关系习题解析
数量关系题
6题解析：本题所用公式为(首项+末项)÷2×项数，项数=(末项-首项)÷公差+1，所以，本题的项数=(42-22)÷2+1=11，答案为(22+42)÷2×11=352。故本题的正确答案为C。
(一)数量关系练习题之一
数字推理练习题之一
1 235，242，249，256，( )
A261 B262 C263 D264
2 0，3，8，15，( )
A23B24C25D26
3 6，10，7，12，8，14，( )，( )
A9，16B9，13C10，11D11，14
数学运算练习题之二解析
1题解析：这是道计算个位数的题，是观察尾数法的变式。89的个位数为8；98的个位数为1；8+1=9，故本题的正确答案为A。
2题解析：本题需先确定最大的四位数是9 999，最大的两位数是99，求倍数就用除法，9 999÷99=101。故本题的正确答案为C。
3题解析：本题可将两数通分之后得2430与2530，显然B是错误的选项，因为不符合要求。可将2430与2530再扩大一倍，即为4860与5060。故本题的正确答案为C。
6某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为：
A10点15分B10点19分
C10点20分D10点25分
7某服装厂生产出来的一批衬衫之中，大号和小号各占一半。其中，25%是白色的，75%是蓝色的。如果这批衬衫总共有100件，其中大号白色衬衫有10件，问小号蓝色衬衫有多少件?
匀变速直线运动的速度与时间的关系练习题及答案解析
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 1．有两个做匀变速直线运动的质点，下列说法正确的是() A．经过相同的时间，速度大的质点加速度必定大B．若初速度相同，速度变化大的质点加速度必定大C．若加速度相同，初速度大的质点的末速度一定大D．相同时间里，加速度大的质点速度变化必定大解析：由匀变速直线运动的加速度定义式a＝ΔvΔt＝v－v0t知，相同时间内Δv大a就大，若t不等，v0大或v大，其加速度a不一定大．答案： D2．一辆汽车在平直的高速公路上行驶．已知在某段时间内这辆汽车的加速度方向与速度方向相同，则在这段时间内，该汽车()A．一定做加速直线运动B．不一定做匀加速直线运动C．可能做匀变速直线运动D．一定做匀变速直线运动解析：汽车的加速度方向与速度方向相同，所以一定是加速运动．因为不能判断加速度大小是否恒定，所以不能确定汽车是否做匀变速运动．答案：ABC3．如下图所示的4个图象中，表示物体做匀加速直线运动的图象是()答案：AD4．甲、乙两个物体沿同一直线向同一方向运动时，取物体的初速度方向为正方向，甲的加速度恒为2 m/s2，乙的加速度恒为－3 m/s2，则下列说法正确的是() A．两物体都做匀加速直线运动，乙的速度变化快B．甲做匀加速直线运动，它的速度变化快C．乙做匀减速直线运动，它的速度变化率大D．甲的加速度比乙的加速度大解析：该题主要考查了加速度a的方向与初速度的方向之间的关系，即当a的方向与v0方向相同时，物体一定做加速直线运动，若a一定，则为匀加速直线运动；当a的方向与v0的方向相反时，物体一定做减速直线运动．若a一定，则为匀减速直线运动．还考查了加速度的物理意义，正负号的表示，及速度变化率的意义，是一个知识点比较综合的题．答案： C5．若汽车的加速度方向与速度方向一致，当加速度减小时，则()A．汽车的速度也减小B．汽车的速度仍在增加C．当加速度减小到零时，汽车静止D．当加速度减小到零时，汽车的速度达到最大解析：因为汽车的加速度方向与速度方向一致，所以汽车做加速运动，当加速度减小时，其速度虽然增加得慢了，但仍然在增加，故A错误，B正确；当加速减小到零时，速度不再增加，达到最大，故C错误，D正确．答案：BD6．甲和乙两个物体在同一直线上运动，它们的v－t图象分别如右图中的a和b所示．在t1时刻()A．它们的运动方向相同B．它们的运动方向相反C．甲的速度比乙的速度大D．乙的速度比甲的速度大解析：甲、乙两物体的速度方向都与选定的正方向相同，A正确，B错误；在t1时刻，乙物体的速度大，D正确，C错误．答案：AD7．如下图所示，用闪光照相的方法记录某同学的运动情况，若规定向右的方向为正方向，则下列图象能大体描述该同学运动情况的是()解析：由题图可以看出，该同学在相等时间内的位移先变小后变大，所以其速度先减小后增大，又因向右为正方向，所以A正确．答案： A8．(2011·豫南七校联考)物体运动的v－t图象如右图所示，设向右为正，下列关于前4 s内物体运动情况的判断，下列说法正确的是()A．物体始终向右运动B．物体先向右运动，第2 s末开始向左运动C．第3 s末物体在出发点的左侧D．第2 s末物体距出发点最远解析：速度的正、负表示物体运动方向，故前2 s物体向右运动，后2 s向左运动，A 错，B对．由于前2 s物体一直向右运动，离出发点越来越远，第2 s末开始又向左运动，逐渐靠近出发点，故第2 s末物体离出发点最远，D对．物体在4 s末回到出发点，故3 s末物体在出发点右侧，C错．答案：BD9．跳伞运动员做低空跳伞表演，当飞机离地面某一高度静止于空中时，运动员离开飞机自由下落，运动一段时间后打开降落伞，打开伞后运动员以5 m/s2的加速度匀减速下降，则在运动员减速下降的任意一秒内()A．这一秒末的速度比前一秒初的速度小5m/sB．这一秒末的速度是前一秒末的速度的0.2倍C．这一秒末的速度比前一秒末的速度小5 m/sD．这一秒末的速度比前一秒初的速度小10 m/s解析：根据加速度的定义式：a＝v t－v0t＝ΔvΔt，Δv＝aΔt，这一秒末的速度比前一秒初的速度的变化Δv1＝aΔt＝5·Δt，且这一秒末与前一秒初的时间间隔为2 s，所以Δv1＝5×2 m/s ＝10 m/s，故选项A、B错误，选项D正确．又因为这一秒末与前一秒末的时间间隔为1 s，因此选项C也正确．故选C、D.在解决本题时，一定要注意时间和时刻的区别，特别是要准确把握时间段代表的时间区域．加速度与初速度的关系为a＝v t－v0t，v t＝v0＋at，故v t与v0不是正比例函数，不存在B选项中的倍数关系．答案：CD10．为了对付来自个别国家的威胁，伊朗在继“谢哈布－3”导弹试射成功后，继续研制具备远程打击能力的“谢哈布－4”和“谢哈布－5”导弹，其中“谢哈布－5”的射程可达5 000千米，“谢哈布－3”型导弹长17米，可以携带重达800公斤的弹头，如果在公路上机动发射，射程可达1 500千米．(1)假设某国的高空侦察机频繁进入伊朗上空侦察，若一架高空侦察机正以300 m/s 的速度向伊朗某城市飞来，它将通过该城市上空的A 点，伊朗某导弹基地通过雷达探测到该侦察机在做匀速直线运动，在侦察机离A 点尚有一段距离时发射“谢哈布－3”导弹，导弹以80 m/s 2的加速度做匀加速直线运动，以1 200 m/s 的速度在A 点击中该侦察机，则导弹发射后击中敌机所需的时间为( )A ．3.75 sB ．15 sC ．30 sD ．45 s(2)当该侦察机离A 点的距离为下列哪一数值时导弹基地发射导弹正好击中敌机( )A ．300 mB ．1 200 mC ．4 500 mD ．18 000 m解析： (1)导弹由静止做匀加速直线运动，v 0＝0，据公式v ＝v 0＋at ，有t ＝v a ＝1 20080 s＝15 s即导弹发射后经15 s 击中敌机，选项B 正确．(2)敌机做匀速直线运动，15 s 内通过的位移x ′＝v ′t ＝300×15 m ＝4 500 m ，即当敌机离A 点4 500 m 时，导弹基地开始发射导弹，选项C 正确．答案： (1)B (2)C11．质点从静止开始做匀加速直线运动，经4 s 后速度达到20 m/s ，然后匀速运动了10 s ，接着经4 s 匀减速运动后静止．求：(1)质点在加速运动阶段的加速度为多大？(2)质点在16 s 末的速度为多大？解析： (1)设加速阶段的加速度为a 1，则v 1＝a 1t 1a 1＝v 1/t 1＝204 m/s 2＝5 m/s 2.(2)设减速运动阶段的加速度为a 2，由于v 2＝v 1＋a 2t 2，v 2＝0，v 1＝20 m/s所以a 2＝v 2－v 1t 2＝0－204 m/s 2＝－5 m/s 2 当t ＝16 s 时，质点已减速运动了t 3＝2 s ，此时质点的速度为v 3＝v 1＋a 2t 3＝20 m/s －5×2 m/s ＝10 m/s.答案： (1)5 m /s 2 (2)10 m/s12．一辆卡车正在平直公路上以10 m/s 的速度匀速行驶，司机突然发现前方路口处亮起红灯，于是立即刹车使卡车匀减速前进．当卡车速度减小到2 m/s 时，信号灯转换为绿灯，司机又立即放开刹车，换挡加速，只用了减速过程一半的时间就匀加速到了原来稳定时的速度．已知从开始刹车到恢复到原来的速度一共经历了12 s ，求：(1)汽车减速和加速时的加速度大小；(2)从开始刹车算起，2 s 末和10 s 末的瞬时速度．解析： (1)设减速和加速时的加速度分别是a 1、a 2，减速和加速的时间分别为t 1、t 2，由题意知t 1＋t 2＝12 s ，t 2＝t 12，解得t 1＝8 s ，t 2＝4 s ；在减速阶段：a 1＝v －v 0t 1＝2－108m/s 2＝－1 m/s 2(负号表示加速度方向与运动方向相反)； 在加速段a 2＝v 0－v t 2＝10－24 m/s 2＝2 m/s 2. (2)刹车2 s 末卡车的速度v 2＝v 0＋a 1t 3 ＝[10＋(－1)×2] m/s ＝8 m/s ， 10 s 末即加速2 s 末，卡车的速度 v 10＝v ＋a 2t 4＝(2＋2×2) m/s ＝6 m/s.答案： (1)1 m/s 2 2 m/s 2 (2)8 m/s 6 m/s。
有关相遇问题的关系式
有关相遇问题的关系式：（1）速度和×相遇时间＝相遇路程（2）相遇路程÷速度和＝相遇时间（3）相遇路程÷相遇时间＝速度和速度和：两人或两车速度的和；相遇时间：两人或两车同时开出到相遇所用的时间。
【经典习题1】：两列火车同时从两地相对开出，甲列火车每小时行86千米，乙列火车每小时行102千米，经过5小时两车在途中相遇，求两地相距多少千米？【经典习题2】：甲、乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，经过2小时后两人相遇，问乙每小时行多少千米？【经典习题3】：王明和妹妹两人从相距2000米的两地相向而行，王明每分钟行110米，妹妹每分钟行90米，如果一只狗与王明同时同向而行，每分钟行500米，遇到妹妹后，立即回头向王明跑去，遇到王明再向妹妹跑去，这样不断来回，直到王明和妹妹相遇为止。
狗共行了多少米？【经典习题4】：甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，两人由相隔18千米的两地相背而行，几小时后两人相隔54千米？【经典习题5】：甲乙两艘舰由相距418千米的两个港口同时相对开出，甲舰每小时行36千米，乙舰每小时行34千米，开出1小时候，甲舰因有紧急任务返回原港，又立即起航与乙舰继续相对开出，经过多少小时两舰相遇？【经典习题6】：甲地到乙地快车每小时行32千米，慢车每小时行18千米，如果两车同时从甲乙两地相对开出，可在距中点35千米的地方相遇，甲乙两地相距是多少千米？？『经典习题解析』【经典习题1】：两列火车同时从两地相对开出，甲列火车每小时行86千米，乙列火车每小时行102千米，经过5小时两车在途中相遇，求两地相距多少千米？（86＋102）×5＝940千米或者86×5＋102×5＝940千米【经典习题2】：甲、乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，经过2小时后两人相遇，问乙每小时行多少千米？20÷2－6＝4千米或者（20－6×2）÷2＝4千米【经典习题3】：王明和妹妹两人从相距2000米的两地相向而行，王明每分钟行110米，妹妹每分钟行90米，如果一只狗与王明同时同向而行，每分钟行500米，遇到妹妹后，立即回头向王明跑去，遇到王明再向妹妹跑去，这样不断来回，直到王明和妹妹相遇为止。
关系数据理论课后答案
关系数据理论课后答案第五章关系数据理论习题解答和解析1.理解并给出下列术语的定义：函数依赖、部分函数依赖、完全函数依赖、传递依赖、候选码、主码、外码、全码(All-key)、1NF、2NF、3NF、BCNF、多值依赖、4NF。
解析：解答本题不能仅仅把《概论》上的定义写下来。
关键是真正理解和运用这些概念。
答：函数依赖：设R(U)是一个关系模式,U是R的属性集合,X和Y是U的子集。
对于R(U)的任意一个可能的关系r,如果r中不存在两个元组,它们在X上的属性值相同,而在Y上的属性值不同,则称"X函数确定Y"或"Y函数依赖于X",记作X→Y。
解析：(1)函数依赖是最基本的一种数据依赖,也是最重要的一种数据依赖。
(2)函数依赖是属性之间的一种联系,体现在属性值是否相等。
由上面的定义可以知道,如果X→Y,则r中任意两个元组,若它们在X上的属性值相同,那么在Y上的属性值一定也相同。
(3)要从属性间实际存在的语义来确定他们之间的函数依赖,即函数依赖反映了(描述了)现实世界的一种语义。
(4)函数依赖不是指关系模式R在某个时刻的关系(值)满足的约束条件,而是指R任何时刻的一切关系均要满足的约束条件。
答：完全函数依赖、部分函数依赖：在R(U)中,如果X→Y,并且对于X的任何一个真子集X',都有X'Y,则称Y对X完全函数依赖,记作:若X→Y,但Y不完全函数依赖于X,则称Y对X部分函数依赖,记作:?→Z,则称Z对X传递函数依赖。
传递依赖：在R(U)中,如果X→Y,(Y候选码、主码：设K为R<u,f>中的属性或属性组合,若K→U(完全依赖)则K为R的候选码(Candidate key)。
若候选码多于一个,则选运其中的一个为主码(Pdmary key)。
解析：1)这里我们用函数依赖来严格定义码的概念。
在第二章中我们只是描述性地定义码(可以复习若关系中的某一属性组的值能惟一地标识一个元组,则称该属性组为候选码(Candidate key)。
高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析
专题9.2 直线与圆的位置关系1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以1122OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.3．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（ ）．A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【分析】根据垂直关系，设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意，设直线l 的方程为()00x y c c ++=<．练基础圆心()0,0到直线0x y c ++=1，得c =c =，故直线l 的方程为0x y +=．故选：A4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（ ）A ．3B ．C ．1D ．-【答案】BCD 【分析】先由题意判断点P 在圆224x y +=上，再联立直线方程使判别式0∆≥解得参数范围，即得结果.【详解】点P 在直线0x y m ++=上，60APB ∠=︒，则30APO OPB ∠=∠=︒，由图可知，Rt OPB V 中，22OP OB ==，即点P 在圆224x y +=上，故联立方程224x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，得222240x mx m ++-=，有判别式0∆≥，即()2244240m m -⨯-≥，解得m -≤≤A 错误，BCD 正确.故选：BCD.6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____【答案】【分析】由题意可知大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，进而设圆的圆心为(,)(0)a a a >，待定系数得5a =或1a =，再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知，大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(,)(0)a a a >，其方程为222()()x a y a a -+-=，将点(1,2)或(2,1)代入，解得5a =或1a =，所以221:(5)(5)25O x y -+-=，222:(1)(1)1O x y -+-=，可得1(5,5)O ，2(1,1)O ，所以12||O O ==故答案为：7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d 即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为.9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12，所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=，故答案为：220x y --=.10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.练提升故选：D.2.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142xy+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 4=>，所以，点P 到直线AB 42-<，410<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，=，4MP =CD 选项正确.故选：ACD.3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A 到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r =，故选项A 不正确；对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为==B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ===+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.【答案】403k ≤≤【分析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤，所以k 的取值范围是403k ≤≤，故答案为：403k ≤≤.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．【答案】60 【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为所以，圆心()0,0O 到直线20kx y -+=的距离1d ==，1=，解得)0k k =>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tan θ=，则60θ= ．因此，直线()20y kx k =+>的倾斜角为60 ．故答案为：60 ．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O : x 2+y 2=4， 以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ， E 两点，则V AED 面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得2//OA l ，O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，因此ADEODE S S =!!，设O 到2l 距离为d ，把面积用d 表示，然后利用导数可得最大值．【详解】根据题意可得图，1OA l ⊥，所以2//OA l ，因此O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，ADEODE S S =!!，过点(00)O ，作直线2l 的垂线，垂足为F ，记||(20)OF d d =>>，则弦||DE =角形ADE 的面积为S ，所以12S d =g g ，将S 视为d 的函数，则S '=+ 1(2)2d d -当0d <<时，0S '>，函数()S d 2d <<时，0S '<，函数()S d 单调递减，所以函数()S d 有最大值，当d =max ()2S d =，故AED V 面积的最大值为2．故答案为：2．7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC V 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出点A 的轨迹是以(2,2)C . 过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，得到MOB NOB θ∠∠…….所以15BOM ∠=︒，75BON ∠=︒，即得解.【详解】由题得||CA →=所以点A 的轨迹是以(2,2)C .过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，则向量OA →与OB →的夹角θ的范围是MOB NOB θ∠∠…….由图可知45COB ∠=︒.∵||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==知30COM CON ∠=∠=︒，∴453015BOM ∠=︒-︒=︒，453075BON ∠=︒+︒=︒.∴1575θ︒︒…….故AOB ∠的取值范围为{}1575θθ︒≤≤︒丨.故答案为：{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或，8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．【答案】最小值是1，最大值是1+【分析】根据2223x x y -+=表示圆()2214x y -+=，设x y b +=表示关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】2223x x y -+=的图形是圆()2214x y -+=，既是轴对称图形，又是中心对称图形．设x y b +=，由式子x y +的对称性得知x y b +=的图形是关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形．如图所示：当b 变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上，问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b 的最值问题．当1b <时，正方形与圆没有公共点；当1b =时，正方形与圆相交于点()1,0-，若令直线y x b =-+与圆()2214x y -+=相切，2，解得1b =±所以当1b =+当1b >+故x y +的最小值是1，最大值是1+．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC V 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）22(1)1y x +-=；（2）2；（3）163.【分析】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M （2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解； （3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d又因为直线截圆M21+=，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离d ，解得2k =（3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---，同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BCt t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC V 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=V .10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N .【分析】（1）设出圆心坐标(),0C a ，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出a 的值（注意范围），则圆C 的方程可求；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线AB 的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得,A B 坐标的韦达定理形式，根据AN BN k k =-结合韦达定理可求点N 的坐标.【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，∵圆心C 在l 的上方，∴4100a +>，即52a >-，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得，()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，整理得：()()12122120x x t x x t -+++=，即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，当点()4,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立．1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件【答案】C 【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B．C．D ．2±【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =则弦长为||MN =则当0k =时，弦长|MN取得最小值为2=，解得m =故选：C.3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）练真题A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d >，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=V，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴=即：圆22670x y x +--=其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.。
一元二次方程根及系数的关系习题精选含答案解析
. .. .一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕一．选择题〔共22小题〕1．〔2021•〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=02．〔2021•〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕A．﹣4 B．﹣1 C．1D．43．〔2021•〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？那么正确的结论是〔〕A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．〔2021•〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕A．10 B．9C．7D．55．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣16．〔2021•〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣17．〔2021•〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣18．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或29．〔2021•模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．010．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021 =0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A．2021 B．2021 C．2021 D．202111．〔2021•模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕A．﹣6 B．6C．3D．﹣312．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．1313．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=114．〔2021•〕α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，那么α2+αβ+β2的值为〔〕A．﹣1 B．9C．23 D．2715．〔2021•〕关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，那么a的值是〔〕A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=216．〔2021•天河区二模〕一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，那么x1+x2=〔〕A．4B．3C．﹣4 D．﹣317．〔2021•青神县一模〕m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，那么的值等于〔〕A．B．C．D．18．〔2021•莱芜〕m、n是方程x2+2x+1=0的两根，那么代数式的值为〔〕A．9B．±3C．3D．519．〔2021•天门〕如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为〔〕A．3B．﹣3 C．13 D．﹣1320．〔2021•锦江区模拟〕假设方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，那么〔x1+2〕〔x2+2〕的值为〔〕A．﹣4 B．6C．8D．1221．〔2021•模拟〕p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，那么的值为〔〕A．1B．2C．D．22．〔2021•滨湖区一模〕假设△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么△ABC 的周长为〔〕A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10二．填空题〔共4小题〕23．〔2021•莱芜〕假设关于x的方程x2+〔k﹣2〕x+k2=0的两根互为倒数，那么k= _________ ．24．〔2021•呼和浩特〕m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，那么m2﹣mn+3m+n= _________ ．25．〔2021•〕假设关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，那么x1〔x2+x1〕+x22的最小值为_________ ．26．〔2021•〕关于x的一元二次方程x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，那么k的值是_________ ．三．解答题〔共4小题〕27．〔2021•〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根．〔1〕假设〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=28，求m的值；〔2〕等腰△ABC的一边长为7，假设x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．〔2021•日照二模〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80．数a的所有可能值．29．〔2021•〕关于x的一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．〔1〕数k的取值围；〔2〕是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？假设存在，请求出k的值；假设不存在，请说明理由．30．〔2001•〕关于x的一元二次方程，〔1〕求证：不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕参考答案与试题解析一．选择题〔共22小题〕1．〔2021•〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x1=1，x2=2那么两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，应选：B．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．2．〔2021•〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x1•x2=1．应选：C．点评：此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．3．〔2021•〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？那么正确的结论是〔〕A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在考点：根与系数的关系．分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，那么=0，求出m=0，再用判别式进展检验即可．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，那么=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．应选：A．点评：此题主要考察了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．4．〔2021•〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕A．10 B．9C．7D．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，那么将所求的代数式变形为〔α+β〕2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=〔α+β〕2﹣2αβ=22﹣2×〔﹣3〕=10．应选：A．点评：此题主要考察了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．应选：A．点评：此题考察根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．6．〔2021•〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到〔x1+x2〕2﹣2x1•x2=5，那么a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴〔x1+x2〕2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．应选：D．点评：此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考察了一元二次方程的根的判别式．7．〔2021•〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到〔α+β〕2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进展判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=〔α+β〕2﹣2αβ=〔﹣1〕2﹣2×〔﹣1〕=3；+===1．应选：D．点评：此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．8．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2﹣〔m+6〕+m2=0有两个相等的实数根得出b2﹣4ac=0，求得m的值，由一样的解解决问题．解答：解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=〔m+6〕2﹣4m2=﹣3m2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．应选：C．点评：此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．9．〔2021•模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．应选C．点评：此题主要考察了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c 所表示的含义．10．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021 =0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A．2021 B．2021 C．2021 D．2021考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2021 =0，即a2+a=2021 ，那么a2+2a+b变形为a+b+2021 ，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2021 =0的根，∴a2+a﹣2021 =0，即a2+a=2021 ，∴a2+2a+b=a+b+2021 ，∵a，b是方程x2+x﹣2021 =0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2021 =﹣1+2021 =2021．应选C．点评：此题考察了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考察了一元二次方程的解．11．〔2021•模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕A．﹣6 B．6C．3D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0和3x2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x1x2=﹣3，由一元二次方程3x2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x1x2=2∴﹣3×2=﹣6应选A．点评：此题考察了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．12．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+〔k2+3k+5〕=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即〔k﹣2〕2﹣4〔k2+3k+5〕≥0所以3k2+16k+16≤0，所以〔3k+4〕〔k+4〕≤0解得﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2=k﹣2，x1•x2=k2+3k+5，得x12+x22=〔x1+x2〕2﹣2x1x2=〔k﹣2〕2﹣2〔k2+3k+5〕=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣〔k+5〕2，当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．应选：B．点评：此题考察了根与系数的关系，属于根底题，关键是根据△≥0先求出k的取值围再根据根与系数的关系进展求解．13．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．应选D．点评：此题考察了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．〔2021•〕α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，那么α2+αβ+β2的值为〔〕A．﹣1 B．9C．23 D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进展整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=〔α+β〕2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；应选D．点评：此题考察了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1x2=．15．〔2021•〕关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，那么a的值是〔〕A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入方程，得a﹣1=0，解得：a=1；②当x1=x2时，△=4﹣4〔a﹣1〕=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．应选：D．点评：此题考察了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a的另一值．16．〔2021•天河区二模〕一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，那么x1+x2=〔〕A．4B．3C．﹣4 D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，直接利用x1+x2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，∴x1+x2=﹣=4．应选A．点评：此题主要考察了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．17．〔2021•青神县一模〕m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，那么的值等于〔〕A．B．C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．应选D．点评：此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．18．〔2021•莱芜〕m、n是方程x2+2x+1=0的两根，那么代数式的值为〔〕A．9B．±3C．3D．5考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．应选C．点评：此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两根分别为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考察了二次根式的化简求值．19．〔2021•天门〕如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为〔〕A．3B．﹣3 C．13 D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x1x2=a，x1+x2=﹣4，然后将其代入x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2〔x1+x2〕﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x1x2=a，x1+x2=﹣4，∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2〔x1+x2〕﹣5=a﹣2×〔﹣4〕﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；应选B．点评：此题考察了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．〔2021•锦江区模拟〕假设方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，那么〔x1+2〕〔x2+2〕的值为〔〕A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4=〔﹣2〕+2×3+4=8．应选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．〔2021•模拟〕p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，那么的值为〔〕A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．应选A．点评：此题考察了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．〔2021•滨湖区一模〕假设△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么△ABC 的周长为〔〕A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①假设b=c，那么b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②假设b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．应选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题〔共4小题〕23．〔2021•莱芜〕假设关于x的方程x2+〔k﹣2〕x+k2=0的两根互为倒数，那么k= ﹣1 ．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考察了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的两个实数根，那么x1+x2=﹣，x1x2=进展求解．24．〔2021•呼和浩特〕m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，那么m2﹣mn+3m+n= 8 ．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m2+2m﹣5=0∴m2=5﹣2mm2﹣mn+3m+n=〔5﹣2m〕﹣〔﹣5〕+3m+n=10+m+n=10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考察了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．25．〔2021•〕假设关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，那么x1〔x2+x1〕+x22的最小值为．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，那么△=b2﹣4ac=4m2﹣4〔m2+3m﹣2〕=8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1〔x2+x1〕+x22=〔x2+x1〕2﹣x1x2=〔﹣2m〕2﹣〔m2+3m﹣2〕=3m2﹣3m+2=3〔m2﹣m+﹣〕+2=3〔m﹣〕2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：此题考察了一元二次方程根与系数关系，考察了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．26．〔2021•〕关于x的一元二次方程x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，那么k的值是﹣2或﹣．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进展讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0，得4+2〔2k+1〕+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣〔2k+1〕，x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进展检验．解答：解：∵〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0，得4+2〔2k+1〕+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么〔x1﹣x2〕2=〔x1+x2〕2﹣4x1x2=[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2﹣2〕=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=〔2k+1〕2﹣4〔k2﹣2〕≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：此题考察了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进展检验．三．解答题〔共4小题〕27．〔2021•〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根．〔1〕假设〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=28，求m的值；〔2〕等腰△ABC的一边长为7，假设x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：〔1〕利用〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=x1•x2﹣〔x1+x2〕+1=m2+5﹣2〔m+1〕+1=28，求得m的值即可；〔2〕分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：〔1〕∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2〔m+1〕，x1•x2=m2+5，∴〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=x1•x2﹣〔x1+x2〕+1=m2+5﹣2〔m+1〕+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；〔2〕①当7为底边时，此时方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4〔m+1〕2﹣4〔m2+5〕=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14〔m+1〕+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：此题考察了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．〔2021•日照二模〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80．数a的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即〔3a﹣1〕2﹣4〔2a2﹣1〕=a2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣〔3a﹣1〕，x1•x2=2a2﹣1，由〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80变形得到3〔x1+x2〕2﹣16x1x2=﹣80，于是有3〔3a﹣1〕2﹣16〔2a2﹣1〕=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即〔3a﹣1〕2﹣4〔2a2﹣1〕=a2﹣6a+5≥0所以a≥5或a≤1．…〔3分〕∴x1+x2=﹣〔3a﹣1〕，x1•x2=2a2﹣1，∵〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80，即3〔x12+x22〕﹣10x1x2=﹣80，∴3〔x1+x2〕2﹣16x1x2=﹣80，∴3〔3a﹣1〕2﹣16〔2a2﹣1〕=﹣80，整理得，5a2+18a﹣99=0，∴〔5a+33〕〔a﹣3〕=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=〔﹣〕2﹣6×〔﹣〕+6=〔〕2+6×+6＞0，∴实数a的值为﹣点评：此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：如果方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考察了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．〔2021•〕关于x的一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．〔1〕数k的取值围；〔2〕是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？假设存在，请求出k的值；假设不存在，请说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：〔1〕根据一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2+2k〕≥0，通过解该不等式即可求得k的取值围；〔2〕假设存在实数k使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k的值．解答：解：〔1〕∵原方程有两个实数根，∴[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2+2k〕≥0，∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0∴1﹣4k≥0，∴k≤．∴当k≤时，原方程有两个实数根．〔2〕假设存在实数k使得≥0成立．∵x1，x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3〔k2+2k〕﹣〔2k+1〕2≥0，整理得：﹣〔k﹣1〕2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由〔1〕知k≤，∴不存在实数k使得≥0成立．点评：此题综合考察了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．〔2001•〕关于x的一元二次方程，〔1〕求证：不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：〔1〕要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；〔2〕欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：〔1〕关于x的一元二次方程，∴△=〔﹣2k〕2﹣4×〔k2﹣2〕=2k2+8，∵2k2+8＞0恒成立，∴不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根．〔2〕∵x1、x2是方程的两个根，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣2，∴x12﹣2kx1+2x1x2=x12﹣〔x1+x2〕x1+2x1x2=x1x2=k2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考察了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
集合之间的关系习题解答(三)
7、集合A={x|（a﹣1）x2+3x﹣2=0}有且仅有两个子 集，则a的取值为 ． 解：由题意可知，集合A中的方程且只有一个根。 当a=1时，方程变为3x-2=0，符合题意。 当a≠1时，有△=9+8（a-1）=0， 解得：a=-1/8.
8、已知集合A={x/x2+2x+a=0,a∈R}，若集合A有且仅 有2个子集，则a的取值？
A⊆B，是指集合A的解集都在集合B的解集 里面，由此可得结论． 【解析】 ∵集合A={a|a＜x＜5}，B={x|x≥2}， 且满足A⊆B， ∴集合A的解集都在集合B的解集里面， ∴a≥2
5、已知集合A={x/x＜-1或x＞4},B={x/2a≤x≤a+3}若 B⊆A，求实数a 的取值。
分析：要分B等于空集和不等于空集两种情况．再根据 B⊆A求出a 的取值范围． 解：根据题意得： 当B=∅时，2a＞a+3，∴a＞3； 当B≠∅时，若2a=a+3，则a=3，B={6}，∴B⊆A，故a=3符合题意； 若a≠3，则， a+3＞2a a+3＞2a a+3＜-1或 2a＞4； ∴解得，a＜-4，或2＜a＜3． 综上可得，实数a的取值范围为{a|a＜-4，或a＞2}． 点评：注意B=∅的情况，及2a=a+3的情况．要理解子集的定义．
集合之间的关系（三）
学案P14/习题解答
1、已知集 若B⊊A，则实数a的取值范围。
解：∵A={x|x＜-1或x＞5}，B={x|a≤x＜a+4}，若A⊋B ∴a+4≤-1或a＞5 解得a≤-5或a＞5 故答案为：a≤-5或a＞5
2、已知集合A={-1,3,2m-1},B={3,m2},若B⊆A，求实数m的值及 集合A，B。 解：∵B⊆A，∴m2∈A，∴m2=-1，或2m-1． ①当m2=-1时，m在实数范围内无解. ②当m2=2m-1时，m=1 则A={-1,3,1}，B={3,1} 综上所述，m=1，A={-1,3,1}，B={3,1} 。 3、已知集合A={1,3,2m-1},B={3,m2},若B⊆A，求实数m的值 及集合A，B。 解：∵B⊆A，∴m2∈A，∴m2=1，或2m-1． ①当m2=1时，m=1或-1． 若m=1，则A={1，3，1}，不符合元素的互异性； 若m=-1，则A={1，3，-3}，B={3，1 }，符合题意． ②当m2=2m-1时，m=1，同上，不符题意． 综上所述，m=-1． A={1，3，-3}，B={3，1 }
生物与环境的关系练习题及解析
生物与环境的关系练习题及解析生物与环境的关系练习题及解析一般对对于教师们而言，他们都会知道在考前让学生做试卷，将会有助于学生们去提高他们的学习成绩。
以下是由店铺收集整理的生物与环境的关系练习试卷，欢迎阅读!1.(2012·广州中考)西藏野牛休息时，体态与岩石相似，有利于捕食和御敌。
这种现象体现了( )A.生物适应环境B.生物依赖环境C.环境改变生物D.生物改变环境【考察目的】生物对环境的适应。
【答案】A【解析】解答此类题的关键是理解不同生物适应环境的方式不同。
西藏野牛休息时，体态与岩石相似，不容易被敌害发现，有利于捕食和御敌，这都体现了野牛对其生存环境的适应。
故选A。
2.生物既能适应环境，也能影响环境。
下列现象中，属于生物影响环境的是( )A.大树底下好乘凉B.树木根深叶茂C.秋季大雁南飞D.秋风扫落叶【考察目的】生物对环境的影响。
【答案】A【解析】解答此类题的关键是对生物影响环境知识的理解。
生物适应环境的特征是多年进化的结果，当然生物也会影响环境。
A选项是因为大树的蒸腾作用，增加了大气的湿度，同时大树遮阴，也能降低温度。
大树还能进行光合作用释放氧气，使树下氧气较多。
B选项指植物可以从土壤深处吸收更多的水分和无机盐，满足树的生长需要，使树叶茂密，体现了非生物因素水对生物的影响。
C选项大雁南飞，是受地球绕太阳公转影响形成的季节节律，体现了非生物因素温度对生物的影响。
D选项秋天植物叶衰老，被秋风吹落是环境中的风对生物的影响。
故选A。
3.下列不属于生物环境中的非生物因素是( )A.温度、湿度B.害虫、蝗虫C.水分、阳光D.土壤、空气【考察目的'】环境对生物的影响【答案】B【解析】解答此类题目的关键是理解生物因素的内涵。
生物因素是指环境中影响某种生物个体生活的其他所有生物。
生物的环境不仅是指生活的地点，还包括环境中影响生物生活的各种因素，分为非生物因素和生物因素。
非生物因素包括：光、温度、水、空气、土壤等。
云南省公务员省考数量关系练习题及答案解析(二) (2)
公务员数量关系练习题及答案解析1、小张、小王二人同时从甲地出发，驾车匀速在甲乙两地之间往返行驶。
小张的车速比小王快，两人出发后第一次和第二次相遇都在同一地点。
问小张的车速是小王的几倍?A.2B.1.5C.2.5D.3【答案】A。
解析：第一次相遇小张、小王二人的路程和为甲乙两地距离的2倍，从第一次相遇到第二次相遇，两人路程和仍为甲乙两地距离的2倍，即两次相遇所用时间相同。
第一次相遇小王走的路程为x，相遇后小张需要走x 到甲地，然后从甲地折返x 回到同一地点相遇。
所以相同时间内小张走的距离是小王的2倍，即车速是小王的2倍。
2、10个箱子总重100公斤，且重量排在前三位的箱子总重不超过重量排在后三位的箱子总重的1.5倍。
问最重的箱子重量最多是多少公斤?A.11200 B.23500C.20D.25【答案】B。
解析：要使最重的箱子重量尽可能大，则其余箱子重量尽可能小，最极端情况为其余九个箱子都相等。
因此设排在后九位的箱子的重量均为x，可知排在第一位的箱子的重量为1.5x×3-2x=2.5x。
可列方程：9x+2.5x=100，解得x=23200，则最重的箱子的重量为2.5×23200=23500。
3、有70名学生参加数学、语文考试，数学考试得60分以上的有56人，语文考试得60分以上的有62人，都不及格的有4人，则两门考试都得60分以上的有多少人?A.50B.51C.52D.53【答案】C。
解析：由题意知，数学考试不及格的有70-56=14人，语文考试不及格的有70-62=8人，故至少有一门不及格的人数为14+8-4=18人，两门都及格的人数为70-18=52人。
4、甲乙双方第一次用30元/千克的价格购买了一批材料，到第二次再购买时，价格涨到了40元/千克。
已知甲每次购买10000千克，乙每次用10000元购买。
则甲乙双方这两次交易的平均价格差约为多少元/千克?A.0.5B.0.7C.1.5D.1.8【答案】B。
三角形三边关系练习题
三角形三边关系练习题三角形三边关系练习题三角形是几何学中的基本概念之一，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质和关系时，我们经常会遇到各种各样的练习题。
本文将介绍一些常见的三角形三边关系练习题，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
练习题一：已知三角形的两条边长分别为5cm和8cm，这两条边之间的夹角为60度。
求第三条边的长度。
解析：根据三角形的边长关系，任意两边之和大于第三边，我们可以先判断这个三角形是否存在。
5 + 8 = 13，13大于第三边，所以这个三角形是存在的。
根据余弦定理，我们可以得到以下公式：c² = a² + b² - 2abcosC其中，c为第三边的长度，a和b分别为已知的两条边的长度，C为这两条边之间的夹角。
代入已知条件，即可求得第三边的长度：c² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * cos60°c² = 25 + 64 - 80 * 0.5c² = 25 + 64 - 40c² = 49c = √49c = 7所以，这个三角形的第三边长为7cm。
练习题二：已知三角形的两条边长分别为6cm和9cm，这两条边之间的夹角为120度。
求第三条边的长度。
解析：同样地，我们先判断这个三角形是否存在。
6 + 9 = 15，15大于第三边，所以这个三角形是存在的。
利用余弦定理，我们可以得到以下公式：c² = a² + b² - 2abcosC代入已知条件，即可求得第三边的长度：c² = 6² + 9² - 2 * 6 * 9 * cos120°c² = 36 + 81 - 108 * (-0.5)c² = 36 + 81 + 54c² = 171c = √171所以，这个三角形的第三边长为√171 cm。
等量关系练习题五年级
等量关系练习题五年级<正文开始>等量关系练习题五年级1. 小明的书包比小红的书包重2千克，小明的书包重7千克。
那么，小红的书包重多少千克？解析：根据题意，小明的书包重7千克，比小红的书包重2千克。
所以可以得出以下等量关系：小明的书包重 - 小红的书包重 = 2千克。
要求解小红的书包重，可以使用逆运算来求解。
将等式变形得到：小红的书包重 = 小明的书包重 - 2千克。
代入已知条件，计算得出小红的书包重为7千克 - 2千克 = 5千克。
答案：小红的书包重5千克。
2. 甲班有40名学生，乙班有28名学生。
两个班级学生总数相差多少？解析：根据题意可得知甲班学生人数为40名，乙班学生人数为28名。
要求解两个班级学生总数的差，可以直接计算两个班级学生人数的差值。
计算得出甲班和乙班学生总数的差为40名 - 28名 = 12名。
答案：两个班级学生总数相差12名。
3. 一个长方形的长度是5厘米，宽度是3厘米。
如果长度和宽度都扩大2倍，那么新的长方形的面积是多少平方厘米？解析：根据题意可得知原始长方形的长度为5厘米，宽度为3厘米。
要求解新的长方形的面积，可以先计算原始长方形的面积，然后将长度和宽度都扩大2倍，再计算新的长方形的面积。
原始长方形的面积为5厘米 × 3厘米 = 15平方厘米。
将长度和宽度都扩大2倍后，新长方形的长度为5厘米 × 2 = 10厘米，宽度为3厘米 × 2 = 6厘米。
那么新的长方形的面积为10厘米 × 6厘米 = 60平方厘米。
答案：新的长方形的面积为60平方厘米。
4. 小华看了3本书，小红看了5本书，小明看了7本书。
小明看了比小红多几本书？比小华多几本书？解析：根据题意可得知小华看了3本书，小红看了5本书，小明看了7本书。
要求解小明看了比小红多几本书和比小华多几本书，可以直接计算差值。
小明看了比小红多几本书：7本书 - 5本书 = 2本书。
第三章 变量之间的关系复习题---解答题（含解析）
北师大版数学七下第三章变量之间的关系复习题---解答题一．解答题1．（2018春•杏花岭区校级期中）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：x（人）50010001500200025003000…y（元）﹣3000﹣2000﹣1000010002000…（1）在这个变化过程中，是自变量，是因变量；（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到人以上时，该公交车才不会亏损；（3）请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？（4）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达人．2．（2018春•叶县期中）声速y（米/秒）与气温x（℃）之间的关系如下表所示：气温x（℃）05101520音速y（米/秒）331334337340343从表中可知音速y随温度x的升高而升高，在气温为20℃的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，请问此人距发令地点约有多少米？3．（2018春•宿州期中）老师告诉小红：“离地面越高，温度越低”．并给小红出示了下面的表格：距离地面高度/千米012345温度/摄氏度201482﹣4﹣10根据上表，老师还给小红出了下面几个问题，请你和小红一起来回答（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，请你用关于h的式子表示t；（3）请你利用（2）的结论求①距离地面5千米的高空温度是多少？②当高空某处温度为﹣40度时，求该处的高度．4．（2018春•长清区期中）为了解某品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如表数据：轿车行驶的路程s（km）0100200300400…油箱剩余油量Q（L）5042342618…（1）该轿车油箱的容量为L，行驶150km时，油箱剩余油量为L；（2）根据上表的数据，写出油箱剩余油量Q（L）与轿车行驶的路程s（km）之间的表达式；（3）某人将油箱加满后，驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时邮箱剩余油量为26L，求A，B 两地之间的距离．5．（2018秋•淅川县期中）“十一”期间，小华约同学一起开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．（1）求该车平均每干米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式；（2）当x＝60（千米）时，求剩余油量Q的值；（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．6．（2018春•山亭区期中）公路上依次有A，B，C三个汽车站，上午8时，小明骑自行车从A，B 两站之间距离A站8km处出发，向C站匀速前进，他骑车的速度是16.5km/小时，若A，B两站间的路程是26km，B，C两站的路程是15km．（1）在小明所走的路程与骑车的时间这两个变量中，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）设小明出发x小时后，离A站的路程为ykm，请写出y与x之间的关系式．（3）小明在上午9时是否已经经过了B站？7．（2018春•定边县期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水费按a元/米3收费；每户每月用水量超过6米3时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分按c元/米3收费，该市某用户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示：月份用水量（m3）收费（元）357.54927（1）求a、c的值，并写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时，水费与用水量之间的关系式；（2）已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费．8．（2018春•荷塘区期末）中国最长铁路隧道西康铁路秦岭一线隧道全长十八点四六千米，为目前中国铁路隧道长度之首，被称为”神州第一长隧”．为了安全起见在某段隧道两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A发出的光束从AC开始顺时针旋转至AD便立即回转，灯B发出的光束从BE开始顺时针旋转至BF便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A旋转的速度是每秒3度，灯B旋转的速度是每秒2度．已知CD∥EF，且∠BAD＝∠BAC，设灯A旋转的时间为t（单位：秒）．（1）求∠BAD的度数；（2）若灯B发出的光束先旋转10秒，灯A发出的光束才开始旋转，在灯B发出的光束到达BF之前，若两灯发出的光束互相平行，求灯A旋转的时间t；（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A发出的光束到达AD之前，若两灯发出的光束交于点M，过点M作∠AMN交BE于点N，且∠AMN＝135°．请探究：∠BAM与∠BMN的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．9．（2018春•平和县期中）在一定限度内弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）有如下关系：（假设都在弹性限度内）所挂物体质0123456量x/kg1212.51313.51414.515弹簧长度y/cm（1）由表格知，弹簧原长为cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长cm．（2）请写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的关系式．（3）预测当所挂物体质量为10kg时，弹簧长度是多少？（4）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．10．（2018春•平阴县期末）将长为20cm，宽为8cm的长方形白纸，按如图所示的方式粘合起来，粘合部分的宽为3cm．（1）根据题意，将下面的表格补充完整．12345…白纸张数x（张）205471…纸条总长度y（cm）（2）直接写出y与x的关系式：．（3）要使粘合后的长方形总面积为1656cm2，则需用多少张这样的白纸？11．（2018春•三明期末）甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价的9折优惠，某班级需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．（1）设购买乒乓球为x盒，在甲店购买的付款金额为y甲元，在乙店购买的付款金额为y乙元，分别写出在两家商店购买的付款金额与乒乓球盒数x之间的表达式；（2）购买几盒乒乓球去两家商店付款金额一样？12．（2018春•确山县期中）如图，反映的过程是小涛从家出发，去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小涛离家的距离．（1）菜地离小涛家的距离是km，小涛走到菜地用了min，小涛给菜地浇水用了min．（2）菜地离玉米地的距离是km，小涛给玉米地锄草用了min．（3）玉米地离小涛家的距离是km，小涛从玉米地走回家的平均速度是．13．（2018春•东明县期中）如图是小龙骑自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．（1）在这个变化过程中自变量是，因变量是．（2）小龙何时到达离家最远的地方？此时离家多远？（3）分别求出当t从1到2时和从2到4时，小龙骑自行车的速度．14．（2018春•大田县期中）如图，这是反映小明周末从家中出发去新华书店的时间与距离之间关系的一幅图．（1）小明从新华书店返回用多长时间？（2）新华书店离家多少米？（3）小明在书店呆了多长时间？（4）计算小明去书店时的平均速度．15．（2018春•三原县期末）在一条公路上顺次有A、B、C三地，甲、乙两车同时从A地出发，分别匀速前往B地，C地，甲车到达B地停留一段时间后原速原路返回，乙车到达C地后立即原速原路返回，乙车比甲车早1小时返回A地，甲、乙两车各自行驶的路程y（千米）与时间x（时）（从两车出发时开始计时）之间的图象如图所示．（1）在上述变化过程中，自变量是，因变量是．（2）乙车行驶的速度为千米/小时；（3）甲车到达B地停留了多久？B地与C地之间的距离为多少千米？16．（2018春•安国市期末）如图是一辆摩托车从家里出发，离家的距离（千米）随行驶时间（分）的变化而变化的情况．（1）摩托车从出发到最后停止共经过了多少时间？离家最远的距离是多少？（2）摩托车在哪一段时间内速度最快？最快速度是多少？（3）请你写出一个适合图象反映的实际情景．17．（2018春•长清区期中）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是米，小明在书店停留了分钟；（2）本次上学途中，小明一共行驶了米，一共用了分钟；（3）在整个上学的途中（哪个时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是米/分；（4）小明出发多长时间离家1200米？18．（2018春•济宁期末）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是米．（2）小明在书店停留了分钟．（3）本次上学途中，小明一共行驶了米．一共用了分钟．（4）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度．问：在整个上学途中哪个时间段小明的汽车速度最快，速度在安全限度内吗？19．（2018春•利津县期末）汽车在行驶的过程中速度往往是变化的，如图表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况．（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？（3）汽车出发8min到10min之间可能发生了什么情况？（4）求汽车从出发后第18分钟到第22分钟行驶的路程．20．（2018春•岐山县期末）如图是小明的爸爸骑一辆摩托车从家里出发，离家的距离（千米）随行驶时间（分）的变化而变化的情况：（1）图象表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）小明的爸爸从出发到最后停止共经过了多少分钟？离家最远的距离是多少千米？（3）摩托车在哪一段时间内速度最快？最快速度是多少千米/小时？21．（2018春•盐湖区期末）小明家距离学校8千米，今天早晨小明骑车上学途中，自行车突然“爆胎”，恰好路边有便民服务点，几分钟后车修好了，他加快速度骑车到校．我们根据小明的这段经历画了一幅图象，该图描绘了小明行驶路程s与所用时间t之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1）小明骑车行驶了千米时，自行车“爆胎”修车用了分钟．（2）修车后小明骑车的速度为每小时千米．（3）小明离家分钟距家6千米．（4）如果自行车未“爆胎”，小明一直按修车前速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到多少分钟？22．（2018春•龙岗区期末）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们一天生产零件y （个）与生产时间t（小时）的函数关系如图所示．（1）根据图象填空：甲、乙中，先完成一天的生产任务；在生产过程中，因机器故障停止生产小时．（2）谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数．23．（2018春•南海区期末）小王周末骑电单车从家出发去商场买东西，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往商场，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小王从家到新华书店的路程是多少米？（2）小王在新华书店停留了多少分钟？（3）买到书后，小王从新华书店到商场的骑车速度是多少米/分钟？24．（2018春•萍乡期末）如图所示表示王勇同学骑自行车离家的距离与时间之间的关系，王勇9点离开家，15点回家，请结合图象，回答下列问题：（1）到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（2）他一共休息了几次？休息时间最长的一次是多长时间？（3）在哪些时间段内，他骑车的速度最快？最快速度是多少？25．（2018秋•临泽县校级月考）如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，沿B→C→D →A匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，图象如图2所示．（1）在这个变化中，自变量、因变量分别是、；（2）当点P运动的路程x＝4时，△ABP的面积为y＝；（3）求AB的长和梯形ABCD的面积．北师大版数学七下第三章变量之间的关系复习题---解答题参考答案与试题解析一．解答题1．（2018春•杏花岭区校级期中）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：x（人）50010001500200025003000…y（元）﹣3000﹣2000﹣1000010002000…（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x是自变量，每月利润y是因变量；（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损；（3）请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？（4）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达4500人．【分析】（1）直接利用常量与变量的定义分析得出答案；（2）直接利用表中数据分析得出答案；（3）利用由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，进而得出答案；（4）由（3）得出当利润为5000元时乘客人数，即可得出答案．【解答】解：（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x是自变量，每月的利润y是因变量；故答案为每月的乘车人数x，每月的利润y；（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到观察表中数据可知，每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损；故答案为2000；（3）由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元；（4）由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月利润为5000元时，每月乘车人数为4500人，故答案为4500．2．（2018春•叶县期中）声速y（米/秒）与气温x（℃）之间的关系如下表所示：气温x（℃）05101520音速y（米/秒）331334337340343从表中可知音速y随温度x的升高而升高，在气温为20℃的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，请问此人距发令地点约有多少米？【分析】根据表中数据可列出音速与时间的关系式，进而求出答案．【解答】解：根据题意知气温为20℃时音速为343米/秒，则此人距发令地点约有343×0.2＝68.6米．3．（2018春•宿州期中）老师告诉小红：“离地面越高，温度越低”．并给小红出示了下面的表格：距离地面高度/千米012345温度/摄氏度201482﹣4﹣10根据上表，老师还给小红出了下面几个问题，请你和小红一起来回答（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，请你用关于h的式子表示t；（3）请你利用（2）的结论求①距离地面5千米的高空温度是多少？②当高空某处温度为﹣40度时，求该处的高度．【分析】（1）函数是指在一个变化过程中的两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它相对应，此时x叫自变量，y叫x的函数；（2）根据表中数据的变化规律，找到温度和高度之间的关系，列出关系式t＝20﹣6h；（3）①可直接从表中得到距离地面5千米的高空温度；②将t＝﹣40代入解析式即可求出．【解答】解：（1）上表反映了温度和距地面高度之间的关系，高度是自变量，温度是因变量．（2）由表可知，每上升一千米，温度降低6摄氏度，可得解析式为t＝20﹣6h；（3）①由表可知，距地面5千米时，温度为零下10摄氏度；（4）将t＝﹣40代入t＝20﹣6h可得，﹣40＝20﹣6h，解得：h＝10（千米）．4．（2018春•长清区期中）为了解某品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如表数据：轿车行驶的路程s（km）0100200300400…油箱剩余油量Q（L）5042342618…（1）该轿车油箱的容量为50L，行驶150km时，油箱剩余油量为38L；（2）根据上表的数据，写出油箱剩余油量Q（L）与轿车行驶的路程s（km）之间的表达式；（3）某人将油箱加满后，驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时邮箱剩余油量为26L，求A，B 两地之间的距离．【分析】（1）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶100km，油量减少8L，由此填空；（2）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶100km，油量减少8L，据此可得Q与s的关系式；（3）把Q＝26代入函数关系式求得相应的s值即可．【解答】解：（1）由表格中的数据可知，该轿车油箱的容量为50L，行驶150km时，油箱剩余油量为：50﹣×8＝38（L）．故答案是：50；38；（2）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶100km，油量减少8L，据此可得Q与s的关系式为Q＝50﹣0.08s；故答案是：Q＝50﹣0.08s；（3）令Q＝26，得s＝300．答：A，B两地之间的距离为300km．5．（2018秋•淅川县期中）“十一”期间，小华约同学一起开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．（1）求该车平均每干米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式；（2）当x＝60（千米）时，求剩余油量Q的值；（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．【分析】（1）单位耗油量＝耗油量÷行驶里程，剩余油量＝油箱内油的升数﹣行驶路程的耗油量；（2）把x＝60千米代入剩余油量公式，计算即可；（3）计算出35﹣3＝32升油能行驶的距离，与200千米比较大小即可得．【解答】解：（1）该汽车平均每千米的耗油量为（35﹣25）÷80＝0.125（升/千米），∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q＝35﹣0.125x；（2）当x＝60时，Q＝35﹣0.125×60＝27.5（升），答：当x＝60（千米）时，剩余油量Q的值为27.5升；（3）他们能在汽车报警前回到家，（35﹣3）÷0.125＝256（千米），由256＞200知他们能在汽车报警前回到家．6．（2018春•山亭区期中）公路上依次有A，B，C三个汽车站，上午8时，小明骑自行车从A，B 两站之间距离A站8km处出发，向C站匀速前进，他骑车的速度是16.5km/小时，若A，B两站间的路程是26km，B，C两站的路程是15km．（1）在小明所走的路程与骑车的时间这两个变量中，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）设小明出发x小时后，离A站的路程为ykm，请写出y与x之间的关系式．（3）小明在上午9时是否已经经过了B站？【分析】（1）直接利用自变量以及因变量的定义分析得出答案；（2）直接利用B两站之间距离A站8km处出发，向C站匀速前进，他骑车的速度是16.5km/小时，进而得出离A站的路程；（3）利用出发时间为1小时，进而得出答案．【解答】解：（1）骑车的时间是自变量，所走的路程是因变量；（2）∵小明骑车的速度是16.5km/小时，∴离A站的路程为：y＝16.5x+8；（3）当x＝1时，y＝16.5+8＝24.5＜26，可知上午9时小明还没有经过B站．7．（2018春•定边县期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水费按a元/米3收费；每户每月用水量超过6米3时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分按c元/米3收费，该市某用户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示：月份用水量（m3）收费（元）357.54927（1）求a、c的值，并写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时，水费与用水量之间的关系式；（2）已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费．【分析】（1）根据3、4两个月的用水量和相应水费列方程组求解可得a、c的值；当0≤x≤6时，水费＝用水量×此时单价；当x＞6时，水费＝前6立方水费+超出部分水费，据此列式即可；（2）x＝8代入x＞6时y与x的函数关系式求解即可．【解答】解：（1）根据题意，得：，解得：；当0≤x≤6时，y＝1.5x；当x＞6时，y＝1.5×6+6（x﹣6）＝6x﹣27；（2）当x＝8时，y＝6x﹣27＝6×8﹣27＝21．答：若某户5月份的用水量为8米3，该户5月份水费是21元．8．（2018春•荷塘区期末）中国最长铁路隧道西康铁路秦岭一线隧道全长十八点四六千米，为目前中国铁路隧道长度之首，被称为”神州第一长隧”．为了安全起见在某段隧道两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A发出的光束从AC开始顺时针旋转至AD便立即回转，灯B发出的光束从BE开始顺时针旋转至BF便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A旋转的速度是每秒3度，灯B旋转的速度是每秒2度．已知CD∥EF，且∠BAD＝∠BAC，设灯A旋转的时间为t （单位：秒）．（1）求∠BAD的度数；（2）若灯B发出的光束先旋转10秒，灯A发出的光束才开始旋转，在灯B发出的光束到达BF之前，若两灯发出的光束互相平行，求灯A旋转的时间t；（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A发出的光束到达AD之前，若两灯发出的光束交于点M，过点M作∠AMN交BE于点N，且∠AMN＝135°．请探究：∠BAM与∠BMN的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【分析】（1）根据∠BAC+∠BAD＝180°，∠BAC：∠BAD＝3：1，即可得到∠BAD的度数；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜60时，根据3t＝2•（10+t），可得t＝20；当60＜t＜80时，根据2（10+t）+（3t﹣180）＝180，可得t＝68；（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAM＝3t﹣135°，∠BMN＝135°﹣∠BMA＝t﹣45°，即可得出∠BAM：∠BMN＝3：1，据此可得∠BAM和∠BMN关系不会变化．【解答】解：（1）如图1，∵∠BAC+∠BAD＝180°，∠BAC：∠BAD＝3：1，∴∠BAD＝180°×＝45°，故答案为：45；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜60时，如图2，∵CD∥EF∴∠EBE'＝∠BE'A，∵BE'∥AC'，∴∠BE'A＝∠CAC'，∴∠EBE'＝∠CAC'∴3t＝2（10+t），解得t＝20；②当60＜t＜80时，如图3，∵CD∥EF，∴∠EBE'+∠BE'D＝180°，∵AC'∥BE'，∴∠BE'D＝∠C'AD∴∠EBE'+∠C'AD＝180°∴2（10+t）+（3t﹣180）＝180，解得t＝68，综上所述，当t＝20秒或68秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAM与∠BMN关系不会变化．理由：如图4，设灯A射线转动时间为t秒，∵∠MAD＝180°﹣3t，∴∠BAM＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，又∵∠ABM＝135°﹣2t，∴∠BMA＝180°﹣∠ABM﹣∠BAM＝180°﹣（135°﹣2t）﹣（3t﹣135°）＝180°﹣t，而∠AMN ＝135°，∴∠BMN＝135°﹣∠BMA＝135°﹣（180°﹣t）＝t﹣45°，∴∠BAM：∠BMN ＝3：1，即∠BMN＝∠BAM ，∴∠BAM和∠BMN关系不会变化．9．（2018春•平和县期中）在一定限度内弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）有如下关系：（假设都在弹性限度内）0123456所挂物体质量x/kg1212.51313.51414.515弹簧长度y/cm（1）由表格知，弹簧原长为12cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长0.5cm．（2）请写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的关系式．（3）预测当所挂物体质量为10kg时，弹簧长度是多少？（4）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．【分析】（1）由表格可得弹簧原长以及所挂物体每增加1kg弹簧伸长的长度；（2）由（1）中结论可求出弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的函数关系式．（3）令x＝10时，求出y的值即可．（4）令y＝20时，求出x的值即可．【解答】解：（1）由表可知：弹簧原长为12cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长0.5cm，故答案为：12，0.5；（2）弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的函数关系式为y＝0.5x+12，（3）当x＝10kg时，代入y＝0.5x+12，解得y＝17cm，即弹簧总长为17cm．（4）当y＝20kg时，代入y＝0.5x+12，解得x＝16，即所挂物体的质量为16kg．10．（2018春•平阴县期末）将长为20cm，宽为8cm的长方形白纸，按如图所示的方式粘合起来，粘合部分的宽为3cm．（1）根据题意，将下面的表格补充完整．12345…白纸张数x（张）纸条总长度y2037547188…（cm）（2）直接写出y与x的关系式：y＝17x+3．（3）要使粘合后的长方形总面积为1656cm2，则需用多少张这样的白纸？【分析】（1）根据纸条的长度变化，可得到答案；（2）根据纸条的长度变化，可得到答案；（3）根据面积和宽得到纸条的长，再由自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解：（1）根据题意，完成表格如下：12345…白纸张数x（张）2037547188…纸条总长度y（cm）（2）由题意知y与x的关系式为y＝17x+3，故答案为：y＝17x+3．（3）1656÷8＝207（cm）当y＝207时，17x+3＝207，解得：x＝12，所以，需要12张这样的白纸．11．（2018春•三明期末）甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价的9折优惠，某班级需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．（1）设购买乒乓球为x盒，在甲店购买的付款金额为y甲元，在乙店购买的付款金额为y乙元，分别写出在两家商店购买的付款金额与乒乓球盒数x之间的表达式；（2）购买几盒乒乓球去两家商店付款金额一样？【分析】（1）因为甲商店规定每买1副乒乓球拍赠1盒乒乓球，所以y甲＝30×4+5×（x﹣4）＝100+5x （x≥4）；因为乙商店规定所有商品9折优惠，所以y乙＝30×4×0.9+5x×0.9＝4.5x+108（x≥4）．（2）当x＝16时，在甲商店购买所需商品和在乙商店购买所需商品一样便宜；当x＞16时，在甲商店购买所需商品比较便宜；当4≤x＜16时，在甲商店购买所需商品比较便宜．【解答】解：（1）由题意得y甲＝30×4+5×（x﹣4）＝100+5x（x≥4），y乙＝30×4×0.9+5x×0.9＝4.5x+108（x≥4）；（2）当y甲＝y乙时，即100+5x＝4.5x+108，解得x＝16，到两店价格一样；当y甲＞y乙时，即100+5x＞4.5x+108，解得x＞16，到乙店合算；当y甲＜y乙时，即100+5x＜4.5x+10，解得4≤x＜16，到甲店合算．12．（2018春•确山县期中）如图，反映的过程是小涛从家出发，去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小涛离家的距离．（1）菜地离小涛家的距离是 1.1km，小涛走到菜地用了15min，小涛给菜地浇水用了10 min．（2）菜地离玉米地的距离是0.9km，小涛给玉米地锄草用了18min．（3）玉米地离小涛家的距离是2km，小涛从玉米地走回家的平均速度是80m/min．。
集合的基本关系练习题(含答案解析)
一、选择题1.下列四个结论中,正确的是( )A.0={0}B.0∈{0}C.0⊆{0}D.0∈{∅}【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合,故0∈{0}.2.如果M={x|x+1>0},则( )A.∅∈MB.∅=MC.{0}∈MD.{0}⊆M【解析】选D.M={x|x+1>0}={x|x>-1},所以{0}⊆M.3.下列四个集合中,是空集的是( )A.{x|x+3=3}B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}C.{x|x2≤0}D.{x|x2-x+1=0,x∈R}【解析】选 D.对A,{x|x+3=3}={0};对B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)};对C,{x|x2≤0}={0};对D,由于Δ=(-1)2-4=-3<0,即方程x2-x+1=0无解,故{x|x2-x+1=0,x∈R}=∅.4.已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由题意知,x=-2,2,即A={-2,2},故其真子集有3个. 【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.5.已知集合M={x|y2=2x,y∈R}和集合P={(x,y)|y2=2x,y∈R},则两个集合间的关系是( )A.M PB.P MC.M=PD.M,P互不包含【解析】选D.由于两集合代表元素不同,即M表示数集,P表示点集,因此M与P互不包含,故选D.【误区警示】解答本题易忽视集合的属性而误选C.6.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( )【解析】选B.由N={x|x2+x=0}={-1,0},得N M.7.设集合S={x|x≥2},T={x|x≤5},则S∩T= ( )A.{x|x≤5}B.{x|x≥2}C.{x|2<x<5}D.{x|2≤x≤5}【解析】选D.依题意计算得S∩T=,故选D.8.已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∪B= ( )A.∅B.{2}C.{0,-1,2}D.{-2,-1,0,2}【解析】选D.因为B={x|x2-x-2=0}={-1,2},A={-2,0,2},所以A∪B= {-2,-1,0,2}.9.设集合A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R︱x2+ x-6=0},则图中阴影表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}【解析】选A.A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为A∩B,故A∩B={2}.【补偿训练】若集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},则集合A ∩B等于( )A.{x|x≤3或x>4}B.{x|-1<x≤3}C.{x|3≤x<4}D.{x|-2≤x<-1}【解析】选D.将集合A,B表示在数轴上,由数轴可得A∩B={x|-2≤x<-1},故选D.10.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算⊕和⊗如下:那么d⊗(a⊕c)的运算结果为( )A.aB.bC.cD.d【解题指南】先计算(a⊕c)的结果,再计算d⊗(a⊕c)的值.【解析】选A.由上表可知:(a⊕c)=c,故d⊗(a⊕c)=d⊗c=a.11.设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是( )A.1B.3C.4D.8【解题指南】由并集中的元素可知集合B中至少含有一个元素3,由此分类求解.【解析】选C.因为A={1,2},A∪B={1,2,3},所以B={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},故选C.12.集合A={2n+1|n∈Z},集合B={4k±1|k∈Z},则A与B间的关系是( )A.A∈BB.A BC.A∉BD.A=B二、填空题1.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当符号填空:A B,A C,{2} C,2 C.【解析】A={1,2},B={1,2},C={0,1,2,3,4,5,6,7},所以A=B,A C,{2}C,2∈C.答案:= ∈2.已知集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x≥m},若A⊆B,则实数m的取值范围为.【解题指南】根据集合间的关系,借助数轴求解.【解析】将集合A,B表示在数轴上,如图所示,所以m≤-2.答案:m≤-23.设x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则A,B的关系是.【解析】因为B=={(x,y)|y=x,且x≠0},故B A.答案:B A【误区警示】解答本题易忽视集合B中x≠0而误认为A=B.4.设集合A={5,a+1},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .【解题指南】由交集求出a,b,再求并集.【解析】因为A∩B={2},所以2∈A,故a+1=2,a=1,即A={5,2};又2∈B,所以b=2,即B={1,2},所以A∪B={1,2,5}.答案:{1,2,5}三、解答题1.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.【解析】因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有:∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)}, {(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.2.若集合A={x|(k+1)x2+x-k=0}有且仅有两个子集,求实数k的值. 【解析】集合A有且仅有两个子集说明A中仅有一个元素,那么对于方程(k+1)x2+x-k=0,若k+1=0,即k=-1,方程即为x+1=0,x=-1,此时A={-1},满足题意;若k+1≠0,则需Δ=0,即12-4(k+1)(-k)=0,解得k=-,此时A={-1},满足题意.所以实数k的值为-1或-.3.已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y ∈M},求A∩B和A∪B.【解析】因为A={(1,2),(1,1)},B={(1,1),(2,1)}.所以A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2),(2,1)}.【误区警示】本题易忽视集合A,B是点集而致错.4.已知A={1,x,-1},B={-1,1-x}.(1)若A∩B={1,-1},求x.(2)若A∪B={1,-1,},求A∩B.(3)若B⊆A,求A∪B.【解析】(1)由条件知1∈B,所以1-x=1,所以x=0.(2)由条件知x=,所以A=,B=,所以A∩B=.(3)因为B⊆A,所以1-x=1或1-x=x,所以x=0或,当x=0时,A∪B={1,0,-1},当x=时,A∪B=.。
1.1.2 集合间的基本关系练习题及答案解析
1．下列六个关系式，其中正确的有()①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．A．6个B．5个C．4个D．3个及3个以下解析：选C.①②⑤⑥正确．2．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是()A．对任意的a∈A，都有a∉BB．对任意的b∈B，都有b∈AC．存在a0，满足a0∈A，a0∉BD．存在a0，满足a0∈A，a0∈B解析：选C.A不是B的子集，也就是说A中存在不是B中的元素，显然正是C选项要表达的．对于A和B选项，取A＝{1,2}，B＝{2,3}可否定，对于D选项，取A＝{1}，B＝{2,3}可否定．3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是()A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤2解析：选A.A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，要使A B，则应有a≥2.4．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________．解析：∵Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∴M恒有2个元素，所以子集有4个．答案：41．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．0⊆A B．{0}∈AC．∅∈A D．{0}⊆A解析：选D.A、B、C的关系符号是错误的．2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．A BC．B A D．A⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B⇒x∈A，但x∈A⇒x∈B不成立．3．定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于() A．A B．BC．{2} D．{1,7,9}解析：选D.从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D.4．以下共有6组集合．(1)A＝{(－5,3)}，B＝{－5,3}；(2)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；(3)M＝∅，N＝{0}；(4)M＝{π}，N＝{3.1415}；(5)M＝{x|x是小数}，N＝{x|x是实数}；(6)M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中表示相等的集合有()A．2组B．3组C．4组D．5组解析：选A.(5)，(6)表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义集合间的一种运算“*”满足：A*B＝{ω|ω＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．若集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则A*B的子集的个数是()A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A *B ＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B.6．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A解析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A ＝{x |x ⊆B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B ∈A .7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|y x＝1}，则A 、B 间的关系为________． 解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故B A .答案：B A8．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，则a 的值为________．解析：A ⊇B ，则a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝2或a ＝－1或a ＝1，结合集合元素的互异性，可确定a ＝－1或a ＝2.答案：－1或29．已知A ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，B ＝{x |a ≤x ＜a ＋4}，若A B ，则实数a 的取值范围是________．解析：作出数轴可得，要使A B ，则必须a ＋4≤－1或a ＞5，解之得{a |a ＞5或a ≤－5}．答案：{a |a ＞5或a ≤－5}10．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值．解：①若⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝ac a ＋2b ＝ac2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0， 即a (c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1；当c ＝1时，集合B 中的三个元素也相同，∴c ＝1舍去，即此时无解．②若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac 2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0， 即a (2c 2－c －1)＝0.∵a ≠0，∴2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又∵c ≠1，∴c ＝－12. 11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：(1)若A B ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.12．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且BA ，求实数m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}． ∵B A ，∴mx ＋1＝0的解为－3或2或无解．当mx ＋1＝0的解为－3时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13； 当mx ＋1＝0的解为2时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12； 当mx ＋1＝0无解时，m ＝0.综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.。
关系代数习题讲解
订购单 供应商号 ( 地址"北京" (供应商))
如果改成“和北京的某个供应商有业务联系的职工”， 那么就可以写成
地址"北京" (供应商) 订购单
（7）检索至少和职工E1、E4、E7都有联系 的供应商的名称。
供应商名 (订购单 (" E1", " E 4", " E7" ) 供应商)
（3）检索北京的供应商的名称。
供应商名 ( 地址"北京" (供应商))
（4）检索目前与职工E6有业务联系的供应商 的名称。
供应商名 ( 职工号 "E6" (订购单) 供应商)
（5）检索所有职工的工资都大于1220元的仓 库所在的城市。
城市 (仓库) 城市 ( 工资"1220" (职工) 仓库)
用关系代数完成检索：
（1）检索在仓库H2工作的职工的工资。
职工号，工资 ( 仓库号"WH 2" (职工))
在检索职工的工资时，应选取职工号和工 资两个属性。
（2） 检索在上海工作的职工的工资。
职工号，工资 ( 城市"上海" (仓库) 职工)
解析： 先在仓库关系中找到上海的仓库，然后与 职工关系作等值连接，得到一个新的关系 ，再从中选出职工号与工资。
注意：“所有职工的工资都大于1220的仓库”与 “含有工资大于1220的职工的仓库”不同。如果用：
城市 ( 工资"1220" (职工) 仓库)
来求解，将得的到错误的结果。
（6）检索和北京的所有供应商都有业务联系 的职工的工资。
职工号，工资 (职工 (订购单 供应商号 ( 地址"北京" (供应商))))
磁感应强度练习题解析导线长度与电流强度的关系
磁感应强度练习题解析导线长度与电流强度的关系导线长度与电流强度的关系是电磁学中的一个基本概念。
在理解这一关系之前，首先需要了解磁感应强度的概念以及与导线电流的相互作用。
本文将深入探讨导线长度与电流强度对磁感应强度的影响，并提供相关练习题的解析。
一、磁感应强度概念磁感应强度是描述磁场强度大小的物理量，常用字母B表示，单位为特斯拉(T)。
磁感应强度的大小与磁场中物体所受的力以及产生的感应电动势密切相关。
根据安培定律，电流元所产生的磁感应强度可以通过以下公式计算：B = μ₀I / (2πr)其中，B表示磁感应强度，μ₀表示真空中的磁导率(常数)，I表示电流强度，r表示距离电流元的距离。
二、导线长度与磁感应强度关系根据安培定律可知，当导线长度增加时，磁感应强度也会随之增加。
这是因为导线长度的增加意味着磁场中电流元的数量增加，从而产生更强的磁场。
导线长度与磁感应强度之间的关系可以用以下公式表示：B ∝ L其中，B表示磁感应强度，L表示导线长度。
三、导线电流强度与磁感应强度关系导线电流强度对磁感应强度也有影响。
根据安培定律可知，当电流强度增加时，磁感应强度也会随之增加。
这是因为电流强度的增加意味着通过导线的电荷数量增加，从而产生更强的磁场。
导线电流强度与磁感应强度之间的关系可以用以下公式表示：B ∝ I其中，B表示磁感应强度，I表示导线电流强度。
四、练习题解析现在，我们通过几个练习题来解析导线长度与电流强度的关系对磁感应强度的影响。
1. 一根导线长度为1米，电流强度为1安培。
求导线所在点的磁感应强度。
根据导线长度与磁感应强度的关系公式，可知B ∝ L。
代入已知条件可得：B = L ×比例常数 = 1米 ×比例常数2. 一根导线长度为2米，电流强度为3安培。
求导线所在点的磁感应强度。
根据导线长度与磁感应强度的关系公式，可知B ∝ L。
代入已知条件可得：B = L ×比例常数 = 2米 ×比例常数3. 一根导线长度为3米，电流强度为5安培。
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• 6 如果关系R和S是自反的、对称的和传递的， 如果关系R 证明R 证明R∩S也是自反的、对称的和传递的。 • 证明：a）因为R和S是自反的，对任意的a∈A， 证明： 因为R 是自反的，对任意的a (a, a)∈R并且(a, a)∈S，则(a, a)∈R∩S。 并且(a, ，则(a, • b）对任意的a, b∈A, a≠b，如果(a, b)∈R∩S，因 对任意的a, 如果(a, 为(a, b)∈R∩S，所以(a, b)∈R并且(a, b)∈S; 因为R 所以(a, 并且(a, 因为R 和S是对称的，所以(b, a)∈R并且(b, a)∈S。则(b, 是对称的，所以(b, 并且(b, 。则(b, a)∈R∩S。 • c）任意的(a, b)∈R∩S，(b, c) ∈R∩S，则 (a, b)∈ 任意的(a, R，(a, b)∈S，(b, c)∈R，(b, c) ∈S，因为R和S是传 ，因为R 递的，因此(a, 递的，因此(a, c)∈R，(a, c)∈S。所以(a, c)∈ R∩S。 。所以(a,
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• • • •
4 举出A={1, 2, 3}上关系R的例子，使其 举出A={1, 3}上关系R 具有下述性质： a) 既是对称的，又是反对称的； b) 既不是对称的，又不是反对称的； c) 是传递的。
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• • •
解：a) 解：a) R={(1, 1), (2, 2), (3, 3)} b) R={(1, 2), (2, 1), (2, 3)} c) R={(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}
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• 5 举出一个集合上关系的例子，分别适合 于自反、对称、传递中的两个且仅适合两 个。
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• 解：A={a, b, c} 解：A={a, • A) R={(a, a)}对称，传递, 不自反； a)}对称，传递, • B) R={(a, a), (b, b), (c, c), (a, b)}自反，传递，不 b)}自反，传递，不 对称； • C) R={(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (b, a), (c, b)} 自反，对称，不传递
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• 3 设R是A上的关系，若R是自反的和传递 上的关系，若R 的，则R R=R。 的，则R•R=R。 证明思想： 证明：1）证明R 证明：1）证明R•R⊆R； 2） 证明R⊆R•R： 证明R
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• 证明： • 1）证明R•R⊆R： ）证明R 设(a, b)∈R•R，存在c∈A, 使得(a, c)∈R, (c, b)∈R， b)∈ ，存在c 使得(a, c)∈ b)∈ 因为R是传递的，所以(a, b)∈ ；则R 因为R是传递的，所以(a, b)∈R；则R•R⊆R； • 2） 证明R⊆R•R： 证明R 设(a, b)∈R，R是自反的，(b, b)∈R，所以(a, b)∈ 是自反的，(b, b)∈ ，所以(a, b)∈R•R；则R⊆R•R。 b)∈ ；则R 所以R R=R。 所以R•R=R。
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• 8 设R是A上的传递和自反关系, 设T是A上 上的传递和自反关系, 的二元关系：(a,b)∈ 当且仅当(a,b)和(b,a)都 的二元关系：(a,b)∈T当且仅当(a,b)和(b,a)都 属于R, 证明T 属于R, 证明T是一个等价关系。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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• 证明:(注意,T是A上的二元关系.) 证明:(注意,T是 上的二元关系.) （1）自反: 对任意a∈A,(关键证明(a,a)∈T)；因 ）自反: 对任意a A,(关键证明(a,a)∈T)；因 为R是A上的自反关系, 所以(a,a)∈R, (a,a)∈R, 上的自反关系, 所以(a,a (a,a)∈ 因此根据T的定义, (a,a 因此根据T的定义,有(a,a)∈T. （2）对称:若(a,b)∈T,则(a,b)和(b,a)都属于R, 因 ）对称: (a,b)∈T,则(a,b ,a)都属于R, 此(b,a)和(a,b)都属于R, 所以(b,a)∈T. (b,a ,b)都属于R, 所以(b,a)∈
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11. 下列关系中哪一个是自反的、对称的、反 对称的或传递的? 对称的或传递的? (1) 当且仅当|i - k|<11(i, k∈I)时, 有iRk; 当且仅当|i k∈I)时 (2) 当且仅当mn>8(m, n∈N)时, 有mRn; 当且仅当mn>8(m, n∈N)时 (3) 当且仅当i≤k(i, k∈N)时, 有iRk。 当且仅当i≤k(i, k∈N)时 iRk。
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• 7 是非判断：设R和S是A上的二元关系，确 是非判断：设R 定下列命题是真还是假。如果命题为真，则证 明之；如果命题为假，则给出一个反例。
– – – – – – – – (1)若R和S是传递的，则R∪S是传递的。 (1)若 是传递的，则R (2)若R和S是传递的，则R•S是传递的。 (2)若 是传递的，则R (3)若R是传递的，则R-1是传递的。 (3)若 是传递的，则R (4)若R和S是对称的，则R•S是对称的。 (4)若 是对称的，则R (5)若R是对称的，则R-1是对称的。 (5)若 是对称的，则R (6) 若R和S是反对称的，则R∪S是反对称的。 是反对称的，则R (7) 若R和S是反对称的，则R ° S是反对称的。 是反对称的，则R (8) 若R是反对称的，则R-1是反对称的。 是反对称的，则R
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• (1)假。R={(1, 2)}, S={(2, 3)}。 (1)假。R={(1, 3)}。 • (2)假。R={(1, 4), (2, 5)}, S={(4, 2), (5, 3)}。 (2)假。R={(1, 3)}。 • (3)真。任意(a, b)∈R-1, (b, c)∈R-1。所以 (3)真。任意(a, b)∈ c)∈ (c,b)∈ (c,b)∈R, (b, a)∈R；又因为R是传递的，所以 a)∈ ；又因为R (c, a)∈R。因此(a, c)∈R-1。 a)∈ 。因此(a, c)∈ • (4)假。R={(1, 2), (2, 1)}, S={(2, 3), (3, 2)}。则 (4)假。R={(1, 2)}。则 R•S={(1, 3)}。 3)}。
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（3）传递: 若(a,b)∈T,(b,c)∈T(关键证明(a,c)∈T, ）传递: (a,b)∈T,(b,c)∈T(关键证明(a,c)∈ 即要证明(a,c)∈R,(c,a)∈R)。由于 即要证明(a,c)∈R,(c,a)∈R)。由于 (a,b)∈T,(b,c)∈T,则(a,b)和(b,a)都属于R,(b,c)和 (a,b)∈T,(b,c)∈T,则(a,b)和(b,a)都属于R,(b,c)和 (c,b)都属于R, 因为R传递,所以当(a,b)和 (c,b)都属于R, 因为R传递,所以当(a,b)和(b,c) 都属于R 都属于R时,有(a,c)属于R, 同样当(b,a)和(c,b) (a,c)属于R, 同样当(b,a)和 都属于R 都属于R时,有(c,a)属于R。因为 (c,a)属于R (a,c)∈R,(c,a)∈ 所以(a,c)∈ (a,c)∈R,(c,a)∈R, 所以(a,c)∈T。
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• (5)真。根据对称的性质证明。对于任意的 (5)真。根据对称的性质证明。对于任意的 (a, b)∈ R-1， (b, a)∈R； 因为R是对称的， 则 b)∈ a)∈ 因为R (a, b)∈R，所以(b, a)∈ R-1。则R-1是对称的。 b)∈ ，所以(b, a)∈ • (6) 假。R={(1, 2)}，S={(2, 1)}，则R∪S={(1, 假。R={(1, 2)}， 1)}，则R 2), (2, 1)}。 1)}。 • (7) 假。R={(1, 3), (2, 4)}, S={(3, 2), (4, 1)}, 则 假。R={(1, R•S={(1, 2), (2, 1)}，不是反对称的。 1)}，不是反对称的。 • (8) 真。反证法证明。设R-1不是反对称的。 真。反证法证明。设R 则存在(a, b)∈ 则存在(a, b)∈ R-1, (b, a)∈ R-1, a≠b。则(a, b)∈R, a)∈ a≠ 。则(a, b)∈ (b, a)∈R, 与R是反对称的矛盾。 a)∈
解: (1) 是自反的|i - i|<11, 对称的 |i - k| = |k - i|, 是自反的|i i|<11, |2-10|<11, |10-18|<11 ⇒ |2-18|<11,不可传递的。 10|<11, 10-18|<11 18|<11,不可传递的。 (2) 是非自反的2×2<8, 对称的mn = nm 是非自反的2 对称的mn 2×5 > 8, 5×3 > 8 ⇒ 2×3 > 8, 不可传递的。 5× 不可传递的。 (3) 是自反的i≤i, 反对称5≤8, 但8>5, 是自反的i≤i, 反对称5 5≤8, 8≤18, 5≤18, 可传递的。 18, 18, 可传递的。
关系习题解析 ——经典习题 ——经典习题
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1. 设A = {a, b}, B = {0,1}, 求: A2 × B ， Ａ × P(Ａ) P(Ａ
解: (1) A2×B ={(a, a),(a, b),(b, a),(b, b)}×{0,1} b)}× = {(a, a, 0), (a, b, 0), (b, a, 0), (b, b, 0), {(a, (a, a, 1), (a, b, 1), (b, a, 1), (b, b, 1)} 1)} (2) A×P(A)={(a, ∅), (a, {a}), (a, {b}), (a, {a,b}), (b, ∅), (b, {a}), (b, {b}), (b, {a,b})}
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• • • •
２ 设R是集合A上的关系 是集合A （1）R是自反的，则R•R是自反的； 是自反的，则R （2）R是对称的，则R•R是对称的； 是对称的，则R （3）R是反自反和传递的，则R是反对称的； 是反自反和传递的，则R
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