上海徐汇区2011年中考数学二模试题及答案

2010学年第二学期徐汇区初三年级数学学科
学习能力诊断卷2011.4
（时间100分钟 满分150分）
考生注意∶
1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列运算正确的是（ ▲ ）
A ．2
2
4
a a a +=； B ．2a a =（a 为实数）；
C ．a a a =÷2
3； D ．()
53
2
a a =．
2．汶川地震时温总理曾说：“多么小的问题，乘13亿，都会变得很大；多么大的经济总量，除以13亿，都会变得很小．”预计到2011年年末，我国人口总量约达1 400 000 000人，若每人每天浪费0.5升水，全国每天就浪费水（ ▲ ） A ．7×108
升；
B ．7×109升；
C ．6.5×108
升；
D ． 6.5×109
升．
3．一次函数32y x =-+的图像一定不经过（ ▲ ）
A ．第一象限；
B ．第二象限；
C ．第三象限；
D ．第四象限． 4．如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了10米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 的长为（ ▲ ）
A ．a cos 10米；
B ． a sin 10米；
C ．10cot a 米；
D ． a tan 10米．
5． 一次体育课上,15名男生跳高成绩如下表，他们跳高成绩的中位数和众数分别是( ▲ ) A ．3, 5； B ．1.65, 1.65；
C ．1.70, 1.65；
D ．1.65, 1.70．
6. 如图，将边长为3的等边ABC ∆沿着
BA →
平移，则'BC 的长为（ ▲ ）
A ．3；
B ．
23； C ．33； D ．43.
跳高成绩（m ）
1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 跳高人数
1
3
2
5
3
1
a
C B
A
10
C'
A'
C B
A (B')
第6题
第4题
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．在直角坐标平面内，点(2,1)A -关于y 轴的对称点'
A 的坐标是 ▲ ． 8．函数2y x =
-中，自变量x 的取值范围是 ▲ ．
9．分解因式：2
28a -=__ ▲__．
10．方程24
22x x x =
++的解是 ▲ ．
11．若方程2
0x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ▲ ． 12．抛物线22y x =-向左平移2个单位,向上平移1个单位后的抛物线的解析式是 ▲ ．
13．布袋中有除颜色以外完全相同的8个球，3个黄球，5个白球， 从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为 ▲ ．
14. 一次函数b kx y +=的图像如图所示，当y >0时，x 的取值范围是 ▲
． 15．如图，把一块直角．．三角板放在直尺的一边上，如果∠2＝65°，那么∠1＝ ▲ ． 16．Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，若4ABC ABD S S ∆∆=, 则
AB
BC
= ▲ ． 17．如图，在直角坐标平面内，ABO △中，90ABO ∠=,30A ∠=，1=OB ，如果ABO △
绕原点O 按顺时针方向旋转到OA B ''的位置，那么点B '的坐标是 ▲ ．
18．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点．．
上（小正方形的顶点）．P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△DEF 边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D 构成的三角形与△ABC 相似, 写出所有．．符合条件的三角形 ▲ ．
三、（本大题共7题，19~22题每题10分，23~24题每题12分，25题14分，满分78分） 19. 12
72
12213931
⎛⎫
+--++ ⎪-⎝⎭
tan 60︒
20．先化简再求值：22693216284a a a a
a a a +++÷-
--+，其中45
a =.
第15题
2
1y
x
O
2
3第14题
P 5
P 4
P 3
P 2
P 1
D
B
A
E
C
F
第18题
第17题
y
x
A '
B '
A
B
O
21．（本题满分10分，第（1）题6分，第（2）、（3）题各2分）
作为国际化的大都市，上海有许多优秀的旅游景点.某旅行社对4月份本社接待的2000 名外地游客来沪旅游的首选景点作了一次调查,调查结果如下图表.
（1）填上频数和频率分布表中空缺的数据,并补全统计图；
（2）由于五一黄金周、6月高三学生放假，该社接待外来旅游的人数每月比上月按,60%的速度增长，预计该旅行社6月将接待外地来沪的游客的人数是 ▲ ．
(3) 该旅行社预计10月黄金周接待外地来沪的游客将达5200人,请你估计首选景点是外滩的人数约是 ▲ ．
22． （本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
如图，正方形ABCD 中， M 是边BC 上一点，且B M =
1
4
BC . （1） 若,→
→
=a AB ,→
→
=b AD 试 用 ,→
a →
b 表 示 →
DM ； （2） 若AB=4，求sin ∠AMD 的值.
23．（本题满分12分，第（1）题7分，第（2）题5分） 如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，连接AC ，将△ACE 沿AC 翻折得到△ACF ，直线FC 与直线AB 相交于点G ． （1）证明：直线FC 与⊙O 相切；
（2）若BG OB =，求证：四边形OCBD 是菱形．
A F
C G O D
E B
650
300
200
50
300
100200300400500600700人数（人）
景点
4月份外地游客来沪旅游首选景点统计图
外 滩 城隍
庙
东方 明珠
南京 路
人民 广场 新天 地
其它
景点 频数 频率 外 滩
650
0.325
城隍庙 350
东方明珠
300
0.15
南京路 300 0.15 人民广场
4月份来沪游客旅游首选景点的频数分布表
A
B
D C
M
24．（本题满分12分，第（1）、（2）题各6分）
如图，已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ， D 为OC 的中点，直线AD 交抛物线于点E （2，6），且△ABE 与△ABC 的面积之比为3∶2．
（1）求直线AD 和抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x 轴相交于点F ，点Q 为直线AD 上一点，且△ABQ 与△ADF 相似，直接写出．．．．点Q 点的坐标．
25.（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（2）题6分）
在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，AB=4，AD=5，CD=5．E 为底边BC 上一点，以点E 为圆心，BE 为半径画⊙E 交直线DE 于点F ．
(1) 如图，当点F 在线段DE 上时，设BE x =，DF y =，试建立y 关于x 的函数关系式， 并写出自变量x 的取值范围；
(2) 当以CD 直径的⊙O 与⊙E 与相切时，求x 的值；
(3) 联接AF 、BF ，当△ABF 是以AF 为腰的等腰三角形时，求x 的值。

O A D
C
E
B y
x F
F
A D C
B
E
2010学年第二学期徐汇区初三年级数学学习能力诊断卷
评分标准和参考答案
一．选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．C ； 2．A ； 3．C ； 4．D ； 5．B ； 6．C ． 二．填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）
7．'
A (2,1)； 8．2x ≥； 9．2(2)(2)a a +-； 10．2x =； 11．14
m <
； 12．22(1)1y x =-++； 13．58； 14．2x <； 15．25； 16．1
2
；
17．⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛23,21； 18．△DP 2P 5、△DP 2P 4、△DP 4P 5． 三．（本大题共78分）
19．解：原式=5
23(31)(31)33+
--+++ …………………………………7分 2
3333
=+ ……………………………………………3分
（说明：对一个2分，2个4分，3个5分，4个6分，5个7分）
20．解：2(3)2(4)2(4)(4)(3)4a a a
a a a a ⎛⎫+--
⎪+-++⎝⎭
……………………………………………4分 =
2(3)244a a
a a +-++ ……………………………………………………2分
=64
a + …………………………………………………………………………2分 当45a =时，64a +=54
……………………………………………………………2分
21．（1）答案略； （2）5120； (3) 1690.
22．（1） ∵正方形ABCD ，∴AD//BC ，AB//CD ，且AB=CD=BC=AD ， …………1分
∵B M =14BC ，∴34MC b →→
=，DC AB a →→→== ………………………………2分
∴34DM a b →→→
=- …………………………………………………………1分
（2）∵AB=4，且B M =1
4
BC ，∴MC=3，BM=1，
在Rt △DMC 中，DM 222234 5.MC DC =+=+= ……………………1分 在Rt △ABM 中，AM 22221417.AB BM =
+=+= ……………………1分
过点A 作AE ⊥DM 于E ， ………………………………………………………1分 S △ADM=
1122DM AE AD AB ⋅=⋅,∴16
5
AE =. ………………………1分 在Rt △AEM 中，sin ∠AMD 1617
85
AE AM =
= …………………………………2分
23．解：（1）连接OC ． …………………………………………………………1分
∵OA OC =， ∴12∠=∠ …………………………………………1分
由翻折得，13∠=∠，90F AEC ∠=∠=︒．…1分
∴23∠=∠． …………………………………1分
∴OC ∥AF ．……………………………… ……1分 ∴90OCG F ∠=∠=︒．…………………………1分
∵点C 在圆上
∴直线FC 与⊙O 相切． ………………………1分
（2）解一：
在Rt△OCG 中，∵BG OB =，∴1
2
BC OG OB ==， ………………1分 ∵直径AB 垂直弦CD ， ∴CB BD = ………………………1分 ∴CB BD = ………………………1分 ∵OB OC OD ==
∴OB OC OD BD ===． ………………………1分 ∴四边形OCBD 是菱形． ………………………1分 解二：在Rt△OCG 中，∵BG OB =，∴12
BC OG OB ==， ………………1分 ∵OB OC =，∴CB CO = ………………………1分 ∵AB 垂直于弦CD ， ∴OE EB = ………………………1分 ∵直径AB 垂直弦CD ， ∴CE ED = ………………………1分 ∴四边形OCBD 是平行四边形
∵AB 垂直于弦CD ，∴四边形OCBD 是菱形． …………………………………1分 24．（1）∵△ABE 与△ABC 的面积之比为3∶2．，E （2，6），
∴C （0，4），D （0，2）， ………………………………………………2分
设直线AD 的解析式为b kx y +=，
由题意得⎩⎨
⎧=+=642b k b ，解得⎩⎨⎧==2
2
k b ，直线AD 的解析式为22+=x y ……1分
∴A （1-，0）. ………………………1分
抛物线经过A 、C 、E 三点，得⎪⎩
⎪⎨⎧=++=+-=6
41604c b a c b a c 解得⎪⎩⎪
⎨⎧=-==314
b a
c .
所求抛物线的解析式为：432
++-=x x y ． ……………………………………2分
(2)当△ABQ 与△CED 相似时，
由（1）有B （4，0），F （
2
3
，0） …………………………………………2分 ①若△ABQ ∽△AFD ，
AB AF AQ AD =，即2
1
5=AQ ，52=AQ ，Q （1，4） …2分 A F
C
G O D
E B （第23题）
1
3 2
②若△ABQ ∽△ADF ，AQ AF AB AD =， 即AQ 2555=，2
55=AQ ，Q （5,23）…2分 25．(1) 过点D 作BC DG ⊥于点G ．
可得8,3,,4=====BC GC AD BG AB DG ，x EG -=5； ……2分 在Rt △DEG 中，
∴2
2
2
DG EG DE +=，即222)5(4)(x y x -+=+
∴x x y -+-=
16)5(2(负值舍去)…………………………………………1分
定义域：x <0＜ 4.1≤ ……………………………………………1分
（2）设EF 的中点O ，联结OE ，过点O 作BC OH ⊥于点H ．
,23225===HC OH OC ，，2
3
8--=x EH ；
︒1⊙O 与⊙E 外切时，2
5
+=x OE
在OEH Rt ∆中，2
22EH OH OE +=， ∴22
2
)25()2
38(2+
=--+x x 化简并解得 9
20=x ……………2分 ︒2⊙O 与⊙D 内切时， 2
5
-
=x OE 在OEH Rt ∆中，2
2
2
EH OH OE +=，
∴2
2
2
)2
5()2
38(2-=--+x x ，化简并解得 5x = ……………2分
综上所述，当⊙O 与⊙D 相切时，5x =或
9
20． （3） 当4==AB AF 时， 由BE=EF ，AE=AE ，有△ABE 和△AEF 全等，…1分
∴
90=∠=∠ABE AFE ，即DE AF ⊥
在AFD Rt ∆中，22AF AD DF -==34522=- ………1分
由x x y -+-=
16)5(2=3，解得2=x ； ……………1分
当FB FA =时，过点F 作AB QF ⊥于点Q ，有AQ=BQ ，且AD ∥BC ∥FQ …1分 ∴EF DF =， ……………1分
x x y -+-=16)5(2=x ，3
37
25±-=
x （负值舍去）； ……………1分
综上所述，当△ABF 是以AF 为腰的等腰三角形时时，2=x 或3
37
25+-=x ．。