线性方程组
线性方程组
第三章 线性方程组§1消元法现在来讨论一般线性方程组，所谓一般线性方程组是指形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,221122222212111212111s n sn s s n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1） 的方程组，其中n 21x , ,x ,x ⋯代表n 个中未知量，s 是方程的个数， ij a (i =1,2,…,s,j=1,2,…,n)称为方程组的系数，j b (j=1,2,…,s)称为常数项。
方程组中未知量的个数与方程的个数s 不一定相等。
系数ij a 的第一个指标i 表示它在第i 个方程,第二个指标j 表示它是j x 的系数。
所谓方程（1）的一个解就是指由n 个数n k k k ,,,21 组成的有序数组（n k k k ,,,21 ），当解集合。
如果两个方程组有相同的n 21x , ,x ,x ⋯分别用n k k k ,,,21 代入后，（1）中每个等式都变成恒等式。
方程组（1）的解的全体称为它的解集合。
解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合。
如果两个方程姐有相同的解集合，它们就称为同解的。
显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用下面的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s sn s s n n b a a a b a a a b a a a 21222222112211 （2） 来表示。
实际上，有了（2）之后，除去代表未知量的文字外，线性方程组（1）就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的。
在中学所学的代数里我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组。
实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性。
下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组。
先看一个例子。
例如，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.522,4524,132321321321x x x x x x x x x第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-.42,241323232321x x x x x x x第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三个方程的次序交换，即得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+-.6,42,132332321x x x x x x这样，我们就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）。
线性方程组
线性方程组一、内容要点1.齐次线性方程组设方程组111122121122221111221000n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯相应的矩阵形式为0Ax =，其中()ij mnA a =.设()R A r =，则方程有唯一解r n ⇔=（注意方程解的多少与m 无关！）解的结构定理设齐次线性方程组0Ax =，且()R A r n =<，12,,,n r ξξξ−⋯为方程组的基础解系，{}|0S A ξξ==是方程组0Ax =的解空间，则：⑴12,,,n r ξξξ−⋯是S 中的基；⑵S 中任意n r −个线性无关解一定是齐次方程组的基础解系；⑶方程的通解1122n r n r k k k ξξξξ−−=+++⋯.2.非齐次线性方程组设线性方程组11112211211222221111221n n n n n n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯相应的矩阵形式为Ax b =，其中()ijmnA a =，()12,,,Tm b b b b =⋯.⑴可解性条件方程Ax b =可解()()R A R A b ⇔=⋮⑵唯一解条件方程Ax b =可解()()R A R A b n⇔==⋮⑶解的结构定理若方程Ax b =，且()()R A R A b r ==⋮，12,,,n r ξξξ−⋯为对应的齐次方程组（导出组）的基础解系，*η是方程组Ax b =的一个特解，则方程的通解为*1122n r n r k k k ηηξξξ−−=++++⋯.二、例题选讲例设n 阶矩阵的各行元素之和为零且秩为1n −，则线性方程组0Ax =的通解为.正确答案()1,1,,1Tk ξ=⋯题解分析由条件知()11,1,,1Tξ=⋯为方程的阶，又秩为1n −，故基础解系中仅包含一个向量，由此得通解()1,1,,1Tk ξ=⋯.例若3阶非零阵B 的每一列都是方程组1231231232202030x x x x x x x x x λ+−=⎧⎪−+=⎨⎪+−=⎩的解，则λ=.B =.正确答案1,0题解分析方程组有非零解⇔系数行列式为零，由此得1λ=，又应系数矩阵的秩为2，所以非零阵B 的秩最多为1，因此0B =.例若A 为m n ×矩阵，齐次线性方程组0Ax =只有零解的充分必要条件是.A .列向量组线性无关B .列向量组线性相关C .行向量组线性无关D .行向量组线性相关正确答案A题解分析由判定条件：方程0Ax =有唯一解()R A n =⇒列向量组线性无关.强调，方程组解的结构与行向量组无关，可以任意添加线性相关的向量组，从而得到同解方程组！例设矩阵m n A ×的秩(),R A m n b =<为任一m 维列向量，则A .线性方程组Ax b =必无解B .线性方程组Ax b =必有唯一解C .线性方程组Ax b =必有无穷多解D .A 的任意m 个列向量必线性无关正确答案C题解分析因A 是行满秩矩阵，所以对任意m 维列向量b ，总有()()|R A R A b =，因此方程Ax b =总可解，又()R A n <，所以解有无穷多个.例设123,,ααα是四元非齐次线性方程组Ax b =的3个解向量，且()3R A =()11,2,3,4,Tα=()231,2,3,4Tαα+=，则线性方程组Ax b =的通解x =.A .()()1,2,3,41,1,1,1TTc +B .()()1,2,3,40,1,2,3T Tc +C .()()1,2,3,42,3,4,5T Tc +D .()()1,2,3,41,1,1,1T Tc +正确答案C题解分析因()3R A =⇒基础解系中仅包含一个解向量，所以非零解向量应为()1232ααα−+的形式，由此得到通解形式.例设123,,ααα是四元非齐次线性方程组Ax b =的3个不相同解向量，且()3R A =，则线性方程组Ax b =的通解x =.A .()123122k ααααα++−+B .()123122k ααααα++++C .()123123k ααααα++−+D .()123123k ααααα++++正确答案C题解分析若123,,ααα为非齐次线性方程组Ax b =的解，则112233k k k ααα++是非齐次方程Ax b =的解1231k k k ⇔++=.而112233k k k ααα++是齐次方程组的解12k k ⇔+30k +=，由此得到正确答案.例设非齐次线性方程组Ax b =有两个不同解12,ββ，其导出组的一个基础解系为12,αα，1k 2k 为任意常数，则方程组Ax b =的通解为A .()()112121212k k αααββ+++−B .()()112121212k k αααββ+−++C .()()112121212k k αββββ+++−D .()()112121212k k αββββ+−+−正确答案B题解分析由上题分析即得例设n 阶方阵A 的各行元素之和均为零，且()1R A n =−，则齐次线性方程组0Ax =的通解是.正确答案()1,1,,1Tk ξ=⋯题解分析由条件知向量()1,1,,1T⋯是方程的解，又由于系数矩阵的秩为1n −，所以方程的基础解系中仅包含一个非零向量，由此得通解形式.例设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，对于线性方程组Ⅰ:0Ax =和Ⅱ:0TA Ax =,必有.A .Ⅱ的解是Ⅰ的解，Ⅰ的解也是Ⅱ的解B .Ⅱ的解是Ⅰ的解，但Ⅰ的解不是Ⅱ的解C .Ⅰ的解不是Ⅱ的解，Ⅱ的解也不是Ⅰ的解D .Ⅰ的解是Ⅱ的解，但Ⅱ的解不是Ⅰ的解正确答案A题解分析若00T Ax A Ax =⇒=；反正，若()()00TT T T A Ax x A Ax Ax Ax =⇒==0Ax ⇒=.例设由齐次线性方程组0Ax =合0Bx =，其中,A B 均为m n ×矩阵，现有4个命题：①若0Ax =的解均是0Bx =的解，则()()R A R B ≥；②若()()R A R B ≥则0Ax =的解均是0Bx =的解③若0Bx =与0Ax =通解，则()()R A R B =④若()()R A R B =则0Ax =与0Bx =通解以上正确的命题是A .①②B .①③C .②④D ③④正确答案B题解分析若0Ax =的解是0Bx =的解，因0Ax =的基础解系所含向量个数为()n R A −，0Bx =的基础解系所含向量个数是()n R B −，由条件知()()()n R A n R B R A −≤−⇒()R B ≥，所以①正确；②错，例如120x x +=与120x x −=，系数矩阵的秩均为1，但方程不同解；由①知③是正确的；前例说明④错误，所以正确答案为B .例设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，记0T A A αα⎛⎞′=⎜⎟⎝⎠，且()()'R A R A =，则线性方程组.A .Ax α=必有无穷多个解B .Ax α=必有惟一解C .00TAx y αα⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠仅有零解D .00TAx y αα⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠必有非零解正确答案D题解分析答案AB 显然错误，而()()'1',0TR A n A x y <+⇒=有无穷多个解.例设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*0A ≠，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系.A .不存在B .仅含一个非零解向量C .含有两个线性无关的解向量D .含有3个线性无关的解向量正确答案B 题解分析关键确定()R A ！因为()*01A R A n ≠⇒≥−；又因为Ax b =有无穷个解，所以()()1R A n R A n <⇒=−.例设1234,,,αααα均为4维列向量，其中123,,ααα线性无关，1232ααα=−，记矩阵()1234,,,A αααα=，如果1234234βαααα=+++，线性方程组Ax β=的通解是.正确答案()()1,2,1,01,2,3,4Tx k =−+题解分析由条件得()3R A =所以基础解系中仅包含一个非零向量，又1232ααα=−，即()1,2,1,0Tξ=−是导出组0Ax =的非零解，从而构成基础解系，又由已知条件122βαα=+3434αα++，所以向量()1,2,3,4T为方程Ax β=的解，由此构成方程的通解.例已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=−⎧⎪++−=−⎨⎪+++=−⎩有三个线性无关解，⑴证明:该方程组系数的矩阵的秩()2R A =;⑵求,a b 的值及该方程的一个通解.解⑴显然系数矩阵()2R A ≥；又方程有3个线性无关解，所以导出组至少有2个线性无关解，由此推出()2R A =.⑵此时系数矩阵为1111435113A a b ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠,再对系数矩阵作相应的初等变换，得111111114351011513013A a b a a b a ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠⎝⎠∼再由1152,313a b a a b a−−==⇒==−−−−.对前2个方程求解，此时简化方程为1234234153x x x x x x x +++=−⎧⎨−+−=⎩相应的导出组为1234234050x x x x x x x +++=⎧⎨−+−=⎩此时，自由未知量为34,x x ，方程的基础解系为()()122,1,1,0,4,5,0,1T Tξξ=−=−，而非齐次方程组的特解为()*2,3,0,0Tη=−，所以原方程的通解为*1122k k ηηξξ=++.例设线性方程组23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩⑴证明：当1234,,,a a a a 两两不等时，方程组无解；⑵设()1324,0a a k a a k k ====−≠，()()121,1,1,1,1,1TTββ=−=−是方程组的两个解，写出此方程组的通解.解⑴此时增广矩阵的行列式为()231112322222143332244411011j i i j a a a a a a a a a a a a a a ≤<≤=Π−≠所以()()3,4R A R A ==从而方程组无解.⑵当()1324,0a a k a a k k ====−≠时，此时方程组变形为2312323123x kx k x k x kx k x k⎧++=⎪⎨−+=−⎪⎩又由已知条件：()()121,1,1,1,1,1T Tββ=−=−是方程组的两个解，而系数矩阵的秩显然为2，所以方程组的通解为()121k ηβββ=+−.例设12,,,s ααα⋯是齐次方程组0Ax =的一个基础解系，11122212,t t t βααβα=+=23121,,s s t t t αβαα+=+⋯，则当12,t t 满足什么条件时，12,,,s βββ⋯仍然是方程0Ax =的基础解系.解记()()1212,,,,,,s s A βββααα=⋯⋯，其中122120000t t t t A t ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯则()11210s s sA t t +=+−≠时12,,,s βββ⋯线性无关，所以12,,,s βββ⋯仍然是方程0Ax =的基础解系.例设齐次线性方程组111122112112222111221000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯的系数矩阵()ij A a =，且满足0A =，代数余子式210A ≠，求方程的通解.解由条件得()1R A n =−.再由克拉姆法则：1nikjk ij k aA A δ==∑，令()121222,,,0Tn A A A ξ=≠⋯，则()10,,0,,0TA A ξ=⋯，由此得方程组的通解1k ξξ=.A .B .C .D .正确答案C题解分析.。
线性代数Ⅳ—线性方程组
c1 , c2 为任意常数
其中
1 1 1 0 ξ = c1 + c2 为对应齐次线性方程组的通解 0 2 1 0 1 2 0 η = 1 为非齐次线性方程组的特解 2 0
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例 已知 α1 = (1, 4, 0, 2)T α 2 = ( 2, 7,1, 3)T α 3 = ( 0,1, 1, a)T β = ( 3,10, b, 4)T 问:(1) a,b为何值时,β 不能由 α1 , α 2 , α 3 线性表示 (2) a,b为何值时,β 可以由 α1 , α 2 , α 3 线性表示,并写出 表达式 例 设线性方程组
x1 = 0 , x2 = 0 , , xn = 0 即 x = (0 , 0 , , 0)T 必为方程组的一个解向量
称零解.
有时,齐次线性方程组还有非零解.
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2 求解齐次线性方程组
2.1 齐次线性方程组有非零解的条件
定理一: 定理一:n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解(仅有零解) A 的列向量 α1 , α 2 , , α n 线性相关(无关)
x = η + k1ξ1 + k 2ξ 2 + + k n rξ n r (k1 , k 2 , , k n r为任意常数)
~
即 非齐次线性方程组的通解=非齐次线性方程组的一个特解 +对应齐次线性方程组的通解
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3.3 求解非齐次线性方程组 求解非齐次线性方程组——消元法 消元法
通过例题理解 例:求解线性方程组
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3 求解非齐次线性方程组
3.1 非齐次线性方程组的讨论
非齐次线性方程组 Ax = b ( b ≠ 0 ) 解的情况有三种 (1)无解 (2)有唯一解 (3)有无穷多组解
线性代数讲义03线性方程组
第三章 线性方程组第一节 线性方程组与矩阵的行等价一 线性方程组以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.定义3.1 多元一次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111称为线性方程组. 方程组有m 个方程, n 个未知数i x (1,2,,i n =), 而ij a (1,2,,i n =;m j ,,2,1 =)是未知数的系数, j b (m j ,,2,1 =)是常数项.如果0=j b (m j ,,2,1 =), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.数组n c c c ,,,21 是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数n x x x ,,,21 , 可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解.定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解.按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此方程组同解也是一种等价关系. 特别, 方程组同解具有传递性.通过消元, 可将线性方程组变成比较简单的同解方程组, 从而得到原方程组的解.例3.1 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-52452132321321321x x x x x x x x x .解 从上向下消元, 得同解方程组1232332312243x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩. 这种方程组称为阶梯形方程组. 从下向上消元, 得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=310232321x x x .再除以第一个未知数的系数, 得线性方程组的解2/31-=x , 52=x , 33=x .解线性方程组的基本方法是加减消元法. 求解过程中常用三种运算.定义3.3 下列三种运算称为方程组的初等变换.(1) 交换两个方程的位置;(2) 用一个非零常数乘以一个方程;(3) 将一个方程的k 倍加到另一个方程上去.注意 如果用一种初等变换将一个线性方程组变成另一个线性方程组, 则也可以用初等变换将后者变成前者. 即初等变换的过程是可逆的.定理3.1 用初等变换得到的新的线性方程组与原方程组同解.证 先证明只进行一次初等变换.首先如果一组数是原方程组的解, 则它满足方程组中的每一个方程. 此后, 无论进行的是哪种初等变换, 这组数也满足新方程组的每个方程, 因此是新方程组的解. 反之, 由于初等变换的可逆性, 新方程组的解也是原方程组的解. 因此, 两个方程组同解.最后, 由于方程组同解的传递性, 进行任意多次初等变换所得方程组与原方程组同解.二 矩阵的行等价用矩阵乘法, 可以将线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111写作 11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 21, 称为线性方程组的矩阵表示. 其中n m ⨯矩阵)(ij a A =称为方程组的系数矩阵, 1⨯n 列矩阵),,,(21'=n x x x x 称为未知数(矩阵), 1⨯m 列矩阵),,,(21'=m b b b b 称为常数(矩阵). 此时, 线性方程组可以简写作b Ax =.如果数组n c c c ,,,21 是线性方程组b Ax =的解, 令列矩阵12(,,,)n c c c ξ'=, 则有矩阵等式A b ξ=. 列矩阵12(,,,)n c c c ξ'=是方程组的解的矩阵表示.将常数矩阵添加到系数矩阵上作为最后一列, 得到分块矩阵),(b A A =, 称为线性方程组的增广矩阵.线性方程组与其增广矩阵是互相唯一确定的. 因此, 可以将方程组的语言翻译成矩阵的语言. 从线性方程组的初等变换, 产生矩阵的行初等变换的概念.定义3.4 设A 是矩阵, 则下列三种运算称为对矩阵A 的行初等变换.(1) 交换A 的两行;(2) 用非零常数k 乘以A 的一行;(3) 将A 的一行的k 倍加到另一行上去.定义 3.5 如果通过行初等变换, 可以将矩阵A 变成矩阵B , 则称矩阵A 与B 行等价. 记作B A r−→−. 仿照定理3.1的证明, 可以得到下面的结果.性质3.1 行等价是一种等价关系, 即具有下述性质.(1) 反身性: A A r −→−; (2) 对称性: 如果B A r −→−, 则A B r −→−; (3) 传递性: 如果B A r −→−,C B r −→−, 则C A r −→−. 当一类对象具有多种不同的等价关系时，要用不同的符号予以区别. 矩阵的相等是一种等价关系, 已经用等号表示为B A =. 作为矩阵的另一种等价关系, 行等价使用符号B A r −→−. 用矩阵的行等价的概念, 可以将定理3.1写作:定理3.2 如果两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这两个线性方程组同解.通过初等变换, 可以从线性方程组产生一个阶梯形方程组. 换成矩阵的语言, 通过行初等变换, 可以从矩阵产生下面的具有特殊结构的矩阵.如果矩阵中某行中所有元素都是0, 则称为零行, 否则称为非零行.定义3.6 具有下面的性质的矩阵称为行阶梯形阵.(1) 非零行在上, 零行在下;(2) 每个非零行的第一个非零元素(首元素)在上面的非零行的首元素的右下方.例3.2 用行初等变换化简矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=521451121312A .解 做行初等变换, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=521451121312A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−343042201312r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−310042201312r . 经过消元, 得到的已经是行阶梯形阵. 继续消元, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−310042201312r A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−3100100208012r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−3100100203002r .最后, 每行除以其首元素, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−3100100203002r A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−310050102/3001r .定义3.7 具有下列性质的行阶梯形阵称为行最简阵.(1) 每个非零行的首元素等于1;(2) 包含首元素的列的其它元素都是0.在例3.2中, 最后得到的是行最简阵. 由以上的讨论, 可得下面的定理.定理3.3 对于任意矩阵A , 存在一个行最简阵R , 使得A 与R 行等价.如果矩阵A 与行阶梯形阵R 行等价，则称R 是A 的行阶梯形阵. 如果A 与行最简阵R 行等价, 则称R 为矩阵A 的行等价标准形.其实, 例3.2中的矩阵就是例3.1中线性方程组的增广矩阵. 而矩阵的行初等变换的过程与线性方程组的初等变换的过程完全一样. 唯一的区别在于这里只有系数和常数, 没有未知数和等号. 由于增广矩阵与线性方程组可以互相唯一确定, 缺少未知数和等号完全不影响问题的解决.习题3-11. 写出线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的系数矩阵与增广矩阵, 并用消元法求解.2. 设线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1681355422351312, 写出该线性方程组, 并用消元法求解.3. 求下列矩阵的行等价标准形.（1）102120313043-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭; (2) 023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭; (3) 11343335412232033421--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭; (4) 23137120243283023743--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 4. 求t 的值, 使得矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----t 22122351311321的行等价标准形恰有两个非零行.第二节 矩阵的秩一 矩阵的秩的定义定义 3.8 设矩阵n m ij a A ⨯=)(, 从A 中任意选取k 行,k 列(},min{n m k ≤), 位于这些行与列的交叉点上的2k 个元素按照原来的相对位置构成的k 阶行列式称为A 的一个k 阶子式. 例如, 位于矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=312097102431A 的第一,三行, 第二，四列的二阶子式为133223-=-. 一个n m ⨯矩阵有kn k m C C 个k 阶子式. 矩阵的每个元素都是它的一个一阶子式. 而n 阶方阵的行列式是它的唯一的n 阶子式.定义3.9 如果矩阵n m ij a A ⨯=)(中有一个r 阶子式不等于零, 而所有1+r 阶子式都等于零, 则称矩阵A 的秩等于r . 记作r A =)rank(.如果矩阵的所有1+r 阶子式都等于零, 根据行列式按照一行展开, 可以证明所有更高阶的子式也都等于零. 因此, 矩阵的秩等于它的不等于零的子式的最高阶数.约定 对于零矩阵O , 约定0)rank(=O .由矩阵的秩的定义, 可以得到下面简单事实:(1) 设A 是非零矩阵, 则1)rank(≥A ;(2) 设A 是n m ⨯矩阵, 则},min{)rank(n m A ≤;(3) n 阶方阵A 可逆的充分必要条件为n A =)rank(. 于是, 可逆阵又称为满秩阵.例3.3 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=064212100321A , 求它的秩.解 左上角的二阶子式不等于零. 而所有四个三阶子式都等于零. 于是, 2)rank(=A . 例3.4 求对角阵),,,diag(21n a a a A =的秩.解 由不等于0的主对角元素所在的行与列确定的子式不等于0. 而阶数高于这个子式的子式必然有零行. 因此对角阵的秩等于其不等于0的主对角线元素的个数.例3.5 设矩阵A 的秩等于0>r , 从A 删除一行得到矩阵B , 问B 的秩可能取哪些值? 如果给A 添加一行呢?解 因为矩阵B 的子式也是矩阵A 的子式, 所以B 的秩不大于A 的秩.已知r A =)r a n k (, 不妨设A 的r 阶子式D 不等于0. 如果D 也是B 的子式, 则r B =)rank(. 否则, 根据行列式按照一行展开, 在D 的未被删除的1-r 行中, 至少有一个1-r 阶子式不等于0. 于是1)rank(-≥r B .仿照上面的证明, 添加一行所得矩阵的秩等于r , 或者1+r .性质3.2 设A 是矩阵, k 是数, 则(1) 转置: )rank()rank(A A =';(2) 数乘: 如果0≠k , 则)rank()rank(A kA =.证 只证(2).考虑矩阵A 的一个s 阶子式s D , 根据矩阵的性质2.6, 矩阵kA 的相应的子式等于s s D k .已知0≠k , 因此0=s s D k 的充分必要条件为0=s D .设r A =)rank(, 则A 有一个r 阶子式不等于0, 而所有1+r 阶子式都等于0. 根据前面的分析, 矩阵kA 具有相同的性质. 因此, r kA =)rank(.二 行初等变换用定义计算矩阵的秩时, 需要计算许多个行列式. 计算量非常大.定理3.4 设矩阵A 与B 行等价, 则rank()rank()A B =.证 设一次行初等变换将矩阵A 变成矩阵B ，且r A =)r a n k (, 则A 的所有1+r 阶子式都等于0. 下面对于三种行初等变换证明矩阵B 的所有1+r 阶子式也都等于0.(1) 矩阵A 的一行乘以非零常数k . 此时B 的一个1+r 阶子式或者就是A 的相同位置的1+r 阶子式, 或者是A 的相同位置的1+r 阶子式的一行乘以非零常数k . 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.(2) 交换矩阵A 的两行. 考虑B 的一个1+r 阶子式D , 则A 有一个1+r 阶子式与D 的差别至多是行的顺序不同. 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.(3) 将A 的第j 行的k 倍加到第i 行. 如果B 的一个1+r 阶子式不包含A 的第i 行, 它就是A 的相同位置的1+r 子式. 如果B 的一个1+r 阶子式D 包含A 的第i 行, 用行列式的性质, 这个子式可以分解为21kD D +, 其中1D 就是A 的相同位置的1+r 子式. 如果D 不包含A 的第j 行, 则2D 可以由A 的某个1+r 阶子式经交换行得到. 如果D 包含A 的第j 行, 则2D 有两个相同的行. 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.总之, )rank()rank(A r B =≤.另一方面, 由矩阵的行等价的对称性, 也可以用行初等变换将矩阵B 变成矩阵A . 从而还有)rank()rank(B A ≤. 于是, 无论做哪种行初等变换, 都有rank()rank()A B =.最后, 由矩阵的行等价的传递性, 进行多次行初等变换也不改变矩阵的秩.推论 3.1 矩阵的秩等于它的行阶梯形阵中非零行的个数, 也就是行等价标准形中非零行的个数.证 设矩阵A 的行等价标准形R 中恰有r 个非零行, 则所有1+r 阶子式都等于0. 另一方面, 它的非零行的首元素所在的列的前r 行构成r 阶单位阵. 于是r R =)rank(. 根据定理 3.4, 有r A =)rank(.例3.6 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7931181332111511A 的秩. 解 用行初等变换, 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7931181332111511A −→−r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----81440472047201511−→−r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000000047201511. 矩阵A 的行阶梯形阵有两个非零行, 因此, 2)rank(=A .例3.7 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O O B A , 求证: )rank()rank()rank(C B A +=. 证 设矩阵C B ,的行等价标准形分别为R 和S , 分别对B 和C 所在的行做行初等变换, 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O O B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−S O O R r , 其中R 和S 分别是B 和C 的行等价标准形. 将R 所在的行中的零行移动到矩阵的最下方, 而不改变非零行的上下顺序, 可得到一个行最简阵. 而且, 这就是A 的行等价标准形. 于是, A 的行等价标准形中非零行的个数恰等于B 与C 的行等价标准形中非零行的个数之和.用这个方法可以证明: 准对角阵的秩等于各对角块的秩的和.习题3-21. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=75211111A ，按照从小到大的顺序排列它的所有二阶子式. 2. 设n m ⨯矩阵A 的秩等于r , 任取A 的s 行构成矩阵B , 求证: m s r B -+≥)rank(. *3. 设A 是n m ⨯矩阵，求证：1)rank(=A 的充分必要条件为: 存在1⨯m 非零矩阵B 与n ⨯1非零矩阵C ，使得BC A =.4. 用行初等变换求下列矩阵的秩.(1) 123235471⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (2) 321322131345561---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭; (3) 1010011000011000011001011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (4) 132541413514243273613-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 5. 求t 的值, 使得方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t A 23312231的秩等于2.第三节 齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的矩阵表示为0=Ax . 此时方程组与其系数矩阵A 互相唯一确定.齐次线性方程组0=Ax 总有零解. 于是, 解齐次线性方程组的基本问题是:(1) 对给定的齐次线性方程组，判定是否有非零解;(2) 如果有非零解, 求出所有的解(通解). 性质 3.3 如果列矩阵1ξ与2ξ是齐次线性方程组0=Ax 的两个特解, 则对于任意的数k h ,, 列矩阵21ξξk h +也是方程组的解.证 将21ξξk h +代入方程组, 得)(21ξξk h A +00021=+=+=ξξkA hA . 由定理3.2与定理3.3可得解齐次线性方程组的基本路线. 下面通过例题予以说明.例1求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++=-----=+++0434503223006225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解. 解 首先写出方程组的系数矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=14345321231111162210A . 然后做行初等变换, 由矩阵A 产生行阶梯形阵. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------14345321236221011111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−00000010006221011111r . 继续做行初等变换, 得到矩阵A 的行等价标准形.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000010006021050101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−00000010006021050101r . 从行等价标准形得到同解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++=--000062054532531x x x x x x x .将行等价标准形的非零行中的首元素对应的未知数留在方程组的左边, 将其余未知数移到方程组的右边, 得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=+=0006254532531x x x x x x x . 任意取定右边未知数(自由未知数)的值, 则左边未知数(约束未知数)的值也随之确定, 由此产生方程组的一个解.实际上，由此可以得到方程组的全部解. 设),,,,(54321'd d d d d 是方程组的任意的特解, 上面求解时3x 与5x 可以任意取值, 自然包含取值33d x =与55d x =. 由于),,,,(54321'd d d d d 是方程组的解, 必须满足方程组.因此5315d d d +=,53262d d d --=,04=d . 于是, 这个特解可以由上面的方法产生.令h x =3,k x =5, 得到齐次线性方程组的通解k h x 51+=,k h x 622--=,h x =3, 04=x , k x =5, 其中k h ,是任意常数.在通解中令1=h ,0=k , 得到齐次线性方程组的一个特解1(1,2,1,0,0)ξ'=-. 反之, 令0=h ,1=k , 得到另一个特解2(5,6,0,0,1)ξ'=-. 从而得到齐次线性方程组的通解的矩阵表示: 12x h k ξξ=+, 其中k h ,是任意常数. 为了得到方程组的通解, 只须求得特解1ξ与2ξ， 因此, 称12,ξξ为齐次线性方程组的基础解系.注意 将一个自由未知数取1, 其他自由未知数取0, 得到齐次线性方程组的一个特解. 这些特解的集合就是基础解系. 因此, 如果有s 个自由未知数, 则方程组的基础解系包含s 个特解.定理 3.5 设A 是n m ⨯矩阵, 则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中所包含的特解的个数等于)rank(A n -.证 根据推论 3.1, 系数矩阵A 的秩等于行等价标准形R 中非零行的个数, 也就是约束未知数的个数. 于是, 未知数的个数n 与系数矩阵的秩)rank(A 的差等于自由未知数的个数, 也就是基础解系中所包含的特解的个数.推论 3.2 齐次线性方程组只有零解的充分必要条件为: 系数矩阵的秩等于它的列数.证 根据定理 3.5, 此时没有自由未知数, 于是只有一个零解.推论3.3 设A 是n 阶方阵，求证：齐次线性方程组0=Ax 只有零解的充分必要条件为: 行列式0||≠A .证 根据推论3.2, 齐次线性方程组0=Ax 只有零解的充分必要条件为n A =)rank(. 由矩阵的秩的定义, n A =)rank(的充分必要条件为0||≠A .例 3.9 设A 是n 阶方阵, 且n r A <=)rank(, 求证: 存在n 阶方阵B , 满足O AB =, 且r n B -=)rank(.证 考虑齐次线性方程组0=Ax , 根据定理3.5, 它的r n -个特解12,,,n r ξξξ-组成基础解系. 即有0i A ξ=, r n i -=,,2,1 .构造分块n 阶方阵12(,,,,0,,0)n rB ξξξ-=, 即B 的前r n -列是基础解系中的特解构成的列矩阵, 后面的r 个列的元素都是0. 由基础解系的构造, 在B 的前r n -列中, 与自由未知数对应的行可以构成一个单位阵, 因此r n B -=)rank(.另一方面, 由分块矩阵的运算规则, 有12(,,,,0,,0)n r AB A ξξξ-=12(,,,,0,,0)n r A A A O ξξξ-==.习题3-31. 求下列齐次线性方程组的通解.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-03200231321321x x x x x x x x ; (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+--+=-+-+024242052420632543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x ; (3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++033450622032305432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ; （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-+--=-+-+=+-+-02252022303220254321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .2. 设齐次线性方程组的系数矩阵的列数大于行数, 求证: 该方程组有非零解.3. 当a 满足什么条件时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x ax x x x ax 只有零解?4. 求a 的值, 使得齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++004202321321321x x x x x x x x ax 有非零解. 并求其基础解系.5. 设0>n , 求证: n 次多项式至多有n 个两两不同的零点.第四节 非齐次线性方程组的通解解非齐次线性方程组b Ax =的基本问题是:(1) 对于给定的方程组, 判断是否有解;(2) 如果有解, 求出全部解(通解).定义 3.10 将非齐次线性方程组b Ax =中各方程的右边变成0, 得到的齐次线性方程组0=Ax 称为方程组b Ax =的导出组.性质3.4 设列矩阵1η与2η是线性方程组b Ax =的两个特解, 则它们的差21ηηξ-=是它的导出组0=Ax 的解.证 将21ηηξ-=代入导出组的左边, 得)(21ηηξ-=A A 021=-=-=b b A A ηη.推论 3.4 如果非齐次线性方程组有解, 则它的通解是它的一个特解与它的导出组的通解的和.证 首先, 设列矩阵η是方程组b Ax =的特解, 列矩阵ξ是其导出组0=Ax 的特解, 则有b b A A A =+=+=+0)(ηξηξ,即列矩阵ηξ+是方程组b Ax =的解.其次, 设列矩阵ζ是方程组b Ax =的任意的特解, 根据性质3.4, 列矩阵ηζξ-=是导出组0=Ax 的解. 移项, 得ξηζ+=, 即方程组b Ax =的任意的特解ζ可以表示为它的取定的特解η与导出组0=Ax 的解ξ的和.综合两方面, 即得本推论.注意 求非齐次线性方程组的通解, 只须求出它的一个特解, 以及它的导出组的通解. 而后面的问题已经解决.在齐次线性方程组的解题路线中, 用增广矩阵代替系数矩阵, 得非齐次线性方程组的解题路线. 现举例说明.例 3.10 求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=-+++-=-----=+++13334533237246225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解. 解 首先写出方程组的增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------13133453311237111112462210. 然后做行初等变换, 由增广矩阵产生行阶梯形阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------13133453311232462210711111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−→−0000000000002462210711111r . 继续做行初等变换, 得到增广矩阵的行等价标准形.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000000024622101751101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−00000000000024622101751101r . 从行等价标准形得到同解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+++-=---00002462217554325431x x x x x x x x . 将自由未知数移到右边, 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+---=-++=00002462217554325431x x x x x x x x . 将自由未知数取值0, 计算约束未知数的值, 即得非齐次方程组的一个特解)0,0,0,24,17('-=η.根据推论 3.3, 还需要求它的导出组的基础解系. 注意到: 如果删除增广矩阵的最后一列, 就是系数矩阵. 在做行初等变换之后, 如果删除增广矩阵的行等价标准形的最后一列, 也就是系数矩阵的行等价标准形. 于是, 如果将非齐次方程组的同解方程组的常数项变成0, 就是它的导出组的同解方程组. 用前面的方法, 得基础解系)0,0,1,2,1(1'-=ξ, )0,1,0,2,1(2'-=ξ,)1,0,0,6,5(2'-=ξ.于是, 非齐次线性方程组的通解的矩阵表示为332211ξξξηk k k x +++=, 其中321,,k k k 是任意常数.例 3.11 解非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=-+++-=-----=+++13334523237246225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .解 这个方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------13133453311237111112462210. 通过行初等变换, 得到行阶梯形阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0000001000002462210711111. 在这里, 有一个非零行的首元素在最后一列. 当从行阶梯形阵出发, 得同解方程组时, 该行对应矛盾方程: 10=. 因此, 同解方程组无解. 于是, 原线性方程组无解. 反之, 如果不出现这种情况, 则用前面的方法可以求出通解.于是, 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的首元素不出现在最后一列(常数项). 下面的定理用矩阵的秩表述这个结论.定理 3.6 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于它的增广矩阵的秩.证 在增广矩阵的行阶梯形阵中, 首元素不出项在最后一列的充分必要条件为: 增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数等于系数矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数. 由推论 3.1, 即系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.推论 3.5 非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于其列数, 且等于增广矩阵的秩.证 综合定理3.6和推论3.2即可.例 3.12 当b a ,取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x bx x a x x x x x x x x 有唯一解, 无解, 有无穷多解? 对后者求通解.解 对增广矩阵做行初等变换, 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----112323101221001111a b a⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−→−1321023101221001111a b a r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-−→−01000101001221001111a b a r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----−→−01000101001221011101a b a r 根据定理3.6, 当1,1-≠=b a 时无解.当1,1-==b a 时, 非齐次线性方程组的特解为)0,0,1,1('-=η, 导出组的基础解系为)0,1,2,1(1'-=ξ, )1,0,2,1(2'-=ξ，通解为2211ξξηk k x ++=, 其中21,k k 是任意常数.当1≠a 时有唯一解)0,1,32,2(11'+--+--=b b a a b a η. 例3.13 设A 是n 阶方阵, 且0||≠A . 将A 分块),(C B A =, 其中C 是A 的最后一列, 求证: 线性方程组C Bx =无解.证 线性方程组的增广矩阵就是A , 由0||≠A , 增广矩阵的秩等于n . 而线性方程组的系数矩阵B 只有1-n 列, 它的秩不大于1-n . 根据定理3.6, 线性方程组C Bx =无解.推论 3.6 设A 是n 阶方阵, 则线性方程组b Ax =有唯一解的充分必要条件为: 行列式0||≠A .证 充分性. 设0||≠A , 则方阵A 的秩等于其列数n . 又方程组的增广矩阵),(b A 只有n 行, 于是, 由例3.5, 有≤=)rank(A n n b A ≤),rank(.根据推论3.5, 方程组有唯一解.必要性. 设方程组b Ax =有唯一解, 根据推论 3.5, 方阵A 的秩等于其列数n . 于是, 行列式0||≠A .条件0||≠A 保证方阵A 可逆. 用A 的逆阵左乘b Ax =, 得b A x 1-=. 这个公式是用逆阵表示线性方程组的唯一解. 从这个公式出发, 可以得到另一个公式. 根据定理2.1, 有 b A x 1-=b A A *||1=, 其中方阵*A 是A 的伴随阵. 计算这个矩阵等式的第j 行的元素, 得)(||12211n nj j j j b A b A b A A x +++= , n j ,,2,1 =. 根据定理 1.3, 等式右边的括号可以看作: 用常数矩阵b 代替系数行列式||A 的第j 列所得的行列式, 按照第j 列的展开式. 将这个行列式记作j D , 又将||A 改写作D , 则上式为D D x jj =, n j ,,2,1 =.这个公式是用行列式的商表示线性方程组的唯一解，称为克拉默法则.习题3-41. 设列矩阵i η(m i ,,,2,1 =)是非齐次线性方程组Ax b =的特解, 数i k (m i ,,,2,1 =)满足121=+++m k k k , 求证: 列矩阵1122m mk k k ηηη+++也是方程组Ax b =的特解.2. 求下列非齐次线性方程组的通解. (1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+--=-+337713434234313214321431x x x x x x x x x x x x x ; (2) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+-22344324314324321x x x x x x x x x x ; (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-=--=++0644352523222321321321321x x x x x x x x x x x x ; (4) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=++++----nx x x x x x x x x x x x n n n n n n 122113113221 , 其中1>n .3. 求证: 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+++=-++2543222432143214321x x x x x x x x x x x x 无解. 4. 求b的值, 使得线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+=++-b x x x x x x x x x x x x 432143214321114724212有解, 并求其通解.5. 当d c b a ,,,满足什么条件时, 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+d x x cx x b x x a x x 42314321有解? 并求其通解.6. 当b a ,取何值时, 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b ax x x x x x x x x 32132132132263132有唯一解, 无解, 有无穷多解? 对后者求其通解.*7. 设A 是n 阶方阵, b 是1⨯n 矩阵, 且分块方阵满足)rank(0rank A b b A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛', 求证: 非齐次线性方程组b Ax =有解.第五节 初等方阵与初等变换一 初等方阵定义3.11 对单位阵E 做行初等变换所得方阵称为初等方阵.三种行初等变换产生三种初等方阵:(1) 交换E 的第i 行与第j 行所得方阵记作ij P ;(2) 用非零常数k 乘以E 的第i 行所得方阵记作)(k D i ;(3) 将E 的第j 行的k 倍加到第i 行所得方阵记作)(k T ij .三种初等方阵是可逆阵, 且它们的逆阵也是初等方阵. 实际上, 有ij ij P P =-1, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-k D k D i i 1)(1, )()(1k T k T ij ij -=-.定理 3.7 对矩阵A 做一种行初等变换, 相当于左乘一个相应的初等方阵.注意 定理3.7在矩阵的相等与矩阵的行等价之间建立了联系, 从而可以用矩阵的运算性质研究矩阵的行等价. 下面将看到, 有时这是非常方便的.推论 3.7 任意矩阵A 可以表示成R E E E A s 21=, 其中i E 是初等方阵, R 是A 的行等价标准形.证 对A 做行初等变换, 可得其行等价标准形R . 这个过程相当于用一系列初等方阵i E 左乘矩阵A . 即有R A E E E s =12 . 由于初等方阵可逆, 用它们的逆阵逐个左乘此式, 得R E E E A s 11211---= . 因为初等方阵的逆阵还是初等方阵, 换符号即得推论中的表示.推论3.8 方阵A 可逆的充分必要条件为: 它可以表示成初等方阵的乘积.例3.14 设B A ,都是n m ⨯矩阵, 求证: A 与B 行等价的充分必要条件为存在m 阶可逆阵P , 使得B PA =.二 矩阵方程矩阵方程B AX =, 其中A 是n 阶可逆阵, B 是m n ⨯矩阵, 而X 是m n ⨯未知矩阵.已知A 是可逆阵, 用其逆阵左乘方程, 得矩阵方程的解B A X 1-=. 对于可逆阵A , 存在初等方阵i E , 使得E A E E E s =12 . 用同样的初等方阵左乘矩阵方程B AX =, 得EX AX E E E s =12 B E E E X s 12 ==这个等式说明, 对可逆阵A 与矩阵B 做相同的行初等变换, 当将A 变成单位阵时, 矩阵B 变成矩阵方程B AX =的解B A X 1-=.例3.15设方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111012112A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=521234311B , 解矩阵方程B AX =.解 做分块矩阵: 左边部分是A ,右边部分是B . 做行初等变换, 得()=B A |⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----521111234012311112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−311112234012521111r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−→−143100872230521111r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−1431003/1053/80103/813/2001r .于是，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-1433/1053/83/813/21B A X . 如果矩阵方程B AX =中的方阵A 可逆, 方阵B 是单位阵E , 则用这个方法得到的矩阵方程的解E A X 1-=1-=A 就是A 的逆阵. 由此得到计算逆阵的简单方法.例3.16 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A 的逆阵. 解 用初等变换法.()=E A |⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100523010012001101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−127200012210001101r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−2/112/71001150102/112/5001r于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-2/112/71152/112/51A . 如果X 与B 是列矩阵, 用这里的方法可以得到线性方程组B AX =的解B A X 1-=. 而且这种解法正是前面的消元法.性质 3.5 两个矩阵的乘积的秩不大于每个因子的秩.证 设A 是p m ⨯矩阵, B 是n p ⨯矩阵, r A =)rank(. 先证明r AB ≤)rank(.根据推论 3.7, 有R A E E E s =12 , 其中A 的行等价标准形R 恰有r 个非零行. 用矩阵B 右乘此式, 得RB AB E E E s =)(12 . 根据矩阵乘法定义, 矩阵RB 至多有r 个非零行. 根据定理3.4, 有)rank()rank()rank(A r RB AB =≤=.转置可证明另一部分.例3.17 设A 是可逆阵,则)rank()rank(B AB =.证1 记矩阵AB C =. 由性质 3.5, 有)rank()rank(B C ≤. 用逆阵1-A 左乘AB C =, 得C A B 1-=, 从而有)rank()rank(C B ≤.上面的证明主要体现了逆阵的一种应用, 并不是最简捷的证明.证2 已知A 是可逆阵，根据推论3.8, 有B E E E AB s 12 =. 再根据定理 3.4, 有)rank()rank(B AB =.三 初等变换与矩阵的行初等变换类似, 可以定义矩阵的列初等变换.定义3.12 设A 是矩阵, 称下面三种变换为对矩阵A 的列初等变换.(1) 交换A 的两列;(2) 用非零常数k 乘以A 的一列;(3) 将A 的一列的k 倍加到另一列上去,与行初等变换类似, 可以定义矩阵的列等价与列等价标准形.性质 3.6 列初等变换与列等价具有下述性质.(1) 列初等变换不改变矩阵的秩;(2) 对一个矩阵做列初等变换, 相当于用相应的初等方阵右乘这个矩阵;(3) 矩阵的列等价是等价关系;(4) 矩阵B 与A 列等价的充分必要条件为: 存在可逆阵Q , 使得B AQ =.与用行初等变换解矩阵方程B AX =类似, 可以用列初等变换解矩阵方程B XA =.例3.18设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=234311B , 解矩阵方程B XA =.解 做分块矩阵, 上边是A , 下边是B . 然后做列初等变换. 当将A 变成单位阵时, B变成矩阵方程的解1-=BA X . 如果用→表示列等价, 则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---234311111012112⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→423131*********⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→253321301011001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→3/253/8122100010001. 于是⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X . 例 3.19 设分块矩阵),(B A , 求证: )rank()rank(),rank(B A B A +≤.证 设矩阵B A ,的列等价标准形分别为S R ,,则R 与S 分别有)ra nk(A 与)rank(B 个非零列. 从而分块矩阵),(S R 有)rank()rank(B A +个非零列. 另一方面, 如果在矩阵),(B A 中分别对两个子块做列初等变换, 则可以得到分块矩阵),(S R . 于是, 有)rank()rank(),rank(),rank(B A S R B A +≤=.。
2.6线性方程组解的一般理论
x4
0
,
1
,
0
x5 0 0 1
2 2 6
1
1
5
1
1
,2
0
,3
0
0
1
0
0
0
1
一般解 c11 c22 c33
(c1, c2, c3为任意常数.)
8
三、非齐次线性方程组解的结构
x11 x22 xnn (I) 0 (II)
第二章 线性方程组 §2.6 线性方程组解的一般理论
一、线性方程组有解的判定定理 二、齐次线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构
1
一、线性方程组有解的判定定理
定理1 线性方程组 x11 x22 xnn (I) 有解
r( A) r( A) 推论1 线性方程组(I)无解 r(A) r( A) 推论2 线性方程组(I)有唯一解 r(A) r(A) n 推论3 线性方程组(I)有无穷多解 r(A) r(A) n
方程组的三个解向量 1,2 ,3满足
1
0
1
1 2 2, 2 3 1, 3 1 0
3
1
1
求 非 齐 次 线 性 方 程 组 一 的 般 解.
19
解 A是m 3矩阵, r(A) 1,
导出组的基础解系中有 含3 1 2个线性无关的解向量.
令1 2 a, 2 3 b, 3 1 c,则
其中k1 , k 2为任意实数.
21
A
2 1
3 0
1 2
1 2
3 6
0 0
0 0
1 0
1 0
1 0
5 0
0
0
4
5
3
第5章_线性方程组的解法
k 1
326
0
0
0
a(n) nn
bn(n
)
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
... ... ...
a(1) 1n
a(2) 2n ...
a(n) nn
x1
x2
... xn
bb12((12))
...
bn(n)
回代:
xn
b(n) n
/
a
(n nn
11
3种常用范数：
2-范数（长度）
n
1-范数
x ( 2
xi2 )1/2
i 1
∞-范数
n
x 1
xi
i 1
x
max
1 i n
xi
12
矩阵的范数： 对于给定的n阶方阵A，将比值 Ax / x 的上确界 称为矩阵A的范数
直接由定义知，对于任意向量x，有：|| A x ||≤|| A || || x || 基本性质：
det
a11
an1
a1i1
ani1
b1
bn
a1i1
a1n
ani1 ann
（1）计算n+1个n阶行列式. （计算一个n阶行列式就需要做(n-1)n!次乘法. 要计算n+1个n阶行列式,共 需做(n2-1)n!次乘法）. （2）做n次除法才能算出xi(i=1,… n). （3）用此法，需作乘除法的运算： N=(n2-1)n!+n 例如,当n=10(即求解一个含10个未知量的方程组), 次数共为32659210次； 当n＝100，1033次/秒的计算机要算10120年
a(1) 13
a(2) 23
第四章 线性方程组
§4.1 线性方程组解的判定这一节我们利用n 维向量和矩阵秩的概念来讨论线性方程组解的情况． 设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (1)的系数矩阵和增广矩阵分别为A 和A ，即 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211， A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211． 定理1 线性方程组（1）有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即r (A )=r (A )证：必要性如果方程组(1)有解，则β可由α1，α2，…，αn 线性表出，从而向量组α1，α2，…，αn ，β 可由α1，α2，…，αn 线性表出．又显然α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出， 于是 {α1，α2，…，αn }≅{α1，α2，…，αn ，β}． 所以 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}， 因此 r (A )=r (A )充分性 若 r (A )=r (A )，则有 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}，又向量组 α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出，于是由§4的定理4知{}n ααα,,,21 ≅{}βααα,,,,21n ，因此β可由n ααα,,,21 线性表出，这就表明线性方程组(1)有解．此定理与前面§1介绍的消元法所得的结果是一致的．用消元法解线性方程组就是用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵在适当调动前几列的顺序之后可能有两种情形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1222221111211r r rn rr n r n r d d c c d c c c d c c c c 或者⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 222221111211r rn rr n r n r d c c d c c c d c c c c其中c ii ≠0，i =1，2，…， r ，d r+1≠0．在前一种情形，我们说原方程组无解，而后一种情形方程组有解．实际上，把阶梯形矩阵中最后一列去掉，就是系数矩阵经过初等变换所变成的阶梯形矩阵．所以，当d r+1≠0时，r (A )≠r (A )，方程无解；当d r+1=0时，r (A )＝r (A )，方程组有解．定理2 当线性方程组有解时， (1) 若r (A )=r =n ，则方程组有唯一解． (2) 若r (A )=r<n ，则方程组有无穷多解．对于齐次线性方程组，由于它的系数矩阵A 与增广矩阵的秩总是相等的，所以齐次方程组总是有解的，至少有零解．那么，何时有非零解呢？将定理2用于齐次线性方程组立即可得到如下推论．推论1 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数矩阵的秩r (A )=r<n ． 推论2 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数行列式D =0思考题：当λ为何值时，下述齐次线性方程组有非零解？并且求出它的一般解．⎪⎩⎪⎨⎧=+++=--+-=---0)3(14202)8(023)2(321321321x x x x x x x x x λλλ§4.2-4.3 线性方程组解的结构上节解决了线性方程组的解的判定问题，接下来我们进一步讨论解的结构．已经知道，在方程组有解时，解的情况只有两种可能：有唯一解或有无穷多个解．唯一解的情况下，当然没有什么结构问题．在无穷多个解的情况下，需要讨论解与解的关系如何？是否可将全部的解由有限多个解表示出来，这就是所谓的解的结构问题．一. 齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1)我们要研究当(1)有非零解时，这些非零解之间有什么关系，如何求出全部解？为此，先讨论齐次线性方程组的解的性质．为了讨论的方便，将（1）的解n n k x k x k x ===,,,2211写成行向量的形式),,,(21n k k k性质1 如果α=(c 1，c 2，…，c n )，β= (d 1，d 2，…，d n )是方程组(1)的两个解，则α+β=( c 1+d 1， c 2+d 2，，…， c n +d n )也是(1)的解．证明：因为α=(c 1，c 2，…，c n )与β= ( d 1，d 2，…，d n )都是(1)的解，所以有下列两组等式成立，即a i 1c 1+a i 2c 2+…+a in c n =0 (i =1，2，…， m ) a i 1d 1+a i 2d 2+…+a in d n =0 (i =1，2，…， m )两式相加得：a i1(c1+d1)+a i2(c2+d2)+…+a in(c n+d n)=0(i=1，2，…，m)这表明(c1+d1)，(c2+d2)，…，(c n+d n)是(1)的一个解，即α+β是(1)的解．性质2若α是(1)的解，则kα=( kc1，kc2，…，kc n)也是(1)的解．(k是常数) 证明：因α=(c1，c2，…，c n) 是(1)的解，所以有a i1c1+a i2c2+…+a in c n=0 i=1，2，…，n，两边同乘以k得a i1(kc1)+ a i2(kc2)+…+ a in(kc n)=0这说明(kc1，kc2，…，kc n) 是(1)的解．性质3如果α1，α2，…，αn，都是(1)的解，则其线性组合k1α1+k2α2+…+k nαn，也是(1)的解，其中k1，k2，…，k n是任意数．由性质1、2立即可以推出性质3．由此可知，如果一个齐次线性方程组有非零解，则它就有无穷多个解，那么如何把这无穷多个解表示出来呢？也就是方程组的全部解能否通过它的有限个解的线性组合表示出来．如将它的每个解看成一个向量(也称解向量)，这无穷多个解就构成一个n维向量组．若能求出这个向量组的一个“极大无关组”，就能用它的线性组合来表示它的全部解．这个极大无关组在线性方程组的解的理论中，称为齐次线性方程组的基础解系．定义1如果齐次线性方程组(1)的有限个解η1，η2，…，ηt满足：(1) η1，η2，…，ηt线性无关；(2) 方程组(1)的任意一个解都可以由η1，η2，…，ηt线性表出．则称η1，η2，…，ηt是齐次线性方程组(1)的一个基础解系．问题是，任何一个齐次线性方程组是否都有基础解系？如果有的话，如何求出它的基础解系？基础解系中含有多少个解向量？定理1 如果齐次线性方程组(1)有非零解，则它一定有基础解系，并且基础解系含有n–r个解向量．其中n是未知量的个数，r是系数矩阵的秩．证明：因为齐次线性方程组(1)有非零解，所以r(A)=r<n，对方程组(1)的增广矩阵A施行初等行变换，可以化为如下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++000000000100001000011212111rn rr n r n r c c c c c c即方程组(1)与下面的方程组同解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=----=----=++++++++++++nrn r rr r rr r nn r r r r n n r r r r x c x c x c x x c x c x c x x c x c x c x 22112222112212211111 其中x r+1， x r+2，…， x n 为自由未知量 对n –r 个自由未知量分别取⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010 ，…，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100 ， 可得方程组(1)的n –r 个解．η1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 0 0 1- --11211 rr r r c c c ，η2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 0 1 0- --22221 rr r r c c c ，…，ηn –r =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 1 0 0- --21 rn n n c c c ， 现在来证明η1，η2，…，ηn –r 就是方程组(1)的一个基础解系． 首先证明η1，η2，…，ηn –r 线性无关． 以解向量η1，η2，…，ηn –r 为列构成矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------++++++1 0 0 0 1 0 0 0 1 212221212111 rn rr rr n r r n r r c c c c c c c c c ，有n –r 阶子式1 0 0 0 0 1 000 0 1 0 0 0 0 1 ＝1≠0，即r (η1，η2，…，ηn –r )=n –r ，所以η1，η2，…，ηn –r 线性无关．其次证明方程组(1)的任意一个解η=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k k k 21，是η1，η2，…，ηn –r 的线性组合．由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=----=----=++++++++++++nrn r rr r rr r nn r r r r n n r r r r k c k c k c k k c k c k c k k c k c k c k 22112222112212211111所以η=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n r r r k k k k k k 2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------++++++++++++++n r r n rn r rr r rr n n r r r r n n r r r r k k k k c k c k c k c k c k c k c k c k c 0 00 0 0 0 21221122221121221111=k r+1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+++0 0 1 11211 rr r r c c c +k r+2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+++0 1 1 11211 rr r r c c c +…+k n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1 0 0 21 rn n n c c c =k r+1η1+ k r+2η2+…+ k n ηn –r ．即η是η1，η2，…，ηn –r 的线性组合．这就说明了η1，η2，…，ηn –r 是方程组(1)的一个基础解系．因此，方程组(1)的全部解为 k 1η1+ k 2η2+…+ k n –r ηn –r ．定理的证明过程实际上给我们指出了求齐次线性方程组基础解系的具体方法．由于自由未知量x r +1，x r +2，…，x n 可以任意取值，故基础解系不是唯一的，但两个基础解系所含向量的个数都是n –r 个．可以证明：齐次线性方程组(1)的任意n –r 个线性无关的解向量均可以构成它的一个基础解系．性质1 非齐次线性方程组(2)的任意两个解的差是它的导出组(1)的一个解． 证： 设α=(c 1，c 2，…，c n )，β= ( d 1，d 2，…，d n )为方程组(2)的两个解，分别代入(2)得a i 1c 1+a i 2c 2+…+a in c n =b i (i =1，2，…， m ) a i 1d 1+a i 2d 2+…+a in d n =b i (i =1，2，…， m )两式相减得：a i 1(c 1–d 1)+a i 2(c 2–d 2)+…+a in (c n –d n )=0 (i =1，2，…， m )这表明 (c 1–d 1)，(c 2–d 2)，…，(c n –d n )是(1)的一个解，即α–β是(1)的解．性质２ 非齐次线性方程组(2)的一个解与它的导出组(1)的一个解的和是非齐次线性方程组(2)的一个解．证明方法与性质1的证明方法相同． 由性质1、性质２可得定理2 设γ0是非齐次线性方程组(2)的一个解，η是导出组(1)的全部解，则γ=γ0+η是非齐次线性方程组的全部解．证明：由非齐次线性方程组解的性质２可知，γ=γ0+η 是方程组(2)的解． 下面证明方程组(2)的任意一个解γ＊都可以表示成γ0+η0，其中η0是齐次线性方程组(1)的某一个解．因为γ＊、γ0都是非齐次线性方程组(2)的解，由非齐次线性方程组的解的性质1可知γ＊–γ0是导出组(1)的解．令η0=γ＊–γ0则η0是齐次线性方程组(1)的某一个解，且,00*ηγγ+=因η是齐次线性方程组（1）的全部解，所以非齐次线性方程组(2)的任意一个解都包含在γ=γ0+η中，这就证明了γ=γ0+η是非齐次线性方程组(2)的全部解．由此定理可知，如果非齐次线性方程组有解，则只需求出它的一个解(特解)γ0，并求出其导出组的基础解系η1， η2，，…， ηn –r ，则非齐次线性方程组的全部解可表示为η0=γ0＋k 1η1+ k 2η2+…+ k n –r ηn –r其中k 1，k 2，…，k n –r 为任意数．如果非齐次线性方程组的导出组仅有零解，则该非齐次线性方程组只有唯一解，如果其导出组有无穷多解，则它也有无穷多解． 思考题：已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----023*********02100121的各行向量都是齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=++++=-+++=++++033450622032305432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的解向量，问这４个行向量能否构成基础解系？假如不能，这４个行向量是多了还是少了，假如多了，如何去掉？假如少了又如何补充？。
线性方程组
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②矩阵消元法.将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵，则以行简化阶梯形矩阵为 增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量， 其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。
关于未知量是一次的方程组，其一般形式为
⑴
式中x1，x2，…，xn代表未知量，αij(1≤i≤m,1≤j≤n)称为方程⑴的系数，bi(1≤i≤m）称为常数项。 系数和常数项都是任意的复数或某一个域的元素。
克莱姆法则（见行列式）给出了一类特殊线性方程组解的公式。
解法
①克莱姆法则.用克莱姆法则求解方程组有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的 行列式要不等于零。用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组 的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用 于理论证明，很少用于具体求解。
线性方程组有广泛应用，熟知的线性规划问题即讨论对解有一定约束条件的线性方程组问题。
定义
xj表未知量，aij称系数，bi称常数项。
称为系数矩阵和增广矩阵。若x1=c1，x2=c2，…，xn=cn代入所给方程各式均成立，则称（c1，c2，…，cn） 为一个解。若c1，c2，…，cn不全为0，则称（c1，c2，…，cn）为非零解。若常数项均为0，则称为齐次线性方 程组，它总有零解（0，0，…，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。 线性方程组主要讨论的问题是：
①一个方程组何时有解。
②有解方程组解的个数。
《线性代数》 线性方程组
A 2
5
3
③+①(-3) 0
1
1
3 8
0 1 6
③+②(-1)
1
0
3 1
2
1
0 0 5
对于齐次线性方程组，要使其有非零解，
则要求： 秩r(A)n 3
故 5 ＝ ， 0 ， ＝ 5 时 当 即 r A 2 ， 3
此时方程组有非零解。 这时系数矩阵变为：
1 3 2
如果常数项 b1,b2,,bm不全为0，则 称为：非齐次线性方程组。
5、方程组的解：
方程组的解是满足方程组的未知量的
一组取值： x 1 c 1 ,x 2 c 2 , ,x n c n .
也可记c1为 ,c2,： ,cn） （
例如：
显然，
5x1 x2 2x3 0 2x1 x2 x3 0 9x1 2x2 5x3 0
经济数学基础
《线性代数》
第三章 线性方程组
本章重点：
•线性方程组的解的判定和求法
本章难点：
•解的判定定理
一、线性方程组的有关概念
1、n元线性方程组为：
a11x1 a12x2 a1nxn b1,
a21x1 a12x2 a1nxn b2,
am1x1 am2x2 amnxn bm.
ai： j 第 i个方,第 程 j个未知 xj的量 系数；
1 1 0 x1 1
1
0
2x2
2
0 3 4 x3 3
由线性方程组可惟一确定增广矩阵；反之 由增广矩阵，也可以惟一确定线性方程组。
【例2】已知方程组的增广矩阵如下，试写出
它的线性方程组
1 1 0 1
A 1 0 2 2
【解】：x1x2 1
3线性方程组
3 线性方程组3.1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式)3.1.1 基本概念1、方程组1111221n 12112222n 2m11m22mn mx x b x x bx x b a a a a a a a a a +++=⎧⎪+++=⎪*⎨⎪⎪+++=⎩称为含n 个未知量m 个方程的线性方程组，i)倘若12m b ,b ,....,b 不全为零，则该线性方程组称为非齐次线性方程组； ii)若12m b =b ==b 0=，则该线性方程组就是齐次线性方程组，这时，我们也把该方程组称为1111221n 12112222n 2m11m22mn mx x x x x x a a a a a a a a a +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩c c c 的导出组，（其中12m c ,c ,...c 不全为零）2、记11111221n m x b x b ,x ,b x b n m mn a a A a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 则线性方程组（*）又可以表示为矩阵形式 x bA =**3、又若记 1j 2j j mj ,j 1,2,n a a a α⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则上述方程游客一写成向量形式 1122n n x x x b.ααα+++=***。
同时，为了方便，我们记(,b)A A =，称为线性方程组（*）的增广矩阵。
3.1.2 线性方程组解的判断1、齐次线性方程组x 0A =，（n=线性方程组中未知量的个数 对于齐次线性方程组，它是一定有解的（至少零就是它的解）， i)那么，当r n A =秩()=时，有唯一零解；ii)当r n A =秩()<时，又非零解，且线性无关解向量的个数为n-r. 2、非齐次线性方程组x b A =()<() ()=()=n, ()=()()=()<n,n ().()>() A A A A A A A A A A A ⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩秩秩无解；秩秩有唯一解，秩秩秩秩有无穷多解，且基础解系个数为 -秩秩秩不可能3.1.3 线性方程组的解空间 1、齐次线性方程组的解空间（作为线性方程组的一个特殊情形，在根据其次线性方程与非齐次线性方程组解的关系，我们这里首先讨论齐次线性方程组的解空间） 定理：对于数域K 上的n 元齐次线性方程组的解空间W 的维数为 A dim(W)=n-秩()=n-r ，其中A 是方程组的系数矩阵。
线性方程组知识点
线性方程组知识点线性方程组是数学中重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将讨论线性方程组的定义、解的存在唯一性、解的表示形式及相关概念。
同时，还将介绍解线性方程组的常见方法。
一、线性方程组的定义线性方程组是由多个线性方程组成的方程集合。
一般地，一个线性方程组可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为已知系数，b₁, b₂, ..., bₙ为常数项。
二、解的存在唯一性线性方程组的解要求每个方程都被满足。
当线性方程组的未知数个数大于方程个数（即方程组行数小于列数）时，可能存在无穷多组解；当未知数个数小于方程个数（即方程组行数大于列数）时，可能无解。
对于未知数个数等于方程个数的情况，即方程组的系数矩阵的秩等于方程组的行数，解的存在唯一。
此时，方程组的解可以通过高斯消元法或克拉默法则来求解。
三、解的表示形式线性方程组的解可以分为唯一解、无穷解和无解三种情况。
1. 唯一解：在方程组的解是唯一的情况下，解的表示形式可以写为一个向量，其中向量的每个分量对应一个未知数的值。
2. 无穷解：在方程组的解不唯一但存在无穷个解的情况下，解的表示形式可以写为一个参数形式的向量，其中向量的每个分量都包含了一个参数，通过参数的取值可以得到方程组的不同解。
3. 无解：在方程组的解不存在的情况下，方程组被称为矛盾方程组。
四、解线性方程组的常见方法解线性方程组的常见方法包括高斯消元法、克拉默法则和矩阵法。
1. 高斯消元法：将线性方程组表示为增广矩阵，通过初等行变换将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵，进而求解出方程组的解。
2. 克拉默法则：通过计算方程组的系数矩阵的行列式及其部分行列式，从而求解出每个未知数的值。
第四章 线性方程组 一、主要内容
性线性方程组 A' AX = A' B 必有解．
5．证明：方程 Bn×s X = b 有解的充分必要条件是从 B'Y = 0 一定能推出 b'Y = 0 ．
6．设齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0, a21 x1 + a22 x2 + L + a2n xn = 0, LLLLLLLLLL LL an1 x1 + an2 x2 + L + ann xn = 0
二、训练题 一、填空题
1．线性方程组 AX = b 无解，且 r( A) = 3, 则 r( AMb) = ____ .
⎧
2．若方程组
⎪ ⎨
x1 + 2x2 − x3 = λ − 1 3x2 − x3 = λ − 2
⎪⎩λx2 − x3 = λ2 − 6λ + 10
有无穷多解，则 λ = ____ .
秩为（ ）。
二、判断说明题
1．齐次线性方程组 ⎪⎨⎧λxx11
+ x2 + λ2 x3 = 0 + λx2 + x3 = 0 的系数矩阵为
A，若存在三阶矩阵 B
≠
0. 使
⎪ ⎩
x1 + x2
+ λx3
=0
得 AB = 0, 则 λ = 1, 且 B = 0.
2．非齐次线性方程组 AX = b 有解，若其解不唯一，则必有无穷多个解．
多组解;
(3) 若 r( A) ≠ r( A) , 则该方程组无解. 2、齐次线性方程组解的结构
定理 4.5-2 设有齐次线性方程组
线性代数 线性方程组
变换 3: 第i 个方程 乘以 r 0
…… … … … … …
ai1 x1+ai2 x2+… +ain xn = bi …… … … … … …
aj1 x1+aj2 x2+…+ajn xn = bj …… … … … … …
第 i 个方程乘以 r−1 即返回
…… … … … … …
rai1 x1+rai2 x2+… +rain xn = rbi …… … … … … …
同解。
行阶梯形
y z =3
0=0
x = 2+z
y = 3+z
1 0 1 2
0 1 1 3 0000
行最简形
x z = 2 y z = 3
0=0
2. 行最简形矩阵:
• 首先是行阶梯形矩阵； • 其次首元所在的列除了这个首1 外其余元素都是0.
利用行最简形增广矩阵直接就可以写出解.
增广矩阵
初等行变换
行阶梯形
得到一个与原方程组有相同解集的新方程组, 它更容 易判别是否有解并方便求解. 这一过程称为等价变换 或同解变换.
消元法：
• 消元
• 回代
例5
2x y z 3
求解
x y
2
解
x y z 6
xy 2
①
②
2x y z 3
x y z 6
xy 2
y z 1 ③ +②×(- 2)
2 y z 4
② +①×(- 2) ③ +①×(- 1)
严格三角形方程组
xy 2
Байду номын сангаас
y z 1
第三章线性方程组
行初等变换及列初等变换（但最后常数列不能交换）可化
方 为矩阵：
程
组
高 等
1 0
0
1
代 数
C
0 0
0 0
0 0
0 0
0 c1r 1 0 c2r1
1 crr1 00 00
00
c1n d1
c2n
d2
ctn d r
0
d
r
1
0 0
0 0
几何上的向量是n维向量的特殊情况，虽然n维向量当n>4
线 时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含
性 通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同
方 程
的性质。本课程常常用小写希腊字母α,β,γ,…表示向量。有了 向量，一个方程 a i1 x 1 a i2 x 2 a in x n b i就可以用一个n+1
2 x1 x2 4 x1 2 x2
3 x3 5 x3
1 4
等 2 x1 x2 4 x3 1
代 2
数 解：
A
4 2
1 2 1
3 5 4
1 41
2 0
0
1 0 0
3 1 1
1
2
2
0
2
0
1 0 0
0 1 0
7
2
0
原方程组与方程组
3
2
x1 x2 x3 2
7
组
高 元向量来表示：ai1,ai2, ,ain,bi
等 向量的相等：如果两个n维向量 a 1 ,a 2 , ,a n , b 1 ,b 2 , ,b n
第三章线性方程组
第三章线性方程组主要内容、结构、体系线性方程组理论是线性代数最基本的内容之一.它不仅是中学里一次方程组讨论的最一般的推广，而且称得上是整个线性代数的一个缩影.学好本章对于学好以后各章起着关键性的作用.对于一般线性方程组，其主要理论问题有：1．有没有解？有解的条件是什么？2．有解时，解的个数是多少？如何求出解？3．解不止一个时，解之间有没有联系？围绕这些问题，本章主要有四部分内容.第一部分内容是§1介绍的消元法，它是中学里“加减消元法”的一般化，是解具体线性方程组的一个最基本和最有效的方法.第二部分内容是介绍讨论一般线性方程组所用的主要工具：n 维向量与矩阵的秩（§2－§4）.首先，§2把向量概念推广到n 维向量，并介绍了它的简单性质.§3详细而深入地讨论了n维向量的线性相关性.这些内容，在本章虽然只是以讨论线性方程组的工具的面目出现的，但其本身极端重要，在线性代数中将随时用到它们.它是本章的重点之一，也是一个难点.在§2，§3讨论的基础上，§4给出矩阵的概念及计算秩的方法.第三部分内容全面回答了线性方程组的理论问题（§5－§6）. §5利用矩阵的秩给出了有解的充要条件及解的个数的结论，同时介绍了基于克兰姆法则的又一个求解方法.§6则研究了线性方程组解的性质与结构.这部分内容是本章的中心内容.第四部分内容（§7）是介绍线性方程组理论的一个应用——给出二元高次方程组的一个一般解法，这对于指导中学数学教学有一定的作用.知识点分类（必会、掌握、了解）理解n维向量组的线性相关性、向量组和矩阵的秩、基础解系等概念及性质，掌握线性方程组有解判别定理，会求齐次线性方程组的基础解系及一般线性方程组的所有解.难点疑点重点是向量组的线性相关性、线性方程组有解判别定理和解的结构，难点是向量组的极大线性无关组和方程组解的结构.主要方法利用定义讨论向量组的线性相关性，两个向量组的等价和向量组极大线性无关组与秩. 利用初等行变换求矩阵的秩.运用线性方程组有解判别定理判别方程组是否有解.求齐次线性方程组的基础解系，齐次线性方程组解的结构和一般线性方程组解的结构.例1．求矩阵24131A=121023636a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的秩.解：用初等行变换将A 化为阶梯阵12102A 003350000a 4-⎛⎫ ⎪→→- ⎪ ⎪+⎝⎭所以当4a =-时，()2R A =， 当4a ≠-时，()3R A =.例2． 判断向量α能否由向量组123,,ααα线性表出，若能，写出它的一个线性组合．其中(2,1,3,4)α=-，123(1,2,3,1),(5,5,12,11),(1,3,6,3)ααα=-=-=-. 解：设112233k k k αααα=++，即有方程组123123123123522531312631134k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪--=-⎪⎨-+-=⎪⎪++=⎩ （1） 对方程组（1）的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵2133113315121512102531031101312630000000011134000000A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪=−−→−−→⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以方程组（1）有解．（1）的一般解为21133312331k k k k =+⎧⎨=-+⎩ 令31k =，得（1）的一个解（1,0，1），从而有13ααα=+．例3．已知向量组1(1,4,1,2)α=，2(2,1,3,1)α=--，3(1,5,4,1)α=---，4(3,6,7,0)α=--，（1）试求这个向量组的秩和一个极大线性无关组；（2）写出每个向量用（1）中求出的极大线性无关组线性表出的表达式.解：以1234,,,αααα为列向量作矩阵，并对矩阵进行初等行变换.1213415613472110A ⎛⎫⎪---⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭121309918055100336⎛⎫ ⎪---⎪→ ⎪--- ⎪---⎝⎭1213011200000000⎛⎫⎪⎪→ ⎪⎪⎝⎭1011011200000000B --⎛⎫ ⎪ ⎪→= ⎪ ⎪⎝⎭由于初等行变换不改变列向量组的线性关系，也不改变矩阵的秩，由B 看出，秩（B ）＝秩（A ）＝2.B 的前两列是B 的列向量组的一个极大线性无关组.（1）向量组1234,,,αααα的秩为2，且12,αα为这个向量组的一个极大线性无关组（极大线性无关组也可取13,αα或14,αα或23,αα或24,αα或34,αα）.（2）由矩阵B 易得线性表达式111αα=⋅，221αα=⋅，312ααα=-+，4122ααα=-+.例4．求齐次线性方程组1234123412340253207730x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩ 的一个基础解系． 解：对齐次线性方程组的系数矩阵A 进行初等行变换：2310771111540754017700000000A ⎛⎫-- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪⎪→→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭……则原方程组的解为： 13423423775477x x x x x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中43,x x 为自由未知量）令341,x x ==0，得1(27,37,1,0)η=；令340,x x ==1，得2(57,47,0,1)η=．从而原方程的基础解系为：12,ηη，原方程组的一般解为：112212,k k k k R ηη+∈,．例5．求解方程组1224122412240312312x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=-⎩. 解：1222132310.51111011110110112111310024100121211231200121200000r r r r r r r r r A -⋅-+-+------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→-→- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭可见()()R A R A -=，所以原方程组有解，并有1243412212x x x x x =++⎧⎨=+⎩，（其中42,x x 为自由未知量） 取240x x ==，则 1312x x ==，即得原方程组的一个特解0(12,0,12,0)γ=．下面求导出组的基础解系：导出组与 124342x x x x x =+⎧⎨=⎩ 同解．取241,x x ==0，得1(1,1,0,0)η=； 取240,x x ==1，得2(1,0,2,1)η=．于是原方程组的通解为： 0112212,()k k k k R γγηη=++∈、．例6．问λ取何值时，齐次线性方程组1231213(5)2202(6)02(4)0x x x x x x x λλλ-++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩有非零解?解: 522260(5)(2)(8)24D λλλλλλ-=-=----当2,5,8λ=时，0D =，所以由Cramer 法则得方程组有非零解．例7．设线性方程组1234124124232314262x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=-⎩()*，(1)试求()*的两个特解；(2)用()*的导出组的基础解系与()*的特解表出()*的全部解. 解 (1)对()*的增广矩阵A 进行初等行变换，111232103142062A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪---⎝⎭111230127500000-⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪⎝⎭ 101520127500000--⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭由此，得()*的一般解13423452275x x x x x x =-+-⎧⎨=-+⎩（其中34,x x 为自由未知量）.令340,0x x ==，得一个解为0(2,5,0,0)γ=-， 令341,0x x ==，得一个解为1(3,7,1,0)γ=-.(2) 为求()*的导出组的基础解系，只要把上面得到的A 的最简阶梯阵的最后一列划去，得矩阵101501270000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭这就是()*的导出组的系数矩阵经初等行变换而得的最简阶梯阵，从而可得导出组的一般解：134234527x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩（其中34,x x 为自由未知量）.令341,0x x ==，得一个解为1(1,2,1,0)η=-， 令340,1x x ==，得一个解为2(5,7,0,1)η=-，12,ηη即为导出组的基础解系.故()*的全部解为 01122k k γηη++（其中12,k k 为任意常数）.例8．如果向量β可由向量组12,,,r ααα线性表出，证明：表示法唯一的充要条件是12,,,r ααα线性无关.证明：必要性由题设知1122r r k k k βααα=+++ ①用反证法. 设12,,,r ααα线性相关，那么存在一组不全为零的数12,,,r l l l ，使 11220r r l l l ααα+++= ②将①与②相加，得111222()()()r r r k l k l k l βααα=++++++由于12,,,r l l l 不全为零，这样就得到了β的两种不同的表示法，这与题设矛盾，所以12,,,r ααα线性无关.充分性设β有两种表示方法：1122r r k k k βααα=+++ 1122r r l l l βααα=+++ 将两式相减，得111222()()()0r r r k l k l k l ααα-+-++-=由于12,,,r ααα线性无关， 所以11220r r k l k l k l -=-==-=此即1122,,,r r k l k l k l ===，唯一性得证.例9．设向量β可由向量组12,,,s ααα线性表出，但不能由121,,,s ααα-线性表出，证明：（1）s α不能由121,,,s ααα-线性表出；（2）s α能由121,,,,s αααβ-线性表出.证明：（1）反设s α能由121,,,s ααα-线性表出：112211s s s k k k αααα--=+++ ①由题设向量β可由向量组12,,,s ααα线性表出，设为112211s s s s l l l l βαααα--=++++ ②将①代入②，得111222111()()()s s s s s s l l k l l k l l k βααα---=++++++这与β不能由121,,,s ααα-线性表出的题设矛盾， 故得s α不能由121,,,s ααα-线性表出.（2）由于题设β不能由121,,,s ααα-线性表出，故上面的②式中0s l ≠，从而1121211s s s s s ssl l l l l l l αβααα--=----这就是说，s α能由121,,,,s αααβ-线性表出.经典例题分析例10．解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解：方程组的系数行列式111112141420231531211D -==-≠---，15111221414223151211D --==-----2284D =-，3426D =-，4142D =所以由Cramer 法则得方程组有唯一解（1，2，3，－1）.例11． ,a b 取什么值时，线性方程组1234512345234512345132322635433x x x x x x x x x x ax x x x x x x x x b++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩有解？当有解时，求一般解.解 对方程组的增广矩阵A 进行初等行变换，化为最简阶梯阵1111113211301226354331a A b ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭111111012263012263012265a b ⎛⎫ ⎪----- ⎪→⎪ ⎪-----⎝⎭11111100000012263000002a b ⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭1011520122630000002a b ----⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪⎪-⎝⎭由此可见，当且仅当0a =且2b =时，原方程组有解.这时原方程组与方程组13452345522263x x x x x x x x ---=-⎧⎨+++=⎩同解.其一般解为13452345522263x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩（其中345,,x x x 为自由未知量）.例12． 对λ的不同取值，讨论线性方程组21233212343123(1)2(1)2(1)2x x x x x x x x x λλλλλλλλλ⎧+++=+⎪+++=+⎨⎪+++=+⎩的解的情况. 解法一23111(2)111(2)111(2)A λλλλλλλλλ⎛++⎫⎪=++ ⎪⎪++⎝⎭223333(1)(2)111(2)111(2)λλλλλλλλλλλλλ⎛⎫++++++ ⎪→++ ⎪ ⎪++⎝⎭(1)当30λ+=即3λ=-时，00021121911227A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭则 ()()R A R A >，从而原方程组无解.(2) 当30λ+≠时，223(1)(2)1113111(2)111(2)A λλλλλλλλλλλ⎛⎫+++ ⎪+ ⎪⎪→++ ⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭22(1)(2)3111(21)(2)00300(21)(2)3λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+++ ⎪+ ⎪⎪-+→ ⎪+ ⎪⎪--+ ⎪+⎝⎭(i)当0λ=时，原方程组与1230x x x ++=同解.此时，一般解为123x x x =--（23,x x 为自由未知量），一个基础解系为1(1,1,0)η=-，2(1,0,1)η=-.(ii) 当0λ≠时，22(1)(2)3111(21)(2)0103001(21)(2)3A λλλλλλλλλλλλ⎛⎫+++ ⎪+ ⎪ ⎪-+→ ⎪+ ⎪ ⎪--+ ⎪+⎝⎭22(2)(2)3100(21)(2)0103001(21)(2)3λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪+ ⎪⎪-+→ ⎪+ ⎪⎪--+ ⎪+⎝⎭结论：(1) 当3λ=-时，原方程组无解.(2) 当0λ=时，原方程组有无穷多解，其一般解为123x x x =--（23,x x 为自由未知量），一个基础解系为1(1,1,0)η=-，2(1,0,1)η=-.(3) 当30λ+≠且0λ≠时，原方程组有唯一解，21(2)(2)3x λλλ-+=+，2(21)(2)3x λλλ-+=+，23(21)(2)3x λλλλ--+=+.解法二原方程组的系数矩阵行列式为2111111(3)111A λλλλλ+=+=++(1) 当3λ=-时，原方程组为12312312323(1)29(2)227(3)x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩，由(1)(2)(3)++得：021=，所以原方程组无解.(2) 当0λ=时，原方程组为123123123000x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，所以原方程组为齐次线性方程组，其一般解为123x x x =--（23,x x 为自由未知量），一个基础解系为1(1,1,0)η=-，2(1,0,1)η=-.(3) 当30λ+≠且0λ≠时，0A ≠，所以原方程组有唯一解，21(2)(2)3x λλλ-+=+，2(21)(2)3x λλλ-+=+，23(21)(2)3x λλλλ--+=+.例13． 证明线性方程组121232111n n n n nx x a x xa x x a x x a ---=⎧⎪-=⎪⎪⎨⎪-=⎪-=⎪⎩()*有解10ni i a =⇔=∑.证法一 对线性方程组的系数矩阵A 和增广矩阵A 进行初等行变换，得110000011000000110000011100001A -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭1100000110000001100000110000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭所以 ()1R A n =-122111000001100000011000001110001n n n a a A a a a --⎛⎫-⎪- ⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭1221111000001100000011000001100n n ni i a a a a a --=⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭∑ 所以线性方程组()*有解()()R A R A ⇔=()1R A n ⇔=-10n i i a =⇔=∑. 证法二：必要性设线性方程组()*有解为012(,,,)n X c c c =，则121232111n n n n nc c a c ca c c a c c a ---=⎧⎪-=⎪⎪⎨⎪-=⎪-=⎪⎩有1223111()()()()0nin n n i ac c c c c c c c -==-+-++-+-=∑.充分性如果10ni i a ==∑，则可取11c =，则1n n c a =+，111n n n c a a --=++，，221n c a a =+++，1111ni i c a ==+=∑，即线性方程组()*有解为12(,,,)n c c c .例14． 设A 为(1)n n ⨯+矩阵，()R A n =，i M 是在A 中划去第i 列所得的子式.证明：齐次线性方程组0AX =的解为{}1231(,,,,(1))n n c M MM M c P +--∈.证明：因为()R A n =，所以0AX =的每一个基础解系仅有(1)1n n +-=个非零解，从而0AX =的任一个非零解都构成0AX =的一个基础解系.下面我们证明1231(,,,,(1))n n M M M M +--是0AX =的一个非零解.令 (1)(1)0n n A B +⨯+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11121121222(1)1(1)21(1)(1)(1)n n n n n n n B B M B B M B B B M +*++++⎛⎫- ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭， 所以 1121(1)(1)0(1)n n n n n M M A M +++⎛⎫- ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，所以 121(1)0(1)n n M M A M +⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪-⎝⎭， 故1231(,,,,(1))n n M M M M +--是0AX =的一个解. 因为()R A n =，故至少有一个0i M ≠，故1231(,,,,(1))n n M M M M +--是0AX =的一个非零解.例15．证明线性方程组,(0)m n n m A X B B ⨯=≠有解当且仅当齐次方程组'0m A X =的每一个解1(,,)m c c 有110m m b c b c ++=，其中1m m b B b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.证明： 必要性 设AX B =有解1(,,)n a a ，则1n a A B a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，设1(,,)m c c 是'0A X =的任一解，则1111(,,)(,,)mi i m m i n a c b c c B c c A a =⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑111'00m n n c a a A c a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.充分性考察齐次方程组'0m A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭()**因为'0m A X =的每一个解1(,,)m c c 满足110m m b c b c ++=， 所以()**式与'0m A X =同解，从而 ''()()(|)A R R A R A R AB B ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故线性方程组m n n m A X B ⨯=有解.例16． 设向量组12,,,m ααα ①线性无关，向量1β可由向量组①线性表出，向量2β不能由向量组①线性表出.证明：1212,,,,m l αααββ+线性无关，其中l 是任意数.证明：设有数12,,,,m k k k k 使112212()0m m k k k k l αααββ+++++= ②则必0k =.事实上，若0k ≠，则由上式，2β可由121,,,,m αααβ线性表出，而1β又可由向量组12,,,m ααα线性表出，由此，2β可由向量组12,,,m ααα线性表出，与题设矛盾，故0k =成立.由0k =，②式即为11220m m k k k ααα+++=由于向量组12,,,m ααα 线性无关，所以120m k k k ====，这样得到②式只有12,,,,m k k k k 全为零才成立，这就证明了1212,,,,m l αααββ+线性无关.练习题（基本题，提高题，考研题） 基本题1．使向量组(,0,1)a α=，(0,,2)a β=，(10,3,)a γ=线性无关的a 的值是 .2．设()m n A M P ⨯∈，AX B =，()()R A R A r ==，则当 时AX B =有唯一解，当 时AX B =有无穷多解.3．1,,r αα是某齐次线性方程组的基础解系，1,,r ββ是一组向量，当且仅当 与 等价时，1,,r ββ也是该齐次线性方程组的基础解系.4．n 维向量组1,,s αα线性无关的充要条件是（ ）使10si i i k α==∑.A ．存在不全为零的数1,,s k k ；B ．存在全不为零的数1,,s k k ；C ．不存在全不为零的数1,,s k k ；D ．当且仅当120s k k k ====.5．当（ ）时n 维向量组1,,r αα线性相关. A ．r n <； B ．r n >； C ．r n =； D ．r n ≥. 6．若()R A r =，则（ ）. A ．A 的r 阶子式不全为零；B ．A 的1r +阶子式（如有的话）全为零；C ．A 只有一个不为零的r 阶子式；D ．A 的列向量组的秩为r .7．已知向量(0,1,0,1,0)β=，1(1,1,1,1,1)α=，2(1,2,1,3,1)α=，3(1,1,0,1,0)α=，4(2,2,0,0,0)α=.（1）试求β用1234,,,αααα线性表出的表达式；（2）判断β能否有两种方法用1234,,,αααα线性表出，并叙述理由.8．已知1(1,0,2,0)α=，2(0,1,1,2)α=-，3(1,2,4,4)α=-，4(2,1,4,2)α=-，5(2,1,6,2)α=-.（1）试求这个向量组的一个极大线性无关组与秩； （2）写出每个向量用极大线性无关组线性表出的表达式.9．计算下列矩阵的秩.（1）12001062410111341611971434⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭ （2）14025130324129541713-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭（3）141268261042191776341353015205⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（4）1010110001100101⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭10．证明：若123,,ααα线性相关，而234,,ααα线性无关，则 （1）1α可由23,αα线性表出； （2）4α不能由123,,ααα线性表出.11．设向量组12,,,n ααα线性无关，证明：当且仅当n 是奇数时，向量组：122311,,,,n n n αααααααα-++++也线性无关.12．设有1s +个向量：1,,,s ααβ，且12(1)s s βααα=+++>，证明：（1）若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s βαβαβα---也线性无关； （2）若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s βαβαβα---也线性相关.13．设向量组12,,,m ααα线性相关，且它们都不是零向量，证明：其中至少有两个向量，这两个向量的每一个都可由其余向量线性表出.14．证明：向量组12,,,r ααα线性无关的充要条件是存在向量β可由12,,,r ααα线性表出，但β不能由其中的()s s r <个向量线性表出.15．设向量组12,,,s ααα线性无关，而12,,,,,s αααβγ线性相关.证明：若12,,,,s αααβ与向量组12,,,,s αααγ不等价，则β与γ中有且仅有一个向量可由12,,,s ααα线性表出.提高题1． 设k 1111k 11A 11k 1111k ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且()3R A =，则k=2．设()n A M P ∈，()R A n =，令r n r B A B -⎛⎫=⎪⎝⎭，求0r B X =的一个基础解系.3．设矩阵m n A P ⨯∈，m p B P ⨯∈，证明矩阵方程AX B =有解当且仅当()(|)R A R A B =.4．设齐次线性方程组0m n n A X ⨯=有非零解，证明存在1(,,)n B b b =使得AX B =无解.5．设有向量组12,,,s ααα，其中10α≠，且每个(2)i i s α≤≤都 不能被121,,,i ααα-线性表出，证明：12,,,s ααα线性无关.6．设有两个向量组：12,,,(2)m m ααα≥；①111222111,,,m m m m m m k k k βααβααβαα---=+=+=+. ② 证明：（1）若向量组①线性无关，则②也线性无关；（2）若0m α≠，且对任意的121,,,m k k k -，向量组②都线性无关，则12,,,m ααα也线性无关.7．设12,,,n ααα是一组n 维向量，证明：12,,,n ααα线性无关的充要条件是任一n 维向量都可被它们线性表出.8．设12,,,r ααα是r 个互不相同的数，r n <，证明：向量组21111121222221(1,,,,),(1,,,,),(1,,,,)n n n r r r r a a a a a a a a a ααα---=== 线性无关.9．设12,,,n ααα是n 个互不相同的数，令21111121222221(1,,,,),(1,,,,),(1,,,,).n n n n n n n a a a a a a a a a ααα---===证明: 任一n 维向量β都可由12,,,n ααα线性表出，且表法唯一.10．已知向量组12,,,s ααα线性无关，11111221221122221122s s s s s s s ss s a a a a a a a a a βαααβαααβααα=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ ①证明：12,,,s βββ线性无关的充要条件是1112121222120s s s s ss a a a a a a A a a a =≠.11．设0γ是线性方程组1(1,2,,)nij j i j a x b i s ===∑①的一个解，12,,,t ηηη是①的导出方程组的一个基础解系.令1102200,,,t t γηγγηγγηγ=+=+=+.证明：①的任一解γ，都可表成0011t t u u u γγγγ=+++，其中011t u u u +++=.考研题1．设方程组Ⅰ)0(≠=b b AX 的导出组为Ⅱ，(1)下列命题正确的一个是 ．)(a Ⅰ有惟一解⇒Ⅱ仅有零解．)(b Ⅰ有解⇔Ⅱ有解．)(c Ⅰ有非零解⇒Ⅱ有无穷多解．)(d Ⅱ有非零解⇔Ⅰ有无穷多解．(2) 设0γ是Ⅰ的一个解，t ηηη,,,21 是Ⅱ的一个基础解系，则下列命题错误的一个是 ．)(a t ηγηγηγγ---020100,,,, 是Ⅰ的一组线性无关的解． )(b Ⅰ的每个解都可以表成t t ηηηγ,,2,,210 的线性组合．)(c t ηηηγ++++ 2102是Ⅰ的一个解．)(d Ⅰ的所有解都可以表成t ηγηγηγγ+++020100,,,, 的线性组合．2．当n b b b b a ,,,,,21 取何值(或满足何种关系式)时，n 元线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b X a a b a a bb a a 21 有解？有多少解？3．设12,,,s ααα是s 个线性无关的n 维向量，证明：存在含n个未知量的齐次线性方程组，使12,,,s ααα是它的一个基础解系.4．设1(1,2,,)nij j i j a x b i s ===∑ ①是非齐次的线性方程组（即至少有一个0i b ≠），且系数阵A 的秩为r.证明：若①有解，则它有1n r -+个线性无关的解向量，使①的每个解向量都可由这1n r -+个解向量线性表出.5．证明：若齐次线性方程组1111221112200n n n n nn n a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪⎨⎪+++=⎩ （*）的系数矩阵A 的秩为n-1，且系数行列式|A|的某个元素kl a 的代数余子式0kl A ≠，则12(,,,,,)k k kl kn A A A A 是这个齐次线性方程组的一个基础解系.6．设有线性方程组（Ⅰ）11112211211222221122,,;n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （Ⅱ）11112211211222221122,,;n n n n n n nn n n A x A x A x c A x A x A x c A x A x A x c +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 其中ij A 为系数行列式||ij D a =中元素ij a 的代数余子式.证明：方程组（Ⅰ）有唯一解的充要条件是（Ⅱ）有唯一解.7．证明：含有n 个未知量n+1个方程的线性方程组1122,1,2,,1i i in n i a x a x a x b i n +++==+.如果有解，那么行列式111211121112110n n n nn n n n n n n a a a b D a a a b a a a b ++++==.8．证明：如果方程组1(1,2,,)nij j i j a x b i n ===∑的系数矩阵A 与矩阵1112111212n n n nn n n a a a b C a a a b b b b k ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（k 为任意数）的秩相等，则这个方程组有解.。
线性方程组(ch2.1.2)
a2n
xn
b2
(2.1)
am1x1 am2 x2 amn xn bm
当常数项不全为零时,称为非齐次线性方程组;
当常数项全等于零时,称为齐次线性方程组.
a11 a12
设
A
a21
a22
am1 am2
2020/2/14
令 x2 c1, x3 c2 ,则 方 程 组 通 解 为
x1 1 c1 c2 ,
x2
c1,
x3 c2.
( c1, c2 为任意常数)
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14
例7 有解? 有解时求出全部解.
解
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15
继续进行行初等变换
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时，必有r A n, 这时齐次线性方程组一定有非零解.
•当齐次线性方程组中未知量的个数等于方程个数 m n
时，方程组有非零解充分必要条件是 A 0.
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8
x1 2x2 x3 x4 0,
例5.解齐次线性方程组 3x1 6x2 x3 3x4 0,
D=0.
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4
四、线性方程组有解的判定定理
定理2.3 n元线性方程组（2.1）有解的充分 必要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相 等,即
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5
关于非齐次线性方程组 AX B的结论
•方程组无解充分必要条件是 •方程组有惟一解的充分必要条件是 • 方程组有无穷多个解的充分必要条件是
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§4
例
线性方程组的解
x1 x2 ０ 求解线性方程组 x1 2x2 ０
１ １ １ １ A B1 , １ ２ ０ １
解
R( A) 2, x1 ０ 方程组只有零解 . x2 ０
由于参数可任取，故方程组有无穷多个解。
§4
线性方程组的解
求解非齐次线性方程组的步骤: 对于非齐次线性方程组,把它的增广矩阵B = (A,b ) 化成行阶梯形,从B 的行阶梯形可同时看出R(A )和R(B) . (1)若 R(A) < R(B) ,则方程组无解.
例
x1 x2 2 求解线性方程组 . 2 x1 2 x2 5
§4
线性方程组的解
主要内容：
一、线性方程组解的判定定理 二、求解线性方程组的步骤 三、线性方程组的相关定理
§4
线性方程组的解
定义:设有n个未知数m个方程的线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 (1) am1 x1 am 2 x2 amn xn bn ,
x1 c 方程组有非零解，令x1 c , . x2 c
§4
线性方程组的解
定理5: 线性方程组Ax = b有解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b ). 定理6: n元线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是 R(A) < n.
定理7: 矩阵方程AX = B有解的充分必要条件是 R(A ) = R(A,B ) .
可以写成以向量为未知元的向量方程 Ax = b, 如果方程组有解,称方程组(1)是相容的, 如果方程组无解,称方程组(1)不相容.
§4
线性方程组的解
定理4: n元线性方程组Ax = b (1)无解的充分必要条件是 R(A ) < R(A,b ) ; (2)有唯一解的充分必要条件是R(A) = R(A,b ) = n ;
§4
2． R
线性方程组的解
1 ，则上述行最简形矩阵为 n 1 1 d1 d2 dn
1 1． ，上述矩阵的第 r+1行对应矛盾方程，故方程组无解。 R A R A, b ，则 dr 1
A R A, b
对应的方程组是 ， 即表示方程组有唯一解。
1 1 2 1 1 2 B ( A, b) , 2 2 5 0 0 1
解
R( A) 1, R( B ) 2, R( A) R( B ), 所以方程组无解。
§4
线性方程组的解
对于非齐次线性方程组,增广矩阵B= (A,b ), (2)若R(A) = R(B),则进一步把B化成行最简形. ※ R(A ) = R(B) = n,非齐次线性方程组有唯一解.
解
1 1 1 B 1 1 1 1 1 1
2 2 1
r1 r3 0 0 1 1
0 r1 r3 0 3 0 r2 r3 1 1 2 r1 r2 1 1 3 0 r1 r3 0 0
令 xr 1 c1,, xn cnr ，则解得方程组含 n r 个参数的解：
x1 b11c1 xr br1c1 c1 x r 1 x n b1, n r cn r d1 br , n r cn r d r cn r
§4
线性方程组的解
对于齐次线性方程组
(2)若R(A)< n, 则方程组有非零解.
§4
例
线性方程组的解
x1 x2 0 求解线性方程组 2x1 2x2 0
解
１ １ １ １ A B1 , 2 2 0 0
x1 x2 0 R( A) １<2, B1所对应的方程组为 00
§4
解பைடு நூலகம்
线性方程组的解
2 x1 2x2 4
例 求解线性方程组 x1 x2 2
1 1 2 １ 1 2 B ( A, b) B1 , 2 2 4 ０ 0 0
x1 x2 2 R( A) R( B) 1<2, B1所对应的方程组为 ， 00
并令自由未知数分别等于c1 ,c2 ,∙ ∙ ∙, c n- r ,由B (或 A)的行最简
形,即可写出含n- r个参数的通解.
§4
线性方程组的解
求解齐次线性方程组的步骤:
对于齐次线性方程组,
它的增广矩阵B= (A,0 )与系数矩阵A 的秩相等,
即R(A)=R(B) .则把系数矩阵A化成行最简形.
(3) R(A) = R(B) = r <n,非齐次线性方程组有无限多个解.
x1 2 c 令x2 c , 方程组有无穷多解 . x2 c
§4
线性方程组的解
对于非齐次线性方程组,增广矩阵B= (A,b ),
(3) R(A) = R(B) = r <n,非齐次线性方程组有无限多个解. 设R(A) = R(B) = r <n,把行最简形中r个非零行的非零首元所 对应的未知数取作非自由未知数,其余n- r个未知数取作自由 未知数,
(3)有无穷多解的充分必要条件是R(A) = R(A,b ) < n .
§4
线性方程组的解
证明：(充分性） 设R A r ，为讨论方便，不妨设增广矩阵经若干次初等行变换变成
如下行最简形矩阵
1 0 r 0 B A, b ~ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 b11 b21 br1 0 0 0 b1, n r b2, n r br ,n r 0 0 0 d1 d2 dr d r 1 0 0
§4
线性方程组的解
定理8: 设AB =C,则R(C) ≤min{R(A),R (B)}.
定理9: 矩阵方程A m×n X n×l = O只有零解的充分必要条件 是 R(A) = n .
§4
线性方程组的解
(1 ) x1 x2 x3 0, 例 求解线性方程组 x1 (1 ) x2 x3 3, x x (1 ) x , 2 3 1 问 取何值时，此方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解？
x1 b11 xr br1 c1 x 1 即 r 1 1 x n
b1,n r d1 br ,n r d r cn r 0 0 0 1
x1 d1 x d 2 2 xn d n
3． R A R A, b n ，则 dr 1 0 ，对应的方程组可表示为
x1 b11 xr 1 x b x 2 21 r 1 xr br1 xr 1 b1, n r xn d1 b2, n r xn d 2 br ,n r xn d r
( ３ ) 3, R( A) R( B) 2, 方程组有无限多个解。
1 1 2 3 1 0 1 1 r B 0 3 3 6 0 1 1 2 , 0 0 0 0 0 0 0 0
r
x1 1 1 x x 1, 3 由此的通解 1 ( x3 )即 x2 c 1 2 ,(c R ). x2 x3 2, 1 0 x 3
1
3
1 3 (3 ) (1 )(3 )
§4
线性方程组的解
(1) 0, 3, R( A) R( B ) 3, 方程组有唯一解；
(2) 0, R( A) 1, R( B ) 2, 方程组无解；
§4
总结
线性方程组的解
齐次线性方程组Ax =0 (1)若R(A)= n, 则方程组只有零解. (2)若R(A)< n, 则方程组有非零解. 非齐次线性方程组Ax = b (1)若 R(A) < R(B) ,则方程组无解.
(2)R(A ) = R(B) = n,非齐次线性方程组有唯一解.