭圆C 的方程；（2）若点M 是椭圆C 上一点，求当22,,AF BF AB 成等差数列时，MPQ ∆面积的最大值.18． （本题满分15分）某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB BD l ==，3B π∠=的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于底面（C 不与,A B 重合），且CD 可伸缩（当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D C A →→运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v ．为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中DCB θ∠=的大小.（1）当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数（用含有v 和l 的式子）； （2）当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？DC19． （本题满分16分）设函数x ae x x f +=41121)(（其中a 是非零常数，e 是自然对数的底），记1()()n n f x f x -'=（2≥n ，n ∈N *）（1）求使满足对任意实数x ，都有)()(1x f x f n n -=的最小整数n 的值（2≥n ，n ∈N *）； （2）设函数)()()()(54x f x f x f x g n n +⋯++=，若对5≥∀n ，n ∈N *，)(x g y n =都存在极值点n t x =，求证：点))(,(n n n n t g t A （5≥n ，n ∈N *）在一定直线上，并求出该直线方程；（注：若函数)(x f y =在0x x =处取得极值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点.） （3）是否存在正整数()4k k ≥和实数0x ，使0)()(010==-x f x f k k 且对于n ∀∈N *，)(x f n 至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k 和0x ，若不存在，说明理由．20． （本题满分16分）己知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，数列{}n b 是等比数列． （1）若()1n n n n c a a b +=-（n ∈N *），求证：{}n c 为等比数列；（2）设n n n b a c =（n ∈N *），其中n a 是公差为2的整数项数列，nn b ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1312，若1234516842c c c c c >>>>，且当17n ≥时，{}n c 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n c 使得⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n c b a 是等比数列，数列{}nd 的前n 项和为n nn c c a -，且数列{}n d 满足：对任意2n ≥，n ∈N *,或者0n d =恒成立或者存在正常数M ，使M d Mn <<1恒成立，求证：数列{}n c 为等差数列．已知矩阵21n A m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征根为2λ=，它对应的一个特征向量为12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求m 与n 的值； （2）求1A -．C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M的参数方程为2cos 272sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N是以点3π⎫⎪⎭为圆心，且过点)2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； （2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．M［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)己知直线42:-=x y l 与抛物线:C x y 42=相交于,A B 两点，(),0(0T t t >且2t ≠）为x 轴上任意一点，连接,AT BT 并延长与抛物线C 分别相交于11,A B ． （1）设11A B 斜率为k ，求证：k t ⋅为定值； （2）设直线11,AB A B 与x 轴分别交于,M N ，令111234,,,ATM BTM B TN A TN S S S S S S S S ∆∆∆∆====，若1234,,,S S S S 构成等比数列，求t 的值．23．(本小题满分10分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆为直角三角形，2ACB π∠=，顶点1C 在底面ABC ∆内的射影是点B ，且13AC BC BC ===，点T 是平面1ABC 内一点．（1）若T 是1ABC ∆的重心，求直线1A T 与平面1ABC 所成角；（2）是否存在点T ，使1T B T C =且平面11TAC ⊥平面11ACC A ，若存在，求出线段TC 的长度，若不存在，说明理由．MN2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学参考答案一、填空题1．{}1； 2．2； 3．{}|3x x >； 4．100； 5．7；6． 29； 7．16； 8． 9．22(5)16x y -+=； 10．①③； 11．()()22m n p s t r b b b b b b =； 12．632； 13．35- ； 14．1-.二、解答题 15.（1）22T ππ==， ………………2分 增区间为31,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； ………………6分 （2）06()85f x π-=-即03sin(2)5x =-，所以04cos(2)5x =±， ………………10分)0000()2sin(2)sin 2cos 24f x x x x π=+=+=或 ………14分16.（1）取BD 的中点O ，连结EO ，CO ，∵△ABC 为正三角形，且CD=CB∴CO ⊥BD ，E O ⊥BD ………………4分 又0COEO =，∴BD ⊥平面EOC ，∵⊂EC 平面EOC∴BD ⊥EC . ………………7分 （2）∵N 是AB 中点，ABD ∆为正三角形，∴DN ⊥AB ，∵BC ⊥AB ，∴DN //BC ，∵BC ⊂平面BCE DN ⊄平面BCE ，∴BC //平面BCE ， ………………10分 ∵M 为AE 中点，N 为AB 中点，∴MN //BE ，∵MN ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，∴MN //平面BCE ， ………………12分 ∵MNDN =N ，∴平面MND //平面BCE . ………………14分17.解：（1）取PQ 的中点D ，连OD ，OP由4πα=，1c =，知OD =2221444PQ PQ OQ OD ==+=224,3a b ∴==∴椭圆C 的方程为：22143x y +=，22:4O x y +=， ………………4分 （2）设22,AF s BF t ==，121224,24AF AF a BF BF a +==+==， ………………6分22,,AF BF AB 的长成等差数列，8283t s s t t ∴=+--∴=设00(,)B x y ，由2200220064(1)9143x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得4(,33B --，………………10分k ∴=:1)PQ y x ∴=+，72PQ ∴=. ………………12分易求得椭圆上一点到直线PQ ，所以MPQ∆的面积的 ………………15分18.解：（1）在BCD ∆中,,3BCD B BD l πθ∠=∠==sin(120)sin l BCθθ︒-∴=，CD = ………………4分sin(120)sin l AC AB BC l θθ︒-∴=-=-，则sin(120)333sin AC CD l l t v v v v θθ︒-=+=-，2()33ππθ<< … ……8分（2）t=(16l v+3cos 6sin l v θθ-=+ ………………10分 令3cos ()sin m θθθ-=，则'213cos ()sin m θθθ-= ………………12分 令'()0m θ=得1cos 3θ=，设01cos 3θ= 02(,)33ππθ∈， 则0(,)3πθθ∈时，'()0m θ<；02(,)3πθθ∈时'()0m θ>1cos 3θ∴=时()m θ有最小值，此时48BC l =. ………………14分答：当BC =时货物运行时间最短. ………………15分19．（1）411()12x f x x ae =+，321()3x f x x ae =+，23()x f x x ae =+，24()2x f x x ae =+，5()2x f x ae =+，6()x f x ae =，'()(6)x n f x ae n =≥，min 7n ∴=. ………………4分（2）()(2)(2)x x x x n g x x ae ae ae ae =+++++⋅⋅⋅+(22)(3)xx n ae =++-⋅ ①………………6分'()2(3)x n g x n ae =+-存在极值点n x t =⇒'()2(3)0n t n n g t n ae =+-= ② '()22(3)2n t n n n n g t t n ae t ⇒=++-= ………………8分n A ⇒在直线2y x =上. ………………9分（3）()0(6)xn f x ae n ==≥无解，5k ⇒≤ ………………10分①当5k =时，004500202()()0120x x ae f x f x x a e x ae ⎧+===⇒⇒=⇒=-⎨+=⎩ 而当2a e=-时，165()0()222x x x f x ae f x ae e -=<⇒=+=-单调减，且5(1)0f = 4()f x ⇒在(,1)-∞上增，(1,)+∞上减，44(1)0()0f f x =⇒≤恒成立.3()f x ⇒单调减，而21133322()2,(1)10,(0)20x f x x e f f e e--=--=->=-< ()3(1,0),0t f t ∃∈-=在(,)t -∞上32()0()f t f x <⇒在(,)t -∞上增，(,)t +∞上减，3121()23t f t t e -=-，又213223211()20,()(1)033t f t t e f t t t t t -=-=∴=-=-<1()f t ∴在R 上单调减综上所述，∴存在5k =，2a e=-满足条件. ………………13分 ②当4k =时，002400300()2()0x x f x x aef x x ae =+==+=，即00x =或2当00x =时4(0)0f a ==（舍）当02x =时2424(2)40f ae a e =+=⇒=-2624()40x x f x e e e-⇒=-=-< 25()24x f x e -⇒=-单调减，且5()0f x =时，2ln 2x =-4()f x ⇒在(,2ln 2)-∞-上增，(2ln 2,)-+∞上减，而4(2)0f =2ln 2m ⇒∃<-使得在(,)m -∞上，4()0f x <，在(,2)m 上4()0f x >，在(2,)+∞上，4()0f x <3()f x ⇒在(,)m -∞上减，在(,2)m 上增，在(2,)+∞上减（舍） ∴4k ≠综上①②所述：存在5k =，2a e=-满足条件. ………………16分20.（1）证明：1()n n n n c b a a +=-，设{}n a 公差为d 且0d ≠，{}n b 公比为q ，⇒112111()()n n n n n n n n n nc b a a b q c b a a b ++++++-===-=常数，{}n c ∴为等比数列………3分 （2）由题意得：12n n c c +>对1,2,3,4n =恒成立且1+>n n c c 对17n ∀≥恒成立，…5分)2(1312t n b a c nn n n +⋅⎪⎭⎫⎝⎛==n t t n t n nn 282414)2(13122)22(13121-<⇒+⎪⎭⎫⎝⎛>++⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒+对4,3,2,1=n 恒成立744-<⇒t ………… ……7分)22(1312)2(13121++⎪⎭⎫ ⎝⎛>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+t n t n n n n t 224->⇒对17n ≥恒成立10t ⇒>- ………… ……9分 44107t ∴-<<-而9,8,7t Z t ∈⇒=--- 27n a n ⇒=-或28n a n =-或29n a n =-. ………… ……10分（3）证明：设22112211,nn nn n n n n n a b A q b A q A q a c c A q ⎛⎫==⇒=⋅ ⎪⎝⎭不妨设A A A =12，n nn c Aq a q q q ⋅=⇒=1211n n n n n i i n Aq c c d Aq c =-⇒==-∑ ()1111(1)(2)nn n n i i i i d d d A q q n --==⇒=-=-≥∑∑，即1)1(--=n n qq A d (2)n ≥. ………… ……13分若1=q ，满足)2(0≥=n d n ， 若1>q ，则对任给正数M ，则n 取(log ,)(1)qMA q +∞-内的正整数时，M d n >，与M d Mn <<1矛盾. 若10<<q ，则对任给正数T =1M，则n 取))1((log ∞+-q A Tq内的正整数时T d n <=1M ，与M d Mn <<1矛盾. 1=∴q ，n n Ac a =∴而n a 是等差数列，设公差为d '，111()n n n n d c c a a A A++'∴-=-=为定值，n c ∴为等差数列. ………… ……16分 B 211121222n A m αλαλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2220242n n m m ⎧+==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩ ……5分 （2）设1a b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⇒20102101a b E c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1212200201211a a b b a c c b d d ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪=⎪⎪=∴⇒⎨⎨+=⎪⎪=-⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩即110211A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦. ………………10分 21.C .解：（1）⊙M：227(()42x y -+-=，)3π对应直角坐系下的点为3)2, (2,)2π对应直角坐系下的点为(0,2)，∴⊙N：223(()122x y -+-=.……5分 （2）PQ =MN -3=431-=. ………………10分22.解：（1）2244y x y x=-⎧⇒⎨=⎩(4,4)A ，(1,2)B -，设A 12(,)4m m ，B 12(,)4n n ，122444(4)(4)44AT A T mk k m t m tm m m t m mt t =⇒=⇒-=-⇒-=--- 21(,)4t m t A t ⇒=-⇒-，同理：21(,2)B t t 22344.4t k kt t tt ⇒==⇒=-定值…5分 （2）A 1B 1：2242(),0(,0),(2,0)2t y t x t y N M t -=-=令得而1212122A B S y S S S y ==⇒=，1222441122488A A t t TN y S t t t S S S TM y t -⋅==⋅=⇒=⋅- 1223311(2)222444B A tt TN y S t t t S S S TM y t -⋅==⋅=⇒=⋅- 1234,,,S S S S 构成的等比数列，∴21t =而0t >⇒1t =. ………………10分23.解：如图以CB 、CA 分别为x ，y 轴，过C 作直线Cz //BC 1，以Cz 为z 轴)3,0,3(),0,3,0(),0,0,0(),0,0,3(1C A C B ∴)3,0,6()3,0,6(111B CB CC CB ⇒=+=111(3,3,3)(3,3,3)CA CC CA A =+=⇒（1）T 是△ABC 1重心1(2,1,1)(1,2,2)T TA ⇒⇒=设面ABC 1的法向量为1111(,,),(3,3,0)n x y z AB ==-1111111133003330x y z x y z x y -==⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨-+==⎩⎩取法向量)0,1,1(1=n11112cos ,,24TA n TA n π∴<>==⇒<>= 设TA 1与面ABC 1所成角为11,24TA n ππαα⇒=-<>=. ………………5分（2）T 在面ABC 1内，()133,3,3CT CB BT CB mBC nBA n n m =+=++=-，即)3,3,33(m n n T -.由1TB TC =得222222(33)(3)(3)(33)(3)(33)241n n m n n m m n -++=+++-⇒-+=-①设面CAA 1C 1法向量为22221(,,),(0,3,0),(3,0,3)n x y z CA CC ===22230330y x z =⎧⇒⇒⎨+=⎩取)1,0,1(2-=n 设面TA 1C 1法向量为3333111(,,),(0,3,0),(3,3,33)n x y z C A CT n n m ===--33303(33)0y nx m z =⎧⇒⇒⎨-+-=⎩取),0,1(3n m n -=，由平面11TAC ⊥平面11ACC A 得10)1(21,cos 2232+=⇒=+-⋅-->=<n m nm n m n n ②由①②解得23,21==m n ,∴存在点T ⎪⎭⎫⎝⎛29,23,23，TC =2. ………10分。
江苏省泰州中学2013届高三上学期摸底考试数学试题(含解析)
江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试试题 2013.8.31一、填空题 (请将答案填写在答题纸相应的位置)1．设集合A ={1，2，3}，B ={2，4，6}，则A ∩B =____▲______． 2．已知i 是虚数单位，若=b +i (a ,b)，则ab 的值为____▲______．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为____▲______．4．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （a ）＞f （b ），则f （﹣a ）____▲_____f （﹣b ）（用“＞”或“＜”填空）．5．在平面直角坐标系x O y 中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为____▲______．6．如右图，该程序运行后输出的结果为____▲______．7．由命题“存在x ∈R ，使x 2+2x +m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是（a ，+∞），则实数a 的值是____▲______． 8．函数f (x )=2s in ()，x ∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为____▲______．9．在集合{x |x =}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x =的概率是____▲______．10．设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是____▲______．11．已知点A （1，1）和点B （﹣1，﹣3）在曲线C ：y =ax 3+bx 2+d （a ，b ，d 为常数上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则a 3+b 2+d =____▲______． 12．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，所有真命题的序号为____▲______． 13．已知函数f （x ）=，当t ∈[0，1]时，f （f （t ））∈[0，1]，则实数t 的取值范围是____▲______．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是____▲______．二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a =2，求△ABC 面积S 的最大值.BA DCFE16．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE ＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ．17.有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距()d m 与车速(/)v km h 和车长()l m 的关系满足：l l kv d 212+=（k 为正的常数），假定车身长为4m ，当车速为60(/)km h 时，车距为2.66个车身长. (1) 写出车距d 关于车速v 的函数关系式;(2) 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？18．给定圆P :222x y x +=及抛物线S :24y x =,过圆心P 作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A B C D 、、、,如果线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一个等差数列,求直线的方程.19.已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n na a a a a +->⎧=⎨≤⎩(1)若0＜n a ≤6，求证：0＜1n a +≤6;(2)若a ，k ∈N *，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ；20．已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =．（1）若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m 的取值范围； （2）当 1x ≥时，不等式()1tf x x ≥+恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：()*1ln[(1)]2ni i i n n N =⋅+>-∈∑．xyoAB CDP江苏省泰州中学2014届高三数学摸底考试教师讲评参考一、填空题1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B={2}．考点：交集及其运算．专题：阅读型．分析：直接运用交集概念求得结果．解答：解：由集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，所以A∩B={1，2，3}∩{2，4，6}={2}．故答案为{2}．点评：本题考查了交集及其运算，是会考题型，是基础题．2．已知i是虚数单位，若=b+i(a,b)，则ab的值为﹣3．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a，b的值，则答案可求．解答：解：由，得．所以b=3，a=﹣1．则ab=（﹣1）×3=﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．解答：解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．点评：本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．4．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）＞f（b），则f（﹣a）＜f（﹣b）（用“＞”或“＜”填空）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的性质f（﹣x）=﹣f（x）求解．解答：解：根据奇函数的性质，f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b）；∵f（a）＞f（b），∴﹣f（a）＜﹣f（b），即f（﹣a）＜f（﹣b）．故答案是＜点评：本题考查函数的奇偶性．5．在平面直角坐标系x O y中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据向量、的坐标，得到=（﹣3，3），设=（m，n）可得•=﹣3m+3n=0．而=（m﹣3，n+1）=λ，得到m﹣3=0且n+1=2λ，两式联解即可得到实数λ的值．解答：解：∵=（3，﹣1），=（0，2）∴=﹣=（﹣3，3）设=（m，n），可得•=﹣3m+3n=0…①又∵=（m﹣3，n+1），=λ，∴m﹣3=0且n+1=2λ…②将①②联解，可得m=﹣3，n=﹣3，λ=2故答案为：2点评：本题给出向量、的坐标，再•=0且=λ的情况下求实数λ的值．着重考查了向量的平行与垂直、平面向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．6．如图，该程序运行后输出的结果为16．考点：循环结构．专题：阅读型．分析：根据流程图，先进行判定条件，满足条件则运行循环体，一直执行到不满足条件即跳出循环体，求出此时的b即可．解答：解：第一次运行得：b=2，a=2，满足a≤3，则继续运行第二次运行得：b=4，a=3，满足a≤3，则继续运行第三次运行得：b=16，a=2，不满足a≤3，则停止运行输出b=16故答案为：16点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是1．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由题意知“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，由二次函数的性质得△＜0，求出m的范围，结合题意求出a的值．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，故a的值是1．故答案为：1．点评：本题考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围．8．函数f(x)=2s in()，x∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由x∈[﹣π，0]⇒z=x﹣∈[﹣，﹣]，利用正弦函数y=s inz在[﹣，﹣]上单调递增，即可求得答案．解答：解：∵x∈[﹣π，0]∴x﹣∈[﹣，﹣]，令z=x﹣，则z∈[﹣，﹣]，∵正弦函数y=s inz在[﹣，﹣]上单调递增，∴由﹣≤x﹣≤﹣得：﹣≤x≤0．∴函数f（x）=2s in（x﹣）在x∈[﹣π，0]的单调递增区间为[﹣，0]．故答案为[﹣，0]．点评：本题考查正弦函数的单调性，考查整体代入思想的应用，属于中档题．9．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是．考点：等可能事件的概率；空集的定义、性质及运算．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是古典概型，由集合中共有10个元素，然后我们分析各个元素，求出满足条件的基本事件个数，代入古典概型公式，即可得到结论．解答：解：∵集合中共有10个元素而当n=2和n=10时，故满足条件的基本事件个数为2故所取元素恰好满足方程的概率P==故答案为：点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．10．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是2x2﹣2y2=1．考点：双曲线的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：欲求双曲线方程，只需求出双曲线中的a，b的值即可，根据双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，求出椭圆中的c值，也即双曲线中的c值，再求出椭圆中的离心率，因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以可得双曲线中离心率，据此求出a值，再利用a，b，c之间的关系式，就可得到双曲线的方程．解答：解：椭圆+y2=1中c=1∵中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点∴双曲线中c=1，∵椭圆+y2=1的离心率为=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，∴双曲线中a=，b2=c2﹣a2=，b=∴双曲线的方程为2x2﹣2y2=1故答案为2x2﹣2y2=1．点评：本题主要考查了椭圆，双曲线的标准方程以及性质的应用．11．已知点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=7．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：曲线在点A和点B处的切线互相平行得，f′（1）=f′（﹣1），再结合点在曲线上则点的坐标适合方程建立方程组，解方程求出a、b、d值即可．解答：解：设f（x）═ax3+bx2+d，∵f′（x）=3ax2+2bx，∴f′（1）=3a+2b，f′（﹣1）=3a﹣2b．根据题意得3a+2b=3a﹣2b，∴b=0．又点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C上，∴解得：a3+b2+d=7．故答案为：7．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．12．给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：根据面面垂直的判定定理，可判断（1）；根据平面与平面平行的判定定理，可判断（2）；根据空间直线夹角的定义，可判断（3），根据面面垂直的性质定理及反证法，可判断（4）解答：解：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故（1）正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故（2）错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即（3）正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故（4）正确故真命题有（1）、（3）、（4）三个故答案为：（1）、（3）、（4）点评：本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答的关键．13．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．解答：解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，又函数，所以f （f （t ）=，因为f （f （t ））∈[0，1]， 所以解得：，又t ∈[0，1]，所以实数t 的取值范围．故答案为：．点评： 本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是 （﹣3，0） ． 考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 画出函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|的图象，可得方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根是地，m 的取值范围，进而求出方程的四个根，进而根据m 的范围和二次函数的图象和性质，可得x 1x 2x 3x 4的取值范围． 解答： 解：函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|的图象如下图所示：由图可知，若f （x ）=m 的四个互不相等的实数根，则m ∈（0，1） 且x 1，x 2，x 3，x 4分别为：x 1=m ，x 2=2﹣m ，x 3=m +2，x 4=﹣m ，∴x 1x 2x 3x 4=（m 2）2﹣4•m 2=（m 2﹣2）2﹣4∈（﹣3，0） 故答案为：（﹣3，0） 点评： 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中画出函数的图象，引入数形结合思想是解答本题的关键二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a =2，求△ABC 面积S 的最大值.15.解：（1）由已知得23sin 23cos sin 2222AA A bc a c b ⇒=⋅-+ ……4分 又在锐角△ABC 中，所以A =60° ……7分BADCFE（第16题）（2）因为a =2，A =60°所以bc A bc S bc c b 43sin 21,422==+=+ ……8分 而424222≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b ……10分 又344343sin 21=⨯≤==bc A bc S ……14分所以△ABC 面积S 的最大值等于316．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ．16．（1）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面ABE ，AD ⊥AE ． ∵AD ∥BC ，则BC ⊥AE ． ………………………3分 又BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥AE ． ∵BC ∩BF =B ，∴AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥BE ． ………………………7分（2）设AC ∩BD =G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点，∵BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥CE ．而BC=BE ，∴F 是EC 中点． …………………10分 在△ACE 中，FG ∥AE ，∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴ AE ∥平面BFD ． ………………………14分17.（本题满分14分）有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距()d m 与车速(/)v km h 和车长()l m 的关系满足：l l kv d 212+=（k 为正的常数），假定车身长为4m ，当车速为60(/)km h 时，车距为2.66个车身长.(3) 写出车距d 关于车速v 的函数关系式;(4) 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？17．⑴因为当60v =时，l d 66.2=，所以0006.06016.2602166.222==-=l ll k ，∴20.00242d v =+ . …………6分⑵设每小时通过的车辆为Q ，则10004=+v Q d ．即Q 21000100060.002460.0024v v v v==++ ∵660.00240.00240.24v v v v +⨯=≥2，∴1000125000.243Q =≤，当且仅当60.0024v v =，即50v =时，Q 取最大值125003 (13x)yoAB P G BA DCFE分答：当()50v =km /h 时，大桥每小时通过的车辆最多．…………14分18．（本小题满分16分）给定圆P :222x y x +=及抛物线S :24y x =, 过圆心P 作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次 记为A B C D 、、、,如果线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一 个等差数列,求直线的方程.18．解：圆P 的方程为()2211x y -+=,则其直径长2B C =,圆心为()1,0P ,设的方程为1ky x =-,即1x ky =+,代入抛物线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y ，有121244y y k y y +=⎧⎨=-⎩,则222121212()()416(1)y y y y y y k -=+-=+.故222222212121212||()()()()4y y AD y y x x y y -=-+-=-+22221212()[1()]16(1)4y y y y k +=-+=+,因此2||4(1)AD k =+. …… 8分据等差，2BC AB CD AD BC =+=-,所以36AD BC ==，即()2416k +=,22k =±，………14分 即：方程为220x y --=或220x y +-=. ………16分19.(本小题满分16分)已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n na a a a a +->⎧=⎨≤⎩(1)若0＜n a ≤6，求证：0＜1n a +≤6;(2)若a ，k ∈N ﹡，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ；19．（1）当]3,0(∈n a 时，则∈=+n n a a 21]6,0(，当]6,3(∈n a 时，则]3,0(31∈-=+n n a a , 故]6,0(1∈+n a ，所以当60≤<n a 时，总有601≤<+n a ． …………8分 （2）①当1=a 时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的∈=t t k ,3N *． 同理可得，当2=a 或4时，满足题意的∈=t t k ,3N *． 当3=a 或6时，满足题意的∈=t t k ,2N *．②当5=a 时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的k 不存在． ③当7≥a 时，由（1）知，满足题意的k 不存在．综上得：当421，，a =时，满足题意的∈=t t k ,3N *； 当63，a =时，满足题意的∈=t t k ,2N *．…………16分 20．（本小题满分16分）已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =．xyo ABCDP（1）若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m 的取值范围； （2）当 1x ≥时，不等式()1tf x x ≥+恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：()*1ln[(1)]2ni i i n n N =⋅+>-∈∑．解：（1）由题意()1ln x k f x x +==，0x >,所以()21ln ln x x f x x x '+⎛⎫'==- ⎪⎝⎭…………………2分当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()f x 在1x =处取得极大值． 因为函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+⎪⎝⎭（其中0m >）上存在极值， 所以01113m m <<⎧⎪⎨+>⎪⎩，得213m <<．即实数m 的取值范围是213⎛⎫⎪⎝⎭，． ……………4分 （2）由()1t f x x ≥+得()()11ln x x t x ++≤，令()()()11ln x x g x x++=，则()2ln x xg x x-'=． ……………………………………………………6分 令()ln h x x x =-，则()111=x h x x x-'=-， 因为1,x ≥所以()0h x '≥,故()h x 在[)1+∞，上单调递增．……………………8分 所以()()110h x h ≥=>,从而()0g x '>()g x 在[)1+∞，上单调递增, ()()12g x g ≥=所以实数的取值范围是(],2-∞． …………………………………………10分 （3）由(2) 知()21f x x ≥+恒成立, 即1ln 2122ln 11111x x x x x x x x+-≥⇔≥=->-+++ ……………………12分 令()1,x n n =+则()()2ln[1]11n n n n +>-+，……………………14分所以()2ln 12112⨯>-⨯， ()2ln 23123⨯>-⨯，……,()()2ln 111n n n n +>-+．将以上n 个式子相加得：()1111ln[(i 1)]212231ni i n n n =⎡⎤+>-++⋅⋅⋅+⎢⎥⨯⨯+⎣⎦∑ 12121n n n ⎛⎫=-->- ⎪+⎝⎭，故()*1ln[(i 1)]2ni i n n N =+>-∈∑． …………………………………16分江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试试题参考答案 2013.8.31一、填空题1．设集合A ={1，2，3}，B ={2，4，6}，则A ∩B = {2} ． 2．已知i 是虚数单位，若=b +i (a ,b)，则ab 的值为 ﹣3 ．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为 0.032 ．4．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （a ）＞f （b ），则f （﹣a ） ＜ f （﹣b ）（用“＞”或“＜”填空）．5．在平面直角坐标系x O y 中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为 2 ．6．如图，该程序运行后输出的结果为 16 ．7．由命题“存在x ∈R ，使x 2+2x +m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是（a ，+∞），则实数a 的值是 1 ．8．函数f (x )=2s in ()，x ∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为 ．9．在集合{x |x =}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x =的概率是 ．设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是 2x 2﹣2y 2=1 ．11．已知点A （1，1）和点B （﹣1，﹣3）在曲线C ：y =ax 3+bx 2+d （a ，b ，d 为常数上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则a 3+b 2+d = 7 ． 12．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，所有真命题的序号为 （1）、（3）、（4） ． 13．已知函数f （x ）=，当t ∈[0，1]时，f （f （t ））∈[0，1]，则实数t 取值范围是 ．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是 （﹣3，0） ．二、解答题15. （本小题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a =2，求△ABC 面积S 的最大值.解：（1）由已知得23sin 23cos sin 2222A A A bc a c b ⇒=⋅-+ ……4分又在锐角△ABC 中，所以A =60° ……7分 （2）因为a =2，A =60°所以bc A bc S bc c b 43sin 21,422==+=+ ……8分 而424222≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b ……10分又344343sin 21=⨯≤==bc A bc S ，所以△ABC 面积S 的最大值等于3。
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--数列
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数 列一、填空题1、（常州市2013届高三期末）已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ▲ ． 答案：2324n n ⋅--2、（连云港市2013届高三期末）正项等比数列{a n }中，311a a =16，则22212l o gl o g a a += ▲ .答案：43、（南京市、盐城市2013届高三期末）在等差数列{}n a 中, 若9753=++a a a , 则其前9项和9S 的值为 ▲ 答案：274、（南通市2013届高三期末）若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104， 则a 5与a 7的等比中项为 ▲ ． 答案：42±．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .答案：－26、（扬州市2013届高三期末）数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且122012111a a a +++ =2，则201314a a -的最小值为 ▲ ． 答案：27-7、（镇江市2013届高三期末）在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知5423a S =+，6523a S =+，则此数列的公比q 为 ▲ ．答案：3;8、（镇江市2013届高三期末） 观察下列等式：31×2×12＝1－122， 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝ ▲ ． 答案：()nn 2111⋅+-二、解答题1、（常州市2013届高三期末） 已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =．（1）若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值．答案：解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所以21n a n =+，从而349b a ==，所以13n n b -=． ……………………3分 （2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则15a d =-，13b q=，35a d =+，33b q =.因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=． 设1133a b ma b n+=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，则3553d mq d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.解得2(10)362n m m n d -++--=（舍去负根）.35a d =+ ，∴要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈ ，64mn =，∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的637612d +=， 所以，最大的3737612a +=………16分 2、（连云港市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2＝a (a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足：S n ＝n (a n －a 1)2(n ∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；(3)是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第3p －2项?若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)证明:由已知，得a 1=S 1=1⋅(a 1－a 1)2=0，∴S n =na n2， ………………………2分则有S n +1=(n +1)a n +12，∴2(S n +1－S n )=(n +1)a n +1－na n ，即(n －1)a n +1=na n n ∈N*， ∴na n +2=(n +1)a n +1，两式相减得，2a n +1=a n +2+a n n ∈N*， ……………………………4分 即a n +1－a n +1=a n +1－a n n ∈N*， 故数列{a n }是等差数列.又a 1=0，a 2=a ，∴a n =(n －1)a . ………………………………6分 (2)若a =2，则a n =2(n －1)，∴S n =n (n -1).由21114m n a S -=，得n 2-n +11=(m -1)2，即4(m -1)2－(2n -1)2=43， ∴(2m +2n -3)(2m －2n -1)=43. ………………………………8分 ∵43是质数， 2m +2n -3>2m －2n -1， 2m +2n -3>0， ∴⎩⎨⎧2m －2n －1=12m +2n －3=43，解得m =12，n =11. ………………………………10分 (III)由a n +b ≤p ，得a (n －1)+b ≤p .若a <0，则n ≥p －ba +1，不合题意，舍去; ……………………………11分若a >0，则n ≤p －ba+1.∵不等式a n +b ≤p 成立的最大正整数解为3p －2，∴3p －2≤p －ba +1<3p －1， ………………………………13分即2a －b <(3a －1)p ≤3a －b ，对任意正整数p 都成立.∴3a －1=0，解得a =13， ………………………………15分此时，23－b <0≤1－b ，解得23<b ≤1.故存在实数a 、b 满足条件， a 与b 的取值范围是a =13，23<b ≤1. ………16分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列；数列{}n b 的前n 项和为3n nS t =-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得1n n c b a +=, 并求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立（其中2≥k , *∈N k ）, 试求实数的取值范围．答案：解: (1)因为{}n a 是等差数列,所以(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-…………2分 而数列{}n b 的前n项和为3n n S t =-,所以当2n ≥时,11(31)(31)23n n n n b --=---=⨯,又113b S t ==-,所以13,123,2n n t n b n --=⎧=⎨⨯≥⎩……………………4分 (2)证明:因为{}n b 是等比数列,所以113232t --=⨯=,即1t =,所以612n a n =- ………………5分对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于11123636(32)12n n n n b --+=⨯=⨯=⨯+-,令1*32n nc N -=+∈,则116(23)12n n c n a b -+=+-=,所以命题成立 …7分数列{}n c 的前n 项和13112321322nn n T n n -=+=⨯+-- …………………9分(3)易得6(3)(12),14(2)3,2n nt t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩, 由于当2n ≥时,114(12)34(2)3n n n n d d n t n t ++-=+---38[(2)]32n n t =--⨯,所以①若3222t -<,即74t <,则1n n d d +>,所以当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,解得5975977444t ---+≤≤<,………13分②若32232t ≤-<,即7944t ≤<,则当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =…………………14分③若321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥,则当2n m ≤≤时,{}n d 是递减数列, 当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列, 则由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3m m t m t m +-=--,解得234m t +=…………15分 综上所述,的取值范围是59759744t ---+≤≤或234m t +=(,2)m N m ∈≥……16分4、（南通市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=． （1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． ………………………………………3分 (2)由1()2n n n a a S -=，即2n n naS =， ① 得 11(1)2n n n a S +++=． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． …………………………7分 又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． ………………………………………………………………9分 (3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是，21333p qp q=+． ……………………………………………………11分 所以，213()33q p p q =-(☆)．易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． ………………………………………13分 当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列， 于是2133pp -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． …………16分注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ，当0≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当0<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++（1） 求数列}{n n b a +的通项公式；（2） 若对任意的正整数n ，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出b a ,满足的条件；若不存在，说明理由； （3） 若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式. ⑴当0n n a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=，所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，……………………………………2分又当0n n a b +<时，11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+，…………………………………………4分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列，所以，n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分假设存在a ，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b =，224b a b -=，34516b ab -=，故2245()()416b a b ab --=，化简得0=+b a ，与题中0a b +≠矛盾， 故不存在a ，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………10分 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+- 所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……………………………………………12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…………………………………13分22133()114434nn n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………………………………………14分 所以，1224()11,943()1-1,434n n na b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时…………………………………16分6、（苏州市2013届高三期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）．（1）若132a =，294a =，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值．7、（泰州市2013届高三期末）已知数列16n a n =-,(1)15nn b n =--,其中*n N ∈ (1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合 （2）n ≠16,求数列nnb a 的最大值和最小值 （3）记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ，求所有满足22m n S S =（m<n ）的有序整数对(m,n) (1)a n +1=｜b n ｜，n －15=｜n －15｜，当n ≥15时,a n +1=｜b n ｜恒成立， 当n <15时,n －15=－(n －15) ，n =15 n 的集合{n ｜n ≥15,n ∈N *}……………………………………….…………….…………….4分(2)nn a b =1615)1(---n n n(i)当n>16时，n 取偶数n n a b =1615--n n =1+161-n当n=18时（nn a b ）max =23无最小值n 取奇数时nn a b =-1-161-n n=17时（nna b ）min =-2无最大值 ……………………………………………………………8分 (ii)当n<16时，nna b =16)15()1(---n n n当n 为偶数时nn a b =16)15(---n n =-1-161-nn=14时（nn a b ）max =-21（n n a b ）min =-1413当n 奇数n n a b =1615--n n =1+161-n ， n=1 ， （nn a b ）max =1-151=1514，n =15，（nna b ）min =0 ………………………………………………11分 综上，nn a b 最大值为23（n =18）最小值-2（n =17）……………….……..……………….12分(3)n≤15时，b n =(-1)n-1(n-15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0 ，n >15时，b n =(-1)n (n -15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0，其中a 15b 15+a 16b 16=0∴S 16=S 14 m =7， n =8…………………………………………………………….16分8、（无锡市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 1=2，n ∈N +，a n >0，数列{a n }的前n 项和S n ，且满足1122n n n a S S ++=-。
江苏省泰州中学2013届高三学情诊断测试数学试题
江苏省泰州中学2012-2013学年度第一学期学情诊断 数 学 试 卷 2012.10.8一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 命题“012,2>++∈∀x x R x ”的否定是 ．2．“x >1”是“x 2>x ”成立的_______条件．（可选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）3．集合M ＝{x |y ＝x －1}，N ＝{y |y ＝x －1}，则M ∩N ＝_______． 4．已知角α的终边经过点(),6P x -，且3tan 5α=-，则x 的值为 ． 5．在ABC ∆中，若2cos sin =-A A ，则A tan =_______．6．已知1sin cos 2αα=+，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin 2cos παα的值为 ． 7．函数x x y 2cos 2sin 3+-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,6ππx 的值域为 . 8．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，(1)'()0x f x -<，设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则,,a b c 从小到大排列的顺序为 .9．定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧>---≤-=0,210,8log 2x x f x f x x x f ，则()3f 的值为 ．10．已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ．11．已知函数f (x )＝|x 2－6|，若a ＜b ＜0，且f (a )＝f (b )，则a 2b 的最小值是 . 12．已知函数f (x )＝(ax 2＋x )－x ln x 在[1,＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．13．已知函数()3111,0,,36221,,1.12x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩函数()sin 226g x a x a π=-+，其中0a >．若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 ．14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，函数y ＝lg 2a －xx －(a 2＋1)的定义域为集合B .（Ⅰ）若A ＝B ，求实数a 值；（Ⅱ）是否存在实数a 的值使φ=⋂B A ，若存在则求出实数a 的值，若不存在说明理由.16.（本小题满分14分）已知函数()316f x x x =+-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线的方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程； （Ⅲ）如果曲线()y f x =的某一切与直线134y x =-+垂直，求切点坐标.17.（本小题满分14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos ).444x x x m n == （Ⅰ）若1m n ⋅=,求2cos()3x π-的值； （Ⅱ）记()f x m n =⋅，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围．18.（本小题满分16分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a （1≤a ≤4，且a ∈R ）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y ＝a ·f （x ），其中f （x ）＝⎩⎨⎧168－x－1(0≤x ≤4)，5－12x (4＜x ≤10).若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． （Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次只能投放2个单位的药剂，6天后可再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．19.（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（Ⅲ）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．20.（本小题满分16分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=．（Ⅰ）若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；（Ⅱ）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．江苏省泰州中学2012-2013学年度第一学期学情诊断数 学 试 卷 答 案 2012.10.8一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 命题“012,2>++∈∀x x R x ”的否定是 ． 【答案】012,2≤++∈∃x x R x2．“x >1”是“x 2>x ”成立的_______条件．（可选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”） 【答案】充分不必要3．集合M ＝{x |y ＝x －1}，N ＝{y |y ＝x －1}，则M ∩N ＝_______． 【答案】[)+∞,14．已知角α的终边经过点(),6P x -，且3tan 5α=-，则x 的值为 ． 【答案】105．在ABC ∆中，若2cos sin =-A A ，则A tan =_______．【答案】1- 6．已知1sin cos 2αα=+，则⎪⎭⎫⎝⎛+4sin 2cos παα的值为 ． 【答案】22-7．函数x x y 2cos 2sin 3+-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,6ππx 的值域为 . 【答案】[]1,2--8．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，(1)'()0x f x -<，设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则,,a b c 从小到大排列的顺序为 . 【答案】c a b <<.9．定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧>---≤-=0,210,8log 2x x f x f x x x f ，则()3f 的值为 ． 【答案】3-10．已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ． 【答案】71011．已知函数f (x )＝|x 2－6|，若a ＜b ＜0，且f (a )＝f (b )，则a 2b 的最小值是 . 【答案】－1612．已知函数f (x )＝(ax 2＋x )－x ln x 在[1,＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[12e ,＋∞)13．已知函数()3111,0,,36221,,1.12x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩函数()sin 226g x a x a π=-+，其中0a >．若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围为 ．【答案】2)二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，函数y ＝lg 2a －xx －(a 2＋1)的定义域为集合B .（Ⅰ）若A ＝B ，求实数a 值；（Ⅱ）是否存在实数a 的值使φ=⋂B A ，若存在则求出实数a 的值，若不存在说明理由. 解：（Ⅰ）由于函数的定义域是非空数集，故1≠a . （1）当131≠>a a 且时，()13,2+=a A ，()1,22+=a a B ，由B A =可得：⎩⎨⎧+=+=113222a a a ，方程组无解； 2分 （2）当31=a 时，φ=A ，B A =不可能； 4分 （3）当31<a 时，()2,13+=a A ，()1,22+=a a B ，由B A =可得：⎩⎨⎧+==+122132a a a ，1-=a . 6分 （Ⅱ）（1）当131≠>a a 且时，()13,2+=a A ，()1,22+=a a B ，由φ=⋂B A 可得：212132≤+≤+a a a 或，又131≠>a a 且，则a 的值不存在； 8分（2）当31=a 时，φ=A ，则φ=⋂B A ，适合题意； 10分（3）当31<a 时，()2,13+=a A ，()1,22+=a a B ，由φ=⋂B A 可得：131222+≤+≤a a a 或，又31<a ，则310<≤a . 12分∴当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,0a 时，φ=⋂B A . 14分16.（本小题满分14分）已知函数()316f x x x =+-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线的方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程； （Ⅲ）如果曲线()y f x =的某一切与直线134y x =-+垂直，求切点坐标. 解：（Ⅰ）13320x y --= 4分 （Ⅱ）013=-y x 9分 （Ⅲ）()()18,1,14,1--- 14分 17.（本小题满分14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos ).444x x xm n == （Ⅰ）若1m n ⋅=,求2cos()3x π-的值； （Ⅱ）记()f x m n =⋅，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围．解：（Ⅰ）m n ⋅=2cos cos 444x x x +11cos 2222x x ++＝1sin()262x π++2分 ∵1m n ⋅=，∴1sin()262xπ+=，2cos()12sin ()326x x ππ+=-+＝12， ∴21cos()cos()332x x ππ-=-+=-. 6分 （Ⅱ）∵(2)cos cos a c B b C -=， 由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， ∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=，∴2sin cos sin()A B B C =+， ∵A B C π++=∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠，∴1cos ,23B B π==，10分 ∴203A π<<∴1,sin()16262226A A ππππ<+<<+< 又∵()f x m n =⋅=1sin()262x π++，∴()f A =1sin()262A π++ ， 故函数()f A 的取值范围是（1,32）. 14分 18.（本小题满分16分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a （1≤a ≤4，且a ∈R ）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y ＝a ·f （x ），其中f （x ）＝⎩⎨⎧168－x－1(0≤x ≤4)，5－12x (4＜x ≤10).若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次只能投放2个单位的药剂， 6天后可再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．解：（Ⅰ）因为a ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x －4(0≤x ≤4)，20－2x (4＜x ≤10). 2分则当0≤x ≤4时，由648－x －4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4. 4分当4＜x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4＜x ≤8. 6分综合，得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天． 8分 （Ⅱ）当6≤x ≤10时，y ＝2×(5－12x )＋a ⎣⎡⎦⎤168－(x －6)－1 10分＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x－a －4，因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4. 14分 令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－16 2. . 16分 19.（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（Ⅲ）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．解：（Ⅰ）f ′(x )＝3x 2－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，所以当x ＞2t 3或x ＜0时，f ′(x )＞0， 所以(－∞，0)和(2t3，＋∞)为函数f (x )的单调增区间；当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，所以(0，2t3)为函数f (x )的单调减区间． 4分 （Ⅱ）因为k ＝3x 02－2tx 0≥－12恒成立，所以2t ≤3x 0＋12x 0恒成立， 6分因为x 0∈（0，1]，所以3x 0＋12x 0≥23x 0×12x 0＝6，即3x 0＋12x 0≥6，当且仅当x 0＝66时取等号．所以2t ≤6，即t 的最大值为62． 8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t 3处取得极小值－4t 327． 因为平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点， 所以直线l 的方程为y ＝－4t 327． 10分 令f (x )＝－4t 327，所以x 2(x －t )＝－4t 327，解得x ＝2t 3或x ＝－t 3．所以C （2t 3，－4t 327），D （－t 3，－4t 327）． 12分 因为A （0，0），B （t ，0）．易知四边形ABCD 为平行四边形．AD ＝(－t 3)2＋(－4t 327)2，且AD ＝AB ＝t ，所以(－t 3)2＋(－4t 327)2＝t ，解得：t ＝3482． 16分20.（本小题满分16分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=．（Ⅰ）若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；（Ⅱ）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．解：（Ⅰ）由()32f x x x b =-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--， 令()0f x '=，得0x =或23． 2分由13()28f b -=+，24()327f b =+，∴12()()23f f ->，即最大值为133()288f b -=+=，∴0b =． 4分（Ⅱ）由()()22g x x a x ≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-．[]1,,ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，∴ln ,ln 0x x x x <->即，∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min 2()ln x xa x x-≤-． 6分 令()[]()22,1,ln x xt x x e x x -=-，求导得，()()()()212ln ln x x x t x x x -+-'=-， 当[]1,x e ∈时，10,ln 1,2ln 0x x x x -≥≤+->，从而()0t x '≥，∴()t x 在[]1,e 上为增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-． 8分 （Ⅲ）由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩，假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧，不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠．POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ ⋅=，∴()()2320t f t t t -++=()*，是否存在,P Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解． 10分 ①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解； 12分 ②若1t >时，()*方程为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上． 16分。
江苏省泰州市2013届高三上学期期末考试数学试题(WORD解析版)
2012-2013学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（4分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，则A∩B={1}．考点：交集及其运算．专题：阅读型．分析：把两个集合的公共元素写在花括号内即可．解答：解：由A={1，2，﹣3}，B={1，﹣4，5}，则A∩B={1，2，﹣3}∩{1，﹣4，5}={1}．故答案为{1}．点评：本题考查了交集及其运算，考查了交集概念，是基础的概念题．2．（4分）设复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，则=i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数代入表达式，复数的分母、分子同乘分母的共轭复数，化简复数即可．解答：解：因为复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，所以=====i．故答案为：i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的分母实数化，是解题的关键，是基础题．3．（4分）若数据x1，x2，x3，x4，x5，3的平均数为3，则数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为3．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据平均数的性质知，要求x1，x2，x3，x4，x5的平均数，只要把数x1、x2、x3、x4、x5的和表示出即可．解答：解：∵x1，x2，x3，x4，x5，3的平均数为3，∴数x1+x2+x3+x4+x5+3=6×3∴x1，x2，x3，x4，x5的平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=（6×3﹣3）÷5=3．故答案为：3．点评：本题考查的是样本平均数的求法．解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．4．（4分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF1F2的面积为6，则点P的坐标为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线方程，算出焦点F1、F2的坐标，从而得到|F1F2|=6．根据△PF1F2的面积为6，算出点P的纵坐标为2，代入双曲线方程即可算出点P的横坐标，从而得到点P的坐标．解答：解：∵双曲线的方程是，∴a2=4且b2=5，可得c==3由此可得双曲线焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0）设双曲线上位于第一象限内的一点P坐标为（m，n），可得△PF1F2的面积S=|F1F2|•n=6，即×6×n=6，解得n=2将P（m，2）代入双曲线方程，得，解之得m=．∴点P的坐标为故答案为点评：本题给出双曲线上一点与焦点构成面积为6的三角形，求该点的坐标，着重考查了三角形面积公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5．（4分）曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为（0，0）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出曲线方程的导函数，把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把x=0代入切线方程中即可求出y轴交点坐标．解答：解：对y=2lnx求导得：y′=，∵切点坐标为（e，2），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣2=（x﹣e），把x=0代入切线方程得：y=0，所以切线与y轴交点坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．点评：本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程．6．（4分）如图，ABCD是一个4×5的方格纸，向此四边形ABCD内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为0.2．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：试验发生包含的事件对应的图形是一个大长方形，若设小正方形的边长是1，则长方形的面积是20，满足条件的事件是正方形面积是4，根据面积之比做出概率．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，设每一个小正方形的边长为1试验发生包含的事件对应的图形是一个长方形，面积为5×4=20阴影部分是边长为2的正方形，面积是4，∴落在图中阴影部分中的概率是=0.2故答案为：0.2点评：本题考查几何概型，解题的关键是求出两个图形的面积，根据概率等于面积之比得到结果，本题是一个基础题．7．（4分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）＞f（b），则f（﹣a）＜f（﹣b）（用“＞”或“＜”填空）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的性质f（﹣x）=﹣f（x）求解．解答：解：根据奇函数的性质，f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b）；∵f（a）＞f（b），∴﹣f（a）＜﹣f（b），即f（﹣a）＜f（﹣b）．故答案是＜点评：本题考查函数的奇偶性．8．（4分）在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；。
2013届高三数学上册期初检测试题(含答案)
2013届高三数学上册期初检测试题(含答案)江苏省泰州二中2013届高三期初（暑期）检测数学试题必做题部分（满分160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1、若，则=__________。
2、设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______________。
3、已知复数，,那么=_________。
4、若角的终边落在射线上，则=____________。
5、在数列中，若，，，则该数列的通项为。
6、甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位:环）如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是。
甲108999乙10107997、在闭区间[－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是。
8、已知对称中心为原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程为___________________。
9、阅读下列程序:Read S 1Fo r I from 1 to 5 step 2S S+IPrint SEnd forEnd输出的结果是。
10、给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是。
①若；②函数的图象关于x= 对称；③函数为偶函数，④函数是周期函数，且周期为2 。
11、若函数在上是增函数，则的取值范围是________ ____。
12、设，则的最大值是_________________。
13、已知是定义在上的奇函数, 则的值域为.14、已知平面上的向量、满足, ，设向量，则的最小值是。
二、解答题：本大题共6小题，共90分。
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、(本小题满分14分)设函数,其中向量，(1)求的最小正周期；(2)在中，分别是角的对边，求的值。
16、(本小题满分14分)如图,在四棱锥中,四边形是菱形, , 为的中点.(1)求证: 面；(2)求证:平面平面.17、(本小题满分14分)某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交元（为常数，2≤a≤5 ）的税收。
2013-2014泰州高三数学期末试题(含答案)
2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)命题人：朱占奎 张乃贵 王宏官 范继荣 审题人：吴卫东 石志群1．已知集合A ={}9,6,1，B ={}2,1，则A ∩B = {1} . 2．复数bi a i +=+2)1((b a ,是实数，i 是虚数单位)，则b a +的值为 2 . 3．函数2lg(6)y x x =-++的定义域为 (-2,3) . 4．为了解某地区的中小学生视力状况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调 查，该地区小学，初中，高中三个学段学生人数分 别为1200，1000，800，则从初中抽取的学生人数 为 100 .5．已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果S 的 值是 7 .6．在ABC ∆中，DC BD 2=，若21λλ+=AB AD ，则12λλ-的值为 13-. 7．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．则点数相同的概率是 16. 8．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点． 若41=AA ，2=AB ，则四棱锥D ACC B 1-的体积 为3. 9．以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近 线相切的圆的方程为 22(5)16x y -+= . 10．设函数b a x a x x f +--=)()((b a ,都是实数)．则下列叙述中，正确的序号是① ③ .(请把所有叙述正确的序号都填上) ①对任意实数b a ,，函数)(x f y =在R 上是单调函数；第8题A1A②存在实数b a ,，函数)(x f y =在R 上不是单调函数； ③对任意实数b a ,，函数)(x f y =的图象都是中心对称图形； ④存在实数b a ,，使得函数)(x f y =的图象都不是中心对称图形． 11．已知在等差数列{}n a 中，若r t s p n m ++=++22，*∈N r t s p n m ,,,,,则r t s p n m a a a a a a ++=++22，仿此类比，可得到等比数列{}n b 中的一个正确命题：若r t s p n m ++=++22，*∈N r t s p n m ,,,,,，则 22m n p s t r b b b b b b = .12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1208642=a a a a ，且+++842862864111a a a a a a a a a6071642=a a a ，则9S 的值为 632.13．在平面直角坐标系中，)2,1(),0,0(B A 两点绕定点P 顺时针方向旋转θ角后，分别到 )2,5(),4,4(B A ''两点，则θcos 的值为35. 14．已知函数a x x f +=3)(与函数a x x g 23)(+=在区间),(c b 上都有零点，则2222422cbc b bc ac ab a +-+++的最小值为 -1 . 15．(本题满分14分)已知函数)42sin(2)(π+=x x f ．(1)求函数)(x f y =的最小正周期及单调递增区间； (2)若56)8(0-=-πx f ，求)(0x f 的值． (1)3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，(2)55-16．(本题满分14分)如图，在四棱锥ABCD E -中， ABD ∆为正三角形，CD CB ED EB ==,． (1)求证：BD EC ⊥；(2)若BC AB ⊥，N M ,分别为线段AB AE ,的中点， 求证：平面DMN ∥平面BEC ．17．(本题满分15分)已知椭圆(1:2222>>=+b a by a x C 和圆222:a y x O =+，)0,1(),0,1(21F F -右两焦点，过1F 且倾斜角为])2,0((παα∈的动直线l交椭圆C 于B A ,两点，交圆O 于Q P ,两点(点A 在轴上方)．当4πα=时，弦PQ 的长为14．(1)求圆O 和椭圆C 的方程；(2)若点M 是椭圆C 上一点，求当AB BF AF ,,22成等差数列时，MPQ ∆面积的最大值．(1)22143x y +=,224x y +=18．(本题满分15分)某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是l BD AB ==，3π=∠B 的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直与底面(C 不B A ,与重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿A C D →→运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为CABθv 3．为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中θ=∠DCB 的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ 的函数(用含有v 和l 的式子)；(2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？(1)1cos )66sin t θθ⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦(2)48BC l =19．(本题满分16分)设函数x ae x x f +=41121)((其中a 是非零常数，e 是自然对数的底)，记)()(1x f x f n n -'=(2≥n ，*∈N n )(1)求使满足对任意实数x ，都有)()(1x f x f n n -=的最小整数n 的值(2≥n ，*∈N n )； (2)设函数)(...)()()(54x f x f x f x g n n +++=，若对5≥∀n ，*∈N n ，)(x g y n =都存在极值点n t x =，求证：点))(,(n n n n t g t A (5≥n ，*∈N n )在一定直线上，并求出该直线方程；(注：若函数)(x f y =在0x x =处取得极值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点．) (3)是否存在正整数)4(≥k k 和实数0x ，使0)()(010==-x f x f k k 且对于*∈∀N n ，)(x f n 至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k 和0x ，若不存在，说明理由．20．(本题满分16分)已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，数列{}n b 是等比数列． (1)若n n n n b a a c )(1-=+(*∈N n )，求证：{}n c 为等比数列；(2)设n n n b a c =(*∈N n )，其中n a 是公差为2的整数项数列，nn b )1312(=，若 1234516842c c c c c >>>>，且当17≥n 时，{}n c 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；(3)若数列{}n c 使得⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n c b a 是等比数列，数列{}n d 的前n 项和为nnn c c a -，且数列{}n d 满足：对任意2≥n ，*∈N n ，或者0=n d 恒成立或者存在正常数M ，使M d Mn <<1恒成立，求证：数列{}n c 为等差数列．2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学试题(附加题)21.［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。
【解析版】江苏省泰州市2013届高三上学期期末考试数学试题
2012-2013学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（4分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，则A∩B={1}．考点：交集及其运算．专题：阅读型．分析：把两个集合的公共元素写在花括号内即可．解答：解：由A={1，2，﹣3}，B={1，﹣4，5}，则A∩B={1，2，﹣3}∩{1，﹣4，5}={1}．故答案为{1}．点评：本题考查了交集及其运算，考查了交集概念，是基础的概念题．2．（4分）设复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，则=i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数代入表达式，复数的分母、分子同乘分母的共轭复数，化简复数即可．解答：解：因为复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，所以=====i．故答案为：i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的分母实数化，是解题的关键，是基础题．3．（4分）若数据x1，x2，x3，x4，x5，3的平均数为3，则数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为3．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据平均数的性质知，要求x1，x2，x3，x4，x5的平均数，只要把数x1、x2、x3、x4、x5的和表示出即可．解答：解：∵x1，x2，x3，x4，x5，3的平均数为3，∴数x1+x2+x3+x4+x5+3=6×3∴x1，x2，x3，x4，x5的平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=（6×3﹣3）÷5=3．故答案为：3．点评：本题考查的是样本平均数的求法．解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．4．（4分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF1F2的面积为6，则点P的坐标为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线方程，算出焦点F1、F2的坐标，从而得到|F1F2|=6．根据△PF1F2的面积为6，算出点P的纵坐标为2，代入双曲线方程即可算出点P的横坐标，从而得到点P的坐标．解答：解：∵双曲线的方程是，∴a2=4且b2=5，可得c==3由此可得双曲线焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0）设双曲线上位于第一象限内的一点P坐标为（m，n），可得△PF1F2的面积S=|F1F2|•n=6，即×6×n=6，解得n=2将P（m，2）代入双曲线方程，得，解之得m=．∴点P的坐标为故答案为点评：本题给出双曲线上一点与焦点构成面积为6的三角形，求该点的坐标，着重考查了三角形面积公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5．（4分）曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为（0，0）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出曲线方程的导函数，把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把x=0代入切线方程中即可求出y轴交点坐标．解答：解：对y=2lnx求导得：y′=，∵切点坐标为（e，2），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣2=（x﹣e），把x=0代入切线方程得：y=0，所以切线与y轴交点坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．点评：本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程．6．（4分）如图，ABCD是一个4×5的方格纸，向此四边形ABCD内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为0.2．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：试验发生包含的事件对应的图形是一个大长方形，若设小正方形的边长是1，则长方形的面积是20，满足条件的事件是正方形面积是4，根据面积之比做出概率．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，设每一个小正方形的边长为1试验发生包含的事件对应的图形是一个长方形，面积为5×4=20阴影部分是边长为2的正方形，面积是4，∴落在图中阴影部分中的概率是=0.2故答案为：0.2点评：本题考查几何概型，解题的关键是求出两个图形的面积，根据概率等于面积之比得到结果，本题是一个基础题．7．（4分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）＞f（b），则f（﹣a）＜f（﹣b）（用“＞”或“＜”填空）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的性质f（﹣x）=﹣f（x）求解．解答：解：根据奇函数的性质，f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b）；∵f（a）＞f（b），∴﹣f（a）＜﹣f（b），即f（﹣a）＜f（﹣b）．故答案是＜点评：本题考查函数的奇偶性．8．（4分）在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；其中真命题的序号为①④．考点：命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．专题：阅读型．分析：①有平行线公理判断即可；②中正方体从同一点出发的三条线进行判断；③可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；④由线面垂直的性质定理可得；解答：解：①因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以①正确；②中正方体从同一点出发的三条线，也错误；③可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；④可以翻译为：垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理，正确；故答案为：①④．点评：与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形．本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理．9．（4分）如图是一个算法流程图，则输出的P=．考点：程序框图．专题：计算题；概率与统计．分析：由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当n＜6时，用P+的值代替P得到新的P值，并且用n+1代替n值得到新的n值，直到n=6时输出最后算出的P值，由此即可得到本题答案．解答：解：根据题中的程序框图可得：当n＜6时，用P+的值代替P，并且用n+1代替n 值；直到当n=6时，输出最后算出的P值．因此可列出如下表格：依此表格，可得输出的P=++++=1﹣=故答案为：点评：本题给出程序框图，求最后输出的P值，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．10．（4分）已知点P（t，2t）（t≠0）是圆C：x2+y2=1内一点，直线tx+2ty=m与圆C相切，则直线x+y+m=0与圆C的位置关系是相交．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M为圆内一点，所以M到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据求出的不等式即可得到d大于半径r，得到直线与圆的位置关系是相离．解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，由P为圆内一点得到：＜1，则圆心到已知直线tx+2ty=m的距离d==1，可得|m|=＜1，圆心到已知直线x+y+m=0的距离＜1=r，所以直线x+y+m=0与圆的位置关系为：相交．故答案为：相交．点评：此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．11．（4分）设a∈R，s：数列{（n﹣a）2}是递增的数列；t：a≤1，则s是t的必要不充分条件．（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中的一个）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：在a∈R的前提下，看由数列{（n﹣a）2}是递增的数列能否推出a≤1，再看由a≤1能否推出数列{（n﹣a）2}是递增的数列．解答：解：若数列{（n﹣a）2}是递增的数列，则（n+1﹣a）2﹣（n﹣a）2=（n+1）2﹣2a（n+1）+a2﹣n2+2an﹣a2=n2+2n+1﹣2an﹣2a+a2﹣n2+2an﹣a2=2n+1﹣2a＞0，即a＜n+，因为n的最小值是1，所以当n取最小值时都有a＜，则a≤1不成立．又由（n+1﹣a）2﹣（n﹣a）2=（n+1）2﹣2a（n+1）+a2﹣n2+2an﹣a2=n2+2n+1﹣2an﹣2a+a2﹣n2+2an﹣a2=2n+1﹣2a．因为n是大于等于1的自然数，所以当a≤1时，2n+1﹣2a，即数列{（n﹣a）2}中，从第二项起，每一项与它前一项的差都大于0，数列是递增的数列．所以，s是t的必要不充分条件．故答案为必要不充分．点评：本题考查了必要条件、充分条件与充要条件．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．此题是基础题．12．（4分）各项均为正数的等比数列{a n}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是．考点：简单线性规划；等比数列；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：根据题中的不等式组，联想到运用线性规划的知识解决问题．因此，将所得的不等式的两边都取常用对数，得到关于lga1和lgq的一次不等式组，换元：令lga1=x，lgq=y，lga4=t，得到关于x、y的二次一次不等式组，再利用直线平移法进行观察，即可得到a4的取值范围．解答：解：设等比数列的公比为q，根据题意得：，∴各不式的两边取常用对数，得令lga1=x，lgq=y，lga4=t将不等式组化为：，作出以上不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部其中A（0，lg2），B（2lg2﹣lg3，lg3﹣lg2），C（0，lg3）将直线l：t=x+3y进行平移，可得当l经过点A时，t=3lg2取得最大值；当l经过点B时，t=﹣lg2+2lg3取得最小值∴t=lga4∈[﹣lg2+2lg3，3lg2]，即lga4∈[lg，lg8]由此可得a4的取值范围是故答案为：点评：本题给出等比数列，在已知a1≥1，a2≤2，a3≥3的情况下求a4的取值范围．着重考查了等比数列的通项公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．13．（4分）已知六个点A1（x1，1），B1（x2，﹣1），A2（x3，1），B2（x4，﹣1），A3（x5，1），B3（x6，﹣1）（x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，x6﹣x1=5π）都在函数f（x）=sin（x+）的图象C上．如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线C上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为11．（两点不计顺序）考点：正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：题干错误：x6﹣x1=5π，应该是：x6 ﹣x1=5π，请给修改，谢谢．由题意可得，只要研究函数y=sinx在[0，6π]上的情况即可．画出函数y=sinx在[0，6π]上的图象，数形结合可得结论．解答：解：由于对称关系不因平移而改变，∴y=sinx与f（x）=sin（x+）对称关系没有变．根据函数的周期性，只要研究函数y=sinx在[0，6π]上的情况即可．画出函数y=sinx在[0，6π]上的图象，如图所示：可得A1（，0）、B1（，0）、A2（，0）、B2（，0）、A3（，0）、B3（，0）．由函数y=sinx的图象性质可得，“好点租”有：A1B1，B1A2，A2B2，B2B2，B2A3，A3B3，A1A3，B1B3，A1B2，A2B3，B1A3，共11个，故答案为11．点评：本题主要考查新定义“好点组”，正弦函数的图象的对称性的应用，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．14．（4分）已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R．若|x1|+|x2|=1，则的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：（i）法一：目标函数法：①分类讨论去绝对值找x1，x2的关系．②将化为一个变量的函数g（x2）．（ii）法二：数形结合：①“数”难时，要考虑“形”．②C：|x1|+|x2|=1为正方形．③“分式”联想到斜率．解答：解：解法一：先考虑0≤x1≤1，0≤x2≤1的情形，则x1+x2=1===当m＞0，令函数g（x）=，x∈[0，1]，由单调性可得：g（1）≤g（x）≤g（0）．其中，，当m＜0，同理．x1、x2在其他范围同理．综上可得．解法二：==，∴为点P与点Q （x2，x1）连线的斜率．P点在直线上．由图可得直线PQ斜率的范围，即的范围．点评：熟练掌握分类讨论、数形结合的思想方法、函数的单调性、直线的斜率公式及意义是解题的关键．二、解答题：（本大题共12小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知向量=（cosλθ，cos（10﹣λ）θ），=（sin（10﹣λ）θ，sinλθ），λ、θ∈R．（1）求+的值；（2）若⊥，求θ；（3）若θ=，求证：∥．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；平行向量与共线向量．专题：综合题；平面向量及应用．分析：（1）由向量的数量积的坐标表示可求||，||，代入即可求解（2）由⊥，利用向量数量积的性质的坐标表示可得cosλθ•sin（10﹣λ）θ+cos（10﹣λ）θ•sinλθ=0，整理可求θ（3）要证明∥，根据向量平行的坐标表示，只要证明cosλθ•sinλθ﹣cos（10﹣λ）θ•sin[（10﹣λ）θ]=0即可解答：解：（1）∵||=，||=（算1个得1分）||2+||2=2，…（4分）（2）∵⊥，∴cosλθ•sin（10﹣λ）θ+cos（10﹣λ）θ•sinλθ=0∴sin（（10﹣λ）θ+λθ）=0，∴sin10θ=0…（7分）∴10θ=kπ，k∈Z，∴θ=，k∈Z…（9分）（3）∵θ=，cosλθ•sinλθ﹣cos（10﹣λ）θ•sin[（10﹣λ）θ]=cos•sin﹣cos（﹣）•sin（﹣）=cos•sin﹣sin•cos=0，∴∥…..…..（14分）点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的坐标表示及向量平行的坐标表示，属于基础试题16．（14分）在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=BC，点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE=4DE，点M是线段SD上一点．（1）求证：BC⊥AM；（2）若AM⊥平面SBC，求证EM∥平面ABS．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：对（1），通过证明线面垂直⇒线线垂直即可；对（2），将空间几何问题转化为平面几何问题，在△SAD中利用M、E分线段SD、AD成等比例，证明ME与SA平行，再由线线平行⇒线面平行．解答：证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC，SA∩AD=A，∴BC⊥平面SAD∵AM⊂平面SAD，∴BC⊥AM．（2）∵AM⊥面SAB，⇒AM⊥SD，∵SA=AB=AC=BC，可设BC=3，SA=在△ABC中，cos∠A==﹣，∴∠A=∴AD=．在Rt△SAD中，=2==，∴SM=4MD，∵AE=4ED，∴ME∥SA，ME⊄平面ABS，SA⊂平面ABS．∴EM∥平面ABS．点评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定．利用平面几何知识证明线线平行是本题证明（II）的关键；另：将空间几何问题转化为平面几何问题是解决问题的常用方法．17．（14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：应用题；三角函数的图像与性质．分析：（1）设MN交AD交于Q点由∠MOD=30°，利用锐角三角函数可求MQ，OQ，进而可求MN，AQ，代入S△PMN=MN•AQ可求（2）设∠MOQ=θ，由θ∈[0，]，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代入三角形的面积公式S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）展开利用换元法，转化为二次函数的最值求解解答：解：（1）设MN交AD交于Q点∵∠MOD=30°，∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）S△PMN=MN•AQ=××（1+）=…（6分）（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈[0，]，MQ=sinθ，OQ=cosθ∴S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）=（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．（11分）令sinθ+cosθ=t∈[1，]，∴S△PMN=（t+1+）θ=，当t=，∴S△PMN的最大值为．…..…（14分）点评：本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键18．（16分）直角坐标系xoy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．（1）求椭圆离心率；（2）若MN=，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点P在椭圆上可把P点坐标用a，b表示出来，由PO⊥A2B2，可得•K OP=﹣1，由此可得a，b的关系式，连同a2=b2+c2可求得e值；（2）由MN=可得关于a，b的一方程，再根据（1）中离心率值即可求得a，b值，从而求得椭圆方程；（3）设R（x0，y0），Q（0，t），由题意得cos∠F1RQ=cos∠F2RQ，利用向量夹角公式可表示成关于y0与t的式子，根据y0的范围即可求得t的范围；解答：解：（1）因为点P在椭圆上，所以在方程中令x=，得m=b，故P（，），∵PO⊥A2B2，∴•K OP=﹣1，即﹣×=﹣1，∴4b2=3a2=4（a2﹣c2），∴a2=4c2，∴e=①，故椭圆的离心率为；（2）MN==，∴②联立①②解得，a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为：．（3）由（2）可得F1（﹣1，0），F2（1，0），设∠F1RQ=α，∠F2RQ=β，则cosα=cosβ，∴=．设R（x0，y0），Q（0，t），则化简得：t=﹣y0，∵0＜y0＜，t∈（﹣，0）．故点Q纵坐标的取值范围为：（﹣，0）．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系以及椭圆标准方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，属难题．19．（4分）已知数列a n=n﹣16，b n=（﹣1）n|n﹣15|，其中n∈N*．（1）求满足a n+1=|b n|的所有正整数n的集合；（2）若n≠16，求数列的最大值和最小值；（3）记数列{a n b n}的前n项和为S n，求所有满足S2m=S2n（m＜n）的有序整数对（m，n）．考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：计算题；分类讨论；等差数列与等比数列．分析：（1）由a n+1=|b n|，把已知通项代入可得关于n的方程，根据绝对值的意义，从而可求符合条件的n（2）由已知=，结合式子的特点，考虑讨论n与16的大小关系及n的奇偶性分别对已知式子进行化简求解最值（3）结合b n=（﹣1）n|n﹣15|，需要考虑n与15的大小对已知式子去绝对值，然后讨论n的奇偶性代入可求满足条件的m，n解答：解：（1）∵a n+1=|b n|，∴n﹣15=|n﹣15|，∴当n≥15时，a n+1=|b n|恒成立，当n＜15时，n﹣15=﹣（n﹣15），∴n=15n的集合{n|n≥15，n∈N*}…．…．…．（4分）（2）∵=（i）当n＞16时，n取偶数==1+当n=18时（）max=无最小值n取奇数时=﹣1﹣n=17时（）min=﹣2无最大值…（8分）（ii）当n＜16时，=当n为偶数时==﹣1﹣n=14时（）max=﹣（）min=﹣当n奇数==1+，n=1，（）max=1﹣=，n=15，（）min=0 …（11分）综上，最大值为（n=18）最小值﹣2（n=17）…．…..…．（12分）（3）n≤15时，b n=（﹣1）n﹣1（n﹣15），a2k﹣1b2k﹣1+a2k b2k=2 （16﹣2k）≥0，n＞15时，b n=（﹣1）n（n﹣15），a2k﹣1b2k﹣1+a2k b2k=2 （2k﹣16）＞0，其中a15b15+a16b16=0∴S16=S14m=7，n=8…．（16分）点评：本题主要考查了数列的和的求解，求解中要注意对所出现式子的化简，体现了分类讨论思想的应用20．（6分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，a，b是常数．（1）若a≠b，求证：函数f（x）存在极大值和极小值；（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2，令点A（x1，f（x1）），B （x2，f（x2））．如果直线AB的斜率为﹣，求函数f（x）和f′（x）的公共递减区间的长度；（3）若f（x）≥mxf′（x）对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）由于f′（x）=（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，可得一元二次方程f′（x）=0有两不等实数根，可得f（x）存在极大值和极小值．（2）分a=b、a＞b、a＜b三种情况，求得f（x）的减区间，再求出f′（x）减区间，可得f （x）与′的公共减区间，从而求得公共减区间的长度．（3）由条件可得，（x﹣b）{（1﹣3m）x2+[m（2a+b）﹣（a+b）]x+ab}≥0恒成立，可得m=，故（x﹣b）[（a+2b）x﹣3ab]≤0恒成立．再利用二次函数的性质求得实数m，a，b满足的条件．解答：解：（1）由于f′（x）=（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，…（1分）∵a≠b，∴，∴一元二次方程f′（x）=0有两不等实数根b和，∴f（x）存在极大值和极小值．…（4分）（2）①若a=b，f（x）不存在减区间．②若a＞b，由（1）知x1=b，x2=，∴A（b，0），B ，∴，∴（a﹣b）2 =，∴．③当a＜b时，x1=，x2=b，同理可得a﹣b=（舍）．综上a﹣b=…..…．（7分）∴f（x）的减区间为即（b，b+1），f′（x）减区间为，∴公共减区间为（b，b+），故公共减区间的长度为．…（10分）（3）∵f（x）≥mxf′（x），∴（x﹣a）（x﹣b）2 ≥m•x（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，∴（x﹣b）{（1﹣3m）x2+[m（2a+b）﹣（a+b）]x+ab}≥0．若，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，不满足条件．∴，…（12分）∴（x﹣b）[（a+2b）x﹣3ab]≤0恒成立．若a+2b=0，则有a=﹣2b，∴a=b=0．若a+2b≠0，则x1=b，，且b=．①当b=0，则由二次函数的性质得a＜0，②当b≠0，则，∴a=b，且b＜0．综上可得，，a=b≤0或a＜0，b=0．…..（16分）点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（6分）如图⊙O的两弦AB，CD所在直线交于圆外一点P．（1）若PC=2，CD=1，点A为PB的中点，求弦AB的长；（2）若PO平分∠BPD，求证：PB=PD．考点：与圆有关的比例线段．分析：（1）利用割线定理即可得出；（2）利用垂径定理、同圆中的弦与弦心距的关系定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可得出．解答：解（1）由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，∵点A为PB的中点，∴PA=AB，∴AB•2AB=2×3，解得AB=．（2）作OM⊥CD于M，ON⊥AB于N，∵PO平分∠BPD，∴OM=ON，在同圆中弦心距相等，∴AB=CD，∴点M平分弦CD，点N平分弦AB，∴AN=NB，CM=MD，∴NB=MD．又∵△PON≌△POM，∴PN=PM，∴PN+NB=PM+MD，∴PB=PD．点评：熟练掌握圆的割线定理、垂径定理、同圆中的弦与弦心距的关系定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（6分）已知变换T 把平面上的点（1，0），（0，）分别变换成点（1，1），（﹣，）．（1）试求变换T对应的矩阵M；（2）求曲线x2﹣y2=1在变换T的作用下所得到的曲线的方程．考点：几种特殊的矩阵变换．专题：计算题．分析：（1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可；（2）先设P（x，y）是曲线x2﹣y2=1上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵T对应变换作用下新曲线上的对应点，根据矩阵变换求出P与P1的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可．解答：解：（1）设矩阵M=依题意得，=→，∴（1，0）变换为（1，1）得：a=1，c=1，（0，）变换为（﹣，）得：b=﹣1，d=1所求矩阵M=…（5分）（2）变换T所对应关系解得…（7分）代入x2﹣y2=1得：x′y′=1，故x2﹣y2=1在变换T的作用下所得到的曲线方程得xy=1 …（10分）点评：本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及计算能力，属于基础题．23．（6分）已知直线（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交于A，B两点，m为常数．（1）当m=0时，求线段AB的长；（2）当圆C上恰有三点到直线的距离为1时，求m的值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）先把参数方程化为普通方程，再利用点到直线的距离公式、弦长|AB|=2即可得出；（2）圆C上恰有三点到直线的距离为1的条件⇔圆心C到直线l的距离=1．解答：解：（1）由直线（t为参数）消去参数化为普通方程l：x+y﹣1=0；当m=0时，圆C：（θ为参数）消去参数θ得到曲线C：x2+y2=4，圆心C（0，0），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离为d=，∴|AB|=2=．（2）由（1）可知：x+y﹣1=0，又把圆C的参数方程的参数θ消去可得：x2+（y﹣m）2=4，∴圆心C（0，m），半径r=2．只要圆心C到直线l的距离=1即可满足：圆C上恰有三点到直线的距离为1的条件．由d==1，解得m﹣1=±，∴m=1+或m=1﹣．点评：熟练把参数方程化为普通方程、掌握点到直线的距离公式、弦长|AB|=2及正确把问题等价转化是解题的关键．24．（6分）若a，b，c∈R+，a+2b+3c=6．（1）求abc的最大值；（2）求证≥12．考点：基本不等式．专题：综合题．分析：（1）由已知可得abc=a•2b•3c≤（）3，可求（2）由++=3+++=（++）（a+2b+3c），化简后利用基本不等式可证解答：解：（1）∵a，b，c∈R+，a+2b+3c=6∴abc=a•2b•3c≤（）3=当a=2，b=1，c=时取等号，∴abc的最大值为…．…..（5分）（2）∵++=3+++而（++）（a+2b+3c）≥（++）2=54∴++≥9∴++≥12…（10分）点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值及证明中的应用，解题的关键是对基本不等式应用条件的配凑25．（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD、DC的中点．（1）求直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值；（2）设直线BC1上一点P满足平面PAC∥平面EFD1，求PB的长．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）建立以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴的空间直角坐标系，求出平面D1EF的法向量，和直线BC1的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值；（2）设=λ，可求出向量的坐标（含参数λ），进而根据平面PAC∥平面EFD1，可得平面D1EF的法向量也垂直平面PAC，即.=0，进而求出参数值后，代入向量模的计算公式可得答案．解答：解：（1）建立以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z 轴的空间直角坐标系则D1（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，0，0），C1（0，2，2），F（0，1，0）．=（﹣2，0，2），=（1，0，﹣2），=（﹣1，1，0）．设平面D1EF的法向量=（x1，y1，z1），则，即令x1=2，则=（2，2，1）…（3分）∴cos＜，＞==﹣∴直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值为…..…..（5分）（2）设=λ=（﹣2λ，0，2λ）则=+=（﹣2λ，2，2λ），.=﹣4λ+4+2λ=0∴λ=2…（8分）∵AP⊄平面EFD1，AP∥平面EFD1，又AC∥EF，EF⊆平面EFD1，∴AC∥平面EFD1又AP∩AC=A，AP，AC⊂平面EFD1，∴平面PAC∥平面EFD1，∴=（﹣4，0，4），=4…．（10分）点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，平面与平面平行的判定，其中建立空间坐标系，将空间线面关系及夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．26．（6分）如图A1（x1，y1）（y1＜0）是抛物线y2=mx（m＞0）上的点，作点A1关于x轴的对称点B1，过B1作与抛物线在A1处的切线平行的直线B1A2交抛物线于点A2．（1）若A1（4，﹣4），求点A2的坐标；（2）若△A1A2B1的面积为16，且在A1，B1两点处的切线互相垂直．①求抛物线方程；②作A2关于x轴的对称点B2，过B2作与抛物线在A2处的切线平行的直线B2A3，交抛物线于点A3，…，如此继续下去，得一系列点A4，A5，…，设A n（x n，y n），求满足x n≥10000x1的最小自然数n．考点：抛物线的标准方程；数列的函数特性．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由A1（4，﹣4）在抛物线上代入可求m，设出A2（x2，﹣2x2），对函数y=﹣求导根据导数的几何意义可求x2，即可求解A2．（2）①设A1，B1处切线的斜率分别为K1，K2，容易得出K1•K2=﹣1，代入点的坐标即可得到m与x1 的方程，再设A2，结合已知又可得x2，x1的关系，代入三角形的面积公式中即可可求知x1，m，从而可求抛物线方程②由题意可求x n与x n﹣1的递推关系，结合等比数列的通项公式可求n的最小值解答：解：（1）若A1（4，﹣4）在抛物线上∴16=4m∴m=4，设A2（x2，﹣2x2），y=﹣，y′=﹣，B（4，4）∴=∴x2=36∴A2（36，﹣12）…．…．…（3分）（2）①设A1，B1处切线的斜率分别为K1，K2，K1•K2=﹣1∴（﹣）.=﹣1∴m=4x1 ①设A2（x2，﹣）∴=﹣∴x2=9x1 ②又S=×2（x2﹣x1）=16 ③由①②③知x1=1，m=4∴抛物线方程为y2=4x…..…（6分）②由（2）知=﹣，∴x n=9x n﹣1，∴数列{x n}为等比数列，∴x19n﹣1≥10000x1∴n≥6∴n最小值为6…（10分）点评：本题主要考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力。
江苏省泰州市2013届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案
泰州2012～2013学年度第一学期期末考试高三数学试题(考试时间： 120分钟 总分160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知集合A ={}3,2,1，B ={}5,2,1，则A ∩B = ▲ .2．设复数z 1=2+2i,z 2=2-2i,则21z z= ▲ .3．若数据3,,,,,54321x x x x x 的平均数为3，则数据54321,,,,x x x x x 的平均数为 ▲ .4．设双曲线15422=-y x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF 1F 2的面积为6，则点P 的坐标为 ▲ .5．曲线y =2ln x 在点(e ,2)处的切线（e 是自然对数的底）与y 轴交点坐标为 ▲ .6．如图，ABCD 是一个4×5的方格纸，向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为 ▲ .7．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且),()(b f a f >则)(a f - ▲ )(b f -（用""""<>或填空）.8． 在空间中，用a b c ,, 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥； ③若//a γ，//b γ，则//a b ； ④若a γ⊥，b γ⊥，则//a b ；其中真命题的序号为 ▲ .9. 右图是一个算法流程图，则输出的P = ▲ .10. 已知点P (t ,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2+y 2=1内一点，直线tx +2ty =m 与圆C 相切，则直线x +y +m =0与圆C 的位置关系是 ▲ .11. 设a ∈R ，s ：数列{()2a n -}是递增的数列；t ：≤a 1.则s 是t 的 ▲ 条件.（填“充D分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中的一个）.12.各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则a 4的取值范围是 ▲ .13. 已知六个点A 1(x 1,1),B 1(x 2,-1),A 2(x 3,1),B 2(x 4,-1),A 3(x 5,1),B 3(x 6,-1)（x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5 ＜x 6，x 6－x 1=5π)都在函数f (x )=sin(x +3π)的图象C 上.如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线C 上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为 ▲ .（两点不计顺序）14. 已知f (x )=2mx +m 2+2,m ≠0,m ∈R ,x ∈R .若｜x 1｜+｜x 2｜=1，则)()(21x f x f 的取值范围是▲ .二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15. （本题满分14分）已知向量a=（cos λθ,cos(10-λ)θ），b =(sin(10-λ)θ,sin λθ), λ、θ∈R .（1（2）若a ⊥b，求θ；（3）若θ=20π，求证：a ∥b.16. （本题满分14分） 在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA =AB =AC =33BC ，点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE =4DE ，点M 是线段SD 上一点. (1)求证：BC ⊥AM ；(2)若AM ⊥平面SBC ，求证EM ∥平面ABS .17. （本题满分14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB =1，BC =2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC . （1）设∠MOD =30°，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.18. （本题满分16分）直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的左、右顶点分别是A 1，A 2，上、下顶点为B 2，B 1，点P （a 53，m ）（m ＞0）是椭圆C 上一点，PO ⊥A 2B 2，直线PO 分别交A 1B 1、A 2B 2于点M 、N . （1）求椭圆离心率；（2）若MN =7214，求椭圆C 的方程；（3）在（2）的条件下，设R 点是椭圆C 上位于第一象限内的点，F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，RQ 平分∠F 1RF 2且与y 轴交于点Q ，求点Q 纵坐标的取值范围.19. （本题满分16分）已知数列a n =n -16，b n =(-1)n ｜n -15｜，其中n ∈N *. （1）求满足a n +1=｜b n ｜的所有正整数n 的集合； （2）若n ≠16，求数列nna b 的最大值和最小值； （3）记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，求所有满足S 2m =S 2n （m ＜n ）的有序整数对（m ,n ）.20. （本题满分16分）已知函数f (x )=(x -a )(x -b )2，a ,b 是常数. (1)若a ≠b ，求证：函数f (x )存在极大值和极小值；(2)设（1）中f (x )取得极大值、极小值时自变量的值分别为x 1、x 2，令点A (x 1, f (x 1)),B (x 2, f (x 2)).如果直线AB 的斜率为-21，求函数f (x )和f ′ (x )的公共递减区间的长度 ； (3)若f (x )≥mxf ′ (x )对于一切x ∈R 恒成立，求实数m ,a ,b 满足的条件.2012～2013学年度第一学期期末考试高三数学试题(附加题)21.［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。
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泰州2012～2013学年度第一学期期末考试高三数学试题(考试时间： 120分钟 总分160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知集合A ={}3,2,1，B ={}5,2,1，则A ∩B = ▲ . 2．设复数z 1=2+2i,z 2=2-2i,则21z z = ▲ . 3．若数据3,,,,,54321x x x x x 的平均数为3，则数据54321,,,,x x x x x 的平均数为 ▲ .4．设双曲线15422=-y x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF 1F 2的面积为6，则点P 的坐标为▲ . 5．曲线y =2ln x 在点(e,2)处的切线（e 是自然对数的底）与y 轴交点坐标为 ▲ .6．如图，ABCD 是一个4×5的方格纸，向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为 ▲ . 7．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且),()(b f a f >则)(a f - ▲)(b f -（用""""<>或填空）.8． 在空间中，用a b c ,, 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥； ③若//a γ，//b γ，则//a b ； ④若a γ⊥，b γ⊥，则//a b ；其中真命题的序号为 ▲ . 9. 右图是一个算法流程图，则输出的P = ▲ .10. 已知点P (t ,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2+y 2=1内一点，直线tx +2ty =m 与圆C 相切，则直线x +y +m =0与圆C 的位置关系是 ▲ .11. 设a ∈R ，s ：数列{()2a n -}是递增的数列；t ：≤a 1.则s 是t 的 ▲ 条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中的一个）.12.各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则a 4的取值范围是 ▲ .（第6题图）ABCD结束P ← 0 n ← P ←1(1)P n n ++n ← n ＋1 输出P NYn=6（第9题图） 开始13. 已知六个点A 1(x 1,1),B 1(x 2,-1),A 2(x 3,1),B 2(x 4,-1),A 3(x 5,1),B 3(x 6,-1)（x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5 ＜x 6，x 6－x 1=5π)都在函数f (x )=sin(x +3π)的图象C 上.如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线C 上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为 ▲ .（两点不计顺序）14. 已知f (x )=2mx +m 2+2,m ≠0,m ∈R ,x ∈R .若｜x 1｜+｜x 2｜=1，则)()(21x f x f 的取值范围是▲ .二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15. （本题满分14分）已知向量a =（cos λθ,cos(10-λ)θ），b =(sin(10-λ)θ,sin λθ),λ、θ∈R .（1）求2a +2b 的值；（2）若a ⊥b，求θ；（3）若θ=20π，求证：a ∥b.16. （本题满分14分） 在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA =AB =AC =33BC ，点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE =4DE ，点M 是线段SD 上一点. (1)求证：BC ⊥AM ；(2)若AM ⊥平面SBC ，求证EM ∥平面ABS .17. （本题满分14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB =1，BC =2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC . （1）设∠MOD =30°，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.18. （本题满分16分）直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的左、右顶点分别是A 1，A 2，上、下顶点为B 2，B 1，点P （a 53，m ）（m ＞0）是椭圆C 上一点，PO ⊥A 2B 2，直线PO 分别交A 1B 1、A 2B 2于点M 、N . （1）求椭圆离心率； （2）若MN =7214，求椭圆C 的方程； （3）在（2）的条件下，设R 点是椭圆C 上位于第一象限内的点，F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，RQ 平分∠F 1RF 2且与y 轴交于点Q ，求点Q 纵坐标的取值范围.19. （本题满分16分）已知数列a n =n -16，b n =(-1)n ｜n -15｜，其中n ∈N *. （1）求满足a n +1=｜b n ｜的所有正整数n 的集合； （2）若n ≠16，求数列nna b 的最大值和最小值； （3）记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，求所有满足S 2m =S 2n （m ＜n ）的有序整数对（m ,n ）.R xyF 1 F 2QO20. （本题满分16分）已知函数f (x )=(x -a )(x -b )2，a ,b 是常数. (1)若a ≠b ，求证：函数f (x )存在极大值和极小值；(2)设（1）中f (x )取得极大值、极小值时自变量的值分别为x 1、x 2，令点A (x 1, f (x 1)),B (x 2,f (x 2)).如果直线AB 的斜率为-21，求函数f (x )和f ′ (x )的公共递减区间的长度 ； (3)若f (x )≥mxf ′ (x )对于一切x ∈R 恒成立，求实数m ,a ,b 满足的条件.2012～2013学年度第一学期期末考试高三数学试题(附加题)21.［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。
A.（本小题满分10分，几何证明选讲）如图⊙O 的两弦AB ，CD 所在直线交于圆外一点P .(1)若PC =2，CD =1，点A 为PB 的中点，求弦AB 的长；(2)若PO 平分∠BPD ，求证：PB =PD .B.（本小题满分10分，矩阵与变换）已知变换T 把平面上的点(1,0),(0,2)分别变换成点(1,1)，(-2,2).(1)试求变换T 对应的矩阵M ；(2)求曲线x 2-y 2=1在变换T 的作用下所得到的曲线的方程.C.（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）已知直线⎩⎨⎧-=+=t y tx l 1:（t 为参数）与圆C ：PA B DCO•⎩⎨⎧+==θθsin 2cos 2m y x （θ为参数）相交于A ,B 两点，m 为常数. (1) 当m =0时，求线段AB 的长；(2) 当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值.D.（本小题满分10分，不等式选讲）若c b a ,,∈R +，+a 2+b 3c =6.(1)求abc 的最大值； (2)求证cc b b a a 236+++++≥12.［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AD 、DC 的中点.(1)求直线BC 1与平面EFD 1所成角的正弦值；(2)设直线BC 1上一点P 满足平面PAC ∥平面EFD 1，求PB 的长.23.(本小题满分10分)如图A 1(x 1，y 1)(y 1<0)是抛物线y 2=mx (m ＞0)上的点，作点A 1关于x 轴的对称点B 1，过B 1作与抛物线在A 1处的切线平行的直线B 1A 2交抛物线于点A 2. (1)若A 1(4,-4),求点A 2的坐标；(2)若△A 1A 2B 1的面积为16，且在A 1，B 1两点处的切线互相垂直.①求抛物线方程； ②作A 2关于x 轴的对称点B 2，过B 2作与抛物线在A 2处的切线平行的直线B 2A 3，交抛物线于点A 3,…,如此继续下去，得一系列点A 4,A 5,…，设A n (x n ,y n )，求满足x n ≥10000x 1的最小自然数n .O x y A 1B 1 A 2 A BC 1D 1C D E F B 1A 12012～2013学年度第一学期期末考试高三数学参考答案一填空题1．{}2,1 2.i 3.3 4. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,556 5.(0,1) 6.0.2 7.< 8. ①④ 9. 6510.相交11.必要不充分 12. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,29 13.11 14. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,221 二 解答题15. （1）∵｜a ｜=cos 2λθ+cos 2(10-λ)θ ，｜b ｜=sin 2(10-λ)θ+sin 2λθ （算1个得1分）｜a ｜2+｜b ｜2=2，………………………………………………………………4分（2）∵a ⊥b，∴cos λθ·sin(10-λ)θ +cos(10-λ) θ·sin λθ=0∴sin ((10-λ) θ+λθ)=0，∴sin10θ=0…………………………………………7分∴10θ=k π，k ∈Z ，∴θ=10πk ，k ∈Z (9)分（3）∵θ=20π, cos λθ·sin λθ－cos(10-λ) θ·sin［(10－λ) θ］=cos 20λπ·sin 20λπ－cos （2π－20λπ）·sin(2π－20λπ)=cos20λπ·sin20λπ-sin20λπ·cos20λπ=0，∴a ∥b (14)分16.(1)∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ,………………………………………… 2分AM BC SAD AM SAD BC A SA AD BCSA ABC BC ABC SA ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥面平面面面……………..7分 （证到SA ⊥平面SAD 得5分）（2）∵AM ⊥面SAB ， ⇒AM ⊥SD ，⇒⎭⎬⎫==DE AE MD SM 44⎪⎭⎪⎬⎫⊆⊄平面平面SA ABS //ME SA ME ⇒EM ∥面ABS ……………14分（证到SM =4MD 得10分，得到ME ‖SA 得12分。