人教版数学九年级上册课件12-第二十二章22.3实际问题与二次函数

解析 (1)如图22-3-6,以喷水管与地面的交点为原点,原点与水柱落地点所在直线 为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系. 由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3).
图22-3-6 抛物线过点(3,0)和(0,2),代入抛物线解析式可得
4a h 0, a h 2.
(1)根据图象,直接写出y与x的函数关系式; (2)该公司要想每天获得3 000元的销售利润,销售单价应定为多少元? (3)销售单价为多少元时,每天获得的利润最大?最大利润是多少元?
图22-3-5
解析 (1)设y=kx+b(k≠0,k,b为常数), 将点(50,160),(80,100)代入,得
面4.5 m.当水位上涨刚好淹没小孔时,大孔的水面宽度为
m.
图22-3-3
解析 建立如图22-3-4所示的平面直角坐标系,由题意得,M点坐标为(0,6),A点坐标 为(-10,0),B点坐标为(10,0),设中间大抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c,分别代入
三点的坐标得到
c 6, 100a-10b c 100a 10b
160 100
50k 80k
b, b,
解得
k b
-2, 260,
∴y与x的函数关系式为y=-2x+260.
(2)由题意,得(x-50)(-2x+260)=3 000,
化简得x2-180x+8 000=0,解得x1=80,x2=100.
∵x≤50×(1+90%)=95,
∴x=100不符合题意,舍去,∴x=80.
题型二 应用二次函数模型求解抛物线形的实际问题
例2 (2017山东德州中考)随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美 丽,小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高2 米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水 柱落地处离池中心3米. (1)请你建立适当的直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式; (2)求出水柱的最大高度是多少.
22.3 实际问题与二次函数
全解版
教材知识全解
知识点一 利用二次函数解决实际生活问题的一般方法及几何图形的最值问题 1.应用二次函数解决实际问题的基本思路:
2.利用二次函数求解几何图形中的最值问题 求有关几何图形面积(体积)的最值问题,往往可转化成求二次函数的最值问题,需 要借助几何图形,建立变量之间的二次函数关系,利用二次函数的性质求最值.几何 图形的最值问题以面积最值问题居多,若几何图形为规则图形,则由面积公式直接 计算(如三角形、平行四边形等);若几何图形为不规则图形,多采用分割法求解,即 把图形分解为几个规则图形,再求它们的面积的和或差.
解得 a
h
-2 3 8. 3
,
所以抛物线的函数解析式为y=- 2 (x-1)2+8 (0≤x≤3).
3
3
化为一般式为y=- 2 x2+ 4 x+2(0≤x≤3).
33
(2)由(1)知抛物线解析式为y=- 2 (x-1)2+8 (0≤x≤3).
3
3
当x=1时,y= 8 .所以水柱的最大高度为8 米.
3
3
核心素养全解
“函数图象”架起方程(不等式)通往函数的“桥梁” 素养解读 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用 空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:借助空间形式认识事 物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数 的联系;构建数学问题的模型,探索解决问题的思路.
知识点三 利用二次函数解抛物线形问题
常见情形
具体方法
抛物线形 建筑物
运动路 线问题
常见的抛物线形建筑物有拱形 桥洞、涵洞、拱形门窗等
运动员空中跳跃轨迹、球类运 行的轨迹、喷头喷出的水的轨 迹等
(1)建立适当的平面直角坐标系,将抛物线形状的图 形放置在坐标系中; (2)从已知和图象中获得求二次函数表达式所需要 的条件; (3)利用待定系数法求出抛物线的表达式; (4)运用已求出的抛物线的表达式去解决相关问题
A.16 m2
B.18 m2
图22-3-1 C.20 m2
D.24 m2
答案 B 设AB=x m,则BC=(12-2x)m,∴S矩形ABCD=x(12-2x)=-2x2+12x=[-2(x-3)2+18]m2, ∴矩形ABCD的最大面积为18 m2.故选B.
2.如图22-3-2,矩形纸片ABCD中,AD=16 cm,AB=10 cm,将该矩形纸片沿垂直于BC 的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸筒,则该纸筒的最大容积为 ( )
直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成论 证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.
函数是中学数学的核心概念,是中学数学的基础,是学好数学的关键.以函数为主 线可以将很多数学内容“串”起来:函数、不等式、方程……
“学函数,用图象”具体体现为:(1)用图象,从“形”的角度刻画和理解函数
图22-3-1
解析 (1)如图22-3-2所示:
设裁掉的正方形边长为x dm, 由题意可得(10-2x)(6-2x)=12, 即x2-8x+12=0, 解得x1=2,x2=6(舍去).
图22-3-2
所以当长方体底面面积为12 dm2时,裁掉的正方形的边长为2 dm. (2)由题意得10-2x≤5(6-2x),x>0, 所以0<x≤2.5. 设总费用为W元, 由题意可知W=0.5×2x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x) =4x2-48x+120 =4(x-6)2-24. 因为该二次函数图象的对称轴为直线x=6,开口向上, 所以当0<x≤2.5时,W随x的增大而减小,
当水位上涨刚好淹没小孔时大孔的水面宽度为图2233解析建立如图2234所示的平面直角坐标系由题意得m点坐标为06a点坐标为100b点坐标为100设中间大抛物线的函数解析式为yaxbxc分别代入三点的坐标得到?解得?函数解析式为y?x6nc45m令y45代入解析式得45?x1001010010图2234答案10利用二次函数解决抛物线形的隧道拱门和大桥等实际应用问题时首先要把这些实际问题中的相应数据正确地落实到平面直角坐标系中的抛物线上然后求解得出抛物线的解析式通过解析式来解决测量问题最值问题等
0, c 0,
解得
a b c
-3 50 0, 6,
,
∴函数解析式为y=-
3 50
x2+6.∵NC=
4.5 m,∴令y=4.5,代入解析式得4.5=- 3 x2+6,解得x1=5,x2=-5,∴可得EF=5-(-5)=10 m.
50
图22-3-4
答案 10 方法归纳 利用二次函数解决抛物线形的隧道、拱门和大桥等实际应用问
答:销售单价为80元.
(3)设每天获得的利润为w元,由题意,得 w=(x-50)(-2x+260) =-2x2+360x-13 000 =-2(x-90)2+3 200. ∵a=-2<0,抛物线开口向下, ∴w有最大值,当x=90时,w最大值=3 200. 答:销售单价为90元时,每天获得的利润最大,最大利润是3 200元.
例1 (2017山东潍坊中考)工人师傅用一块长为10 dm,宽为6 dm的矩形铁皮制作一个 无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计) (1)在图22-3-1中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求当长方体 底面面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长; (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧 面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多 大时,总费用最低,最低为多少?
图22-3-2
A.80 cm3
B.160 cm3
C.320 cm3
解题技巧
一般把抛物线的顶点作为坐标系的原点建立平面直角坐标系,用待定系数法求二次函 数的表达式时,可设表达式为y=ax2(a≠0)
例3 (2019山东东营月考)如图22-3-3,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,左右两个
抛物线形是全等的.正常水位时,大孔水面宽度为20 m,顶点距水面6 m,小孔顶点距水
所以当x=2.5时,W取最小值,Wmin=25. 所以当裁掉的正方形边长为2.5 dm时,总费用最低,最低为25元.
方法归纳 几何问题中与面积最值有关的问题的解题思路: (1)分析问题,找到与面积相关的一个变量; (2)建立面积与另一个变量的二次函数模型; (3)求出自变量的取值范围,用配方法或利用顶点坐标公式求面积的最值.
解析 (1)由题意可得y=100+5(80-x), 整理得y=-5x+500. (2)由题意,得w=(x-40)(-5x+500)=-5x2+700x-20 000=-5(x-70)2+4 500. ∵a=-5<0,∴w有最大值,即当x=70时,w最大值=4 500, ∴应降低80-70=10(元). 答:当销售单价降低10元时,每月获得的利润最大,最大利润为4 500元. (3)由题意,得-5(x-70)2+4 500=4 220+200, 解得x1=66,x2=74. ∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=70,
1, 1,
x2 y2
3, 3
⑤
直线与抛物线的位置
当1<x<3时,抛物线在直线的下方,即x2+bx+c<x,x2+(b 错误
-1)x+c<0
全练版
知识能力全练
知识点一 利用二次函数解决实际生活问题的一般方法及几何图形的最值问题 1.(2019上海宝安二模)如图22-3-1,小明想用长为12 m的栅栏(虚线部分),借助围墙 围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是 ( )
∴当66≤x≤74时,符合该网店要求. 又为了让消费者得到最大实惠,故x=66. ∴当销售单价定为66元时,既符合网店要求,又能让消费者得到最大实惠.
点拨 解此类题的关键是通过题意,确定出二次函数的解析式,然后确定其最大 值,实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值时, 一定要注意自变量x的取值范围.
错误
②
图象上的点(1,1)
③
对称轴位置
抛物线经过(1,1),所以1=1+b+c,即b+c=0
抛物线的对称轴在y轴的右侧,所以a,b异 号,a=1>0,所以b<0
正确 正确
④
抛物线与直线的交点坐 根据题中图象可知交点坐标为(1,1)和(3,3),即方 正确
标
程组
y y
x2 x
bx
c,的解为
xy11
题时,首先要把这些实际问题中的相应数据正确地落实到平面直角坐标系中的抛 物线上,然后求解得出抛物线的解析式,通过解析式来解决测量问题、最值问题等.
经典例题全解
题型一 二次函数与一次函数在利润问题中的综合应用
例1 (2019辽宁葫芦岛中考)某公司研发了一款成本为50元的新型玩具,投放市场 进行试销售.其销售单价不低于成本,按照物价部门规定,销售利润率不高于90%,市 场调研发现,在一段时间内,每天销售数量y(个)与销售单价x(元)符合一次函数关 系,如图22-3-5所示.
其中正确的是 ( )
A.①②③
B.②③④
图22-3-7 C.③④⑤
D.②③⑤
答案 B
素养呈现 在利用二次函数的图象解决一元二次方程(组)或不等式的问题时,理解
函数图象与一元二次方程(组)的解与不等式的解集之间的联系是解题的关键.根据
函数的图象分析如下:
结论
图象特征
分析
正误
①
图象与x轴的交点个数 抛物线与x轴没有交点,b2-4c<0
知识点二 二次函数的最值在销售问题中的应用 用二次函数可解决商品销售问题中的最大利润、最低成本等问题,要熟练掌
握相关数量的意义、常用的数量关系.需根据具体问题,建立函数关系式,解决实际 问题. 常见销售问题中的数量关系:利润=售价-成本,总利润=每件商品的利润×销量.
例2 (2019湖北鄂州中考)“互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专 售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸 引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:销售单价每降1元,则每月可多 销售5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条. (1)直接写出y与x的函数关系式; (2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最 大?最大利润是多少? (3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保 证捐款后每月利润不低于4 220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的 销售单价?
及其相关概念;(2)用图象,架起方程(不等式)通往函数的“桥梁”等.
典例剖析 例 函数y=x2+bx+c与函数y=x的图象如图22-3-7所示,有以下结论:①b2-4c>0;②b+c
=0;③b<0;④方程组
y y
xபைடு நூலகம் x
bx
c,
的解为
x1 y1
1, 1,
x2 y2
3, 3;
⑤当1<x<3时,x2+(b-1)x+c>0.