《矩阵分析》课件

方阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称 为对角矩阵。
03
对称矩阵
设$A = (a_{ij})$为$n$阶方阵，若对任意$i, j$都有$a_{ij} = a_{ ji}$，则称$A$为对称矩
阵。
05
02
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 $O$。
04
非零行的首非零元所在列在上一行的 首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的 右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不能 由其中的部分向量线性表示出来。换句话说，只有 当这组向量中任何一个向量都不能由其余向量线性 表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
当B=I时，广义特征值问题退化为普通的特征值问题。此外，广义特征值问题可以通 过相似变换转化为普通的特征值问题进行求解。
06
CATALOGUE
矩阵函数与微分学在矩阵分析中应用
矩阵函数定义及性质
矩阵函数的性质 矩阵函数的转置、逆和行列式等运算也遵循相应的矩
阵运算规则。
矩阵函数的定义：设$A(t)=(a_{ij}(t))$是一个 $ntimes n$矩阵，其元素$a_{ij}(t)$是变量$t$ 的函数，则称$A(t)$为矩阵函数。
Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵， 从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替 换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义
将矩阵分解为一个正交矩阵Q和 一个上三角矩阵R的乘积。
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特征多项式定义 设A是n阶方阵，则行列式|λI-A|称为A的特征多 项式，记作f(λ)。
最小多项式定义 设A是n阶方阵，如果存在一个次数最低的首一 多项式m(λ)，使得m(A)=0，则称m(λ)为A的最 小多项式。
特征多项式与最小多项式的关系 最小多项式m(λ)整除特征多项式f(λ)，且m(λ)的 根都是f(λ)的根。
微分方程数值解法简介
欧拉方法
一种简单的数值解法，通过逐步逼近的方式求解微分方程。其基本思想是利用泰勒级数展开式的前几项来近似表 示微分方程的解。
龙格-库塔方法
一种高精度的数值解法，通过多步迭代来提高解的精度。该方法的基本思想是利用泰勒级数展开式的更多项来构 造更精确的近似解。
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《矩阵分析》课 件
目 录
• 矩阵基本概念与性质 • 矩阵分解方法与应用 • 线性方程组求解与矩阵秩 • 向量空间与内积空间 • 特征值与特征向量理论 • 矩阵函数与微分学在矩阵分析中应用
01
CATALOGUE
矩阵基本概念与性质
矩阵定义及表示方法
矩阵定义
由$m times n$个数按一定次序排 成的$m$行$n$列的矩形数表称为 $m times n$矩阵。
初等变换和行阶梯形式
初等变换：对矩阵进行以下三种变换称为初等变 换 对调两行（列）。
以数k≠0乘某一行（列）中的所有元。
初等变换和行阶梯形式
01
把某一行（列）所有元的k倍加到另一行（列）的对应元上去。
02
行阶梯形式：一个矩阵经过初等行变换可以化为行阶梯形式，
其特点是
非零行在零行的上面。
03
初等变换和行阶梯形式
Jordan标准型及其性质
Jordan标准型定义： 设A是n阶方阵，如果 存在一个可逆矩阵P， 使得P^(-1)AP为 Jordan矩阵，则称A 可以相似对角化为 Jordan标准型。
Jordan标准型的性质
Jordan标准型是唯一 的，即对于给定的方 阵A，其Jordan标准 型是唯一的。
Jordan标准型中的每 个Jordan块对应A的 一个特征值。
Jordan块的大小和数 量由A的特征多项式 和最小多项式确定。
广义特征值问题简介
广义特征值问题定义
设A和B都是n阶方阵，且B可逆，如果存在数λ和非零n维列向量x，使得Ax=λBx成 立，那么称λ是A相对于B的广义特征值，x是A相对于B的对应于广义特征值λ的广义 特征向量。
广义特征值与特征值的关系
QR分解方法
Gram-Schmidt正交化、 Householder变换、Givens旋转 等。
QR分解应用
最小二乘问题、矩阵特征值计算、 信号处理等。
特征值、特征向量与对角化
特征值与特征向量
定义
满足Ax=λx的λ和x分别为矩阵A的 特征值和特征向量。
特征多项式与特征
方程
求解特征值和特征向量的关键步 骤。
内积空间具有正定性、对称性、线性性等性质。其中正定性保 证了向量的长度非负，且只有零向量的长度为0；对称性保证了 内积的结果与向量的顺序无关；线性性则保证了内积运算满足 分配律和结合律。
正交基、正交变换和正交矩阵
01
正交基
02
正交变换
在n维内积空间中，由n个线性无关的 向量组成的正交向量组称为正交基。正 交基中的向量两两正交且长度均为1。
基础解系：对于齐次线性方程组Ax = 0，若其系数 矩阵的秩为r，则它的基础解系由n - r个线性无关的 解向量构成。基础解系具有以下性质
齐次线性方程组的任意解均可由基础解系线性表示 出来。
04
CATALOGUE
向量空间与内积空间
向量空间定义及性质
向量空间定义
设V是一个非空集合，P是一个数域，若对V中任意两个元素α与β，总有唯一元素 α+β∈V与之对应，称为α与β的和；又对P中任意数k与V中任意元素α，总有唯一元素 kα∈V与之对应，称为k与α的积，而且这两种运算满足八条运算规则，则称V是数域P
矩阵对角化条件与
步骤
当矩阵有n个线性无关的特征向量 时，可对角化。对角化步骤包括 求特征值和特征向量、构造对角 矩阵等。
奇异值分解（SVD）及其应用
01
02
03
SVD定义
SV UΣV^T，其中U和V为正交矩阵， Σ为对角矩阵。
通过求解AA^T和A^TA的特征值 和特征向量得到U、V和Σ。
矩阵函数的和、差、数乘和乘法运算遵循矩阵运 算的法则。
常见矩阵函数举例
要点一
指数矩阵函数
$e^{At}=sum_{k=0}^{infty}frac{1}{k!}(At)^{k}$，其中$A$ 是常数矩阵。
要点二
正弦和余弦矩阵函数
$sin(At)=sum_{k=0}^{infty}frac{(1)^{k}}{(2k+1)!}(At)^{2k+1}$， $cos(At)=sum_{k=0}^{infty}frac{(1)^{k}}{(2k)!}(At)^{2k}$。
数据降维、图像压缩、推荐系统 等。
03
CATALOGUE
线性方程组求解与矩阵秩
线性方程组表示及求解方法
线性方程组的一般形式
Ax = b，其中A是系数矩阵，x是未知数列向量，b是常数列向量。
高斯消元法
通过消元将系数矩阵化为上三角矩阵，然后回代求解。
克拉默法则
利用行列式求解线性方程组，适用于方程个数和未知数个数相等的情况。
零空间 对于m×n矩阵A，其零空间N(A)是由所有满足Ax=0的n维 向量x构成的集合。
内积空间概念及性质
内积空间概念
设V是实数域或复数域上的线性空间，在V上定义一个二元函数 (f,g)，满足交换律、分配律、正定性等性质，则称(f,g)为V上的 一个内积，定义了内积的线性空间称为内积空间。
内积空间性质
微分学在矩阵分析中应用
01
矩阵函数的导数
设$A(t)$是一个可导的矩阵函数，则其导数$A'(t)$也是一个 矩阵，其元素为$a_{ij}'(t)$。
02
矩阵函数的微分法则
矩阵函数的和、差、数乘和乘法运算的微分法则与标量函数 的微分法则类似。
03
矩阵函数的泰勒级数
如果矩阵函数$A(t)$在$t=t_0$处可导，则它在该点处的泰 勒级数为 $A(t)=sum_{k=0}^{infty}frac{1}{k!}A^{(k)}(t_0)(tt_0)^{k}$，其中$A^{(k)}(t_0)$表示$A(t)$在$t=t_0$处的 $k$阶导数。
设T是n维内积空间V的一个线性变换， 若T保持向量的内积不变，即对任意 α,β∈V，有(Tα,Tβ)=(α,β)，则称T为V 的一个正交变换。
03
正交矩阵
设A是n阶方阵，若A满足A'A=E（E为 单位矩阵），则称A为正交矩阵。正交 矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，且正交 矩阵的行列式值为±1。
05
CATALOGUE
特征值与特征向量理论
特征值和特征向量定义
特征值定义
设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n 维列向量x，使得Ax=λx成立，那么称 λ是A的一个特征值，x是A的对应于特 征值λ的特征向量。
特征向量定义
对应于特征值λ的特征向量x满足Ax=λx， 即(A-λI)x=0，其中I是单位矩阵。
特征多项式与最小多项式
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其余元素 全为零的方阵称为单位矩阵，记作 $I$或$E$。
06
反对称矩阵
设$A = (a_{ij})$为$n$阶方阵，若对任意$i, j$都有$a_{ij} = -a_{ ji}$，则称$A$为反对称 矩阵。
02
CATALOGUE
矩阵分解方法与应用
Gauss消元法与LU分解
上的线性空间，或向量空间。
向量空间性质
向量空间具有加法和数乘两种运算，且满足八条运算规则，包括交换律、结合律、分配 律等。
子空间、生成子空间和零空间
子空间 设W是数域P上的线性空间V的一个非空子集，若W对于V 的两种运算也构成数域P上的线性空间，则称W是V的一个 线性子空间（或简称子空间）。
生成子空间 设S是线性空间V的一个非空子集，由S生成的子空间记作 span{S}，即span{S}是由S中有限个元素的所有可能的线 性组合构成的集合。
矩阵表示方法
通常用大写字母表示，如$A, B, C, ldots$。矩阵的行数和列数称为矩 阵的维数，记作$m times n$。
矩阵基本运算规则
加法运算
两个$m times n$矩阵对应元素相加。
数乘运算
数与矩阵相乘，即该数与矩阵中每一个元素相乘。
乘法运算
设$A = (a_{ij})$是一个$m times s$矩阵，$B = (b_{ij})$是一个$s times n$矩阵，那么规定 矩阵$C = (c_{ij})$，其中$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ldots + a_{is}b_{sj}$。
迭代法
通过构造迭代格式，逐步逼近方程组的解。
矩阵秩定义和性质
矩阵秩的定义：矩阵A的秩r(A)是 A中最大的非零子式的阶数。
r(A) ≤ min(m, n)，其中m和n分 别是矩阵A的行数和列数。
若矩阵A经过初等变换化为B，则 r(A) = r(B)。
性质
若矩阵A可逆，则r(A) = n。
若P、Q可逆，则r(PAQ) = r(A)。
矩阵性质总结
交换律
$A+B=B+A$，但 $AB neq BA$。
数乘结合律
$(kl)A=k(lA)$。
结合律
$(A+B)+C=A+(B+ C)$， $(AB)C=A(BC)$。
分配律
$(A+B)C=AC+BC$， $C(A+B)=CA+CB$。
数乘分配律
$(k+l)A=kA+lA$。
特殊类型矩阵介绍