对称性在积分计算中的应用

[基金项目]校级教改项目；高等数学实验教学的研究与实践（项目编号：JY0973）
对称性在积分计算中的应用
陈先红
（湖北省仙桃市沔城高级中学）
摘要：积分学是高等数学教学中的重点。

灵活运用积分学中的对称性，可以使一些复杂的积分运算简化。

关键词:对称性；奇函数；偶函数；积分
Abstract : The calculation of integral is very important in the teaching of Advanced mathematics. The calculation of many integrals in Calculus can be simplified if the symmetries are considered sufficiently.
Key words : symmetry; odd function; even function ；integral
在高等数学中，运用对称性来简化积分运算是一种常用的方法。

在积分计算中, 利用积分区域的对称性及函数对自变量的奇偶性来简化积分计算,经常可以达到事半功倍的效果.
1 对称性在定积分中的应用
当函数
)(x f 在],[b a 上连续，则 （1） 当
)(x f 为偶函数，有⎰⎰-=a a a dx x f dx x f 0)(2)(； （2） 当)(x f 为奇函数，有
⎰-=a a dx x f 0)(. 例1计算dx e x x x --+⎰)(11
解：因为积分区间对称于原点，且x e x -为偶函数，x xe -为奇函数，所以
原式=⎰⎰-==---10
11)21(22e dx xe dx e x x
x 2 对称性在二重积分中的应用
利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，常常使二重积分的计算简化许多，避免出现繁琐的计算。

但在使用该方法时，要同时兼顾到被积函数
),(y x f 的奇偶性和积分区域D 的对称性两方面。

有下列常用结论：
（1） 如果积分区域D 关于y 轴对称，则有
（a ） 当),(),(y x f y x f -=-时，)),((D y x ∈
⎰⎰=D
dxdy y x f 0),(
（b ） 当),(),(y x f y x f =-时，)),((D y x ∈
⎰⎰⎰⎰=1
),(2),(D D dxdy y x f dxdy y x f 其中}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D
（2） 如果积分区域D 关于x 轴对称，则有
（c ） 当),(),(y x f y x f -=-时，)),((D y x ∈
⎰⎰=D
dxdy y x f 0),(
（d ） 当),(),(y x f y x f =-时，)),((D y x ∈
⎰⎰⎰⎰=2),(2),(D D
dxdy y x f dxdy y x f 其中}0,),(),{(2≥∈=y D y x y x D
（3） 如果积分区域D 关于x 轴和y 轴都对称，且
),(y x f 关于变量x 和y 都
为偶函数，则有 ⎰⎰⎰⎰=3
),(4),(D D dxdy y x f dxdy y x f
其中3D 是D 在第一象限的部分。

}0,0,),(),{(3
≥≥∈=y x D y x y x D （4） 如果积分区域D 关于原点对称，且被积函数是关于x 或y 的奇函数，则
⎰⎰=D
dxdy y x f 0),( （5） 如果积分区域D 关于x y =对称，则
⎰⎰⎰⎰=D D dxdy x y f dxdy y x f ),(),( 例14 证明不等式⎰⎰≤+≤D
dxdy x y 2)sin (cos 122，其中
.10,10:≤≤≤≤y x D
证明：因为D 关于y x
=对称，所以
⎰⎰⎰⎰=D
D dxdy y dxdy x 22cos cos 故⎰⎰⎰⎰+=+D D
dxdy x x dxdy x y )sin (cos )sin (cos 2222又由于)4sin(2sin cos 222π+=+x x x
102≤≤x 2sin cos 12
2≤+≤⇒x x
而D 的面积为1，由二重积分的性质，得
⎰⎰≤+≤D
dxdy x y 2)sin (cos 122 3 对称性在三重积分中的应用
使用对称性时应注意：1.积分区域关于坐标面的对称性 ；2.被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性。

一般地，当积分区域Ω关于XOY 平面对称，且被积函数
),,(z y x f 是关于z 的奇函数，则三重积分为零；若被积函数),,(z y x f 是关于z 的偶函数，则三
重积分为Ω在XOY 平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍。

类似可得到其他两种情形。

例6利用对称性简化计算.1)1ln(2
22222dxdydz z y x z y x z ⎰⎰⎰Ω++++++其中积分区域}1),,{(2
22≤++=Ωz y x z y x . 解：积分区域关于三个坐标面都对称，被积函数是
z 的奇函数， 所以.01)1ln(2
22222=++++++⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x z y x z 4 对称性在第一类曲线积分中的应用
对称性在第一类曲线积分中应用时应注意：1.积分弧段关于坐标轴的对称性；2.被积函数关于另一变量的奇偶性。

若曲线L 关于x 轴对称，则有
当),(y x f 是y 的奇函数，即),(),(y x f y x f -=-时，⎰=L
ds y x f 0),(. 当),(y x f 是y 的偶函数，即),(),(y x f y x f =-时，
⎰⎰=1),(),(L L
ds y x f ds y x f ， 其中1
L 是L 位于上半平面的部分.
若曲线L 关于y 轴对称,也有类似的结论。

需要注意的是，对于第二类曲线积分,不能使用上述对称性简化计算。

一般应先将它们化为定积分后,才能考虑是否可用对称性简化计算。

例4．设L 是以)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(--D C B A 为顶点的正方形边界，求曲线积分⎰+L ds y
x 1.
解：因为积分弧段关于X 轴和Y 轴都对称，被积函数关于Y 和X 都是偶函数。

利用对称性，可以转化为第一象限曲线积分的4倍。

24241411
==+=+⎰⎰⎰L AB dx ds y x ds y x 5 对称性在第一类曲面积分中的应用
对称性在第一类曲面积分中应用时应注意：1.积分曲面关于坐标面的对称性；2.被积函数关于另一变量的奇偶性。

若曲面
∑关于XOY 坐标面对称，则有 当
),,(z y x f 是关于z 的奇函数时，⎰⎰Z =0),,(dS z y x f . 当),,(z y x f 是关于z 的偶函数时，
⎰⎰⎰⎰Z
Z =1),,(2),,(dS z y x f dS z y x f ， 其中1
Z 是Z 在XOY 坐标面上方的部分.
若曲面关于YOZ 和ZOX 坐标面对称,也有类似的结论。

需要注意的是，对于第二类曲面积分,不能使用上述对称性简化计
算。

一般应先将它们化为重积分后,才能考虑是否可用对称性简化计算。

例4 计算dS
xyz ⎰⎰∑，其中
∑为抛物面)10(22≤≤+=z y x z . 解：易见抛物面22y x z +=关于XOZ ，YOZ 坐标面对称，被积函数xyz
关于Y,X 为偶函数。

所以dS xyz dS xyz ⎰⎰⎰⎰∑∑=1
4 (1
Z 为第一卦限部分曲面). dxdy y x dxdy z z dS y x 2
222)2()2(11++=++= 原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++===∑∑xy
D dxdy y x y x xy dS xyz dS xyz 222
2)2()2(1)(441 其中}0,0,1),{(2
2≥≥≤+=y x y x y x D xy
原式⎰⎰+⋅=201
02
2241sin cos 4πrdr r r t t r dt
4201
5
125-
=
综上所述，在计算积分问题时，充分考虑被积函数和积分区域的特点，灵活地运用上述性质，可以使计算量简化。

参考文献
[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.
[2]张翠华.对称性在曲线积分和曲面积分中的应用[J].西南科技大学《高教研究》，2004（1）：21-22.
[3]王湘平.对称原理在积分计算中的应用[J].陇东学院学报，2009（2）：21-24.
[4]常浩.对称性在积分学中的应用[J].高等数学研究，2011（2）：59-62.。