福建省龙海市程溪中学2015-2016学年上学期期中考高二试卷理科数学
福建省龙海市程溪中学高二期中文理科数学试卷
福建省龙海市程溪中学高二期中文理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.如果它是一个虚单位和复数单位，那么||=a.1b.c.d.2以下三段可以构成“三段论”，那么“小前提”就是因为函数是增函数;所以是增函数;而是函数.a、不列颠哥伦比亚省。
3.用反证法证明命题“三角形中至多一个内角是钝角”时，结论的否定是a、没有内角是钝角。
B.两个内角为钝角c.有三个内角是钝角d.至少有两个内角是钝角如果AB+C.B+>A+D<5.下列结论正确的是.a、当x>0和x≠ 1，lgx+≥ 2.b.当x>0时，+≥2c、当x≥ 2，X+的最小值为2d.当0压力曲线+=1φ：转换曲线的参数方程为a.θ为参数b.θ为参数c、θ是参数Dθ作为参数.将参数方程θ为参数化为普通方程为a、 y=x-2b、 y=x+2c.y=x-22≤x≤3d.y=x+20≤y≤1已知直线L1的极坐标方程为ρSin=2022，直线L2的参数方程为t，则L1和L2之间的位置关系为a.垂直b.平行c、相交但不垂直D.重合9函数y=+xx>3的最小值是.a、 5b。
4c。
3d。
二.已知椭圆的参数方程为φ为参数，点m在椭圆上，其对应的参数φ=，点o为原点，则直线om的斜率为a、 1b。
2c d.2.在极坐标系中，点a的极坐标是1，π，点p是曲线c：ρ=2sinθ上的动点，则|pa|的最小值是a、 0b。
c.+1d.-1假设a、B和C是非零实数，A2+B2+C2++的最小值为a.7b.9c、 12天。
十八13.若复数是纯虚数，则实数的值为14.在平面直角坐标系xoy中，若直线l：t为参数过椭圆c：φ为参数的右顶点，则常数a的值为__________.15.找到函数FX=x5-2x2的最大值，如下所示：16.观察下列不等式，根据这条定律，第二个不等式是$一家工厂建造了一个容积为4800m3、深度为3M的无盖长方体储罐。
漳州市龙海市程溪中学2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科) 含解析
2015-2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（上)期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只且仅有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4) B．（2，﹣4) C．（4，﹣2）D．（4，2）2．已知命题“如果﹣1≤a≤1，那么关于x的不等式（a2﹣4）x2+(a+2)x﹣1≥0的解集为∅”,它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（）A．0个B．1个C．2个D．4个3．“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A,B两点,若|AB｜=10,则AB的中点到y轴的距离等于(）A．1 B．2 C．3 D．45．从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，已知不超过70分的人数为8人，其累计频率为0。
4，则这样的样本容量是（）A．20人B．40人C．70人D．80人6．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点,则直线AE 与平面A1ED1所成角的大小为（）A．60°B．90°C．45°D．以上都不正确7．若，，且，则λ与μ的值分别为（）A．B．5，2 C．D．﹣5,﹣28．若双曲线C：x2﹣=1(b＞0）的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e=(）A．2 B．C．3 D．9．A是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A、B两点，它是一条弦,它的长度大于等于半径长度的概率为（)A．B．C．D．10．下列命题中的假命题是（)A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∃x∈R，lgx＜1 C．∀x∈N+，（x﹣1)2＞0 D．∃x∈R，tanx=2 11．如图所示，程序执行后的输出结果为()A．﹣1 B．0 C．1 D．212．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是（）A．[﹣1，﹣］B．[﹣,﹣]C．[﹣1，0］D．[﹣，0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分，把答案填在答题卷的相应位置．13．已知,是空间二向量，若=3，|｜=2,｜﹣｜=，则与的夹角为．14．已知x、y之间的一组数据如下：x 0 1 2 3y 8 2 6 4则线性回归方程所表示的直线必经过点．15．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC,点D在棱BB1上,且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是．16．曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：①曲线C过点（﹣1，1);②曲线C关于点（﹣1，1）对称；③若点P在曲线C上,点A,B分别在直线l1，l2上，则|PA|+|PB｜不小于2k;④设p1为曲线C上任意一点，则点P1关于直线x=﹣1、点（﹣1,1)及直线y=1对称的点分别为P1、P2、P3,则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．已知a＞0，a≠1，设p:函数y=log a（x+3）在（0,+∞）上单调递减，q：函数y=x2+（2a ﹣3)x+1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．18．已知关x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，设集合P=｛1，2，3}Q={﹣1,1，2，3,4｝，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a，b）．(1）列举出所有的数对（a，b)并求函数y=f（x）有零点的概率;(2）求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2,AD=1，A1A=1，（1)求证：直线BC1∥平面D1AC；（2）求直线BC1到平面D1AC的距离．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0)过点A(1,﹣2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；(Ⅱ）是否存在平行于OA(O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在,说明理由．21．如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点．(Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值;（Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．22．已知直线l：x﹣y+9=0，椭圆E：+=1,（1）过点M（,)且被M点平分的弦所在直线的方程;(2）P是椭圆E上的一点，F1、F2是椭圆E的两个焦点，当P在何位置时，∠F1PF2最大，并说明理由；(3）求与椭圆E有公共焦点,与直线l有公共点，且长轴长最小的椭圆方程．2015—2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只且仅有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内,z对应的点的坐标是(）A．（2，4）B．（2，﹣4) C．（4，﹣2）D．(4，2）【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z=,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．【解答】解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，故在复平面内,z对应的点的坐标是（4，﹣2）,故选C．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．2．已知命题“如果﹣1≤a≤1，那么关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2)x﹣1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（)A．0个B．1个C．2个D．4个【考点】四种命题的真假关系．【专题】转化法;函数的性质及应用;简易逻辑．【分析】根据四种命题之间的关系利用逆否命题的真假关系进行判断即可．【解答】解：若不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集为∅”，则根据题意需分两种情况：①当a2﹣4=0时，即a=±2,若a=2时，原不等式为4x﹣1≥0，解得x≥，故舍去，若a=﹣2时,原不等式为﹣1≥0，无解,符合题意；②当a2﹣4≠0时，即a≠±2，∵（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集,∴，解得，综上得,实数a的取值范围是．则当﹣1≤a≤1时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，反之不成立,即逆命题为假命题，否命题也为假命题,故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个,故选：C．【点评】本题考查了二次不等式的解法,四种命题真假关系的应用，注意当二次项的系数含有参数时,必须进行讨论，考查了分类讨论思想．3．“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，即1＜m＜3且m≠2,此时1＜m＜3成立，即必要性成立，当m=2时，满足1＜m＜3,但此时方程+=1等价为为圆，不是椭圆,不满足条件．即充分性不成立故“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键．4．过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若｜AB｜=10，则AB的中点到y 轴的距离等于()A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设AB的中点为E，过A、E、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、G、D，如图所示,由EG为直角梯形的中位线及抛物线的定义求出EF，则EH=EG﹣1 为所求．【解答】解：抛物线y2=4x焦点（1，0），准线为l：x=﹣1，设AB的中点为E，过A、E、B分别作准线的垂线,垂足分别为C、G、D，EF交纵轴于点H，如图所示：则由EG为直角梯形的中位线知，EG====5，∴EH=EG﹣1=4，则AB的中点到y轴的距离等于4．故选D．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想．5．从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，已知不超过70分的人数为8人，其累计频率为0。
2016年高二上学期期中考试理科数学试卷(含答案)
2016年高二上学期期中考试试卷理科数学班级：__________ 姓名：___________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分． 1．在ABC ∆中，15a =，10b =，A =60°，则 cos B = ( )A ．BC ． D2．不等式2620x x --+≤的解集是（ ）A ．21|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．21|32x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或C ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D ． 3|2x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭3．已知命题:,sin cos 2p x R x x ∀∈+≠，命题q ：0R x ∃∈，20010x x ++<，则A ．命题)(q p ⌝∧是真命题B ．命题q p ∧是真命题C ．命题q p ∨是假命题D ．命题)(q p ⌝∨是假命题 4．若110,a b <<则下列不等式:①a b ab +<;②a b >;③a b <;④2b aa b+>中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①④ D ． ③④ 5．抛物线2y ax =(a ≠0)的焦点到其准线的距离是( )A ．|a |4B ．|a |2C ．|a |D ．－a 26．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为( )A ．22136108x y -=B ．221927x y -=C ．22110836x y -=D ．221279x y -=7．已知条件:(1)(3)0p x x -+<，条件2:56q x x -≤，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件8．已知0,0>>b a ，若不等式3103m a b a b --≤+恒成立，则m 的最大值等于（ ）A ．4B ．16C ．9D ．39．设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知241a a =, 37S =,则5S =( )A ．152 B ．314 C ．334 D ．17210．已知点F 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)11．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b ()a b <，其全程的平均时速为v ，则A ．a v <<．2a b v +<< C ．v b << D ． 2a bv += 12．P 是以12,F F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（ ）. A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．双曲线的一支二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．动圆M 与221:(4)4C x y ++=圆外切，222:(4)100C x y +=圆－内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________ 14. 实数x 、y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值为 ．15．已知抛物线24xy =的焦点F 和点()A 1,6,P -为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是_____．16． 已知2()f x ax c =-，且()()411,125f f -≤≤--≤≤，则()3f 的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）ABC ∆的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13A =． (Ⅰ)求AB AC；(Ⅱ)若1c b -=，求a 的值．18．（12分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式．19．（12分）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2．5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？20．（ 12分）某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．（1）该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)？（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪一种方案较为合算，请说明理由．21．（12分）已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，对称轴为x 轴，焦点为F ,抛物线上一点M 的横坐标为2，且10FM OM ⋅=．(Ⅰ)求此抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点(4,0)做直线l 交抛物线C 于A ，B 两点,求OA OB ⋅的值．22．（ 12分）已知椭圆1C ：2221(1)y x a a+=>与抛物线2C ：24x y =有相同焦点1F ． （Ⅰ）求椭圆1C 的标准方程；（Ⅱ）已知直线1l 过椭圆1C 的另一焦点2F ，且与抛物线2C 相切于第一象限的点A ，设平行1l 的直线l 交椭圆1C 于,B C 两点，当△OBC 面积最大时，求直线l 的方程．2016年高二上学期期中考试理科数学参考答案一、选择题二、填空题13、 2213620x y += 14、 –3 15、 7 16、 []19,1- 三、解答题 17．解：由12cos 13A =，得5sin 13A ==． …… 2分 又1sin 302bc A =，∴156bc =． …… 4分 （Ⅰ）12cos 15614413AB AC bc A ⋅==⨯= ． …… 7分 （Ⅱ）2222cos a b c bc A =+-212()2(1cos )12156(1)2513c b bc A =-+-=+⋅⋅-=，∴5a =．…… 10分 18．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ． 因为366,0a a =-=，所以112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解得110,2a d =-=…3分所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-…… 6分（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ，因为2123224,8b a a a b =++=-=-所以824q -=- 即q =3 …… 9分所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==-- ……12分19．解：设为该儿童分别预订x 个单位的午餐和y 个单位的晚餐，设费用为F ，则F y x 45.2+=… 2分由题意知：128646642610540,0x y x y x yx y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪>>⎩ … 6分画出可行域，变换目标函数：485Fx y +-=…… 8分 当目标函数郭点A ，即直线6642x y +=与61054x y +=的交点为(4,3)，F 取得最小。
福建省龙海市程溪中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题理解析
2015-2016学年上学期期中考高二理科数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分） 2015、11参考公式：b=2121xn xyx n yx ni ini ii--∑∑==，a=y －b x ， b 是回归直线的斜率，a 是截距样本数据1x ，2x ，...，n x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-其中x为样本平均数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、下列给出的赋值语句正确的是( )A ．6＝AB ．M ＝－MC ．B ＝A ＝2D ．x ＋5y ＝02、已知命题p ：R x ∈∀，1cos ≤x ，则（ ）(A) 1cos ,:≥∈∃⌝x R x p (B) 1cos ,:≥∈∀⌝x R x p(C)1cos ,:00>∈∃⌝x R x p(D) 1cos ,:>∈∀⌝x R x p3、设x R ∈,则“12x >”是“2210x x +->”的（ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）(A) 至少有一个黑球与都是黑球 (B) 至少有一个红球与都是黑球(C) 至少有一个黑球与至少有1个红球 (D) 恰有1个黒球与恰有2个黑球5、甲，乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则甲，乙两命中个数的中位数分别为( )甲 茎 乙8 0 93 2 1 1 34 8 765420 2 0 0 1 1 373A. 23,19B.24,18C ．22,20 D.23,206、若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+y xC ．18422=+x yD ． 161022=+x y7、在长为10㎝的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与64 cm 2之间的概率为 （ ） (A)103(B)52(C)54 (D)51 8、某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是（ ） (A) ()2f x x = (B) ()1f x x=(C) ()xf x e = (D) ()sin f x x =（第8题图）9、21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（ ）A ．7 B ．47 C ．27D ．257）(A) 5i >？ (B) 7i ≥？ (C) 9i ≥？ ( D) 9i >？11、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 4235开始1=i 0=S iS S 2+=2+=i i ?否S输出结果是销售额y （万元） 49 26 39 54根据上表可得回归方程ˆˆy bx a =+中的b 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）(A) 63．6万元 (B) 65．5万元 (C) 67．7万元 (D) 72．0万元 12、下列说法错误的是（ ）(A) “若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题是真命题。
福建师大附中2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)资料
福建师大附中2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0]B．（﹣4，0]C．[0，4）D．（﹣4，0）3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A．B．C．D．5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A．k1＜k＜k2B．k1＜k＜k3C．k1≤k≤k3D．k＜k1或k＞k37．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k 的值为（）A．49 B．50 C．51 D．5210．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，则T2015=（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣201411．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）12．数列{a n}满足a1=1，=，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n=．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是．16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，+=，则实数λ的值为．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．18．设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC（1）判断△ABC的形状（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．22．已知函数．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．四、附加题：23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n ﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i﹣b i，此时c1，c2，…c n ，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．﹣22015-2016学年福建师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【考点】基本不等式．【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“=”取不到．【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选B【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0]B．（﹣4，0]C．[0，4）D．（﹣4，0）【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】若m=0．则﹣1＜0恒成立，若m≠0，由不等式的解集是全体实数可知f（x）=mx2﹣mx﹣1开口向下，△＜0，列出不等式解出m的范围．【解答】解：当m=0时，不等式为﹣1＜0，恒成立；当m≠0时，∵不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，∴，解得﹣4＜m＜0．综上，m的取值范围是（﹣4，0]．故选：B．【点评】本题考查了二次不等式与二次函数的关系，对m进行讨论是关键．3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知式子可得数列{a n}的公比，进而可得等比数列{}的首项为1，公比为±，由求和公式可得．【解答】解：∵，∴S8=17S4，∴=16，∴公比q满足q4=16，∴q=2或q=﹣2，∴等比数列{}的首项为1，公比为±，当公比为时，数列{}的前5项和为=；当公比为﹣时，数列{}的前5项和为=故选：A【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A．B．C．D．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】先求出BC，再求出CD即可．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=β﹣α，∠ABC=π﹣β，AB=a，∴，∴BC=，∴CD=BCtanγ=．故选：B．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值．【分析】①根据正弦定理判断得出sinA=＞1不成立；②设边长，根据余弦定理得出最大角cosα==﹣＜0，③设出角度，根据大边对大角，只需判断最大角为锐角即可．【解答】解：在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，由正弦定理可知，，所以sinA=＞1，故错误；②若三角形的三边的比是3：5：7，根据题意设三角形三边长为3x，5x，7x，最大角为α，由余弦定理得：cosα==﹣，则最大角为120°，故正确；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，设所对角分别为A，B，C，则最大角为B或C所对的角，∴cosB=＞0，得是＜x，cosC=＞0，得x＜．则x的取值范围是，故正确；故选：C．【点评】考查了正弦定理和余弦定理的应用，根据题意，正确设出边或角．6．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A．k1＜k＜k2B．k1＜k＜k3C．k1≤k≤k3D．k＜k1或k＞k3【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据z的几何意义，结合直线斜率之间的关系，即可得到结论．【解答】解：A是l1与l3的交点，目标函数z=﹣kx+y仅在点A处取到最大值，∴直线y=kx+z的倾斜角比l1的要大，比l3的要小，即有k1＜k＜k3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率之间的关系，比较基础．7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【专题】计算题；解三角形．【分析】根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入题中等式并利用三角恒等变换化简，整理得cosB（sinA﹣3sinB）=0，可得cosB=0或sinA=3sinB．再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得的值．【解答】解：∵A+B=π﹣C，∴sinC=sin（π﹣C）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，又∵sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB，∴sinC+sin（A﹣B）=3sin2B，即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB﹣cosAsinB）=6sinBcosB，化简得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA﹣3sinB）=0解之得cosB=0或sinA=3sinB．①若cosB=0，结合B为三角形的内角，可得B=，∵，∴A==，因此sinA=sin=，由三角函数的定义得sinA==；②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以=3．综上所述，的值为或3．故选：C【点评】本题给出三角形角的三角函数关系式，求边之间的比值．着重考查了三角形内角和定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和正余弦定理等知识，属于中档题．8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程，再由面积公式可得ab和sinC的方程，由同角三角函数基本关系可解cosC，可得角C【解答】解：由题意可得c2=（a﹣b）2+6=a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，两式联立可得ab（1﹣cosC）=3，再由面积公式可得S=absinC=，∴ab=，代入ab（1﹣cosC）=3可得sinC=（1﹣cosC），再由sin2C+cos2C=1可得3（1﹣cosC）2+cos2C=1，解得cosC=，或cosC=1（舍去），∵C∈（0，π），∴C=，故选：A．【点评】本题考查余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数的运算，属中档题．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k 的值为（）A．49 B．50 C．51 D．52【考点】等差数列的性质．【专题】函数思想；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质可得a50+a51＞0；a51＜0，进而可得a50＞0，且|a50|＞|a51|，可得结论．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得S100==50（a1+a100）=50（a50+a51）＞0，∴a50+a51＞0；同理S101===101a51＜0，∴a51＜0；∴a50＞0，且|a50|＞|a51|，∴k=51故选：C．【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，整体得出项的正负是解决问题的关键，属中档题．10．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，则T2015=（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣2014【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质．【分析】利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”可得a n，于是=2（n﹣1）•cos．由于函数y=cos的周期T==4．利用周期性和等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，当n=1时，a1=S1=1﹣1=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣n﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．上式对于n=1时也成立．∴a n=2n﹣2．∴=2（n﹣1）•cos．∵函数y=cos的周期T==4．∴T2015=（b1+b5+…+b2009）+（b2+b6+…+b2010）+（b3+b7+…+b2011）+（b4+b8+…+b2012）+b2013+b2014+b2015=0﹣2（1+5+...+2009）+0+2（3+7+ (2011)+4024•cos+4026•cos+4028•cos=4×503+0﹣4026=﹣2014．故选D．【点评】本题考查了利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求a n、余弦函数的周期性、等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．11．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先解不等式：x2﹣2x﹣3≤0，然后a取特殊值验证即可得到答案．【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣3≤0得﹣1≤x≤3；观察选项取a=﹣1解不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x≤0可得﹣4＜x＜0显然A不正确；令a=31不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x﹣32≤0解得﹣8≤x≤4，仅有B正确．故选B．【点评】选择题的解法非常灵活，一定要观察题干和选项，特殊值一定要特殊．是中档题．12．数列{a n}满足a1=1，=，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】数列与不等式的综合．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】先求出数列{a n2}的通项公式，再求S n，注意运用裂项相消求和，以及不等式的性质，可求正整数t的最小值．【解答】解：∵a1=1，=，∴+4=，∴﹣=4，∴{}是首项为1，公差为4的等差数列，∴=4n﹣3，∴a n2=，a n2•a n+12=•=（﹣），∴S n=a i2a i+12=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，即为t≥30•=7.5，而t为正整数，所以，t min=8．故选C．【点评】本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题，学会用不等式处理问题．本题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，属于中档题．二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=2．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2；故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n=．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知求出S1+a1=2，可得S n+na n=2，当n≥2时，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，然后利用累积法求得a n．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，∴S1+1×a1=1+1=2，∵{S n+na n}为常数列，∴由题意知，S n+na n=2，当n≥2时，S n﹣1+（n﹣1）a n﹣1=2两式作差得（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，从而=，∴（n≥2），当n=1时上式成立，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，训练了累乘法求数列的通项公式，是中档题．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是4．【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；整体思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由新定义得到数列{b n}为等比数列，然后由等比数列的性质得到b50=2，再利用基本不等式求得b8+b92的最小值．【解答】解：依题意可得b n+1=qb n，则数列{b n}为等比数列．又b1b2b3…b99=299=．则b50=2．∴b 8+b92≥=2b50=4，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故答案为：4．【点评】本题是新定义题，考查了等比数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，+=，则实数λ的值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=AB，再应用余弦定理推出AC2+BC2=5AB2，将+=应用三角恒等变换公式化简得λ=，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出实数λ的值．【解答】解：如图，连接CG，延长交AB于D，由于G为重心，故D为中点，∵AG⊥BG，∴DG=AB，由重心的性质得，CD=3DG，即CD=AB，由余弦定理得，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos∠BDC，∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，∴AC2+BC2=2AD2+2CD2，∴AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2，又∵+=，∴+=，则λ=======．故答案为：【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的重心性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【专题】分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．【解答】解：（1）∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为（ax﹣2）（x+1）≥0，且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∴a＞0；又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2；∴=2，解得a=1；（2）①a=0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}；②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）≥0，它对应的方程的两个实数根为和﹣1，且＞﹣1，∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}；当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1）≤0，不等式对应方程的两个实数根为和﹣1，在﹣2＜a＜0时，＜﹣1，∴不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}；在a=﹣2时，=﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；在a＜﹣2时，＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的思想，是中档题目．18．设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由条件可得n≥2时，，整理可得，故数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为，由此求得s n．再由求出{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，用裂项法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，S n﹣1﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{b n}的前n项和，∴．【点评】本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（1）设出PA的长度x，把∠CPA，∠DPB的正切值用含x的代数式表示，由正切值相等求得x的值，即可确定P点的位置；（2）设出PA的长度x，把∠CQA与∠DQB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠CQD的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使Q对C、D所张角最大时的x值，即可确定点Q的位置．【解答】解：（1）设PA=x，∠CPA=α，∠DPB=β．依题意有，．由tanα=tanβ，得，解得x=2，故点P应选在距A点2km处；（2）设PA=x，∠CQA=α，∠DQB=β．依题意有，，tan∠CQD=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=，令t=x+6，由0＜x＜6，得6＜t＜12，则=，∵，∴，当时，所张的角为钝角，当，即x=时取得最大角，故点Q应选在距A点km处．【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC（1）判断△ABC的形状（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意和三角形的知识可得cosC=0，可得C=90°，△ABC为直角三角形；（2）由数量积的意义可得•=||2=9，可得AC=3，再由三角形的面积公式可得BC=4，由勾股定理可得AB=5；（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，设P的坐标为（x，y），可得d1+d2+d3=，且，令x+2y=m，由线性规划的知识可得．【解答】解：（1）∵在△ABC中sinB=cosAsinC，∴sin（A+C）=cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC，∴sinAcosC=0，即cosC=0，C=90°，∴△ABC为直角三角形；（2）∵•=||2=9，解得AC=3，又ABC的面积S=×3×BC=6，∴BC=4，由勾股定理可得AB=5；（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（0，4），可得直线AB的方程为+=1，即4x+3y﹣12=0，设P的坐标为（x，y），则d1+d2+d3=x+y+，且，∴d1+d2+d3=x+y﹣=，令x+2y=m，由线性规划的知识可知0≤m≤8∴d1+d2+d3的取值范围为[，4]【点评】本题考查解三角形，涉及向量的知识和简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）设（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算出点D到EF的距离为h=（1﹣λ）百米，从而得到S△DEF=EF•h表示成关于λ的函数式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面积S△DEF的最大值；（2）设正三角形DEF的边长为a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，将CF和AF用a、α表示出，再用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并结合辅角公式化简，利用正弦函数的值域即可求得a的最小值．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．∴cosB=，可得B=60°∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°设（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米，Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=CE=λ百米，∵C到AB的距离为BC=百米，∴点D到EF的距离为h=﹣λ=（1﹣λ）百米可得S△DEF=EF•h=λ（1﹣λ）百米2∵λ（1﹣λ）≤[λ+（1﹣λ）]2=，当且仅当时等号成立∴当时，即E为AB中点时，S△DEF的最大值为百米2（2）设正△DEF的边长为a，∠CEF=α则CF=a•sinα，AF=﹣a•sinα设∠EDB=∠1，可得∠1=180°﹣∠B﹣∠DEB=120°﹣∠DEB，α=180°﹣60°﹣∠DEB=120°﹣∠DEB∴∠ADF=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣α在△ADF中，=即，化简得a[2sin（120°﹣α）+sinα]=∴a===（其中φ是满足tanφ=的锐角）∴△DEF边长最小值为．【点评】本题在特殊直角三角形中求三角形边长和面积的最值，着重考查了解直角三角形、平行线的性质、正弦定理和三角恒等变换等知识，考查了在实际问题中建立三角函数模型能力，属于中档题．22．已知函数．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．【考点】复合函数的单调性．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）问题等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，分离出参数k后转化为求函数的最值问题即可；（2），令，则，分k＞1，k=1，k＜1三种情况进行讨论求出f（x）的最小值，令其为﹣2即可解得k值；（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k=1时易判断；当k＞1，k＜1时转化为函数的最值问题解决即可，借助（2）问结论易求函数的最值；【解答】解：（1）因为4x+2x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，即k＞﹣2x﹣2﹣x恒成立，因为﹣2x﹣2﹣x=﹣（2x+2﹣x）≤﹣2，当且仅当2x=2﹣x即x=0时取等号，所以k＞﹣2；（2），令，则，当k＞1时，无最小值，舍去；当k=1时，y=1最小值不是﹣2，舍去；当k＜1时，，最小值为，综上所述，k=﹣8．（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k＞1时，因且，故，即1＜k≤4；当k=1时，f（x1）=f（x2）=f（x3）=1，满足条件；当k＜1时，且，故，解得；综上所述，【点评】本题考查复合函数的单调性、函数恒成立、函数最值等问题，考查转化思想，综合性较强，难度较大．四、附加题：23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n ﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i﹣b i，此时c1，c2，…c n ，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．﹣2【考点】等差关系的确定．【专题】证明题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】依题意，0＜c1＜c2＜…＜c n﹣1，可用反证法证明x1，x2，…，x n﹣1是单调递增数列；再证明x m为数列{x n}中的最小项，从而可求得是x k=c k+x m，问题得证【解答】证明：设c为c1，c2，…c n﹣2，c n﹣1的公差，对1≤i≤n﹣2，因为b i≤b i+1，c＞0，所以a i+1=b i+1+c i+1≥b i+c i+c＞b i+c i=a i，又因为a i+1=max{a i，x i+1}，所以x i+1=a i+1＞a i≥x i．从而x1，x2，…，x n﹣1为递增数列．因为a i=x i（i=1，2，…n﹣1），又因为b1=a1﹣c1＜a1，所以b1＜x1＜x2＜…＜x n﹣1，因此x n=b1．所以b1=b2=…=b n﹣1=x n．所以x i=a i=b i+c i=x n+c i，因此对i=1，2，…，n﹣2都有x i+1﹣x i=c i+1﹣c i=c，即x1，x2，…，x n﹣1是等差数列．【点评】本题考查等差数列，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．。
福建省漳州市龙海市程溪中学2015-2016学年高二下学期
2015-2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若A=10A，则n=（）A．1 B．8 C．9 D．103．“因为指数函数y=a x是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以y=（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错4．下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx5．若曲线f（x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣3）C．（1，0）D．（1，5）6．用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除7．在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b88．复数a+bi（a，b∈R）的平方是实数等价于（）A．a2+b2=0 B．a=0且b=0 C．a≠0 D．ab=09．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种10．函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A．f（a）=f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小关系不能确定11．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）13．计算=．14．计算定积分：∫dx=．15．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个．（用数字作答）16．在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形则第n个三角形数为．三、计算题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（写出必要的解答过程）（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端．18．设函数f（x）=ln（2x+3）+x2（1）讨论f（x）的单调性；（2）求f（x）在区间[﹣，]的最大值和最小值．19．已知y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两相等实根，且f′（x）=2x+2 （1）求f（x）的解析式．（2）求函数y=f（x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．20．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？21．数列{a n}满足：a1=，前n项和S n=a n，（1）写出a2，a3，a4；（2）猜出a n的表达式，并用数学归纳法证明．22．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．（1）求直线l的方程及实数m的值；（2）若h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜．2015-2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选D．2．若A=10A，则n=（）A．1 B．8 C．9 D．10【考点】排列及排列数公式．【分析】利用排列数的计算公式即可得出．【解答】解：∵A=10A，∴2n（2n﹣1）（2n﹣2）=10n（n﹣1）（n﹣2），化为：4n﹣2=5n﹣10，则n=8．故选：B．3．“因为指数函数y=a x是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以y=（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错【考点】演绎推理的基本方法．【分析】对于指数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数y=a x是增函数这个大前提是错误的，得到结论【解答】解：∵当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数∴y=a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故选A．4．下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx【考点】定积分的简单应用．【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可．【解答】解：选项A，xdx=x2=，不满足题意；选项B，（x+1）dx=（x2+x）=+1=，不满足题意；选项C，1dx=x=1﹣0=1，满足题意；选项D，dx=x=﹣0=，不满足题意；故选C．5．若曲线f（x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣3）C．（1，0）D．（1，5）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出P的坐标为（a，b），根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，由曲线在点P的切线与已知直线平行，得到斜率相等，先根据已知直线的方程求出已知直线的斜率即为曲线上过点P切线方程的斜率，即为导函数在x=a时的函数值，把x=a代入导函数表示出函数值，让其等于切线方程的斜率列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入f（x）中即可得到b的值，根据求出的a与b的值写出点P的坐标即可．【解答】解：设点P的坐标为（a，b），由f（x）=x4﹣x，得到f′（x）=4x3﹣1，因为曲线上过P的切线与直线3x﹣y=0平行，所以过点P的切线的斜率k等于直线3x﹣y=0的斜率，即k=3，则f′（a）=4a3﹣1=3，解得a=1，把a=1代入得：f（1）=0，则点P的坐标为（1，0）．故选C6．用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除【考点】反证法．【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．7．在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b8【考点】类比推理；等比数列的性质．【分析】类比等差数列{a n}与等比数列{b n}均为各项为正数的递增数列，等差数列中的“和”运算类比等比数列中“积”运算，由此即可得到答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，a n＞0，公差为d＞0，所以{a n}为各项为正数的递增数列，由于4+6=3+7时有a4•a6＞a3•a7，而在等比数列{bn}中，b n＞0，q＞1，则{bn}为各项为正数的递增数列，由于4+8=5+7，所以应有b4+b8＞b5+b7，∴b4+b8＞b5+b7．故选：A．8．复数a+bi（a，b∈R）的平方是实数等价于（）A．a2+b2=0 B．a=0且b=0 C．a≠0 D．ab=0【考点】复数相等的充要条件．【分析】计算复数a+bi（a，b∈R）的平方计算出来，写成代数形式，须虚部为0，再进行选择．【解答】解：（a+bi）2=（a2﹣b2）+2a b i，若是实数，则虚部a b=0，故选D9．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种【考点】分步乘法计数原理．【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．故选A10．函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A．f（a）=f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小关系不能确定【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数进行求导数，再根据导数的正负判断函数的增减性即可得到答案．【解答】解：∵，f′（x）=﹣=∴当x＜1时，f'（x）＜0，即f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，又∵a＜b＜1，∴f（a）＞f（b）故选C．11．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选：A．12．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，因为函数在R上为单调函数，所以导函数与x轴没有交点或只有一个交点，即△小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1，得到f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，因为函数在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1≤0在（﹣∞，+∞）恒成立，则△=，所以实数a的取值范围是：[﹣，]．故选B二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）13．计算=2﹣ī．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：因为复数===﹣i+2故答案为：2﹣ī．14．计算定积分：∫dx=．【考点】定积分．【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与直线x=0，x=﹣3所围成的图形的面积即可．【解答】解：解：由定积分的几何意义知∫dx是由曲线y=，直线x=0，x=﹣3围成的封闭图形的面积，故∫dx==，故答案为：．15．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时，当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，故答案为：1416．在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形则第n个三角形数为．【考点】归纳推理．【分析】设第n个三角形数即第n个图中有a n个点；观察图形可得，第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多2，即a2﹣a1=2，第三个图中点的个数比第二个图中点的个数多3，即a3﹣a2=3，依此类推，可得第n个图中点的个数=n，将得到的式子，相加可得答案．比第n﹣1个图中点的个数多n，即a n﹣a n﹣1【解答】解：设第n个三角形数即第n个图中有a n个点；由图可得：第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多2，即a2﹣a1=2，第三个图中点的个数比第二个图中点的个数多3，即a3﹣a2=3，…=n，第n个图中点的个数比第n﹣1个图中点的个数多n，即a n﹣a n﹣1则a n=1+2+3+4+…+n=；故答案为．三、计算题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（写出必要的解答过程）（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】（1）根据题意，把两个女生看做一个元素，注意考虑其间顺序，再将6个元素进行全排列，由分步计数原理计算可得答案，（2）根据题意，4名男生互不相邻，应用插空法，要老师和女生先排列，形成四个空再排男生，由分步计数原理计算可得答案，（3）根据题意，先在7个空位中任选3个安排老师和女生，因男生受身高排序的限制，只有1种站法，由分步计数原理计算可得答案，（4）根据题意，分2种情况讨论，①、老师在两端，②、老师不在两端，利用排列、组合公式可得每种情况的站法数目，进而由分类计数原理将其相加即可得答案．【解答】解：（1）根据题意两个女生必须相邻而站，把两个女生看做一个元素，两个女生之间有A 22种顺序，将6个元素进行全排列，有A 66种情况，则共有A 66A 22=1440种不同站法；（2）根据题意，先将老师和女生先排列，有A 33种情况，排好后形成四个空位，将4名男生插入，有A 44种情况，共有A 33A 44=144种不同站法；（3）根据题意，先安排老师和女生，在7个空位中任选3个即可，有A 73种情况，若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站，则男生的顺序只有一个，将4人排在剩余的4个空位上即可，有1种情况， 则共有1×A 73=210种不同站法；（4）根据题意，分2种情况讨论：①、老师在两端，则老师有2种站法，女生可以站中间的5个位置，有A 52种站法，男生站剩余的4个位置，有A 44种站法，此时有2×A 52×A 44=960种不同站法，②、老师不在两端，则老师有4种站法，中间还有4个位置可站女生，女生有A 42种站法，男生站剩余的4个位置，有A 44种站法，此时共有4×A 42×A 44=1152种不同站法，则老师不站中间，女生不站两端共有960+1152=2112种不同站法．18．设函数f （x ）=ln （2x+3）+x 2（1）讨论f （x ）的单调性；（2）求f （x ）在区间[﹣，]的最大值和最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先根据对数定义求出函数的定义域，然后令f ′（x ）=0求出函数的稳定点，当导函数大于0得到函数的增区间，当导函数小于0得到函数的减区间，即可得到函数的单调区间；（2）根据（1）知f （x ）在区间[﹣，]的最小值为f （﹣）求出得到函数的最小值，又因为f （﹣）﹣f （）＜0，得到f （x ）在区间[﹣，]的最大值为f （）求出得到函数的最大值．【解答】解：f （x ）的定义域为（﹣，+∞）（1）f′（x）=+2x=当﹣＜x＜﹣1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜﹣时，f′（x）＜0；当x＞﹣时，f′（x）＞0从而，f（x）在区间（﹣，﹣1），（﹣，+∞）上单调递增，在区间（﹣1，﹣）上单调递减（2）由（1）知f（x）在区间[﹣，]的最小值为f（﹣）=ln2+又f（﹣）﹣f（）=ln+﹣ln﹣=ln+=（1﹣ln）＜0所以f（x）在区间[﹣，]的最大值为f（）=+ln．19．已知y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两相等实根，且f′（x）=2x+2 （1）求f（x）的解析式．（2）求函数y=f（x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．【考点】函数与方程的综合运用；定积分．【分析】（1）用待定系数法设出解析式，据△=0，和f′（x）=2x+2确定结果．（2）利用定积分求曲边图形面积，找准积分区间和被积函数．【解答】解：（1）∵y=f（x）是二次函数，且f'（x）=2x+2．∴可设f（x）=x2+2x+c．又∵方程f（x）=0有两个相等实根，∴△=4﹣4c=0⇒c=1，∴f（x）=x2+2x+1（2）∵函数f（x）=x2+2x+1与函数y=﹣x2﹣4x+1的图象交于点（0，1），（﹣3，4），∴两函数图象所围成的图形的面积为=．20．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm321．数列{a n}满足：a1=，前n项和S n=a n，（1）写出a2，a3，a4；（2）猜出a n的表达式，并用数学归纳法证明．【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】（1）根据，利用递推公式，分别令n=2，3，4．求出a1，a2，a3，a4；（2）根据（1）求出的数列的前四项，从而总结出规律猜出a n，然后利用数学归纳法进行证明即得．【解答】解：（1）∵，∴令n=2，，即a1+a2=3a2．∴．令n=3，得，即a1+a2+a3=6a3，∴．令n=4，得，a1+a2+a3+a4=10a4，∴．（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明．①当n=1时，结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即，则当n=k+1时，=，即．∴∴．∴当n=k+1时结论成立．由①②可知，对一切n∈N+都有成立．22．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．（1）求直线l的方程及实数m的值；（2）若h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜．【考点】函数与方程的综合运用；利用导数求闭区间上函数的最值；不等式的证明．【分析】（1）先根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，得到切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程，最后将切线方程与联立方程组，使方程组只有一解，利用判别式建立等量关系，求出m即可；（2）先求出h（x）的解析式，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值；（3）f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln=ln（1+）．由（2）知当x∈（﹣1，0）时，h（x）＜h（0）由ln（1+x）＜x，ln（1+）＜即可得出f（a+b）﹣f（2a）＜．【解答】解：（1）∵，∴f'（1）=1．∴直线l的斜率为1，且与函数f（x）的图象的切点坐标为（1，0）．∴直线l的方程为y=x﹣1．又∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，∴方程组有一解．由上述方程消去y，并整理得x2+2（m﹣1）x+9=0①依题意，方程①有两个相等的实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4×9=0解之，得m=4或m=﹣2∵m＜0，∴m=﹣2．（2）由（1）可知，∴g'（x）=x﹣2∴h（x）=ln（x+1）﹣x+2（x＞﹣1）．∴．∴当x∈（﹣1，0）时，h'（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0．∴当x=0时，h（x）取最大值，其最大值为2，（3）f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln=ln（1+）．∵0＜b＜a，∴﹣a，∴．由（2）知当x∈（﹣1，0）时，h（x）＜h（0）∴当x∈（﹣1，0）时，ln（1+x）＜x，ln（1+）＜．∴f（a+b）﹣f（2a）＜2016年7月3日。
2015-2016学年福建省师大附中高二上学期期中考试数学理试题(实验班)
2015-2016学年福建省师大附中高二上学期期中考试数学理试题（实验班）本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（ ） A ．当0>x 且1≠x 时，2lg 1lg ≥+x x B ．当0>x 时，21≥+xx C ．当2≥x 时，x x 1+的最小值为2 D ．当20≤<x 时，xx 1-无最大值 2．关于x 的不等式012<--mx mx 的解集是全体实数,则m 应满足的条件是（ ）A ．]0,4[-B ．(]4,0-C ．[)0,4D ．()4,0- 3．已知数列{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且17184=S S ，则数列}1{n a 的前5项和为 （ ） A ．1631或1611 B ．1611或2116 C ．1611 D ．16314． 一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北α方向上，行驶a 千米后到达B 处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ,根据这些测量数据计算(其中αβ>)，此山的高度是（ ） A ．)sin(sin sin αβγα-a B ．)sin(tan sin αβγα-a C ．)sin(sin sin αβγβ-aD ．)sin(tan sin αβγβ-a5．在ABC ∆中，①若60B =︒，10=a ，7=b ，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角；③若ABC ∆为锐角三角形，且三边长分别为2,3,x ，则x 的取值范围是135<<x ．其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知约束条件对应的平面区域D 如图所示，其中123,,l l l 对应的直线方程分别为：112233,,y k x b y k x b y k x b =+=+=+，若目标函数z kx y =-+仅．在点(,)A m n 处取到最大值，则有（ ）l3l 1y A (m ,n )A ．12k k k << B.13k k k << C.13k k k ≤≤ D.1k k <或3k k >7．在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，B B AC 2sin 3)sin(sin =-+.若3π=C ,则=ba（ ）A.21 B.3 C.21或3 D.3或41 8．在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC ∆的面积为332，则C =( ) A ．3π B ． 23π C ．6π D ．56π9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1001010,0><S S ，对任意正整数n ，都有||||n k a a ≥，则k 的值为( )A.49B.50C.51D.5210．已知数列}{n a 的前n 项和为n n S n -=2，令2cosπn a b n n =，记数列}{n b 的前n 项为n T ，则(2015=T ）A ．2011-B ．2012-C ．2013-D ．2014-11．若不等式组222304(1)0x x x x a ⎧--≤⎪⎨+-+≤⎪⎩的解集不是空集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,4]-∞-B ．[4,)-+∞C ．[4,20]-D ．[40,20)-12．数列{}n a 满足121111,4n n a a a +=+=，记2211+==∑nn i i i S a a ，若30≤n t S 对任意的n ()n N *∈恒成立，则正整数t 的最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，{}n n S na +为常数列，则n a = 15．若数列{}n a 满足110n npa a +-=，*,n N p ∈为非零常数，则称数列{}n a 为“梦想数列”．已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且99123992b b b b = ，则892b b +的最小值是16．已知点G 是ABC ∆的重心,且11,tan tan tan AG BG A B Cλ⊥+=,则实数λ的值为三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）关于x 的不等式2(a 2)x 20ax +--≥，()a R ∈（1）已知不等式的解集为(][),12,-∞-⋃+∞，求a 的值；（2）解关于x 的不等式2(a 2)x 20ax +--≥．18．（本小题满分10分）设n S 是数列}[n a 的前n 项和，)2(21,121≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-==n S a S a n n n ．（1）求{}n S 的通项；（2）设12+=n S b nn ，求数列}{n b 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA =km ，2DB =km ，AB 两端之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D的张角相等，试确定点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置.AB C DQPDC BA20．(本小题满分12分)在ABC ∆中，已知sin cos sin =B A C （1）判断ABC ∆的形状（2）若9⋅=AB AC ,又ABC ∆的面积等于6.求ABC ∆的三边之长；（3）在（2）的条件下，设p 是ABC ∆（含边界）内一点，p 到三边AB BC 、、CA 的距离分别为123d d d 、、，求123d d d ++的取值范围.21．(本小题满分12分)某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D ，E ，F ，如图(1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF 喂食，求△DEF 面积S △DEF 的最大值；(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，如图(2)，建造△DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF 为正三角形，求△DEF 边长的最小值．22．（本小题满分14分）已知函数124124)(+++⋅+=xx x x k x f （1）若对于任意的0)(,>∈x f R x 恒成立，求实数k 的取值范围； （2）若)(x f 的最小值为2-，求实数k 的值；（3）若对任意的R x x x ∈321,,，均存在以)(),(),(321x f x f x f 为三边长的三角形，求实数k 的取值范围．附加题：研究数列{}n x 的前n 项发现：{}n x 的各项互不相同，其前i 项（11≤≤-i n ）中的最大者记为i a ，最后-n i 项（11≤≤-i n ）中的最小者记为i b ，记=-i i i c a b ，此时1221,,,-- n n c c c c 构成等差数列，且10>c ，证明：1231,,- n x x x x 为等差数列.期中考试参考答案1．B 2．B 3．A 4． B 5．C 6．B 7．C 8．A 9．C 10．D 11．B 12．C 二、填空题13．2 14．2/(1)+n n 15．4 16．1/217．（1）1a = ；（2）0a =时原不等式解集为{}1x x ≤-；0a >时原不等式解集为{}21x x x a≤-≥或；20a -<<时原不等式解集为{}21xx a≤≤-；2a =-时原不等式解集为{}1x x =-；2a <-时原不等式解集为{}21x x a-≤≤． 18．19．2021．22．（1）2->k （2）121211124124)(++-+=+++⋅+=x x xx x x k k x f ，令31212≥++=x xt ，则)3(11≥-+=t t k y ， 当1>k 时，]32,1(+∈k y 无最小值，舍去；当1=k 时，1=y 最小值不是2-，舍去；当1<k 时，)1,32[+∈k y ，最小值为8232-=⇒-=+k k ，综上所述， 8-=k 。
《解析》福建省漳州市龙海市程溪中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷Word版含解析
2015-2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}2．下列四个图象中，是函数图象的是（）A．（1）B．（1）（3）（4）C．（1）（2）（3）D．（3）（4）3．函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣）4．下列各组函数表示同一函数的是（）A． B．f（x）=1，g（x）=x0C． D．5．函数的图象关于（）A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称 D．直线y=x对称6．偶函数y=f（x）在区间[0，4]上单调递减，则有（）A．f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π） B．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣π） C．f（﹣π）＞f（﹣1）＞f （）D．f（﹣1）＞f（﹣π）＞f（）7．函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，9]C．（0，1） D．[9，+∞）8．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x2m﹣3是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．59．函数f（x）=log2x+2x﹣1的零点必落在区间（）A．（，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）10．三个数a=70.3，b=0.37，c=ln0.3大小的顺序是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b11．若函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）12．某学生离家去学校，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学生走法的（）A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数y=log a（x﹣3）﹣1（x＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是．14．函数f（x）在R上为奇函数，且f（x）=+1，x＞0，则当x＜0时，f（x）=．15．方程的解的个数为个．16．下列说法中，正确的是．①任取x＞0，均有3x＞2x．②当a＞0，且a≠1时，有a3＞a2．③y=（）﹣x是增函数．④y=2|x|的最小值为1．⑤在同一坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设U={x∈Z|0＜x≤10}，A={1，2，4，5，9}，B={4，6，7，8，10}，C={3，5，7}，求A∩B，（C U A）∩（C U B），（A∩B）∩C．18．（1）解方程：4x﹣4•2x+3=0（2）计算：lg5•lg8000+（lg2）2+lg+lg0.06．19．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），的定义域为集合B；集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，若A∩B=∅，求实数a的取值集合．20．已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），（a＞0，且a≠1）．（1）设a=2，函数f（x）的定义域为[3，63]，求函数f（x）的最值．（2）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值范围．21．旅行社为某旅游团包飞机旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数为30人或30人以下，每张飞机票的价格为900元；若旅游团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，每张机票的价格减少10元，但旅游团的人数最多有75人．（1）写出飞机票的价格关于旅游团的人数的函数关系式；（2）旅游团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？22．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．下列四个图象中，是函数图象的是（）A．（1）B．（1）（3）（4）C．（1）（2）（3）D．（3）（4）【考点】函数的图象．【专题】图表型．【分析】根据函数值的定义，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定唯一一个值，体现在函数的图象上的特征是，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．【解答】解：根据函数的定义知：在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有（2）不符合此条件．故选B．【点评】本题主要考查了函数的图象及函数的概念．函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系．精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），因变量（函数），随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应．3．函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣）【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】依题意可知要使函数有意义需要1﹣x＞0且3x+1＞0，进而可求得x的范围．【解答】解：要使函数有意义需，解得﹣＜x＜1．故选B．【点评】本题主要考查了对数函数的定义域．属基础题．4．下列各组函数表示同一函数的是（）A． B．f（x）=1，g（x）=x0C． D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】证明题．【分析】分别求出四个答案中两个函数的定义域，然后判断是否一致，进而化简函数的解析式，再比较是否一致，进而根据两个函数的定义域和解析式均一致，则两函数表示同一函数，否则两函数不表示同一函数得到答案．【解答】解：f两个函数的定义域和解析式均不一致，故A中两函数不表示同一函数；f（x）=1，g（x）=x0两个函数的定义域不一致，故B中两函数不表示同一函数；两个函数的定义域和解析式均一致，故C中两函数表示同一函数；两个函数的定义域不一致，故D中两函数不表示同一函数；故选C【点评】本题考查的知识点是判断两个函数是否表示同一函数，熟练掌握同一函数的定义，即两个函数的定义域和解析式均一致或两个函数的图象一致，是解答本题的关键．5．函数的图象关于（）A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称 D．直线y=x对称【考点】奇偶函数图象的对称性．【分析】根据函数f（x）的奇偶性即可得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称故选C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，是高考必考题型．6．偶函数y=f（x）在区间[0，4]上单调递减，则有（）A．f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π） B．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣π） C．f（﹣π）＞f（﹣1）＞f （）D．f（﹣1）＞f（﹣π）＞f（）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】由函数y=f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），从而有f（﹣1）=f（1），f（﹣π）=f（π），结合函数y=f（x）在[0，4]上的单调性可比较大小【解答】解：∵函数y=f（x）为偶函数，且在[0，4]上单调递减∴f（﹣x）=f（x）∴f（﹣1）=f（1），f（﹣π）=f（π）∵1＜＜π∈[0，4]f（1）＞f（）＞f（π）即f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π）故选A【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的综合应用，解题的关键是由偶函数把所要比较的式子转化为同一单调区间上可进行比较7．函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，9]C．（0，1） D．[9，+∞）【考点】反函数．【专题】计算题；转化思想．【分析】利用反函数的定义域就是原函数的值域，转化为求原函数的值域，再利用单调性求出原函数的值域．【解答】解：函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域就是函数f（x）=3x（0＜x≤2）的值域，由函数f（x）在其定义域内是单调增函数得1＜f（x）≤9，故选B．【点评】本题考查反函数的定义，反函数与原函数的关系，体现了转化的数学思想．8．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x2m﹣3是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．5【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题；函数思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】由幂函数的定义计算m的值，再验证函数在x∈（0，+∞）上为减函数即可．【解答】解：∵f（x）=（m2﹣m﹣1）x2m﹣3是幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；当m=2时，2m﹣3=1，y=x﹣在x∈（0，+∞）上为增函数，不满足题意；当m=﹣1时，2m﹣3=﹣5，y=x﹣5在x∈（0，+∞）上是减函数，满足题意；∴m=﹣1；故选：B．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的简单应用，是基础题．9．函数f（x）=log2x+2x﹣1的零点必落在区间（）A．（，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）【考点】函数的零点．【专题】计算题．【分析】要判断函数f（x）=log2x+2x﹣1的零点位置，我们可以根据零点存在定理，依次判断，，，1，2的函数值，然后根据连续函数在区间（a，b）上零点，则f（a）与f（b）异号进行判断．【解答】解：∵f（）=log2+2×﹣1=﹣4＜0f（）=log2+2×﹣1=﹣3＜0f（）=log2\frac{1}{2}+2×﹣1=1﹣2＜0f（1）=log21+2×1﹣1=2﹣1＞0f（2）=log22+2×2﹣1=5﹣1＞0故函数f（x）=log2x+2x﹣1的零点必落在区间（，1）故选C【点评】本题查察的知识点是函数的零点，解答的关键是零点存在定理：即连续函数在区间（a，b）上零点，则f（a）与f（b）异号．10．三个数a=70.3，b=0.37，c=ln0.3大小的顺序是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b【考点】一元二次不等式的应用；不等式比较大小．【专题】计算题．【分析】由指数函数和对数函数的图象可以判断a=70.3，b=0.37，c=ln0.3和0 和1的大小，从而可以判断a=70.3，b=0.37，c=ln0.3的大小．【解答】解：由指数函数和对数函数的图象可知：70.3＞1，0＜0.37＜1，ln0.3＜0，所以ln0.3＜0.37＜70.3故选A．【点评】本题考查利用插值法比较大小、考查指数函数、对数函数的图象和性质，属基础知识、基本题型的考查．11．若函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】若函数f（x）=是R上的增函数，则，解得实数a的取值范围【解答】解：∵函数f（x）=是R上的增函数，∴，解得：a∈[4，8），故选：D．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关键．12．某学生离家去学校，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学生走法的（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于一开始就跑步，所以跑步时离家的距离增加的较快，其直线的斜率应较大；等跑累了再步行走完余下的路程，所以步行时增加的距离较慢，其直线的斜率应较小．据此可求出答案．【解答】解：由于学生离家去学校，一开始就跑步，所以跑步时离家的距离增加的较快；等跑累了再步行走完余下的路程，所以步行时增加的距离较慢．因此只有答案A符合题目要求．故选A．【点评】本题考查学生离家后的距离随时间变化的快慢情况，充分理解函数的定义及单调性是解决问题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数y=log a（x﹣3）﹣1（x＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（4，﹣1）．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数y=log a x恒过定点（1，0），而y=log a（x﹣3）﹣1的图象是由y=log a x的图象平移得到的，故定点（1，0）也跟着平移，从而得到函数y=log a（x﹣3）﹣1恒过的定点．【解答】解：∵函数y=log a x恒过定点（1，0），而y=log a（x﹣3）﹣1的图象是由y=log a x的图象向右平移3个单位，向下平移1个单位得到的，∴定点（1，0）也向右右平移3个单位，向下平移1个单位，∴定点平移后即为定点（4，﹣1），∴函数y=log a（x﹣3）﹣1的图象恒过定点P（4，﹣1），∴点P的坐标是（4，﹣1）．故答案为：（4，﹣1）．【点评】本题考查了对数函数的单调性与特殊点．对于对数函数问题，如果底数a的值不确定范围，则需要对底数a进行分类讨论，便于研究指数函数的图象和性质．本题重点考查了对数函数图象恒过定点（0，1），涉及了图象的变换，即平移变换，注意变换过程中特殊点，定点，渐近线等等都是跟着平移的．属于基础题．14．函数f（x）在R上为奇函数，且f（x）=+1，x＞0，则当x＜0时，f（x）=﹣﹣1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x）为奇函数且x＞0时，f（x）=+1，设x＜0则有﹣x＞0，可得f（x）=﹣f （﹣x）=﹣（+1）．【解答】解：∵f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=+1，∴当x＜0时，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（+1）即x＜0时，f（x）=﹣（+1）=﹣﹣1．故答案为：﹣﹣1．【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，要注意求哪区间上的解析式，要在哪区间上取变量，属于基础题．15．方程的解的个数为2个．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合．【分析】把研究方程根的个数问题转化为研究两函数图象交点个数问题，利用图形直接得结论．【解答】解：因为方程的解的个数就是函数y=2﹣x2与y=log x的交点个数，在同一坐标系中画图如下由图得，交点有2个，所以方程的解的个数是两个．故答案为2．【点评】本题考查根的个数的应用和数形结合思想的应用．，数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具16．下列说法中，正确的是①④⑤．①任取x＞0，均有3x＞2x．②当a＞0，且a≠1时，有a3＞a2．③y=（）﹣x是增函数．④y=2|x|的最小值为1．⑤在同一坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】①运用幂函数的单调性，即可判断；②运用指数函数的单调性，注意讨论a的范围，即可判断；③由指数函数的单调性，即可判断；④由|x|≥0，结合指数函数的单调性，即可判断；⑤由指数函数的图象和关于y轴对称的特点，即可判断．【解答】解：①任取x＞0，则由幂函数的单调性：幂指数大于0，函数值在第一象限随着x的增大而增大，可得，均有3x＞2x．故①对；②运用指数函数的单调性，可知a＞1时，a3＞a2，0＜a＜1时，a3＜a2．故②错；③y=（）﹣x即y=（）x，由于0＜，故函数是减函数．故③错；④由于|x|≥0，可得2|x|≥20=1，故y=2|x|的最小值为1．故④对；⑤由关于y轴对称的特点，可得：在同一坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称，故⑤对．故答案为：①④⑤．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的单调性、最值和图象的对称性，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设U={x∈Z|0＜x≤10}，A={1，2，4，5，9}，B={4，6，7，8，10}，C={3，5，7}，求A∩B，（C U A）∩（C U B），（A∩B）∩C．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B求出两集合的交集，求出A的补集与B的补集，找出两补集的交集；求出A与B交集与C的交集即可．【解答】解：∵U={x∈Z|0＜x≤10}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A={1，2，4，5，9}，B={4，6，7，8，10}，C={3，5，7}，∴A∩B={4}，∁U A={3，6，7，8，10}，∁U B={1，2，3，5，9}，（A∩B）∩C=∅，则（∁U A）∩（∁U B）={3}．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．（1）解方程：4x﹣4•2x+3=0（2）计算：lg5•lg8000+（lg2）2+lg+lg0.06．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；方程思想；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）方程：4x﹣4•2x+3=0即（2x）2﹣4•2x+3=0，因式分解为（2x﹣1）（2x﹣3）=0，即可解出．（2）利用对数的运算性质及其lg2+lg5=1即可得出．【解答】解：（1）方程：4x﹣4•2x+3=0即（2x）2﹣4•2x+3=0，因式分解为（2x﹣1）（2x ﹣3）=0，∴2x=1或2x=3，解得x=0或x=log23．（2）原式=lg5（3lg2+3）+3lg22+=3lg2（lg5+lg2）+3lg5﹣2=3（lg2+lg5）﹣2=1．【点评】本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），的定义域为集合B；集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，若A∩B=∅，求实数a的取值集合．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】利用复合函数定义域列出关于x的不等式求出集合B是解决该问题的关键．集合A 中两个端点含有字母，对字母的讨论又是解决该题的另一个关键，对集合A分是否为空集进行讨论．【解答】解：由得出B={x|0＜x＜1}，∵A∩B=∅①当A=∅时，有2a+1≤a﹣1⇒a≤﹣2②当A≠∅时，有2a+1＞a﹣1⇒a＞﹣2又∵A∩B=∅，则有2a+1≤0或a﹣1≥1∴由①②可知a的取值集合为．【点评】本题考查复合函数求定义域的思想，考查分类讨论思想，考查求取值范围的列不等式求解的思想，注意数轴分析法在求解中的运用．20．已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），（a＞0，且a≠1）．（1）设a=2，函数f（x）的定义域为[3，63]，求函数f（x）的最值．（2）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值范围．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）当a=2时，根据函数f（x）=log2（x+1）为[3，63]上的增函数，求得函数的最值．（2）f（x）﹣g（x）＞0，即log a（1+x）＞log a（1﹣x），分①当a＞1和②当0＜a＜1两种情况，分别利用函数的单调性解对数不等式求得x的范围．【解答】解：（1）当a=2时，函数f（x）=log2（x+1）为[3，63]上的增函数，故f（x）max=f（63）=log2（63+1）=6，f（x）min=f（3）=log2（3+1）=2．（2）f（x）﹣g（x）＞0，即log a（1+x）＞log a（1﹣x），①当a＞1时，由1+x＞1﹣x＞0，得0＜x＜1，故此时x的范围是（0，1）．②当0＜a＜1时，由0＜1+x＜1﹣x，得﹣1＜x＜0，故此时x的范围是（﹣1，0）．【点评】本题主要考查指数函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．旅行社为某旅游团包飞机旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数为30人或30人以下，每张飞机票的价格为900元；若旅游团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，每张机票的价格减少10元，但旅游团的人数最多有75人．（1）写出飞机票的价格关于旅游团的人数的函数关系式；（2）旅游团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据自变量x的取值范围，分0＜x≤30或30＜x≤75列出函数解析式即可；（2）利用（1）中的函数解析式，结合自变量的取值范围和配方法，分段求最值，即可得到结论【解答】解：（1）设旅游团人数为x，飞机票价格为y元．当30＜x≤75时，y=900﹣10（x ﹣30）=﹣10x+1200．故所求函数为y=（2）设利润函数为f（x），则f（x）=y•x﹣15000=当1≤x≤30时，f（x）max=f（30）=12000；当30＜x≤75时，f（x）max=f（60）=21000＞12000．故旅游团的人数为60时，旅游社可获得最大利润．【点评】本题考查函数解析式的确定，考查运用配方法求二次函数的最值，以及考查学生对实际问题分析解答能力，属于中档题．22．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由奇函数性质得f（0）=0，由此可求出a值，注意检验；（2）利用函数单调性的定义即可判断证明；（3）利用函数的奇偶性、单调性可把去掉不等式中的符号“f”，从而转化为具体不等式恒成立，从而可求k的范围．【解答】解：（1）由题设，需，∴a=1，∴，经验证，f（x）为奇函数，∴a=1．（2）f（x）在定义域R上是减函数．证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，，∵x1＜x2，∴，，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），∴该函数在定义域R上是减函数．（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），由（2）知，f（x）是减函数，∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，∴△=4+12k＜0，解得，所以实数k的取值范围是：．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及不等式恒成立问题，定义是解决单调性问题的基本方法，而恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．。
2015-2016年福建省漳州市龙海市程溪中学高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF
5． （5 分）若曲线 f（x）＝x4﹣x 在点 P 处的切线平行于直线 3x﹣y＝0，则点 P 的坐标为（ A． （﹣1，2） ） B． （1，﹣3） C． （1，0） D． （1，5）
6． （5 分）用反证法证明命题： “已知 a、b∈N*，如果 ab 可被 5 整除，那么 a、b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为（ A．a、b 都能被 5 整除 C．a、b 不都能被 5 整除 ）
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2015-2016 学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下） 期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12 个小题；每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的． ） 1． （5 分）复数 z＝2﹣3i 对应的点 z 在复平面的（ A．第一象限 B．第二象限 ） D．第四象限
一、选择题（本大题共 12 个小题；每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的． ） 1． （5 分）复数 z＝2﹣3i 对应的点 z 在复平面的（ A．第一象限 2． （5 分）若 A A．1 B．第二象限 ＝10A B．8 ，则 n＝（ ） D．第四象限
C．第三象限 ） C．9
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
12． （5 分）已知函数 f（x）＝﹣x3+ax2﹣x﹣1 在（﹣∞，+∞）上是单调函数， 则实数 a 的取值范围是（ A． C． ） B． D．
福建龙海市程溪中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题 理
程溪中学2016-2017学年高二（上）期末数学试题(理科)（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、命题：“0>∀x ，02≥-x x ”的否定形式是（ ） A ．0x ∀≤，20x x -> B ．0x ∀>，02≤-x x C ．0x ∃≤，20x x -> D ． 0∃>x ，02<-x x2、有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，若用系统抽样方法，则所抽取的编号可能是( )A. 2,4,6,8B. 2,6,10,14C. 2,7,12,17D. 5,8,9,14 3、曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 24、抛物线:C 24x y =的焦点坐标为（ ） A ．)1,0( B ．)0,1( C ．)161,0( D ．)0,161( 5、函数x x x f ln 2)(2-=的单调减区间是（ ）A ．)1,0(B ．),1(+∞C ．)1,0()1,( --∞D ．)1,0()0,1( -6、已知空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →＝( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12c 7、如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ）A 、22B 、46C 、94D 、1908、“21<<m ”是“方程13122=-+-my m x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9、有下列四个命题：①“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若"1"≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆否命题； ④“矩形的对角线相等”的逆命题。
2017-2018学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二上学期数学期中试卷带解析(理科)
2017-2018学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知椭圆方程为的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．12 B．9 C．6 D．42．（5分）“x＞2”是“x2＞4”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）98与63的最大公约数为a，二进制数110011（2）化为十进制数为b，则a+b=（）A．53 B．54 C．58 D．604．（5分）原命题：“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．45．（5分）一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）掷一颗骰子一次，设事件A=“出现奇数点”，事件B=“出现4点”，则事件A，B的关系是（）A．互斥且对立事件 B．互斥且不对立事件C．不互斥事件D．以上都不对7．（5分）在区间[﹣1，3]内任取一个实数x满足log2（x﹣1）＞0的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填的是（）A．n＜4 B．n＜5 C．n＜6 D．n＜710．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤111．（5分）将53化为二进制的数，结果为（）A．10101（2）B．101011（2）C．110011（2）D．110101（2）12．（5分）图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A12．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知方程+=1表示椭圆，求k的取值范围．．14．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=x6﹣8x5+60x4+16x3+96x2+240x+64在x=2时，v2的值为．15．（5分）某学员在一次射击测试中射靶9次，命中环数如下：8，7，9，5，4，9，10，7，4；则命中环数的方差为．16．（5分）根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2010年3月15日至3 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，求（1）椭圆长轴长，短轴长，离心率各是多少．（2）△PF1F2的面积．18．（12分）命题p：“方程x2+=1表示焦点在y轴上的椭圆”；命题q：对任意实数x都有mx2+mx+1＞0恒成立．若p∧q是假命题，p∨q是真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）已知p：A={x||2x+1|≤3 }，q：B={x|1﹣m≤x≤1+m }，若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．20．（12分）某校为了解学生寒假期间的学习情况，从初中及高中各班共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计．请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：（Ⅰ）抽查的50人中，每天平均学习时间为6～8小时的人数有多少？ （Ⅱ）经调查，每天平均学习时间不少于6小时的学生均来自高中．现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于6小时的学生中随机抽取6名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6名学生中随机选取2人进行访谈，求这2名学生来自不同年级的概率．21．（12分）在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这x 个分店的年收入之和．（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程y=；（Ⅱ）假设该公司在A 区获得的总年利润z （单位：百万元）与x ，y 之间的关系为z=y ﹣0.05x 2﹣1.4，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？参考公式：=x +a ，==，a=﹣．22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F 2为圆心且与直线l相切的圆的方程．2017-2018学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知椭圆方程为的左、右焦点分别为F 1，F2，过左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．12 B．9 C．6 D．4【解答】解：椭圆方程为焦点在x轴上，a=3，b=2，c=，由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=2a=6，|BF1|+|BF2|=2a=6，则△ABF2的周长（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=12，∴△ABF2的周长12，故选：A．2．（5分）“x＞2”是“x2＞4”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2＞4，解得x＞2，或x＜﹣2．∴“x＞2”是“x2＞4”的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）98与63的最大公约数为a，二进制数110011（2）化为十进制数为b，则a+b=（）A．53 B．54 C．58 D．60【解答】解：∵由题意，98÷63=1 (35)63÷35=1…28，35÷28=1 (7)28÷7=4，∴98与63的最大公约数为7，可得：a=7，又∵110011=1+1×2+0×22+0×23+1×24+1×25=51，可得：b=51，（2）∴a+b=51+7=58．故选：C．4．（5分）原命题：“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：逆命题：设a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b；∵由ac2＞bc2可得c2＞0，∴能得到a＞b，所以该命题为真命题；否命题：设a，b，c∈R，若a≤b，则ac2≤bc2；∵c2≥0，∴由a≤b可以得到ac2≤bc2，所以该命题为真命题；因为原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以只需判断原命题的真假即可；∵c2=0时，ac2=bc2，所以由a＞b得到ac2≥bc2，所以原命题为假命题，即它的逆否命题为假命题；∴为真命题的有2个．故选：C．5．（5分）一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：袋子中共计有5个球，2个白球、3个黑球，有放回的摸球，每次摸到白球的概率都是相等的，都等于=，故选：C．6．（5分）掷一颗骰子一次，设事件A=“出现奇数点”，事件B=“出现4点”，则事件A，B的关系是（）A．互斥且对立事件 B．互斥且不对立事件C．不互斥事件D．以上都不对【解答】解：掷一颗骰子一次，设事件A=“出现奇数点”，事件B=“出现4点”，事件A与B不能同时发生，但能同时不发生，∴事件A，B的关系是互斥且不对立事件．故选：B．7．（5分）在区间[﹣1，3]内任取一个实数x满足log2（x﹣1）＞0的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由log2（x﹣1）＞0，解得：x＞2，故满足条件的概率是p=，故选：C．8．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，区域D的面积为：3×3=9，点到坐标原点的距离大于2的面积为9﹣；由几何概型公式可此点到坐标原点的距离大于2的概率是得；故选：B．9．（5分）阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填的是（）A．n＜4 B．n＜5 C．n＜6 D．n＜7【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S n 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当n＜5时退出，故选：B．10．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，故选：B．11．（5分）将53化为二进制的数，结果为（）A．10101（2）B．101011（2）C．110011（2）D．110101（2）【解答】解：53÷2=26 (1)26÷2=13 013÷2=6 (1)6÷2=3 03÷2=1 (1)1÷2=0 (1)故53（10）=110101（2）故选：D．12．（5分）图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A12．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图运行输出的是茎叶图所有数据中大于90的数据的个数n，由茎叶图知，n=9．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知方程+=1表示椭圆，求k的取值范围．2＜k＜4且k ≠3．【解答】解：根据题意，方程+=1表示椭圆，则有，解可得：2＜k＜4，且k≠3，故k的取值范围为：2＜k＜4，且k≠3；故答案为：2＜k＜4，且k≠3．14．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=x6﹣8x5+60x4+16x3+96x2+240x+64在x=2时，v2的值为48．【解答】解：∵f（x）=x6﹣8x5+60x4+16x3+96x2+240x+64=（（（（（x﹣8）x+60）x+16）x+96）x+240）x+64，当x=2时，分别算出v0=1，v1=1×2﹣8=﹣6，v2=﹣6×2+60=48，∴v2的值为48．故答案为4815．（5分）某学员在一次射击测试中射靶9次，命中环数如下：8，7，9，5，4，9，10，7，4；则命中环数的方差为．【解答】解：命中环数的平均数为：=（8+7+9+5+4+9+10+7+4）=7，∴命中环数的方差为：S2=[（8﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2+（5﹣7）2+（4﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2+（7﹣7）2+（4﹣7）2]=．故答案为：．16．（5分）根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2010年3月15日至3 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为4320．【解答】解：由题意及频率分布直方图的定义可知：属于醉酒驾车的频率为：（0.01+0.005）×10=0.15，又总人数为28800，故属于醉酒驾车的人数约为：28800×0.15=4320．故答案为：4320．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，求（1）椭圆长轴长，短轴长，离心率各是多少．（2）△PF1F2的面积．【解答】解：（1）根据题意，椭圆C：+=1中，a==5，b==3，c==4，则椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=6，离心率e==．（2）根据题意，若PF 1⊥PF2，则有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=64，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，解得|PF1|•|PF2|=18．∴△PF1F2的面积为S=|PF1|•|PF2|=×18=9．18．（12分）命题p：“方程x2+=1表示焦点在y轴上的椭圆”；命题q：对任意实数x都有mx2+mx+1＞0恒成立．若p∧q是假命题，p∨q是真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：关于命题p：“方程x2+=1表示焦点在y轴上的椭圆”，则m＞1；关于命题q：对任意实数x都有mx2+mx+1＞0恒成立，m=0时，成立，m≠0时：，解得：0≤m＜4；若p∧q是假命题，p∨q是真命题，则p，q一真一假，p真q假时：m≥4，p假q真时：0≤m≤1，综上，实数m的范围是[0，1]∪[4，+∞）．19．（12分）已知p：A={x||2x+1|≤3 }，q：B={x|1﹣m≤x≤1+m }，若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由p：|2x+1|≤3⇒﹣2≤x≤1，由q可得：1﹣m≤x≤1+m，因为￢p是￢q的充分不必要条件，所q是p的充分不必要条件，当m＜0，此时1﹣m＞1+m，m＜0．当m≥0时，1﹣m≤x≤1+m，且﹣2≤1﹣m，且1+m≤1，解得m=0．∴m≤0．20．（12分）某校为了解学生寒假期间的学习情况，从初中及高中各班共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计．请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：（Ⅰ）抽查的50人中，每天平均学习时间为6～8小时的人数有多少？（Ⅱ）经调查，每天平均学习时间不少于6小时的学生均来自高中．现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于6小时的学生中随机抽取6名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6名学生中随机选取2人进行访谈，求这2名学生来自不同年级的概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图知，学习时间为6～8小时的频率为1﹣（0.02+2×0.12+0.06）×2=0.36，∴学习时间为～小时的人数为50×0.36=18；（Ⅱ）由直方图可得，学习时间不少于6小时的学生有18+12+6=36 人．∵从中抽取6名学生的抽取比例为=，高中三个年级的人数分别为12、6、18，∴从高中三个年级依次抽取2名学生，1名学生，3名学生；（Ⅲ）设高一的2 名学生为A1，A2高二的1名学生为B，高三的3名学生为C1，C2，C3．则从6名学生中选取2人所有可能的情形有（A1，A2），（A1，B），（A1，C1），（A1，C2），（A1，C3），（A2，B），（A2，C1），（A2，C2），（A2，C3），（B，C1），（C1，C2），（C1，C3），（C2，C3），（B，C2），（B，C3），共15种可能．其中2名学生来自不同年级的有（A1，B），（A1，C1），（A1，C2），（A1，C3），（A2，B），（A2，C1），（A2，C2），（A2，C3），（B，C1），（B，C2），（B，C3），共11种情形，故所求概率为P=．21．（12分）在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S市的A区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x表示在各区开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和．（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程y=；（Ⅱ）假设该公司在A 区获得的总年利润z （单位：百万元）与x ，y 之间的关系为z=y ﹣0.05x 2﹣1.4，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？参考公式：=x +a ，==，a=﹣．【解答】解：（Ⅰ）=4，=4，===0.85，a=﹣=4﹣4×0.85=0.6，∴y 关于x 的线性回归方程y=0.85x +0.6． （Ⅱ）z=y ﹣0.05x 2﹣1.4=﹣0.05x 2+0.85x ﹣0.8， A 区平均每个分店的年利润t==﹣0.05x ﹣+0.85=﹣0.01（5x +）+0.85，∴x=4时，t 取得最大值，故该公司应在A 区开设4个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大22．（12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．∴．∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，故椭圆的方程为．（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：，，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又即，又圆F2的半径，所以，化简，得17k4+k2﹣18=0，即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1所以，，故圆F2的方程为：（x﹣1）2+y2=2．。
2015-2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
） C． D． ）
4． （5 分）若函数 f（x）＝ax +bx +c 满足 f′（1）＝2，则 f′（﹣1）＝（ A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．0
5． （5 分）某一随机变量 ξ 的概率分布如下表，且 m+2n＝1.2，则 m﹣ 的值为（ ξ P A．﹣0.2 0 0.1 B．0.2
*
）
1 m C．0.1
2． （5 分）某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为（ A．14 B．24 ） C．28 D．48
3． （5 分）五张卡片上分别写有数字 1、2、3、4、5，从这五张卡片中随机抽取 2 张，则取 出的 2 张卡片上数字之和为奇数的概率为（ A． B．
2 x
）
B．18 ）
C．24
D．32
10． （5 分）函数 y＝x e 的图象大致为（
A．
B．
C．
2 2
D．
3 3 4 4 5 5
11． （5 分）观察下列各式：a+b＝1，a +b ＝3，a +b ＝4，a +b ＝7，a +b ＝11，…，则 a +b ＝（ A．28
10 10
） B．76 C．123 ，则下列结论中正确的是（ D．199 ）
﹣
+
﹣
+
．பைடு நூலகம்
（k 为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数） ，曲线
y＝f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 x 轴平行． （1）求 k 的值； （2）求 f（x）的单调区间． 19． （12 分）某项考试按科目 A、科目 B 依次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参 加科目 B 的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得 证书．现某人参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 ，科目 B 每次考试 成绩合格的概率均为 ．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． （1）求他不需要补考就可获得证书的概率； （2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ξ，求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ． 20． （12 分） （理） 已知函数 f（x）＝x﹣ln（x+a）在 x＝1 处取得极值． （1）求实数 a 的值； （2）若关于 x 的方程 f（x）+2x＝x +b 在 的取值范围． 21． （12 分）甲、乙两所学校高三年级分别有 1200 人，1000 人，为了了解两所学校全体高 三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取 了 110 名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校： 分组 频数 分组 频数 乙校： 分组 频数 [70，80） 1 [80，90） 2 [90，100） 8
福建省龙海市程溪中学高二上学期期中考试数学试题
程溪中学2014—2015学年高二上学期期中考数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
）1.已知命题P：若a是奇数，则a是质数，则命题P的逆命题是（）A．若a是奇数，则a是质数 B. 若a是质数，则a是奇数C. 若a不是奇数，则a不是质数D. 若a不是质数，则a不是奇数2. 有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“都是黑球” D．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”3. 设命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4某城市有学校700所，其中大学20所，中学200所，小学480所，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为（）A．70 B．20 C．48 D．25. 命题“任意能被2整除的整数都是偶数”的否定是（）A. 存在一个能被2整除的数不是偶数B. 所有能被2整除的整数都不是偶数C. 存在一个不能被2整除的数是偶数D. 所有不能被2整除的数都是偶数6.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8＋79＋6＋5＋3在x＝－4的值时，的值为( ) A． B． C． D．7. 如果椭圆的两个顶点为（3，0），（0，－4），则其标准方程为（）(A) (B) (C) (D)8、. 下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A． B． C． D．9.右上图是2011年我校举办“激扬青春,勇担责任”演讲比赛大赛上,七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数和平均数分别为 ( )A.85;87B.84; 86C.84;85D.85;8610.已知，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为( )A . B. C. D.11．若点P在椭圆上，、分别是该椭圆的两焦点，且，则的面积是（）A. 1B. 2C.D.12. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表6万元时销售额为（）(A) 63．6万元 (B) 65．5万元 (C) 67．7万元 (D) 72．0万元二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 将答案填写在题中横线上)13.（1）求的最大公约数是_________；（2）把化成十进制数是_____________.14. 已知焦点在y轴的椭圆的离心率为，则m=15. 命题：“若，则”的逆否命题是16. 已知实数x、y可以在，的条件下随机取数，那么取出的数对满足的概率是三、解答题（本题共6小题，共74分。
福建省漳州市龙海市程溪中学2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． =（ ）A ．B ．C ．iD ．﹣i2．用数学归纳法证明1+++…+＜n （n ∈N *，n ＞1），第一步应验证不等式（ ）A ．1+＜2B ．1++＜3C ．1+++＜3D ．1++＜23．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f （x ），如果f′（x 0）=0，那么x=x 0是函数f （x ）的极值点，因为函数f （x ）=x 3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f （x ）=x 3的极值点．以上推理中（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确4．若P=，Q=（a ≥0），则P ，Q 的大小关系为（ ）A ．P ＞QB ．P=QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定5．2015年6月20日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P （B |A ）=（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知随机变量η=8﹣ξ，若ξ～B （10，0.6），则Eη，Dη分别是（ ） A ．6和2.4 B ．2和5.6 C ．6和5.6 D ．2和2.47．设（2﹣x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 5x 5，那么的值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣18．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接等工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．240 B．300 C．150 D．1809．（x+﹣2）5展开式中常数项为（）A．252 B．﹣252 C．160 D．﹣16010．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，若μ=4，σ=1，则P（5＜X＜6）=（）A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.271811．设a，b，c都是正数，那么三个数a+，b+，c+（）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于212．下面给出了四个类比推理：（1）由“若a，b，c∈R则（ab）c=a（bc）”类比推出“若a，b，c为三个向量则（•）•=•（•）”；（2）“a，b为实数，若a2+b2=0则a=b=0”类比推出“z1，z2为复数，若”；（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”．上述四个推理中，结论正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分．）13．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）=，则P（﹣1＜ξ＜1）=．14．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是．15．一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）=．16．凸函数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，x n，有≤f（），已知函数y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（I）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，求复数z．（II）实数m取何值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣3m+2）i，（i）是实数；（ii）是纯虚数．18．有4个新毕业的老师要分配到四所学校任教，每个老师都有分配（结果用数字表示）．（1）共有多少种不同的分配方案？（2）恰有一个学校不分配老师，有多少种不同的分配方案？（3）某个学校分配了2个老师，有多少种不同的分配方案？（4）恰有两个学校不分配老师，有多少种不同的分配方案？19．观察以下5个等式：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…照以上式子规律：（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）20．二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：（1）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式： =， =y ﹣）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.01x 3﹣0.09x 2﹣1.45x +17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L （x ）最大？（利润=售价﹣收购价）21．某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行 了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数）：（1 ）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？（2）进一步调查：（ⅰ）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（ⅱ）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X ，求X 的分布列和期望． 附表：．22．在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：（1）求q2的值；（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．2016-2017学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．=（）A．B．C．i D．﹣i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：故选A．2．用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1），第一步应验证不等式（）A．1+＜2 B．1++＜3 C．1+++＜3 D．1++＜2【考点】RG：数学归纳法．【分析】利用n=2写出不等式的形式，就是第一步应验证不等式．【解答】解：当n=2时，左侧=1++，右侧=2，左侧＜右侧．用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1），第一步应验证不等式1+＜2，故选：D3．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．4．若P=，Q=（a≥0），则P，Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．由a的取值确定【考点】72：不等式比较大小．【分析】平方作差即可比较出大小．【解答】解：∵a≥0，∴a2+7a+12＞a2+7a+10．∴Q2﹣P2=﹣（）=＞0．∴P＜Q．故选：C．5．2015年6月20日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】求出P（A）==，P（AB）==，利用P（B|A）=，可得结论．【解答】解：由题意，P（A）==，P（AB）==，∴P（B|A）==，故选：A．6．已知随机变量η=8﹣ξ，若ξ～B（10，0.6），则Eη，Dη分别是（）A．6和2.4 B．2和5.6 C．6和5.6 D．2和2.4【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据变量ξ～B（10，0.6）可以根据公式做出这组变量的均值与方差，随机变量η=8﹣ξ，知道变量η也符合二项分布，故可得结论．【解答】解：∵ξ～B（10，0.6），∴Eξ=10×0.6=6，Dξ=10×0.6×0.4=2.4，∵η=8﹣ξ，∴Eη=E（8﹣ξ）=2，Dη=D（8﹣ξ）=2.4故选：D．7．设（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，那么的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【考点】DA：二项式定理．【分析】令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=﹣1可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=35．解得a0+a2+a4和a1+a3+a5的值，结合a5=﹣1，即可求得要求式子的值．【解答】解：令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=﹣1可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=35．两式相加除以2求得a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得a1+a3+a5=﹣121．结合a5=﹣1，故==﹣，故选：B．8．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接等工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．240 B．300 C．150 D．180【考点】D3：计数原理的应用．【分析】根据题意，分析有将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案．【解答】解：将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33种分法，分成2、2、1时，有•A33种分法，所以共有C53•A33+•A33=150种方案，故选：C．9．（x+﹣2）5展开式中常数项为（）A．252 B．﹣252 C．160 D．﹣160【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】把所给的三项式变为二项式，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项．【解答】解：（x+﹣2）5的展开式的通项公式为T r+1=••（﹣2）r，0≤r≤5，对于，它的通项为•x5﹣r﹣2k，令5﹣r﹣2k=0，求得r+2k=5，0≤k≤5﹣r，故当r=1，k=2；或r=3，k=1，或r=5，k=0；可得展开式的常数项，故展开式中常数项为•（﹣2）•+•（﹣8）•+（﹣2）5=﹣60﹣160﹣32=﹣252，故答案为：B．10．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，若μ=4，σ=1，则P（5＜X＜6）=（）A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据变量符合正态分布，和所给的μ和σ的值，根据3σ原则，得到P （2＜X≤6）=0.9544，P（3＜X≤5）=0.6826，两个式子相减，根据对称性得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，μ=4，σ=1，∴P（2＜X≤6）=0.9544，P（3＜X≤5）=0.6826，∴P（2＜X≤6﹣P（3＜X≤5）=0.9544﹣0.6826=0.2718，∴P（5＜X＜6）==0.1359故选B．11．设a，b，c都是正数，那么三个数a+，b+，c+（）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】把这三个数的和变形为a++b++c+，利用基本不等式可得三个数的和大于或等于6，从而得到这三个数中，至少有一个不小于2．【解答】解：∵a，b，c都是正数，故这三个数的和（a+）+（b+）+（c+）=a++b++c+≥2+2+2=6．当且仅当a=b=c=1时，等号成立．故三个数a+，b+，c+中，至少有一个不小于2（否则这三个数的和小于6）．故选D．12．下面给出了四个类比推理：（1）由“若a，b，c∈R则（ab）c=a（bc）”类比推出“若a，b，c为三个向量则（•）•=•（•）”；（2）“a，b为实数，若a2+b2=0则a=b=0”类比推出“z1，z2为复数，若”；（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”．上述四个推理中，结论正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】F3：类比推理．【分析】逐个验证：（1）向量要考虑方向．（2）数集有些性质以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，（3，4）由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由圆的性质类比推理到球的性质．【解答】（1）由向量的运算可知为与向量共线的向量，而由向量的运算可知与向量共线的向量，方向不同，故错误．（2）在复数集C中，若z1，z2∈C，z12+z22=0，则可能z1=1且z2=i．故错误；（3）平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；故正确．（4）由圆的性质类比推理到球的性质由已知“平面内不共线的3个点确定一个圆”，我们可类比推理出空间不共面4个点确定一个球，故正确故选：B．二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分．）13．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）=，则P（﹣1＜ξ＜1）=．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），知正态曲线关于x=0对称，根据P（ξ＞1）=，得到P（1＞ξ＞0），再根据对称性写出要求概率．【解答】解：∵随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），∴正态曲线关于x=0对称，∵P（ξ＞1）=，∴P（1＞ξ＞0）=，∴P（﹣1＜ξ＜1）=，故答案为：．14．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是0.768．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确；②第一二天预报准确，第三天预报不准确；③第一天预报不准确，第二三天预报准确．由此能求出在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率．【解答】解：至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确；②第一二天预报准确，第三天预报不准确；③第一天预报不准确，第二三天预报准确．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是p=0.83+0.82×0.2+0.2×0.82=0.768．∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是0.768．故答案为：0.768．15．一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）=2．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的期望E（X）．【解答】解：由题意X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：E（X）==2．故答案为：2．16．凸函数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，x n，有≤f（），已知函数y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】已知f（x）=sinx在区间（0，π）上是凸函数，利用凸函数的性质可得：≤sin，变形得sinA+sinB+sinC≤3sin问题得到解决．【解答】解：∵f（x）=sinx在区间（0，π）上是凸函数，且A、B、C∈（0，π），∴≤f（）=f（），即sinA+sinB+sinC≤3sin=，所以sinA+sinB+sinC的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（I）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，求复数z．（II）实数m取何值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣3m+2）i，（i）是实数；（ii）是纯虚数．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】（I）利用复数的运算法则即可得出．（II）（i）当z为实数时，m2﹣3m+2=0，解得m．（ii）当z为纯虚数时，解得m．【解答】解：（I）∵（1+i）z=2，∴（1﹣i）（1+i）z=2（1﹣i），∴2z=2（1﹣i），即z=1﹣i．（II）（i）当z为实数时，m2﹣3m+2=0，解得m=1或m=2．（ii）当z为纯虚数时，解得m=﹣1．18．有4个新毕业的老师要分配到四所学校任教，每个老师都有分配（结果用数字表示）．（1）共有多少种不同的分配方案？（2）恰有一个学校不分配老师，有多少种不同的分配方案？（3）某个学校分配了2个老师，有多少种不同的分配方案？（4）恰有两个学校不分配老师，有多少种不同的分配方案？【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】（1）每个新毕业的老师都有4种不同的分配方案，根据乘法原理，可得结论；（2）先选择不分配老师的学校，有4种方法，再从4个老师中选择两个老师，分配到3个学校有=36种，根据乘法原理，可得结论；（3）先从4个新毕业的老师，选出2个安排到一所学校，再将其它两个人安排到其余3个学校，根据乘法原理，可得结论；（4）先选出2个学校，有=6种方法，再将4个人分配到两所学校任教，即可得出结论．【解答】解：（1）每个新毕业的老师都有4种不同的分配方案，根据乘法原理，可得共有44=256种不同的分配方案；（2）先选择不分配老师的学校，有4种方法，再从4个老师中选择两个老师，分配到3个学校有=36种，故共有4×36=144种．（3）先从4个新毕业的老师，选出2个安排到一所学校，再将其它两个人安排到其余3个学校，故共有；（4）先选出2个学校，有=6种方法，再将4个人分配到两所学校任教，有（÷+）=84种．19．观察以下5个等式：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…照以上式子规律：（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）【考点】F1：归纳推理．【分析】（1）由已知中﹣1=﹣1，﹣1+3=2，﹣1+3﹣5=﹣3，﹣1+3﹣5+7=4，﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5，等式左边有n个连续奇数相加减，右边为n（n为偶数）或n的相反数（n为奇数），进而得到结论；（2）当n=1时，由已知得原式成立，假设当n=k时，原式成立，推理可得n=k+1时，原式也成立，①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n成立．【解答】解：（1）由已知中：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…归纳可得：第6个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+11=6 …第n个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n…（2）下面用数学归纳法给予证明：﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n①当n=1时，由已知得原式成立；…②假设当n=k时，原式成立，即﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）=（﹣1）k k…那么，当n=k+1时，﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）k k+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）k+1（﹣k+2k+1）=（﹣1）k+1（k+1）故n=k+1时，原式也成立，由①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n成立．20．二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：（1）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：=，=y﹣）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？（利润=售价﹣收购价）【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）由表中数据计算b，a，即可写出回归直线方程；（2）写出利润函数L（x）=y﹣w，利用导数求出x=6时L（x）取得最大值．【解答】解：（1）由已知：，，…，，，…所求线性回归直线方程为…（2）L（x）=y﹣w=﹣1.45x+18.7﹣（0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2）=﹣0.01x 3+0.09x 2+1.5（0＜x ≤10）…L′（x ）=﹣0.03x 2+0.18x=﹣0.03x （x ﹣6）…x ∈（0，6）时，L′（x ）＞0，L （x ）单调递增，x ∈（6，10]时，L′（x ）＜0，L （x ）单调递减…所以预测x=6时，销售一辆该型号汽车所获得的利润L （x ）最大．…21．某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行 了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数）：（1 ）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？（2）进一步调查：（ⅰ）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（ⅱ）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X ，求X 的分布列和期望． 附表：．【考点】BO ：独立性检验的应用；C7：等可能事件的概率；CH ：离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（1）由题设知K 2=≈2.932＞2.706，由此得到结果．（2）（i ）记题设事件为A ，利用组合数公式得P （A ）=，由此能求出事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率．（ii）根据题意，X服从超几何分布，P（X=k）=，k=0，1，2，3．由此能求出X的分布列和期望．【解答】解：（1）K2=≈2.932＞2.706，由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关．…（2）（ⅰ）记题设事件为A，则所求概率为P（A）==．…（ⅱ）根据题意，X服从超几何分布，P（X=k）=，k=0，1，2，3．X的分布列为…X的期望E（X）=0×+1×+2×+3×=1．…22．在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：（1）求q2的值；（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）记出事件，该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．（2）根据上面的做法，做出分布列中四个概率的值，写出分布列算出期望，过程计算起来有点麻烦，不要在数字运算上出错．（3）要比较两个概率的大小，先要把两个概率计算出来，根据相互独立事件同时发生的概率公式，进行比较．【解答】解：（1）设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，且P（A）=0.25，P（）=0.75，P（B）=q2，P（）=1﹣q2．根据分布列知：ξ=0时P（）=P（）P（）P（）=0.75（1﹣q2）2=0.03，所以1﹣q2=0.2，q2=0.8；（2）当ξ=2时，P1=P=（B+B）=P（B）+P（B）=P（）P（B）P（）+P（）P（）P（B）=0.75q2（1﹣q2）×2=1.5q2（1﹣q2）=0.24当ξ=3时，P2=P（A）=P（A）P（）P（）=0.25（1﹣q2）2=0.01，当ξ=4时，P3=P（BB）P（）P（B）P（B）=0.75q22=0.48，当ξ=5时，P4=P（A B+AB）=P（A B）+P（AB）=P（A）P（）P（B）+P（A）P（B）=0.25q2（1﹣q2）+0.25q2=0.24随机变量ξ的数学期望Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63；（3）该同学选择都在B处投篮得分超过的概率为P（BB+B B+BB）=P（BB）+P（B B）+P（BB）=2（1﹣q2）q22+q22=0.896；该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72．由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大．2017年5月26日。
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2015-2016学年上学期期中考高二理科数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分） 2015、11参考公式：b=2121x n x yx n yx ni i ni ii--∑∑==，a=y －b x ， b 是回归直线的斜率，a 是截距样本数据1x ，2x ，...，n x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- 其中x 为样本平均数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、下列给出的赋值语句正确的是( )A ．6＝AB ．M ＝－MC ．B ＝A ＝2D ．x ＋5y ＝02、已知命题p ：R x ∈∀，1cos ≤x ，则（ ）(A) 1cos ,:≥∈∃⌝x R x p (B) 1cos ,:≥∈∀⌝x R x p (C) 1cos ,:00>∈∃⌝x R x p (D) 1cos ,:>∈∀⌝x R x p 3、设x R ∈,则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4、从装有错误！未找到引用源。
个红球和错误！未找到引用源。
个黑球的口袋内任取错误！未找到引用源。
个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）(A) 至少有一个黑球与都是黑球 (B) 至少有一个红球与都是黑球(C) 至少有一个黑球与至少有错误！未找到引用源。
个红球 (D) 恰有错误！未找到引用源。
个黒球与恰有错误！未找到引用源。
个黑球5、甲，乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则甲，乙两命中个数的中位数分别为( )甲 茎 乙8 0 93 2 1 1 34 8 7654221137 3A. 23,19B.24,18 C ．22,20D.23,206、若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+y x C ．18422=+x y D ． 161022=+x y7、在长为10㎝的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与64 cm 2之间的概率为 （ ） (A)103(B)52(C)54 (D)51 8、某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是（ ） (A) ()2f x x = (B) ()1f x x=(C) ()xf x e = (D) ()sin f x x =（第8题图）9、21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（ ）A ．7 B ．47 C ．27 D ．257 10、按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为（ ）(A)5i >？ (B) 7i ≥？ (C) 9i ≥？( D) 9i >？11、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）(A) 63．6万元 (B) 65．5万元 (C) 67．7万元 (D) 72．0万元 12、下列说法错误的是（ ）(A) “若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题是真命题。
(B) “若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题是真命题。
(C) 如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题。
(D) 1sin 2θ=”是“30θ=︒”的充分不必要条件。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．13、某院校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在甲专业抽取的学生人数为 人。
14、某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如下图)．根据频率分布直方图推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是 。
（第12题图）15、命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是 。
16、当直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切时，k= 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分10分）(1) 试用辗转相除法求840与1 764的最大公约数．(2)利用秦九韶算法求多项式f (x )＝2x 5＋4x 4－2x 3＋8x 2＋7x ＋4当x ＝3的值，写出每一步的计算表达式．18、（本小题满分12分）已知p ：0)10)(2(≤-+x x ，q ：)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x ，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。
19、（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2 min 的概率． (注：将频率视为概率) 20、（本小题满分12分）设命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根； 命题q ：方程244(2)1x m x +-+0=无实根。
若命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围。
21、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知PAB ∆的两个顶点坐标分别是)0,2(A 、)0,2(-B ， 另两边PB PA 、的斜率之积为43-． （1）求顶点P 的轨迹C 的方程；（2）若轨迹C 上点P 与轨迹C 的两焦点构成21F PF ∆，且21PF F ∠=060，求21PF F ∆ 的面积22、（本小题满分12分）设O 为坐标原点，点P 的坐标(x －2，x －y)。
(1) 在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x ，y ，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；(2) 若利用计算机随机在[0,3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率。
2015-2016学年上学期期中考Array高二理科数学答题卷（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分13、14、15、16、三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2015-2016学年上学期期中考 高二理科数学参考答案及评分标准一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13、6 14、600 15、[]3,0- 16、k= 45± 三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17、（本小题满分10分）解：（1） 用辗转相除法求840与1764的最大公约数． 1 764＝840×2＋84,840＝84×10.故84是840与1764的最大公约数．.....................4分 （2）把多项式改成如下形式：f (x )＝2x 5＋4x 4－2x 3＋8x 2＋7x ＋4＝((((2x ＋4)x －2)x ＋8)x ＋7)x ＋4...6分按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x ＝3时的值：v 0＝2，v 1＝v 0x ＋4＝2×3＋4＝10， v 2＝v 1x －2＝10×3－2＝28， v 3＝v 2x ＋8＝28×3＋8＝92， v 4＝v 3x ＋7＝92×3＋7＝283，v 5＝v 4x ＋4＝283×3＋4＝853.....................................9分所以，当x ＝3时，多项式f (x )的值是853.........................10分 18、（本小题满分12分） 解：由p ：0)10)(2(≤-+x x 可得102≤≤-x ……………………………………（3分） 由q ：)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x 可得)0(11>+≤≤-m m x m ……（6分）因为p ⌝是⌝q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件。
………………（8分）因为p 是q 的充分不必要条件，所以 ⎩⎨⎧≥+-≤-10121m m ，……………………………（10分）所以 9≥m ………………………………………………………………………（12分）19、（本小题满分12分）(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20...............2分 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9 (min)．..................5分(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1 min”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5 min”，“该顾客一次购物的结算时间为2 min”．..............................................6分将频率视为概率得P (A 1)＝15100＝320，P (A 2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14..........9分因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件， 所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min 的概率为710.....................12分20、（本小题满分12分）解：若命题p 为真，则方程210x mx ++=有两个不等的负实根12,x x ，从而21121240010m x x m x x ⎧∆=->⎪+=-<⎨⎪=>⎩，解得2m > ………………………………（4分） 若命题q 为真，则方程244(2)1x m x +-+0=无实根，从而2216(2)160m ∆=--<，解得13m << …………………（6分）命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题,p q ∴中有且仅有一个是真命题 …………………（8分）221313m m m m m >≤⎧⎧∴⎨⎨<<≤≥⎩⎩或或 解得12m <≤或3m ≥ …………………（11分）∴实数m 的取值范围是(1,2][3,)+∞ …………………（12分）21、（本小题满分12分）（1）设顶点P 的坐标为),(y x ，依题意有：4322-=+⋅-=⋅x y x y k k PB PA )2(±≠x ， 化简得13422=+y x ，)2(±≠x ∴顶点P 的轨迹方程为：13422=+y x ，)2(±≠x …………6分 （2）由顶点P 的轨迹方程：13422=+y x ，)2(±≠x 知， 椭圆中：1,3,2===c b a ，22||21==c F F又在21F PF ∆中，021*********cos ||||2||||||PF PF PF PF F F ⋅-+=，即 ||||||||4212221PF PF PF PF ⋅-+=……① …………8分又由椭圆的定义得：42||||21==+a PF PF ，两边平方得：||||2||||16212221PF PF PF PF ⋅++=……② …………10分联立①②解得：||||21PF PF ⋅4= ∴2121=∆PF F S ||||21PF PF ⋅360sin 0=⋅.....................................12分 22、（本小题满分12分）其中基本事件是总数为9，随机事件A “|OP|取最大值”包含2个基本事件，故所求的概率为P(A)＝29. ……………………………………………………………………………（6分） (2)设事件B 为“P 点在第一象限”．若⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤3，0≤y ≤3，则其所表示的区域面积为3×3＝9. ………………………………………（8分）由题意可得事件B 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤3，0≤y ≤3，x －2>0，x －y>0，即如图所示的阴影部分，其区域面积为1×3－12×1×1＝52. …………………………………………（11分） ∴P(B)＝529＝518. ……………………………………………………………（12分）。