高一数学竞赛试卷

高一数学竞赛试卷
考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1.从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是( )
A ．A 与
B 互斥 B ．A 与互斥
C ．任何两个均互斥
D ．任何两个均不互斥 2.设全集，，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3.已知等比数列中，
，，则公比（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.若函数为奇函数,则 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．1 5.已知，函数在区间
上恰有个零点，则的取值
范围是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6.点p （m-n ，－m ）到直线的距离等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7.如图，在等腰梯形中，，且.设
，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以
为焦点且过点的椭圆的离心率为，
则（）
A．随着角度的增大，增大，为定值
B．随着角度的增大，减小，为定值
C．随着角度的增大，增大，也增
D．随着角度的增大，减小，也减小
8.已知为非零向量，且，则有（）
A． B． C． D．
9.下列关系式中，成立的是（）．
A．
B．C．
D．
10.设是等差数列的前n项和，,则的值为（）. A． B． C． D．
11.已知，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a
12.已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，
都有
成立，则的最小正值为（）
A． B． C． D．
13.葫芦岛市交通局为了解机动车驾驶员对交通法规的知晓情况，对渤海、丰乐、安宁、天正四个社区做分层抽样调查.其中渤海社区有驾驶员96人.若在渤海、丰乐、安宁、天正四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则丰乐、安宁、天正三个社区驾驶员人数是多少（）
A．101 B．808 C．712 D．89
14.如图所示，可表示函数ｙ＝ｆ(ｘ)的图像的只可能是（）
15.（3分）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是（﹣，0），（，0），离心率是，则椭圆C的方程为（）
A．+y2=1 B．x2+=1 C．+y=1 D．+=1
16.要得到的图像, 需将函数的图像( )
A．向左平移个单位．
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
17.若正实数a，b满足，则( )
A．有最大值4
B．有最大值C．ab有最小值
D．有最小值
18.用长度为24的材料围一个矩形场地，中间且有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为
A．3 B．4 C．6 D．12
19.运行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A． B． C． D．
20.在x轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为（）
A． B． C． D．
二、填空题
21.（1）一家保险公司调查其总公司营业部的加班程度，收集了10周中每周加班工作时间y （小时）与签发新保单数目x 的数据如下表，则用最
小二乘估计求出的回归直线方程是 =0.1181+0.003585x . x 825 215 1070 550 480
920 1350 325 670
1215 （2）上题中，每周加班时间y 与签发新保单数目x 之间的相关系数 ，查表得到的相关系数临界值r 0.05= ，这说明题中求得的两变量之间的回归直线方程是 （有／无）意义的．
（3）上面题中，若该公司预计下周签发新保单1000张，需要的加班时间的估计是 .
22.一空间几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为
___ ．
23.已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M ∪N=____ 24.若函数是定义在上的奇函数，且当
时，
，
则当时,
__________．
25.若a 、b 、c 、d 均为正实数，且，那么四个数、、、
由小到大的顺序是_________。

26.已知函数
的图象为直线的交点中，
相邻两个交点距离的最小值为，且对任意实数恒成立，
则=__________.
27.如果c<b<a ，且ac<0，那么下列不等式中：
①ab>ac ；②c （b-a ）>0；③cb 2<ab 2；④ac （a-c ）<0， 不一定成立的是__________（填序号）。

28.已知函数，若方程有四个不相等的实数根，则
实数的取值范围是 ．
29.函数，的图象与直线有且仅有两个不
同的交点，则的取值范围是 ． 30.设函数满足：
，则函数
在区间
上的最小值
为 ． 三、解答题
31.（本小题满分12分）已知函数，
且
的最小正周期为．
（1）求函数
的解析式及函数
的对称中心；
（2）若对任意恒成立，求实数
的取值范围．
32.(13分) 已知函数满足．
（1）求的解析式；
（2）设，，试求在 [ 1，3 ] 上的最小值．
33.（本题满分12分）定义在R上的奇函数为减函数，
对恒成立，求实数m的取值范围. 34.已知函数满足:①;②.
(1)求的解析式;
(2)若对任意的实数恒成立,求实数m的取值范围.
35.（12分）已知直线和圆：．
①求证：无论取何值，直线与圆都相交；
②求直线被圆截得的弦长的最小值和弦长取得最小值时实数的值．
参考答案
1 .A
【解析】A与B互斥.A与,B与C都不互斥.应选A.
2 .B
【解析】
试题分析：由补集定义得，所以
考点：集合的运算.
3 .A
【解析】
试题分析：等比数列的通项公式为，原等式变为
，整理得，q=-2。

考点：等比数列
4 .A
【解析】
试题分析：因为为奇函数，，即，解得。

考点：奇函数的定义。

5 .A
【解析】，函数在区间上恰有9个零点，则，且解得故选A．
6 .A
【解析】直线方程化为由点到直线的距离公式得：
故选A
7 .B
【解析】略
8 .D
【解析】试题分析：∵为非零向量，且∴
即，∴⊥或。

考点：两向量垂直的判断
点评：本题中为非零向量，但有可能为零向量，做题时不要忽略的情况。

9 .A
【解析】试题分析：，故选A
考点：指数对数比较大小问题
10 .A
【解析】.
11 .B
【解析】
试题分析：，，故选B
考点：指数与对数的性质
12 .B
【解析】
试题分析：可知处取得最小值和最大值，所以
，最小为
考点：三角函数最值与周期
13 .C
【解析】∵渤海社区有驾驶员96人，在渤海社区中抽取驾驶员的人数为12
∴每个个体被抽到的概率为样本容量为12+21+25+43=101
∴这四个社区驾驶员的总人数N为，则丰乐、安宁、天正三个
社区驾驶员人数是808-96=712.
本题选择C选项.
14 .Ｄ
【解析】主要考查函数的概念。

由函数定义可得，保证任意一个ｘ有唯一的ｙ与之对应，故选Ｄ．
15 .A
【解析】
试题分析：由题意可设椭圆C的标准方程为．则，解出即可．
解：由题意可设椭圆C的标准方程为．
则，解得，
∴椭圆C的方程为．
故选A．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键．
16 .D
【解析】略
17 .B
【解析】∵正实数a，b满足a+b=1，
∴⩾2+2=4,故有最小值4，故A不正确。

由于,∴⩽,故有最
大值为，故B正确。

由基本不等式可得a+b=1⩾2,∴ab⩽,故ab有最大值14，故C不正确。

∵,故有最小值，故D不正确。

故选：B.
点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三
个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变
量的各项均相等，取得最值.
18 .A
【解析】试题分析：设隔墙长度为矩形宽x m，则长为，则面积为：
S=·x=12x-2=-2（－6x+9）+18=-2+18
当x=3时，S最大为18,所以隔墙宽为3米。

故选A。

考点：主要考查函数模型的广泛应用，考查应用数学知识解决实际问题
的能力。

点评：解答应用问题的一般步骤是：“审题、建模、求解、作答”。

19 .B
【解析】
试题分析：根据程序框图：；
；；
；，此时输出结果，选B．
考点：1.程序框图；2.裂项相消法．
20 .A
【解析】因为直线的倾斜角为135°，所以该直线的斜率为-1，
因为直线在x轴上的截距为2，
所以直线方程为，即。

21 .（1）b=0.003585，a="0.1181." （2）r=0.9489、0.632 、有
（3）x 0=1000，=0.1181＋0.003585x 0=3.7（小时）． 【解析】
试题分析：（1）由公式计算得：=762，l xx =1297860，=2.85，l xy =4653， ∴ b=0.003585，a="0.1181." （2）r=0.9489、0.632 、有
（3）计算得x 0=1000，=0.1181＋0.003585x 0=3.7（小时）． 考点：本题主要考查回归直线方程及计算能力．
点评：这是一道实际应用问题，解题的关键是明确线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入求出b 的值，注意数字的运算。

22 .2
【解析】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，
直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2， 一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2， ∴四棱锥的体积是。

23 .{0，1，2} 【解析】
试题分析：由M∩N={1}可知x=1,所以M ∪N={0，1，2}
考点：集合运算 24 .
【解析】令，则
，故
，根据
是奇函数可得：
，故答案为
. 25 .、、
、.
【解析】 试题分析：
,则，即
，
，即
，所以由小到大的顺序是、、
、. 考点：比较大小. 26 .
【解析】设函数
的图象为直线的交点
为
，所以
，又
，两式相减可
，又对任意实数恒成立，所以函数在处取得最大值2故
点睛：先根据题意可知，再由两点差为
得出，又对任意实数恒成立，要转化为最值理解是解
题关键，最后求解
27 .③
【解析】∵且，∴．
①∵a＞0，c＜b，∴ac＜ab，即ab＞ac成立．
②∵b＜a，∴b-a＜0，∴c（b-a）＞0成立．
③∵b∈R，∴当b=0时，cb2＜ab2不成立．
④∵c＜b＜a，a＞0，c＜0，∴a-c＞0，ac（a-c）＜0，成立．
故答案为：③.
28 .0＜m＜1 ；
【解析】
试题分析：先画出的图像，再把x轴下方的部分翻折到x 轴的上方，即为的图像，求得方程两个根为1，3，对称轴为x=2，若方程有四个不相等的实数根，则与有四个不同的交点，由，则0＜m＜1。

考点：1、一元二次函数图像问题；2、函数图像的翻着折变换．
【思路点晴】本题主要考查的是函数图像的翻折变换以及函数与方程、数形结合的数学思想．
29 .
【解析】略
30 .3
【解析】
试题分析：：∵，①将“x”用“”代入，得：
②
将①×2+②得：令，记．
由x∈[，1]得：t∈[，1]．∴g′（t）＜0．
则g（t）在[，1]上单调递减．[g（t）]min=g（1）=3．
考点：函数的最值及其几何意义；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
31 .（1），对称中心为（2）
【解析】
试题分析：（1）依据条件将已知化为一个角的三角函数形式即
，由周期公式得，。

并由正弦函数对称中心计算方法得，,得到对称中心为。

（2）恒成立问题常常把参数一到不等式的一边即，再利用求最值得方法得到参数的范围（本题利用换元、函数单调性求最值）。

试题解析：（1）由题得：
又函数的周期为，所以，所以
所以
对称中心为（2）（法一），
设，，
设，，则
在上是增函数
时，，
（法二）设，
<1>时，即时，，
<2> 时，即时，
，无解
<3> 时，即时，，
综上：
考点：•由三角函数性质求解析式并由性质研究函数性质 恒成立问题求参数值。

32 .18．解：(1) ∵令，则
于是
∴
(2)
①当时，即时，
②当时，即时，
③当时，即时，
综上，
【解析】略
33 .实数m的取值范围为.
【解析】
试题分析：根据题意可知函数是奇函数
，同时又是定义域上的减函数，
，要是不等式恒成立，则成立即可，利用三角的有界性得到求解。

解：为奇函数，
又为减函数，
即
整理得：恒成立，设下面只需求的最大值，
而
可知实数m的取值范围为.
考点：本题主要考查了三角函数的奇偶性和单调性的运用。

点评：解决该试题的关键是将已知表达式转化为，分离参数的思想来求解m的范围。

34 .(1)；
(2) m的取值范围是。

【解析】
试题分析：(1)因为，=，所以将数据直接代入，确定“待定系数”。

(2)分析：常见的二次函数对称轴移动，在给定定义域求最值的问题。

，对称轴，这个函数在题中定义域的最大值小于等于1时，题设成立。

时，单调递增。

最大值，此时不存在m满足条件。

时，单调递减。

最大值此时当时满足条件。

时，最大值在两端取得，
，此时同样不存在m满足条件。

综上，m的取值范围是。

考点：二次函数的图象和性质，简单不等式的解法。

点评：中档题，本题较为典型，“待定系数法”是常见的求函数解析式的方法。

（2）典型的“动轴”求最值问题，注意各种情况的讨论。

35 .解：①因为直线，即，由得，所以直线恒过定点.-----------------3分又，则点在圆的内部，所以无论取何值，直线与圆都相交.----------------------------------------------------------------------5分
②设直线与圆相交于、两点，圆心到直线的距离为，圆的半径为，则，要使最小，当时，只需要最大即可.又因为，所以当时，最小. ----------------8分
此时，所以.-----------------------------------9分
当弦长时，直线.
又因为，所以直线的斜率.---------------------------------11分又，所以.-------------------------------------------12分
【解析】略。