2012年全国高中数学联赛模拟试题二
2012年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题答案
20120122年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题参考答案1.解:327766373636=××+++C C C .填:327.2.解:设其中两段长分别为y x ,,则第三段长为y x −−3,将长为3cm 的线段任意截成三段,可以用点(y x ,)来表示,实验的全部结果所构成的区域为}330,30,30),{(<−−<<<<<=Ωy x y x y x ,面积29=ΩS ,设三段能够组成三角形为事件A,则事件A 所构成的区域为:}3,3,3,330,30,30),{(x y x y y y x x y x y x y x y x y x A >−−+>−−+−−>+<−−<<<<<=面积89=A S ,所以这三段能够组成三角形的概率41)(==ΩS S A P A .填:41.3.解:2===MC MB MA ,所以M 在面ABC 上的射影O 为ABC 的外心,由32,2,22===BC AC AB 知,222BC AC AB =+,即ABC ∆是以A 直角顶点的直角三角形,所以O 是BC 的中点,MO 为所求,122=−=OC MC MO .填:1.4.解:原式可化为o 10tan 322tan2tan1=−αα,两边平方得o 10tan 3222cos2sin 2sin 2cos=−+αααα，o 10tan 322sin 2+=α,oo o o o o o oo o o 50sin 40cos 80sin 40cos 10cos 40sin 210cos 10sin 310cos 10cos 10tan 311sin ====+=+=α.填:o 50.5.解:不妨设d c b a <<<,由图像可知,当40≤<x 时,根据)()(b f a f =可得1=ab ,当4>x 时,根据)()(d f c f =可得12=+d c ,且54<<c ,所以abcd 36)6()12(2+−−=−==c c c cd ,当54<<c 时,3532<<abcd .填:)35,32(.6.解:设数列{}n a 的公比为q ()0>q ,8221234=−−+a a a a 可化为8)2(2122122=+−+a a q a q a ,8)1)(2(212=−+q a a ,182212−=+q a a ,且1>q ,令12−=q t ,则0,12>+=t t q .782a a +=61622q a q a +=t t q q q a a 326612)1(818)2(+=−=+=)133(82t t t +++.设)(t f =)133(82t t t +++,则=)(/t f ))12()1((8)132(8132(8222232tt t t t t t t −+=−+=−+.所以)(t f 在)21,0(上是减函数,在),21(+∞是增函数.54)21()(min ==f t f .填:54.7.解:设长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,,且c b a ≤≤,则从A 出发沿长方体的表面到达顶点1C 的最短距离为22)(c b a ++=6,于是36)(22=++c b a ,因为322222222243222)(c b a c ab ab c ab b a c b a ≥++≥+++=++.所以3222124≤c b a ,因此长方体的体积V =312≤abc ,当22,c ab b a ==即32,6,6===c b a 时,等号成立.填:312.8.解:当122+<≤k kx 时,[]k x =2log ,因为204822012210241110=<<=,所以[]1024log 2+[]1025log 2+…+[]2012log 2=9890)10232012(10=−×.[]1log 2+[]2log 2+[]3log 2+…+[]1024log 2=32232221×+×+×+…+929×,设S =32232221×+×+×+…+929×，则2S =432232221×+×+×+…+1029×,32222++=−S +…+921029×−=81942282922101010−=−×−=×−−,8194=S .所以原式=8194+9890=18084.填:18084.二.解:(1)取AB 的中点O ,连接,EO CO .因为2AE EB AB ===∵，所以三角形AEB ∴△为等腰直角三角形,,1EO AB EO ∴⊥=.又,60AB BC ABC =∠=�∵,所以三角形ACB ∴△是等边三角形.CO ∴=,又2,EC =222EC EO CO ∴=+,EO CO ∴⊥EO ABCD ∴⊥平面,又EO EAB ⊂平面,∴平面EAB ⊥平面ABCD .…………………4分(2)以AB 中点O 为坐标原点,以OC 所在直线为x 轴,以OB 所在直线为y 轴,OE 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.则(0,1,0),2,0),(0,0,1)A C D E −−，)0,2,0(),1,0,3(),0,1,3(=−==,.………8分设平面DCE 的法向量),,(z y x =.⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0，即⎩⎨⎧==−0203y z x ,令1=x ,则3=z ,所以)3,0,1(=n .设平面EAC 的法向量=),,(c b a .⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00,即⎩⎨⎧=−=+0303c a b a ,令1=a ,则3,3=−=c b ，m =)3,3,1(− (12)分772,cos ==〉〈n m .所以二面角A EC D −−的余弦值为7.………………………16分三.解:(1)令)(x h =22)1ln(+−+x x x ,22/)2)(1()(x x x x h ++=,…………………5分当0>x 时,0)(/>x h ,所以)(x h 在()+∞,0是增函数,0)0()(=>h x h ,022)1ln(>+−+x xx ,即22)1ln(+>+x x x ,因为0>x ,所以22)1ln(+>+x x x .因此22)(+>x x f .………………………10分(2)解法一:x kxx f ++<11)(可化为0)1ln()1(2<−−++xkx x x x .令2)1ln()1()(kx x x x x g −−++=，则kx x x g 2)1ln()(/−+=，k xx g 211)(//−+=.当0>x 时,1110<+<x,令12≥k ,则0)(//<x g ,)(/x g 在),0(+∞是减函数,0)0()(//=<g x g ,所以)(x g 在),0(+∞是减函数,因此0)0()(=<g x g ,…………………15分所以当21≥k 时,对于0>x ,有0)1ln()1(2<−−++xkx x x x .当01<<−x 时,111>+x,令12≤k ,则0)(//>x g ,)(/x g 在)0,1(−是增函数,0)0()(//=<g x g ,所以)(x g 在)0,1(−是减函数,因此0)0()(=>g x g .所以当21≤k 时,对于01<<−x ,有0)1ln()1(2<−−++xkx x x x .因此,当21=k 时,在1−>x 且0≠x 时,有xkx x f ++<11)(成立.………………20分解法二:x kxx f ++<11)(可化为01)1(ln(12<++−+xx kx x x .令=)(x g x x kx x ++−+1)1ln(2,则2/)1()12()(x k kx x x g +−+−=当⎩⎨⎧≥−≥0120k k ,即21≥k 时,在),0(+∞上有0)(/<x g 成立,所以)(x g 在),0(+∞是减函数,因此0)0()(=<g x g ,所以xkxx f ++<11)(.………………………15分当⎩⎨⎧≤−≤−+−012012k k k ,即21≤k 时,在)0,1(−上有0)(/<x g 成立,所以)(x g 在),0(+∞是减函数,因此0)0()(=>g x g ,所以xkxx f ++<11)(.因此,当21=k 时,在1−>x 且0≠x 时,有xkx x f ++<11)(成立.……………20分四.解:(1))21)(2()21()2(222121112111++−++=++++=+++=+=++n nn n n n n n x x x x x x x a =n n a x 2121211212121211+−++=++−++.…………………5分)221(21212211−+−=−+n n a a ,又44232212112211−=−+=−a .所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧−221n a 是以4423−为首项,2121+−为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式得:1)2121(4423221−+−−=−n n a ,即1)2121(4423221−+−−+=n n a .…………………………………10分(2)因为1211)12(2211−<+−=−−=++n n n n n x x x b b ,所以n n b )12(−<,……………………………………………………15分所以++=21b b S n …nb +()()+−+−<21212…()n12−+=()2222121212212=−−<⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−n .……………………………20分五.解:设点),(n m P ,),(11y x A ,),(22y x B ,则切线PA :1411=+y y x x ,PB :1422=+y y xx ,因为切线PB PA ,都过点P ,所以有1411=+n y m x 和1422=+n y mx 同时成立,于是直线AB 的方程:14=+ny mx..………………………………………………………5分联立直线AB 和椭圆组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+141422ny x my x ,消去y 得：0)1616(8)4(2222=−+−+n mx x m n 所以222148m n mx x +=+,2222141616mn n x x +−=,)44(64)1616)(4(4642222222−+=−+−=∆n m n n m n m .又根据14=+ny mx得:)4(444442222121m n m n mx n mx y y +−=−⋅−=,2222121484)(2)(m n n x x m n y y +=+−=+.………10分于是22121221212211)()(),(),(nn y y y y m m x x x x n y m x n y m x ++−+++−=−−⋅−−=⋅=6432022222−+++−n m mn m .………………………15分因为1622=+n m ,所以2216n m −=,代入上式得:⋅=11163442+−n ,又因为1602≤≤n ，所以16,022==m n ，即点)0,4(±P 时,⋅有最小值433,当0,1622==m n ,即点)4,0(±P 时,⋅有最大值16165.………………………20分。
2012届高三二模考试数学试卷(理)及答案
2012届高三模拟考试数学试题数学试题（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A. 1B. 1-C.0D. 0或1-2．已知集合{||2,A x x x =≤∈R },{2,B x x =≤∈Z },则A B = （ ）A. (0,2)B. [0,2]C. {0, 2}D. {0,1,2}3．设25025..12,25,()2.a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（C ）A.a c b >>B. c a b >>C. a b c >>D.b a c >>4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. A. 1 B. 3 C 6 D. 25．设向量(1,0)a = ，11(,)22b = ，则下列结论正确的是 ( )A.a b =B.2a b ⋅= C. a ∥b D. a b - 与b 垂直6．执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ）A.715816P <≤ B. 1516P > C. 715816P ≤< D.3748P <≤ 7. 下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>； ③从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑ 若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>= 其中正确的个数有： （ ）A ．0个B ． 1 个C ．2 个D ．3个8. 定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，其中1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 若1[()][0,)2f f a ∈，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,]4B. 11(,)42C. 11(,]42D. 3[0,]8二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分.(一)必做题(9～13题)9．. 已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A的纵坐标为35．则s i n α=_____________;tan(2)πα-=_______________.10．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且被y 轴截得的弦长等于2的圆的方程为__________________.11．从如图所示的长方形区域内任取一个点()y x M ,，则点M 取自阴影部分的概率为____________.12．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则24z x y =+的最小值是_________.13.设()11f x x x =-++，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______________________.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则ADAC= ;15．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 方程是11x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数），,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，且1S ，22S ，33S 成等差数列. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 前n 项和n T ．17．(本小题满分14分) 有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望.18．(本小题满分14分)如图5(1)中矩形ABCD 中，已知2AB =，AD =MN 分别为AD 和BC 的中点，对角线BD 与MN 交于O 点，沿MN 把矩形ABNM 折起，使平面ABNM 与平面MNCD 所成角为60 ，如图5(2).（1） 求证：BO DO ⊥；（2） 求AO 与平面BOD 所成角的正弦值.OABDC MNABDCMNO图6B A19．(本小题满分12分)在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =，且cos cos 1A bB a == (1)求证：ABC ∆是直角三角形；(2)如图6，设圆O 过,,A B C 三点，点P 位于劣弧AC ︿上，求PAC ∆面积最大值.20.(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的距离之比是2，设动点P 的轨迹为1C ，Q 是动圆2222:C x y r +=(12)r <<上一点. （1）求动点P 的轨迹1C 的方程； （2）设曲线1C上的三点1122(,),(,)A x y B C x y 与点F 的距离成等差数列，若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ；（3）若直线PQ 与1C 和动圆2C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离PQ 的最大值.21．(本小题满分14分)已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值. （１）求实数m 的值；（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-'=-.试用这个结论证明：若121x x -<<，函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,nx x x L ，都有1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .2012届高考模拟测试数学试题(理科)参考答案和评分标准一．选择题：CACBD ABB二填空题：9.35（2分）247（3分） 10. 22(1)2x y -+= 11. 13 12. 15- 13. 33(,][,)22-∞-+∞ 14. 4315.1三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分14分)解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，……………1分若1q =，则111S a ==，21244S a ==，31399S a ==，故13231022S S S +=≠⨯，与已知矛盾，故1q ≠，………………………………………………2分从而得1(1)111n nn a q q S q q--==--，………………………………………………4分由1S ，22S ，33S 成等差数列，得132322S S S +=⨯，即321113411q q q q--+⨯=⨯--， 解得13q =……………………………………………5分 所以11113n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.………………………………………………6分（2）由（１）得，11()3n n n b a n n -=+=+，………………………………7分 所以12(1)(2)()n n T a a a n =++++++1(1)(1)(12)12n n b q n nS n q -+=++++=+- ………………………………10分2111()(1)333.12213n n n n n n --+++-=+=-……………………………12分 17．(本题满分12分)（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，61(0)6010P ξ=== … （3分） （２）由（1）可知1(0)10P ξ==；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2(3)15P ξ== … （7分）… （10分）E ξ=0×110+1×1130+2×25+3×215=4730 …（12分）18(本题满分14分)解：（1）由题设，M ，N 是矩形的边AD 和BC 的中点，所以AM ⊥MN, BC ⊥MN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，依题意，所以∠AMD=60o ， ………………………………………………………………………………………………………２分 由AM=DM ，可知△MAD 是正三角形，所以AD=2，在矩形ABCD 中，AB=2,AD=所以，，由题可知，由勾股定理可知三角形BOD 是直角三角形，所以BO ⊥DO ……………………………………………………………………………………… 5分解（２）设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD, OF ⊥CD, 所以，CD ⊥面OEF, OE CD⊥ 又BO=OD ，所以OE ⊥BD, OE⊥面ABCD, OE ⊂面BOD , 平面BOD ⊥平面ABCD过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理,可得AH ⊥平面BOD ，连结OH ，…………………… 8分 所以OH 是AO 在平面BOD 的投影，所以∠AOH 为所求的角,即AO 与平面BOD 所成角。
2012年高中数学联赛加试(二试)参考答案(by优瞰培优)
２ ０ １ ２年全国高中数学联赛加试试题（ Ａ卷） 参考答案及评分标准 第 １页（ 共 ４页）
下面给出三种证明方法：
ｋ ＋ １ ｋ ＋ １ 证法 １ ： 令ｂ ＝ ｍ ｘ ， ｂ ＋ １＝ ２ ｙ ， 消去 ｂ 得２ ｙ － ｍ ｘ ＝ １ ． ｋ ＋ １ 由于（ ２ ， ｍ ）＝ １ ， 这方程必有整数解： ｋ ＋ １ ｘ ＝ ｘ ２ ｔ ， ０＋ （ 其中 ｔ ， （ ｘ ， ｙ ） 为方程的特解） ． ∈Ｚ ０ ０ ｙ ＝ ｙ ＋ ｍ ｔ ０
( ) ( １ １ １ １ １ …＋ ) ＞ １＋ ＋( ＋ ) ＋ … ＋( ＋ ２ ２ ２ ２ ２
２ ２ ｎ ｎ
)
１ １ １ １ ＝ １＋ ＋ ＋ … ＋ ＞ ｎ １ ０分 ２ ２ ２ ２ 因此， 当ｎ 充分大时， Ｓ ｎ 可以大于任何一个正数 ． 令Ｎ ０＝ １ ， 则Ｎ＞ ． 当ｋ ＞ Ｎ 时， [ ｂ１ ] ＋１ － ａ ｂ － ａ
( ) ( １ １ １ １ １ …＋ ) ＞ １＋ ＋( ＋ ) ＋ … ＋( ＋ ２ ２ ２ ２ ２
２ ２ ｎ ｎ
)
１ １ １ １ ＝ １＋ ＋ ＋ … ＋ ＞ ｎ １ ０分 ２ ２ ２ ２ 令Ｎ ０＝ １ １ ， ｍ＝[ Ｓ ] ＋ １ ， 则 ＜ Ｎ， ＜ ｂ － ａ ， Ｓ ＜ ｍ ａ ２ ０分 ≤ ｍ＋ [ ｂ１ ] ＋１ － ａ ｂ － ａ Ｎ
１ ≤ｊ ≤ｋ 则不存在 ｎ ， 使得 Ｓ ａ ， ｃ ） ， 这与（ １ ） 的结论矛盾． [Ｓ ] ∈（ ∈Ｎ ｎ－ ｎ
所以数列 { Ｓ ａ ， ｂ ） ． [Ｓ ] }中有无穷多项属于（ ｎ－ ｎ 综上所述原命题成立 ５ ０分 证法 ２ ： （ １ ） 对任意的正整数 ｎ ， 有 １ １ １ Ｓ １＋ ＋ ＋ …＋ｎ ｎ＝ ２ ２ ３ ２ １ １ １ １ １ …＋ｎ ＋２ ＋ ＋ ＝ １＋ ＋ … ＋ ｎ－１ １ ２ ２ ２＋ ２ ２ ＋ １
2012届高三全国高考模拟卷二(数学试题)
2012届高三全国高考模拟卷二数 学考查范围：集合、逻辑、函数与导数第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）[2011·辽宁卷] 已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝，则M∪N＝( )A．M B．N C．I D．∅2.[2011·课标全国卷]下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|3．[2011·皖南八校二模] “a =－1”是“函数只有一个零点”的（ ）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．非充分必要条件4．[2011·皖南八校二模]已知集合则等于 （ ）A．{0，1，2，3，4} B.C．{-2，-1，0，1， 2，3，4} D．{2，3，4}（文）函数的图象如右图所示，则的图象可能是（ ）6．[2011·皖南八校二模]已知函数是上的偶函数，若对于，都有且当时，的值为（ ）A．-2 B．-1 C．2 D．17．[2011·浙江卷] 若a，b为实数，则“0<ab<1”是“a<或b>”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．（理）[2011·课标全国卷]由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )A. B．4 C. D．6（文）函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为，如果函数在区间上的图象如图所示，且，那么（ ）A．是的极大值点B．=是的极小值点C．不是极值点D．是极值点9．[2011·济南二模]设偶函数对任意，都有，且当时，,则=A.10B.C.D.10．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为A. y＝[] B．y＝[] C．y＝[] D．y＝[]11．[2011·天津卷]已知则A． B．C． D．12．[2011·浙江卷] 设a，b，c为实数，f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)，g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)．记集合S＝{x|f(x)＝0，x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是( )A．|S|＝1且|T|＝0 B．|S|＝1且|T|＝1C．|S|＝2且|T|＝2 D．|S|＝2且|T|＝3第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在答题卷相应位置上）13．[2011·上海卷]若全集U =，集合，则∁U A= .14．设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是 ．15．[2011·陕西卷] 设f(x)＝若f(f (1))＝1，则a＝________.16．[2011·四川卷]函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（本小题满分12分）已知集合,,.（1）求（∁;（2）若,求的取值范围.18．（本小题满分12分）已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断函数的单调性;（3）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．．（本小题满分12分）[2011·福建卷] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．20.（本小题满分12分）已知命题:和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立;命题q:不等式有解.若命题p是真命题且命题q是假命题，求实数a的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数f（x）的定义域为{x| x ≠ kπ，k ∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x y）= 成立，且f（a）= 1（a为正常数），当时，．（1）判断奇偶性；（2）证明为周期函数；（3）求在上的最小值和最大值．22．（本小题满分14分）（理）[2011·课标全国卷] 已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.(1)求a，b的值；(2)如果当x＞0，且x≠1时，f(x)＞＋，求k的取值范围．（文） [2011·辽宁东北育才学校六模]已知二次函数对都满足且，设函数（，）．（1）求的表达式；（2）若，使成立，求实数的取值范围；（3）设，，求证：对于，恒有.2012届高三全国高考模拟卷二参考答案（数 学）1. 【答案】A【解析】N∩∁I M＝⇒N⊆M，所以M∪N＝M，故选A.2.【答案】B【解析】A选项中，函数y＝x3是奇函数；B选项中，y＝＋1是偶函数，且在上是增函数；C选项中，y＝－x2＋1是偶函数，但在上是减函数；D选项中，y＝2－|x|＝|x|是偶函数，但在上是减函数．故选B.3.【答案】B【解析】.4.【答案】A【解析】∵5.（理）【答案】D【解析】 结合函数图象可得不等式的解集为.（文）【答案】D【解析】原函数为增函数则导函数大于0，原函数为减函数则导函数小于0，故选D.6.【答案】D【解析】7.【答案】A【解析】当a>0，b>0时，由0<ab<1两边同除b可得a<成立；当a<0，b<0时，两边同除以a可得b>成立，∴“0<ab<1”是“a<或b>”的充分条件．反过来，若ab<0，由a<或b>得不到0<ab<1.所以阴影部分的面积S＝.（文）【答案】B 【解析】，且时，，且时，，故是的极小值点，选B.9. 【答案】B【解析】由知该函数为周期函数，所以10.【答案】B【解析】当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时,当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时，故综上知，必有,故选.由图象可得m>l>n，又∵y＝5x为单调递增函数，∴.12. 【答案】D【解析】当a＝b＝c＝0时，＝1且|T|＝0；当a≠0，c≠0且b2－4c<0时，＝1且|T|＝1；当a≠0，c≠0且b2－4c＝0时，|S|＝2且|T|＝2；当a≠0，c≠0且b2－4c>0时，＝3且|T|＝3.13. 【答案】14.【答案】．【解析】显然，由于函数对是增函数，则当时，不恒成立，因此．当时，函数在是减函数，因此当时，取得最大值，于是恒成立等价于的最大值，即，解不等式组得．于是实数的取值范围是．15. 【答案】1【解析】由f(x)＝得f(1)＝lg1＝0，f[f(1)]＝f(0)＝a3＝1，∴a＝1.16. 【答案】②③ 【解析】本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理解．对于①，如－2，2∈A且f(－2)＝f(2)，所以①错误；对于②③，根据单函数的定义，函数即为一一映射确定的函数关系，所以当函数自变量不相等时，则函数值不相等，即②③正确；对于④，函数f(x)在某区间上具有单调性，则函数只能是在该区间上为一一映射确定的函数关系，而不能说f(x)一定是单函数，所以④错误．17．解：（1）；∁,（∁. ;(2)若, a＞3.18. 解：（1）因为是奇函数，所以=0，即（2）由（1）知，设，则.因为函数y=2在R上是增函数且， ∴>0.又>0 ，∴>0，即，∴在上为减函数.（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，因为为减函数，由上式推得．即对一切有，从而判别式19. 解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.从而f′(x)＝10＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．20. 解：∵，是方程的两个实根， ∴∴，∴当时，，由不等式对任意实数恒成立，可得，∴或，∴命题为真命题时或；命题：不等式有解，①当时，显然有解；②当时，有解；③当时，∵有解，∴，∴，从而命题q：不等式有解时.又命题q是假命题，∴.，故命题p是真命题且命题q是假命题时，的取值范围为.21. 解：（1）∵定义域{x| x ≠ kπ，k∈Z }关于原点对称，又f（ x） = f [（a x） a]= = = = = = f （x），对于定义域内的每个x值都成立，∴ f（x）为奇函数.（2）易证：f（x + 4a） = f（x），周期为4a．（3）f（2a）= f（a + a）= f [a （ a）]= = = 0，f（3a）= f（2a + a）= f [2a （ a）]= = = 1．先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减，为此，必须证明x∈（2a，3a）时，f（x）< 0，设2a < x < 3a，则0 <x 2a < a，∴ f（x 2a）= = > 0，∴ f（x）< 0，设2a < x1 < x2 < 3a，则0 < x2x1< a，∴ f（x1）< 0 ， f（x2）< 0 ， f（x2x1）> 0，∴ f（x1） f（x2）=> 0，∴ f（x1）> f（x2），∴ f（x）在[2a，3a]上单调递减，∴ f（x）在[2a，3a]上的最大值为f（2a） = 0，最小值为f（3a）= 1.22．（理）解： (1)f′(x)＝－，由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，故即解得a＝1，b＝1.(2)由(1)知f(x)＝＋，所以f(x)－＝.考虑函数h(x)＝2ln x＋(x>0)，则h′(x)＝.①设k≤0，由h′(x)＝知，当x≠1时，h′(x)＜0，而h(1)＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)＞0，可得h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，可得h(x)＞0.从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－＞0，即f (x )＞＋.②设0＜k ＜1，由于当x ∈时，(k －1)(x 2＋1)＋2x ＞0，故h ′(x )>0，而h (1)＝0，故当x ∈时，h (x )>0，可得h (x )<0.与题设矛盾．③设k ≥1，此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得h (x )＜0，与题设矛盾．综合得，k 的取值范围为(－∞，0]．（文）解：（1）设，于是，所以又，则．所以. （2）当m>0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R；当m=0时，对，恒成立；当m<0时，由，这时，综上，使成立，实数m的取值范围．（3）由题知因为对，所以在内单调递减.于是记，则所以函数在是单调增函数，所以，故命题成立.。
(完整word版)2.2012年全国高中数学联赛模拟卷(一)(一试+二试,附详细解答)
2012年全国高中数学联赛模拟卷(一)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1229x <+的解集为 ． 解析: 由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845<x 故原不等式的解集为145,00,28⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U2．过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ①三角形 ②正方形 ③梯形 ④五边形 ⑤六边形答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且②⑤可以截得3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.提示：44[2,)(,2]33--⋃, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，−2），数形结合可得.4．复数z ，使322z z z +=，则z 的所有可能值为 _____ ____．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z+==2z z ⋅，∴2(12)0z z z +-=当 0z =时，满足条件，当 0z ≠时，2120z z +-=设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ⎧-+-=⎨+=⎩ ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代入(1) 整理得：2(1)01a a -=⇒=2）0b ≠，则 1a =- 代入(1) 得：242b b =⇒=±，经检验复数1,12z i =-±均满足条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--.5．所有的满足条件11a b a b a b a b a b ---=⋅++的正整数对(,)a b 的个数为 ．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->⋅1b a b -⇒>11b a b -⇒≥+，从而有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --⋅++=-aa ab b ≥-+，整理得11a a b a ab a a b --+≥-⋅()11a b a a b --=⋅-1a a -≥，从而()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a-≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满足本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．设,,a b c 为方程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. 答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=--7．将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b . 则使不等式0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于 ．提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a −2b +10>0得2b <a +10，于是，当b =1、2、3、4、5时，每种情形a 可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b =6时，a 可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b =7时，a 可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b =8时，a 可取7、8、9中每一个值，有3种；当b =9时，a 只能取9，有1种。
一小时选择模拟测试试题二2012年全国高中数学联赛
一小时选择模拟测试试题二2012年全国高中数学联赛1.若n n n x a x a x a a x 2222102)42(++++=+ (n ∈N +), 则n a a a 242+++ 被3除的余数是( )A.0B.1C.2D.不能确定2.在边长为12的正三角形中有n 个点，用一个半径为3的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n 的最小值是( )A.17B.16C.11D.103．ABC ∆中，,,,BC a AC b AB c ===则使等式2222sin sin sin cos 2222A B C B ++=成立的充要条件是（ ）.（A ）2a b c += （B ）2b c a += （C ）2c a b += （D ）2c a b ⋅=4．抛物线顶点在原点,对称轴为x 轴，焦点在直线3412x y -=上，则抛物线方程为（ ）.（A ）212y x =-（B ）212y x =（C ）216y x =-（D ）216y x = 5．设3,0,k k <≠则二次曲线2213x y k k -=-与22152x y +=必有（ ）. （A ）不同的顶点 （B ）不同的准线 （C ）相同的焦点 （D ）相同的离心率6．连结正五边形12345A A A A A 的对角线交另一个正五边形12345B B B B B ，两次连结正五边形12345B B B B B 的对角线，又交出一个正五边形12345C C C C C （如图），以图中线段为边的三角形中，共有等腰三角形( )个。
（A ）50 （B ）75 （C ）85 （D ）1007、已知log a b+3log b a=，当a>b>1时，的值是 （ ）A 、13B 、4C 、2D 、18、设M={a|a=,x,y,z 均为非负整数}的子集为N={b|b },则N 的子集中包含元素1和10的集合有 （ ）A 、10个B 、64个C 、128个D 、256个9、将边BC=15cm 的ABC 绕边AC 旋转一周，所得旋转体是有公共底面的两个圆锥，边AB 形成的圆锥的侧面展开图是半径为20cm ，圆心角为2160的扇形，则此旋转体内切球的半径是 （ ）A 、B 、C 、D 、60cm10、设x 2+3y 2-4x+6y+30,则x-3y 的范围是 （ ）A 、[3，7]B 、[1，9]C 、[3-，7+]D 、（5-，7）11、x+y+z=1999的正整数解的个数是 （ ）A 、998·1997B 、999·1997C 、999·1999D 、1000·199912、一个正方体内接于一个圆锥（其中一个底面在圆锥底面上，相对的面的四个顶点均在圆锥的侧面上），经过圆锥的两条母线作截面，则下列图形中不可能出现的图形个数是 （ ）A 、5B 、4C 、3D 、213．记[x]为不大于x 的最大整数，设有集合}2]x [x |x {A 2=-=，}2|x ||x {B <=，则=B A( )A ．(－2，2)B ．[－2，2]C ．}1,3{-D ．}1,3{-14．若()()200634554x 57x 53x 2x 2x f +--+=，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21111f = ( ) A ．－1 B ． 1 C ． 2005 D ．200715．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t ，则t 的取值区间是( )A ．[1，2]B ．[2，4]C ．[1，3]D ．[3，6]16．平面上有两个定点A 、B ，另有4个与A 、B 不重合的的动点4321C C C C 、、、。
2012年全国高中数学联赛模拟试题
2012年全国高中数学联赛模拟试题（5） 一试一、填空题1.不等式)1()1(y y x x -≤-的解集中y x ,能使k y x ≤+22成立时的k 的最小值为 ．2.一个三位自然数)(321a a a 如果同时有21a a >及23a a >称为凹数，（例如104、525、849都是凹数，而123、684、200都不是凹数），则所有凹数的个数是 ．3.若x 是一个十进制四位整数，记x 的各位数码之积为)(x T ，各位数码之和为)(x S ，p 为素数，且k p x T =)(，5)(-=p p x S ，则x 中的最小者是 ．4.已知复数列}{n a 的通项公式为)1()31)(21)(1(n iiii a n ++++=Λ，则1+-n n a a 等于5.一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为1V ，圆柱的体积为2V ，且21kV V =，则=min k ．6.+∈R y x ,且y y x x -+=+-2313，则y x +的最大值是___________．7.已知x 和y 是实数，yi x z ++=)4(1，yi x z +-=)4(2，21z z +10=，令34--=y x u ，则u 的最大值为 ．8.平行六面体的8个顶点中的任意三个顶点为顶点的所有三角形中，锐角三角形的最多可能个数是 ．二、解答题9.已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞，并且满足0)1()(=+xf x f ．如果函数 )11()(--=x mx f x g 是奇函数，试求实数m 的值．10.已知数列}{n a 中，11=a ,211nn n a a a +=+ )(*N n ∈ 求证：182005>a11.已知圆1:22=+y x O 和抛物线22-=x y 上有三个不同的点R Q P ,,．如果直线PQ 和PR 都与圆O 相切．求证：直线QR 也与圆O 相切．二试一、ABC ∆内接于半径为R 的圆O ，令I 为ABC ∆内心，r 为内切圆半径，且I 和O 不重合，G 为重心．证明: c b BC IG =⇔⊥或a c b 3=+，其中c b a ,,分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 所对应的三边长．二、已知：c b a ,,为正实数，且3444=++c b a ，证明：1414141≤-+-+-cabc ab三、设b a ,是正整数，满足1),(,122-++=≠ab ab b a b a f ab ，求),(b a f 所有可能 取到的整数值．四、某班共30名学生，每一名学生在班内均有同样多的朋友（朋友是相互的）．在一次考试中，任意两名学生的成绩互不相同．如果一个学生的所有朋友中，有超过一半朋友的成绩低于该学生，则称该学生为“好学生”．试问：“好学生”最多可能有多少个？证明你的结论．。
(完整word版)4.2012年全国高中数学联赛模拟卷(二)(一试+二试,附详细解答)
2012年全国高中数学联赛模拟卷(二)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________解：令sinx +cosx =t , 则t =]2,1()1,2[)4sin(2---∈+Y πx ,2sinxcosx =t 2－1,1)121(21)121(2113211cos sin 1cos sin 2-+-+=+--=+-⋅=++-=t t t t t t x x x x y 关于t +1在)0,21[-和]21,0(+上均递增,所以,221+≥y 或221-≤y , 即值域),221[]221,(+∞+--∞Y . 2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________解：因(m 2+n 2)c 2=(m 2+n 2)(a 2+b 2)=(ma )2+(nb )2+(mb )2+(na )2≥(ma )2+(nb )2+2mnab =(ma +nb )2=c 2, 所以m 2+n 2≥1, 等号成立仅当mb =na 且am +bn +c =0, 解得(m , n )=(cbc a --,), 所以m 2+n 2最小值是1. 3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n 解：由924339242222-++=--+n n n n 知92422-++n n 可能为1,3, 11, 33,从而解得.5=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .解:当1k =时，概率为16;当2k =时,6152433=+=+=+，概率为215()6⋅； 当3k =时，6114123222=++=++=++，概率为3311(361)()10()66++⋅=⋅；当4k =时，611131122=+++=+++，概率为4411(46)()10()66+⋅=⋅；当5k =时， 611112=++++，概率为515()6⋅；当6k =时，概率为61()6；故523456561111111175()10()10()5()()(1)666666666p =+⋅+⋅+⋅+⋅+=⨯+=,即567,6n m ==,从而67log log 1m n -=.5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______。
2012年全国高中数学联赛模拟试题二
2012年全国高中数学联赛模拟试题二一、选择题：每题6分，满分36分1、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知nmx =50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 1732、若26cos cos ,22sin sin =+=+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A 22 B 23 C 26 D 13、P 为椭圆191622=+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆922=+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ∆的最小值为（ ） A 29 B 329 C 427 D34274．函数20.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞5．已知,x y 均为正实数，则22x yx y x y+++的最大值为（ ） .(A) 2 (B) 23(C) 4 (D) 436．直线y=5与1y =-在区间40,πω⎡⎤⎢⎥⎦⎣上截曲线sin (0, 0)2y m x n m n ω=+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） . （A ）35,n=22m ≤（B ）3,2m n ≤= （C ）35,n=22m >（D ）3,2m n >=二、填空题：每小题9分，满分54分7、函数)(x f 满足：对任意实数x,y ，都有23)()()(++=-y x xy f y f x f ，则=)36(f .8、正四面体ABCD 的体积为1，O 为为其中心. 正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为 .9、在双曲线xy ＝1上，横坐标为1+n n 的点为n A ，横坐标为nn 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为（1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x .10．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x . 11．设,A B 为抛物线22(0)y px p =>上相异两点，则22OA OB AB+-的最小值为___________________．12．已知ABC ∆中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且++=0，则BaGA bGB cGC564035∠=__________．三、解答题：每小题20分，满分60分13、设集合A 和B 都是由正整数组成的集合，|A|＝10，|B|＝9，并且集合A 满足如下条件：若v u y x A v u y x +=+∈,,,,，则},{},{v u y x =.令},|{B b A a b a B A ∈∈+=+ 求证：|A+B|≥50. （|X|表示集合X 的元素个数）14已知在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,O E F G分别为11111,,,BD BB A D DC 的中点，且1AB =． 求四面体OEFG 的体积．A115在平面直角坐标系中, 已知圆1C 与圆2C 相交于点P ，Q , 点P 的坐标为()3,2, 两圆半径的乘积为132．若圆1C 和2C 均与直线l : y kx =及x 轴相切，求直线l 的方程．。
2012年全国高中数学联赛模拟卷(2)(一试+二试_附详细解答)
n
a0 n
当 n 1 时，
1 a0 n ．即有 an a0 n ,从而 an1 a0 (n 1) .于是， i 1 1 ai 1
n
1 a
i 1
n
1
i 1
1 1； 1 a0
a 当 2 n 0 1 时，由 {an } 递减得 2
距离的两倍,设 P(x, ex)为 y=ex 上任意点, 则 P 到直线 y=x 的距离 d ( x)
/ 因 d ( x)
| ex x | 2
ex x 2
,
2 ,即 PQ min= 2 . 2 2 2 2 2 6.解: 解：用 1 x 代替原式中的 x 得： f ( x 3x 5) 2 f ( x x 3) 6 x 2 x 13 2 2 解二元一次方程组得 f ( x x 3) 2x 2x 3 ，所以： f ( x) 2 x 3 ，则 f (2011) 4019 ． （分析得 f ( x ) 为一次多项式，可直接求 f ( x ) 解析式）
n
1 a
i 1
n
1
i 1
n n 1. 1 an1 a0 n 2
1 故 a0 n an a0 n a0 n 1．所以， [an ] a0 n . i 1 1 ai 1 10. 解（1）依题意设直线 l 方程为 y k ( x 2) 3 ，与椭圆联立得
kabc (a b) 2 (a b 4c) 2 ，求 k 的最大值。 abc
1
2012 年全国高中数学联赛模拟卷答案
1.解：令 sinx+cosx=t, 则 t= 2 sin( x
2012年全国高中数学联赛(新疆)赛区竞赛试卷(高二)
2012新疆维吾尔自治区高中数学竞赛高二试题卷 时间120分钟 总分：150分第一题：选择题（有6小题，每小题5分总30分） 1.设且,则乘积的最大值减去两倍的最小值为：（ ）A． B. C. D.2.过抛物线焦点下的直线交抛物线与P,Q两点，P,Q的垂直平分线交抛物线的对称轴于R，则的值为：（ ）A.5B.4C.3D.23.已知正四棱柱的对角线长为，且对角线与底面所成角的余弦值为则该正四棱柱的体积为：（ ）A.2B.4C.8D.164.袋中盛有3个白球和若干个红球，现在从中任取2个求，若取的白球个数的期望值等于，则袋中红球的个数为：（ ）A.1B.3C.5D.75.已知复数(),满足那么Z在复平面上对应点，的轨迹是：（ ）A.圆B. 抛物线C.椭圆D.双曲线6.在正方体的八个顶点中任取四个顶点，这四个点可以连成四面体的概率为：（ ）A. B. C. D.第二题：填空题（共有6小题 每小题9分总54分）7.在数列中，已知,,则=__________.8.当时，函数的最小值=__________.9.若直线l经过P（1，-3），它与两坐标轴围成等腰直角三角形，则l的方程是：______________________________.10.若方程 表示的曲线不是双曲线，则的取值范围是：__________.11.正四面体内切球半径为2，则此正面体体积为：__________.12.将一骰子抽掷两次，所得向上点数分别为和, 则函数在（-1，1）上为单调减函数的概率为：__________.第三题：（总有4答题，总66分）13.（本大题15分）解不等式：14.（本大题15分）直线交椭圆于两点，为直线的倾斜角（1）求的取值范围 （2）求线段中点的轨迹方程。
15.（本大题18分）如图，在斜三菱柱ABC-中，∠=,AB=AC,侧面与底面ABC所成的二面角为，E,F分别为棱的中点（1） 求与底面ABC所成的角；（2） 求经过四点的球的体积；16.（本大题18分）8位歌手参加艺术节，准备为他们安排M次演出，每次由其中四位登台表演，要求8位歌手中任意两位同时演出的次数一样多，请设计一中方案，使演出次数M最小。
2012年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题及答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是（）A．在平面内到一个定点的距离等于到定直线距离的点的轨迹是抛物线B．在平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆C．在平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线D．在平面内到一定点距离等于定长（不等于零）的点的轨迹是圆2．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=3，则该双曲线方程为（）A． B. C. D.3．双曲线上的一点P到它一个焦点的距离为4，则点P到另一焦点的距离是（）A．2 B.10 C.10或2 D.144．直线与圆的位置关系是（）A．相交且过圆心 B. 相交但不过圆心 C. 相切 D. 相离5．如右图所示的不等式的区域为（）A．B．C．D．6．椭圆，点M在椭圆上，等于-2，则△F1MF2的面积等于（）A．1 B． C．2 D．7．已知对称中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线为，则此双曲线的离心率为（）A． B. C. 或 D.8．已知直线交抛物线于、两点，则△ ( )A．为直角三角形B．为锐角三角形C．为钝角三角形D．前三种形状都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．9．抛物线x2= -y的焦点为________，准线是_________________.10．过双曲线的右焦点，且倾斜角为45°的直线交双曲线于点A、B，则|AB|= ______. 11．过点（0,4）可作__________条直线与双曲线有且只有一个公共点.12．已知F为抛物线y2 = 4x的焦点，过此抛物线上的点M作其准线的垂线，垂足为N，若以线段NF为直径的圆C恰好经过点M，则圆的标准方程是________________________.13．如图，过椭圆C：的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若，则椭圆离心率的取值范围是____________. xkb1三、解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．（本题满分12分）求下列圆锥曲线的标准方程（1）以双曲线的顶点为焦点，离心率e= 的椭圆（2）准线为，且a+c=5的双曲线（3）焦点在y轴上，焦点到原点的距离为2的抛物线15．（本题满分12分）已知圆，圆，点P满足（1）求动点P的轨迹方程；（2）过点Q（1,2）能否做直线AB与P的轨迹交于A、B两点，并且使Q是AB的中点？如果存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由。
2012年全国高中数学联赛模拟卷(10)(一试+二试,附详细解答)
2012年全国高中数学联赛模拟卷(10)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1、设a , b 是两个正整数, 它们的最小公倍数是24·33·72·11, 那么这样的有序正整数对(a , b )有 _ 组.2、方程16sin πx cos πx ＝16x ＋1x的解集合为3、三棱锥S ABC -是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O 是底面ABC ∆内的一点， 那么tan tan tan W OSA OSB OSC =∠⋅∠⋅∠的最小值是______________4、对任意,x y R ∈，代数式M =________5、计算：232010sinsinsin sin 2011201120112011ππππ= _______________ 6、篮球场上有5个人在练球，其战术是由甲开始发球（第一次传球），经过六次传球跑动后（中途每人的传球机会均等）回到甲，由甲投3分球，其中不同的传球方式为___________种． 7、对,x y R ∀∈，函数(,)f x y 都满足：①(0,)1f y y =+；②(1,0)(,1)f x f x +=； ③(1,1)(,(1,))f x y f x f x y ++=+；则(3,2011)f =__________________8、设2n 个实数122,,,n a a a 满足条件21211()1n i i i aa -+=-=∑则12212()()n n n n a a a a a a μ++=+++-+++ 的最大值为________________二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设由不超过1000的两个正整数组成的数对(,)m n满足条件：11m m n n+<<+． 试求所有这样的数对(,)m n 的个数．10. P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点，12,F F 是椭圆的焦点，12,PF PF 分别交椭圆与,A B 两点，求证：1212||||||||PF PF F A F B +是定值．11. 给定大于2011的正整数n ，将21,2,3,,n 分别填入n n ⨯的棋盘的方格中，使每个方格恰有一个数，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格内所填的数，且大于它所在列至少2011个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”，求棋盘中“优格”个数的最大值．(考试时间：150分钟 满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）设D 为ABC ∆内的一点，作DP ⊥BC 于P ，DQ ⊥AC 于Q ，DR ⊥AB 于R求证：QR PQ =是DCDABC BA =的充要条件。
2012年全国高中数学联赛一试二试试题整理详解汇编(一试二试为B卷)(含解答)
小值是
．
解： ９８３．
因为 Ａ、Ｂ都是集合 Ｕ的子集，所以 ０≤ａ≤３１，１０１４≤ｂ≤２０１２．
所以 Ａ∩Ｂ＝{ｘ│ｂ－１０１４≤ｘ≤ａ＋１９８１}，或 Ａ∩Ｂ＝{ｘ│ａ≤ｘ≤ｂ}．
故当且仅当 ａ＝０，ｂ＝２０１２，或 ａ＝３１，ｂ＝１０１４时，集合 Ａ∩Ｂ的长度最小，最小值为 １９８１－９９８
＝１０１４－３１＝９８３．
所以 Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ∩Ｂ）
＝（１－１）３ ＋（１－６）３ －（１ －６）３ ＝２．
２
３６ ２ ３６ ３
故 Ｐ（Ｃ）＝１－Ｐ（Ｃ）＝１ ３．
二、解答题：本大题共 ３小题，共 ５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
９．（本小题满分 １６分）
已知函数 ｆ（ｘ）＝ａｓｉｎｘ－１ ２ｃｏｓ２ｘ＋ａ－３ａ＋１ ２，ａ∈Ｒ且 ａ≠０．
（ｂ２ ＋ｃ２）２ －４９＝１２． ２
当且仅当 ｂ＝ｃ＝５时，上式等号成立．
故 △ＡＢＣ面积的最大值为 １２．
６．如图 ２，在长方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝ＣＣ１＝２槡２，Ｍ是 ＢＣ１的中点，Ｎ是 ＭＣ１
的中点．若异面直线 ＡＮ与 ＣＭ所成的角为 θ、距离为 ｄ，则 ｄｓｉｎθ＝
又 Ｓ△ＡＦ１Ｂ ＝１２·２ｃ·│ｙ１－ｙ２│ ＝４ｃ．
所以，由 ２ａ＝４ｃ，得 ｅ＝ａｃ＝１ ２．
{ ｘ３ ＋３ｘ２ －ｘ－３＞０，
４．若关于 ｘ的不等式组
（ａ＞０）的整数解有且只有一个，则 ａ的取值范围
ｘ２ －２ａｘ－１≤０
是
．
解： ［３４，４３）． 由 ｘ３＋３ｘ２－ｘ－３＞０，得 －３＜ｘ＜－１或 ｘ＞１．
（１）若对任意 ｘ∈Ｒ，都有 ｆ（ｘ）≤０，求 ａ的取值范围；
2012年高中竞赛全真模拟二
2012年全国高中数学联赛全真模拟（二）北京清北学堂内部资料（清北学堂教研部特邀奥赛名师陶平生教授命制，内部资料，禁止翻印。
）第一试一、填空题1、设1()lg ,||1,1x f x x x -=<+则323()13()x x f x f x ++= .2、正三棱柱ABC A B C '''-的侧棱及底面边长都是1，则四面体,,A ABC B ABC C ABC '''的公共部分的体积是 ．3、设{}1,2,,2012M = ，若n M ∈，使得()333112n S n n=+++ 的值为一平方数，则这种n 共有 个． 4、设()4231148f x x x x =--+，则cos 7f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．5、如果三位数abc 满足19a b c ≤≤≤≤，称abc 为“上坡数”，则上坡数的个数为 ．6、绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自{}1,2,3,4,5,6,7,8,9之中（每一个数都可以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数，用S 表示圆周上所有十二个数的和，那么数S 所有可能的取值情况有 种．7、函数()f x =的最小值是 ．8、设{}1,2,,17M = ，若有四个互异数,,,a b c d M ∈，使得()mod17a b c d +≡+，就称{},a b 与{},c d 是集M 的一个“平衡对”，则集M 中“平衡对”的个数是 ．二、解答题9、在平面上给定不共线的三点,,A B C ，以线段AB 为一条轴（长轴或者短轴）作一个不经过点C 的椭圆，与另两条直线,AC BC 分别交于点,E F ，过,E F 分别作椭圆的切线，设这两条切线交于0C 点；类似地，再以线段,BC CA 为一条轴各作椭圆，分别相应地得到切线的交点0A 与0B ；证明：不论每个椭圆的另一条轴的长度如何选择，三条直线000,,AA BB CC 都经过一个定点．10、在ABC ∆中，证明：1cot cot cot (cot cot cot )3222A B CA B C ++≥++．11、数列{}n a 定义如下：11a =，对每个n N ∈，414243,,n n n a a a +++成等差数列，其公差为2；而434445,,n n n a a a +++成等比数列，其公比为12；求数列的最小上界（即上确界）．第二试一、对于正整数n ，如果存在集{}1,2,,M n = 的元素的某个排列12,,,n a a a ，使得对任何{},1,2,,,i j n i j ∈< ，都有i j a i a j -≠-，则称n 为好数； 试确定，2011,2012是否为好数？证明你的结论．二、ABC ∆中，,,D E F 分别是其三条边,,BC CA AB 的中点，边,AC AB 的中垂线分别交中线AD 于,M N ，（,,M N D 互异）， 若直线EM FN K = ，BN CM P = ；证明：AP KP ⊥．三、设,,0x y z >，证明：241x y zy z z x x y ⎛⎫≥⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭． 四、数列{}n x 定义如下：121,x x a ==，其中a 是给定的大于1的实数；若对某个1n ≥，数列的前2n 项已定义，则对于1212n n k ++≤≤，定义2n k k x ax -=．（于是数列{}n x 的各项为22231,,,,,,,,a a a a a a a ），用n S 表示数列的前n 项和，证明：若数n 的二进制表达式为12222rk k k n =+++ ，()120r k k k >>>≥ ，则0(1)j rkj n j S a a ==+∑．ABCDEFMNPK。
2012年全国联赛模拟试卷
由题设可知， MND 为直角三角形，MN 为斜边，在线段 MN 的运动 过程中，总有 DP MN 1 ，所以 P 点的轨迹是以 D 为球心，半径为 1 的球面被直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 所截得的部分，又因为∠ ADC=120° ，所以 P 点的轨迹恰好是半个球面的三分之一，它与该直 平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积为 4．答案： 194．
1 2 2 ( xM x N ) x ( y M y N ) y ( y M yN ) ( xM x N ) 2
1 2 2 又 ( yM yN ) ( xM x N ) 2 1 4 2 ( 2 4k 2 ) ( 2 2k 2 ) 0 2 k k
2012 年高中数学联赛模拟真题 第一试 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．把答案填在 横线上． 1 ． 对 于 任 意 的 x ， 都 有 a cos x b cos 2 x 1 ， 则 a b 的 最 大 值 是 。
2．对于任意实数 a，b，不等式 max a b , a b , 2010 b C 恒成立， 则常数 C 的最大值是 中的最大者． ） 3．已知每条棱长都为 3 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，∠ BAD=60° ，长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD1 上运动，另 一个端点 N 在底面 ABCD 上运动，则 MN 中点 P 的轨迹与该直 平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积值为 ___________．
1 1 4 3 2 1 ． 3 2 3 9 1 2
由题知 a c 2b, bd c2 , d a 90 ，消去 c、d，可得 b(a 90) (2b a)2 ， 即 90b 4b a b a ，因为 4b a b a mod 6 ，所以 4b a, b a 都是 6 的倍数， 又因为 3b 4b a 4b 22.5 b a 30 ，所以 b a 24 ， 从而 4b a
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2012年全国高中数学联赛模拟试题二
一、选择题：每题6分，满分36分
1、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知
n
m x =
50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ）
A 50
B 100
C 165
D 173 2、若2
6cos cos ,22sin sin =
+=+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ）
A
2
2 B
2
3 C 2
6 D 1
3、P 为椭圆
19
162
2
=+y
x
在第一象限上的动点，过点P 引圆92
2
=+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分
别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ∆的最小值为（ ）
A
2
9 B
32
9 C
4
27 D
34
27
4．函数2
0.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） .
(A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞
5．已知,x y 均为正实数，则22x y x y
x y
+
++的最大值为（ ） . (A) 2 (B)
23
(C) 4 (D)
43
6．直线y=5与1y =-在区间40,
πω⎡⎤⎢⎥⎦
⎣
上截曲线
sin (0, 0)2y m x n m n ω
=+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） . （A ）35,n=
2
2
m ≤
（B ）3,2m n ≤= （C ）35,n=2
2
m > （D ）3,2m n >=
二、填空题：每小题9分，满分54分 7、函数)(x f 满足：对任意实数x,y ，都有
23
)
()()(++=-y x xy f y f x f ，则=)36(f .
8、正四面体ABCD 的体积为1，O 为为其中心. 正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对
称，则这两个正四面体的公共部分的体积为 . 9、在双曲线xy ＝1上，横坐标为
1
+n n 的点为n A ，横坐标为
n
n 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为
（1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x . 10．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x .
11．设,A B 为抛物线2
2(0)y px p =>上相异两点，则2
2
O A O B
AB
+-
的最小值为
___________________．
12．已知A B C ∆中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
564035aGA bGB cGC ++=0
，则B ∠=__________．
三、解答题：每小题20分，满分60分
13、设集合A和B都是由正整数组成的集合，|A|＝10，|B|＝9，并且集合A满足如下条件：若
|
{B
b
,
y
u
A
x=.令}
b
+
=
+
∈
A∈
{v
a
B
a
}
v
u
y
A
x
v
u
y
,
x+
,，则}
,
{
=
,
+
∈,
,
求证：|A+B|≥50. （|X|表示集合X的元素个数）
14已知在正方体1111ABC D A B C D -中，,,,O E F G 分别为
11
11,
,
,B D B B A D D C 的中点，且1AB =． 求四面体O E F G 的体积．
A
1
15在平面直角坐标系中, 已知圆1C 与圆2C 相交于点P ，Q , 点P 的坐标为()3,2, 两圆半径的乘积为132
．若圆1C 和2C 均与直线l : y kx =及x 轴相切，求直线l 的方程．。