高中数学第二章函数概念与基本初等函数I函数的概念函数的概念名师导航学案苏教版

2。

1 函数的概念和图象
2.1。

1 函数的概念
名师导航
知识梳理
1.函数的概念
设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有__________的数f （x)和它对应,那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的函数，记作y=f （x)，x ∈A.
其中x 叫__________，x 的取值范围A 叫做函数y=f （x ）的__________;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{f(x ）|x ∈A ｝(⊆B ）叫做函数y=f(x ）的__________。

函数符号y=f （x)表示“y 是x 的函数"，有时简记作函数__________。

（1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f:A →B ，这里A ，B 为__________的数集.
（2)A:定义域；
{f(x ）|x ∈A}：值域,其中｛f(x ）｜x ∈A}__________B ；
f ：对应法则，x ∈A,y ∈B.
(3）函数符号：y=f （x ）↔y 是x 的函数，简记f(x).
2。

已学函数的定义域和值域
(1)一次函数f （x ）=ax+b(a ≠0):定义域为__________，值域为__________;
(2）反比例函数f(x ）=x
k （k ≠0）：定义域为__________，值域为__________； （3）二次函数f （x)=ax 2+bx+c （a ≠0）:定义域为__________，
值域:当a 〉0时,为__________；当a 〈0时，为__________。

3。

函数的值:关于函数值f(a ）
例：f （x)=x 2+3x+1，则f(2)= __________.
4。

函数的三要素：
对应法则f 、定义域A 和值域{f(x ）|x ∈A}.
只有当这三要素__________时,两个函数才能称为同一函数。

疑难突破
有关函数概念的理解
剖析:(1)如果一个函数需要几条限制时，那么定义域为各限制所得x 的范围的交集。

(2）求定义域的基本步骤为:根据所给函数按照基本要求列出不等式组，解不等式组即可。

（3）定义域是一个集合，要用集合作答.也可写成区间的形式，定义域用区间表示有时显得非常简捷.
（4)随着今后的学习，自变量x 的取值范围还可能受到一些新的限制，如对数函数,三角函数等.
（5）两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数.
（6）注意：我们可以定义一个函数f ：A →B ，该函数的值域C 并不一定等于集合B,但C 一定是B 的一个子集。

（7)理解函数符号“y=f （x ）”的含义.符号“y=f(x ）"用语言通俗解释为“y 是x 的函数”，它仅仅是抽象的、简洁的函数符号，每一部分都有其特定的含义.
问题探究
问题1 高中阶段学习的函数的概念和初中阶段学习的函数的概念有什么异同？
探究思路：初中阶段的概念是这样的:设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量,y 是x 的函数.
将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.
高中阶段的概念是这样的：设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x ）和它对应,那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f(x)，x ∈A 。

其中，x 叫自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f
（x）|x∈A}叫做函数的值域。

两种函数概念有以下的相同点：
（1）两种表示的定义域和值域完全相同;
（2）对应关系本质上也是一样的；
（3）都是描述变量之间的依赖关系。

两种函数概念有以下的不同点：
(1)用集合的观点说明变量;
(2)用对应关系表示变化过程；
（3)表示法的不同：初中里的表示法比较单一，在高中更全面。

问题2 对于函数f(x)=x2+2x—3，试画出它的图象。

你能根据它的图象画出下列各函数的图象吗？你从中能总结出什么结论？
(1）y=—f(x）；(2）y=f（—x）；
(3)y=—f（-x)；（4）y=f（｜x|)；
（5)y=｜f（x）|；（6）y=f（x+1)；
（7)y=f（x)+1。

探究思路:已知函数y=f（x），求作其图象有两种思路.
思路一：列表描点法.
思路二：利用函数图象的变换去画图，题(1)-(5）可通过对称变换，(6）（7）可用平移变换。

如下图所示.
典题精讲
例1 下列各题中的两个函数表示同一个函数的是( )
A.f(x)=x,g(x)=n n x 22 B 。

f(n)=2n+1（n ∈Z ），g （n ）=2n —1（n ∈Z ）
C 。

f(x ）=x-2，g(t)=t-2
D 。

f(x)=x
x --112
，g(x)=1+x 思路解析 两个函数相同必须有相同的定义域、值域和对应法则。

A 中两函数的值域不同;B 中虽然定义域和值域都相同，但对应法则不同；C 中尽管表示自变量的两个字母不同，但两个函数的三个要素是一致的，因此它们是同一函数；D 中两函数的定义域不同。

答案:C
例2 求下列函数的定义域:
(1）y=2+2
3-x ； (2)y=x -3·1-x ；
(3)y=(x-1）0+1
2+x . 思路解析 给定函数时，要指明函数的定义域。

对于用函数解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合.因为函数的定义域是同时使函数解析式各部分有意义的x 值的集合，所以应取各部分的交集.
解答:（1)要使函数有意义,当且仅当x —2≠0，即x ≠2,所以这个函数的定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠2}。

(2)要使函数有意义,当且仅当⎩⎨⎧≥-≥-,
01,03x x 解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x ｜x ∈R 且1≤x ≤3｝。

(3）要使函数有意义，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧≥+≠-,01
2,01x x 解得x>—1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>—1且x ≠1｝. 例3 求下列函数的值域:
（1)y=x 2-2x —1,x ∈［0,3];
（2)y=2-x +3；
（3）y=1
222+-x x ； (4）y=|x-1｜+｜x —2|.
思路解析 求二次函数的值域一般要数形结合，先配方找出对称轴，再考察给定区间与对称轴的关系，利用二次函数在对称轴两侧的单调性，求出给定区间上的最大值和最小值，即可得到函数的值域。

除数形结合之外,求函数的值域的方法还有逐步求解法、判别式法、分离常数法和利用有界性等.绝对值函数通常先化为分段函数。

解答:(1）将原式变形，得y=(x-1）2-2，此函数的对称轴为x=1，由于x ∈［0，3］，
∴当x=1时,y 有最小值—2。

根据函数的对称性知，x=3比x=1的值要大，∴当x=3时,y 有最大值2。

∴这个函数的值域为[—2，2］.
（2)易知x ≥2，∴2-x ≥0。

∴y=2-x +3≥3.
∴这个函数的值域为[3，+∞］。

（逐步求解法）
(3）先分离常数，y=1222+-x x =131131222+-=+-+x x x . ① 解法一:（逐步求解法)∵x 2+1≥1,∴0＜
112+x ≤1。

∴1＞1-1
32+x ≥-2.∴y ∈［-2,1). 解法二：(判别式法）两边同乘以x 2+1并移项，得(y-1）x 2+y+2=0，又由①可知y ≠1，∴Δ=-4(y-1)（y+2)≥0。

∴
y ∈［-2,1).
解法三：（利用有界性)∵y ≠1，易得x 2=y
y -+12. 又∵x 2≥0，∴y
y -+12≥0。

∴y ∈［—2，1)。

(4）原函数可化为y=⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<<≤-.2,32,21,
1,1,23x x x x x 由下图可知y ∈［1，+∞).
例4 下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：
(1)试确定y 与x 的函数关系式；
(2）求f(—3)、f （1）的值；
（3）若f （x)=16，求x 的值;
思路解析 本题是一个分段函数问题,当输入值x ≥1时，先将输入值x 加2再平方得输出值y ；当输入值x ＜1时，则先将输入值x 平方再加2得输出值y 。

解答：(1）y=⎩⎨⎧<+≥+.
1,2.1,)2(22x x x x (2)f(—3)=（-3)2+2=11；f （1）=（1+2）2
=9.
（3）若x ≥1，则（x+2)2=16,解得x=2或x=-6（舍）。

若x ＜1，则x 2+2=16，解得x=14(舍）或x=—14。

综上可得x=2或x=—14。

例5 已知函数y=f(2x —1)的定义域为［-1，1]，求函数y=f(x-2）的定义域。

思路解析 求函数y=f （x-2）的定义域，是求式子x —2中x 的范围.这里决不能将前后两个x 看成是相等的量，但是2x-1与x-2都是对应法则f 的作用对象,因此，这两个代数式的范围是一致的.
解答：设t=2x —1，
∵—1≤x ≤1，
∴-3≤2x-1≤1，
即函数y=f （t ）的定义域为t ∈［-3，1］.
再设x —2=t ，则—3≤x —2≤1，
∴—1≤x ≤3.
∴函数y=f （x —2)的定义域为［-1，3]。

知识导学
1。

函数的三要素
构成函数的三要素：定义域A ，对应法则f ，值域B.
其中核心是对应法则f,它是联系x 和y 的纽带,是对应得以实现的关键,对应法则可以由多种形式给出，可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式，都必须是确定的，且使集合A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应。

当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了，所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品"。

因此，要确定一个函数，只要定义域与对应法则确定即可。

2。

函数的图象
所谓函数y=f （x ）的图象，就是将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f(x 0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点（x 0，f （x 0)).当自变量取遍函数定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点。

所有这些点组成的集合（点集)为｛(x 0,f(x 0）)｜x ∈A}，即｛（x ，y)｜y=f(x ）,x ∈A ｝，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象。

函数的图象是数形结合应用的典范.
函数图象是函数关系的一种表示方法，它能够也必须把函数的三要素全面而直观地反映出来，它是研究函数关系、性质的重要工具.
函数图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础。

函数图象部分应解决好画图、识图、用图这三个基本问题，即对函数的图象有三点要求:（1)会画各种简单函数的图象；(2）能以函数的图象识别相应函数的性质；(3)能用数形结合思想以图辅助解题.
疑难导析
1.两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同,例如函数f(x ）=｜x ｜，与f(x ）=x 2是同一个函数.
2。

函数的核心是对应关系.在函数符号y=f （x ）中，f 是表示函数的对应关系,等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下,可得到y ，因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径。

函数符号y=f （x)是“y 是x 的函数”这句话的数学表示，它不表示“y 等于f 与x 的乘积”.f(x)可以是解析式，也可以是图象或数表。

符号f(a ）与f （x)既有区别又有联系.f （a ）表示当自变量x=a 时函数f （x ）的值,是一个常量;而f （x)是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量。

f(a)是f(x ）的一个特殊值。

3.值域是全体函数值所组成的集合。

在多数情况下，一旦定义域和对应关系确定，函数的值域也就随之确定。

问题导思
关于函数的两个定义实质上是一致的。

初中定义的出发点是运动变化的观点，而高中定义却是从集合、对应的观点出发。

初中阶段学习的函数的概念的优点是直观、生动。

高中阶段学习的函数的概念的优点:更具一般性.比如按初中的定义就很难判断下面的表达式是不是函数： ⎩⎨⎧,,0,
,1为无理数时当为有理数时当x x
现在用高中学的函数概念来判断则是没有问题的。

事实上，在判断两个函数是不是同一个函数时,只要定义域和对应法则相同，则必为同一函数，还有一点,如果三者中有一个不同，则必不是同一函数.
根据这组函数图象可得到如下结论:
(1）函数y=—f(x ）的图象与y=f(x)的图象关于x 轴对称;
(2）函数y=f （-x ）的图象与y=f （x)的图象关于y 轴对称；
（3)函数y=—f （—x ）的图象与y=f(x)的图象关于原点（0，0）对称；
（4)函数y=f （|x|)=⎩
⎨⎧<-≥,0),(,0),(x x f x x f 即在y 轴上及其右侧的图象与函数y=f （x ）的图象相同，再将y 轴右侧的图象作关于y 轴的对称图象可得x ＜0时的图象； (5)函数y=|f （x)｜= ⎩⎨
⎧<-≥,0)(),(,0)(),(x f x f x f x f 即在x 轴上及其上方的图象与函数y=f(x ）的图象相同，再将x 轴下方的
图象作关于x 轴的对称图象可得f （x)＜0时的图象；
(6）函数y=f(x ＋1)的图象是将y=f （x)的图象向左平移一个单位得到的;
（7）函数y=f （x ）＋1的图象是将y=f(x)的图象向上平移一个单位得到的。

在函数图象平移时，记住一个口诀：“平移变换，左加右减。

”左是往左平移，指的是图象往左平移几个单位，则函数解析式的自变量要加几个单位；右是往右平移,指的是图象往右平移几个单位，解析式的自变量要减去几个单位.
典题导考
绿色通道 给定两个函数，要判断它们是否是同一函数，主要看两个方面：一看定义域是否相同；二看对应法则是否一致.只有当两函数的定义域相同且对应法则完全一致时，两函数才可称为同一函数。

若判断两个函数不是同一个函数,只要三者中有一者不同即可判断不是同一个函数。

典题变式
下列四对函数中表示同一函数的是（ )
A.f （x ）=x ，g （x)=（x ）
2 B.f(x)=x ，g(x)=2x C 。

f （x)=x ，g （x)=33x D.f （x ）=2
42--x x ，g(x ）=x+2 答案：C
绿色通道 一般地，求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合：
(1)解析式是整式的函数，其定义域为R ；
(2）解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合；
(3)解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合;
(4）如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域不仅是要使实际问题有意义,还必须是使函数解析式有意义的实数的集合;
（5）求函数的定义域的步骤通常是先根据题意列不等式（组）,后解不等式（组），而后得出结论.
典题变式
已知函数f （x ）=322--x x 的定义域为F,g(x)=3
1-+x x 的定义域为G,那么集合F 、G 的关系是（ ） A 。

F=G B.F ⊆G C 。

G ⊆F D 。

F ∪G=G
答案：C
绿色通道 求值域一定要注意定义域的限制，一定要在定义域的范围内求函数的值域。

当然，求值域一定要根据函数的对应关系来确定.如果我们抓住了这些解决问题的关键，求这类问题就能得心应手.
典题变式
1.函数y=1-+
x x 的值域为______________。

答案:［1,+∞)
2.求下列函数的值域: (1)y=245x x -+;
(2)y=2x —1-x ；
(3）y=6
51222+---x x x x ; （4）y=|x+1|+｜x —2|.
答案:（1）［0，3]；(2){y ｜y ≥
815｝； （3)R ；(4)［3，+∞）.
3。

设A=[1，b](b>0），函数f(x ）=2
1(x —1）2+1，当x ∈A 时，f(x)的值域也是A ，试求b 的值. 答案:b=3.
绿色通道 通过实例,了解简单的分段函数并能简单应用是新课程标准的基本要求。

对于分段函数来说，给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围利用相应的解析式直接求值；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解。

但应注意要检验该值是否在相应自变量的取值范围内。

典题变式
1。

已知函数y=f （x)满足f （0)=1，f （x ）=xf （x-1）（x ∈N ＊),则f （4）的值为（ )
A.4
B.12
C.24
D.32
答案:C
2.已知函数y=⎩⎨
⎧>+-≤+,1,3,1,1x x x x 求f ［f （25)]的值。

答案：f ［f （25)］=2
3。

绿色通道 本题是已知复合函数的定义域求另一个复合函数的定义域问题。

解决这类问题的重要原则是：相同的对应法则所作用对象的范围是一致的。

这里函数y=f(2x —1)的定义域为[—1,1］是指自变量x 的取值范围,而不是指2x-1这个式子的值的范围。

解决这类问题的关键是找出原函数y=f （t)的定义域.
这里的定义域[-1，1］是函数y=f(2x —1)中x 的范围,即x ∈[-1，1]，而不是2x-1∈［-1，1］.
典题变式
函数f （x)的定义域为[0，2］,则函数f （x+1）的定义域是（ )
A 。

[—2，2］
B 。

[—1，1]
C 。

［0,2］
D 。

［1，3］
答案：B。