2019年江苏省宿迁市中考数学试卷

2019年江苏省宿迁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）（2019•宿迁）2019的相反数是( ) A ．2019
B ．2019-
C ．
1
2019
D ．1
2019
-
2．（3分）（2019•宿迁）下列运算正确的是( ) A ．235a a a +=
B ．235()a a =
C ．632a a a ÷=
D ．2336()ab a b =
3．（3分）（2019•宿迁）一组数据：2、4、4、3、7、7，则这组数据的中位数是( ) A ．3
B ．
C ．4
D ．7
4．（3分）（2019•宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点C 重合），边AB 与CE 交于点F ，//DE BC ，则BFC ∠等于( )
A ．105︒
B ．100︒
C ．75︒
D ．60︒
5．（3分）（2019•宿迁）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是( ) A ．20π
B ．15π
C ．12π
D ．9π
6．（3分）（2019•宿迁）不等式12x -的非负整数解有( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．（3分）（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是( )
A ．π
B ．2π
C ．π
D ．2π+
8．（3分）（2019•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 与原点O 重合，顶点B 落在x 轴的正半轴上，对角线AC 、BD 交于点M ，点D 、M 恰好都在反比例函数(0)k
y x x
=>的图象上，则AC BD 的值为( )
A B C ．2 D
二、填空题，（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）（2019•宿迁）实数4的算术平方根是 ．
10．（3分）（2019•宿迁）分解因式：22a a -= ．
11．（3分）（2019•宿迁）宿迁近年来经济快速发展，2018年GDP 约达到275000000000元．将275000000000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）（2019•宿迁）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为米，方差分别是2S 甲、2S 乙，
且22
S S >乙甲，则队员身高比较整齐的球队是 ．
13．（3分）（2019•宿迁）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 ．
14．（3分）（2019•宿迁）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是 ．
15．（3分）（2019•宿迁）已知直角三角形的两直角边分别为5，12，则它的内切圆半径为 ． 16．（3分）（2019•宿迁）关于x 的分式方程12122a x x
-+=--的解为正数，则a 的取值范围是 ．
17．（3分）（2019•宿迁）如图，60MAN ∠=︒，若ABC ∆的顶点B 在射线AM 上，且2AB =，点C 在射线AN 上运动，当ABC ∆是锐角三角形时，BC 的取值范围是 ．
18．（3分）（2019•宿迁）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边EFG ∆，连接CG ，则CG 的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（2019•宿迁）计算：101()(1)|12
π---+．
20．（8分）（2019•宿迁）先化简，再求值：2
12(1)11
a
a a +
÷--，其中2a =-． 21．（8分）（2019•宿迁）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数5
y x
=-的图象相交
于点(1,)A m -、(,1)B n -两点． （1）求一次函数表达式； （2）求AOB ∆的面积．
22．（8分）（2019•宿迁）如图，矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且3
2
BE DF ==
．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）求线段EF的长．
23．（10分）（2019•宿迁）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选类别人数统计表
根据以上信息解决下列问题
（1）m=，n=；
（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为︒；
（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．
24．（10分）（2019•宿迁）在Rt ABC
∠=︒．
C
∆中，90
（1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC 于点E，与边AC相切于点F．求证：12
∠=∠；
（2）在图②中作M，使它满足以下条件：
①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切．
（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
25．（10分）（2019•宿迁）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，64
BC cm
=，坐垫E与点B的距离BE为15cm．
∠=︒，60
BCD
（1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE'的长．
（结果精确到0.1cm，参考数据：sin640.90
︒≈
︒≈，cos640.44
︒≈，tan64 2.05)
26．（10分）（2019•宿迁）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x 元，每天售出y 件． （1）请写出y 与x 之间的函数表达式；
（2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w 最大，最大值是多少？ 27．（12分）（2019•宿迁）如图①，在钝角ABC ∆中，30ABC ∠=︒，4AC =，点D 为边AB 中点，点E 为边BC 中点，将BDE ∆绕点B 逆时针方向旋转α度(0180)α． （1）如图②，当0180α<<时，连接AD 、CE ．求证：BDA BEC ∆∆∽；
（2）如图③，直线CE 、AD 交于点G ．在旋转过程中，AGC ∠的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（3）将BDE ∆从图①位置绕点B 逆时针方向旋转180︒，求点G 的运动路程．
28．（12分）（2019•宿迁）如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为(1,0)，与y 轴交于点(0,3)C -． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC ，点P 在抛物线上，且满足2PAB ACO ∠=∠．求点P 的坐标； （3）如图②，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．请问DM DN +是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
2019年江苏省宿迁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）2019的相反数是( ) A ．2019
B ．2019-
C ．
1
2019
D ．1
2019
-
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：2019的相反数是2019-． 故选：B ．
2．（3分）下列运算正确的是( ) A ．235a a a +=
B ．235()a a =
C ．632a a a ÷=
D ．2336()ab a b =
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别分析得出答案．
【解答】解：A 、23a a +，无法计算，故此选项错误；
B 、236()a a =，故此选项错误；
C 、633a a a ÷=，故此选项错误；
D 、2336()ab a b =，正确；
故选：D ．
3．（3分）一组数据：2、4、4、3、7、7，则这组数据的中位数是( ) A ．3
B ．
C ．4
D ．7
【分析】将数据从小到大重新排列后根据中位数的定义求解可得． 【解答】解：这组数据重新排列为：2、3、4、4、7、7，
∴这组数据的中位数为
44
42
+=， 故选：C ．
4．（3分）一副三角板如图摆放（直角顶点C 重合），边AB 与CE 交于点F ，//DE BC ，则BFC ∠等于( ) A ．105︒
B ．100︒
C ．75︒
D ．60︒
【分析】由题意知图中是一个等腰直角三角形和一个含30︒角的直角三角形，故45E ∠=︒，30B ∠=︒，由平行线的性质可知45BCF E ∠=∠=︒，由三角形内角和定理可求出BFC ∠的
度数．
【解答】解：由题意知45E ∠=︒，30B ∠=︒， //DE CB ， 45BCF E ∴∠=∠=︒，
在CFB ∆中，
1801803045105BFC B BCF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
故选：A ．
5．（3分）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是( )
A ．20π
B ．15π
C ．12π
D ．9π
【分析】根据勾股定理得出底面半径，易求周长以及母线长，从而求出侧面积．
【解答】解：由勾股定理可得：底面圆的半径3=，则底面周长6π=，底面半径3=， 由图得，母线长5=， 侧面面积1
65152
ππ=⨯⨯=．
故选：B ．
6．（3分）不等式12x -的非负整数解有( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【分析】直接解不等式，进而利用非负整数的定义分析得出答案． 【解答】解：12x -， 解得：3x ，
则不等式12x -的非负整数解有：0，1，2，3共4个． 故选：D ．
7．（3分）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是( )
A ．π
B ．2π
C ．π
D ．2π+
【分析】图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和-（大圆的面积-正六边形的面积）即可得到结果．
【解答】解：6个月牙形的面积之和21
3(2622
πππ=--⨯⨯=，
故选：A ．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 与原点O 重合，顶点B 落在x 轴的正半轴上，对角线AC 、BD 交于点M ，点D 、M 恰好都在反比例函数(0)
k y x x
=>的图象上，则AC
BD
的值为( )
A B C ．2 D
【分析】设(,)k D m m ，(,0)B t ，利用菱形的性质得到M 点为BD 的中点，则(2m t M +，)2k
m
，
把(
2m t M +，)2k m 代入k y x =得3t m =，利用OD AB t ==得到222()(3)k m m m
+=，解得
2k =，所以(2)M m ，根据正切定义得到tan
BM MAB AM ∠=
==
，从而得
到
AC
BD
= 【解答】解：设(,)k
D m m
，(,0)B t ，
M 点为菱形对角线的交点，
BD AC ∴⊥，AM CM =，BM DM =， (
2m t M +∴，)2k
m
， 把(
2m t M +，)2k m 代入k y x =得22m t k
k m
+=，
3t m ∴=，
四边形ABCD 为菱形， OD AB t ∴==，
222()(3)k
m m m ∴+=，解得2k =，
(2)M m ∴，
在Rt ABM ∆中，tan
BM MAB AM ∠=
=
∴
AC
BD
故选：A ．
二、填空题，（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）实数4的算术平方根是 2 ． 【分析】依据算术平方根根的定义求解即可． 【解答】解：224=，
4∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
10．（3分）分解因式：22a a -= (2)a a - ．
【分析】观察原式， 找到公因式a ，提出即可得出答案 ． 【解答】解：22(2)a a a a -=-． 故答案为：(2)a a -．
11．（3分）宿迁近年来经济快速发展，2018年GDP 约达到275000000000元．将275000000000用科学记数法表示为 112.7510⨯ ．
【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 【解答】解：将275000000000用科学记数法表示为：112.7510⨯． 故答案为：112.7510⨯．
12．（3分）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为米，方差分别是2S 甲、2S 乙，且22
S S >乙甲，
则队员身高比较整齐的球队是 乙 ．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：22
S S >乙甲，
∴队员身高比较整齐的球队是乙，
故答案为：乙．
13．（3分）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 10 ．
【分析】设“△”的质量为x ，“□”的质量为y ，由题意列出方程：628x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：4
2x y =⎧⎨=⎩
，
得出第三个天平右盘中砝码的质量210x y =+=． 【解答】解：设“△”的质量为x ，“□”的质量为y ， 由题意得：6
28x y x y +=⎧⎨+=⎩，
解得：4
2x y =⎧⎨=⎩
，
∴第三个天平右盘中砝码的质量224210x y =+=⨯+=；
故答案为：10．
14．（3分）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是
1
3
． 【分析】由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，利用概率公
式直接求解即可求得答案．
【解答】解：骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，
∴掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为：
2163
=． 故答案为：1
3
．
15．（3分）已知直角三角形的两直角边分别为5，12，则它的内切圆半径为 2 ． 【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为2
a b c +-（其中a 、b 为直角边，c 为斜边）求解．
【解答】解：直角三角形的斜边13==， 所以它的内切圆半径51213
22
+-==． 故答案为2．
16．（3分）关于x 的分式方程12
122a x x
-+=--的解为正数，则a 的取值范围是 5a <且3a ≠ ．
【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a 的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：去分母得：122a x -+=-， 解得：5x a =-， 50a ->，
解得：5a <，
当52x a =-=时，3a =不合题意， 故5a <且3a ≠． 故答案为：5a <且3a ≠．
17．（3分）如图，60MAN ∠=︒，若ABC ∆的顶点B 在射线AM 上，且2AB =，点C 在射
线AN 上运动，当ABC ∆是锐角三角形时，BC BC <
【分析】当点C 在射线AN 上运动，ABC ∆的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC 的值．
【解答】解：如图，过点B 作1BC AN ⊥，垂足为1C ，2BC AM ⊥，交AN 于点2C
在1Rt ABC ∆中，2AB =，60A ∠=︒
11
12
AC AB ∴=
=，由勾股定理得：1BC = 在2Rt ABC ∆中，2AB =，60A ∠=︒
24AC ∴=，由勾股定理得：2BC =
当ABC ∆是锐角三角形时，点C 在12C C BC <．
BC <．
18．（3分）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边EFG ∆，连接CG ，则CG 的最小值为
5
2
． 【分析】由题意分析可知，点F 为主动点，G 为从动点，所以以点E 为旋转中心构造全等关系，得到点G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG 最小值． 【解答】解：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动
将EFB ∆绕点E 旋转60︒，使EF 与EG 重合，得到EFB EHG ∆≅∆ 从而可知EBH ∆为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上 作CM HN ⊥，则CM 即为CG 的最小值 作EP CM ⊥，可知四边形HEPM 为矩形， 则135
1222
CM MP CP HE EC =+=+=+=
故答案为
5
2
． 三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：101
()(1)|12
π---+．
【分析】直接利用负指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式211=-
=．
20．（8分）先化简，再求值：2
12(1)11
a
a a +
÷--，其中2a =-．
【分析】直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式(1)(1)
12a a a a a
+-=⨯
- 1
2
a +=， 当2a =-时，原式211
22-+=
=-． 21．（8分）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数5
y x
=-的图象相交于点(1,)A m -、
(,1)B n -两点．
（1）求一次函数表达式； （2）求AOB ∆的面积．
【分析】（1）先利用反比例函数解析式确定A 点和B 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先求OD 的长，根据面积和可得结论．
【解答】解：（1）把(1A -．)m ，(,1)B n -代入5y x
=-，得5m =，5n =，
(1,5)A ∴-，(5,1)B -，
把(1,5)A -，(5,1)B -代入y kx b =+得 551k b k b -+=⎧⎨
+=-⎩，解得1
4k b =-⎧⎨=⎩
， ∴一次函数解析式为4y x =-+；
（2）0x =时，4y =， 4OD ∴=，
AOB ∴∆的面积11
41451222
AOD BOD S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=．
22．（8分）如图，矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且3
2
BE DF ==
． （1）求证：四边形AECF 是菱形； （2）求线段EF 的长．
【分析】（1）根据菱形的性质得到4CD AB ==，2AD BD ==，//CD AB ，90D B ∠=∠=︒，
求得35
422
CF AE ==-
=，根据勾股定理得到52AF CE ===，于是得到结论；
（2）过F 作FH AB ⊥于H ，得到四边形AHFD 是矩形，根据矩形的性质得到3
2
AH DF ==
，2FH AD ==，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =， 4CD AB ∴==，2AD BD ==，//CD AB ，90D B ∠=∠=︒， 3
2
BE DF ==
， 35422
CF AE ∴==-
=，
5
2
AF CE ∴==，
5
2
AF CF CE AE ∴====
， ∴四边形AECF 是菱形；
（2）解：过F 作FH AB ⊥于H ， 则四边形AHFD 是矩形， 3
2
AH DF ∴==，2FH AD ==， 53
122
EH ∴=
-=，
EF ∴=
23．（10分）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选类别人数统计表
根据以上信息解决下列问题 （1）m = 20 ，n = ；
（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 ︒；
（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．
【分析】（1）根据文学类的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再根据各自所占的百分比即可求出m 、n ；
（2）由360︒乘以“科学类”所占的比例，即可得出结果；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和所选取的两名学生都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）抽查的总学生数是：(128)40%50+÷=（人)， 5030%510m =⨯-=，5020151122n =----=；
故答案为：20，2；
（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为65
36079.250
+︒⨯=︒； 故答案为：； （3）列表得：
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有2种可能，
∴所选取的两名学生都是男生的概率为
21126
=． 24．（10分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒．
（1）如图①，点O 在斜边AB 上，以点O 为圆心，OB 长为半径的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，与边AC 相切于点F ．求证：12∠=∠； （2）在图②中作M ，使它满足以下条件： ①圆心在边AB 上；②经过点B ；③与边AC 相切． （尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
【分析】（1）连接OF ，可证得//OF BC ，结合平行线的性质和圆的特性可求得
12
∠=∠=∠，可得出结论；
OFB
（2）由（1）可知切点是ABC
∠的角平分线和AC的交点，圆心在BF的垂直平分线上，由此即可作出M．
【解答】解：（1）证明：如图①，连接OF，
AC是O的切线，
∴⊥，
OE AC
∠=︒，
90
C
∴，
OE BC
//
∴∠=∠，
1OFB
=，
OF OB
∴∠=∠，
OFB
2
∴∠=∠．
12
（2）如图②所示M为所求．①
①作ABC
∠平分线交AC于F点，
②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆，
即M为所求．
证明：M在BF的垂直平分线上，
∴=，
MF MB
∴∠=∠，
MBF MFB
又BF平分ABC
∠，
∴∠=∠，
MBF CBF
CBF MFB
∴∠=∠，
∴，
//
MF BC
∠=︒，
90
C
∴⊥，
FM AC
∴与边AC相切．
M
25．（10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，64
=，坐垫E与点B的距离BE为15cm．
BC cm
∠=︒，60
BCD
（1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E 到CD 的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm ，现将坐垫E 调整至坐骑舒适高度位置E '，求EE '的长．
（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin640.90︒≈，cos640.44︒≈，tan64 2.05)︒≈ 【分析】（1）作EM CD ⊥于点M ，由sin 75sin46EM EC BCM =∠=︒可得答案； （2）作E H CD '⊥于点H ，先根据sin E H
E C ECD
''=∠求得E C '的长度，再根据EE CE CE '=-'
可得答案
【解答】解：（1）如图1，过点E 作EM CD ⊥于点M ， 由题意知64BCM ∠=︒、601575EC BC BE cm =+=+=， sin 75sin6467.5()EM EC BCM cm ∴=∠=︒≈，
则单车车座E 到地面的高度为67.53299.5()cm +≈； （2）如图2所示，过点E '作E H CD '⊥于点H ， 由题意知800.864E H '=⨯=， 则64
71sin sin 64E H E C ECH ''=
=≈∠︒
，1，
7571.1 3.9()EE CE CE cm ∴'=-'=-=．
26．（10分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x 元，每天售出y 件． （1）请写出y 与x 之间的函数表达式；
（2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w 最大，最大值是多少？ 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意得到21(30)24502
w x =--+，根据二次函数的性质得到当30x <时，w 随x 的
增大而增大，于是得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得，1
502y x =-+；
（2）根据题意得，1
(40)(50)22502
x x +-+=，
解得：150x =，210x =， 每件利润不能超过60元，
10x ∴=，
答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）根据题意得，22111
(40)(50)302000(30)2450222w x x x x x =+-+=-++=--+，
1
02
a =-<，
∴当30x <时，w 随x 的增大而增大，
∴当20x =时，2400w =增大，
答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元．
27．（12分）如图①，在钝角ABC ∆中，30ABC ∠=︒，4AC =，点D 为边AB 中点，点E 为边BC 中点，将BDE ∆绕点B 逆时针方向旋转α度(0180)α．
（1）如图②，当0180α<<时，连接AD 、CE ．求证：BDA BEC ∆∆∽；
（2）如图③，直线CE 、AD 交于点G ．在旋转过程中，AGC ∠的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（3）将BDE ∆从图①位置绕点B 逆时针方向旋转180︒，求点G 的运动路程． 【分析】（1）如图①利用三角形的中位线定理，推出//DE AC ，可得BD BE
BA BC
=
，在图②中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可． （2）利用相似三角形的性质证明即可．
（3）点G 的运动路程，是图③1-中的BG 的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图②中，
由图①，点D 为边AB 中点，点E 为边BC 中点， //DE AC ∴，
∴BD BE
BA BC =
， ∴
BD BA
BE BC
=
， DBE ABC ∠=∠， DBA EBC ∴∠=∠， DBA EBC ∴∆∆∽．
（2）AGC ∠的大小不发生变化，30AGC ∠=︒．
理由：如图③中，设AB 交CG 于点O ． DBA EBC ∆∆∽， DAB ECB ∴∠=∠，
180DAB AOG G ∠+∠+∠=︒，180ECB COB ABC ∠+∠+∠=︒，AOG COB ∠=∠， 30G ABC ∴∠=∠=︒．
（3）如图③1-中．设AB 的中点为K ，连接DK ，以AC 为边向右作等边ACO ∆，连接OG ，OB ．
以O 为圆心，OA 为半径作O ， 30AGC ∠=︒，60AOC ∠=︒， 1
2
AGC AOC ∴∠=∠，
∴点G 在O 上运动，
以B 为圆心，BD 为半径作B ，当直线与B 相切时，BD AD ⊥， 90ADB ∴∠=︒，
BK AK =， DK BK AK ∴==， BD BK =， BD DK BK ∴==， BDK ∴∆是等边三角形，
60DBK ∴∠=︒， 30DAB ∴∠=︒，
260DOG DAB ∴∠=∠=︒，
∴BG 的长60441803
ππ
=
=
， 观察图象可知，点G 的运动路程是BG 的长的两倍83
π
=
． 28．（12分）如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为(1,0)，与y 轴交于点(0,3)C -．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC ，点P 在抛物线上，且满足2PAB ACO ∠=∠．求点P 的坐标； （3）如图②，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直
线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．请问DM DN +是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）把点A 、C 坐标代入抛物线解析式即求得b 、c 的值．
（2）点P 可以在x 轴上方或下方，需分类讨论．①若点P 在x 轴下方，延长AP 到H ，使
AH AB =构造等腰ABH ∆，作BH 中点G ，即有22PAB BAG ACO ∠=∠=∠，利用ACO ∠的
三角函数值，求BG 、BH 的长，进而求得H 的坐标，求得直线AH 的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标．②若点P 在x 轴上方，根据对称性，AP 一定经过点H 关于x 轴的对称点H '，求得直线AH '的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标． （3）设点Q 横坐标为t ，用t 表示直线AQ 、BN 的解析式，把1x =-分别代入即求得点M 、N 的纵坐标，再求DM 、DN 的长，即得到DM DN +为定值．
【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)A ，(0,3)C - ∴10003b c c ++=⎧⎨++=-⎩ 解得：23b c =⎧⎨=-⎩
∴抛物线的函数表达式为223y x x =+-
（2）①若点P 在x 轴下方，如图1，
延长AP 到H ，使AH AB =，过点B 作BI x ⊥轴，连接BH ，作BH 中点G ，连接并延长AG 交BI 于点F ，过点H 作HI BI ⊥于点I 当2230x x +-=，解得：13x =-，21x = (1,0)A ，(0,3)C -
1OA ∴=，3OC =，AC ==4AB =
Rt AOC ∴∆中，sin OA ACO AC ∠=
=，cos OC ACO AC ∠==
AB AH =，G 为BH 中点
AG BH ∴⊥，BG GH =
BAG HAG ∴∠=∠，即2PAB BAG ∠=∠
Rt ABG ∴∆中，90AGB ∠=︒，sin BG BAG AB ∠==
Rt BHI ∴∆中，90BIH ∠=︒，sin HI HBI BH ∠=
cos BI HBI BH ∠==
45HI ∴=
=，12
5
BI =
411355H x ∴=-+
=-，125H y =-，即11(5H -，12
)5
-
设直线AH 解析式为y kx a =+ ∴0111255k a k a +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩ 解得：34
34
k a ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩ ∴直线33
:44
AH y x =
-
2334423y x y x x ⎧=-⎪⎨
⎪=+-⎩ 解得：1110x y =⎧⎨=⎩（即点)A ，2294
3916x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
9(4P ∴-，39
)16
-
②若点P 在x 轴上方，如图2，
在AP 上截取AH AH '=，则H '与H 关于x 轴对称 11(5H '∴-
，12
)5
设直线AH '解析式为y k x a ''=+ ∴0111255k a k a ''+=⎧⎪⎨''-+=⎪⎩ 解得：34
34
k a ⎧'
=-⎪⎪⎨
⎪'=⎪⎩ ∴直线3
3:44
AH y x '=-+
2334423y x y x x ⎧=-+⎪⎨
⎪=+-⎩ 解得：1110x y =⎧⎨=⎩（即点)A ，22
154
5716x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
15(4P ∴-
，57
)16
综上所述，点P 的坐标为9(4-，39)16-或15(4-，57)16
．
（3）DM DN +为定值
抛物线223y x x =+-的对称轴为：直线1x =- (1,0)D ∴-，1M N x x ==-
设(Q t ，223)(31)t t t +--<<
设直线AQ 解析式为y dx e =+
∴2
023d e dt e t t +=⎧⎨+=+-⎩ 解得：33d t e t =+⎧⎨=--⎩
∴直线:(3)3AQ y t x t =+--
当1x =-时，3326M y t t t =----=-- 设直线BQ 解析式为y mx n =+
∴2
3023m n mt n t t -+-⎧⎨+=+-⎩ 解得：133m t n t =-⎧⎨=-⎩
∴直线:(1)33BQ y t x t =-+-
当1x =-时，13322N y t t t =-++-=- 26(22)8DM DN t t ∴+=++-+=，为定值．。