甘肃省平凉市中考数学试卷及答案

甘肃省平凉市中考数学试卷及答案
（本试卷满分为150分，考题时间为120分钟）
A 卷（满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有
一个是正确的，请把正确的选项选出来．） 1．图中几何体的主视图是
2．下列运算中，计算结果正确的是
A ．x 2·x 3＝x 6
B ．x 2n ÷x n －2＝x n ＋2
C ．(2x 3)2＝4x 9
D ．x 3＋x 3
＝x
3．如果两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，那么能反映这两圆位置关系的图是
4．多项式2a 2
－4ab ＋2b 2
分解因式的结果正确的是
A ．2(a 2－2ab ＋b 2)
B ．2a (a －2b )＋2b 2
C ．2(a －b ) 2
D ．(2a －2b ) 2
5．如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a 、b 中的直线b 上，如果∠1＝40°，则∠2的度数是 A ．30° B ．45° C ．40° D ．50°
6．在a 2
□4a □4的空格中，任意填上“＋”或“－”，在所得到的代数式中，可以构成完全平方式的概率是 A ．12 B ．13 C ．14 D ．1 7．将二次函数y ＝x 2
－2x ＋3化为y ＝(x －h )2
＋k 的形式，结果为
A ．y ＝(x ＋1)2＋4
B ．y ＝(x －1)2＋4
C ．y ＝(x ＋1)2＋2
D ．y ＝(x －1)2
＋2 8．样本数据3、6、a 、4、2的平均数是5，则这个样本的方差是 A ．8
B ．5
C ．2 2
D ．3
9．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 A ．13 B ．12 C ．34
D ．1 10．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为A
E ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为
F ，则CF 的长为
a b 1
C ． B ． A ．
D ．
正面
A ．6
B ．4
C ．2
D ．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．只要求填写最后结果．） 11．计算8－
1
2
＝_ ▲ ． 12．若x ＋y ＝3，xy ＝1，则x 2
＋y 2
＝_ ▲ ．
13．为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据
光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树(AB )8.7m 的点E 处，然后观测考沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.7m ，观测者目高CD ＝1.6m ，则树高AB 约是_ ▲ ．（精确到0.1m ）
14．如图（1），在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂
直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m 2
，求道路宽为多少？设宽为x m ，从图（2）的思考方式出发列出的方程是_ ▲ ．
15．如图，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是－4与2x ＋2
3x －5
，且点A 、B 到原点的距
离相等．则x ＝_ ▲ ．
16．计算：sin 230°＋tan44°tan46°＋sin 2
60°＝_ ▲ ．
17．抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 的部分图象如图所示，若函数y ＞0值时，则x 的取值范围是_
▲ ．
（1）
（2）
E
B D C
E
18．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝6，对角线AC 平分∠BAD ，点
E 在
AB 上，且AE ＝2（AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE ＋PB 的最小值是_ ▲ ．
三、解答题（本大题共3小题，其中19题9分，20题6分，21题13分，共28分．）解答时写出必要的文字说明及演算过程．
19．本题共9分（其中第Ⅰ小题4分，第Ⅱ小题5分）
Ⅰ．先化简(，再从－2、－1、0、1、2中选一个你认为适合的数作为x 的值代入求值．
Ⅱ．已知l 1：直线y ＝－x ＋3和l 2：直线y ＝2x ，l 1与x 轴交点为A ．求： （1）l 1与l 2的交点坐标．
（2）经过点A 且平行于l 2的直线的解析式
20．已知，如图E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF ＝CE ，DF ＝BE ，DF ∥BE ，四
边形ABCD 是平行四边形吗？请说明理由．
21．本题共13分（其中第Ⅰ小题6分，第Ⅱ小题7分）
Ⅰ．爱养花的李先生为选择一个合适的时间去参观西安世界园艺博览会，他查阅了5月10
日至16日是（星期一至星期日）每天的参观人数，得到图（1）、图（2）所示的统计图．其中图（1）是每天参观人数的统计图，图（2）是5月15日是（星期六）这一天上午、
B
A
E
D F
中午、下午和晚上四个时段参观人数的扇形统计图，请你根据统计图解答下面的问题： （1）5月10日至16日这一周中，参观人数最多的是日是_ ▲ ，有_ ▲ 万人，
参观人数最少的是日是_ ▲ ，有_ ▲ 万人，中位数是_ ▲ ．
（2）5月15日是（星期六）这一天，上午的参观人数比下午的参观人数多多少人？（精确
到1万人）
（3）如果李先生想尽可能选择参观人数较少的时间参观世园会，你认为选择什么时间较合
适？
Ⅱ．如图在等腰Rt △OBA 和Rt △BCD 中，∠OBA ＝∠BCD ＝90°，点A 和点C 都在双曲线y ＝
4
x
（k ＞0）上，求点D 的坐标．
B 卷（满分50分）
四、解答题（本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤过程及推理过程．） 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度．正
方形ABCD 顶点都在格点上，其中，点A 的坐标为 (1，1)．
（1）若将正方形ABCD 绕点A 顺时针方向旋转，点B 到达点B 1，点C 到达点C 1，点D 到达点
D 1，求点B 1、C 1、D 1的坐标．
（2）若线段AC 1的长度．．与点D 1的横坐标．．．的差．
恰好是一元二次方程x 2
＋ax ＋1＝0的一个根，求a 的值．
第220题A B
C D O
x y A
B
C
D O
x
y
y ＝4x
23．（10分）某校开展的一次动漫设计大赛，杨帆同学运用了数学知识进行了富有创意的图
案设计，如图（1），他在边长为1的正方形ABCD 内作等边△BCE ，并与正方形的对角线交于点F 、G ，制作如图（2）的图标，请我计算一下图案中阴影图形的面积．
24．（10分）某电脑公司各种品牌、型号的电脑价格如下表，育才中学要从甲、乙两种品牌
电脑中各选择一种型号的电脑．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）．如果各种选购方案被选中的可能性
相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？
（2）该中学预计购买甲、乙两种品牌电脑共36台，其中甲品牌电脑只选了A 型号，学校规
定购买费用不能高于10万元，又不低于9.2万元，问购买A 型号电脑可以是多少台？
甲
乙
型号 A
B
C
D
E
单价（元/台）
6000
4000
2500
5000
2000
25．（10分）在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 是△ABC 的外心，连接AO 并延长交BC 于D ，交△ABC
的外接圆于E ，过点B 作⊙O 的切线交AO 的延长线于Q ，设OQ ＝9
2，BQ ＝32．
（1）求⊙O 的半径；
（2）若DE ＝3
5
，求四边形ACEB 的周长．
26．（10分）在梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠AOC ＝60°，∠OAB ＝90°，OC ＝2，BC ＝4，以点O
为原点，OA 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF ，DE 在x 轴上（如图（1）），如果让△DEF 以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D 与点A 重合，当点D 到达坐标原点时运动停止．
（1）设△DEF 运动时间为t ，△DEF 与梯形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关
系式．
（2）探究：在△DEF 运动过程中，如果射线DF 交经过O 、C 、B 三点的抛物线于点G ，是否
存在这样的时刻t ，使得△OAG 的面积与梯形OABC 的面积相等？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
A B C Q
E
D O
A B C
D
E G
F O (1)
A
D E G
F (2)
数学试题参照答案及评分标准
A卷（满分100分）
一、选择题（满分40分）评分标准：答对一题得4分，不答或答错均得0分
1．D 2.B 3.B 4.C 5.D 6.A 7.D 8.A 9.B
10.C
二、填空题（满分32分）评分标准：在每小题后的横线上填上最终结果，答对一题得4分，
不答或答错和不是最终结果均得0分.
11．7 13．5.2 14．(322)(2)570
x x x
--= 15．
11
2.2
5
或
16．2 17．31
x
-<< 18．
三、解答题（满分28分）
19．Ⅰ.原式=
2(1)(1)
1
x x x
x
--+
+
·
21
x
x
-
.
=
1
1
x+
·
(1)(1)
x x
x
+-
=
1
x
x
-
当2
x=-时，原式=
3
2
（或当x==
2
2
）
Ⅱ.解：（1）设直线
1
l与
2
l的交点为M，则
由
3
2
y x
y x
=-+
⎧
⎨
=
⎩
解得1,
2.
x y =⎧⎨
=⎩
∴(12)M ，.
(2)设经过点A 且平行于2l 的直线的解析式为2.y x b =+ ∵直线1l 与x 轴的交点(30)A ， ∴60b +=， ∴ 6.b =-
则：所求直线的解析式为2 6.y x =-
20.解：结论：四边形ABCD 是平行四边形. 证明：∵DF ∥BE . ∴∠AFD =∠CEB .
又∵AF CE DF BE ==，， ∴△AFD ≌△CEB （SAS ）. ∴AD CB =，∠DAF =∠BCE . ∴AD ∥CB .
∴四边形ABCD 是平行四边形.
说明：其它证法可参照上面的评分标准评分.
21.Ⅰ.①15，34；10，16；22万； ②34(74%-6%)≈23（万人）
③答案不唯一，只要符合题意均可得分. Ⅱ．解：点A 在双曲线4
y x
=上，且在△OBA 中，AB OB =，∠90OBA =°则4OB AB =. ∴2AB OB ==
过点C 作CE ⊥x 轴于E CF ，⊥y 轴于F .设BE x =. 由在BCD △中90BC CD BCD ==，∠°.则CE x =. 又
点C 在双曲线4y x
=
上 (2) 4.x x ∴+=
解得1
0x x =>，，
1.
21)x OD ∴=∴=+=
∴
点D ．
B 卷（满分50分）
四、解答题（本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程）
22.解：（1）由已知111(21)(40)(32)B C D -，
，，，， （2
）由勾股定理得：AC =
则3)是方程2
10x ax ++=的一根，
设另一根为0x ，则0
x 3)
=1.
03x =
=
3)3)]a ∴=-+=-
另解：2
3)3)10a a ++==，
23.解：连接FG 并延长交AB 于M AC ，于N ， BCE △和四边形ABCD 分别是正三角形和正方形.
.4530MN AB MN CD BAC ABE ∴⊥⊥=︒=︒，∠，∠
∴设MF x =，
则 1.x +=
1
22.BCE ABF x S S S S ∴=
=
∴--△△阴影正方形=
112==
另解：1
4
BCDF S S S =
-阴影正方形四边形
1111()(12)4222264=
---⨯-=
24.解：（1）树状图如下：
共有6种选购方案：(,)A D 、（B ，D ）、（C ，D ）、（A ，E ）、（B ，E ）、（C ，E ）.
1(.3
P A 型号被选中)=
（2） 设购买A 型号x 台，由（1）知
当选用方案(,)A D 时：由已知
9200060005000(36)100000x x +-≤≤
得8880x --≤≤，不符合题意.
当选用方案()A E ，时，由已知：9200060002000(36)100000x x +-≤≤ 得57.x ≤≤
答：购买A 型号电脑可以是5台，6台或7台. 25.（1）连接OB BQ ，切
O 于B .
.OB BQ ∴⊥在Rt OBQ △中，9
2
OQ BQ ==，
32
OB ∴==． 即O 的半径是3
2
.
（2）延长BO 交AC 于F .
AB BC =则.AB BC BF AC =∴⊥，
又
AE 是O 的直径，90ACE ABE ∴==︒∠∠．
BF CE ∴∥
（另解：DBF OBA OAB DCE =∠=∠=∠∠） ..3352
1.
3325
BOD CED BO OD
CE DE
DE BO CE OD ∴∴
=⨯
∴===-△∽△
∴在Rt ACE △中，3,1AE CE ==，则AC =
又
O 是AE 的中点，11
22OF CF ∴==，
则 2.BF = ∴在Rt ABF △
中，1
2
AF AC ==
AB ∴=
在Rt ABE △
，BE =
（如用ABQ BEQ △∽△及解Rt ABE △得AB BE ，，计算正确也得分） 故：四边形ACEB
的周长是：1+26.解：（1）DEF △是边长为2
OABC 中，
2460OC BC COA AB x ===︒⊥，，∠，轴
5,OA AB ∴==依题意：①当201t <≤时 ②
222122)(2)422
t S t t <<=
--=--+时，③当25t S =≤≤时
（2）由已知点(00)(1(5O C B ，，
，设过点O 、C 、B 的抛物线的解析式为2.y ax bx =+
则255a b a b =+=+，， 解得5
a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴该抛物线的解析式为：255
y x x =-
+. ∴若存在点G ，使得DCA OABC S S =△梯形；此时，设点G 的坐标为2().55
x x x -+，
射线DF 与抛物线的交点在x 轴上方.
211
5()(54)22
x ∴⨯⨯=⨯+
化简得2690x x -+=，解得 3.x =
则此时点(3G GH x ⊥，作轴于H ，则9cot 605
DH GH =︒== ∴此时9192)55
t =+=(秒 故：存在时刻195
t =（秒）时，OAG △与梯形OABC 的面积相等.。