第06讲 恒定电流的场(1)

第6讲恒定电流的场（1）电流就是电荷运动形成的电荷流，不随时间变化的电流称为恒定电流。

要在导体中维持恒定电流，其内部必须有恒定的电场，同时恒定电流又要在其周围空间激发磁场。

恒定电流的电场和磁场都不随时间变化，它们彼此独立，互不影响，因此可以分别加以研究。

本章先介绍描述导体中恒定电流与恒定电场的基本物理量和基本定律，再讨论恒定电场的基本方程和边界条件。

然后从安培定律和毕奥-沙伐定律出发，研究磁场中的基本物理量，总结出恒定磁场的基本方程和边界条件，最后介绍电感的计算和磁场能量。

本节内容1，恒定电流2，恒定电场3，磁场§3.1 恒定电流与恒定电场一、电流密度在导体中取一截面S ，若在时间t ∆内流过该截面的总电荷为q ∆，则通过该截面的电流强度定义为：dt qd t qI t =∆∆=→∆0lim （安培）（A ） 电流强度通常简称为电流。

线电流：在电路分析中总认为电流沿着一根横向尺寸可忽略的导线流动，这种电流称为线电流．．．。

对于线电流用电流强度来描述就足够了。

体电流：但当导体的横向尺寸不能忽略时，应该认为电流分布在整个导体的截面上，这种电流称为体电流．．．；面电流：如果电流在一个厚度可忽略的导体曲面上流动，则称之为面．电流．．。

对于体电流和面电流，电流强度不能确切地描述电流在导体中的分布情况，故引入电流密度。

设)(r n 表示导体中r 处正电荷运动的方向，取垂直与)(r n 的小面积元S∆，通过S ∆的电流为I ∆，则定义：()()r n r J SI S ∆∆=→∆0lim为r 处的体电流密度。

流过截面S 的电流就是J 对S 的通量，即：⎰⋅=SSd J I如果所取的面积元的法线方向 与电流方向不平行, 而成任意角θ, 如图b 所示, 则通过该面积的电流是nˆθcos Jds ds J dI =⋅=所以通过导体中任意截面S 的电流强度与电流密度矢量的关系是⎰⎰⋅=⋅=SSds nJ ds J I ˆ对于面电流，以()r n表示曲面上r处正电荷的运动方向，取一与()r n 垂直的线元l ∆，通过l ∆的电流为I ∆，则定义：()()r n l I r J l S∆∆=→∆0lim （A/m ）为r处的面电流密度。

O二、欧姆定律与焦耳定律的微分形式由实验已知, 当导体温度不变时, 通过一段导体的电流强度和导体两端的电压成正比, 这就是欧姆定律式中R 称为导体的电阻, 单位为Ω, 表示式为上式中, l 为导体长度; S 为导体横截面; σ称为导体的电导率, 它由导体的材料决定, 单位为1/Ω·m=S/m 。

RIU =SlR σ=SdlR lσ⎰=几种材料在常温下的电阻率和电导率欧姆定律的微分形式描述导体中的电流密度与电场强度之间的关系。

所以J =σE 。

在各向同性媒质中, 电流密度矢量J 和电场强度E 方向一致, 都是正电荷运动方向, 故有SJ Sl lE RUI ∆=∆∆∆=∆=∆σEJ σ=一般通有电流I 的导体, 若其两端的电压为U , 则单位时间内电场对电荷所作之功, 即功率是图中, 微小圆柱体的体积元为ΔV=ΔS Δl , 它的热损耗功率是)(2W R I VI P ==VEJ S lJ E I U P ∆=∆∆=∆∆=∆当ΔV →0, 取ΔP /ΔV 的极限就是导体中任一点的热功率密度, 它是单位时间内电流在导体任一点的单位体积中所产生的热量, 单位是W/m ３。

表示式是dUdSJE p EEJ VP p V ⋅===∆∆=→∆2limσ则单位体积内的损耗功率为JE dVdP P ⋅==0 （3/m W ³）——焦耳定律的微分形式考虑到各向同性导体中，有EJσ=，故：20EP σ=电动势如图所示，首先将外接的导电媒质移去，讨论开路情况下外源内部的作用过程。

在外源中非静电力作用下，正电荷不断地移向正极板 P （A ） ，负电荷不断地移向负极板 N(B)。

极板上的电荷在外源中形成电场 E ，其方向由正极板指向负极板，而且随着极板上电荷的增加不断增强。

显然，由极板上电荷产生的电场力阻止正电荷继续向正极板移动，同时也阻止负电荷继续向负极板移动，一直到极板电荷产生的电场力等于外源中的非电力时，外源的电荷运动方才停止，极板上的电荷也就保持恒定。

若外源的极板之间接上导电媒质，正极板上的正电荷通过导电媒质移向负极板；负极板上的负电荷通过导电媒质移向正极板。

因而导致极板上电荷减少，使得外源中由极板电荷形成的电场 E 小于外电场，外电场又使外源中的正负电荷再次移动，外源不断地向正极板补充新的正电荷，向负极板补充新的负电荷。

外电场由负极板 N 到正极板 P 的线积分称为外源的电动势，以e 表示，即达到动态平衡时，在外源内部 电场相等，方向相反 ，所以上式又可写为产生的恒定电场与静止电荷产生的静电场一样，也是一种保守场。

因此，它沿任一闭合回路的线积分应为零，即lE d ⋅'=⎰PNe lE d ⋅-=⎰PNe ⎰=⋅ld l E⎰⋅=ABdl E 'ε⎰⎰⋅+=⋅=lABdl E E dl E )'('ε三、恒定电场的基本方程在导体中任取一闭合曲面S ，由电荷守恒定律，流出S 的电流应等于S 中电荷的减少率，即：dVdtdq S d J S-=⋅⎰——积分形式的电流连续性方程即⎰⎰-=⋅VSdVdtd S d J ρ因积分对空间坐标进行，求导对时间进行，可交换顺序：⎰⎰∂∂-=⋅V SdVt S d J ρ由奥氏公式：⎰⎰∂∂-=⋅∇V VdVtdV J ρ即 ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅∇V dV t J 0ρ 因为V 是任意的，所以：=∂∂+⋅∇tJ ρ这就是微分形式的电流连续性方程。

对于恒定电流，导体中任何地方均不能有随时间变化的电荷分布，即0=dtdq ，=∂∂tρ故，电流连续性方程变为：=⋅⎰SS d J其微分形式为：0=⋅∇J上式表明，恒定电流场是无源场，J线必是闭合曲线。

此外，由于载有恒定电流的导体上电荷不随时间变化，因而恒定电场必与静电场具有相同的特性，是保守场，所以：=⋅⎰ll d E或 0=⨯∇E恒定电场这个特性只在电源外的导体中满足。

在电源内部, 不仅有电荷产生的电场, 还有其它局外电场, 因此不满足守恒定理。

综上所述，恒定电场的基本方程是：积分形式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⋅=⋅⎰⎰E J l d E S d J l Sσ0微分形式 ⎪⎩⎪⎨⎧==⨯∇=⋅∇EJ E Jσ0由式0=⨯∇E 可知，恒定电场E可用一标量函数的梯度表示，即：ϕ-∇=Eϕ——恒定电场的电位在均匀各向同性媒质中，E Jσ= σ——常数由0=⋅∇J可得电位ϕ的方程为：02=∇ϕ四、恒定电场的边界条件根据前述内容，用完全与静电场边界条件类似的方法，可得出恒定电场的边界条件：t t nn E E J J 2121==而电位的边界条件是nn∂∂=∂∂=221121ϕσϕσφφ由n n n n E E J J 221121σσ=→=∴ tn tn E E E E 222111σσ= （或222111σσt n t nJ J J J =）2211θσθσtg tg =即 2121σσθθ=tg tg此式表明分界面上电流线和电力线发生曲折。

当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和电场强度要发生突变。

故分界面上必有电荷分布。

如两种金属媒质(通常认为金属的介电常数为ε0)的分界面上, 根据D 1n -D 2n =ρs , 则得式中ρs 是分界面上自由电荷面密度。

可得可见, 只要σ1≠σ2, 分界面上必定有一层自由电荷密度。

如果导电媒质不均匀, 即使在同一媒质中也会有体电荷的积聚。

21ερs n n E E =-n s E 12101⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=σσερ由上式看出： 1º若12σσ>>，除902=θ外，在其它情况下，均有01≈θ。

如媒质1为土壤（2110-=σS/m ），媒质2为钢（62105⨯=σS/m ），当0595892'''= θ时，81''=θ。

此结果说明在良导体与不良导体的分界面上不良导体一侧，J （或E）近似垂直于良导体表面。

2º若01=σ（介质），02≠σ（导体），则012==n n J J ，tt a J J22=，t t a E E22=，由于ttE E 21=，故1E不与导体表面垂直。

在导体与介质的分界面上，电场强度与导体表面不垂直。

恒定电场在工程实际中也有广泛的应用，比如研究介质的绝缘效果或接地器的接地电阻，就要用到恒定电场原理。

[例] 同轴电缆内导体半径为a，外半径为b，填充非理想介质，介电常数ε，电导率σ，求单位长漏电导。

abr解：设单位长漏电流为I ，则半径为r 的圆柱面上任一点处：ra rI J π2=则ra rIJ E πσσ2==∴a b I dr rI r d E U babaln 22πσπσ==⋅=⎰⎰∴ 单位长漏电导为：ab UI G ln2πσ==[例] 半球形接地器的接地电阻。

解：为便于计算假设电流是均匀的，在大地中距球心r 处的电流密度为：ra rI J 22π=故ra ra IJE 22πσ==则a I dr ra I r d E U aaπσπ222==⋅=⎰⎰∞∞∴ 接地电阻aIU R πσ21==故a 越大，接地效果越好。

恒定电流场与静电场的比拟两极板间的电场线间距为d,线半径为a ，周围介电常数为ε，电导率为σ：⎰⎰⋅⋅==21dl E dS E Uq C S ε⎰⎰⋅⋅==21dl E dS E U I G Sσaa d C -=ln πεa a d G -=ln πσ例 设直径为2mm 的导线, 每100 m 长的电阻为1 Ω, 当导线中通过电流20 A 时, 试求导线中的电场强度。

如果导线中除有上述电流通过外, 导线表面还均匀分布着面电荷密度为)(105212mCs -⨯=ρ 的电荷, 导线周围的介质为空气, 试求导线表面上的场强大小和方向。

解 (1) 在导体内部只存在tE , 如图所示。

(2) 因为在导体表面存在恒定电荷, 所以产生的场强是 导体表面上总的场强为电场强度与导体表面的夹角为mV l IR E IR l E dl E t t lt /2.0100120=⨯====⋅⎰565.01085.8105121200=⨯⨯===--ερεs n n D E 565.022=+=n t E E E ︒==5.19ntE E arctg a例设有一同心金属球, 内外球体之间均匀充满二层电导率分别为σ1和σ2的导电媒质, σ1、σ2远小于金属球的电导率。

σ1≈σ2, 为常数。