拉普拉斯变换

在半平面 Re s > C 上一定存在.此时右端的积分绝对 收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 F s 为解析 函数
1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换
解
ℒ (t ) 0 (t ) e st dt 1

t 1
所以
f t 1 et
s s s5 例14 已知 F s 求 f (t ) s 3 2 s s s5 5 2 解 F s s s 1 s s
3 2
所以
f t t t t 5
求 f (t ) s 2 9 2 s 2 2s 5 1 3 解 F s 2 2 2 2 2 3 s 2 9 s 2 3 s 2 3
0
我们称上式为函数
f (t ) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F ( s ) ℒ f (t ) F ( s) 叫做 f (t ) 的拉氏变换,象函数.
f (t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,象原函数, f (t ) = ℒ
1
F ( s)
1.2 拉普拉斯变换存在定理
若函数 f (t ) 满足下列条件 Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆 变换 一些常用函数的拉氏变换
(t ) 1
1 e sk
kt
1 u (t ) s
tn n! s n 1
k sin kt 2 s k2
s cos kt 2 s k2
拉氏逆变换的性质 1 ℒ F 1 (s) F 2 (s) f1 (t ) f 2 (t )
1
ℒ F (s) tf (t )
1
ℒ
1
F ( s )ds f (t ) s t
ℒ
1
F1(s)F2 (s) f1(t) f2 (t)
1 求 f (t ) 例13 已知 F s s s 1 解 F s 1 1 1 s s 1 s s 1
n! n ℒ t s n 1
n! t n 1 s
n
例6 求正弦函数 f (t ) sin k t
st
(k R) 的拉氏变换
1 解 ℒ f (t ) 0 sin k t e dt s 0 sin k t de st 1 st st e sin k t k e cos k tdt 0 0 s 1 s t 2 e cos k tdt 0 s 1 st st 2 e cos k t k e sin k tdt 0 0 s 2 k k 则 0 sin k t e s t dt 2 2 0 sin k t e s t dt s s
k 所以 ℒ sin k t 2 s k2
Re s 0
即
k sin kt 2 s k2
s 同理可得 cos kt 2 2 s k
2 如 ℒ sin 2t 2 s 4 s ℒ cos 3 t 2 s 9
Re s 0 Re s 0
j 2 j
即
1
j
F ( s )e st ds Re s[ F ( s )e st , sk ],
k 1
n
f (t ) Re s[ F ( s)e st , sk ]
k 1
n
(t 0)
4 拉普拉斯变换的应用
4.1常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法
利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系 数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其 基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性 性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉 斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分 方程（或方程组）的解.
(b 0)
的拉氏变换
ℒ
1 u (t ) F ( s) s
1 sb ℒ u (t b) e s
（2）象函数的平移性质 若 ℒ f (t ) F (s), a 为实常数,则
at e ℒ f (t ) F ( s a)
例8 求
at e ℒ sin kt ,
[0, ) 上的卷积.
t , f ( t ) e 例11对函数 f1 t 1 2 计算 [0, ) 上的卷积
解 f1 (t ) f 2 (t ) 0 f1 f 2 t d
t
1e
0
t
( t )
d e
t

t 0
例2 求单位阶跃函数 u t 的拉氏变换 解 ℒ u(t ) e st dt 1 e s t 1 0
s 0 s
Re s 0
1 u t s
例3 求函数 f (t ) e
kt
的拉氏变换 k R .
解 ℒ f (t ) ekt e s t dt e ( s k ) t dt 1 0 0 sk
s 1
解得 所以
3 1 1 s2 Y (s) 4 8 8 s 1 s 1 s 3 s 1 s 1 s 3
1 t 3 t 1 3t y t e e e 4 8 8
2 拉普拉斯变换的性质
2.1 线性性质 设 ℒ f1 (t ) F1 (s) ℒ f2 (t ) F2 (s) , 为常数则
ℒ f (t ) f (t ) F (s) F (s) 1 2 1 2
2.2 相似性质
若 F ( s ) = ℒ f (t ) a 0 则 ℒ f (at )
Re s k
1 e sk
kt
例4 求单位斜坡函数 解
0 t t
t 0 t u t 的拉氏变换 t 0
ℒ (t ) 0

1 s t 1 st 1 te dt te e dt 2 0 s 0 s s
e d
e t (e t 1) 1 e t
(2)拉氏变换的卷积定理 若 ℒ f1 (t ) F1 (s), ℒ f 2 (t ) F2 (s), 则 ℒ ℒ
f1(t) f2 (t) F1(s)F2 (s)
1
F1(s)F2 (s) f1(t) f2 (t)
(1) [0, ) 上的卷积定义 若函数 f1 (t ), f 2 (t ) 满足, t 0 时都为零,
则可以证明卷积
f1 (t ) f 2 (t )

f1 ( ) f 2 (t )d f1 ( ) f 2 (t )d
0
t
称为函数 f1 (t ), f 2 (t ) 在
ℒ
1
s F ( ) af (at ) a
t F ( s) f (t )dt s 0
ℒ
1
F (s a) f (t ) ea t
ℒ
ℒ
1
st0 e F (s) f (t t0 )u (t t0 )
st
Re s 0
1 (t ) tu (t ) 2 s
例5 求幂函数 t
n
n 1的拉氏变换
Re s 0
解 ℒ t n t n e st dt n 1 0 s n 1 当
n 为正整数时,
Re s 0
解 因为
k ℒ sin k t 2 s k2
所以
ℒ e
at
k sin kt ( s a)2 k 2
2.4 微分定理 设
则有
式中
是 t=0时f(t)的值
证明：
分部积分法，
，
则
同理：
2.5积分定理 设
则有
式中，
是
在
的值
证明：
分部积分法，
，
则
同理：
2.6拉氏变换的卷积与卷积定理2Leabharlann 例15 已知F s
2s 5
所以 f t 2e2 t cos 3 t 1 e2 t sin 3 t
3
3.2 利用留数定理求拉氏逆变换

定理：设 F ( s)除在半平面 Re s c 内有限个孤 立奇点 s1 , s2 , sn 外是解析的，且当 s F (s) 0，则有 时，
3 拉普拉斯逆变换
根据拉普拉斯变换的定义 1 j st f t F s e ds 2 j j
t 0
右端的积分称为拉氏反演积分.它是一 个复变函数的积分,但计算比较麻烦.

求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部 分分式法、查表法等. 我们简单介绍留数法和查 表法.
t 0 时, f (t ) 0 Ⅱ 当 t 时, f (t ) 的增长速度不超过某一指数函 数,亦即存在常数 M 0, 及 C 0 ,使得 f t Me c t 0 t
成立,则函数 f (t ) 的拉氏变换 F (s) 0 f (t ) e st dt
1 s F a a
2.3平移性质 （1）象原函数的平移性质 若 ℒ f (t ) F ( s) t 0 为非负实常数,则
st ℒ f (t t0 )u(t t0 ) e 0 F (s)
例7 求函数 解 因为 所以
0 u(t b) 1
t b t b
例16 求微分方程
y 2 y 3 y et
满足初始条件
y 0 0 y 0 1 的解
解 设ℒ y t Y (s) 对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则 1 得 2 s Y s 1 2sY s 3Y s
补充 拉普拉斯变换
1 2 3 4

拉普拉斯变换的概念 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯逆变换 拉氏变换的应用及综合举例
1 拉普拉斯变换
1.1 拉普拉斯变换的概念 定义1 设函数 f (t ) 当 t 0 有定义,而且积分

0
f (t ) e st dt
(s 是一个复参量）
在 s 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的 函数可写为 F (s) f (t ) e st dt