2017-2018学年湖北省天门中学高二(上)10月月考数学试卷(理科)
湖北省天门市、仙桃市、潜江市2017-2018学年高二下学期期末联考数学(理)试题及答案
2017-2018学年度第二学期期末联考试题高二数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数，则复数的共轭复数是( )A. B. C. D.2. 已知为正整数用数学归纳法证明时，假设时命题为真，即成立，则当时，需要用到的与之间的关系式是( ) A. B.C. D.3. 某村庄对改村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：750已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是( )A. B. C. D.4. 已知双曲线的两个焦点分别为，过右焦点作实轴的垂线交双曲线于，两点，若是直角三角形，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.5. 甲、乙两名同学参加2018年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为和，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为( )A. B. C. D.6. 在“新零售”模式的背景下,自由职业越来越流行，诸如:淘宝网店主、微商等等.现调研某自由职业者的工资收入情况.记表示该自由职业者平均每天工作的小时数，表示平均每天工作个小时的月收入.（小时） 2（千元） 2.5假设与具有线性相关关系，则关于的线性回归方程必经过点( )A. B. C. D.7. 已知的二项展开式中含项的系数为，则( )A. B. C. D.8. 已知一列数按如下规律排列：,则第9个数是( )A. -50B. 50C. 42D. —429. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三梭柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )A. B.C. D.10. 从中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的数可以被3整除”,“第二次取到的数可以被3整除”，则( )A. B. C. D.11. 中国古典数学有完整的理论体系，其代表我作有《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《数书九章》等，有5位年轻人计划阅读这4本古典数学著作，要求每部古典数学著作至少有1人阅读,则不同的阅读方案的总数是( )A. 480B. 240C. 180D. 12012. 体育课上,小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球等四项体自运动中的某-种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项目的一些判断:①小红没有踢足球，也没有打篮球；②小方没有打篮球,也没有打羽毛球；③如果小红没有打羽毛球,那么小军也没有踢足球；④小强没有踢足球,也没有打篮球.已知这些判断都是正确的,依据以上判断，请问小方同学的运动情况是( )A. 踢尼球B. 打篮球C. 打羽毛球D. 打乒乓球第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 命题的否定是__________．14. 若满足约束条件则的最大值为__________．15. 已知随机变量服从正态分布，若，，则．16. 已知函数，且过原点的直线与曲线相切，若曲线与直线轴围成的封闭区域的面积为，则的值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 若，(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：；(Ⅲ)在(Ⅱ)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.18. 如图，底面，四边形是正方形，.(Ⅰ)证明：平面平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值.19. 某研究机构为了调研当代中国高中生的平均年龄，从各地多所高中随机抽取了40名学生进行年龄统计，得到结果如下表所示：(Ⅰ)若同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批学生的平均年龄；(Ⅱ)若在本次抽出的学生中随机挑选2人，记年龄在间的学生人数为，求的分布列及数学期望.20. 已知抛物线与椭圆有共同的焦点，过点的直线与抛物线交于两点.(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)若，求直线的方程.21. 已知函数.(Ⅰ)若函数在处取得极值，求的值；(Ⅱ)设，若函数在定义域上为单调增函数，求的最大整数值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(Ⅱ)若曲线上的点到直线的最大距离为6，求实数的值.23. 选修4-5：不等式选讲设函数.(Ⅰ)若不等式的解集是，求实数的值；(Ⅱ)若对一切恒成立，求实数的取值范围.2017-2018学年度第二学期期末联考试题高二数学（理）试题解析第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数，则复数的共轭复数是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据复数模的定义化简复数，再根据共轭复数概念求结果.详解：因为，所以,所以复数的共轭复数是,选B.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2. 已知为正整数用数学归纳法证明时，假设时命题为真，即成立，则当时，需要用到的与之间的关系式是( ) A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：先根据条件确定式子，再与相减得结果.详解：因为，所以，所以,选C.点睛：本题考查数学归纳法，考查数列递推关系.3. 某村庄对改村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：750已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据列联表列方程组，解得a,b,c,d,e,f,再判断真假.详解：因为，所以选D.点睛：本题考查列联表有关概念，考查基本求解能力.4. 已知双曲线的两个焦点分别为，过右焦点作实轴的垂线交双曲线于，两点，若是直角三角形，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意结合双曲线的结合性质整理计算即可求得最终结果.详解：由双曲线的对称性可知：，则为等腰直角三角形，故，由双曲线的通径公式可得：，据此可知：，即，整理可得：，结合解方程可得双曲线的离心率为：.本题选择B选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．5. 甲、乙两名同学参加2018年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为和，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式求概率.详解：因为这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为甲考140 分以上乙未考到140 分以上事件概率与乙考140 分以上甲未考到140 分以上事件概率的和，而甲考140 分以上乙未考到140 分以上事件概率为，乙考140 分以上甲未考到140 分以上事件概率为，因此，所求概率为，选A.点睛：本题考查互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式，考查基本求解能力.6. 在“新零售”模式的背景下,自由职业越来越流行，诸如:淘宝网店主、微商等等.现调研某自由职业者的工资收入情况.记表示该自由职业者平均每天工作的小时数，表示平均每天工作个小时的月收入.（小时） 2（千元） 2.5假设与具有线性相关关系，则关于的线性回归方程必经过点( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求均值，再根据线性回归方程性质得结果.详解：因为，所以线性回归方程必经过点,选C.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.7. 已知的二项展开式中含项的系数为，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据二项式定展开式通项公式求m,再求定积分.详解：因为的二项展开式中，所以,因此点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.8. 已知一列数按如下规律排列：,则第9个数是( )A. -50B. 50C. 42D. —42【答案】A【解析】分析：根据规律从第3个数起，每一个数等于前两个数之差，确定第9个数.详解：因为从第3个数起，每一个数等于前两个数之差，所以第9个数是，选A.点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法为：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.9. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三梭柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先还原几何体，再根据棱柱各面形状求面积.详解：因为几何体为一个以俯视图为底面的三棱柱，底面直角三角形的两直角边长为2和，所以棱柱表面积为，点睛：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．10. 从中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的数可以被3整除”,“第二次取到的数可以被3整除”，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求，，再根据得结果.详解：因为，所以,选C.点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.11. 中国古典数学有完整的理论体系，其代表我作有《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《数书九章》等，有5位年轻人计划阅读这4本古典数学著作，要求每部古典数学著作至少有1人阅读,则不同的阅读方案的总数是( )A. 480B. 240C. 180D. 120【答案】B【解析】分析：先根据条件确定有且仅有一本书是两人阅读，再根据先选后排求排列数.详解：先从5位年轻人中选2人，再进行全排列，所以不同的阅读方案的总数是选B.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.12. 体育课上,小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球等四项体自运动中的某-种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项目的一些判断:①小红没有踢足球，也没有打篮球；②小方没有打篮球,也没有打羽毛球；③如果小红没有打羽毛球,那么小军也没有踢足球；④小强没有踢足球,也没有打篮球.已知这些判断都是正确的,依据以上判断，请问小方同学的运动情况是( )A. 踢尼球B. 打篮球C. 打羽毛球D. 打乒乓球【答案】A【解析】分析：由题意结合所给的逻辑关系进行推理论证即可.详解：由题意可知：小红、小方、小强都没有打篮球，故小军打篮球；则小军没有踢足球，且已知小红、小强都没有踢足球，故小方踢足球.本题选择A选项.点睛：本题主要考查学生的推理能力，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 命题的否定是__________．【答案】【解析】分析：特称命题的否定是全称命题，即的否定为.详解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定是. 点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定. 的否定为，的否定为.14. 若满足约束条件则的最大值为__________．【答案】6【解析】分析：首先绘制出可行域，然后结合目标函数的几何意义整理计算即可求得最终结果.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.15. 已知随机变量服从正态分布，若，，则．【答案】0.8【解析】分析：先根据正态分布曲线对称性求，再根据求结果. 详解：因为正态分布曲线关于对称，所以,因此点睛：利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.16. 已知函数，且过原点的直线与曲线相切，若曲线与直线轴围成的封闭区域的面积为，则的值为__________．【答案】【解析】分析：先根据导数几何意义求切点以及切线方程，再根据定积分求封闭区域的面积，解得的值.详解：设切点，因为，所以所以当时封闭区域的面积为因此，当时，同理可得，即点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 若，(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：；(Ⅲ)在(Ⅱ)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；(Ⅱ)由不等式的性质可证得.则.(Ⅲ)利用放缩法可给出结论：,或．详解：（Ⅰ）因为，且，所以，所以(Ⅱ)因为,所以．又因为,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．所以．所以.（i)因为,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．所以(ii)所以由两边都是正数的同向不等式的相乘性可将以上两不等式(i)(ii)相乘得.(Ⅲ)因为，，所以,或．(只要写出其中一个即可)点睛：本题主要考查不等式的性质，放缩法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. 如图，底面，四边形是正方形，.(Ⅰ)证明：平面平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）直线与平面所成角的余弦值为.【解析】分析：(1)先根据线面平行判定定理得平面，平面.，再根据面面平行判定定理得结论，(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面的一个法向量，利用向量数量积求得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系得结果.详解：(Ⅰ)因为，平面，平面，所以平面.同理可得，平面.又,所以平面平面.（Ⅱ）（向量法）以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如下图所示的空间直角坐标系，由已知得，点，,,.所以，.易证平面，则平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则。
湖北省天门中学2018-2019学年高二10月月考数学(理)试题Word版含答案
湖北省天门中学2018-2019学年高二10月月考数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 （ ）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或82．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 ( ) A ．(0，+∞) B ．(0，2)C ．(1，+∞)D ．(0，1)3．若双曲线E ：116922=-y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=7，则|PF 2|等于 ( ) A ．13或1 B ．1C ．13D ．以上都不对4．已知命题p ：∀x ∈R ，2x 2+2x +21<0，命题q ： x 0∈R ，sinx 0-cosx 0=2，则下列判断中正确的是 ( ) A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．⌝p 是假命题D ． ⌝q 是假命题5．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( ) A ．28B ．14－8 2C ．14＋8 2D ．8 27．圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的距离等于2的点共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．若ab ≠0，则ax -y +b =0和bx 2+ay 2=ab 所表示的曲线只可能是下图中的 ( )9．设Q P ,分别为圆()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距 离是（ ） A. 25 B.246+ C.27+ D.2610．若AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM ，BM 与两坐标轴均不平行，k AM ，k BM 分别表示直线AM ，BM 的斜率，则k AM ·k BM =( )A. 22c a-B. 22b a-C. 22c b-D. 22a b-11．已知动点P (x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．无法确定12．我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线x2－2y25＋1＝1是黄金双曲线；②若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线； ③若∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确的是( )A ．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA |＋|MB |的最大值是________．14．P 是椭圆上一定点,21,F F 是椭圆的两个焦点,若00122160,30PF F PF F ∠=∠=,则椭圆的离心率为15．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1·PF 2的最小值为________16．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上除顶点外的任意一点，F 1、F 2分别为左、右焦点，c 为半焦距，△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2切于点M ，则|F 1M |·|F 2M |＝_______.三、解答题（共70分）17. （本小题满分10分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．1８.（本小题满分1２分）椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．19. （本小题满分12分）双曲线C 的中心在原点，右焦点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,332F ，渐近线方程为 x y 3±=. (1)求双曲线C 的方程；(2)设点P 是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m 、n .证明n m ⋅是定值.20. （本小题满分12分）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B. （I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.2１. （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(2,0)F ，M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为1k ，2k ，且128k k +=，证明：直线AB 过定点1(,2)2--．22. （本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为36，右焦点为(2，0)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若过原点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆交于A ，B 两点，求证：点O 到直线AB 的距离为定值； (3) 在（2）的条件下，求OAB ∆面积的最大值．湖北省天门中学2018-2019学年高二10月月考数学（理）试题答案一.选择题（每小题5分，共60分） 1-6 ｃDcDC ｃ 7-12 ｃCDB ａD 二．填空题（每小题5分，共20分）13. 10＋210－2 16. b 2 三．解答题（共70分）17. p :0<m <31 q :0< m <15 p 真q 假，则空集；p 假q 真，则1531<≤m 故m 的取值范围为1531<≤m１８． (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c又b 2＝a 2－c 2＝3c 2∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c2＝1.又∵椭圆过点A (2,3)∴44c 2＋93c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.法三：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)， ∴AF 1→|AF 2→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1,2)，∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.19. （1）易知 双曲线的方程是1322=-y x . （2）设P ()00,y x ，已知渐近线的方程为：x y 3±= 该点到一条渐近线的距离为：13300+-=y x m到另一条渐近线的距离为13300++=y x n412232020=⨯-=⋅y x n m 是定值.２０.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.022022,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x k k x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）. 则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得 .066252=-+k k解得))(2,2(566566舍去或--∉-=+-=k k 可知566+-=k 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. 2１．解：（1）由△MOF 是等腰直角三角形，得c 2＝2＝4, a 2＝8故椭圆方程为 22184x y += ……4分 （2）①若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意2±≠m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，由 ⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,14822m kx y y x 得 ()222124280k x kmx m +++-=． ……6分 则2121222428,1212km m x x x x k k-+=-=++． ……7分 由已知821=+k k ，可得8222211=-+-x y x y ， 所以8222211=-++-+x m kx x m kx即8)2(22121=+-+x x x x m k 。
湖北省潜江、天门、仙桃市联考2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年湖北省潜江、天门、仙桃市联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．已知复数（其中i为虚数单位），则复数z在坐标平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．集合A={x|（x﹣1）（x﹣2）=0}，A∪B={1，2}，则满足条件的集合B有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．一首小诗《数灯》，诗曰：“远望灯塔高7层，红光点点倍加增，顶层数来有4盏，塔上共有多少灯？”答曰（）A．252 盏B．256盏C．508 盏D．512盏4．已知0＜θ＜，则双曲线与C2：﹣=1的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等5．在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得=λ，=λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知点M（a，b）（a＞0，b＞0）是圆C：x2+y2=1内任意一点，点P（x，y）是圆上任意一点，则ax+by﹣1的值（）A．一定等于0 B．一定是负数C．一定是正数D．可能为正数也可能为负数7．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．8．斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，则线段AB的长为（）A． B． C． D．89．已知x∈（0，π），且，则tanx=（）A ．B ．C ．D ．10．已知数列{a n }的前n 项和，b n =2n a n ，c n =2a n+1﹣a n （n ∈N *）则（ ）A ．{b n }是等差数列，{c n }是等比数列B ．{b n }是等比数列，{c n }是等差数列C ．{b n }是等差数列，{c n }是等差数列D ．{b n }是等比数列，{c n }是等比数列11．方程[x ]=x +a 有解（[x ]表示不大于x 的最大整数），则参数a 的取值集合是（ ） A ．{a |0≤a ＜1} B ．{a |﹣1＜a ≤0} C ．{a |﹣1＜a ＜1} D ．{a |a ∈R ，a ∉Z }12．如果存在正实数a ，使得f （x ﹣a ）为奇函数，f （x +a ）为偶函数，我们称函数f （x ）为“和谐函数”．给出下列四个函数： ①f （x ）=（x ﹣1）5+5②f （x ）=cos2（x ﹣）③f （x ）=sinx +cosx ④f （x ）=ln |x +1|其中“和谐函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知a=，则二项式的展开式中的常数项为 ．14．已知f （x ）为偶函数，且当x ≥0时，f （x ）=x （1+x ），则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是 ． 15．在半径为R 的球内截取一个最大的圆柱，则其体积之比V 圆柱：V 球的比值为 ．16．数列{a n }满足a n+1=，a 8=2，则a 1= ．三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17-第21题为必做题，第22-24为选做题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡上对应题号指定框内．17．已知函数的最大值为1．（Ⅰ）求常数a 的值；（Ⅱ）若A 为△ABC 的内角，，，△ABC 的面积为，AB=，求BC 的长．18．甲、乙两人都准备于下午12：00﹣13：00之间到某车站乘某路公交车外出，设在12：00﹣13：00之间有四班该路公交车开出，已知开车时间分别为12：20；12：30；12：40；13：00，分别求他们在下述情况下坐同一班车的概率．（1）他们各自选择乘坐每一班车是等可能的；（2）他们各自到达车站的时刻是等可能的（有车就乘）．19．矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形沿对角线AC折起，使B点与P点重合，点P 在平面ACD内的射影M正好在AD上．（Ⅰ）求证CD⊥PA；（Ⅱ）求二面角P﹣AC﹣D的余弦值．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|=|OF|=（其中O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连结CM交椭圆于点P，试问：x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆经过直线OP、MQ 的交点；若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=x2+ln（x﹣a）a∈R．（Ⅰ）若f（x）有两个不同的极值点，求a的取值范围；（Ⅱ）当a≤﹣2时，用g（a）表示f（x）在[﹣1，0]上的最大值，求g（a）的表达式．四.请考生在（22），（23），（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑．（选修4-1几何证明选讲）22．如图△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（Ⅰ）证明：△ABE∽△ADC；（Ⅱ）若BC为△ABC外接圆的直径且AD•AE=2，求△ABC的面积．（选修4-4坐标系与参数方程选讲）23．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．（选修4-5不等式选讲）．24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣5|，x∈R．（1）求不等式f（x）＜x+10的解集；（2）如果关于x的不等式f（x）≥a﹣（x﹣2）2在R上恒成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年湖北省潜江、天门、仙桃市联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．已知复数（其中i为虚数单位），则复数z在坐标平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数对应点的坐标得答案．【解答】解：由=，得复数z在坐标平面内对应的点的坐标为（），在第四象限．故选：D．2．集合A={x|（x﹣1）（x﹣2）=0}，A∪B={1，2}，则满足条件的集合B有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】并集及其运算．【分析】先求出集合A，从而求出集合B的元素的个数即可．【解答】解：∵集合A={x|（x﹣1）（x﹣2）=0}，∴A={1，2}，A∪B={1，2}，则满足条件的集合B有：22=4个，故选：D．3．一首小诗《数灯》，诗曰：“远望灯塔高7层，红光点点倍加增，顶层数来有4盏，塔上共有多少灯？”答曰（）A．252 盏B．256盏C．508 盏D．512盏【考点】等比数列的前n项和．【分析】由已知可得：数列{a n}为等比数列，a1=4，n=7，公比q=2．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由已知可得：数列{a n}为等比数列，a1=4，n=7，公比q=2．∴S7==508．故选：C．4．已知0＜θ＜，则双曲线与C2：﹣=1的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．【解答】解：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，故它们的离心率相同．故选D．5．在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得=λ，=λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形和必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得=λ，=λ”，得出AB∥DC，AD∥BC，得到四边形ABCD为平行四边形，反之，由四边形ABCD为平行四边形，得到AB=DC，AD=BC，从而有：∃λ=1∈R，使得AB=λDC，AD=λBC，故在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要而不充分条件．故选C．6．已知点M（a，b）（a＞0，b＞0）是圆C：x2+y2=1内任意一点，点P（x，y）是圆上任意一点，则ax+by﹣1的值（）A．一定等于0 B．一定是负数C．一定是正数D．可能为正数也可能为负数【考点】点与圆的位置关系．【分析】由题意，a2+b2＜1，x2+y2=1，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：由题意，a2+b2＜1，x2+y2=1，∴ax+by≤（a2+x2）+（b2+y2）＜1，∴ax+by﹣1＜0，故选：B．7．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．8．斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，则线段AB的长为（）A． B． C． D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得焦点，设出直线方程，代入抛物线的方程，解得交点坐标，由两点的距离公式，即可得到所求值．【解答】解：y2=4x的焦点F（1，0），直线l的方程为y=x﹣1，代入抛物线的方程，可得x2﹣6x+1=0，解得x=3±2，交点为A（3+2，2+2），B（3﹣2，2﹣2），即有|AB|==8．故选：D．9．已知x∈（0，π），且，则tanx=（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由和差角的公式化简可得cosx+sinx=，结合cos2x+sin2x=1和x的范围可得sinx 和cosx的值，可得tanx．【解答】解：∵，∴cosx+sinx=，∴cosx+sinx=，又cos2x+sin2x=1，x∈（0，π），∴sinx＞0，联立解得sinx=，cosx=，∴tanx==．故选：C．10．已知数列{a n}的前n项和，b n=2n a n，c n=2a n+1﹣a n（n∈N*）则（）A．{b n}是等差数列，{c n}是等比数列B．{b n}是等比数列，{c n}是等差数列C．{b n}是等差数列，{c n}是等差数列D．{b n}是等比数列，{c n}是等比数列【考点】等比关系的确定；等差关系的确定．【分析】数列{a n}的前n项和，a1=﹣a1﹣1+2，解得a1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为：2n a n﹣2n﹣1a n﹣1=1，再利用等差数列与等比数列的定义及其通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和，∴a1=﹣a1﹣1+2，解得a1=．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣a n﹣+2﹣，化为：，变形为：2n a n﹣2n﹣1a n﹣1=1，又b n=2n a n，∴b n﹣b n﹣1=1，∴数列{b n}是等差数列，首项为1，公差为1．另一方面：由，可得2a n﹣a n﹣1=，又c n=2a n+1﹣a n（n∈N*），则c n=，∴数列{c n}是等比数列，首项为，公比为．故选：A．11．方程[x]=x+a有解（[x]表示不大于x的最大整数），则参数a的取值集合是（）A．{a|0≤a＜1}B．{a|﹣1＜a≤0}C．{a|﹣1＜a＜1}D．{a|a∈R，a∉Z}【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简a=[x]﹣x，从而确定﹣1＜[x]﹣x≤0，从而解得．【解答】解：∵[x]=x+a，∴a=[x]﹣x，∵[x]表示不大于x的最大整数，∴﹣1＜[x]﹣x≤0，∴参数a的取值集合是{a|﹣1＜a≤0}，故选B．12．如果存在正实数a，使得f（x﹣a）为奇函数，f（x+a）为偶函数，我们称函数f（x）为“和谐函数”．给出下列四个函数：①f（x）=（x﹣1）5+5②f（x）=cos2（x﹣）③f（x）=sinx+cosx④f（x）=ln|x+1|其中“和谐函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数奇偶性的性质．【分析】①由f（0）=4≠0，故无论正数a取什么值，f（x﹣a）都不是奇函数，因此函数f （x）不可能是“和谐函数”；②先化简f（x）=sin2x，因为只有将函数f（x）的图象向左或向右平移的整数倍时，才为奇函数或偶函数，代入进行验证看是否符合“和谐函数”的定义即可；③由f（x）=sinx+cosx=，因为只有将函数f（x）的图象向左的整数倍时，才为奇函数或偶函数，代入进行验证看是否符合“和谐函数”的定义即可；④只有f（x﹣1）=ln|x|为偶函数；而f（x+1）=ln|x+2|为非奇非偶函数，故可得出答案．【解答】解：①由f（x）=（x﹣1）5+5∵f（0）=4≠0，∴无论正数a取什么值，f（x﹣a）都不是奇函数，函数f（x）不可能是“和谐函数”；②②∵f（x）=cos（2x﹣）=sin2x，∴当时，f（x±a）=sin（2x±2k）=±cos2x为偶函数；当时，f（x±a）=sin（2x±（2kπ±π））=±sinx为奇函数．因为只有将函数f（x）的图象向左或向右平移的整数倍时，才为奇函数或偶函数，故不存在正数a使得函数f（x）是“和谐函数”；③由f（x）=sinx+cosx=，因为f（x﹣）=sinx是奇函数，f（x+）=cosx是偶函数，故是“和谐函数”；④∵f（x）=ln|x+1|，∴只有f（x﹣1）=ln|x|为偶函数；而f（x+1）=ln|x+2|为非奇非偶函数，故不存在正数a使得函数f（x）是“和谐函数”．综上可知：①②④都不是“和谐函数”．故答案为1个．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知a=，则二项式的展开式中的常数项为15．【考点】二项式定理的应用；定积分．【分析】运用积分公式得出a=1，二项式的展开式中项为：T r+1=C6r•（﹣1）r•，利用常数项特征求解即可．【解答】解：∵a==sinx=1，∴二项式的展开式中项为：T r+1=C 6r •（﹣1）r •，当6﹣r=0时，r=4，常数项为：C 64•（﹣1）4=15．故答案为：15．14．已知f （x ）为偶函数，且当x ≥0时，f （x ）=x （1+x ），则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是 [﹣1，1] ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】可令x （1+x ）=2，根据x ≥0从而解得x=1，根据二次函数的单调性容易判断f （x ）在[0，+∞）上单调递增，这样便可由f （x ）≤2得到f （|x |）≤f （1），根据f （x ）在[0，+∞）上单调递增便可得出|x |≤1，从而便可得出满足f （x ）≤2的x 的取值范围． 【解答】解：令x （1+x ）=2，解得x=1，或﹣2（舍去）；x ≥0时，f （x ）=x 2+x ，对称轴为x=，在[0，+∞）上单调递增；∵f （x ）为偶函数；∴由f （x ）≤2得，f （|x |）≤f （1）； ∴|x |≤1； ∴﹣1≤x ≤1；∴满足f （x ）≤2的x 的取值范围是[﹣1，1]． 故答案为：[﹣1，1]．15．在半径为R 的球内截取一个最大的圆柱，则其体积之比V 圆柱：V 球的比值为．【考点】球内接多面体． 【分析】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，为求出圆柱体积最大时的底面半径，我们可以设圆柱体的底面半径为r ，进而根据截面圆半径、球半径、球心距满足勾股定理，可得R 2=r 2+，进而得到其体积的表达式，然后结合基本不等式，得到圆柱体积最大时的底面半径的值，即可求出V 圆柱：V 球．【解答】解：设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，则R 2=r 2+，∴R 2=r 2+=r 2+r 2+≥3，∴r 2h ≤∴圆柱的体积V=πr 2h ≤当且仅当r 2=h 2，即h=R ，r=R 时，V 取最大值．∵V 球=，∴V 圆柱：V 球=，故答案为：．16．数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．【考点】数列递推式．【分析】根据a8=2，令n=7代入递推公式a n+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．【解答】解：由题意得，a n+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17-第21题为必做题，第22-24为选做题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡上对应题号指定框内．17．已知函数的最大值为1．（Ⅰ）求常数a的值；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，，，△ABC的面积为，AB=，求BC的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（x+）+a由最大值为1可2+a=1，解方程可得；（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）可得，由三角形的面积公式可得b=2，再由余弦定理可得．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得：f（x）=sinx+cosx+sinx﹣cosx+cosx+a=sinx+cosx+a=2sin（x+）+a由最大值为1可2+a=1，解得a=﹣1，∴；（Ⅱ）由，，得，∵，∴b=2，∵a2=b2+c2﹣2bccosA=4，∴a=2，即BC的长为2．18．甲、乙两人都准备于下午12：00﹣13：00之间到某车站乘某路公交车外出，设在12：00﹣13：00之间有四班该路公交车开出，已知开车时间分别为12：20；12：30；12：40；13：00，分别求他们在下述情况下坐同一班车的概率．（1）他们各自选择乘坐每一班车是等可能的；（2）他们各自到达车站的时刻是等可能的（有车就乘）．【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）为古典概型，可得总数为4×4=16种，符合题意得为4种，代入古典概型得公式可得；（2）为几何概型，设甲到达时刻为x，乙到达时刻为y，可得0≤x≤60，0≤y≤60，作出图象由几何概型的公式可得．【解答】解：（1）他们乘车总的可能结果数为4×4=16种，乘同一班车的可能结果数为4种，由古典概型知甲乙乘同一班车的概率为P==（2）利用几何概型，设甲到达时刻为x，乙到达时刻为y，可得0≤x≤60，0≤y≤60试验总结果构成区域为图①，乘坐同一班车的事件所构成的区域为图②中4个黑色小方格，故所求概率为P==19．矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形沿对角线AC折起，使B点与P点重合，点P 在平面ACD内的射影M正好在AD上．（Ⅰ）求证CD⊥PA；（Ⅱ）求二面角P﹣AC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出PM⊥CD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明CD⊥PA．（II）作MN⊥AC，垂足为N，连接PN，推导出∠PNM为所求二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵M是P点在平面AC的内的射影，∴PM⊥平面ACD∴PM⊥CD，又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA解：（II）作MN⊥AC，垂足为N，连接PN，由PM⊥平面ACD，得PM⊥AC，∴AC⊥PN，∴∠PNM为所求二面角的平面角．设AM=a，在△rtACM中，∠MAC=30°，AC=2∴在rt△PMA中，PM2=1﹣a2在rt△PMC中，由PC2=PM2+MC2得，从而，在rt△PAC中，在rt△PMN中，==，即所求二面角的余弦值为．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|=|OF|=（其中O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连结CM交椭圆于点P，试问：x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆经过直线OP、MQ 的交点；若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）通过|OA|=|OF|=可得b、c的值，进而可得结论；（Ⅱ）通过（1）知C（﹣2，0），D（2，0），设直线CM方程并与椭圆联立，利用韦达定理可得点P坐标，利用=0，计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵|OA|=|OF|=，∴，∴a2=b2+c2=4，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）结论：存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点．理由如下：由（1）知：C（﹣2，0），D（2，0）．由题意可设CM：y=k（x+2），P（x1，y1）．∵MD⊥CD，∴M（2，4k），联立，消去y，整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，∴△=（8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣4）＞0，∴，∴，∴，设Q（x0，0），且x0≠﹣2，若以MP为直径的圆经过DP，MQ的交点，则MQ⊥DP，∴=0恒成立，∵，，∴，即恒成立，∴x0=0．∴存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点．21．已知函数f（x）=x2+ln（x﹣a）a∈R．（Ⅰ）若f（x）有两个不同的极值点，求a的取值范围；（Ⅱ）当a≤﹣2时，用g（a）表示f（x）在[﹣1，0]上的最大值，求g（a）的表达式．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，令h（x）=2x2﹣2ax+1，得到关于a的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的单调区间，根据二次函数的性质，求出f（x）的最大值，从而求出g（a）的表达式．【解答】解：（Ⅰ）…∵f（x）有两个不同的极点∴令h（x）=2x2﹣2ax+1，则h（x）有两个大于a的零点∴∴；…（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a≤﹣2时，f（x）在，上单调递增；在上单调递减，又，故x2＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣注意到h（x）=2x2﹣2ax+1的对称轴h（﹣1）=3+2a＜0，h（0）=1＞0，可推知﹣1＜x2＜0，∴当x∈[﹣1，0]时，g（a）=f（x）max=max{f（﹣1），f（0）}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而f（0）=ln（﹣a），f（﹣1）=1+ln（﹣1﹣a），又若，但，故f（0）＞f（﹣1）不成立综上分析可知，g（a）=f（﹣1）=1+ln（﹣1﹣a）（a≤﹣2）…四.请考生在（22），（23），（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑．（选修4-1几何证明选讲）22．如图△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（Ⅰ）证明：△ABE∽△ADC；（Ⅱ）若BC为△ABC外接圆的直径且AD•AE=2，求△ABC的面积．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（Ⅰ）推导出∠BAE=∠CAD，∠AEB=∠ACD，由此能证明△ABE～△ADC．（Ⅱ）由△ABE～△ADC，得AB•AC=AD•AE=2，再由又BC为直径，能求出△ABC的面积．【解答】证明：（Ⅰ）∵△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，∴∠BAE=∠CAD，∵∠AEB与∠ACD是同弧上的圆周角，∴∠AEB=∠ACD，∴△ABE～△ADC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABE～△ADC，∴，即AB•AC=AD•AE=2，又BC为直径，∴∠BAC=90°，∴．（选修4-4坐标系与参数方程选讲）23．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．【考点】圆的参数方程；直线的参数方程．【分析】（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出．【解答】解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4．由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=．∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2．（选修4-5不等式选讲）．24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣5|，x∈R．（1）求不等式f（x）＜x+10的解集；（2）如果关于x的不等式f（x）≥a﹣（x﹣2）2在R上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】带绝对值的函数．【分析】（1）去掉绝对值，化简f（x），求出不等式f（x）＜x+10的解集；（2）设g（x）=a﹣（x﹣2）2，求出g（x）max与f（x）min；由f（x）≥g（x）在R上恒成立，得f（x）min≥g（x）max，求出a的取值范围．【解答】解：（1）去掉绝对值，；当x＜﹣1时，由﹣2x+4＜x+10，解得x＞﹣2，∴﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x＜5时，由6＜x+10，解得x＞﹣4，∴﹣1≤x＜5；当x≥5时，由2x﹣4＜x+10，解得x＜14，∴5≤x＜14；综上，不等式的解集为（﹣2，14）；﹣﹣﹣（2）设g（x）=a﹣（x﹣2）2，则g（x）max=g（2）=a，而f（x）=|x+1|+|x﹣5|≥|（x+1）﹣（x﹣5）|=6，即f（x）min=6；∴f（x）≥g（x）在R上恒成立时，应满足f（x）min≥g（x）max，∴a≤6；即a的取值范围是{a|a≤6}．﹣﹣﹣2018年7月30日。
天门中学高二月考试答案
14、解：（1）、A球受B球的库仑力 ，重力 ，绳的张力T，
A球受力平衡：
由牛顿第三定律知，B球受的库仑力F为
（2）、
〈华泰高二物理月考答题卷第二页共四页〉
15、 负电， 正电
=1：8
〈华泰高二物理月考答题卷第三页共四页〉
16、解析：(1)由于小球处于平衡状态，对小球受力分析如图所示，由平衡条件知：
湖北省天门中学高二月考试卷
物理答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
AD
A
B
C
AC
AC
C
C
B
C
二，实验题
11、
小球直径d
12、（1）、
显示油膜轮廓边界
（2）、 （3）、7.0×10-1
三、计算题
13、（பைடு நூலகம்）设锅内气体分子数为n
n=V/V0·NA
（2）根据热力学第一定律
ΔE=W+Q=-3J
锅内气体内能减少，减少了3J
…………①
…………②
由①②得
(2)丝线剪断后小球受重力和电场力，其合力与剪断前丝线拉力大小相等方向相反．所以：
……………………③
小球由静止开始沿着拉力的反方向做匀加速直线运动，当碰到金属板上时，它的位移为：
……………………④
由运动学公式： ……⑤
由②③④⑤得
〈华泰高二物理月考答题卷第四页共四页〉
天门市高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
天门市高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x <<2． 复数2(2)i z i-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）A ．43i -+B ．43i +C ．34i +D ．34i -【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力．3． 定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：①当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|；②f （2x ）=cf （x ）（c 为正常数），若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）A ．1B ．±2C ．或3D ．1或24． 若关于的不等式2043x ax x +>++的解集为31x -<<-或2x >，则的取值为（ ）A ．B ．12C ．12- D ．2-5． 设集合(){,|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（ ）A ．B ．C ．D ． 6． 已知{}n a 是等比数列，25124a a ==，，则公比q =（ ） A ．12-B ．-2C ．2D ．127． 若直线l 的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A ．l ∥α B ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交但不垂直8． 设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，m ∥α，则l ∥α；③若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，n ∥β，则l ∥m ． 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49． 抛物线x=﹣4y 2的准线方程为（ ）A ．y=1B ．y=C ．x=1D ．x=10．将函数x x f ωsin )(=（其中0>ω）的图象向右平移4π个单位长度，所得的图象经过点 )0,43(π，则ω的最小值是（ ） A ．31 B ． C ．35D ．11．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）A ．1：2：3B ．2：3：4C ．3：2：4D ．3：1：212．已知α是△ABC 的一个内角，tan α=，则cos （α+）等于（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g（x ）（a ＞0且a ≠1），+=．若数列{}的前n 项和大于62，则n 的最小值为 ．14．S n =++…+= ．15．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B 为 .16．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．三、解答题（本大共6小题，共70分。
天门市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
天门市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．设函数，则有（）A．f（x）是奇函数，B．f（x）是奇函数，y=b xC．f（x）是偶函数D．f（x）是偶函数，2．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（）A．20 B．25 C．22.5 D．22.753．已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．4．（2014新课标I）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A ．B ．C ．D ． 5． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．8+2B ．8+8C ．12+4D ．16+46． 已知实数x ，y 满足有不等式组，且z=2x+y 的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值是（ ）A ．2B ．C ．D ．7． 设偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（ ）A ．（，1）B ．（﹣∞，）∪（1，+∞）C ．（﹣，）D ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）8． 设全集U=M ∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M ∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，3，5}C ．{1，4，5}D ．{2，3，4}9． 设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数y=f （x ）﹣g （x ）在x ∈[a ，b]上有两个不同的零点，则称f （x ）和g （x ）在[a ，b]上是“关联函数”，区间[a ，b]称为“关联区间”．若f （x ）=x 2﹣3x+4与g （x ）=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为（ ）A ．（﹣，﹣2]B ．[﹣1，0]C ．（﹣∞，﹣2]D ．（﹣，+∞）10．设βα,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l B ．若α//l ， βα//，则β⊂l C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l11．已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222nn x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足*()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10596S S -=（ ） A.909 B.910 C.911 D.912【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 12．已知复数z 满足（3+4i ）z=25，则=（ ） A ．3﹣4iB ．3+4iC ．﹣3﹣4iD ．﹣3+4i二、填空题13．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为 ．14．抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ）A ．（0，）B ．（，0）C ．（0，4）D ．（0，2）15．设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[﹣1，1）时，f （x ）=，则f（）= ．16．已知圆C 1：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值 ．17．设双曲线﹣=1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2=90°，则△F 1MF 2的面积是 ．18．在三角形ABC 中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P 为BC 中点，则三角形ABP 的周长为 ．三、解答题19．已知函数f （x ）=sinx ﹣2sin2（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在区间[0，]上的最小值．20．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝|x－a|＋|x＋b|，（a≥0，b≥0）．（1）求f（x）的最小值，并求取最小值时x的范围；（2）若f（x）的最小值为2，求证：f（x）≥a＋b.21．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM；（2）求MC与平面EAC所成的角．22．平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）写出圆C1的普通方程及圆C2的直角坐标方程；（2）圆C1与圆C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交请说明理由．23．如图，在Rt△ABC中，∠EBC=30°，∠BEC=90°，CE=1，现在分别以BE，CE为边向Rt△BEC外作正△EBA 和正△CED．（Ⅰ）求线段AD的长；（Ⅱ）比较∠ADC和∠ABC的大小．24．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】设1a >,函数()()21xf x x e a =+-.（1）证明在(上仅有一个零点；（2）若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,（O 是坐标原点）,证明:1m ≤天门市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．又f（﹣x）===f（x），所以f（x）为偶函数．而f（）===﹣=﹣f（x），故选C．【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．2．【答案】C【解析】解：根据频率分布直方图，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，0.3+0.08×5=0.7＞0.5；∴中位数应在20～25内，设中位数为x，则0.3+（x﹣20）×0.08=0.5，解得x=22.5；∴这批产品的中位数是22.5．故选：C．【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．3．【答案】C【解析】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，故选C．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．4．【答案】C【解析】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx||sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．5．【答案】D【解析】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA=2，AB=2，高为，1根据三视图得出侧棱长度为=2，∴该几何体的表面积为2×（2×+2×2+2×2）=16，故选：D【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题．6．【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（a，a），联立，得B（1，1），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知z max=2×1+1=3，z min=2a+a=3a，由6a=3，得a=．故选：B．【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．【答案】A【解析】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）＞f（2x﹣1）可化为f（|x|）＞f（|2x﹣1|）又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|x|＞|2x﹣1|，即（2x﹣1）2＜x2，解得＜x＜1，所以x的取值范围是（，1），故选：A．8．【答案】B【解析】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C u N=﹛2，4﹜，∴集合M，N对应的韦恩图为所以N={1，3，5}故选B9．【答案】A【解析】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选A．【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．10．【答案】C111]【解析】考点：线线，线面，面面的位置关系11．【答案】A.【解析】12．【答案】B解析：∵（3+4i）z=25，z===3﹣4i．∴=3+4i．故选：B．二、填空题13．【答案】．【解析】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为=，方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P==，根据条件概率公式，得：P2==，故答案为：【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．14．【答案】D【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，∴焦点坐标为（0，2）．故选：D．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．15．【答案】1．【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1．故答案为：1．【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．16．【答案】5﹣4．【解析】解：如图，圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：﹣4=5﹣4．故答案为：5﹣4．【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．17．【答案】9．【解析】解：双曲线﹣=1的a=2，b=3，可得c2=a2+b2=13，又||MF|﹣|MF2||=2a=4，|F1F2|=2c=2，∠F1MF2=90°，1在△F1AF2中，由勾股定理得：|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2=（|MF1|﹣|MF2|）2+2|MF1||MF2|，即4c2=4a2+2|MF1||MF2|，可得|MF1||MF2|=2b2=18，即有△F1MF2的面积S=|MF1||MF2|sin∠F1MF2=×18×1=9．故答案为：9．【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．18．【答案】7+【解析】解：如图所示，设∠APB=α，∠APC=π﹣α．在△ABP与△APC中，由余弦定理可得：AB2=AP2+BP2﹣2AP•BPcosα，AC2=AP2+PC2﹣2AP•PCcos（π﹣α），∴AB2+AC2=2AP2+，∴42+32=2AP2+，解得AP=．∴三角形ABP的周长=7+．故答案为：7+．【点评】本题考查了余弦定理的应用、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈[0，]，∴x+∈[，π]，∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．20．【答案】【解析】解：（1）由|x－a|＋|x＋b|≥|（x－a）－（x＋b）|＝|a＋b|得，当且仅当（x－a）（x＋b）≤0，即－b≤x≤a时，f（x）取得最小值，∴当x∈[－b，a]时，f（x）min＝|a＋b|＝a＋b.（2）证明：由（1）知a＋b＝2，（a＋b）2＝a＋b＋2ab≤2（a＋b）＝4，∴a＋b≤2，∴f（x）≥a＋b＝2≥a＋b，即f（x）≥a＋b.21．【答案】【解析】（1）证明：∵AC=BC=AB，∴△ABC为等腰直角三角形，∵M为AB的中点，∴AM=BM=CM，CM⊥AB，∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥AC，设AM=BM=CM=1，则有AC=，AE=AC=，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：EC==，在Rt△AEM中，根据勾股定理得：EM==，∴EM2+MC2=EC2，∴CM⊥EM；（2）解：过M作MN⊥AC，可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角，则MC与平面EAC所成的角为45°．22．【答案】【解析】解：（1）由圆C 1的参数方程为（φ为参数），可得普通方程：（x ﹣2）2+y 2=4，即x 2﹣4x+y 2=0．由圆C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ，化为ρ2=4ρsin θ，∴直角坐标方程为x 2+y 2=4y ．（2）联立，解得，或．∴圆C 1与圆C 2相交，交点（0，0），（2，2）．公共弦长=．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角方程、两圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）在Rt △BEC 中，CE=1，∠EBC=30°，∴BE=，在△ADE 中，AE=BE=，DE=CE=1，∠AED=150°，由余弦定理可得AD==；（Ⅱ）∵∠ADC=∠ADE+60°，∠ABC=∠EBC+60°， ∴问题转化为比较∠ADE 与∠EBC 的大小．在△ADE 中，由正弦定理可得，∴sin ∠ADE=＜=sin30°，∴∠ADE ＜30° ∴∠ADC ＜∠ABC ．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．24．【答案】（1）f x （）在∞+∞（﹣，）上有且只有一个零点（2）证明见解析 【解析】试题分析：试题解析：（1）()()()22211x xf x e x x e x +='=++，()0f x ∴'≥，()()21xf x x ea ∴=+-在(),-∞+∞上为增函数．1a >，()010f a ∴=-<，又()1fa a =-=-，10,1a ->∴>，即0f>，由零点存在性定理可知，()f x 在(),-∞+∞上为增函数，且()00f f⋅<，()f x ∴在(上仅有一个零点。
2017-2018学年湖北省天门市、仙桃市、潜江市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年湖北省天门市、仙桃市、潜江市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．（5分）在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）设i为虚数单位，则下列命题成立的是（）A．∀a∈R，复数a﹣3﹣i是纯虚数B．在复平面内i（2﹣i）对应的点位于第三限象C．若复数z＝﹣1﹣2i，则存在复数z1，使得z•z1∈RD．x∈R，方程x2+ix＝0无解4．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2+10a1，a5＝9，则a1＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知曲线y＝x4+ax2+1在点（﹣1，f（﹣1））处切线的斜率为8，则f（﹣1）＝（）A．7B．﹣4C．﹣7D．46．（5分）（1+x）8（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）A．56B．84C．112D．1687．（5分）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．4 cm3B．5 cm3C．6 cm3D．7 cm38．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（18）的值等于（）A．B．C．D．19．（5分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3…，24这24个整数中等可能随机产生．则按程序框图正确编程运行时输出y的值为3的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三点A（1，﹣2），B（a，﹣1），C（﹣b，0）共线，则（a＞0，b＞0）的最小值为（）A．11B．10C．6D．412．（5分）已知正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．设这10条线段的长度之和是S 10，则＝（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝5，则2﹣在方向上的投影为．14．（5分）若实数x，y满足，则目标函数z＝3x﹣2y+1的最小值为．15．（5分）如图F1，F2是椭圆与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的虚轴长为．16．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点Q在线段CC1上，则线段PQ长的最小值为．三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～23为选做题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡上对应题号指定框内．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若a+c＝1，求b的取值范围．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，P A＝，连接CE并延长交AD于F（1）求证：AD⊥平面CFG；（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．19．（12分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此人到达当日空气重度污染的概率．（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望．（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大（结论不要求证明）？20．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x 轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|＝4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．21．（12分）设函数f（x）＝（x﹣1）e x﹣kx2（其中k∈R）．（Ⅰ）若k＝1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k∈（，1）时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．请考生在22，23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）已知动点P、Q都在曲线（β为参数）上，对应参数分别为β＝α与β＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|，其中a＞1（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．2017-2018学年湖北省天门市、仙桃市、潜江市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．【解答】解：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4＝5、1+5＝6、2+4＝6、2+5＝7、3+4＝7、3+5＝8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选：B．2．【解答】解：直角三角形的直角边边长分别是3和4，∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为4﹣3＝1，∴大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，由测度比为面积比，可得在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为P＝1﹣＝．故选：D．3．【解答】解：对于A，取a＝1，则a﹣3﹣i＝﹣2﹣i，不是纯虚数，故A错误；对于B，i（2﹣i）＝1+2i，其在复平面内对应的点得坐标为（1，2），在第一象限，故B 错误；对于C，当z1＝﹣1+2i时，z•z1＝5∈R，故C正确；对于D，若x∈R，由x2+ix＝0，得x＝0，0是方程x2+ix＝0的解，故D错误．故选：C．4．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3＝a2+10a1，a5＝9，∴，解得．∴．故选：C．5．【解答】解：∵y＝x4+ax2+1，∴y′＝4x3+2ax，∵曲线y＝x4+ax2+1在点（﹣1，f（﹣1））即（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，∴﹣4﹣2a＝8，∴a＝﹣6，f（﹣1）＝x4﹣6x2+1＝﹣4．故选：B．6．【解答】解：根据（1+x）8和（1+y）4的展开式的通项公式可得，x2y2的系数为•＝168，故选：D．7．【解答】解：如图三视图复原的几何体是底面为直角梯形，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB＝AD＝2，BC＝4一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，即P A⊥平面ABCD，P A＝2所以几何体的体积为：＝×（）×2×2＝4故选：A．8．【解答】解：由图可知：A＝2，T＝2（6﹣2）＝8，ω＝＝，∴f（x）＝2sin（x+φ），代入点（2，2）得sin（+φ）＝1，∴φ＝2kπ，k∈Z，∴f（x）＝2sin x，∴f（1）＝f（3）＝f（9）＝f（11）＝f（17）＝2×＝，f（2）＝f（10）＝f（18）＝2，f（4）＝f（8）＝f（12）＝f（16）＝0，f（5）＝f（7）＝f（13）＝f（15）＝﹣，f（6）＝f（14）＝﹣2∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（18）＝5×+3×2+4×0﹣4×+2×（﹣2）＝+2故选：C．9．【解答】解：模拟程序的运行，可得：x的值为：6，12，18，24时，y＝3，所以：P3＝＝．故选：C．10．【解答】解：设P（x0，y0），依题意可知抛物线准线x＝﹣1，∴x0＝9﹣1＝8，∴y0＝4，∴P（8，4），F（1，0）．∴直线PF的斜率为k＝，故选：C．11．【解答】解：∵A（1，﹣2），B（a，﹣1），C（﹣b，0）三点共线，∴＝k，∵＝（a﹣1，1），＝（﹣b﹣1，2）．∴2（a﹣1）﹣（﹣b﹣1）＝0，化为：2a+b＝1．则＝2+1＝3+（）（2a+b）＝7+．当且仅当2a＝b＝时上式“＝”成立．∴（a＞0，b＞0）的最小值为11，故选：A．12．【解答】解：由题意可得：所有正方形的边长从大到小形成等比数列：a，a，a，…，∴小虫爬行了10条线段的长度的和S10＝×＝（2+）a．故＝，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．【解答】解：∵向量，的夹角为60°，||＝2，||＝5，∴＝||||cos60°＝2×＝5，则2﹣在方向上的投影为＝＝＝．故答案为：．14．【解答】解：由题意作出实数x，y满足平面区域，将z＝3x﹣2y+1，y＝x﹣z平移y＝x﹣z，经过可行域的A时，取得最小值．由解得，A（，）；故目标函数z＝3x﹣2y+1的最小值为3×﹣2×+1＝﹣；故答案为：15．【解答】解：设|AF1|＝x，|AF2|＝y，∵点A为椭圆C1：上的点，∴2a＝4，b＝1，c＝．∴|AF1|+|AF2|＝2a＝4，即x+y＝4，①又四边形AF1BF2为矩形，∴，即x2+y2＝（2c）2＝＝12，②由①②得：，解得x＝2﹣，y＝2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m＝|AF2|﹣|AF1|＝y﹣x＝2，2n＝2c＝2，∴m＝，n＝，则C2的虚轴长为2．故答案为：2．16．【解答】解：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，∵EF CC 1，CC1⊥底面ABCD，∴四边形EFC1C是矩形．∴CC1∥EF，又EF⊂平面D1EF，CC1⊄平面D1EF，∴CC1∥平面D1EF．∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离．过点C1作C1M⊥D1F，∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1．∴C1M⊥平面D1EF．过点M作MP∥EF交D1E于点P，则MP∥C1C．取C1Q＝MP，连接PQ，则四边形MPQC1是矩形．可得QP⊥平面D1EF，在Rt△D1C1F中，C1M•D1F＝D1C1•C1F，得C1M＝＝．∴点P到直线CC1的距离的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～23为选做题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡上对应题号指定框内．17．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，即有，因为sin A≠0，∴．又cos B≠0，∴．又0＜B＜π，∴，∴．（Ⅱ）由余弦定理，有b2＝a2+c2﹣2a cos B．因为，有．又0＜a＜1，于是有，即有．18．【解答】解：（1）∵在△DAB中，E为BD的中点，EA＝EB＝AB＝1，∴AE＝BD，可得∠BAD＝，且∠ABE＝∠AEB＝∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而得到∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝∴∠EDA＝∠EAD＝，可得EF⊥AD，AF＝FD又∵△P AD中，PG＝GD，∴FG是△P AD是的中位线，可得FG∥P A∵P A⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，∴FG⊥AD又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线，∴AD⊥平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、P A分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（，，0），D（0，，0），P（0，0，）∴＝（，，0），＝（﹣，﹣，），＝（﹣，，0）设平面BCP的法向量＝（1，y1，z1），则解得y1＝﹣，z1＝，可得＝（1，﹣，），设平面DCP的法向量＝（1，y2，z2），则解得y2＝，z2＝2，可得＝（1，，2），∴cos＜，＞＝＝＝因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于﹣cos＜，＞＝﹣．19．【解答】解：（1）设A i表示事件“此人于3月i日到达城市”（i＝1，2，…，13）．根据题意，P（A i）＝，且A i∩A j＝⌀（i≠j）．设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8．所以P（B）＝P（A5∪A8）＝P（A5）+P（A8）＝．（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝1）＝P（A3∪A6∪A7∪A11）＝P（A3）+P（A6）+P（A7）+P（A11）＝，P（X＝2）＝P（A1∪A2∪A12∪A13）＝P（A1）+P（A2）+P（A12）+P（A13）＝，P（X＝0）＝1﹣P（X＝1）﹣P（X＝2）＝．所以X的分布列为故X的期望E（X）＝0×+1×+2×＝．（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．20．【解答】解：（Ⅰ）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①∵离心率，∴②联立①②得：，所以b2＝8．把b2＝8代入②得，a2＝16．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2＝r2，不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．联立，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2＝0．由△＝（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）＝0，得t2+r2＝8又P（）在椭圆上，所以．整理得，．代入t2+r2＝8，得．解得：．所以，．此时．满足椭圆上的其余点均在圆Q外．由对称性可知，当t＜0时，t＝﹣，．故所求圆Q的标准方程为．21．【解答】解：（Ⅰ）当k＝1时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣x2，f'（x）＝e x+（x﹣1）e x﹣2x＝x（e x﹣2）令f'（x）＝0，解得x1＝0，x2＝ln2＞0所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）（Ⅱ）f（x）＝（x﹣1）e x﹣kx2，x∈[0，k]，k∈（，1]．f'（x）＝xe x﹣2kx＝x（e x﹣2k），f'（x）＝0，解得x1＝0，x2＝ln（2k）令φ（k）＝k﹣ln（2k），k∈（，1]，φ′（k）＝1﹣＝≤0所以φ（k）在（，1]上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ（），∴1﹣ln2≤φ（k）＜＜k．即0＜ln（2k）＜k所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：f（0）＝﹣1，f（k）﹣f（0）＝（k﹣1）e k﹣k3﹣f（0）＝（k﹣1）e k﹣k3+1＝（k﹣1）e k﹣（k3﹣1）＝（k﹣1）e k﹣（k﹣1）（k2+k+1）＝（k﹣1）[e k﹣（k2+k+1）]∵k∈（，1]，∴k﹣1≤0．对任意的k∈（，1]，y＝e k的图象恒在y＝k2+k+1下方，所以e k﹣（k2+k+1）≤0，所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0），所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M＝f（k）＝（k﹣1）e k﹣k3．请考生在22，23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑．[选修4-4坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）．M的轨迹的参数方程为为参数，0＜α＜2π）．（2）M点到坐标原点的距离d＝（0＜α＜2π）．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．[选修4-5不等式选讲]23．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，得2≥4，无解；当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5；故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}．（2）设h（x）＝f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）＝由|h（x）|≤2得，又已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，所以，故a＝3．。
天门市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
天门市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知偶函数f （x ）满足当x ＞0时，3f （x ）﹣2f （）=，则f （﹣2）等于（ ）A ．B ．C ．D ．2． 已知幂函数y=f （x ）的图象过点（，），则f （2）的值为（ ）A ．B ．﹣C ．2D ．﹣23． 已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（ ） A ．{0}∈M B ．{0}∉M C ．0∈MD ．0⊆M4． 在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是（ ）A ．＜，乙比甲成绩稳定B ．＜，甲比乙成绩稳定C ．＞，甲比乙成绩稳定D ．＞，乙比甲成绩稳定5． 已知AC ⊥BC ，AC=BC ，D 满足=t +（1﹣t ），若∠ACD=60°，则t 的值为（ ）A ．B ．﹣C ．﹣1D ．6． 在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为1,BC BB 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）A ．直线1AAB ．直线11A B C. 直线11A D D ．直线11B C7． 抛物线y 2=2x 的焦点到直线x ﹣y=0的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．8． 给出函数()f x ，()g x 如下表，则(())f g x 的值域为（ ）A ．{}4,2B ．{}1,3C ．{}1,2,3,4D ．以上情况都有可能9． 数列{a n }满足a 1=， =﹣1（n ∈N *），则a 10=（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A 1CA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力. 11．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。
2017-2018学年湖北省天门、仙桃、潜江高二上学期期末联考数学(理)试题 扫描版
天门、仙桃、潜江2017－2018学年度第一学期期末联考高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1—5DCCBD 6—10 CBACA 11—12BC二、填空题13．020y -x =-+=y x 或 14．41 15．8 16．127三、解答题17．解：方法一：设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，将点A ，B 的坐标分别代入到方程中，解得0,1=-=D F …………………4分 联立⎩⎨⎧=-++=+-0101222Ey y x y x 消去x ，整理，得0)4(52=--y E y …………………………………………6分方程有两个相等实根，所以E =4 ………………………………………………8分故所求圆的方程为01422=-++y y x ………………………………………10分方法二：根据圆经过关于原点对称的两个点A ，B 可知圆心M 在y 轴上设),0(m M ，连AM 得半径221m R +=……………………………………………………4分圆心M 到切线的距离为d 且22215)12(m m d +=-=………………………6分 解得，2-=m ……………………………………………………………………8分故所求圆的方程为5)2(22=++y x …………………………………………10分 方法三：根据题设圆与切线相切的切点为A ，可得21)1(00--=---=lAM k m k故所求圆的方程为5)2(22=++y x …………………………………………10分18．解：已知平面βα，，直线l a l a ⊥=⊥⊂,,,βαβαα ，求证：β⊥a …………………………………………………………………………2分 证明：设A l a = ，在平面β内作射线l AB ⊥在a 上取一点C ，由l AB l a ⊥⊥,可知CAB ∠为二面角βα--l 的平面角……6分由βα⊥，所以90CAB ∠=︒………………………………………………………8分 所以,AB a ⊥又l a ⊥，A l AB = ………………………………………………10分 所以β⊥a ，故命题得证……………………………………………………………12分19．解：设生产甲种肥料x 车皮，乙种肥料y 车皮，能够产生z 万元利润，则根据题设，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00901520144y x y x y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+001834144y x y x y x ……………………………4分目标函数y x z 5.0+=………………………………………………………………5分 画出点（x ，y ）可行域联立方程组⎩⎨⎧=+=+1834144y x y x 解得⎩⎨⎧==23y x 即B （3，2）………………………………8分在两个方程中分别令x =0，y =0，得A （0，6），C （3. 5，0）将三个点的坐标分别代入目标函数求的最大利润为425.03max =⨯+=z ……11分 即生产甲种肥料3车皮，乙种肥料2车皮利润最大且最大利润为4万元………12分 20．解：（Ⅰ）证明：取AB 中点G 连EG ，GF ，在ASB ∆中SB EG //，在梯形ABCD 中BC GF //………………………………………………… 2分 所以平面//EGF 平面SBC …………………………………………………3分 所以//EF 平面SBC …………………………………………………………4分 （Ⅱ）由题设可知AD SB SA ,,两两垂直，故可以A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示。
天门市、仙桃市、潜江市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案
2018~2018学年度第二学期期末联考试题高二数学(理科)本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。
3、填空题和解答题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。
答在试卷上无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 焦点在x 轴上且渐近线方程为(34)(34)0x y x y +-=的双曲线的离心率为 A .B . 43C .54D .532．“1x >”是“11x<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件3．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4．给出下列四种说法（1）平均说来一队比二队防守技术好 （2）二队比一队技术水平更稳定（3）一队有时表现很差，有时表现又非常好 （4）二队很少失球 其中说法正确的个数有 A ．1个B . 2个C ．3个D . 4个4．登山族为了了解某山高y (km )与气温x (o C )之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：气温x (o C ) 18 13 10 -1 y (km )24343864天门 仙桃 潜江由表中数据，得到线性回归方程ˆˆˆ2()yx a a =-+∈R ，由此估计 山高为72km 处气温的度数为 A ．-4 o C B ．-6 o CC ．-8 o CD ．-10o C5．执行右边的程序框图，若8.0=p ，则输出的n ＝A ．3B ．4C ．5D ．66．圆22:20C x y x y +-+=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为A ．22440x y x y ++-+= B . 222340x y x y ++-+= C ．224340x y x y ++-+=D . 224350x y x y ++-+=7．某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选修3门，若要求两类课程中各至少一门，则不同选法共有 A . 15种B . 30种C . 42种D . 48种8．已知过曲线(a )xy x b e =+上的一点P （0，1）的切线方程为210x y -+=，则a b +=A . -1B . 0C . 1D . 29．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若低于60分 的人数是15，则该班的学生人数是 A ．45B ．50C ．55D ．6010．2018年国庆节期间，甲、乙、丙三位打工者计划回老家陪伴父母，甲、乙、丙回老家的概率分别为13，14，15，假设三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间至少有1人回老家的概率为 A .34B .25C .35D .51211. 圆22:4O x y +=与抛物线2y x =相交于A ，B 两点.由圆的劣弧AB 和抛物线弧AOB 所包络而成的区域记为Ω，在圆O 中任取一点P ，则P 点取自区域Ω中的概率为A . 1123π+B . 1146π+C . 1124π+D . 1146π+12. π为圆周率， 2.71828e =为自然对数的底数.根据函数ln ()xf x x=的单调性可得3,3,,e e ππππ这四个数中的最大数为A . e πB . e πC . 3πD . 3π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）13．已知复数z =，则11z z++= ▲ ． 14．24(12)x +的展开式中4x 的系数等于 ▲ ．15．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线22(0)y px p => 的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 ▲ ．16．一辆汽车在平直的高速公路上行驶，由于遇到紧急情况，汽车以速度4()345tv t =-（t 的单位为秒，s 的单位为米/秒）紧急刹车到停止。
湖北省武汉2017-2018学年高二数学上学期期末考试题理
2017-2018学年高二数学上学期期末考试题 理考试时间120分钟，分值150分。
第Ⅰ卷一、 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．当m ＝7，n ＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．7B ．42 C.210 D ．840 2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为 ( ) A.12 B ．13 C.14 D.223．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为 ( )A.12 B ．22 C.13 D ．164．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为 ( )A.x 23＋y 22＝1 B ．x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝15．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为 ( )A ．－105 B ．105 C ．－ 155 D ．1556．下列说法中正确的是 ( ) A ．“x >5”是“x >3”的必要条件B ．命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02＋1≤0” C ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数D ．设p 、q 是简单命题，若p ∨q 是真命题，则p ∧q 也是真命题 7．在区间[－2，1]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为( ) A.13 B ．14 C.12 D ．238．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是( )A ．平均数>中位数>众数B ．平均数<中位数<众数C ．中位数<众数<平均数D ．众数＝中位数＝平均数9．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( )A ．5，10，15，20，25B ．3，13，23，33，43C ．1，2，3，4，5D ．2，4，8，16，3210．集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23 B ．12 C.13 D ．1611．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．512．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线的斜率为( )A ．±2B ．± 2C ．±12D ．±22第II 卷二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分）13．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为________.14．已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.15．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆；②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4； ④若曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆，则1<t <52.其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．16．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．三、 解答题（本大题共6小题，共70分。
天门市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
天门市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若不等式1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，则4a ﹣2b 的取值范围是（ ）A ．[5，10]B ．（5，10）C ．[3，12]D ．（3，12）2． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33． 下列判断正确的是（）A ．①不是棱柱B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱台4． 设，为正实数，，，则=（）a b 11a b+≤23()4()a b ab -=log a b A.B. C.D.或01-11-0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力.5． 抛物线y=﹣8x 2的准线方程是（ ）A ．y=B ．y=2C ．x=D ．y=﹣26． 如图，在棱长为1的正方体中，为棱中点，点在侧面内运动，若1111ABCD A B C D -P 11A B Q 11DCC D ，则动点的轨迹所在曲线为（ ）1PBQ PBD ∠=∠QA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.7． 奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0+∞，上是单调递减，则()()210x f x f x -<--的解集为（）A ．()11-，B ．()()11-∞-+∞ ，，C ．()1-∞-，D ．()1+∞，8． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假9． 点集{（x ，y ）|（|x|﹣1）2+y 2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（）A ．B ．C ．D ．10．若变量x y ，满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）A ．-5B ．-4C.-2D ．311．圆心在直线2x ＋y ＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝（）A ．4B ．425C ．2D ．22512．已知是虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ）22aiZ i+=+A ．-2B ．1C ．2D ．3二、填空题13．已知，，与的夹角为，则 ．||2=a ||1=b 2-a 13b 3π|2|+=a b 14．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则的()0,2()4,0()7,3(),m n m n +值是．15．过原点的直线l 与函数y=的图象交于B ，C 两点，A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，则|+|= ．16．的展开式中，常数项为___________．（用数字作答）81(x x-【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.17．在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1）和点B （﹣3，4），若点C 在∠AOB 的平分线上且||=2，则= ．三、解答题18．在中已知，，试判断的形状.ABC ∆2a b c =+2sin sin sin A B C =ABC ∆19．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx ，g （x ）=（a 1x xe -．∈R ，e 为自然对数的底数）（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数f （x ）在上无零点，求a 的最小值；10,2⎛⎫⎪⎝⎭（Ⅲ）若对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使得f （x i ）=g （x 0）成立，求a 的取值范围．20．若f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ，y ＞0，满足f （）=f （x ）﹣f （y ）（1）求f （1）的值，（2）若f （6）=1，解不等式f （x+3）﹣f （）＜2．21．（本小题满分12分）已知函数，数列满足：，（）.21()x f x x +={}n a 12a =11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭N n *∈（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设数列的前项和为，求数列的前项和.{}n a n n S 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.22．已知命题p ：∀x ∈[2，4]，x 2﹣2x ﹣2a ≤0恒成立，命题q ：f （x ）=x 2﹣ax+1在区间上是增函数．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．23．如图，四棱锥中，，P ABC -,//,3,PA BC 4PA ABCD AD BC AB AD AC ⊥=====M 为线段上一点，为的中点．AD 2,AM MD N =PC（1）证明：平面；//MN PABAN PMN（2）求直线与平面所成角的正弦值；天门市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】解：令4a ﹣2b=x （a ﹣b ）+y （a+b ）即解得：x=3，y=1即4a ﹣2b=3（a ﹣b ）+（a+b ）∵1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，∴3≤3（a ﹣b ）≤6∴5≤（a ﹣b ）+3（a+b ）≤10故选A【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a ﹣2b=x （a ﹣b ）+y （a+b ），并求出满足条件的x ，y ，是解答的关键． 2． 【答案】B 【解析】111]试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B ．考点：几何体的结构特征．3． 【答案】C【解析】解：①是底面为梯形的棱柱；②的两个底面不平行，不是圆台；③是四棱锥；④不是由棱锥截来的，故选：C ． 4． 【答案】B.【解析】，故2323()4()()44()a b ab a b ab ab -=⇒+=+11a b a b ab++≤⇒≤，而事实上，2322()44()1184()82()()a b ab ab ab ab ab ab ab ab ++⇒≤⇒=+≤⇒+≤12ab ab +≥=∴，∴，故选B.1ab =log 1a b =-5． 【答案】A【解析】解：整理抛物线方程得x 2=﹣y ，∴p=∵抛物线方程开口向下，∴准线方程是y=，故选：A ．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置． 6． 【答案】C.【解析】易得平面，所有满足的所有点在以为轴线，以所在直//BP 11CC D D 1PBD PBX ∠=∠X BP 1BD 线为母线的圆锥面上，∴点的轨迹为该圆锥面与平面的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆Q 11CC D D 锥面得到的图形是双曲线，∴点的轨迹是双曲线，故选C.Q 7． 【答案】B 【解析】试题分析：由()()()()()212102102x x x f x f x f x f x --<⇒⇒-<--，即整式21x -的值与函数()f x 的值符号相反，当0x >时，210x ->；当0x <时，210x -<，结合图象即得()()11-∞-+∞ ，，．考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式.8． 【答案】B【解析】解：若命题“p 或q ”为真，则p 真或q 真，若“非p ”为真，则p 为假，∴p 假q 真，故选：B ．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．9． 【答案】A【解析】解：点集{（x ，y ）|（|x|﹣1）2+y 2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x ，y 轴对称，如图所示．由图可得面积S==+=+2．故选：A ．【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．10．【答案】B 【解析】试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系31y 22x z =+，直线系在可行域内的两个临界点分别为)2,0(A 和)0,1(C ，当直线过A 点时，32224z x y =-=-⨯=-，当直线过C 点时，32313z x y =-=⨯=，即的取值范围为]3,4[-，所以Z 的最小值为4-.故本题正确答案为B.考点：线性规划约束条件中关于最值的计算.11．【答案】【解析】选D.设圆的方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0）．由题意得，{2a ＋b ＝0（－1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2（2－a ）2＋（2－b ）2＝r 2)解之得a ＝－1，b ＝2，r ＝3，∴圆的方程为（x ＋1）2＋（y －2）2＝9，令y ＝0得，x ＝－1±，5∴|MN |＝|（－1＋）－（－1－）|＝2，选D.55512．【答案】A 【解析】试题分析：，对应点在第四象限，故，A 选项正确.()()()()2224(22)2225ai i ai a a ii i i +-+++-==++-40220a a +>⎧⎨-<⎩考点：复数运算．二、填空题13．【答案】2【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．与的夹角为，，a b 23π1⋅=-a b∴．|2|+=a b 2==14．【答案】345【解析】考点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.15．【答案】 4 ．【解析】解：由题意可得点B 和点C 关于原点对称，∴|+|=2||，再根据A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，可得A （0，﹣2），∴2||=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|+|=2||是解题的关键．16．【答案】70【解析】的展开式通项为，所以当时，常数项为81(x x -8821881((1)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-4r =.448(1)70C -=17．【答案】 （﹣，） ．【解析】解：∵，，设OC 与AB 交于D （x ，y ）点则：AD ：BD=1：5即D 分有向线段AB 所成的比为则解得：∴又∵||=2∴=（﹣，）故答案为：（﹣，）【点评】如果已知，有向线段A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．及点C 分线段AB 所成的比，求分点C 的坐标，可将A ，B 两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．三、解答题18．【答案】为等边三角形．ABC ∆【解析】试题分析：由，根据正弦定理得出，在结合，可推理得到，2sin sin sin A B C =2a bc =2abc =+a b c ==即可可判定三角形的形状．考点：正弦定理；三角形形状的判定．19．【答案】（1） f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2） 函数f （x ）在 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2；（3）a 的范围是.3,21e ⎛⎤-∞-⎥-⎝⎦【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入到f （x ）中求出f ′（x ），令f ′（x ）＞0求出x 的范围即为函数的增区间，令f ′（x ）＜0求出x 的范围即为函数的减区间；（Ⅱ）f （x ）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，）上无零点，只需要对x ∈（0，）时f （x ）＞12120恒成立，列出不等式解出a 大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a 的最小值；试题解析：（1）当a=1时，f （x ）=x ﹣1﹣2lnx ，则f ′（x ）=1﹣，由f ′（x ）＞0，得x ＞2；由f ′（x ）＜0，得0＜x ＜2．故f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2）因为f （x ）＜0在区间上恒成立不可能，故要使函数上无零点，只要对任意的，f （x ）＞0恒成立，即对恒成立．令，则，再令，则，故m （x ）在上为减函数，于是，从而，l （x ）＞0，于是l （x ）在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要a ∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数f （x ）在 上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2；10,2⎛⎫⎪⎝⎭（3）g ′（x ）=e 1﹣x ﹣xe 1﹣x =（1﹣x ）e 1﹣x ，当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增；当x ∈（1，e]时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减．又因为g （0）=0，g （1）=1，g （e ）=e •e 1﹣e ＞0，所以，函数g （x ）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不合题意；当a ≠2时，f ′（x ）=，x ∈（0，e]当x=时，f ′（x ）=0．由题意得，f （x ）在（0，e]上不单调，故，即①此时，当x 变化时，f ′（x ），f （x ）的变化情况如下：x （0，）（，e]f ′（x ）﹣0+f （x ）↘最小值↗又因为，当x →0时，2﹣a ＞0，f （x ）→+∞，，所以，对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使得f （x i ）=g （x 0）成立，当且仅当a 满足下列条件：即令h （a ）=，则h，令h ′（a ）=0，得a=0或a=2，故当a ∈（﹣∞，0）时，h ′（a ）＞0，函数h （a ）单调递增；当时，h ′（a ）＜0，函数h （a ）单调递减．所以，对任意，有h （a ）≤h （0）=0，即②对任意恒成立．由③式解得：．④综合①④可知，当a 的范围是 时，对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的3,21e ⎛⎤-∞-⎥-⎝⎦x i （i=1，2），使f （x i ）=g （x 0）成立．20．【答案】【解析】解：（1）在f （）=f （x ）﹣f （y ）中，令x=y=1，则有f （1）=f （1）﹣f （1），∴f （1）=0；（2）∵f （6）=1，∴2=1+1=f （6）+f （6），∴不等式f （x+3）﹣f （）＜2等价为不等式f （x+3）﹣f （）＜f （6）+f （6），∴f （3x+9）﹣f （6）＜f （6），即f （）＜f （6），∵f （x ）是（0，+∞）上的增函数，∴，解得﹣3＜x ＜9，即不等式的解集为（﹣3，9）． 21．【答案】【解析】（1）∵，∴. 211()2x f x x x +==+11(2n n na f a a +==+即，所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列， 12n n a a +-={}n a ∴. （5分）1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=（2）∵数列是等差数列，{}n a ∴，1()(22)(1)22n n a a n n nS n n ++===+∴. （8分）1111(1)1n S n n n n ==-++∴1231111n n T S S S S =++++11111111(()()()1223341n n =-+-+-++-+ . （12分）111n =-+1nn =+22．【答案】【解析】解：∀x ∈[2，4]，x 2﹣2x ﹣2a ≤0恒成立，等价于a ≥x 2﹣x 在x ∈[2，4]恒成立，而函数g （x ）=x 2﹣x 在x ∈[2，4]递增，其最大值是g （4）=4，∴a ≥4，若p 为真命题，则a ≥4；f （x ）=x 2﹣ax+1在区间上是增函数，对称轴x=≤，∴a ≤1，若q 为真命题，则a ≤1；由题意知p 、q 一真一假，当p 真q 假时，a ≥4；当p 假q 真时，a ≤1，所以a 的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）． 23．【答案】（1）证明见解析；（2.【解析】试题解析：（2）在三角形中，由，得AMC 22,3,cos 3AM AC MAC ==∠=，2222cos 5CM AC AM AC AN MAC =+-∠=A A ，则，222AM MC AC +=AM MC ⊥∵底面平面，PA ⊥,ABCD PA ⊂PAD∴平面平面，且平面平面，ABCD ⊥PAD ABCD PAD AD =∴平面，则平面平面，CM ⊥PAD PNM ⊥PAD 在平面内，过作，交于，连结，则为直线与平面所成角。
天门市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学测试卷
天门市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 半径R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A ．πR 3B ．πR 3C ．πR 3D ．πR 32． 如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：① //BD 平面11D CB ；② BD AC ⊥1；③ ⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．3． 若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线： 011=-+y x 和2l ：01=-+y x 上移动，则AB 中点M 所在直线方程为（ ）A ．06=--y xB ．06=++y xC ．06=+-y xD ．06=-+y x4． 已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（ ）A ．240x y +-=B ．240x y --=C ．20x y +-=D ．20x y --=5． 圆222(2)x y r -+=（0r >）与双曲线2213y x -=的渐近线相切，则r 的值为（ ）A B ．2 C D ．【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．6． 设F 1，F 2分别是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若∠F 1PQ=60°，|PF 1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A．B．C．D．6N=，则输出的S的值是（）8．在下面程序框图中，输入44A．251B．253C．255D．260【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类. 9．已知直线a平面α，直线b⊆平面α，则（）A ．a bB ．与异面C ．与相交D ．与无公共点10．在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是（ ）A ．＜，乙比甲成绩稳定B ．＜，甲比乙成绩稳定C ．＞，甲比乙成绩稳定D ．＞，乙比甲成绩稳定11．高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（ ）A ．112B ．114C ．116D ．12012．已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ）A ．14 B ．18 C ．23 D ．112 二、填空题13．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1sin 3BAM ∠=，则AC 的长为_________.14．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（为自然对数的底数），若，则实数 的取值范围为______．15．已知复数，则1+z 50+z 100= ．16．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视如图是一个圆，那么该几何体的体积是 ．17．（若集合A ⊊{2，3，7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有 个．18．在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则= ．三、解答题19．已知函数（a ≠0）是奇函数，并且函数f （x ）的图象经过点（1，3），（1）求实数a ，b 的值； （2）求函数f （x ）的值域．20．（本题满分15分）正项数列}{n a 满足121223+++=+n n n n a a a a ，11=a ． （1）证明：对任意的*N n ∈，12+≤n n a a ；（2）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的*N n ∈，32121<≤--n n S ．【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.21．已知函数f （x ）=ax 3+bx 2﹣3x 在x=±1处取得极值．求函数f （x ）的解析式．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ-=，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)p p ρθθ=>．（1）设t 为参数，若2x =-+，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于,P Q ，设(2,4)M --，且2||||||PQ MP MQ =⋅，求实数p 的值．23．已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k （k ≠0）的直线l 与x 轴，椭圆C 顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF 1F 2=∠PF 1Q ，求证：直线l 过定点，并求出斜率k 的取值范围．24．（本小题满分12分）如图所示，已知⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ，ACD ∆为等边 三角形,AB DE AD 2==，F 为CD 的中点. （1）求证：//AF 平面BCE ； （2）平面⊥BCE 平面CDE .天门市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】解：2πr=πR ，所以r=，则h=，所以V=故选A2． 【答案】D 【解析】考点：1.线线，线面，面面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.【方法点睛】本题考查了立体几何中的命题，属于中档题型，多项选择题是容易出错的一个题，当考察线面平行时，需证明平面外的线与平面内的线平行，则线面平行，一般可构造平行四边形，或是构造三角形的中位线，可证明线线平行，再或是证明面面平行，则线面平行，一般需在选取一点，使直线与直线外一点构成平面证明面面平行，要证明线线垂直，可转化为证明线面垂直，需做辅助线，转化为线面垂直. 3． 【答案】D 【解析】考点：直线方程 4． 【答案】D【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的中点坐标为(4,2).由2114y x =，2224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，而1222y y +=，∴12121y y x x -=-，∴直线MN的方程为24y x -=-，即20x y --=，选D ． 5． 【答案】C6． 【答案】 D【解析】解：设|PF 1|=t ， ∵|PF 1|=|PQ|，∠F 1PQ=60°， ∴|PQ|=t ，|F 1Q|=t ，由△F 1PQ 为等边三角形，得|F 1P|=|F 1Q|， 由对称性可知，PQ 垂直于x 轴，F 2为PQ 的中点，|PF 2|=，∴|F 1F 2|=，即2c=，由椭圆定义：|PF 1|+|PF 2|=2a ，即2a=t=t ，∴椭圆的离心率为：e===．故选D ．7． 【答案】B【解析】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，设底面边长为a，则，∴a=6，故三棱柱体积．故选B【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．8．【答案】B9．【答案】D【解析】试题分析：因为直线a平面α，直线b⊆平面α，所以//a b或与异面，故选D.考点：平面的基本性质及推论.10．【答案】A【解析】解：由茎叶图可知=（77+76+88+90+94）=，=（75+86+88+88+93）==86，则＜，乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，故选：A【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．11．【答案】B【解析】解：根据频率分布直方图，得；该班级数学成绩的平均分是=80×0.005×20+100×0.015×20+120×0.02×20+140×0.01×20=114．故选：B ．【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目．12．【答案】C 【解析】试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202303-=-.故本题答案选C. 考点：几何概型．二、填空题13．【答案】2 【解析】考点：1、正弦定理及勾股定理；2诱导公式及直角三角形的性质.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质，属于难题，高考三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可， 对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小，有时也要考虑特殊三角形的特殊性质（如正三角形，直角三角形等）.14．【答案】【解析】令，则所以为奇函数且单调递增，因此即点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内15．【答案】i．【解析】解：复数，所以z2=i，又i2=﹣1，所以1+z50+z100=1+i25+i50=1+i﹣1=i；故答案为：i．【点评】本题考查了虚数单位i的性质运用；注意i2=﹣1．16．【答案】．【解析】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，其底面半径为1，且其高为正三角形的高由于此三角形的高为，故圆锥的高为此圆锥的体积为=故答案为【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．17．【答案】6【解析】解：集合A为{2，3，7}的真子集有7个，奇数3、7都包含的有{3，7}，则符合条件的有7﹣1=6个．故答案为：6【点评】本题考查集合的子集问题，属基础知识的考查．18．【答案】1．【解析】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）∵函数是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）∴，∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0（3分）又函数f（x）的图象经过点（1，3），∴f（1）=3，∴，∵b=0，∴a=2（6分）（2）由（1）知（7分）当x＞0时，，当且仅当，即时取等号（10分）当x＜0时，，∴当且仅当，即时取等号（13分）综上可知函数f（x）的值域为（12分）【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．20．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.21．【答案】【解析】解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，即，解得a=1，b=0．∴f（x）=x3﹣3x．【点评】本题考查了导数和函数极值的问题，属于基础题．22．【答案】【解析】【命题意图】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程的几何意义的应用，意在考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．23．【答案】【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的离心率为，即有=，即a=c，b==c，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x2+y2=b2，直线y=x+与圆相切，则有=1=b，即有a=，则椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）证明：设Q（x1，y1），R（x2，y2），F1（﹣1，0），由∠RF1F2=∠PF1Q，可得直线QF1和RF1关于x轴对称，即有+=0，即+=0，即有x1y2+y2+x2y1+y1=0，①设直线PQ：y=kx+t，代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2=0，判别式△=16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，即为t2﹣2k2＜1②x1+x2=，x1x2=，③y1=kx1+t，y2=kx2+t，代入①可得，（k+t）（x1+x2）+2t+2kx1x2=0，将③代入，化简可得t=2k，则直线l的方程为y=kx+2k，即y=k（x+2）．即有直线l恒过定点（﹣2，0）．将t=2k代入②，可得2k2＜1，解得﹣＜k＜0或0＜k＜．则直线l的斜率k的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．24．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）推导出BCAC⊥,1CCAC⊥，从而⊥AC平面11BBCC，连接11,NACA，则NAB,,1三点共线，推导出MNCNBACN⊥⊥,1，由线面垂直的判定定理得⊥CN平面BNM；（2）连接1AC交1CA于点H，推导出1BAAH⊥，1BAHQ⊥，则AQH∠是二面角CBAA--1的平面角．由此能求出二面角1BBNC--的余弦值．试题解析：（1）如图，取CE的中点G，连接BGFG,. ∵F为CD的中点，∴DEGF//且DEGF21=. ∵⊥AB平面ACD，⊥DE平面ACD，∴DEAB//，∴ABGF//.又DEAB21=，∴ABGF=. ∴四边形GFAB为平行四边形，则BGAF//. （4分）∵⊄AF平面BCE，⊂BG平面BCE，∴//AF平面BCE（6分）考点：直线与平面平行和垂直的判定．。
2017-2018学年湖北省部分重点中学高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)
2017-2018学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：∃x0∈R，x02﹣5x0+6＜0，则（）A．¬p：∃x0∈R，B．¬p：∃x0∉R，C．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6＞0 D．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6≥02．（5分）已知命题p：经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x ﹣x0）表示，命题q：直线xtan+y﹣7=0的倾斜角是，则下列命题是真命题的为（）A．（¬p）∧q B．p∧q C．p∨（¬q）D．（¬P）∧（¬q）3．（5分）p：x≠2或y≠3；q：x+y≠5，则（）A．p是q的充分非必要条件B．p是q的必要非充分条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y=0与直线2mx+y+2﹣m=0（m∈R）的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能5．（5分）曲线x2+y2=2|x|+2|y|所围成的图形的面积为（）A．6+2πB．6+4πC．8+2πD．8+4π6．（5分）设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．B．[1，12] C．D．[2，12]7．（5分）斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（）A．2 B．C．D．8．（5分）已知过点（0，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A、B两点，若，则点P的轨迹方程是（）A．B．x2+（y﹣1）2=1 C．D．x2+（y﹣1）2=2 9．（5分）已知两点A（﹣1，0），B（0，1），点P是椭圆上任意一点，则点P到直线AB的距离最大值为（）A．B．C．6 D．10．（5分）已知直线l：y=kx+1过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=1截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）设椭圆C的两个焦点是F1、F2，过F1的直线与椭圆C交于P、Q，若|PF2|=|F1F2|，且5|PF1|=6|F1Q|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2=1和点，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过点P（1，2），并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是．14．（5分）已知圆x2+y2=16，直线l：，圆上至少有三个点到直线l的距离都是2，则m的取值范围是．15．（5分）椭圆mx2+y2=1的离心率是，则它的长轴长是．16．（5分）过点M（0，1）的直线l交椭圆C：于A，B两点，F1为椭圆的左焦点，当△ABF1周长最大时，直线l的方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知△ABC的顶点A（6，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣7=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣6=0．（1）求点C的坐标；（2）求直线BC的方程．18．（12分）已知中心在原点的椭圆，右焦点（1，0），且过．（1）求椭圆的标准方程；（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．19．（12分）为迎接2017年“双11”，“双12”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共100个，生产一个汤碗需5分钟，生产一个花瓶需7分钟，生产一个茶杯需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个汤碗可获利润5元，生产一个花瓶可获利润6元，生产一个茶杯可获利润3元．（1）使用每天生产的汤碗个数x与花瓶个数y表示每天的利润ω（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？20．（12分）过点（0，2）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称．（1）求直线l的方程；（2）求椭圆C的方程．21．（12分）在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+mx﹣3的图象与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0，1）．当m变化时，解答下列问题：（1）以AB为直径的圆能否经过点C？说明理由；（2）过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．22．（12分）已知圆M：和点，动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B，C在曲线E上，若直线AB，AC 的斜率分别是k1，k2，满足k1•k2=9，求△ABC面积的最大值．2017-2018学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：∃x0∈R，x02﹣5x0+6＜0，则（）A．¬p：∃x0∈R，B．¬p：∃x0∉R，C．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6＞0 D．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6≥0【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题p：∃x0∈R，x02﹣5x0+6＜0，则¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6≥0，故选：D．2．（5分）已知命题p：经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x ﹣x0）表示，命题q：直线xtan+y﹣7=0的倾斜角是，则下列命题是真命题的为（）A．（¬p）∧q B．p∧q C．p∨（¬q）D．（¬P）∧（¬q）【解答】解：直线的斜率不存在时，不能表示，故p是假命题；直线xtan+y﹣7=0的斜率是﹣，故倾斜角是，故q是真命题，故（￢p）∧q是真命题，故选：A．3．（5分）p：x≠2或y≠3；q：x+y≠5，则（）A．p是q的充分非必要条件B．p是q的必要非充分条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【解答】解：若p成立，例如x=4，y=1当q不成立，反之，若x=2且y=3则x+y=5是真命题，所以若x+y≠5则x≠2或y≠3是真命题，所以p是q的必要而不充分条件，故选：B．4．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y=0与直线2mx+y+2﹣m=0（m∈R）的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能【解答】解：根据题意，直线的方程为2mx+y+2﹣m=0，即m（2x﹣1）+y+2=0，则直线恒过点（，﹣2），圆x2+y2﹣4x+6y=0的标准方程为（x﹣2）2+（y+3）2=13，其圆心为（2，﹣3），半径为，分析可得点（，﹣2）在圆内，则直线与圆相交；故选：C．5．（5分）曲线x2+y2=2|x|+2|y|所围成的图形的面积为（）A．6+2πB．6+4πC．8+2πD．8+4π【解答】解：由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当x≥0，y≥0时，解析式为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故可得此曲线所围的力图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，所围成的面积是2×2+4××π×=8+4π故选：D．6．（5分）设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．B．[1，12] C．D．[2，12]【解答】解：设k==1+2•，则k的几何意义是动点P（x，y）到定点D（﹣1，﹣2）的斜率的2倍再加1，作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由图象可知AD的斜率最大，CD的斜率最小，∵A（0，4），∴k==13，，解得C（，）CD直线斜率k==，则的取值范围是：．故选：A．7．（5分）斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：设直线l的方程为y=x+t，代入，消去y得4x2+6tx+3t2﹣3=0，A，B两点的横坐标为：x1，x2；x1+x2=﹣，x1x2=，由题意得△=（6t）2﹣16（3t2﹣3）＞0，即t2＜4．弦长|AB|==×=≤．当且仅当t=0时取得最大值．故选：C．8．（5分）已知过点（0，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A、B两点，若，则点P的轨迹方程是（）A．B．x2+（y﹣1）2=1 C．D．x2+（y﹣1）2=2【解答】解：设动点P（x，y）及圆上点A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（x，y）=（x1+x2，y1+y2），当直线l的斜率不存在时，P（0，0）；当直线l的斜率存在时，设过定点（0，1）的直线l：y=kx+1，代入x2+y2=4，可得（1+k2）x2+2kx﹣3=0，∴x1+x2=﹣，∴y1+y2=k（x1+x2）+2=+2=，∴x=﹣，y=，消去参数k得：x2+（y﹣1）2=1（y≠0）．验证（0，0）满足上式，∴动点P的轨迹方程为：x2+（y﹣1）2=1故选：B．9．（5分）已知两点A（﹣1，0），B（0，1），点P是椭圆上任意一点，则点P到直线AB的距离最大值为（）A．B．C．6 D．【解答】解：由两点A（﹣1，0 ），B（0，1），则直线AB的方程为y=x+1，由图知，直线y=x+m（m＜0）和椭圆相切于P点时，到AB的距离最大．联立方程得到，整理得25x2+32mx+16m2﹣144=0由于直线y=x+m和椭圆相切，则△=（32m）2﹣4×25×（16m2﹣144）=0解得m=﹣5由于y=x+1与直线y=x﹣5的距离为d==3，则点P到直线AB距离的最大值为：3．故选：A．10．（5分）已知直线l：y=kx+1过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=1截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心到直线l：y=kx+1的距离为d=，∵直线l：y=kx+1被圆x2+y2=1截得的弦长为L，L≥，∴由垂径定理，得2≥，即2≥，解得d2≤，∴，解得k2≥．∵直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，∴b=1且c==﹣，即a2=1+，∴椭圆的离心率e满足e2==，∵k2≥，∴0＜=，得e∈（0，]．故选：A．11．（5分）设椭圆C的两个焦点是F1、F2，过F1的直线与椭圆C交于P、Q，若|PF2|=|F1F2|，且5|PF1|=6|F1Q|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆（a＞b＞0），F 1（﹣c，0），F2（c，0），5|PF1|=6|F1Q|，设|PF1|=6m，|F1Q|=5m，由椭圆的定义可得|QF2|=2a﹣|QF1|=2a﹣5m，|PF2|=|F1F2|=2c，可得2c=2a﹣6m．即a﹣c=3m，①取PF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥PQ，由勾股定理可得|PF2|2﹣|PK|2=|QF2|2﹣|QK|2，即为4c2﹣9m2=（2a﹣5m）2﹣64m2，化简即为2a2﹣2c2=10am+15m2=，可得：6a+6c=15a﹣5c即9a=11c则离心率e==．故选：D．12．（5分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2=1和点，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为（）A．B．C． D．【解答】解：如图，取点K（﹣2，0），连接OM、MK．∵OM=1，OA=，OK=2，∴==2，∵∠MOK=∠AOM，∴△MOK∽△AOM，∴==2，∴MK=2MA，∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|，在△MBK中，|MB|+|MK|≥|BK|，∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，∵B（1，1），K（﹣2，0），∴|BK|==．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过点P（1，2），并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是x ﹣y+1=0或2x﹣y=0．【解答】解：直线经过原点时满足条件：直线方程为：y=2x．直线不经过原点时，设直线方程为：x﹣y=a，把点P（1，2）代入可得：1﹣2=a，解得a=﹣1．∴直线方程为：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0或2x﹣y=0．14．（5分）已知圆x2+y2=16，直线l：，圆上至少有三个点到直线l的距离都是2，则m的取值范围是﹣4≤m≤4．【解答】解：由圆C的方程：x2+y2=16，可得圆C的圆心为原点O（0，0），半径为4；若圆上至少有三个点到直线l：y=x+m的距离等于2，则满足O到直线l的距离d≤2，∵直线l的一般方程为：x﹣y+m=0，∴d==≤2，解得﹣4≤m≤4，∴m的取值范围是﹣4≤m≤4．故答案为：﹣4≤m≤4．15．（5分）椭圆mx2+y2=1的离心率是，则它的长轴长是2或4．【解答】解：把椭圆mx2+y2=1方程转化为：+y2=1分两种情况：①＞1，即m＜1，椭圆的焦点坐标在x轴，椭圆的离心率则：解得：m=，椭圆的长轴长为：4．②＜1，即m＞1，椭圆的焦点坐标在y轴，椭圆的离心率则：，解得：m=4，椭圆的长轴长为：2．故答案为：2或4．16．（5分）过点M（0，1）的直线l交椭圆C：于A，B两点，F1为椭圆的左焦点，当△ABF1周长最大时，直线l的方程为x+2y﹣2=0．【解答】解：设右焦点为F2（2，0），则AF1=6﹣AF2，BF1=6﹣BF2，所以AF1+BF1+AB=12+AB﹣（AF2+BF2），显然AF 2+BF2≥AB，当且仅当A，B，F2共线时等号成立，所以当直线l过点F2时，△ABF1的周长取最大值12，此时直线方程为=，即x+2y﹣2=0．故答案为：x+2y﹣2=0三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知△ABC的顶点A（6，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣7=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣6=0．（1）求点C的坐标；（2）求直线BC的方程．【解答】解：（1）依题意知：k AC=﹣2，A（6，1），∴l AC方程为：2x+y﹣13=0，联立l AC、l CM得，∴C（5，3）．（2）设B（x0，y0），AB的中点M为（，），代入2x﹣y﹣7=0，得2x0﹣y0﹣3=0，∴，∴B（0，﹣3），∴k BC=，∴直线BC的方程为y=x﹣3，即6x﹣5y﹣15=0．18．（12分）已知中心在原点的椭圆，右焦点（1，0），且过．（1）求椭圆的标准方程；（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为：=1，∵椭圆过（，0），∴=1，即a2=3，∴椭圆方程为：．（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则由y=2x+b 且得：14x2+12bx+3b2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，即x=，y=，两式消掉b得y=x．又弦的中点在椭圆内部，所以，，∴﹣，故平行弦中点轨迹方程为：y=x（﹣）．19．（12分）为迎接2017年“双11”，“双12”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共100个，生产一个汤碗需5分钟，生产一个花瓶需7分钟，生产一个茶杯需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个汤碗可获利润5元，生产一个花瓶可获利润6元，生产一个茶杯可获利润3元．（1）使用每天生产的汤碗个数x与花瓶个数y表示每天的利润ω（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）依题意每天生产的茶杯个数为100﹣x﹣y，所以利润ω=5x+6y+3（100﹣x﹣y）=2x+3y+300．（2）约束条件为整理得目标函数为ω=2x+3y+300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x+3y=0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，由得∴最优解为A（50，50），此时ωmax=550元．故每天生产汤碗50个，花瓶50个，茶杯0个时利润最大，且最大利润为550元．20．（12分）过点（0，2）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称．（1）求直线l的方程；（2）求椭圆C的方程．【解答】解：由e==，得，从而a2=2b2，c=b，设椭圆方程为x2+2y2=2b2，A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，则x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，两式相减得，（x12﹣x22）+2（y12﹣y22）=0，=﹣设AB中点为（x0，y0），则k AB=﹣又（x0，y0），在直线上，，于是：k AB=﹣=﹣1，则直线l的方程为y=﹣x+2．（2）右焦点（b，0）关于直线l的对称点设为：（x′，y′），则解得，由点（2，2﹣b）在椭圆上，得4+2（2﹣b）2=2b2，b2=，a2=，∴所求椭圆C的方程的方程为：．21．（12分）在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+mx﹣3的图象与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0，1）．当m变化时，解答下列问题：（1）以AB为直径的圆能否经过点C？说明理由；（2）过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）以AB为直径的圆不经过点C，理由如下：二次函数y=x2+mx﹣3的图象与x轴交于A，B两点，设A（x1，0），B（x2，0），则x1x2=﹣3，又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为=﹣，所以不能出现AC⊥BC的情况，以AB为直径的圆不经过点C．（2）设过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），将A，B，C三点坐标带入，得x12+Dx1+F=0，x22+Dx2+F=0，1+E+F=0．∴x1x2=﹣3=F，从而E=2，∴圆的方程为x2+y2+Dx+2y﹣3=0，令x=0，得y2+2y﹣3=0，∴y1=﹣3，y2=1，进而得到圆在y轴上截得的弦长是定值为4．22．（12分）已知圆M：和点，动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B，C在曲线E上，若直线AB，AC 的斜率分别是k1，k2，满足k1•k2=9，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）圆M：的圆心为M（0，﹣），半径为2，点N（0，），在圆M内，因为动圆P经过点N且与圆M相切，所以动圆P与圆M内切．设动圆P半径为r，则2=|PM|．因为动圆P经过点N，所以r=|PN|，|PM|+|PN|=＞|MN|，所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为2的椭圆．由a=，c=，得b2=3﹣2=1，所以曲线E的方程为：．（2）直线BC斜率为0时，不合题意；设B（x1，y1），C（x2，y2），直线BC：x=ty+m，联立方程组，得（1+3t2）y2+6mty+3m2﹣3=0，y1+y2=，y1y2=，又k1k2=9，知y1y2=9（x1﹣1）（x2﹣1）=9（ty1﹣1+m）（ty2﹣1+m）=9t2y1y2+9（m﹣1）t（y1+y2）+9（m﹣1）2．且m≠1，y1+y2=，y1y2=，代入化简得（9t2﹣1）（m+1）﹣18mt2+3（m﹣1）（1+3t2）=0，解得m=2，故直线BC过定点（2，0），由△＞0，解得t2＞1，S△ABC=|y2﹣y1|===，（当且仅当时取等号）．综上，△ABC面积的最大值为：．。
湖北省天门中学2017-2018学年高二10月月考化学试题 Word版含答案
湖北省天门中学2016级保送班高二10月考试化学试卷可能用到的相对原子质量：H 1 C 12N 14O 16 S 32一、选择题（本题共48分，每小题3分。
每小题只有一个选项符合题目要求。
）1.化学与生产、生活密切相关,下列说法正确的是()A.石油的分馏和煤的液化都是物理变化B.聚乙烯塑料的老化是因为发生了加成反应C.沼气是可再生能源,电能是二次能源D.煤中含有苯、甲苯、二甲苯等芳香烃,可通过干馏制取2．下列化学用语中表示错误的是() A．对硝基苯酚的结构简式：B．甲烷的比例模型：D．乙二酸的实验式：CHO23．丙烷的分子结构可简写成键线式结构∧，有机物A的键线式结构为，有机物B与等物质的量的H2发生加成反应可得到有机物A。
下列有关说法错误的是() A．有机物A的一氯代物只有4种B．用系统命名法命名有机物A，名称为2,2,3－三甲基戊烷C．有机物A的分子式为C8H18D．B的结构可能有3种，其中一种的名称为3,4,4－三甲基－2－戊烯4.分析下表中各项的排布规律,有机物X是按此规律排布的第19项,下列有关X的组成、性质的说法中肯定错误的是()①是戊酸②是戊醇③是丁酸甲酯④在稀硫酸中易变质⑤一定能与钠反应A.②⑤B.①③④C.③④D.②③⑤5．某有机物的结构简式为，它可发生的有机反应的正确组合是()①取代②加成③消去④水解⑤酯化⑥中和⑦氧化⑧缩聚A．①②③⑤⑥B．②③④⑥⑧C．①②③⑤⑥⑦⑧D．④⑤⑥⑦⑧6.下列有关有机物的叙述不正确的是()A.C4H8O的醛有2种结构B.异丁烷的一氯代物有2种C.甲苯的一氯代物有4种D.14.5 g某烷烃完全燃烧生成1.25 mol H2O,该烃的一氯代物不考虑立体异构共有5种7.物质X的结构简式如图所示,它常被用于制香料或作为饮料酸化剂,在医学上也有广泛用途。
下列关于物质X的说法正确的是()A.X的分子式为C6H7O7B.X分子内所有原子均在同一平面内C.1 mol物质X最多可以和3 mol氢气发生加成反应D.足量的X分别与等物质的量的NaHCO3、Na2CO3反应得到的气体的物质的量相同8．下列有关有机物的组成和结构的说法正确的是()A．金刚烷()的分子式为C10H14B．聚丙烯的结构简式为—CH3—CH—CH2]n—C．分子式为CH4O和C2H6O的物质一定互为同系物D．环戊二烯()分子中最多有9个原子在同一平面9.设N A为阿伏加德罗常数的值，下列有关叙述不正确的是（）A. 1mol甲基（—CH3）所含的电子数为9N AB. 1mol乙烯分子中含有极性键数为4N AC. 标准状况下，22.4L庚烷完全燃烧所生成的气态产物的分子数为7N AD. 常温下，1mol乙醇可与足量的Na反应生成H2的分子数为0.5N A10．有机物燃烧时可能产生一定量的黑烟，下列各组有机物在相同的外界条件下燃烧时，产生的黑烟最浓的一组是()A．CH3—CH2OH和H2 B．CH4和CH3CH2CH3C．CH2===CH2和CH2===CH—CH3 D．和H—C≡C—H11．下列化学实验，能达到实验目的的是( )A．除去苯中混有的少量苯酚，加入溴水充分反应后，过滤B．鉴定卤代烃中的卤原子，直接加入硝酸银溶液，根据沉淀颜色，判断卤原子类型C．乙醇在170℃加热脱水，将产生的气体通入高锰酸钾溶液，若能使其褪色，则证明有乙烯产生。
天门市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
天门市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若函数21,1,()ln ,1,x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则函数1()2y f x x =-+的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42． 已知复数z 满足（3+4i ）z=25，则=（ ） A ．3﹣4iB ．3+4iC ．﹣3﹣4iD ．﹣3+4i3． 设函数()log |1|a f x x =-在(,1)-∞上单调递增，则(2)f a +与(3)f 的大小关系是（ ） A ．(2)(3)f a f +> B ．(2)(3)f a f +< C. (2)(3)f a f += D ．不能确定 4． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）A ．13 B ．23C ．1D ．2 5． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则s i n :s i n C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．6． 已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ）A ．2B ．6C ．4D ．27． 从1、2、3、4、5中任取3个不同的数、则这3个数能构成一个三角形三边长的概率为（ ） A.110 B.15 C.310 D.25 8． 四棱锥P ﹣ABCD 的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，E 是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．9． 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．10．集合U=R ，A={x|x 2﹣x ﹣2＜0}，B={x|y=ln （1﹣x ）}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{x|x ≥1}B ．{x|1≤x ＜2}C ．{x|0＜x ≤1}D ．{x|x ≤1}11．设A ，B 为两个不相等的集合，条件p ：x ∈A ∩B ，条件q ：x ∈A 或x ∈B ，则p 是q 的（ ）A ．充分且必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A 1CA BA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.二、填空题13．设,x y 满足条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩，若z ax y =-有最小值，则a 的取值范围为 ．14．要使关于x 的不等式2064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________.【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.15．若函数()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，则实数的取值范围是__________. 16．抛物线y 2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ．17．若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于 。
天门市高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
天门市高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设D 为△ABC 所在平面内一点，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2． 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a ＝6 102，b ＝2 016时，输出的a 为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．183． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣98 D ．984． “24x ππ-<≤”是“tan 1x ≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性.5． 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形， 则该几何体的体积为（ ）A ．64B ．32C ．643 D ．3236． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.7． 双曲线E 与椭圆C ：x 29＋y 23＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积为π，则E 的方程为（ ） A.x 23－y 23＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 25－y 2＝1 D.x 22－y 24＝18． 设a=0.5，b=0.8，c=log 20.5，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c9． 已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，则p ⌝为（ ） A ．10,2x x x ∀>+< B ．10,2x x x ∀≤+< C ．10,2x x x ∃≤+< D ．10,2x x x∃>+<10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.11．两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，则这两个圆锥的体积之比为（ ） A ．2：1 B ．5：2 C ．1：4 D ．3：112．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( )。
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2017-2018学年湖北省天门中学高二（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）椭圆的焦距为2，则m的值等于（）A．5或3B．8C．5D．或2．（5分）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）3．（5分）若双曲线E：的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=7，则|PF2|等于（）A．1B．13C．1或13D．154．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x2+2x+＜0，命题q：∃x0∈R，sinx0﹣cosx0=，则下列判断中正确的是（）A．p是真命题B．q是假命题C．￢p是假命题D．￢q是假命题5．（5分）F1，F2是椭圆=1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线6．（5分）过双曲线x2﹣y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是（）A．28B．14﹣8C．14+8D．87．（5分）圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（5分）若ab≠0，则ax﹣y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是图中的（）A．B．C．D．9．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．610．（5分）若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，k AM，k BM分别表示直线AM，BM的斜率，则k AM•k BM=（）A．B．C．D．11．（5分）已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P 的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．无法确定12．（5分）我们把离心率为e=的双曲线=1（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图给出以下几个说法中正确的是（）①双曲线x2﹣=1是黄金双曲线；②若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线；③若∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．A．①②B．①③C．①③④D．①②③④二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知A（4，0），B（2，2）是椭圆内的点，M是椭圆上的动点，则MA+MB的最大值是．14．（5分）P是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠PF1F2=60°，∠PF2F1=30°，则椭圆的离心率为．15．（5分）已知双曲线x2﹣=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则•最小值为．16．（5分）已知点P是双曲线上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|•|F2M|=．三、解答题（共70分）17．（10分）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），若p，q只有一个为真，求实数m的取值范围．18．（12分）椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．19．（12分）双曲线C的中心在原点，右焦点为F（，0），渐近线方程为y=±x．（1）求双曲线C的方程；（2）设点P是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m、n．证明m•n 是定值．20．（12分）直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2﹣y2=1的右支交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆交于A，B两点，求证：点O到直线AB的距离为定值；（3）在（2）的条件下，求△OAB面积的最大值．2017-2018学年湖北省天门中学高二（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）椭圆的焦距为2，则m的值等于（）A．5或3B．8C．5D．或【分析】根据椭圆方程的标准形式，求出a、b、c的值，即得焦距2c 的值列出方程，从而求得n的值．【解答】解：由椭圆得：2c=2得c=1．依题意得4﹣m=1或m﹣4=1解得m=3或m=5∴m的值为3或5故选：A．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．解题时要认真审题，注意公式的合理选用．2．（5分）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆∴故0＜k＜1故选：D．【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．3．（5分）若双曲线E：的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=7，则|PF2|等于（）A．1B．13C．1或13D．15【分析】利用双曲线的定义真假求解即可．【解答】解：双曲线E：的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=7，a=3，b=4，c=5．点P在双曲线E左支上．则|PF2|=2a+|PF1|=6+7=13．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，判断点的位置是解题的关键．4．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x2+2x+＜0，命题q：∃x0∈R，sinx0﹣cosx0=，则下列判断中正确的是（）A．p是真命题B．q是假命题C．￢p是假命题D．￢q是假命题【分析】利用配方法可得2x2+2x+≥0判断命题p为假命题，由两角和的正弦公式判断命题q为真命题，则答案可求．【解答】解：∵2x2+2x+=，∴命题p：∀x∈R，2x2+2x+＜0为假命题；∵sinx0﹣cosx0=sin（），∴命题q：∃x0∈R，sinx0﹣cosx0=为真命题．∴￢q是假命题．故选：D．【点评】本题考查复合命题的真假判断，训练了配方法求函数的值域，考查三角函数值的求法，是中档题．5．（5分）F1，F2是椭圆=1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO，根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出OQ的长恰好等于椭圆的长半轴a，得动点Q的轨迹方程为x2+y2=a2，由此可得本题答案．【解答】解：由题意，延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO，∵PQ是∠F1PF2的外角平分线，且PQ⊥MF1∴△F1MP中，|PF1|=|PM|且Q为MF1的中点由三角形中位线定理，得|OQ|=|MF2|=（|MP|+|PF2|）∵由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a，（2a是椭圆的长轴）可得|MP|+|PF2|=2a，∴|OQ|=（|MP|+|PF2|）=a，可得动点Q的轨迹方程为x2+y2=a2∴点Q的轨迹为以原点为圆心半径为a的圆．故选：A．【点评】本题在椭圆中求动点P的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．6．（5分）过双曲线x2﹣y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是（）A．28B．14﹣8C．14+8D．8【分析】根据双曲线方程得a=b=2，c=4．由双曲线的定义，证出|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+8=PQ|+8，结合|PQ|=7即可算出△PF2Q的周长．【解答】解：∵双曲线方程为x2﹣y2=8，∴a=b=2，c=4，根据双曲线的定义，得|PF2|﹣|PF1|=4，|QF2|﹣|QF1|=4，∴|PF2|=|PF1|+4，|QF2|=（|QF1|+4），相加可得|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+8，∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=7，∴|PF2|+|QF2|=7+8，因此△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=7+8+7=14+8，故选：C．【点评】本题给出经过双曲线右焦点的弦PQ长，求PQ与左焦点构成三角形的周长，着重考查了双曲线的标准方程、定义与简单几何性质等知识，属于基础题．7．（5分）圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】圆x2+y2+2x+4y﹣3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8，过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点．【解答】解：圆x2+y2+2x+4y﹣3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8∴圆心坐标是（﹣1，﹣2），半径是2；∵圆心到直线的距离为d==，∴过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点所以，共有3个交点．故选：C．【点评】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系与交点个数问题，属基础题．8．（5分）若ab≠0，则ax﹣y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是图中的（）A．B．C．D．【分析】方程可化为y=ax+b和．由此利用直线和椭圆的性质利用排除法求解．【解答】解：方程可化为y=ax+b和．从B，D中的两椭圆看a，b∈（0，+∞），但B中直线有a＜0，b＜0矛盾，应排除；D中直线有a＜0，b＞0矛盾，应排除；再看A中双曲线的a＜0，b＞0，但直线有a＞0，b＞0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a＞0，b＜0和直线中a，b一致．故选：C．【点评】本题考查直线与椭圆的图象的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意直线与椭圆的性质的合理运用．9．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．6【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D．【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．10．（5分）若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，k AM，k BM分别表示直线AM，BM的斜率，则k AM•k BM=（）A．B．C．D．【分析】假设点的坐标，将斜率用坐标表示，再将A，M的坐标代入椭圆方程可求【解答】解：设A（x1，y1），M（x0，y0），则B（﹣x1，﹣y1），则k AM•k BM=∵A，M在椭圆上，∴，，两式相减，可得KAM•KBM=﹣，故选：B．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．11．（5分）已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P 的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．无法确定【分析】将动点M的方程进行等价转化，即，等式左边为点M到定点的距离，等式右边为点M到定直线的距离的，由椭圆定义即可判断M点的轨迹曲线为椭圆．【解答】解：∵10=|3x+4y+2|，即，其几何意义为点M（x，y）到定点（1，2）的距离等于到定直线3x+4y+2=0的距离的，由椭圆的定义，点M的轨迹为以（1，2）为焦点，以直线3x+4y+2=0为准线的椭圆，故选：A．【点评】本题考察了椭圆的定义，解题时要能从形式上辨别两点间的距离公式和点到直线的距离公式．12．（5分）我们把离心率为e=的双曲线=1（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图给出以下几个说法中正确的是（）①双曲线x2﹣=1是黄金双曲线；②若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线；③若∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．A．①②B．①③C．①③④D．①②③④【分析】利用双曲线的简单性质分别求出离心率，再利用黄金双曲线的定义求解．【解答】解：①双曲线x2﹣=1中，∵e==，∴双曲线x2﹣=1是黄金双曲线，故①正确；②b2=ac，则e===，∴e2﹣e﹣1=0，解得e=，或e=（舍），∴该双曲线是黄金双曲线，故②正确；③如图，F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，﹣b），且∠F1B1A2=90°，∴B1F12+B1A22=A2F12，即b2+2c2=（a+c）2，整理，得b2=ac，由②知该双曲线是黄金双曲线，故③正确；④如图，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，∴NF2=OF2，∴=c，∴b2=ac，由②知该双曲线是黄金双曲线，故④正确．故选：D．【点评】本题考查黄金双曲线的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知A（4，0），B（2，2）是椭圆内的点，M是椭圆上的动点，则MA+MB的最大值是．【分析】由题设条件可知，MA+MB=10+|MB|﹣|MF|．当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时有|MB|﹣|MF|=﹣|BF|，在第三象限交点时有|MB|﹣|MF|=|BF|．显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值，其最大值为|MA|+|MB|=10+|MB|﹣|MF|=10+|BF|．由此能够求出MA+MB的最大值．【解答】解：A为椭圆右焦点，设左焦点为F（﹣4，0），则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a=10，于是MA+MB=10+|MB|﹣|MF|．当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是|MB|﹣|MF|＜|BF|，而当M 在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时有|MB|﹣|MF|=﹣|BF|，在第三象限交点时有|MB|﹣|MF|=|BF|．显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值，其最大值为|MA|+|MB|=10+|MB|﹣|MF|=10+|BF|=10+=10+2．答案：10+2．【点评】本题考查椭圆的基本性质，解题时要熟练掌握基本公式．14．（5分）P是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠PF1F2=60°，∠PF2F1=30°，则椭圆的离心率为．【分析】首先根据题意得出三角形PF1F2是含有30°的直角三角形，据此计算出三角形三条边都用焦距F1F2表示，再用椭圆的第一定义结合离心率的公式，可以得出此椭圆的离心率．【解答】解：在△PF1F2中，∠PF1F2=60°，∠PF2F1=30°∴∠F1PF2=90°，即△PF1F2是直角三角形在Rt△PF1F2中，F1F2=2c（椭圆的焦距），∠PF2F1=30°∴PF2=c，PF1=c根据椭圆的定义，得2a=PF2+PF1=（1+）c∴椭圆的离心率为=故答案为：【点评】本题考查了椭圆的离心率和简单的直角三角形的解法，属于容易题．准确运用椭圆的第一定义和椭圆的简单性质，是解决本题的关键．15．（5分）已知双曲线x2﹣=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则•最小值为﹣2．【分析】根据题意，设P（x，y）（x≥1），根据双曲线的方程，易得A1、F2的坐标，将其代入•中，可得关于x、y的关系式，结合双曲线的方程，可得•=4x2﹣x﹣5=4﹣5﹣，由x的范围，可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x，y）（x≥1），易得A1（﹣1，0），F2（2，0），•=（﹣1﹣x，y）•（2﹣x，y）=x2﹣x﹣2+y2，又x2﹣=1，故y2=3（x2﹣1），于是•=4x2﹣x﹣5=4﹣5﹣，当x=1时，取到最小值﹣2；故答案为：﹣2．【点评】本题考查双曲线方程的应用，涉及最值问题；解题的思路是先设出变量，表示出要求的表达式，结合圆锥曲线的方程，将其转化为只含一个变量的关系式，进而由不等式的性质或函数的最值进行计算．16．（5分）已知点P是双曲线上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|•|F2M|= b2．【分析】根据图象和圆切线长定理可知：|F1M|=|F1S|，|F2M|=|F2T|，|PS|=|PT|后根据双曲线的定义分P在图象的右支和左支可得|F1M|﹣|F2M|=±2a，与|F1M|+|MF2|=|F1F2|=2c联立即可求出|F1M|和|MF2|，|F1M|与|F2M|的积再根据双曲线的基本性质c2﹣a2=b2化简得到值．【解答】解：根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等可知：|F1M|=|F1S|，|F2M|=|F2T|，|PS|=|PT|①当P在双曲线图象的右支时，而根据双曲线的定义可知|F1M|﹣|F2M|=|F1P|﹣|F2P|=2a①；而|F1M|+|MF2|=|F1F2|=2c②，联立①②解得：|F1M|=a+c，|F2M|=c﹣a，所以|F1M|•|F2M|=（a+c）（c﹣a）=c2﹣a2=b2；②当P在双曲线图象的左支时，而根据双曲线的定义可知|F2M|﹣|F1M|=|F2P|﹣|F1P|=2a③；而|F1M|+|MF2|=|F1F2|=2c④，联立③④解得：|F2M|=a+c，|F1M|=c﹣a，|F1M|•|F2M|=（a+c）（c﹣a）=c2﹣a2=b2．综上，可得|F1M|•|F2M|=b2．故答案为：b2【点评】考查学生掌握双曲线的基本性质，灵活运用圆切线长定理化简求值．做题时注意利用分类讨论的数学思想．三、解答题（共70分）17．（10分）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），若p，q只有一个为真，求实数m的取值范围．【分析】根据圆锥曲线的性质分析求出两个命题为真时，m的取值范围，进而可得答案．【解答】解：若命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆为真命题，则﹣（m﹣1）＞2m＞0，解得：m∈（0，），若命题q：双曲线的离心率e∈（1，2）为真命题，则，解得：m∈（0，15），若p，q只有一个为真，则p真q假，或p假q真，当p真q假时，不存在满足条件的m值，当p假q真时，m∈[，15）则m∈[，15）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，圆锥曲线的性质等知识点，难度中档．18．（12分）椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．【分析】（1）设椭圆的标准方程，利用椭圆的离心率公式，将A代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线AF1的方程，直线AF2的方程为x=2．设P点坐标，则有，斜率为负，不合题意，即可求得直线方程．【解答】解：（1）设椭圆E的方程为；由，得，所以，将A（2，3）代入，有，解得c=2，所以椭圆E的方程为．（2）由（1）知F1（﹣2，0），F2（2，0），所以直线AF1的方程为，即3x﹣4y+6=0直线AF2的方程为x=2．由椭圆E的图形知，∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数．设P（x，y）为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，则有若3x﹣4y+6=5x﹣10，得x+2y﹣8=0其斜率为负，不合题意，舍去．于是3x﹣4y+6=﹣5x+10，即2x﹣y﹣1=0所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线的方程的应用，考查转化思想，属于中档题．19．（12分）双曲线C的中心在原点，右焦点为F（，0），渐近线方程为y=±x．（1）求双曲线C的方程；（2）设点P是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m、n．证明m•n 是定值．【分析】（1）根据双曲线的性质即可求出双曲线的方程，（2）设P（x0，y0），根据点到直线的距离公式，即可求出m，n，计算m•n即可．【解答】解：（1）右焦点为F（，0），渐近线方程为y=±x．∴c=，=，∵c2=a2+b2，∴a2=，b2=1，∴双曲线C的方程位3x2﹣y2=1（2）设P（x0，y0），已知渐近线的方程为：该点到一条渐近线的距离为：到另一条渐近线的距离为，是定值．【点评】本题考查了双曲线的简单性质和点到直线的距离公式和定值问题，属于中档题20．（12分）直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2﹣y2=1的右支交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2﹣y2=1后，由题意知，由此可知实数k的取值范围．（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由题意得，由此入手可求出k的值．【解答】解：（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2﹣y2=1后，整理得（k2﹣2）x2+2kx+2=0．①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故解得k的取值范围是﹣2＜k＜．（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则由①式得②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）．则由FA⊥FB得：（x1﹣c）（x2﹣c）+y1y2=0．即（x1﹣c）（x2﹣c）+（kx1+1）（kx2+1）=0．整理得（k2+1）x1x2+（k﹣c）（x1+x2）+c2+1=0．③把②式及代入③式化简得．解得可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．【点评】本题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力．21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点．【分析】（Ⅰ）由题设条件知b=2，，由此能够求出椭圆方程．（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，由韦达定理结合题设条件能够导出直线AB过定点（﹣，﹣2）．若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，由题设条件能够导出直线AB过定点（﹣，﹣2）．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形，∴b=2，，所求椭圆方程为．…（5分）（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．…（7分）则，．∵，∴，即2k+（m﹣2）•=8．…（10分）所以k=﹣，整理得m=．故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）﹣2．所以直线AB过定点（﹣，﹣2）．…（12分）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知，得．此时AB方程为x=﹣，显然过点（﹣，﹣2）．综上，直线AB过定点（﹣，﹣2）．…（13分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆交于A，B两点，求证：点O到直线AB的距离为定值；（3）在（2）的条件下，求△OAB面积的最大值．【分析】（1）由已知得，由此能求出椭圆C的方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB：y=kx+m．由，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线AB的距离公式，能证明点O到直线AB的距离为定值．（3）≤4，当斜率不存在时，|AB|＜2．由此能求出△OAB面积的最大值．【解答】（1）解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（，0），∴，解得a=，b=1，∴椭圆C的方程…（3分）（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），若k存在，则设直线AB：y=kx+m．由，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0…（5分）△＞0，…（6分）有OA⊥OB，知x1x2+y1y2=x1x2+（k x1+m）（k x2+m）=（1+k2）x1x2+k m（x1+x2）+m2=0，…（8分）代入，得4m2=3k2+3，原点到直线AB的距离d=．…（9分）当AB的斜率不存在时，|x1|=|y1|，可得，依然成立．∴点O到直线AB的距离为定值…（10分）说明：直接设直线OA的斜率为K相应给分（3）==≤4 …（12分）当且仅当，即时等号成立．…（13分）当斜率不存在时，经检验|AB|＜2．≤∴S△OAB综合得：△OAB面积的最大值为．…（14分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离为定值的证明，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和弦长公式的合理运用．。