2012年高考数学考前模拟卷(二)及略解
2012届高三全国高考模拟卷二(数学试题)
2012届高三全国高考模拟卷二数 学考查范围：集合、逻辑、函数与导数第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）[2011·辽宁卷] 已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝，则M∪N＝( )A．M B．N C．I D．∅2.[2011·课标全国卷]下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|3．[2011·皖南八校二模] “a =－1”是“函数只有一个零点”的（ ）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．非充分必要条件4．[2011·皖南八校二模]已知集合则等于 （ ）A．{0，1，2，3，4} B.C．{-2，-1，0，1， 2，3，4} D．{2，3，4}（文）函数的图象如右图所示，则的图象可能是（ ）6．[2011·皖南八校二模]已知函数是上的偶函数，若对于，都有且当时，的值为（ ）A．-2 B．-1 C．2 D．17．[2011·浙江卷] 若a，b为实数，则“0<ab<1”是“a<或b>”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．（理）[2011·课标全国卷]由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )A. B．4 C. D．6（文）函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为，如果函数在区间上的图象如图所示，且，那么（ ）A．是的极大值点B．=是的极小值点C．不是极值点D．是极值点9．[2011·济南二模]设偶函数对任意，都有，且当时，,则=A.10B.C.D.10．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为A. y＝[] B．y＝[] C．y＝[] D．y＝[]11．[2011·天津卷]已知则A． B．C． D．12．[2011·浙江卷] 设a，b，c为实数，f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)，g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)．记集合S＝{x|f(x)＝0，x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是( )A．|S|＝1且|T|＝0 B．|S|＝1且|T|＝1C．|S|＝2且|T|＝2 D．|S|＝2且|T|＝3第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在答题卷相应位置上）13．[2011·上海卷]若全集U =，集合，则∁U A= .14．设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是 ．15．[2011·陕西卷] 设f(x)＝若f(f (1))＝1，则a＝________.16．[2011·四川卷]函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（本小题满分12分）已知集合,,.（1）求（∁;（2）若,求的取值范围.18．（本小题满分12分）已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断函数的单调性;（3）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．．（本小题满分12分）[2011·福建卷] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．20.（本小题满分12分）已知命题:和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立;命题q:不等式有解.若命题p是真命题且命题q是假命题，求实数a的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数f（x）的定义域为{x| x ≠ kπ，k ∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x y）= 成立，且f（a）= 1（a为正常数），当时，．（1）判断奇偶性；（2）证明为周期函数；（3）求在上的最小值和最大值．22．（本小题满分14分）（理）[2011·课标全国卷] 已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.(1)求a，b的值；(2)如果当x＞0，且x≠1时，f(x)＞＋，求k的取值范围．（文） [2011·辽宁东北育才学校六模]已知二次函数对都满足且，设函数（，）．（1）求的表达式；（2）若，使成立，求实数的取值范围；（3）设，，求证：对于，恒有.2012届高三全国高考模拟卷二参考答案（数 学）1. 【答案】A【解析】N∩∁I M＝⇒N⊆M，所以M∪N＝M，故选A.2.【答案】B【解析】A选项中，函数y＝x3是奇函数；B选项中，y＝＋1是偶函数，且在上是增函数；C选项中，y＝－x2＋1是偶函数，但在上是减函数；D选项中，y＝2－|x|＝|x|是偶函数，但在上是减函数．故选B.3.【答案】B【解析】.4.【答案】A【解析】∵5.（理）【答案】D【解析】 结合函数图象可得不等式的解集为.（文）【答案】D【解析】原函数为增函数则导函数大于0，原函数为减函数则导函数小于0，故选D.6.【答案】D【解析】7.【答案】A【解析】当a>0，b>0时，由0<ab<1两边同除b可得a<成立；当a<0，b<0时，两边同除以a可得b>成立，∴“0<ab<1”是“a<或b>”的充分条件．反过来，若ab<0，由a<或b>得不到0<ab<1.所以阴影部分的面积S＝.（文）【答案】B 【解析】，且时，，且时，，故是的极小值点，选B.9. 【答案】B【解析】由知该函数为周期函数，所以10.【答案】B【解析】当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时,当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时，故综上知，必有,故选.由图象可得m>l>n，又∵y＝5x为单调递增函数，∴.12. 【答案】D【解析】当a＝b＝c＝0时，＝1且|T|＝0；当a≠0，c≠0且b2－4c<0时，＝1且|T|＝1；当a≠0，c≠0且b2－4c＝0时，|S|＝2且|T|＝2；当a≠0，c≠0且b2－4c>0时，＝3且|T|＝3.13. 【答案】14.【答案】．【解析】显然，由于函数对是增函数，则当时，不恒成立，因此．当时，函数在是减函数，因此当时，取得最大值，于是恒成立等价于的最大值，即，解不等式组得．于是实数的取值范围是．15. 【答案】1【解析】由f(x)＝得f(1)＝lg1＝0，f[f(1)]＝f(0)＝a3＝1，∴a＝1.16. 【答案】②③ 【解析】本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理解．对于①，如－2，2∈A且f(－2)＝f(2)，所以①错误；对于②③，根据单函数的定义，函数即为一一映射确定的函数关系，所以当函数自变量不相等时，则函数值不相等，即②③正确；对于④，函数f(x)在某区间上具有单调性，则函数只能是在该区间上为一一映射确定的函数关系，而不能说f(x)一定是单函数，所以④错误．17．解：（1）；∁,（∁. ;(2)若, a＞3.18. 解：（1）因为是奇函数，所以=0，即（2）由（1）知，设，则.因为函数y=2在R上是增函数且， ∴>0.又>0 ，∴>0，即，∴在上为减函数.（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，因为为减函数，由上式推得．即对一切有，从而判别式19. 解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.从而f′(x)＝10＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．20. 解：∵，是方程的两个实根， ∴∴，∴当时，，由不等式对任意实数恒成立，可得，∴或，∴命题为真命题时或；命题：不等式有解，①当时，显然有解；②当时，有解；③当时，∵有解，∴，∴，从而命题q：不等式有解时.又命题q是假命题，∴.，故命题p是真命题且命题q是假命题时，的取值范围为.21. 解：（1）∵定义域{x| x ≠ kπ，k∈Z }关于原点对称，又f（ x） = f [（a x） a]= = = = = = f （x），对于定义域内的每个x值都成立，∴ f（x）为奇函数.（2）易证：f（x + 4a） = f（x），周期为4a．（3）f（2a）= f（a + a）= f [a （ a）]= = = 0，f（3a）= f（2a + a）= f [2a （ a）]= = = 1．先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减，为此，必须证明x∈（2a，3a）时，f（x）< 0，设2a < x < 3a，则0 <x 2a < a，∴ f（x 2a）= = > 0，∴ f（x）< 0，设2a < x1 < x2 < 3a，则0 < x2x1< a，∴ f（x1）< 0 ， f（x2）< 0 ， f（x2x1）> 0，∴ f（x1） f（x2）=> 0，∴ f（x1）> f（x2），∴ f（x）在[2a，3a]上单调递减，∴ f（x）在[2a，3a]上的最大值为f（2a） = 0，最小值为f（3a）= 1.22．（理）解： (1)f′(x)＝－，由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，故即解得a＝1，b＝1.(2)由(1)知f(x)＝＋，所以f(x)－＝.考虑函数h(x)＝2ln x＋(x>0)，则h′(x)＝.①设k≤0，由h′(x)＝知，当x≠1时，h′(x)＜0，而h(1)＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)＞0，可得h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，可得h(x)＞0.从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－＞0，即f (x )＞＋.②设0＜k ＜1，由于当x ∈时，(k －1)(x 2＋1)＋2x ＞0，故h ′(x )>0，而h (1)＝0，故当x ∈时，h (x )>0，可得h (x )<0.与题设矛盾．③设k ≥1，此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得h (x )＜0，与题设矛盾．综合得，k 的取值范围为(－∞，0]．（文）解：（1）设，于是，所以又，则．所以. （2）当m>0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R；当m=0时，对，恒成立；当m<0时，由，这时，综上，使成立，实数m的取值范围．（3）由题知因为对，所以在内单调递减.于是记，则所以函数在是单调增函数，所以，故命题成立.。
江苏南京市2012届高三第二次模拟考试试题及详解答案
南京市2012年届高三第二次模拟考试数学试卷解析 2012.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．已知集合{}R x x x x A ∈≤-=,02|2，}{a x x B ≥=|，若B B A = ，则实数a 的取值范围是 。
解析：B B A = 可知道B A ⊆，又]2,0[=A 所以实数a 的取值范围是]0,(-∞ 11.已知i b ii a -=+3，其中R b a ∈,，i 为虚数单位，则=+b a 。
解析：将等式两边都乘i ，得到bi i a +=+13，两边比较得结果为412.某单位从4名应聘者A 、B 、C 、D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A ，B 两人中至少有1人被录用的概率是 。
解析：从题目来看，所有的可能性共有6种，但A ，B 都没被录取的情况只有一种，即满足条件的有5种，所以结果为654、某日用品按行业质量标准分成王五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布如下1=X 的件数为 。
解析：由所有频率之和为1，可知道a =0.1，由频率公式可知道所求件数为20。
5、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+212y y x y x ，则目标函数y x z +-=2的取值范围是解析：画出可行域，可以知道目标函数的取值范围是[－4，2]6、已知双曲线1222=-y ax的一条渐近线方程为02=-y x ，则该双曲线的离心率=e解析：焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是0=±ay bx ，与题是所给比较得5.1,2===c b a ，所以结果为527、已知圆C 的经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点，又经过抛物线x y 82=的焦点，则圆C 的方程为 。
解析：先求直线得022=+-y x 与坐标轴的交点为)2,0(),0,1(B A -，抛物线x y 82=的焦点为)0,2(D ，可把圆C 的方程设为一般形式，把点坐标代入求得x 2＋y 2－x －y －2＝0法2。
2012年高考数学模拟试卷及参考答案2
2012年高考模拟试题本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数121,2z i z bi =+=+，若12z z 为纯虚数，则实数b = A ．2- B ．2 C ．1- D ． 1 2. 设，a b 都是非零向量，若函数()()()f x x x =+- a b a b (x ∈R )是偶函数，则必有 A ．⊥a bB ．a ∥bC ．||||=a bD ．||||≠a b3. 3a =是直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4.设函数()f x ={}{}(),()A x y f x B y y f x ====则右图中阴影部分表示的集合为A ．[0,3]B ．(0,3)C ．(5,0][3,4)-D ．[5,0)(3,4]- 5. 把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个 单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．4π=x6. 已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且a α⊥，b β⊥，则下列命题中的假命题是A ．若a ∥b ，则α∥βB ．若αβ⊥，则a b ⊥C ．若,a b 相交，则,αβ相交D ．若,αβ相交，则,a b 相交7．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中{},1,2,3,4,5,6a b ∈，若1a b -≤，就称甲乙“心有灵犀”. 现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为A ．19B ．29 C ．718 D ．49 8．已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=A ．0B ．100-C ．100D ．10200第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9—12题）9．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 人．10．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 2cm .11．右图所示的算法流程图中，若3a =，则输出的T 值为 ；若输出的120T =，则a 的值为 *()a ∈N .12．已知()f x 是R 上的奇函数，2)1(=f ，且对任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，则(3)f = ； =)2009(f .（二）选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）（坐标系与参数方程选做题）若直线340x y m ++=与曲线 ⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是____________.14．（不等式选讲选做题）设关于x 的不等式1x x a +-<(a ∈R ). 若2a =，则不等式的解集为 ；若不等式的解集为∅，则a 的取值范围是 . 15．（几何证明选讲选做题）如图，圆M 与圆N 交于A B 、两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于C D 、两点， 延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ，已知5BC =，10BD =，则AB = ；CFDE=.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出详细文字说明，证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分12分)设向量(sin ,cos )x x =a ，(sin )x x =b ，x ∈R ，函数()(2)f x =+a ab . (1) 求函数()f x 的最大值与单调递增区间；(2)求使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合.17．(本小题满分12分)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版 本教材的教师人数如下表所示：(2) 若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机 变量ξ的分布列和数学期望.18．(本小题满分14分)四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且12PA AB AD CD ===，//AB CD ， 90ADC ∠=︒.(1) 在侧棱PC 上是否存在一点Q ，使//BQ 平面PAD ？证明你的结论；(2) 求证：平面PBC ⊥平面PCD ；(3) 求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.19．(本小题满分14分)已知函数()logk f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4，公差为2的等差 数列.(1) 求证：数列{}n a 是等比数列； (2) 若()n n n b a f a =⋅，当k ={}n b 的前n 项和n S ；(3) 若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由.20．(本小题满分14分)如图，设F 是椭圆22221,(0)x y a b a b+=>>的左焦点，直线l 为对应的准线，直线l 与x轴交于P 点，MN 为椭圆的长轴，已知8MN =，且||2||PM MF =．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 求证：对于任意的割线PAB ，恒有AFM BFN ∠=∠； (3) 求三角形△ABF 面积的最大值．21．(本小题满分14分)设函数()lnf x x x =(0)x >.(1) 求函数()f x 的最小值；(2) 设2()()F x ax f x '=+()a ∈R ，讨论函数()F x 的单调性；A PB CDQ(3) 斜率为k 的直线与曲线()y f x '=交于11(,)A x y 、22(,)B x y 12()x x <两点，求证：121x x k<<.【答案及详细解析】一、选择题：本大题理科共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
吉林省2012年高考文科数学模拟(二)含详细答案
吉林省2012年高考文科数学模拟试题（二）第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题纸上）1.已知复数iiz-+=11（i是虚数单位），则=||zA.1B.0C.1- D.22.已知集合{}{}0|,1|2>=<=xxNxxM，则NM =A.∅B.}0|{>xx C.{}|1x x< D.{}|01x x<<3.已知直线⊥l平面α，直线⊂m平面β，则l⊥m是βα//的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若31)6sin(=-απ,则)3cos(απ+的值为A.31B.31- C.322D.322-5.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为A.23π B.45π C. π D.4π6.平面向量a与b的夹角为︒，a＝(2,0), |b|＝1，则|a＋2b|＝C.4D.127.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完，已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是8.已知yxyxyxx+⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥222,01.1则的最小值是A.1B.2C.3D.49. 设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1·2PF =0，则|1|·|2PF |的值等于 A.2B.22C.4D.810. 函数)2||,0()sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π，若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f 的图象 A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,125(π对称C ．关于直线125π=x 对称 D ．关于直线12π=x 对称 11. 已知直线2-=x y 与圆03422=+-+x y x 及抛物线x y 82=的四个交点从上到下依次为D C B A 、、、四点，则||||BC AD +等于 A.12B.14C.16D.1812. 已知函数x x f sin )(=，对于满足π<<<210x x 的任意21,x x ，给出下列结论： ①0)]()()[(1212>--x f x f x x ； ②)()(2112x f x x f x >； ③1212)()(x x x f x f -<-； ④)2(2)()(2121xx f x f x f +<+.其中正确结论的个数为A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分,第13题—21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题—24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填写在答题纸中的横线上）13. 阅读程序框图，该程序输出的结果是 .14. 已知函数93)(23-++=x ax x x f 在3-=x 时取得极 值，则a = ．15. 已知0,0,12>>=+n m n m ，则nm 12+的最小值为 ．16. “三角形的三条中线交于一点，而且这一点到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍”．试类比：四面体的四条中线（顶点到对面三角形重心的连线段）交于一点，而且这一点到顶点的距离等于它到对面重心距离的 倍．ABCD PM三、解答题（本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足2a ＝3，6S ＝36.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若数列{n b }是等比数列且满足24,35421=+=+b b b b .设数列}{n n b a ⋅的前n 项和为n T ，求3T .18. 如图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30km 到达D 处，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．19. 已知四棱锥ABCD P -的底面为直角梯形,AB ∥DC ,⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ,且121====AB DC AD PA ,M 是PB 的中点. （1）求证：MC ∥平面PAD ； （2）求证：BC ⊥平面PAC ； （3）求三棱锥ACM P -的体积.BAD EC20. 已知椭圆1222=+y ax （0>a ）的离心率为23.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为)0,(a -，若||AB 524=，求直线l 的倾斜角.21. 已知函数x x f ln 1)(+=．（1）求过原点且与曲线)(x f y =相切的直线方程；（2）若关于x 的不等式)(x f ≤ax 恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题在答题纸上做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲已知：如右图，在等腰梯形ABCD 中,BC AD //，DC AB =，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E . 求证：（1）ABC ∆≌DCB ∆；（2）BD AE DC DE ⋅=⋅23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程设过原点O 的直线与圆C ：1)1(22=+-y x 的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线. 24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲解不等式1|43|2+>--x x x .数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.A 2.D 3.B 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B 9.A 10.C 11.D 12.C 简答与提示：1. i iz -+=11=)1)(1()1(2i i i +-+=22i =i ,1||=∴z ，故选A.2.由已知{}11|<<-=x x M ，{}0|>=x x N ，则{}10|<<=x x N M ,故选D.3.由于m l m l ⊥⇒⊂⊥βαβα//,, ；⇒⊥⊂⊥m l m l ,,βαβα//，所以m l ⊥ 是α∥β的必要不充分条件，故选B. 4.=+)3cos(απ31)6sin(=-απ， 故选A. 5.由三视图知该几何体为圆柱，其底面半径为21=r ，高h ＝1，∴42ππ==h r V ， 故选D.6.由已知22244|2|,2||+⋅+=+== 4＋4×2×1×cos60°＋4＝12， 则有=+|2|故选B.7.开始时液面下降速度较慢，逐渐变快，越来越快.故选C.8.由已知得线性可行域如图所示，则z =y x +2的最小值为2.故选B.9.由已知)0,5(),0,5(21F F -，则5221=F F .即⎪⎩⎪⎨⎧=-==+420212212221PF PFF F PF PF ， 2=.故选A.10.由已知πωπ==2T ，则2=ω；)2sin()(ϕ+=x x f 向左移6π个单位得)32sin(6(2sin )(ϕπϕπ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x x x f 为奇函数.有∈=+k k (3πϕπZ )，则)2(3πϕπϕ<-=即32sin()(π-=x x f .代入选项检验，C 正确.故选C.11.由已知圆的方程为1)2(22=+-y x ，抛物线x y 82=的焦点为)0,2(，直线2-=x y 过ADNM E GB C)0,2(点，则如图所示2+=+AD BC AD ，因为⎩⎨⎧-==282x y xy ，有04122=+-x x 令),(),,(2211y x D y x A ，则1221=+x x ， 则有164)(21=++=x x AD ，故18216=+=+BC AD , 故选D.12.)(0)]()()[(1212x f x f x f x x ⇔>--为增函数，因为函数 )(x f y =在),0(π上先增后减，故①错误；由于22112112)()()()(x x f x x f x f x x f x >⇔>，将xx f k )(=视为曲线)(x f y =上的点与原点连线斜率，结合函数图象可知横坐标越大，斜率越小，故②正确；当),0(+∞∈x 时，x x x x f y -=-=s i n )(为减函数，1122)()(x x f x x f -<-∴，故③正确；由于曲线)(x f y =图象上连结任意两点线段中点在曲线下方，),0(,21+∞∈∀x x ，)2(2)()(2121x x f x f x f +<+，故④正确.故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 729 14. 5 15.9 16. 3 简答与提示：13.当1=a 时，S =91⨯=9； 当2=a 时，S =99⨯=81； 当3=a 时，S =981⨯=729 ； 当4=a 时输S =729. 14.93)(23-++=x ax x x f ，323)(2++='ax x x f ， 5,0630)3(==-='a a f .15.nm m n n m n m 2214)2)(12(+++=++≥9425=+. 16.如图，△ABE 中，M 、N 为AE 、BE 的三等分点， ∴MN ∥AB ，AB ＝3MN ，∴AG ＝3GM .三、解答题（本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分） 17. (本小题满分12分)解：(1) ∵数列{a n }是等差数列， ∴S 6＝3(a 1＋a 6)＝3(a 2＋a 5)＝36.∵a 2＝3，∴a 5＝9，∴3d ＝a 5－a 2＝6，∴d ＝2， 又∵a 1＝a 2－d ＝1，∴a n ＝2n －1. (5分) (2)由等比数列{b n }满足321=+b b ，2454=+b b ，得2154b b b b ++＝3q ＝8，∴q ＝2，∵=+21b b 3，∴ 311=+q b b ，∴11=b ，12-=n n b ， (10分)∴n a ·n b ＝(2n －1)·12-n , 则27252322103=⨯+⨯+=T . (12分)18.(本小题满分12分) 解：依题意得，,30=DC,30BDC BCD ADB ∠=︒=∠=∠.45,60,120︒=∠︒=∠︒=∠DAC ADC DBC 在BDC ∆中，由正弦定理得，.10120sin 30sin 30sin sin =︒︒=∠∠=DBC BDC DC BC (6分)在ADC ∆中，由正弦定理得，.5345sin 60sin 30sin sin =︒︒=∠∠=DAC ADC DC AC (9分)在ABC ∆中，由余弦定理得，ACB BC AC BC AC AB ∠⋅-+=cos 2222.2545cos 10532)10()53(22=︒⨯⨯⨯-+= 5=∴AB .答：这两座建筑物之间的距离为5km. (12分)19.（1）取PA 中点Q ，连MQ 、DQ ，则MQ ∥DC ，MQ =DC ，∴四边形QMCD 为平行四边形， ∴MC ∥DQ ， 又⊂DQ 平面PAD ，⊄MC 平面PAD ， ∴MC ∥平面PAD .（4分） （2）由已知可得 2,2,2===BC AB AC ，,,222AC BC AB BC AC ⊥∴=+∴ 又,BC PA ⊥ ,A AC PA =∴BC ⊥平面P AC . （8分）（3）取AB 中点N ，连结CN ，则CN ∥AD ， ∴CN ⊥平面P AB ， ∵2121212121=⨯⨯⨯==∆∆PAB PAM S S ， 611213131=⨯⨯=⨯⨯==∴∆--CN S V V PAM PAM C ACM P . (12分）20. (本小题满分12分) 解：（1）由e =2c a =，得2234a c =.再由222c a b =-，解得a = 2b =2. 所以椭圆的方程为2214x y +=. （4分） (2) 由（1）可知点A 的坐标是（-2,0）.设点B 的坐标为11(,)x y ，直线l 的斜率为k.则直线l 的方程为)2(+=x k y .A BC D P M NQ于是A 、B 两点的坐标满足方程组22(2),1.4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得2222(14)16(164)0k x k x k +++-=. （6分）由212164214k x k --=+，得2122814k x k -=+.从而12414ky k=+.所以2||14AB k ==+.由||AB =2145k =+. （10分） 整理得42329230k k --=，即22(1)(3223)0k k -+=，解得k =1±.经检验0>∆符合题意，所以直线l 的倾斜角为4π或34π. （12分）21. (本小题满分12分)解：（1）x x f ln 1)(+= ，)0(,1)('>=∴x xx f ， 设曲线)(x f y =上切点坐标为)ln 1,(00x x +，则00ln 11x x x k +==，解得1,10==k x ， ∴切线方程为x y =. （5分）（2）[方法一]x >0，)(x f ∴≤a ax ⇔≥xxx x f ln 1)(+=， （6分） 设x x x g ln 1)(+=，则22ln )ln 1(1)(x xx x x g -=+-='， （8分） 令0ln )('2=-=x xx g ，得1=x ，（9分）当10<<x 时，0)('>x g ，)(x g 在)1,0(上为增函数， 当1>x 时，0)('<x g ，)(x g 在),1(+∞上为减函数，1)1()(max ==∴g x g ，a ∴≥1. （12分） [方法二]x >0， )(x f ∴≤a ax ⇔ax x ax x f -+=-⇔ln 1)(≤0. （6分）设ax x x h -+=ln 1)(，a xx h -=1)('， （8分）若a ≤0，则01)1(>-=a h ，不合题意. （9分）若0>a ，令01)(=-='a x x h ，得ax 1=， (10分)当a x 10<<时，0)('>x h ，)(x h 在)1,0(a 上为增函数，当a x 1>时，0)('<x h ，)(x h 在),1(+∞a上为减函数，aa a h x h 1ln 11ln1)1()(max =-+==∴≤0， a ∴≥1.(12分)22.(本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲证明：(1) 四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC DB =.∵AB DC =，BC CB =，∴ABC ∆≌BCD ∆. （5分） (2)∵ABC ∆≌DCB ∆，∴ACB DBC ∠=∠，ABC DCB ∠=∠.∵BC AD //，∴DAC ACB ∠=∠，EAD ABC ∠=∠. （8分） ∵AC ED //，∴EDA DAC ∠=∠, ∴ACB EDA ∠=∠,EDA DBC ∠=∠.∴ADE ∆∽CBD ∆ ∴::DE BD AE CD =, ∴DE DC AE BD ⋅=⋅. (10分)23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程解：(1)圆22(1)1x y -+=的极坐标方程为2cos ρθ=. (4分)(2)设点P 的极坐标为11(,)ρθ，点M 的极坐标为(,)ρθ， ∵点M 为线段OP 的中点， ∴12ρρ=，1θθ=. (7分)将12ρρ=，1θθ=代入圆的极坐标方程，得cos ρθ=. ∴点M 轨迹的极坐标方程为cos ρθ=，它表示圆心在点1(,0)2，半径为12的圆. (10分)24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲解：原不等式等价于22340341x x x x x ⎧--≥⎪⎨-->+⎪⎩或22340(34)1x x x x x ⎧--<⎪⎨--->+⎪⎩ (4分)4151x x x x ≥≤-⎧⇒⎨><-⎩或或 或1413x x -<<⎧⎨-<<⎩ (7分)5x ⇒>或1x <-或13x -<<.∴原不等式的解集为{|5x x >或1x <-或13x -<<}. (10分)A D EC。
2#012年高考数学高考模拟试题附答案
2012年高考数学高考模拟试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合22{|log (1)0},{|0},2xS x x T x x-=+>=<+则S T ⋂等于 A ．（0，2） B ．（－1，2） C ．（－1，+∞） D ．（2，+∞）2．复数122,1z i z i =-=+，那么复数12z z ⋅在复平面上对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在821⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含x 的项的系数是（ ）A ．55B ．55-C ．56D ．56-4．若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则z y x =-的最小值为A ．0B ．6-C ．8D ．15．在等差数列}{n a 中，有12876=++a a a ，则此数列的前13项之和为A ．24B ．39C ．52D ．1046．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题是A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αC ．若α∥β，α∩γ=m ，β∩γ= n ，则m ∥nD ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β 7．已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取最小值，则函数3()4y f x π=-是 A ．偶函数且图像关于点(,0)π对称 B ．偶函数且图像关于点3(,0)2π对称 C ．奇函数且图像关于点3(,0)2π对称 D ．奇函数且图像关于点(,0)π对称8．设11522log 3,2,5a b c ===，则A ．b a c << B.c b a << C ．a b c << D ．a c b <<9．将5名同学分配到A 、B 、C 三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，那么不同的分配方案有 A ．76 B ．100 C ．132 D ．150 10．函数()|21|x f x =-，若实数,a b 满足a b <，并且()()f a f b =，则122ab --的取值范围是A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．2,)+∞D ．2,)+∞11．过双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左焦点作直线FE 与圆222x y a +=相切于点E ,与双曲线的右支交于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为A ．BCD ．12．四面体PABC 中，AC ⊥BC ，AC BC ＝1，PAB ∆是正三角形，且平面PAB ⊥平面ABC ，则四面体PABC 的外接球的表面积为 A ．43π B ．163π C ．4π D ． 16π 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）． 13．设向量(sin ,2)a α=与向量(cos ,1)b α=共线，则tan 2α= . 14．不等式|21|x x a +-<的解集为∅，则实数a 的取值范围是 ． 15．已知不平行于x 轴的直线(0)y kx b b =+>与抛物线22(0)x py p =>交于A 、B 两点，点A 、B 到y 轴的距离的差等于2k ，则抛物线的焦点坐标为 . 16．已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足1)()()2()2(=++++x f x f x f x f ，21)1(=f ，41)2(=f ，则(2011)f = 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，120C =︒，求11tan tan A B+的最小值.18．（本题满分12分）在一块倾斜放置的矩形木块上钉着一个形如“等腰三角形”的五行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙……第5行6个铁钉之间有5个空隙（如图）．某人将一个玻璃球从第1行的空隙向下滚动，玻璃球碰到第2行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙，以后玻璃球按类似方式继续往下滚动，落入第5行的某一个空隙后，掉入木板下方相应的球槽．玻璃球落入不同球槽得到的分数ξ如图所示． （Ⅰ）求E ξ；（Ⅱ）若此人进行4次相同试验，求至少3次获得4分的概率． 19．（本题满分12分）四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，侧面PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PD ⊥AC ，E 是棱PA 的中点．（I ）求证：PC//平面EBD ； (II)求二面角E-BD-A 的大小． 20．（本题满分12分） 已知函数2(),,axf x x e x R =∈其中e 为自然对数的底数， a R ∈. (Ⅰ)设1,[1,1]a x =-∈-，求函数()y f x =的最值；（Ⅱ）若对于任意的0a >，都有22'1()()axx ax a f x f x e a+++≤+成立，求x 的取值范围. 21．（本题满分12分）过椭圆C ：)0(12222>>==+b a bx a y 上一点P ，作圆O ：222b y x =+的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点． （I ）设P ),(00y x ，且000≠⋅y x ，求直线AB 的方程．（II ）若椭圆C 的短轴长为8，且1625||||2222=+ON b OM a ，求此椭圆的方程． （III ）试问椭圆C 上是否存在满足PB PA ⊥的点P ，说明理由．22．（本题满分12分）已知数列}{n a 满足).2(22,111≥-+==-n n a a a n n （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列}{n b 中24b =，前n 项和为n S ，且4()(*).n n S nb n a n n N -=+∈证明：1215(1).3n b n b +<参考答案：一、DADBC, CDBDA,CB二、13．43-；14．1(,)2-∞；15．1(0,)2 16．13三、17．解：120,60,60.C A B B A =︒∴+=︒=︒-tan tan sin sin sin sin 2sin sin(60)A B A B A B A A ︒-===由题意，060A ︒<<︒，则30230150A ︒<+︒<︒，所以当23090A +︒=︒，即30A =︒时，11tan tan A B +有最小值 18．解：（Ⅰ）从第1行开始，玻璃球从一个空隙向下滚动，碰到此空隙下方的一个铁钉后以12的概率落入铁钉左边的空隙，同样以12的概率落入铁钉右边的空隙．玻璃球继续往下滚动时，总有落入铁钉左边和右边空隙的两种结果．到最后落入某一个球槽内，一共进行了4次独立重复试验，设4次独立重复试验中落入左边空隙的次数为η，则1(4,)2B η．(6)(0,4)(0)(4)P P P P ξηηηη======+=或0044404411111C ()()+C ()()22228==， (4)(1,3)(1)(3)P P P P ξηηηη======+=或1133314411111C ()()+C ()()22222==， (2)(2)P P ξη===22241163C ()()22168===． 则113642 3.5828E ξ=⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，此人一次试验获得4分的概率12P =，他进行4次相同试验可以看着他进行了4次独立重复试验，则至少3次获得4分的概率33144441115C ()()+C ()22216P ==． 19．解：（I ）证明：在矩形ABCD 中，设AC 、BD 交点为O ，则O 是AC 中点．又E 是PA 中点，所以EO 是△PAC 的中位线． 所以PC//EO ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又EO ⊂平面EBD ，PC ⊄ 平面EBD ．所以PC//平面EBD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 (II) 取AB 中点H ，则由PA ＝PB ，得PH ⊥AB ，所以PH ⊥平面ABCD ． 以H 为原点，建立空间直角坐标系H －xyz （如图）．设AB=2m,AD=n ，则A(m,0,0),B(,0,0),C(,n,0),D(,),(2m m m m n E --．所以(,,)PD m n =，(2,,0)AC m n =-，3(2m BE =所以，(2,0)BD m = 设111(,,)x y z α=是平面EBD的法向量，BE BD αα⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩00BE BD αα⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩1111113002200m x y z mx z ⎧+⋅+=⎪⇒⎨⎪++⋅=⎩1111z y ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ 不妨取11x =，则得到平面EBD 的一个法向量(1,2,α=-．由于)HP =是平面ABD 的法向量，故(0,0,1)β=-是平面ABD 的一个法向量．设(1,2,3)α=--与(0,0,1)β=-夹角θ，θ的大小与二面角E-BD-A 大小相等．3cos ||||6αβθαβ⋅===⋅45θ=︒． 所以求二面角E-BD-A 的大小为45︒．20．解：（Ⅰ)当1a =-时，2()e x f x x -=⋅，()(2)e x f x x x -'=-⋅-⋅．当x 在[1,1]-上变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴[1,1]x ∈-时，max ()(1)e f x f =-=，min ()(0)0f x f ==． (Ⅱ)∵2()e ax f x x =⋅，2()(2)e ax f x x ax '=+，∴原不等式等价于：22221(2)axaxaxx ax a x e x ax e e a+++⋅≤+⋅+⋅, 即221()(1)3a x x x a +⋅+≥-, 亦即22131x x a a x -+≥+．∴对于任意的0a >，原不等式恒成立,等价于22131x xa a x -+≥+对0a >恒成立,∵对于任意的0a >时, 12a a +≥=（当且仅当1a =时取等号）．∴只需22321x xx -≤+，即2320x x ++≥，解之得2x ≤-或1x ≥-.因此，x 的取值范围是(,2][1,)-∞--+∞. 21．解：（1）以O ，P 为直径的两个端点，构造圆的方程)0()(00=-+-y y y x x x （1）及222b y x =+ （2） 两式相减得AB 方程为200b y y x x =+（2）令002016,0y y b y x ===令016,0x x y == ||16||,||16||00y ON x OM ==∴ 1625||||2222=+∴ON b OM a 1625202202⨯=+∴y b x a 又P 点在椭圆上，1220220=+∴bx a y 162522⨯=∴b a4=b , 252=∴a∴椭圆方程为1162522=+x y (3)若PB PA ⊥，由切线定理|PA|=|PB|，知四边形必是正方形， b PO 2||=∴ 要使P 点存在，下列方程必有解⎪⎩⎪⎨⎧=+=+122222222b x ay b y x 0)2(222222≥--=⇒b a b a b x b a b a 2≥∴> 时，存在点P ；若b a 2<，这样的点P 不存在。
2012年高考数学考前模拟预测试题两套
前模预测一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知a ＋2i i＝b －i, (a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝（ ）A.－1 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D【解析】因为21a i bi +=+,所以1,2a b ==,故a ＋b ＝3,选D. 2．全集U ＝R ，A ＝{x|2x ＞4}，B ＝{x|log 3x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A.{x|x ＜－2} B ．{x|2＜x ＜3}C ．{x|x ＞3}D ．{x|x ＜－2或2＜x ＜3} 【答案】B【解析】因为A ＝{}|2x x >，{}|03B x x =<<,所以A ∩B ＝{x|2＜x ＜3}. 3．已知某个几何体的三视图如下，那么可得这个几何体的体积是（ ）A.31 B ．32C ．34D ．38 【答案】C【解析】由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,高为2,底面积为12222⨯⨯=,所以其体积 为43,选C. 4．下列命题中，真命题是（ ）A ．,sin cos 2x R x x ∃∈+=B ．(0,),sin cos x x x π∀∈>C ．2,1x R x x ∃∈+=-D ．(0,),1x x e x ∀∈+∞>+ 【答案】D【解析】设()1x f x e x =--,则因为(0,),x ∀∈+∞所以'()10x f x e =->,所以函数()f x 在(0,)x ∈+∞上是增函数,所以(0,),x ∀∈+∞有()(0)0f x f >=,即1x e x >+,故选D.5．如图所示是函数)2,0,0(),sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 图象的一部分，则此函数的解析式为( ) A ．2sin(2)6y x π=+B ．2sin(2)3y x π=+ C ．2sin(2)6y x π=- D ．12sin()23y x π=+【答案】B【解析】由题意知,A=2,244ππω⨯=,解得2ω=,又因为2()06πϕ⨯-+=,所以3πϕ=,故选B.6．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a 的值等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为'2()323f x x ax =++,所以'(3)39630f a -=⨯-+=,解得5a =.7．已知平面向量a ，b 满足3a = ，2b = ，a 与b 的夹角为60，若()a mb a ⊥ -，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．32C ．2D ． 3 【答案】D【解析】因为()a mb a ⊥ -，所以2()||96cos600a mb a a ma b m ⋅=-⋅=-=-,解得3m =.8．（理科）正弦曲线⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=23,0,sin πx x y 和直线23π=x 及x 轴所围成的平面图形的面积是（ ）A .1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C【解析】所求面积为320sin xdx π=⎰-3(coscos 02π-)=3,故选C.8．（文科）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴都相切，则该圆 的标准方程是 （ ） A ．（x -2）2+（y -1）2=1 B ．（x -2） 2+（y +1） 2=1C ．（x +2） 2+（y -1） 2=1D ．（x -3） 2+（y -1） 2=1【答案】A【解析】设圆心为(,)a b ,半径为r ,则|43|||5a b r b -===1,解得1b =,所以|43|5a -=, 解得2a =,故圆心坐标为(2,1),所以该圆的标准方程是（x -2）2+（y -1）2=1,选A.9．数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且137,,a a a 为等比数列{}n b 的连续三项，则数列{}n b 的公比为（ ）A．4 C ．2 D ．12【答案】C【解析】设公差为d ,则2111(2)(6)a d a a d +=+,解得12a d =,所以公比为311222a a d a d+==,故选C. 10．若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ） A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤ 【答案】B【解析】因为1122222212n n+-+++=- =122n +-=126,解得6n =,故选B.11．已知()f x 在R 上是奇函数,且满足(2)(),f x f x +=-当(0,2)x ∈时，2()2f x x =,则(2011)f 等于 ( )A. 2-B.2C. -98D. 98 【答案】A【解析】因为(2)(),f x f x +=-所以(4)(2)[()]()f x f x f x f x +=-+=--=,所以4是()f x 的周期,所以(2011)f =(20083)(3)f f +==(12)(1)f f +=-=-2,故选A.12．对任意的实数,a b ，记{}()max ,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，若{}()max (),()()F x f x g x x R =∈，其中奇函数()y f x =在1x =时有极小值2-，()y g x =是正比例函数，函数()(0)y f x x =≥与函数()y g x =的图象如图所示,则下列关于函数()y F x =的说法中，正确的是（ ）A ．()y F x =为奇函数B ．()y F x =有极大值(1)F 且有极小值(1)F -C ．()y F x =的最小值为2-且最大值为2D ．()y F x =在(3,0)-上不是单调函数【答案】D【解析】因为(),()()()(),()()f x f xg x F x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩,1()3g x x =,由()f x 是奇函数,其图象关于原点对称,故可知,选项D 正确.第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在答题纸相应位置上．13．已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，且120,PF PF ⋅= 121tan ,2PF F ∠=则该椭圆的离心率等于________．【答案】35【解析】因为120,PF PF ⋅= 所以12PF PF ⊥,又因为121tan ,2PF F ∠=所以可设1||PF x =,则2||2PF x =,12||F F ,所以由椭圆的定义知:23a x =,又因为2c =,所以离心率22c e a ==35. 14. 设x 、y 满足约束条件2044000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ ，若目标函数z ax by =+(0,0)a b >>的最大值为6，则12()a b+的最小值为 .【答案】2【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知当直线z ax by =+经过点(2,4)时,z 取最大值,所以246a b +=,即213a b +=,所以12a b +=22(2)33a b a b a b +++=53+2233b aa b+223≥⨯+53=3,所以12()a b +≥=2,故12()a b+的最小值为2.15．已知函数()log (2)a f x x a =-在区间12[,]23上恒有()0f x >，则实数a 的取值范围是 。
山东省2012年高考数学模拟预测卷(二)理
C2 的方程；
（Ⅲ）设 C2 与 x 轴交于点 Q，不同的两点 R、S 在 C2 上，且 满足 QR RS 0 ，求 | QS |
的取值范围。
22．（本小题满分 14 分）
设函数 f ( x) ln x 1 ax2 bx. 2
【考点】平面向量。
2
6
1
D．
，
2
12
10． a 是 f (x) 2 x log 1 x 的零点，若 0 x0 a ，则 f ( x 0 ) 的值满足
2
（）
A． f ( x0 ) 0 B． f ( x0 ) 0 C． f ( x0 ) 0 D． f ( x0 ) 的符号不确定
11．设 f (x) x3 x, x R ，当 0
【解析】 两函数图象的交点坐标是 (0,0),(1,1) ，故积分上限是 1，下限是 0 ，由于在 0,1 上，
x x2 ，故求曲线 y x2 与 y x 所围成图形的面 S
1
(x
x2)dx 。
0
【考点】导数及其应用。
【点评】 本题考查定积分的几何意义， 对定积分高考可能考查的主要问题是：
利用微积分基
m 的值．
理科数学（二）
1. 【答案】 B 【分析】求出集合 B ，结合数轴即可找到 a 的取值范围。 【解析】集合 B (a, ) ， A B ，则只要 a 1 即可，即 a 的取值范围是 ( , 1] 。
【考点】集合 【点评】本题考查集合的关系，解题中虽然可以不画出数轴，但在头脑中要有数轴。 2. 【答案】 D 【分析】对给出的三角函数式进行变换，然后根据三角函数的性质进行判断。
2012届高考数学考前模拟预测系列模拟二
2012届高考考前模拟预测系列数学模拟二（解析版）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1．已知R 是实数集，2{|1},{|M x N y y x===＜，则R N C M ⋂=( ) A.（1，2）B. [0，2]C.∅D. [1，2]【答案】B【解析】{}2{|1}|02M x x x x x==<>＜或,{}{||0N y y y y ===≥,所以 {}|02R C M x x =≤≤,故R N C M ⋂={}|02x x ≤≤,选B.2.复数i R y x iix z ,,(13∈-+=是虚数单位）是实数，则x 的值为 （ ） Ａ．３ B ．－3C ．０Ｄ．3【答案】B 【解析】因为3(3)(1)(,,)12x i x i i z x y R i i +++=∈==-(3)(3)2x x i-++，且是实数，所以3x =-，选B.3. “1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】若直线0x y k -+=与圆221x y +=相交,则有圆心(0,0)到直线0x y k -+=的距1<,解得k <<故选A. 4．已知函数⎩⎨⎧><=,0,ln ,0,)(x x x e x f x 则)]1([e f f =( )A ．e 1 B ．e C ．-e1D ．-e 【答案】A【解析】因为11()ln1f e e ==-,所以)]1([e f f =(1)f -=e1. 5．已知向量()1,2a =，(),4x b =，若2=b a ，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】C【解析】因为2=b a ,=解得x =2±.6．已知m 、n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 （ ）A ．若//,//,//m n m n αα则B ．若,,//αγβγαβ⊥⊥则C ．若//,//,//m m αβαβ则D ．若,,//m n m n αα⊥⊥则【答案】D【解析】本题考查空间直线与直线,直线与平面的平行、垂直的判定,容易看出选项D 正确. 7．已知1x >，则11y x x =+-的最小值为（ ）A. 1B. 2C.D. 3【答案】D【解析】因为1x >，所以11y x x =+-=1(1)11x x -++-3≥,当且仅当2x =时取等号. 8．已知函数()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下面四个结论中正确的是 ( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 的图象是由2cos2y x =的图象向左平移6π个单位得到D ．函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数【答案】D【解析】令()2cos 22cos 22sin .6662g x f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦9．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于( )A ．13 B ．23 C 【答案】A【解析】由三视图知,该几何体是棱锥,容易求得答案.10.已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是A ．)3,1(B ．)22,3(C ．),21(+∞+D ．)21,1(+【答案】D【解析】22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222,,2,.b b F A c F B c a a ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222240,210,11bF A F B c e e e a ⎛⎫⋅=->--<<<+ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11.抛物线22y x =的准线方程是 . 【答案】18y =-【解析】由题意知:抛物线的开口方向向上,且122p =,所以准线方程为18y =-. 12．等差数列{}n a 中，若124a a +=, 91036a a +=，则10S = . 【答案】100【解析】由124a a +=, 91036a a +=容易得出首项与公差,故可由等差数列的前n 项和公式求出10S =100.13．某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生人数之比为5：2：3，且已知初中生有800人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取一个容量为80的学生样本以了解学生对学校文体活动方面的评价，则每个高中生被抽到的概率是 ； 【答案】150【解析】由题知2108014000,800400050x P x =∴===. 14.如图所示的流程图，若输入的9.5x =-，则输出的结果为 . 【答案】1【解析】由流程图可知9.57.5 5.5x x x =-→=-→=-3.5 1.50.5x x x →=-→=-→=，所以1c =15．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()32xf x x c=-+（c 为常数），则(1)f -= 。
2012年高考数学模拟试题
Ｎ Ｉ ｌ Ｆ ＋２ Ｉ Ｎ Ｉ＝２ ＝ Ｆｌ ２ Ｉ ａ
。 ． ．
１ ＮＩ ＝。一ｃ． Ⅳ点是椭 圆的右顶点 ， Ｃ 轴 ， ，． ． 又 Ｎ上
Ｃ点轨迹为直线． １． 案 ： ０答 Ｄ 解析 ） ｎ ＝ｌ ｘ＋２ ＋ ＋１ （ ， 。） 在 ０ ＋。 内单调递增 ，
每点切线斜率 的取值范 围．
１． 本 小 题 满 分 １ ） ８（ ２分
体育课进行篮球 投篮达 标测试 ， 定 ： 规 每位 同学有 ５次
投篮机会 ， 若投 中 ３次则 “ 达标 ” 为节 省测 试时 间 ， ； 同时 规 定： 若投篮不 到 ５次 已达标 ， 则停 止投篮 ； 即使后 面投篮全 若
更 一 般 的结 论 ， 加 以 证 明 ． 并
４ ， 。＝ 解得Ｉ Ｉ ÷ ， Ｉ７Ｐ ． 故Ｉ ＝ Ｉ Ｉ
参 考答 案
一
７ ．答 案 ： Ｃ
、
选 择 题
２ ．Ｂ
１ ． ０ Ｄ
解析 ： 对于选项 Ａ， 结论有可能是 ｎ在 内； 于选项 Ｂ 对 、
３Ｂ ． ４ Ｄ ． ５Ｃ ． ６ Ａ ．
一 ｝ ＿ｌ ＝ ＝一 ＝ ＋ （ ｌ （ｉ。１ ） ｌ ） ｍ枷 十 ） ．
’ ．
．
‘ ．
．
Ｉ ＋ ｌ ｌ Ｉ Ｆ１ ＰＦ１ Ｉ Ｐ ＝ Ｐ ｌ＋ ｌ Ｍ ｌ＋ ｌ Ⅳ ｌ Ｉ Ⅳ ｌ＋ Ｉ Ｐ ＝ Ｆ１
故选 Ｂ ． ３答案 ：． ． Ｂ
１ １，
Ｐ＝ ＝ ） （）了 （３ （ ÷ ＝ ） ＋ １
Ｐ＝ ＝（） ）ｃ ） ）万 （４ ÷‘ （ １ ） 丁 ＋（ ÷ ＝ ２ ０ Ｐ＝ ：（）２ ＝ （５ ÷ ） ） ‘ ８ 了
的分布列
北京市2012届高考数学理科仿真模拟卷及答案2[1]
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北京市2012届高考数学理科仿真模拟卷2一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数对应的点位于(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限2．下列四个命题中，假命题为(A) ，(B) ，(C) ，(D) ，3．已知a>0且a≠1，函数，，在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D) 4．参数方程为参数和极坐标方程所表示的图形分别是(A) 圆和直线(B) 直线和直线(C) 椭圆和直线(D) 椭圆和圆5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是(A) 120(B) 84(C) 60(D) 486．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A)(B)(C)(D)本题就是考查正弦函数的图象变换。
最好采用排除法。
考查的关键是A，ω，φ每一个字母的意义。
7．已知直线l：(A，B不全为0)，两点，，若，且，则(A) 直线l与直线P1P2不相交(B) 直线l与线段P2 P1的延长线相交(C) 直线l与线段P1 P2的延长线相交(D) 直线l与线段P1P2相交本题就是考查线性规划问题。
关键是1）的含义：点在直线的同侧；2）的含义：点到直线的距离的大小关系。
8．已知函数，(a>0)，若，，使得f(x1)= g(x2)，则实数a的取值范围是(A)(B)(C)(D)本题虽然是一道小题，但完全可以改成一道大题，处理的关键是对“任意”、“存在”的理解。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．圆C：的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是 ．10．如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知∠D=46°，则∠A= ．11．函数的最小正周期为 ，最大值为 ．考查的目的是没考三角，12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．13．如果执行右面的程序框图，那么输出的a =___．14．如图所示，∠AOB=1rad，点A l，A2，…在OA上，点B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M 从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为l长度单位／秒，则质点M到达A3点处所需要的时间为__秒，质点M到达A n点处所需要的时间为__秒．本题考查了弧度制的定义，数列的基础知识。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷2 理
2012年普通高等学校招生全国统一考试（预测卷2）数学（文科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：球的表面积公式：S=24R π，其中R 表示球的半径第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的. 1．已知全集},2|{},2|{,N n n x x B N n x x A R U n∈==∈===与集合，则正确表示集合B A 、关系的韦恩（Venn ）图是2．在复平面内，复数21i-对应的点到直线1y x =+的距离是 A ． 22B ．2C ．2D ．223．下列有关选项正确的．．．是 A ．若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题.B ．“5x =”是“2450x x --=”的充分不必要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2320x x -+≤”. D ．已知命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：R x ∈∃，使得210x x +-≥.4．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角60°，则|3|a b -等于（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45． 若}{n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且32211π=S ，则6tan a 的值为A ．3B ．3-C ．3±D ．33-6．已知区域1,{(,)0,}1,y x x y y x ≤+⎧⎪Ω=≥⎨⎪≤⎩，1,{(,)}0,y x M x y y ⎧≤-+⎪=⎨≥⎪⎩，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为 A ．41 B ．31C ．21 D ．32 7．一个正三棱柱的主（正）视图是长为3，宽为2的矩形，则它的外接球的表面积等于 A ．π16 B ．π12 C ．π8D ．π4328．已知实数,x y 满足153x y+≤，则2z x y =+的最小值是 A ．10 B ．3 C ． 3- D ．10-9．某程序流程框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数，x x f x x f 32cos )(,32sin)(ππ==，,34tan )(x x f π=则可以 输出的函数是)(x f =A ．x x f 32sin )(π=B ．x x f 32cos )(π=C ．x x f 34tan )(π=D ．非上述函数 10．在空间中，下列命题正确的是A.若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B.若直线m 与平面α内的一条直线平行，则α//mC.若平面βα⊥，且l =βα ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面βD.若直线a 与直线b 平行，且直线a l ⊥，则b l ⊥11.过抛物线x y 42=的焦点F 作相互垂直的两条弦AB 和CD ，则||||CD AB +的最小值是 A ．58 B ．16 C ．8 D ．712．设函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，且()()22'f x xf x x +>，下面的不等式在R 上恒成立的是A ．()0f x >B ．()0f x <C ． ()f x x >D ．()f x x <第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13. 已知函数⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x 0x 1)(x f ，则关于x 的不等式0)1()()]1()([2≤-+-++x f x f x x f x f x 的解集为_______________14．在ABC ∆中，,120,=∠=ABC AB BC 则以B A ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率 为15．某大学艺术系表演专业的报考人数连创新高，报名刚结束，某考生想知道这次报考该 专业的人数．已知该专业考生的考号是从0001，0002，…这样从小到大顺序依次排列的， 他随机了解了50个考生的考号，经计算，这50个考号的和是25025，估计2010年报考这 所大学艺术表演专业的考生大约为 人．16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有 两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则 这两个正方体重叠部分的体积恒为三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（本小题满分12分）已知函数)3sin()6sin(2)(π+π-=x ωx ωx f （其中ω为正常数，R ∈x ）的最小正周期为π．（I ）求ω的值；A B C D EGF（II ）在△ABC 中，若B A <，且21)()(==B f A f ，求ABBC ．18．（本小题满分12分）今天你低碳了吗？近来，国内流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量．例如：家居用电的碳排放量（千克） = 耗电度数⨯0.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数⨯0.785等．东北育才中学高一某班同学打算利用寒假在和平区的7个小区内选择两个小区逐户进行一次生活习惯的调查以计算每个人的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少%75的人属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的这7个小区中低碳族的比例分别为21，97，32，1311，107，2017，2419． （1）求这个班级选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率； （2）假定选择的“非低碳小区”为小区A ，调查显示其“低碳族”的比例为21，数据如图甲所示，经过班级同学的大力宣传，经过两个月后，又进行了一次调查，数据如图乙所示，问这时小区A 是否达到“低碳小区”的标准．19．（本小题满分12分）如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ， AD ⊥平面DEFG ，AC AB ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ． 且2====DG DE AD AB ,1==EF AC ． （Ⅰ）求证： BF ∥平面ACGD ； （Ⅱ）求五面体ABCDEFG 的体积．20．（本题满分12分）（百千克） （乙）（百千克） （甲）已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=，在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有c x f x f ≤-|)()(|21，某某数c 的最小值；（3）若过点)2)(,2(≠m m M ，可作曲线)(x f y =的三条切线，某某数m 的取值X 围．21.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21，点(2,3)M ， (2,3)N -为C 上两点，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于点A ，B （A ，B 在直线MN 两侧）．w （I ）求四边形MANB 面积的最大值；（II ）设直线AM ，BM 的斜率为21,k k ，试判断21k k +是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，说明理由．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC =ED =1，PA =2．（I ）求AC 的长； （II ）求证：BE ＝EF ． 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；（II ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 24．（本小题10分）选修4－5：不等式选讲已知关于x 的不等式：12≤-m x 的整数解有且仅有一个值为2．（Ⅰ）求整数m 的值；（Ⅱ）在（I ）的条件下，解不等式：m x x ≥-+-31．参考答案二、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.A2.D3. B4.A5.B6.C7.C8.D9.B 10.D 11.B 12.A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. }1{- 14. 213+ 15. 1000 16. 83a三、 解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 解：（1）∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-π+π-=π+π-=2)3(cos )6sin(2)3sin()6sin(2)(x ωx ωx ωx ωx f )6cos()6sin(2π-π-=x ωx ω)32sin(π-=x ω． ……………4分而)(x f 的最小正周期为π，ω为正常数， ∴π=πω22，解之，得1=ω．………………………6分 （2）由（1）得)32sin()(π-=x x f ．若x 是三角形的内角，则π<<x 0，∴35323π<π-<π-x ．令21)(=x f ，得21)32sin(=π-x ，∴632π=π-x 或6532π=π-x ，解之，得4π=x 或127π=x ． ………………………8分由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且21)()(==B f A f ，∴4π=A ，127π=B ∴6π=--π=B A C ． ……………10分又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． ………12分 18．解：（I ）由题可知，7个小区中有三个小区为“非低碳小区”，设为C B A ,,，有四个小区为“低碳小区”，设为q p n m ,,,，用),(y x 表示选定的两个小区{}q p n m C B A y x ,,,,,,,∈则基本事件空间)},)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,( ),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,{(q p q n p n q m p m n m q C p C n C m C q B p B n B m B C B q A p A n A m A C A B A =Ω……2分共有基本事件数21个设事件A ：两个小区恰有一个为“非低碳小区”，则{}),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(q C p C n C m C q B p B n B m B q A p A n A m A A = 包含的基本事件数为12 …………4分则742112)(==A P …………………6分 （II ）由图甲可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”，…………9分 由图乙可知，两个月后的低碳族的比例为75.072.042.023.007.0<=++， 所以两个月后小区A 仍然没达到“低碳小区”标准。
2012高考数学模拟试题(含答案)
2012高考数学模拟试题(含答案)D（1）若圆台的高为4，母线长为5，侧面积是45π，则圆台的体积是（ ）.（A ）252π （B ）84π （C ）72π （D ）63π（2）若曲线x 2+y 2+a 2x+ (1–a 2)y –4=0关于直线y –x=0的对称曲线仍是其本身，则实数a=（ ）.（A ）21± （B ）22± （C ）2221-或 （D ）2221或-（3）设22παπ<<-，22πβπ<<-.tg α，tg β是方程04332=+-x x 的两个不等实根.则α+β的值为（ ）.（A ）3π（B ）3π- （C ）32π （D ）323ππ--或（4）等边ΔABC 的顶点A 、B 、C 按顺时针方向排列，若在复平面内，A 、B 两点分别对应 的复数为i 321+-和1，则点C 对应的复数为（ ）.（A ）32- （B ）3- （C ）i 322-- （D ）–3（5）对于每一个实数x ，f(x)是y=2–x 2和y=x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是（）.（A）1 （B）2 （C）0 （D）–2（6）已知集合A={(x,y)|y=sin(arccosx)}.B={(x,y)|x=sin(arccosy) }，则A∩B=（）.（A）{（x，y）|x2+y2=1，x>0，y>0} （B）{（x,y）|x2+y2=1，x≥0}（C）{（x，y)|x2+y2=1，y≥0} （D）{（x,y）|x2+y2=1，x≥0，y≥0}（7）抛物线y2=2px与y2=2q（x+h）有共同的焦点，则p、q、h之间的关系是（）.（A）2h=q–p （B）p=q+2h （C）q>p>h （D）p>q>h（8）已知数列{a n}满足a n+1=a n–a n–1（n≥2），a1=a，a2=b，记S n=a1+a2+a3+…+a n，则下列结论正确的是（）.（A）a100=–a，S100=2b–a （B）a100=–b，S100=2b–a（C）a100=–b，S100=b–a （D）a100=–a，S100=b–a（9）已知ΔABC的三内角A，B，C依次成等差数列，则sin 2A+sin 2C 的取值范围是（ ）.（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,43 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,43 （D ）⎪⎭⎫⎝⎛23,43 （10）如图，在三棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P=BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（ ）.（A ）3:1 （B ）2:1 （C ）4:1 （D ）3:1（11）中心在原点，焦点坐标为（0，25±）的椭圆被直线3x –y –2=0截得的弦的中点的 横坐标为21，则椭圆方程为（ ）. （A ）175225222=+y x （B ）125275222=+y x（C ）1752522=+y x （D ）1257522=+y x（12）已知定义域为R 的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，且021(=f ，则不等式 f(log 4x)>0的解集为（ ）.（A ）{x | x>2} （B ）{x |0<x<21} （C ）{x | 0<x<21或x>2} （D ）{x | 21<x<1或x>2}（13）如图，将边长为5+2的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展 开图，则圆锥的体积是（ ）. （A ）π3302 （B ）π362 （C ）π330 （D ）π360（14）一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长为400 千米，为了安全，两列货车的间距不得小于220⎪⎭⎫ ⎝⎛V 千米，那么这批物质全部运到B市，最快需要（ ）（A ）6小时 （B ）8小时 （C ）10小时 （D ）12小时第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上. （15）函数23cos 3cos sin 2-+=x x x y 的最小正周期是__________.（16）参数方程 （θ是参数）所表示的曲线的焦点坐标是__________.（17）（1+x ）6（1–x ）4展开式中x 3的系数是__________.（18）已知m ，n 是直线，α.β. γ是平面，给出下列命题：①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β； ②若n ⊥α,n ⊥β,则α∥β； ③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；④若n ⊂α，m ⊂α且n ∥β,m ∥β，则α∥β⑤若m ，n 为异面直线，且n ⊂α，n ∥β，m ⊂β，m ∥α，则α∥β则其中正确的命题是_________.（把你认为正确的命题序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （19）（本小题满分12分） 在ΔABC 中，求2sin 2sin 2sin222CB A ++的最小值.并指出取最小值时ΔABC的形状，并说明理由.（20）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2，侧棱PB=15，PD=3.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；（Ⅱ）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.（21）（本小题满分12分）已知F(x)=f(x)–g(x)，其中f(x)=log a(x–1)，并且当且仅当点（x0，y0）在f(x)的图像上时，点（2x0，2y0）在y=g (x)的图像上.（Ⅰ）求y=g(x)的函数解析式；（Ⅱ）当x在什么范围时，F(x)≥0？（22）（本小题满分12分）某公司欲将一批不易存放的蔬菜，急需从A 地运到B地，有汽车、火车、直升飞机三种运输工具可供选择，三种运输工具的主要参考数据如下：运输工具途中速度途中费用装卸时间装卸费用（千米/小时）（元/千米）（小时）（元）汽车50 8 2 1000火车100 4 4 2000飞机200 16 2 1000若这批蔬菜在运输过程（含装卸时间）中的损耗为300元/小时，问采用哪种运输工具比较好，即运输过程中的费用与损耗之和最小.（23）（本小题满分13分）已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5.若将抛物线C向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段为原抛物线C在x 轴上截得的线段的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程.（24）（本小题满分13分）已知a>0，a≠1，数列{a n}是首项为a，公比也为a的等比数列，令b n=a n lga n（n∈N）（Ⅰ）求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅱ）当数列{b n}中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围.高三数学试题（理科）评分参考标准2000．6一、选择题（1）B ； （2）B ； （3）C ； （4）D ； （5）A ； （6）D ； （7）A ； （8）A ；（9）D ； （10）B ； （11）C ； （12）C ； （13）A ； （14）B. 二、填空题（15）π； （16）)21,3(-； （17）–8； （18）②，⑤. 三、解答题 （19）解：令2sin 2sin 2sin 222CB A y ++=2cos 12cos 12cos 1CB A -+-+-=……………………………………1分)cos cos (cos 2123C B A ++-=)2sin 212cos 2cos 2(21232B C A C A -+-+-= (3)分∵在ΔABC 中，222BC A -=+π，∴2sin 2cosBC A =+…………………4分又12cos ≤-CA .∴)2sin 212sin 2(21232B B y -+-≥…………………………………………6分12sin 2sin 2+-=BB43)212(sin2+-=B …………………………………………………………8分12cos=-CA ，当 时，y 取得最小值43.…………………………………9分 212sin =B由12cos=-CA 知A=C ，………………………………………………………10分 由212sin =B 知︒=302B，B=60°.……………………………………………11分故A=B=C=60°，即y 取最小值43时，ΔABC 的形状为等边三角形.…………………………12分（20）（1）证：由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，故BD2=AD2+AB2–2AD •ABcos60°1=12.……=4+16–2×2×4×2…………………………………1 分又AB2=AD2+BD2，∴ΔABD是直角三解形，∠ADB=90°，即AD⊥BD.……………………………3分在ΔPDB中，PD=3，PB=15，BD=12，∴PB2=PD2+BD2，故得PD⊥BD.……………………………………………5分又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD.…………………………………………6分（2）由BD⊥平面PAD，BD 平面ABCD.∴平面PAD⊥平面ABCD.……………………………………………………7分作PE ⊥AD 于E ，又PE ⊂平面PAD.∴PE ⊥平面ABCD.∴∠PDE 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDE=60°………………8分 ∴PE=PDsin60°=23233=⋅.作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BC. ∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角.……………………………………10分 又EF=BD=12，在ΔRt ΔPEF 中，433223===∠EF PE PFE tg .故二面角P —BC —A 的大小为43arctg.…………………………………12分（21）解：（1）由点（x 0，y 0）在y=log a （x –1）的图像上，y 0=log a （x 0–1），…………1分 令2x 0=u ，2y 0=v ，则2,200vy u x ==， ∴)12(log 2-==v u a ，即)12(log 2-=v u a .…………………………3分⇒ ⇒ 由（2x 0，2y 0）在y=g （x ）的图像上，即（u ，v ）在y=g （x ）的图像上. ∴)12(log 2)(-==xx g y a .……………………………………………4分（2）)12(log 2)1(log)()()(---=-=xx x g x f x F aa .由F(x)≥0，即0)12(log 2)1(log ≥---xx aa①…………………5分当a>1时，不等式①等价于不等式组2)12(1-≥-xxx –1>0012>-x……………………………………………………………6分x 2–8x+8≤224224+≤≤-x x>2x>2⇒ ⇒2242+≤<⇒x .………………………………………………………8分当0<a<1时，不等式①等价于不等式组2)12(1-≤-xxx>112>x ………………………………………………………………………9分x 2–8x+8≥0 x ≤4–22或x ≥4+22x>2 x>2224+≥⇒x .…………………………………………………………11分故当a>1，2<x ≤224+时，F(x)≥0；当0<a<1， x ≥224+时，F(x)≥0.……………………………………………………12分（22）解：设A 、B 两地的距离为S 千米，则采用三种运输工具运输（含装卸）过程中的费用和时间可用下表给出：运输工具 途中及装卸费用 途中时间汽车 8S+1000 250+S火车 4S+2000 4100+S飞机 16S+1000 2200+S分别用F 1，F 2，F 3表示用汽车、火车、飞机运输时的总支出，则有F 1=8S+1000+（250+S ）×300=14S+1600， (2)分F 2=4S+2000+（4100+S ）×300=7S+3200， (4)分F 3=16S+1000+（2200+S ）×300=17.5S+1600.……………………………6分∵S>0，∴F 1<F 3恒成立.………………………………………………………7分而F 1–F 2<0的解为71600<S ，………………………………………………8分F 2–F 3<0的解为213200>S ，…………………………………………………9分则，（1）当71600<S （千米）时，F 1<F 2，F 1<F 3，此时采用汽车较好；…………………………………………………………………………………10分（2）当71600=S （千米）时，F 1=F 2<F 3，此时采用汽车或火车较好；………………………………………………………………………………11分（3）当71600>S （千米）时，F 1>F 2，并满足F 3>F 2，此时采用火车较好；……………………………………………………………………………12分（23）解：设所求抛物线方程为(x –h)2=a(y –k) (a∈R ，a ≠0) ①…………………………1分由①的顶点到原点的距离为5，则522=+k h ②…………………………2分在①中，令y=0，得x 2–2hx+h 2+ak=0.设方程二根为x 1，x 2，则|x 1–x 2| =ak -2.……………………………………………………3分将抛物线①向上平移3个单位，得抛物线的方程为（x –h ）2=a （y –k –3），……………………………………………………4分令y=0，得x 2–2hx+h 2+ak+3a=0.设方程二根为x 3，x 4，则|x 3–x 4| =a ak 32--.…………………………………………………5分1，依题意得a2--=ak-ak3⋅22即4（ak+3a）=ak ③…………………6分将抛物线①向左平移1个单位，得（x–h+1）2=a（y–k），…………………7分由过原点，得(1–h)2=–ak ④…………………8分由②③④解得a=1，h=3，k=–4或a=4，h=–3，k=–4 …………………11分所求抛物线方程为（x–3）2=y+4，或（x+3）2=4（y+4）. ………………………………………………13分（24）解：（Ⅰ）由题意知a n=a n，b n=na n lga. ………………………………………………2分∴S n=（1 • a+2 • a2+3 • a3+……+n • a n）lga.a S n=（1 • a2+2 • a3+3 • a4+……+n • a n+1）lga.以上两式相减得（1–a ）S n =（a+a 2+a 3+……+a n –n • a n+1）lga ……………………………4分a a n a a a n n lg ]1)1([1+⋅---=. ∵a ≠1，∴])1(1[)1(lg 2n n a na n a a a S -+--=. ………………………6分（Ⅱ）由b k+1–b k =(k+1)a k+1lga –ka k lga=a k lga[k(a –1)+a]. ………………………………………………7分由题意知b k+1–b k >0，而a k >0， ∴lga[k(a –1)+a]>0. ①……………………………………………8分（1）若a>1，则lga>0，k(a –1)+a>0，故a>1时，不等式①成立；……………………………………………………………………10分（2）若0<a<1，则lga<0， 不等式①成立0)1(<+-⇔a a k 10+<<⇔k k a 恒成立21)1(0min =+<<⇔k k a .……………………12分综合（1）、（2）得a 的取值范围为),1()21,0(+∞⋃. ………………13分。
数学_2012年浙江省杭州市某校高考数学模拟试卷(2)(含答案)
2012年浙江省杭州市某校高考数学模拟试卷（2）一、选择题（8×4'=32'）1. 函数y =log 3x 的定义域是（ ）A RB (0, +∞)C (1, +∞)D (3, +∞)2. 已知集合M ={x|x 2<4}，N ={x|x 2−2x −3<0}，则集合M ∩N 等于（ ）A {x|x <−2}B {x|x >3}C {x|−1<x <2}D {x|2<x <3}3. 已知f(x)=x 5+ax 3+bx −8，且f(−2)=10，那么f(2)等于( )A −26B −18C −10D 104. 若x 2−3x +2=0是x =1的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5. 直线y =−2x +1在y 轴上的截距是（ ）A 0B 1C −1D 126. 已知命题：①过与平面α平行的直线a 有且仅有一个平面与α平行；②过与平面α垂直的直线a 有且仅有一个平面与α垂直．则（ ）A ①正确，②不正确B ①不正确，②正确C ①②都正确D ①②都不正确7. 函数y =3|log 3x|的图象是( ) A BC D 8. 设F 1，F 2是椭圆x 225+y 216=1的两个焦点，过F 1且平行于y 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△F 2AB 的面积是（ ）A 245B 485C 965D 1925二、填空题（7×4'=28'）9. 已知函数f(x)=ax 2+2，且f′(1)=2，则a 的值为=________．10. 等差数列{a n }中，若a l +a 4+a 7=39，a 3+a 6+a 9=27，则前9项的和S 9等于________．11. 已知x >0，则函数f(x)=2−3x −4x 的最大值是________． 12. 设数列{a n }的前n 项和为S n =n 2，则a 5=________．13. 函数f(x)=x ，求f′(2)=________．14. 已知直线3x +2y −3=0与6x +my +1=0相互平行，则它们之间的距离是________．15. 计算：(2+i)2=________．三、简答题16. 已知函数f(x)=−x3+3x2+9x+a．(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[−2, 2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．17. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P−ABCD中，AB⊥AC，PA⊥面ABCD，点E是PD的中点．（1）求证：AC⊥PB；（2）求证：PB // 平面AEC．18. 设函数f(x)=ax2+bx+1(a, b∈R)，（1）若f(−1)=0，且对于任意的x，f(x)≥0恒成立，求f(x)的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[−2, 2]时，g(x)=f(x)−kx是单调函数，求实数k的取值范围．2012年浙江省杭州市某校高考数学模拟试卷（2）答案1. B2. C3. A4. B5. B6. A7. A8. C9. 110. 9911. 2−4√312. 913. −√2814. 7√132615. 3−4i16. 解：(1)f′(x)=−3x2+6x+9．令f′(x)<0，解得x<−1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(3, +∞)．(2)因为f(−2)=8+12−18+a=2+a，f(2)=−8+12+18+a=22+a，所以f(2)>f(−2)．因为在(−1, 3)上f′(x)>0，所以f(x)在[−1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[−2, −1]上单调递减，因此f(2)和f(−1)分别是f(x)在区间[−2, 2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=−2．故f(x)=−x3+3x2+9x−2，因此f(−1)=1+3−9−2=−7，即函数f(x)在区间[−2, 2]上的最小值为−7．17. 证明：（1）∵ PA⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ PA⊥AC又∵ AB⊥AC，PA∩AC=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB∴ AC⊥面PAB∴ AC⊥PB（2）连接BD交AC于点O，并连接EO，∵ 四边形ABCD为平行四边形∴ O为BD的中点又∵ E为PD的中点∴ 在△PDB中EO为中位线，EO // PB∵ PB⊄面AEC，EO⊂面AEC∴ PB // 面AEC．18. 解：（1）由f(−1)=a−b+1=0，解得b=a+1，故函数f(x)=ax2+(a+1)x+ 1．再由f(x)≥0恒成立，可得{a>0△=(a−1)2≤0，求得a=1，可得b=2，∴ f(x)=x2+2x+1．（2）由于当x∈[−2, 2]时，g(x)=f(x)−kx=x2+(2−k)x+1是单调函数，∴ k−22≤−2，或k−22≥2．解得k≤−2，或k≥6．。
浙江省2012年高考数学仿真模拟试卷2(文科)
2012年高考模拟文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.参考公式:如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A)+P （B ）； 球的表面积公式：24R S π=（其中R 表示球的半径）；球的体积公式：343V R π=（其中R 表示球的半径）；锥体的体积公式:Sh V 31=（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高)；柱体的体积公式Sh V =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）；台体的体积公式：)(312211S S S Sh V ++=（其中21,S S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高)．第Ⅰ卷（选择题，共50分)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．(改编自2010·泉州一模)已知集合A ＝｛x |－1〈x ≤1｝，B ＝｛x ｜A．（0,1) B．（—1,0］C．[0,1）D．(-1,0］∪{1｝2．（改编自2011届宁波市八校联考高三文科数学试题) 设i=1(i是z+虚数单位）,则22+zz ( ）A．1i+ B.1i---+C。
1i-D。
1i3．(改编自2010·衡阳四校联考)已知A＝{x|｜x－1｜≤1，x∈R}，B＝｛x|log2x≤1，x∈R｝，则“x∈A”是“x∈B”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4。
（改编自2011年浙江高考参考卷) 设m,n是不同的直线，βα是不同的平面，则下列四个命题 ①若α∥β，α⊂m ,则m∥β ②若m∥α，α⊂n ，则m ∥n ③若α⊥β，m∥α，则m⊥β ④若m⊥α,m∥β，则α⊥β 其中正确的是 （ ) A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 5．各项都是正数的等比数列{}n a 中，且2a 、312a 、1a 成等差数列，则3445a aa a ++ABCD．或6． （改编自2011届宁波市八校联考高三数学试题）计算机执行右边程序框图设计的程序语言后，输出的数据是55,则判断框内应填。
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Ａ 命题 “ 数 的平 方是 正数 ”不是全 称命 题 ． 负 Ｂ 命 题 “Ｖ ＥＮ，。＞ ”的否定是 “ ．
３ ＜ ２’ ’
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５ ｌ 譬）值 ， 导＋ 为 ＋则 的
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Ｄ ［－ ］ ．－ ， ６９ 。
３ －
Ｂ１ 。
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Ｄ２ ．
８ （ 互不相等 的三个正数 ， ， 成等 比 ． 理） ： 数 列 ， 点 Ｐ （ ｇ ， ｇ １ ， ２１ 。２ｌ ６ ） 且 １１ １ｌ ６ ）Ｐ （ｏ ， ｇ ２ ， ｏ ｏＹ ｇ ｏＹ
（ｏ 。３ ｌｇＹ ） 线 （ １ｇ ， ６３ 共 ｏ ａ＞０， １ ６＞Ｏ ｂ≠ １ ， ａ≠ ， ， ） 则 Ｙ ，２Ｙ 成 Ｙ ，， （ ）
＋２ 一１ ≥ ｏ ｙ ９
ＢＤ ＡＥ 的高分别为 、 ， 以 、 为焦 ———１ 则 以 Ａ Ｂ 的高
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Ｂ ， ． ９ ［ １
部 门 抽 调 两 人 去 参 加 再
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４ ６・
中学数 学研 究
２ １ 第 ３期 ０ ２年
就业培 训 ， 培训 后这 ６人 中有两 人返 回公 司 ， 不 回 但
到原部 门工作 ， 每部 门至多安 排一人 ， 且 问共有 多少
种不 同 的安排 方法 Ａ ７ 种 ．５ Ｂ４ ． ２种 Ｃ３ ． Ｏ种 （ ）
Ａ． １
Ａ 号譬 ． ＋ 一
ｃ． ＋５３ ／ － ／
ｏ
Ｂ 一 ．号 譬 譬争 ＋
Ｄ． 一
，
（ ）当 ＝一 １－ ｉ 文 时
ｚ
１ ｏ 的值为 ∞＋ ５ ＋１
（ ）
）
Ａ １
Ｒ 一 １
ｎ． 一
＋ ｌ２ ｎ
Ｂ． ２
ｃ． ３
Ｄ． ４
５ ．某 程 序 框 图 如 图
）
５ ０分． 每 小 题 给 出的 四个 选 项 中， 有 一项 是 符 在 只
合题 目要 求的 ）
１ 以下 判 断正确 的是 ．
（
）
Ａ ［ ，］Ｕ （ ， ．０ １ ２ ＋∞） Ｂ ［ ，）Ｕ（ ， ． ０１ ２ ＋∞） Ｃ ［ ，］ ．０１ Ｄ ［ ，］ ．０ ２
４ （ ） 函数 ） ＝一 ＋５ 一１ｘ ．理 设 ｘ ０ ＋１ｘ ０
．
道 ２ １ 年 美 国数学 奥林 匹克试题 的换元 别 ｏ１
一 … ～
２ １ 高考 数 学 考 前 模 拟卷 （ ） 略解 ０ ２年 二 及
一
、
选 择题 （ 本大 题共 １ Ｏ小题 ， 每小 题 ５分 ， 共
Ｂ ＝ ｔ ） Ｉ， ｙ
， ＞ｏｔ则 Ａ×Ｂ等 于 （ ，
２ １ 第 ３期 ０ ２年
中学数 学研 究
・
４ ・ ５
ｎ 。＝ ０ ＝ … ＝ ｎ ＞ ０ ， ２ ．
１ ０ ＜０ ｌ≤ — 三 ＝ ． ＝ ＝
√ 凡‘ ＋ ｎ
３ ）可 化 为
ｎ ≤
求： 证嚣导ｒ［ 【 ＋
［
≥・ ｎ［
。＋ ’
］ 了
由上述 证 明可知 ， 广 成 立．当且 仅 当 。 ＝口 推 ＝ … ＝口 ＝—
Ｂ ｑ ＡＡ Ｃ ￣，
Ｄ１ ．５种
Ａ Ｂ Ｂ ／ ＣＡ ＿Ｃ
，
Ｅ
Ｄ
ｒ 一 Ｙ ＋ ８ ≥ ０，
Ｃ Ａ Ｂ ３ ＡＣ ＢＣ边 上 ０ ０ｏ
、 、
／
＼
７ 二 一 不 式 ｛ ＋ 一４ ０ 表 ． 元 次 等 组【 Ｙ １≤ ， 设 ２ 所
， １ ． 口 ，，＝ｃ 即为 文［ ］所提 出之 问题 ２ ｚ＝６０
参考 文献
２ ）设 口 ＞ｏ
＋口 ２＋… ＋０ ） ２≤ ４ ．
，， ， 凡≥ ３ ，， ２ … ， ）ｓ ＥＮ，
’
［］ １安振平
一 ．
≥ ２ ≥ １ ｆ互 素， 满足 。 ＋。 ＋… ＋。 ｎ ， ，，， 且 ２ ： ２ ２ ＋（
√ 凡‘ ＋
时等 号成立．
当 凡：３时， 次令 ａ 依 １＝ｎ ０ ，２：６。 ，３＝ｃ 即为 ，
原赛 题． 进 一步 ， ［ ］所 提 出之 问题 ２及 本 文 之 加 强 文 １ 式也可 推广 为
同样 的方 法 ， 我们 可 以证 明之 （ 此略） ． 特别 地 ， ：３ 且 ／ 当 ， ７ ／ ，＝２时， 次令 ０ 依 ＝口 ，
图 都，萋— 三右半矩ｌ＿ 言图示正 ｌ 视 是 和 ．合 一 图其视 、 所中 ＿＝ 侧由形一 图 圆 Ｌ 视 如 —