2020年高二上学期数学10月月考试卷
江西省部分学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是 A2,4 ，军营所在位置为 B 6, 2 ，河岸线
所在直线的方程为 x y 3 0 ，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）
的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 6x y 8 0
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
试卷第 4页，共 4页
D．过点 3, 2 作圆 C2 的切线 l ，则 l 的方程是 x 3或 7x 24 y 27 0
12．2023 年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边 塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰 富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登 山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军 在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最
19．（1）已知点 M 到定点 F 2, 0 的距离与到定直线 l : x 5 的距离之比为 10 ，求点 M
5 的轨迹方程；
（2）已知点 A 是圆 x2 y2 9 上的动点，过点 A 作 AB x 轴，垂足为 B ，点 P 在线段 AB
上，且 PB 1 AB ，求点 P 的轨迹方程，并说明点1 8
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 x 6 y 6 0
D．“将军饮马”走过的总路程为 5 2
三、填空题
13．椭圆 x2 y2 1 的四个顶点所围成的四边形的面积是
.
25 16
14．以点 A2,1 为圆心，且与 x 轴相切的圆的标准方程为
.
15．已知直线 l 经过点 1,1 ，且 A4, 1 ， B 2,3 两点到直线 l 的距离相等，则直线 l
山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024~2025学年高二10月质量检测卷数学（A 卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章～第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为（）A.B.C.D.2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）A. B. C. D.3.在长方体中，为棱的中点.若，，，则（）A. B. C. D.4.两平行直线，之间的距离为（ ）B.3D.5.曲线轴围成区域的面积为（ ）l (A (B l 6π3π23π56πC 2242110x y x y ++--=C ()2,1-()2,1-()4,2-()4,2-1111ABCD A B C D -M 1CC AB a = AD b =1AA c = AM =111222a b c -+ 111222a b c ++12a b c-+12a b c++ 1:20l x y --=2:240l x y -+=y =xA. B. C. D.6.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）A. B.D.37.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.8.在正三棱柱中，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）A.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2020-2021学年江西省某校高二(上)10月月考数学试卷(有答案)
2020-2021学年江西省某校高二（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 等比数列{a n }的前n 项和S n =3n +a ，则a 等于( ) A.−3 B.−1 C.3 D.12. 在△ABC 中，已知b =40，c =20，C =60∘，则此三角形的解的情况是( ) A.有一解 B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定3. 使不等式x 2−x −6<0成立的一个充分不必要条件是( ) A.−2<x <0 B.−3<x <2 C.−2<x <3 D.−2<x <44. 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( ) A.30种 B.35种 C.42种 D.48种5. 在数列{a n }中， a 1=12，a n =1−1a n−1(n ≥2,n ∈N +)，则a 2020=( )A.12B.1C.−1D.26. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ≤sin 2B +sin 2C +sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.(0, 5π6]B.[5π6, π) C.(0, 2π3]D.[2π3, π)，7. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9=( ) A.63 B.45 C.36 D.278. 已知x >0，y >0，且1x+1+1y =12，则x +y 的最小值为( ) A.3 B.5 C.7 D.94值为( )A.1B.−1C.0D.210. 有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案( )A.680B.816C.1360D.145611. 已知数列{a n}的各项均为正数，a1=2，a n+1−a n=4a n+1+a n ，若数列{1a n+1+a n}的前n项和为5，则n=( )A.119B.121C.120D.122212. 设函数f(x)=mx2−mx−1，若对任意的x∈{x|1≤x≤3}，f(x)<−m+4恒成立，则实数m的取值范围为( )A.m≤0B.0≤m<57C.m<0或0<m<57D.m<57二、填空题如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为________.三、解答题设p：实数x满足x2−4ax+3a2<0，q：实数x满足|x−3|<1．(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若a>0，且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n(n∈N∗)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4−2a1，S11=11b4．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a2n b n}的前n项和T n(n∈N∗)．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos A=c cos B+b cos C.(1)求角A的大小；(2)若a=3，求△ABC周长的取值范围．四位同学参加三项不同的竞赛．(1)每位同学必须参加一项，有几种不同结果？(2)每项竞赛只有且必须有一位同学参加，有几种不同结果？(3)每位同学最多参加一项，且每项竞赛只许有一位同学参加，有几种不同结果？数列{a n}满足a1=1，a n+a n+12a n+1−1=0．(1)求证：数列{1a n}是等差数列；(2)若数列{b n}满足b1=2，b n+1b n =2⋅a na n+1，求数列{b n}的前n项和S n．设x，y满足约束条件{8x−y−4≤0，x+y+1≥0，y−4x≤0，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为2.(1)作出可行域；(2)求a+4b的值；(3)若不等式1a +1b≥mx2−x+(m+154)对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江西省某校高二（上）10月月考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】等比中项【解析】此题暂无解析【解答】解：等比数列{a n}中，a1=S1=3+a，a2=S2−S1=6，a3=S3−S2=18，由a22=a1a3，得a=−1．故选B．2.【答案】C【考点】正弦定理【解析】利用正弦定理列出关系式，将b，c，sin C的值代入求出sin B的值，即可做出判断．【解答】解：∵在△ABC中，b=40，c=20，C=60∘，∴由正弦定理bsin B =csin C得：sin B=b sin Cc =40×√3220=√3>1，则此三角形无解．故选C．3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：解不等式x2−x−6<0，得−2<x<3，令A={x|−2<x<3}，∴不等式x2−x−6<0成立的一个充分不必要条件，只有A符合题意.故选A .4.【答案】A【考点】排列、组合的应用计数原理的应用【解析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种．故选A.5.【答案】A【考点】数列递推式【解析】无【解答】解：a2=1−1a1=1−2=−1，a3=1−1a2=1+1=2，a4=1−1a3=1−12=12，可得数列{a n}是以3为周期的周期数列，∴a2020=a3×673+1=a1=12.故选A．6.【答案】C【考点】余弦定理正弦定理【解析】运用正弦定理和余弦定理，可得角A三角不等式，然后求解即可．【解答】得：a2≤b2+c2+bc，即cos A=b 2+c2−a22bc≥−12.∵A∈(0, π)，∴A∈(0, 2π3].故选C.7.【答案】B【考点】等差数列的性质【解析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．【解答】解：由等差数列性质知S3，S6−S3，S9−S6成等差数列，即9，27，S9−S6成等差数列，∴S9−S6=45，∴a7+a8+a9=45.故选B．8.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】将x+1+y＝2(1x+1+1y)(x+1+y)的形式，再展开，利用基本不等式，注意等号成立的条件．【解答】解：∵x>0，y>0，且1x+1+1y=12，∴x+1+y=2(1x+1+1y)(x+1+y)=2(1+1+yx+1+x+1y)≥2(2+2√yx+1⋅x+1y)=8，当且仅当yx+1=x+1y，即x=3，y=4时取等号，∴x+y≥7，故x+y的最小值为7. 故选C.9.【答案】【考点】二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】通过令x=1和x=−1,代入化简即可得所需关系式，求解即可【解答】4解：当x=1时，得(2+√3)=a0+a1+a2+a3+a4=97+56√3，4当x=−1时，(√3−2)=a0−a1+a2−a3+a4=97−56√3，则由上式联立可得a0+a2+a4=97，a1+a3=56√3，∴(a0+a2+a4)2−(a1+a3)2=972−(56√3)2=9409−9408=1.故选A.10.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题排列、组合的应用【解析】根据题意采用挡板法，去掉3×4=12个苹果后，将剩余的苹果分成四份即可求解. 【解答】解：因为每个小朋友至少分得4个苹果，故先每人分3个苹果后，还剩30−3×4=18个，用隔板法，将剩余18个苹果有17个空，中间找3个位置用隔板插入即可，故分成四份有C173=680种.故选A.11.【答案】C【考点】数列的求和数列递推式等差数列的通项公式【解析】由已知推导出a n=2√n.a n+1=2√n+1=22，由此能求出n．【解答】，解：∵数列{a n}的各项均为正数，a1=2，a n+1−a n=4a n+1+a n∴a n2为首项为4，公差为4的的等差数列，∴a n2=4+4(n−1)=4n，即a n=2√n．∵a1=2，a n+1−a n=4a n+1+a n ，数列{1a n+1+a n}的前n项和为5，∴14(a2−a1+a3−a2+⋯+a n+1−a n)=14(a n+1−2)=5，∴a n+1=2√n+1=22，解得n+1=121，∴n=120．故选C.12.【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】由题意，mx2−mx−1<−m+4，x∈[1, 3]恒成立，可得m(x2−x+1)<5恒成立，讨论m与0关系，结合二次函数性质可得m的范围；【解答】解：函数f(x)=mx2−mx−1，即mx2−mx−1<−m+4，x∈{x|1≤x≤3}恒成立，可得m(x2−x+1)<5恒成立，当m≤0成立，显然恒成立，当m>0时，∵y=x2−x+1，x∈{x|1≤x≤3}的值域为{1≤x≤7}．∴0<m<57，综上可得实数m的取值范围为{m|m<57}.故选D.二、填空题【答案】84【考点】排列、组合的应用分类加法计数原理【解析】每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色；A、C同色两大类【解答】解：分三种情况：①用四种颜色涂色，有A44=24种涂法；②用三种颜色涂色，有2A43=48种涂法；③用两种颜色涂色，有A42=12种涂法；三、解答题【答案】解：(1)由x 2−4ax +3a 2<0得(x −3a)(x −a)<0，当a =1时，1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3． 由|x −3|<1，得−1<x −3<1，得2<x <4， 即q 为真时实数x 的取值范围是2<x <4， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，∴ 实数x 的取值范围是2<x <3．(2)由x 2−4ax +3a 2<0得(x −3a)(x −a)<0，且a >0， 即p ：{x|a <x <3a}，q ：{x|2<x <4}. 若¬p 是¬q 的充分不必要条件， 则q 是p 的充分不必要条件. 则{0<a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2．∴ 实数a 的取值范围是43≤a ≤2． 【考点】其他不等式的解法逻辑联结词“或”“且”“非”根据充分必要条件求参数取值问题 命题的否定【解析】（1）若a ＝1，根据p ∧q 为真，则p ，q 同时为真，即可求实数x 的取值范围； （2）根据￢p 是￢q 的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a 的取值范围． 【解答】解：(1)由x 2−4ax +3a 2<0得(x −3a)(x −a)<0，当a =1时，1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3． 由|x −3|<1，得−1<x −3<1，得2<x <4， 即q 为真时实数x 的取值范围是2<x <4， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，∴ 实数x 的取值范围是2<x <3．(2)由x 2−4ax +3a 2<0得(x −3a)(x −a)<0，且a >0， 即p ：{x|a <x <3a}，q ：{x|2<x <4}. 若¬p 是¬q 的充分不必要条件， 则q 是p 的充分不必要条件. 则{0<a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2．∴ 实数a 的取值范围是43≤a ≤2．【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1(q+q2)=12，而b1=2，所以q2+q−6=0．又因为q>0，解得q=2．所以b n=2n．由b3=a4−2a1，可得3d−a1=8①.由S11=11b4，可得a1+5d=16②.联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n−2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n−2，{b n}的通项公式为b n=2n；(2)设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n−2，有T n=4×2+10×22+16×23+⋯+(6n−2)×2n，2T n=4×22+10×23+16×24+⋯+(6n−8)×2n+(6n−2)×2n+1，上述两式相减，得−T n=4×2+6×22+6×23+⋯+6×2n−(6n−2)×2n+1=12×(1−2n)1−2−4−(6n−2)×2n+1=−(3n−4)2n+2−16．得T n=(3n−4)2n+2+16．所以，数列{a2n b n}的前n项和为(3n−4)2n+2+16．【考点】等差数列与等比数列的综合等差数列的性质等差数列的通项公式等比数列的通项公式数列的求和【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．通过b2+b3＝12，求出q，得到b n=2n．然后求出公差d，推出a n＝3n−2．(Ⅱ)设数列{a2n b n}的前n项和为T n，利用错位相减法，转化求解数列{a2n b n}的前n项和即可．【解答】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1(q+q2)=12，而b1=2，所以q2+q−6=0．又因为q>0，解得q=2．所以b n=2n．由b3=a4−2a1，可得3d−a1=8①.由S11=11b4，可得a1+5d=16②.联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n =3n −2．所以，{a n }的通项公式为a n =3n −2，{b n }的通项公式为b n =2n ；(2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ，由a 2n =6n −2，有T n =4×2+10×22+16×23+⋯+(6n −2)×2n ，2T n =4×22+10×23+16×24+⋯+(6n −8)×2n +(6n −2)×2n+1，上述两式相减，得−T n =4×2+6×22+6×23+⋯+6×2n −(6n −2)×2n+1=12×(1−2n )1−2−4−(6n −2)×2n+1 =−(3n −4)2n+2−16．得T n =(3n −4)2n+2+16．所以，数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n −4)2n+2+16．【答案】解：(1)因为2a cos A =c cos B +b cos C ，所以2sin A cos A =sin C cos B +sin B cos C ，所以2sin A cos A =sin (B +C )=sin A .因为sin A ≠0，所以cos A =12.因为A ∈(0,π)，所以A =π3 .(2)因为a =3，由余弦定理得9=b 2+c 2−bc ，所以9=b 2+c 2−bc =(b +c )2−3bc .因为bc ≤(b+c )24，所以9=(b +c )2−3bc ≥(b+c )24，所以b +c ≤6，当且仅当b =c 时等号成立.又因为b +c >a =3，所以b +c ∈(3,6]，即△ABC 周长的范围是(6,9] .【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式余弦定理基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为2a cos A =c cos B +b cos C ，所以2sin A cos A =sin C cos B +sin B cos C ，所以2sin A cos A =sin (B +C )=sin A .因为sin A ≠0，所以cos A =12.因为A ∈(0,π)，所以A =π3 .(2)因为a =3，由余弦定理得9=b 2+c 2−bc ，所以9=b 2+c 2−bc =(b +c )2−3bc .因为bc ≤(b+c )24，所以9=(b +c )2−3bc ≥(b+c )24，所以b +c ≤6，当且仅当b =c 时等号成立.又因为b +c >a =3，所以b +c ∈(3,6]，即△ABC 周长的范围是(6,9] .【答案】解：(1)让每一位同学选择，第一位同学有3种选择；第二、三、四位同学同样各有3种选择，由乘法原理，共有3×3×3×3=81（种）不同结果．(2)让竞赛项目去“选择”学生，第一个竞赛项目有4种选择，第二、三个竞赛项目同样有4种选择，所以共有43=64（种）不同结果．(3)由题意，从4位同学中选出3人，分别参加三项不同的竞赛，所以有A 43=24（种）不同结果．【考点】分步乘法计数原理排列、组合的应用【解析】【解答】解：(1)让每一位同学选择，第一位同学有3种选择；第二、三、四位同学同样各有3种选择，由乘法原理，共有3×3×3×3=81（种）不同结果．(2)让竞赛项目去“选择”学生，第一个竞赛项目有4种选择，第二、三个竞赛项目同样有4种选择，所以共有43=64（种）不同结果．(3)由题意，从4位同学中选出3人，分别参加三项不同的竞赛，所以有A 43=24（种）不同结果．【答案】(1)证明：若a n+1=0，则a n =0，这与a 1=1矛盾，∴ a n+1≠0．由已知得2a n a n+1−a n +a n+1=0，∴ 1a n+1−1a n =2， ∴ 数列{1a n }是以1a 1=1为首项，2为公差的等差数列． (2)解：由(1)可知，1a n =1+2(n −1)=2n −1， 由b n+1b n =2⋅a na n+1可知a n+1b n+1=2a n b n .又a 1b 1=2，∴a n b n=2×2n−1=2n，∴b n=(2n−1)⋅2n，∴S n=1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋯+(2n−1)⋅2n，则2S n=1⋅22+3⋅23+5⋅24+⋯+(2n−1)⋅2n+1，∴−S n=2+2⋅22+2⋅23+⋯+2⋅2n−(2n−1)⋅2n+1=(3−2n)⋅2n+1−6，∴S n=(2n−3)⋅2n+1+6．【考点】数列的求和数列递推式等差数列【解析】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义及通项公式、等比数列的求和公式、数列求和．【解答】(1)证明：若a n+1=0，则a n=0，这与a1=1矛盾，∴a n+1≠0．由已知得2a n a n+1−a n+a n+1=0，∴1a n+1−1a n=2，∴数列{1a n }是以1a1=1为首项，2为公差的等差数列．(2)解：由(1)可知，1a n=1+2(n−1)=2n−1，由b n+1b n =2⋅a na n+1可知a n+1b n+1=2a n b n.又a1b1=2，∴a n b n=2×2n−1=2n，∴b n=(2n−1)⋅2n，∴S n=1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋯+(2n−1)⋅2n，则2S n=1⋅22+3⋅23+5⋅24+⋯+(2n−1)⋅2n+1，∴−S n=2+2⋅22+2⋅23+⋯+2⋅2n−(2n−1)⋅2n+1 =(3−2n)⋅2n+1−6，∴S n=(2n−3)⋅2n+1+6．【答案】解：(1)画出约束条件{8x−y−4≤0，x+y+1≥0，y−4x≤0，表示的平面区域，如图阴影部分所示：(2)由图形知，当直线ax +by =z (a >0,b >0)过直线8x −y −4=0与y =4x 的交点B (1,4)时，目标函数z =ax +by (a >0,b >0)取得最大值2，即a +4b =2 .(3)由题意，得 1a +1b =12(a +4b )(1a +1b) =12(5+4b a +a b )≥12(5+2√4b a ⋅a b )=92.当且仅当a =2b =23时等号成立，所以1a +1b 的最小值是92.不等式1a +1b ≥mx 2−x +(m +154)对任意x ∈R 恒成立， 等价于mx 2−x +(m +154)≤92对任意x ∈R 恒成立， 即mx 2−x +(m −34)≤0，当m =0时，−x −34≤0，不符题意；当m ≠0时， {m <0，Δ=1−4m (m −34)≤0，解得m ≤−14 .综上实数m 的取值范围是m ≤−14 . 【考点】含参线性规划问题不等式恒成立问题函数恒成立问题基本不等式在最值问题中的应用简单线性规划【解析】【解答】解：(1)画出约束条件{8x −y −4≤0，x +y +1≥0，y −4x ≤0，表示的平面区域，如图阴影部分所示：(2)由图形知，当直线ax +by =z (a >0,b >0)过直线8x −y −4=0与y =4x 的交点B (1,4)时，目标函数z =ax +by (a >0,b >0)取得最大值2，即a +4b =2 .(3)由题意，得 1a +1b =12(a +4b )(1a +1b )=12(5+4b a +a b )≥12(5+2√4b a ⋅a b )=92. 当且仅当a =2b =23时等号成立，所以1a +1b 的最小值是92.不等式1a +1b ≥mx 2−x +(m +154)对任意x ∈R 恒成立，等价于mx 2−x +(m +154)≤92对任意x ∈R 恒成立， 即mx 2−x +(m −34)≤0，当m =0时，−x −34≤0，不符题意；当m ≠0时， {m <0，Δ=1−4m (m −34)≤0，解得m ≤−14 .综上实数m 的取值范围是m ≤−14 .。
河南省南阳市2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第一章，第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设直线的倾斜角为，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．4．直线被圆截得的弦长为（ ）ABCD ．5．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．6．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）A ．B ．C ．D ．:80l x -+=αα=120︒60︒30︒150︒221(0)1x y a a a -=>+a 1214131822124x y m m+=--y m ()2,3()3,4()()2,33,4⋃()2,426y x =+22(2)4x y ++=23y x =F P PF 43323422122:1(0)x y C a b a b +=>>1e 22222:1x y C a b-=2e 22122e e +=112e e +=22211e e =+212e e =7．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点，，且的周长为10，则双曲线的焦距为（ ）A ．3BCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆的标准方程可能为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，抛物线的焦点为，过抛物线上一点（点在第一象限）作准线的垂线，垂足为为边长为8的等边三角形．则（ ）A ．B ．C ．点的坐标为D ．点的坐标为11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ）xOy ()222:()()(0),3,0C x a y a a a A -+-=>-C P 2PA PO =a (]0,1[]1,21,3⎡+⎣⎤⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 2F ,A B 12224BF BF AF ==1ABF △C C C 22149x y +=22195x y +=22194x y +=22159x y +=2:2(0)C y px p =>F C P P l ,H PHF △2p =4p =P (P (222:1(0)3x y C b b-=>12,F F P C P ,A B 22(2)1x y -+=CA ．双曲线的渐近线方程为B ．双曲线的离心率C ．当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上D．为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为______．13．已知是圆______．14．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知的顶点坐标为．（1）若点是边上的中点，求直线的方程；（2）求边上的高所在的直线方程．16．（本小题满分15分）已知动点到点为常数且的距离与到直线的距离相等，且点在动点的轨迹上．（1）求动点的轨迹的方程，并求的值；（2）在（1）的条件下，已知直线与轨迹交于两点，点是线段的中点，求直线的方y x =C e =P C 12PF F △x =PA PB ⋅32()3,1x y (),P m n 22:(4)(4)8C x y -+-=2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F 1F C,P Q 222QF PF =21cos 4PF Q ∠=C ABC △()()()1,6,3,1,4,2A B C ---D AC BD AB P (),0(F t t 0)t >x t =-()1,1-P P C t l C ,A B ()2,1M AB l程．17．（本小题满分15分）已知点，动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围．18．（本小题满分17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上．（1）求双曲线的标准方程；（2）过定点的动直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于（点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等．19．（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆，短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆的下顶点，点为椭圆上异于椭圆顶点的动点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点．证明：直线与轴垂直．()()2,0,6,0O A -(),P x y 3PA PO =P C Q (),(0)Q t t t >Q y Q C t 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>20x y +=()1-C C ()0,1P l C ,A B ,M N M N AM BN xOy 2222:1(0)x y C a b a b+=>>C ,A B C D C P C AP BD M BP AD N MN x2024~2025学年度10月质量检测·高二数学参考答案、提示及评分细则1．C 因为直线的斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得又，．故选C ．2．D，解得．3．A 若方程表示为焦点在轴上的一个椭圆，有解得．4．B 圆心，直线被圆截得的弦长为．故选B ．5．D 设点的坐标为，有，故的最小值为．6．A 由，可得．7．C 设点的坐标为，有，整理为，可化为，若圆上存在这样的点，只需要圆与圆有交点，有，解得C ．8．B 设，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得双曲线的焦距为．9．BD 由题意有，故椭圆的标准方程可能为或．10．BD 设抛物线的准线与轴的交点为，由，有:80l x +=k =tan α=0180α︒≤<︒30α=︒=18a =y 20,40,24,m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩23m <<()2,0-=P ()00,x y 03344PF x =+≥PF 34222222221222221,1a b b a b b e e a a a a-+==-==+22122e e +=P (),x y =22230x y x +--=22(1)4x y -+=C P C 22(1)4x y -+=22a a -≤≤+13a ≤≤+221,2,4AF m BF m BF m ===13AF m =23410m m m m +++=1m =12AF F △12BF F △224194416048c c c c +-+-+=c =3,2,5a c b ====C 22195x y +=22159x y +=C x Q 60,PHF HFO FQ p ∠=∠=︒=，有，得，点的坐标为．11．ABC 由题意得，对于选项A ：双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1（舍去），又，故A 正确；则，离心率为B 正确；对于选项C ：设的内切圆与轴相切于点，由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，故C 正确；对于选项D ：设，则，渐近线方程是，则为常数，故D 错误．故选ABC ．12．或 设在轴、轴上的截距均为，若，即直线过原点，设直线为，代入，可得，所以直线方程为，即；若，则直线方程为，代入，则，解得，所以此时直线方程为；综上所述：所求直线方程为或．13．表示点到原点的距离，由，有的取值范围为．14设椭圆的焦距为，有，在中，由余弦定理有，有，可得，有．在中，由余弦定理有可得2,HF p HQ ==28p =4p =P (0bx ±=22(2)1x y -+=()2,01,1b ==1-1,b b y x a ===2c ==c e a ===12PF F △x M 122F M F M a -=M x a =I x a =x a ==()00,P x y 222200001,333x y x y -=-=0x ±=3440x y +-=30x y -=x y a 0a =y kx =()3,113k =13y x =30x y -=0a ≠1x ya a+=()3,1311a a+=4a =4x y +=40x y +-=30x y -=⎡⎣P O 28OC r ==OC OP OC -≤≤+OP ≤≤⎡⎣C 222,,2c PF t QF t ==112,22,43PF a t QF a t PQ a t =-=-=-2PQF △2222(43)4a t t t t -=+-45t a =21886,,555QF a PQ a PF a ===22PF Q QPF ∠=∠12PF F △2c ==c e a ==15．解：（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即；（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即．16．解：（1）由题意知，动点的轨迹为抛物线，设抛物线的方程为，则，所以，所以抛物线的方程为，故；（2）设点的坐标分别有，可得有，可得，有，可得直线的斜率为，故直线的议程为，整理为．17．解：（1）由得，，整理得，故动点的轨迹的方程为；（2）点的坐标为且圆与轴相切，圆的半径为，圆的方程为，D AC 3,42D ⎛⎫⎪⎝⎭14103932BD k --==--BD 01(3)9y x 1+=+109210x y -+=167312AB k --==-+AB 27-AB ()2247y x -=--27220x y +-=P C 22(0)y px p =>12p =12p =C 2y x =124p t ==,A B ()()1122,,,x y x y 12124,2,x x y y +=⎧⎨+=⎩211222y x y x ⎧=⎨=⎩222121y y x x -=-212121112y y x x y y -==-+l 12l 11(2)2y x -=-12y x =3PA PO =229PA PO =2222(6)9(2)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦22(3)9x y -+=P C 22(3)9x y -+= Q (),(0)t t t >Q y ∴Q t ∴Q 222()()x t y t t -+-=圆与圆两圆心的距离为，圆与圆有公共点，，即，解得，所以实数的取值范围是．18．（1）解：由渐近线方程的斜率为，有，可得，将点代入双曲线的方程，有，联立方程解得故双曲线的标准议程为；（2）证明：设点的坐标分别为，线段的中点的坐标为，线段的中点的坐标为．设直线的方程为，联立方程解得，联立方程解得，可得，联立方程消去后整理为，∴Q C CQ == Q C 33t CQ t ∴-≤≤+2222|3|(3)(3)t t t t -≤-+≤+012t <≤t (]0,1220x y +=12-12b a -=-2a b =()1-C 22811a b-=222,811,a b a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩2,1,a b =⎧⎨=⎩C 2214x y -=,,,A B M N ()()()()11223344,,,,,,,x y x y x y x y AB D ()55,x y MN E ()66,x y l 1y kx =+1,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩3221x k =-+1,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩4221x k =--5212242212141kx k k k ⎛⎫=--=- ⎪+--⎝⎭221,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2241880k x kx -++=有，可得，由，可知线段和共中点，故有．19．（1）解：设椭圆的焦距为，由题意有：，解得故椭圆的标准方程为；（2）证明：由（1）知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，设点的坐标为（其中，），有，可得，直线的方程为，整理为，直线的方程为，整理为，直线的方程为，联立方程，解得：，故点的横坐标为，直线的方程为， 联立方程，解得：，故点的横坐标为，122841k x x k +=--62441kx k =--46x x =AB MN AM BN =C 2c 22222a b c b c a⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2,1,a b c ===C 2214x y +=A ()2,0-B ()2,0D ()0,1-P (),m n ()()2,00,2m ∈- 2214m n +=2244m n +=BD 121x y +=-112y x =-AD 121x y +=--112y x =--AP ()22ny x m =++()2,2112n y x m y x ⎧=+⎪⎪+⎨⎪=-⎪⎩24422m n x m n ++=-+M ()22222m n m n ++-+BP ()22ny x m =--()2,2112n y x m y x ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=--⎪⎩42422n m x m n -+=+-N ()22222n m m n -++-又由，故点和点的横坐标相等，可得直线与轴垂直．()()()()()()22222222222222222222m n m n m n m n m n n m m n m n m n m n +++-+-+--++-+-=-++--++-()()()()()()()222222(2)4(2)42442880222222222222m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n ⎡⎤⎡⎤+-+--+-+-⎣⎦⎣⎦====-++--++--++-M N MN x。
四川省成都2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
成都2024—2025学年度高二上期10月月考数学试卷（答案在最后）注意事项：1．本试卷分第I 卷和第II 卷两部分；2．本堂考试120分钟，满分150分；3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂；4．考试结束后，将答题卡交回．第I 卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．1．现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（）A ．①随机数法，②抽签法B ．①随机数法，②分层抽样C ．①抽签法，②分层抽样D ．①抽签法，②随机数法2．已知向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y = ，且//a b r r，那么实数x y +等于（）A ．3B ．-3C ．9D ．-93．若,l n 是两条不相同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A ．若l n ⊥，n β⊥，则l //βB ．若αβ⊥，l α⊥，则l //βC ．若//αβ，l α⊂，则l //βD ．若//l α，//αβ，则l //β4．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA上，且2ON NA =，则MN =（）A ．121232a b c--+B ．211322a b c-++C ．211322a b c-- D ．111222a b c+-5．为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）A ．58或64B ．59或64C ．58D ．596．已知点D 在ABC V 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，正数,x y 满足23DO xOA yOB OC =+- ，则yx 21+的最小值为（）A ．25B ．29C ．1D ．27．现有一段底面周长为12π厘米和高为12厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．C ．6D ．128．如图，四边形,4,ABCD AB BD DA BC CD =====ABD △沿BD 折起，当二面角A BD C --的大小在[,63ππ时，直线AB 和CD 所成角为α，则cos α的最大值为（）A ．16B C ．16D ．8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()2,0,1a =-，()4,0,2b =- ，则12//l l B ．直线l 的方向向量()1,1,2c =-，平面α的法向量是()6,4,1m =- ，则l α⊥C ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =- ，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,1,1d = ，平面α的法向量()1,0,1n =，则直线l 与平面α所成角的大小为π310．小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（）A ．娱乐开支比通信开支多5元B ．日常开支比食品中的肉类开支多100元C ．娱乐开支金额为100元D ．肉类开支占储蓄开支的1311．已知四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点.N M ,是该四面体内切球球面上的两点，P 是该四面体表面上的动点.则下列选项中正确的是（）A.DE 的长为44B.D 到平面ABC 的距离为66C.当线段MN 最长时，PN PM ⋅的最大值为31D.直线OE 与直线AB 所成角的余弦值为33第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是．13．已知(2,1,3),(1,4,2)a b =-=-- ，c (4,5,)λ=，若,,a b c 三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数λ的值为.14．在正方体ABCD A B C D -''''中，点P 是AA '上的动点，Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，则平面BDP 与平面BDQ 所成角余弦值的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（满分13分）15．已知向量()6a m = ,，()1,0,2=b ，()()2R c m =∈ (1)求()a b c ⋅-的值；(2)求cos b c ,；(3)求a b - 的最小值.（满分15分）16．成都市政府委托市电视台进行“创建文明城市”知识问答活动，市电视台随机对该市1565～岁的人群抽取了n人，绘制出如图所示的频率分布直方图，回答问题的统计结果如表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第一组[15，25)500.5第二组[25，35)180a第三组[35，45)x0.9第四组[45，55)90b第五组[55，65)y0.6a b x y的值；（1）分别求出,,,（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人，则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人.-中，ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥（满分15分）17．如图，在四棱锥P ABCDPC=.平面ABCD，直线PA与平面PBC所成的角为45︒，2（1）若E，F分别为BC，CD的中点，求证：直线AC⊥平面PEF；（2）求二面角D PA B--的正弦值.（满分17分）18．随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准.根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是20%至25%，男性的正常范围是15%至18%.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图,如图.(1)求a ；(2)如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？（精确到小数点后2位）（满分17分）19．如图，四面体ABCD 中，2,AB BC BD AC AD DC ======(1)求证：平面ADC ⊥平面ABC ；(2)若(01)DP DB λλ=<<，①若直线AD 与平面APC 所成角为30°，求λ的值；②若PH ⊥平面,ABC H 为垂足，直线DH 与平面APC 的交点为G ．当三棱锥CHP A -体积最大时，求DGGH的值．高二上10月月考数学答案一、单选题：C D C C A B A B二、多选题：AC;BCD;BC3三、填空题：10；5；318:（1）由频率直方图可得，（2）由频率分布直方图可得样本中女性⨯=，所以全市女性50.020.1⨯=，10000000.1100000。
四川省宜宾市三中教育集团2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
宜宾市三中教育集团高2023级高二十月月考数学试卷（考试时长：100分钟 总分：150分）第I 卷（选择题）一､单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线过点，且倾斜角是，则直线的方程是（ ）A. B.C.D.2.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线平面，则的值为（ ）A.B.3C.或3D.或3.若为两两垂直的三个空间单位向量，则（ ）A.4.已知直线与垂直，垂足为，则的值为（ ）A.24B.20C.0D.5.在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，则点到直线的距离为（）C.2l ()2,1-π2l 10x y ++=12y x =-20x +=10y -=l ()4,1,a k k =-- α3,,12b k k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭l ⊥αk 2-2-122-,,a b c223a b c +-= 420mx y +-=250x y n -+=()1,p m n p -+10-1111ABCD A B C D -M 1CC B 1A M6.已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A.或B.或C.D.7.某节物理课上，物理老师讲解光线的入射､反射与折射，为了更好地解释光线的路径，物理老师将此问题坐标化如下：已知入射光线从射出，经过直线的点后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点时再次反射，反射后经过点，则可以求得直线的斜率为（ ）A.B. C.4 D.38.阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）B.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知空间中三个向量，则下列说法正确的是（ ）A.与是共线向量B.与同向的单位向量是C.在方向上的投影向量是D.与的夹角为10.已知直线，当满足一定的条件时，它们的图形可能是（）()()2,3,3,2A B ---:10l mx y m +--=AB m 4m ≤-34m ≥34m ≤-4m ≥344m -≤≤344m -≤≤()6,4A --0x y -=B 1x =C ()0,12D BC 7252Oxyz ()000,,P x y z (),,m a b c =α()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=()000,,P x y z ()(),,0n u v w uvw =≠l 000x x y y z z u v w---==α270x y z -+-=l 20x y -+=210x z -+=l α1312()()()1,2,0,1,2,1,1,2,1a b c ==-=--a ca⎫⎪⎪⎭c a()1,2,0--ab9012:0,:0l ax y b l bx y a --=-+=,a bA. B.C. D.11.在正三棱柱中，，点满足，其中，则（ ）A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，有且仅有一个点，使得平面三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线与直线平行，则__________.13.在棱长为4的正方体中，点分别为棱的中点，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________.14.在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点A 作一个平面分别交于点，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，则的值为__________.111ABC A B C -11AB AA ==P 1BP BC BB λμ=+][0,1,0,1λμ⎡⎤∈∈⎣⎦1λ=1AB P V 1μ=1P A BC -12λ=P 1A P BP ⊥12μ=P 1A B ⊥1AB P ()1:120l x m y m +++-=2:280l mx y ++=m =1111ABCD A B C D -,E F 1,DA BB ,M N 11D A 11A B EN FM ⊥MN P ABCD -,,PB PC PD ,,E F G P AEFG -ACF AEFG 31,52PE PF PB PC ==PGPD四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.（1）求直线的方程；（2）求直线的方程及点的坐标.16.（本小题满分15分）如图，在正四棱柱中，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；17.（本小题满分15分）如图，已知平行六面体的底面是矩形，且，为与的交点，设.Rt ABC V 90,BAC BC ∠=AD 220x y -+=A ∠0y =B ()1,3BC AC C 1111ABCD A B C D -124,,AA AB E F ==11,BB CC 1A F ∥CDE 1A CDE -1111ABCD A B C D -ABCD 11160,2A AD A AB AB AA ∠∠====1,AD O =AC BD 1,,AB a AD b AA c ===（1）用表示；（2）求异面直线与所成角的余弦值.18.（本小题满分17分）如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.19.（本小题满分17分）已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点.（1）已知是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程；,,a b c11,A O BD 1AO 1BD ABCD 2AB AD E ==DC ADE V AE DC =BE ⊥ADE AB H ADE DHC π4H P λ12l l ､P λ12l l ､P λ1:2l y x =21:2l y x =-1O -O 12l l ､3O -1:2l y x =2l（2）如图，已知点､点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线､上的点（A ､B ､C 与均不重合），且直线是“共轭线对”，直线是“共轭线对”，直线是“共轭线对”，求点的坐标；（3）已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线的距离之积的取值范围.()0,1A ()1,0B -()1,0C PQ QR RP ､P Q R ､､PR PQ ､1P QP QR ､4Q RP RQ ､9RP (1,Q -12l l ､2Q -1l O 12l l ､参考答案：题号12345678910答案C ABBCBDDBCACD题号11答案BD12.14.8.D 【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为，同理可得平面与的一个法向量为和，设直线的一个方向向量为，则，不妨取，则，直线与平面所成的角为，则，11.易知，点在矩形内部（含边界）.对于A ，当时，，即此时线段周长不是定值，故A 错误；对于B ，当时，，故此时点轨迹为线段，而平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确.1m =34α270x y z -+-=α()02,1,1m =-20x y -+=210x z -+=()11,1,0m =- ()22,0,1m =-l ()0,,n x y z =102020m n x y m n x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 1x =()01,1,2n = l αθ01sin cos ,2m θ= P 11BCC B 1λ=11BP BC BB BC CC μμ=+=+P ∈11,CC AB P V 1μ=1111BP BC BB BB B C λλ=+=+P 11B C 11B C ∥11,BC B C ∥1A BC P 1A BC对于C ，当时，，取中点分别为，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，则，所以或.故均满足，故C 错误；对于D ，当时，，取中点为，所以点轨迹为线段.设，因为，所以，所以，此时与重合，故D 正确.14.解法二：连接交于点，则是底面的中心，连接垂直于底面，连接，交于，可得为的三等分点（靠近，连接并延长，与的交点即为，在平面内作出三角形作，垂足分别为，如图，由题意，，所以，设，则，又由三角形相似得，所以，解得：.12λ=112BP BC BB μ=+ 11,BC B C ,Q H BP BQ QH μ=+ P QH ()11,0,0,,0,,02A P B μ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()1111,0,,,102A P BP A P BP μμμμ⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0μ=1μ=,H Q 12μ=112BP BC BB λ=+ 11,BB CC ,.M N BP BM MN λ=+ P MN 010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭A ⎫⎪⎪⎭0111,,,122AP y A B ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭00311104222y y +-=⇒=-P N ,AC BD O O ,PO PO ABCD AF PO H H PO )O EH PD G ,PBD ,ES PO GT PO ⊥⊥,S T 35PS PE PO PB ==3231,53515PS PO HS PO PO ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭PG PD λ=2,3PT HT PO PO λλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭3,,5SE PE GT PG SH SEOB PB DO PD HT GT λ=====1315523PO PO λλ=⎛⎫- ⎪⎝⎭34λ=15.（1）由于所在直线的方程为，故的斜率为，与互相垂直，直线的斜率为，结合，可得的点斜式方程：，化简整理，得，即为所求的直线方程.（2）由和联解，得由此可得直线方程为：，即，关于角A 平分线轴对称，直线的方程为：，直线方程为将方程联解，得，因此，可得点的坐标为.16.（1）在正四棱柱中，两两垂直，且，以A 为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.因为分别为的中点，所以，AD 220x y -+=AD 12BC AD ∴BC 2k =-()1,3B BC ()321y x -=--250x y +-=BC 220x y -+=0y =()2,0A -AB 023012y x -+=-+2y x =+,AB AC x ∴AC 2y x =-- BC 25,y x =-+∴AC BC ､7,9x y ==-C ()7,9-1111ABCD A B C D -1,,AB AD AA 124AA AB ==1,,AB AD AA x y z ()()()12,2,0,0,2,0,0,0,4C D A ,E F 11,BB CC ()()2,0,2,2,2,2E F则，设平面的法向量为，则，即，令，则有，即，因为，所以，又平面，所以平面；（2）由（1）可知，，，所以与平面所成角的正弦值为.注意到所以点到平面的距离为，而，从而，所以，三角形的面积为所以三棱锥的体积为；17.（1）因为是平行六面体，所以，（2）()()()12,0,0,0,2,2,2,2,2CD CE A F =-=-=-CDE (),,m x y z = 00CD m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20220x y z -=⎧⎨-+=⎩1y =0,1x z ==()0,1,1m = ()12021210A F m ⋅=⨯+⨯+-⨯= 1A F m ⊥ 1A F ⊄CDE 1A F ∥CDE ()12,0,2A E =-1111cos ,2A E m A E m A E m⋅===-1A E CDE 121A E =1A CDE 12=()()2,0,0,0,2,2CD CE =-=-0,2,CD CE CD CE ⋅=== CD CE ⊥ CDE 122⨯⨯=1A CDE -1433⨯=1111ABCD A B C D -()11111222AO A A AO c a b a b c =+=-++=+-11BD BA AD a b c=+=-++1111111222A O A A AO A A AC A A AB AD=+=+=++ 32===，，若异面直线与所成角为则，因此异面直线与18.（1）证明：连接，取线段的中点，连接，在中，，在中，，由余弦定理可得：在中，，又平面平面，又平面平面平面，在中，平面平面平面平面.（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，平面的法向量，1BD == ()1111322A O BD a b c a b c ⎛⎫⋅=+-⋅-++=- ⎪⎝⎭1AO 1BD ,θ111111cos cos ,A O BD A O BD A BD θ⋅===⋅ 1AO 1BD BE AE O ,DO OC Rt ADE V ,1DA DE DO AE DO ==∴⊥=OEC V 131,π24OE AE EC OEC ∠====212215,OC OC =++⨯=∴=DOC V 2226,DC DO OC DO OC ==+∴⊥,,AE OC O AE OC ⋂=⊂,ABCE DO ∴⊥ABCE DO ⊂,ADE ∴ADE ⊥ABCE ABE V 2,AE BE AB BE AE===∴⊥ ADE ⋂,ABCE AE BE =⊂,ABCE BE ∴⊥ADE E DO l E ,,EA EB l x y z ()()()()1,0,1,1,1,0,2,0,0,0,2,0D C A B -ADE ()10,1,0n =在平面直角坐标系中，直线的方程为，设的坐标为，则，设平面的法向量为，所以，令，则，由已知解之得：或9（舍去），所以点是线段的中点.19.解：（1）由已知得，又直线的方程；（2）设直线的斜率分别为，则，得（负值舍去），直线的方程为，直线的方程为，联立得；故所求为；xOy AB 2x y +=H (),2,0t t -()()1,1,0,2,1,1HC t t DC =---=-- DHC ()222,,,0,0n x y z n HC n DC =⋅=⋅= ()()110,20t x t y x y z --+-=-+-=1y t =+()21,3,1,1,3x t z t n t t t =-=-∴=-+- πcos 4=1t =H AB 123l l k k =-1232,2l l k k =∴=-∴2l 32y x =-,,PR PQ QR 123,,k k k 122331149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩12332,,623k k k ===PR ()312y x =-PQ 213y x =+()3,3P ()3,3P（3）设，其中，故由于（等号成立的条件是），故，所以，即原点到直线的距离之积的取值范围为.()()122:1,:1l y k x l y x k-+=++=+0k≠12d d===224559k k ++≥+=22k =[)22910,145k k -∈++12d d ⎡∈⎣O 12,ll 12d d ⎡∈⎣。
四川省南充2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4.考试结束后将答题卡交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“2sin 2θ=”是“π4θ=”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】判断“sin 2θ=”和“π4θ=”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】当2sin 2θ=时，π2π,Z 4k k θ=+∈或3π2π,Z 4k k θ=+∈，推不出π4θ=；当π4θ=时，必有2sin 2θ=，故“sin 2θ=”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：C2.设l ，m 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若//l α，//l β，则//αβC.若l α⊥，m α⊥，则//l mD.若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.【详解】对选项A ，若//l α，//m α，则l 与m 的位置关系是平行，相交和异面，故A 错误.对选项B ，若//l α，//l β，则α与β的位置关系是平行和相交，故B 错误.对选项C ，若l α⊥，m α⊥，则根据线面垂直的性质得l 与m 的位置关系是平行，故C 正确.对选项D ，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β的位置关系是平行和相交，故D 错误.故选：C3.若sin 2αα-+=，则tan(π)α-=（）A. B.C.3D.3-【答案】C 【解析】【分析】由sin 2αα-+=两边同时平方，从而利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化，【详解】由sin 2αα-+=两边同时平方，可得22sin cos 3cos 4αααα-+=，∴222222sin cos 3cos tan 34sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++，解得tan 3α=-.()tan tan 3παα∴-=-=.故选：C.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB A C 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A.23B.33C.23D.13【解析】【分析】以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()1(2,0,2),(1,1,0),(2,2,0),1,1,2A M B N ，所以()1(1,1,2),1,1,2MA BN =-=--设向量1MA 与BN的夹角为θ，则1142cos 63MA BN MA BNθ⋅===⋅，所以直线1A M 和BN 夹角的余弦值为23，故选：C ．5.在三棱锥S ABC -中，()()20SC SA BS SC SA ++⋅-=，则ABC V 是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由向量的线性运算得到2,SC SA BS BC BA SC SA BC BA ++=+-=- ，从而说明22BC BA = ，即可求解.【详解】()()22,SC SA BS SC SA SB SC SB SA SB BC BA SC SA AC BC BA ++=+-=-+-=+-==- ，()()()()2220SC SA SB SC SA BC BA BC BA BC BA ∴+-⋅-=+⋅-=-= ，BC BA ∴=，即BC BA =，所以ABC V 是等腰三角形.故选：C6.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）A.38B.29C.59D.34【答案】B 【解析】【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，用列举法即可求解.【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，(),x y 代表依次摸出的卡片，{},,,x y A B C ∈，则基本事件分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C B A B B B C C A C B C C ，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：()(),,,A B B A ，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是29.故选：B.7.已知函数()3f x x =，若正实数a ，b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为（）A.1B.3C.6D.9【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得49a b +=，再结合基本不等式“1”的代换可得解.【详解】由已知()3f x x =，定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，则()f x 是R 上的奇函数，且函数()3f x x =在R 上单调递增，又()()490f a f b +-=，即()()()499f a f b f b =--=-，则49a b =-，即49a b +=，且0a >，0b >，所以()1111114144415999a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又44a b b a +≥=，即()11141554199a b a b b a ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即32a =，3b =时，等号成立，即11a b+的最小值为1.故选：A.8.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈=，则集合T 所表示的曲线长度为（）A.5πB.2πC.3D.π【答案】B 【解析】【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后即可求解.【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且23632BO =⨯⨯=，故PO ==因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，集合T 所表示的曲线长度为2π故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分分，有选错的得0分.）9.函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π6ϕ=C.()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数的图象，先求得ω，然后求得ϕ，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】()()5ππ2ππ,π,2,sin 22632T T f x x ωϕω=-=∴==∴==+，π2sin π133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ2π7π,22636ϕϕ-<<<+<，所以2πππ,326ϕϕ+==-，所以A 选项正确，B 选项错误.()ππππsin 2,2π,,66122k f x x x k x k ⎛⎫=--==+∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k =时，得π12x =，所以()f x 关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 选项正确，11111πππππ2π22π,ππ,26263k x k k x k k -+<-<+-+<<+∈Z ，当11k =时，得()f x 在54π,π63⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，则()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以D 选项正确.故选：ACD10.对于随机事件A 和事件B ，()0.3P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.3P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B ⋃=C.若A 与B 相互独立，则()0.12P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.7P A B ⋃=【答案】BC 【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】对于A ：若A 与B 互斥，则()0P AB =，故A 错误；对于B ：若A 与B 互斥，则()()()0.7P A B P A P B =+= ，故B 正确；对于C ：若A 与B 相互独立，则()()()0.12P AB P A P B ==，故C 正确；对于D ：若A 与B 相互独立，则()()()()0.30.40.30.40.58P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-⨯=，故D 错误.故选：BC11.如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列结论中正确的有（）A.(a ∃∈，使12MN CE=B.线段MN 存在最小值，最小值为23C.直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D.(a ∀∈，都存在过MN 且与平面BEC 平行的平面【分析】利用向量的线性运算可得()1MN a BC aBE =-+，结合向量的模的计算可判断B 的正误，结合向量夹角的计算可判断C 的正误，结合共面向量可判断D 的正误.【详解】因为四边形ABCD 正方形，故CB AB ⊥，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB BE ⊥.设MC AC λ=，则= BN BF λ，其中()0,1λ=，由题设可得MN MC CB BN AC CB BF λλ=++=++，()()()1BC BA CB BA BE BC BE λλλλ=-+++=-+，对于A ，当12λ=即2a =时，111222MN BC BE CE =-+= ，故A 正确；对于B ，()22222111221222MN λλλλλ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，故22MN ≥，当且仅当12λ=即2a =时等号成立，故min 22MN =，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+，而平面ABEF 的法向量为BC 且()211MN BC BC λλ⋅=-=-，故cos ,MN BC =，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+ ，故,,MN BC BE为共面向量，而MN ⊄平面BCE ，故//MN 平面BCE ，故D 正确；故选：AD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.复数2i12iz +=-的共轭复数z =______．【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念可求解.【详解】因为2i 12i z +=-()()()()2i 12i 12i 12i ++=-+5i i 5==，所以z =i -.故答案为：i-13.已知向量()2,1,1a =- ，()1,,1b x = ，()1,2,1c =-- ，当a b ⊥ 时，向量b 在向量c上的投影向量为________．（用坐标表示）【答案】()1,2,1-【解析】【分析】先根据向量垂直得到方程，求出3x =，再利用投影向量公式求出答案.【详解】因为a b ⊥ ，所以210a b x ⋅=-+=，所以3x =．因为()1,3,1b = ，所以b 在c 上的投影向量为()1,2,1||||b c cc c c ⋅⋅=-=-．故答案为：()1,2,1-14.已知在ABC V 中，满足)34AB AC AB ACAB AC AB AC++=+,点M 为线段AB 上的一个动点，若MA MC ⋅ 取最小值3-时，则BC 边的中线长为______．【答案】1112【解析】【分析】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，根据题意可推得||3,||4AD AN == ，2π3ADE ∠=，进一步根据MA MC ⋅ 取最小值3-时，求得对应的AC =AB =，由此即可得解.【详解】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，则//,//AD EN AN DE ，四边形ADEN为平行四边形，||||3||3,||4,||4||||AB AD AD AN AE AC AN =====，22343712πcos 23423ADE ADE +-∴∠==-⇒∠=⨯⨯，又四边形ADEN 为平行四边形，3πBAC ∴∠=，设,,0,0MA AD AC AN λμλμ==≤≥，()()296MA MC MA MA AC AD AD AN λλμλλμ⋅=⋅+=⋅+=+，由题意2963λλμ+≥-即29630λλμ++≥恒成立，且存在,R λμ∈使得29630λλμ++=成立，其次29630λλμ++=当且仅当2296303Δ361080λλλμμμ⎧⎧=-++=⎪⇔⎨⎨=-=⎩⎪=⎩，此时AC ==AB ==所以BC边的中线长为122AB AC +===.故答案为：2.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图,四边形ABCD 为矩形,且2AD =,1AB =,PA ⊥平面ABCD ,1PA =,E 为BC 的中点．（1）求证：PE DE ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的外接球体积．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接AE ，由线面垂直得到PA DE ⊥，再由线面垂直的判定定理得到DE ⊥平面PAE ，即可证明；（2）由底面为矩形利用长方体的性质可得四棱锥外接球的半径，再由体积公式计算体积.【小问1详解】连结,AE E 为BC 的中点,1EC CD ==，∴DCE △为等腰直角三角形,则45DEC ∠=︒，同理可得45AEB ∠=︒，∴90AED ∠=︒，∴DE AE ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥，又∵AE PA A = ，,AE PA ⊂平面PAE ，∴DE ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴DE PE ⊥．【小问2详解】∵PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，∴P ABCD -的外接球直径2R =∴2R =，故：3344ππ332V R ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，∴四棱锥P ABCD -．16.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos a B b A b c -=+.（1）求角A 的值；（2）若a ABC = ，求,b c .【答案】（1）2π3（2）2，2【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.【小问1详解】cos cos a B b A b c -=+ ，由正弦定理可得：sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B ∴-=++，即2sin cos sin B A B -=，sin 0B ≠ ，1cos 2A ∴=-，(0,π)A ∈ ，2π3A ∴=.【小问2详解】由题意，1sin 24ABC S bc A bc ===△，所以4bc =，由222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，得()2216b c a bc +=+=，所以4b c +=，解得：2b c ==.17.全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实践技能考试中“合格”的概率依次为12，23，23，所有考试是否合格互不影响.（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.【答案】（1）35（2）13【解析】【分析】（1）先根据对立事件的概率公式结合独立事件概率乘积公式计算；（2）先应用对立事件的概率公式及独立事件概率乘积公式应用互斥事件求和计算；【小问1详解】记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件1A ，1B ，1C ，在实践考试中合格依次为2A ，2B ，2C ，设甲没有获得执业医师证书的概率为P124131()1525P P A A =-=-⨯=.【小问2详解】甲、乙、丙获得执业医师证书依次为12A A ，12B B ，12C C ，并且1A 与2A ，1B 与2B ，1C 与2C 相互独立，则()12412525P A A =⨯=，()12321432P B B =⨯=，()12224339P C C =⨯=,由于事件12A A ，12B B ，12C C 彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：()()()()()()()()()121212121212121212A A B B C C A A B B C C A A B B C C ++，概率为212142141(1)(1)(1)52952952934P =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=.18.为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在50,60的平均成绩是56，方差是7，落在60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s ．【答案】（1）0.030（2）84（3）平均数为62；方差为23【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）根据百分位数的计算公式即可求解，（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；再由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差，即可求解.【小问1详解】由每组小矩形的面积之和为1得，0.050.10.2100.250.11a +++++=，解得0.030a =．【小问2详解】成绩落在[)40,80内的频率为0.050.10.20.30.65+++=，落在[)40,90内的频率为0.050.10.20.30.250.9++++=，显然第75百分位数[)80,90m ∈，由()0.65800.0250.75m +-⨯=，解得84m =，所以第75百分位数为84；【小问3详解】由频率分布直方图知，成绩在[)50,60的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[)60,70的市民人数为1000.220⨯=，所以10562065621020z ⨯+⨯==+；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为()(){}222110756622046562231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，且ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB AA B ∠=∠=．（1）若1A BC 为等边三角形，证明：平面1AAB ⊥平面ABC ；（2）若二面角1A AB C --的平面角为π3，求以下各值：①求点1B 到平面1A CB 的距离；②求平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）①2217，②277【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形及等边三角形的性质可得各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，根据线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直；（2）根据二面角的定义可值1CEA 为等边三角形，①利用等体积转化法可得点到平面距离；②根据二面角的定义可得两平面夹角.【小问1详解】设AB 的中点为E ，连接CE ，1A E ，如图所示，因为ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB A AB ∠=∠=，故1cos 452BC A B AB ==⋅︒=CE AB ⊥，且112CE AB ==，1112A E AB ==，因为1A BC 为等边三角形，故12==AC BC ，故22211A C CE A E =+，即1CE A E ⊥，又AB ，1A E ⊂平面1AA B ，1A E AB E ⋂=，故CE ⊥平面1AA B ，且CE ⊂平面ABC ，故平面1AA B ⊥平面ABC ；【小问2详解】①由（1）知，CE AB ⊥，1A E AB ⊥，且平面1AA B ⋂平面ABC AB =，故1CEA ∠即二面角1A AB C --的平面角，即1π3CEA ∠=，故1CEA 为等边三角形，则111CA CE A E ===，因为CE AB ⊥，1A E AB ⊥，1A E CE E ⋂=，且CE ，1A E ⊂平面1CEA ，所以AB ⊥平面1CEA ，设线段1A E 中点为F ，则1CF A E ⊥，AB CF ⊥，又AB ，1A E ⊂平面11ABB A ，1AB A E E = ，CF ∴⊥平面11ABB A ，又在三角形1CEA中易知：2CF =，∴11111112133226C A BB A BB V CF S -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，又在三角形1A BC 中，由11AC =，1BC A B ==则22211113cos 24BC A B A CA BC BC AB +-∠==⋅，1sin 4A BC ∠=，则11117sin 24A BC S AB BC A BC =⋅⋅∠= ，设点1B 到平面1A CB 的距离为d ，又由1111113C A BB B A BC A BC V V S d --==⋅⋅△，可得7d =，即求点1B 到平面1A CB 的距离为2217；②由①知，AB ⊥平面1CEA ，而11//AB A B ，故11A B ⊥平面1CEA ，且1A C ⊂平面1CEA ，故111A B AC ⊥，则2211115B C A B AC =+=，设1AC 和1B C 的中点分别为M ，N ，连接MN ，BN ，BM，则11//MN A B ，11112MN A B ==，1MN AC ⊥，又因为12BC A B ==1BM A C ⊥，且MN ⊂平面11A B C ，BM ⊂平面1A BC ，故BMN ∠即二面角11B A C B --的平面角，且222211722BM BC CM BC A C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，因为112BB AA BC ===，故1BN B C ⊥，则222211322BN BC CN BC B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以222731744cos 277212BM MN BN BMN BM MN +-+-∠==⋅⨯⨯，故平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值为277．。
广东省珠海二中2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题含答案
（1）求 cos C ；
（2）若 c 3 ，求 a b 的取值范围.
解：（1） a c cos B 1 b ，由正弦定理可得 sin A sin C cos B 1 sin B ，
2
2
即 sin B C sin C cos B 1 sin B ，整理得 sin B cos C 1 sin B .
3、非选择题必须用黑色自己的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如
需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项
有 (8k 2 )2 4(1 2k 2 )(8k 2 2) 0 ，整理得 2k 2 1 0 .
设 A(x1,y1) ， B(x2 , y2 ) ，则
x1
x2
8k 2 1 2k2
，
x1x2
8k 2 2 1 2k2
.
有 kAF
kBF
y1 x1 1
y2 x2 1
k x1 2
x1 1
k x2 2
g
x
sin
x
4
的图像，则正数
的
最小值等于 3 . 2
17.下列命题中：（1）“若 xy 1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；（2）“四边相等的四边形是正方形”的否命
题；（3）“梯形不是平行四边形”的逆否命题；（4）“若 sin x sin y ，则 x y ”的逆命题.其中是真命题的
是（1）（2）（3）（4）.
江苏省扬州中学2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学(含答案)
2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）A B. C. 或 D. 或2. 若圆与圆相切，则（）A. 6B. 3或6C. 9D. 3或93. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）A. B. C. D.4. 若点在圆内，则直线与圆C 的位置关系为（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ）A. B. C. D.6. 已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.7. 已知圆关于直线对称，则实数（ ）.()()2,02,3A B ､l ()1,2P AB l k 21k -≤≤112k -≤≤12k ≤-1k ≥2k ≤-1k ≥()2221:(4)0O x y r r ++=>222:(2)9O x y -+=r =1:10l x y -+=2:210l x y --=1l 2l 3450x y +-=3410x y --=3410x y -+=4310x y --=4310x y -+=(),P a b221Cx y +=：1ax by +=(2,1)M -2+1=0x y -22(2)(1)5x y -+-=22(2)(1)5x y -++=22(2)(1)25x y -++=22(2)(1)25x y -+-=224x y +=y x b =+b ()2,2-(()1--()1,1-22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =A 1或 B. 1 C. 3 D. 或38. 若圆与圆交于两点，则的最大值为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 若直线与圆交于两点，则（ ）A. 圆的圆心坐标为B. 圆的半径为3C. 当时，直线倾斜角为D. 的取值范围是10. 已知点在上，点，，则（ ）A. 点到直线的距离最大值是B. 满足的点有2个C. 过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点D. 的最小值为11. 设直线系（其中均为参数，），则下列命题中是真命题的是（）A. 当时，存在一个圆与直线系中所有直线都相切B. 当时，若存在一点，使其到直线系中所有直线的距离不小于1，则C. 存在，使直线系中所有直线恒过定点，且不过第三象限D. 当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分..的3-1-22:(cos )(sin )1(02π)M x y θθθ-+-=≤<22:240N x y x y +--=A B ､tan ANB ∠344543:2cos 0l x y θ-⋅=22:10E x y +--=,A B E ()-E 1cos 2θ=l π4AB ⎡⎢⎣P 22:4O x y +=e ()3,0A ()0,4B P AB 125AP BP ⊥P AB O e ,M N MN 4,13⎛⎫ ⎪⎝⎭2PA PB +:cos sin 1m n M x y θθ+=,,m n θ{}02π,,1,2m n θ≤≤∈1,1m n ==M 2,1m n ==(),0A a M 0a ≤,m n M m n =M12. 已知直线，圆，写出满足“对于直线上任意一点，在圆上总存在点使得”的的一个值______．13. 已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得弦长为定值，则该定值为__________.14. 如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上的一个动点，点Q 是以AB 为直径的圆O 的下半个圆（包括A ，B 两点）上的一个动点，，则的最小值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知直线与直线．（1）若，求m 的值；（2）若点在直线上，直线过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．16. 已知：及经过点的直线.（1）当平分时，求直线的方程；（2）当与相切时，求直线的方程.17. 如图，已知，直线.（1）若直线等分的面积，求直线的一般式方程；（2）若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程.的:1l x my =--22:6890O x y x y ++++=l A O B π2ABO ∠=m ()()223411y x m x m m =+---∈R x ,A B ()1,3CG ,,A B C l G ,3,2PB AB AB PB ⊥==1)3AP BA QC +⋅（()1:280l m x my ++-=2:40,R l mx y m +-=∈12l l //()1,P m 2l l l C e ()()22124x y -+-=()1,1P --l l C e l l C el (()(),0,0,12,0A BC (():20l k x y k k +--=∈R l ABC Vl (2,P P BC K AC I P PK18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆交于两点，当数的值；（3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.19. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者．（1）计算点和点之间的“距离”；（2）设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；（3）证明：对任意点．的M 340x -+=(M x M ()()():21174l m x m y m m +++=+∈R M ,P Q PQ =m M x M ,A B O ,OA OB 8x =,C D ,OAB OCD V V 12,S S 12S S ()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12t PP 1P 2P t -{}max ,p q ,p q ()1,2P ()2,4Q t -()000,P x y 0r >0P t -r 0P r t -O 12t -()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1（答案不唯一）【13题答案】【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2）或【16题答案】【答案】（1） （2）或.【17题答案】【答案】（1； （2）.【18题答案】【答案】（1） （2）. （3）.【19题答案】【答案】（1）； （2）4；（3）证明见解析.3--1m =-10x y -+=20x y -=3210x y -+=1x =-51270x y --=170y +-=2100x -=22(4)16x y -+=23m =-1423。
河南省新乡市原阳县第一高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年高二上期10月月考数学试卷考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的倾斜角是( )A. B. C.D.2.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k 等于( )A. 4B. -4C. 5D. 3.若双曲线离心率为2，过点，则该双曲线的方程为( )A. B. C. D. 4．若圆：与圆：相切，则（ ）A ．9B ．10C ．11D ．9或115．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A 到B 走过的路程为（）AB ．CD ．6．如图，棱长为1的正方体，中M ，N 点，分别是线段，的中点，记E 是线段的中点，则点E 到面的距离为（）10y --=3π-6π-6π3πα(1,2,2)a =-β(2,4,)b k =-- αβ⊥5-2222:1x y C a b-=2221x y -=2213y x -=22531x y -=22126x y -=1C ()()22121x y ++-=2C ()()22256x y r -++=r =()1,0A 10x y ++=()6,5B -1111ABCD A B C D -1BB 1DD 1MC 1ANBA．BCD ．7．已知，，动点P 满足，则点P 的轨迹与圆相交的弦长等于（）A ．BCD8．棱长为2的菱形ABCD 中，，将沿对角线BD 翻折，使A 到P 的位置，得到三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥B ．C ．存在某个位置，使得D ．存在某个位置，使得面BCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．以下四个命题正确的有（）A ．直线与直线B ．直线l 过定点，点和到直线l 距离相等，则直线l 的方程为C ．点到直线D ．已知，则“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件10．下列说法正确的是（）A ．在四面体OABC 中，若，则A ，B ，C ，G 四点共面B ．若G 是四面体OABC 的底面三角形ABC 的重心，则C ．已知平行六面体的棱长均为1，且，则2313()2,0A -()2,0B PAPB=224x y +=60BAD ∠=︒ABD △P BCD -P BCD -CD PC⊥CD PB⊥CP ⊥220x y +-=2410x y ++=()0,1-()3,4A --()6,3B 330x y -++=()1,210x y +-=a R ∈210ax y +-=()120a x ay a +-+=3a =151266OG OA OB OC =-++()13OG OA OB OC=++1111ABCD A B C D -1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒对角线D ．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为11“黄金椭圆”，在椭圆中，，，，分别是椭圆的左、右顶点和上、下顶点，，是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上的动点，则下列选项中，能使椭圆是“黄金椭圆”的有（）A ．轴且B ．C ．四边形的内切圆过D ．非选择题部分三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知椭圆C ：，则椭圆的短轴长为______．13．已知，过定点M 的动直线与过定点N 的动直线相交于点P ，则的最大值是______．14．已知一张纸上画有半径为4的圆O ，在圆O 内有一个定点A ，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C ．则曲线C 上的点到点O 的最大距离为______．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）如图，在正方体中，E 为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．1AC =p mx n y k z =++ (),,m n k p {},,x y z p{},,a b c ()1,2,3p {},,a b a b c -+ 13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭()222210x y a b a b+=>>1A 2A 1B 2B 1F 2F 1PF x ⊥21//PO A B 2121122F F A F A F =1122A B A B 1F 2212A B F B ⊥2221x y +=a R ∈310ax y a --+=310x ay a +--=PM PN 2OA =A 'A 'OA '1111ABCD A B C D -1BB 1A C ⊥11AB D 1CC 1AD E16．（本小题15分）圆C 过点和，圆心C 在直线上．（1）求圆C 的标准方程（2）直线l 经过点，且被圆C 所截得的弦长为4，求直线l 的方程17．（本小题15分）已知O 为坐标原点，是椭圆C：的左焦点，点P 是椭圆的上顶点，以点P 为圆心且过的圆恰好与直线相切．（1）求椭圆C 的方程（2）斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B两点，求面积的最大值18．（本小题17分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD ，，，BD 是的平分线，且，二面角的大小为60°．（1）若E 是棱PC 的中点，求证：平面PAD（2）求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的夹角的余弦值19．（本小题17分）已知圆O 的方程为，与x 轴的正半轴交于点N ，过点作直线与圆O交于A 、B 两点．（1）若坐标原点O 到直线AB 的距离为1，求直线AB 的方程；（2）如图所示，已知点P(-4,0), 一条斜率为－1的直线交圆于R ，S 两点，连接PS ，PR ，试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．()4,2A ()1,3B 1y x =-()1,1P -()11,0F -()222210x y a b a b+=>>1F x =AOB △P ABCD -PAD ⊥2PA AD ==4BD =AB =ADC ∠BD BC ⊥P AB D --//BE 2216x y +=()3.0M NPS ∠NPR ∠NPS NPR ∠+∠高二年级数学答案一、选择题：1．D 2．D 3．B 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 二、选择题；9．ACD 10．BCD 11．CD三、填空题；1213．4 14．3四、解答题；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．解：（Ⅰ）由正方体的性质可知，面，则，又，，∴面，则同理，，∴平面（Ⅱ）解法一：以A 为原点，AD 、AB 、分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为a ，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，∴，设直线与平面所成角为θ，则，故直线与平面所成角的正弦值为．BC ⊥11ABB A 1BC AB ⊥11AB A B ⊥1BC A B B = AB ⊥1A BC 11AB A C⊥111B D A C ⊥1111B D AB B = 1A C ⊥11AB D 1AA ()0,0,0A ()10,0,A a =()1,0,D a a 10,,2E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()10,0,AA a = ()1,0,AD a a = 10,,2AE a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1AD E (),,m x y z = 10m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()0102a x z a y z +=⎧⎪⎨⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎩2z =2x =-1y =-()2,1,2m =--1AA 1AD E 11122sin cos ,33m AA a m AA a m AA θ⋅====⋅⋅1CC 1AD E 23解法二：设正方体的棱长为，则，，，， 由余弦定理知，∴，∴，设点到平面的距离为h ，∵，∴，∴，设直线与平面所成角为θ，则．故直线与平面所成角的正弦值为．16．（1）AB 的中垂线方程为，联立，知，则∴圆C 的标准方程是（2）若直线l 的斜率不存在，直线l ：，弦长，成立若直线l 的斜率存在，设直线l ：，圆心C到直线l 的距离为1，，则直线l ：∴直线l ：或17．（1）∴椭圆C 的方程为（2）设，，直线l ：联立方程，得2a 1AD =AE =13ED a =1212222AA D S a a a =⋅⋅=△2221111cos 2AD AE ED EAD AD AE +-∠===⋅⋅1sin EAD ∠=12111sin 32EAD S AD AE EAD a =⋅⋅∠=△1A 1EAD 111A EAD E AA D V V --=221132233h a a a ⋅=⋅⋅43h a =1AA 1AD E 1423sin 23a h AA a θ===1CC 1AD E 2335y x =-351y x y x =-⎧⎨=-⎩()2,1C r =()()22215x y -+-=1x =4=()11y k x +=-134k =3744y x =-1x =3744y x =-a =1c =2212x y +=()11,A x y ()22,B x y y x m=+2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2234220x mx m ++-=∵直线l 交椭圆C 于A ，B 两点 ∴，得，∴弦长又点O 到直线l 的距离∴当，即时取得等号 ∴18．解：（1）取CD 中点F ，连接BF ，EF ∵ ∴，则而B D 是的平分线，则，从而，则，BF 不在平面PAD 内，平面PAD ，则平面PAD E ，F 分别是PC ，CD 的中点，则，EF 不在平面PAD 内，平面PAD ，则平面PAD ，又∴平面平面PAD ∴平面PAD（2）由题知，，又面面ABCD ，得面PAD 则是二面角的平面角，即，是等边三角形，如图建系，，，设平面PAB 的一个法向量为，则，得，令，则()221612220m m ∆=-->23m <1243m x x +=-212223m x x -=2ABx =-=d 1122S AB d =⋅==≤232m =m =max S =BDBC ⊥BF DF =FDB FBD∠=∠ADC ∠FDB ABD ∠=∠FBD ADB ∠=∠//BF AD AD ⊆//BF//EF PD PD ⊆//EF EF BF F= //BEF //BE BA AD ⊥PAD ⊥BA ⊥PAD ∠P AB D --60PAD ∠=︒PAD ∆(P ()1,0B -()0,1,0D ()C ()1,,n x y z =1100n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0y ⎧=⎪⎨=⎪⎩1z =()10,n =同理平面的PCD 一个法向量，设平面PAB 与平面PCD 的夹角为α则∴平面PAB 与平面PCD19．（1）若直线AB 的斜率不存在，距离为3，不符合若直线AB 的斜率存在，设直线AB ：，得∴直线AB 的方程为（2）设直线RS ：，，记，，联立方程，得 ∴，，∴，∴∵，都是锐角 ∴的定值．()1n =-1212cos n n n n α⋅==()3y k x =-1=k =y x =y x =y x m =-+()11,R x y ()22,S x y 111tan 4y k NPR x ==∠+222tan 4y k NPS x ==∠+2216x y y x m⎧+=⎨=-+⎩2222160x mx m -+-=12x x m +=212162m x x -=()12122y y x x m m +=-++=()()21212162m y y x m x m -=-+-+=()1212121244tan tan tan 1tan tan 144y yx x NPS NPRNPS NPR y y NPS NPR x x +++∠+∠∠+∠==-∠⋅∠-⋅++()()()12121212122484161416416x x m x x m m x x x x y y m -+-+++===+++-+NPS ∠NPR ∠0NPS NPR π<∠+∠<4πNPS NPR ∠+∠=。
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)月考数学试卷
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）月考数学试卷一、单选题1310y -+=的倾斜角是（ ） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m ≤- B ．1m <- C ．1m ≥-D ．1m >-3．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1m =-r ，平面α的一个法向量为1,1,2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，若//l α，则x =（ ）A ．52B ．52-C ．12-D ．124．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（ ） A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB AC 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（ ）A B C ．23D ．126．当点()2,1P --到直线()()():131240l x y λλλλ+++--=∈R 的距离最大时，直线l 的一般式方程是（ ） A ．3250x y +-= B ．2310x y -+= C ．250x y ++=D ．2320x y -+=7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．138．如图，在四裬锥P ABCD -中，PA ⊥平面,90,ABCD BAD BC ∠=o ∥AD ，12,2PA AB BC AD Q ====是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大小为π3，若点M 是PC 中点，则四棱锥M ADQ -体积的最大值是（ ）A B ．43C D ．1二、多选题9．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（ ）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为510．如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,C AC l D αβ∈⊥∈，BD l ⊥，若2,AC AB BD CD ====，则（ ）A ．直线AB 与CD 所成角的余弦值为45o B ．二面角l αβ--的大小为60oC ．三棱锥A BCD -的体积为D ．直线CD 与平面β11．如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，则（ ）A ．当M 在平面1111D CB A 内运动时，四棱锥M ABCD -的体积是定值 B ．当M 在直线11AC 上运动时，BM 与AC 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点M D ．若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN 的三、填空题12．已知空间直角坐标系中的三点()2,0,2A 、()0,0,1B 、()2,2,2C ，则点A 到直线BC 的距离为．13．一条光线从点(4,0)A -射出，经直线10x y +-=反射到圆22:(2)2C x y ++=上，则光线经过的最短路径的长度为．14．已知梯形CEPD 如图1所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．已知当点F 满足(01)AF AB λλ=<<u u u r u u u r 时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为．图1 图2四、解答题15．已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=. (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB V 面积最小时，求AOB V 的周长. 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11AC 的中点.(1)求异面直线AE 与1B C 所成角的余弦值； (2)求三棱锥1A B CE -的体积.17．已知圆满足：截y 轴所得弦长为2；被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， (1)若圆心在直线20x y -=上，求圆的标准方程；(2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线1:20x y -=的距离最小的圆的方程．18．如图，PD ⊥平面,,ABCD AD CD AB ⊥∥,CD PQ ∥,222CD AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.(1)求证：EF ∥平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的余弦值；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.19．如图，在ABC V 中，,2,AC BC AC BC D ⊥==是AC 中点，E F ､分别是BA BC ､边上的动点，且EF ∥AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥P ACFE -；(1)求证：EF PC ⊥；(2)若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正弦值； (3)当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.。
四川省南充市白塔中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
四川省南充市白塔中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．()()123322a b c a b c +----= （）A ．542a c--B ．5422a b c-+-C ．53722a b c-++D ．59522a b c-+-2．在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是（）A ．必然事件B ．随机事件C ．确定事件D ．不可能事件3．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A ．对立B ．相等C ．相互独立D ．互斥但不对立4．已知空间向量()1,3,5a =- ，()2,,b x y = ，且//a b，则x y -=（）A ．16-B ．16C ．4D ．4-5．若{},,a b c构成空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）A ．2,,2b c b b c+- B ．,2,2a a b a b+-C ．,,a b a b c+- D ．,,a b a b c c+++ 6．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是16，14，13，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为A ．3172B ．712C ．2572D ．15727．已知向量()4,3,2a =- ，()2,1,1b = ，则a 在向量b上的投影向量为（）A ．333,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,244⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．333,,422⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,2,28．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA =O 为BC 的中点，M 为棱11B C 上的动点，N 为棱AM 上的动点，且MN MOMO MA=，则线段MN 长度的取值范围为（）A ．⎣B ．,27⎢⎣⎦C ．,47⎢⎣⎦D ．二、多选题9．已知事件A ，B ，且()0.4,()0.3P A P B ==，则（）A ．如果B A ⊆，那么()0.3P AB =B ．如果B A ⊆，那么()0.4P A B = C ．如果A 与B 相互独立，那么()0.7P A B ⋃=D ．如果A 与B 相互独立，那么()0.42P AB =10．下列事件中，,A B 是相互独立事件的是（）A ．一枚硬币掷两次，A =“第一次为正面”，B =“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A =“第一次摸到白球”，B =“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A =“出现点数为奇数”，B =“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，A =“出现点数为奇数”，B =“出现点数为偶数”11．如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，且π3APD APC DPC ∠=∠=∠=，2,3PA PC PD ===，G 为PCD △的重心，M 为BG 的中点．若,BG mPA nPC pPD PT PD λ=++=，则下列结论正确的是（）A ．13m n p ++=-．B ．5PM =C ．若14λ=，则向量,,PM AD GT 共面D ．若BG GT ⊥ ，则16λ=三、填空题12．设向量()1,,3a m = ，()4,1,0b =- ，若a b ⊥，则m =.13．袋中有红球､黑球､黄球､绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，则得到黄球的概率是.14．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，26AB BC ==，PC PD ⊥，PC PD =，点O 是CD 的中点，则线段PB 上的动点E 到直线AO 的距离的最小值为.四、解答题15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACB ∠为直角，侧面11BCC B 为正方形，2BC =，C 1A =.(1)求证：1⊥BC 平面1AB C ；(2)求直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.16．平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，M 为BD 中点，P 为1BB 中点，设AB a=，AD b = ，1AA c = ；(1)用向量a ，b ，c 表示向量PM，并求出线段PM 的长度；(2)请求出异面直线PM 与1AC 所成夹角的余弦值.17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12BC CC M N P ==，，，分别是11CC AB BB ，，的中点.(1)求点M 到平面PCN 的距离.(2)在线段1BB 上是否存在一点Q ，使1AB ⊥平面1A MQ ？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，也请说明理由.18．某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B 类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A 类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B 类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.(1)求小明在第一轮得40分的概率；(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？19．如图①所示，长方形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -．(1)求四棱锥P ABCM-的体积的最大值；(2)若棱PB的中点为N，求CN的长；(3)设P AM D--的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值．。
2019-2020学年重庆市第一中学校高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年重庆市第一中学校高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为 ( )A B ．C D ．3-【答案】A【解析】因为直线的倾斜角为60︒，所以直线的斜率tan 603k == A. 2．在等差数列中，，则数列的前5项之和的值为（ ）A ．108B ．90C ．72D ．24 【答案】B 【解析】由于，所以，应选答案A 。
点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质，然后整体代换前项和中的，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙。
当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点。
3．经过点(2,5)A ,(3,6)B -的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2 B ．3- C ．27- D ．27【答案】D【解析】试题分析：由两点式得直线方程为＝，即x ＋5y －27＝0，令y ＝0得x ＝27．故选D ．【考点】求直线方程及截距．4．在ABC △中，3A π∠=，3BC =，AB =C ∠的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】由已知利用正弦定理sin C =C ∠为锐角，即可利用特殊角的三角函数值求解，得到答案．在ABC 中，因为3A π∠=，3BC =，AB =，由正弦定理sin sin BC AB A C=，可得sin 2sin 32AB A C BC ⋅===， ∵AB BC <，可得A C ∠>∠，所以C ∠为锐角，∴4C π∠=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．5．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，－2)∪2(,)3+∞ B ．2(,0)3- C ．(－2，0) D ． 2(2,)3-【答案】D【解析】方程为2()2a x + ＋(y ＋a )2＝1－a －234a 表示圆，则1－a －234a ＞0，－2＜a＜23. 答案 D 6．如图所示，在正方体1AC 中，E ，F 分别是1DD ，BD 的中点，则直线1AD 与EF 所成角的余弦值是（ ）A ．12 BC． D【答案】C【解析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E ，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．如图，取AD 的中点G ，连接EG ，GF ，∠GEF 为直线AD 1与EF 所成的角设棱长为2，则，GF=1，EF=cos ∠GEF=3， 故选：C ．【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．已知数列{}n a 为等比数列，472a a +=，224720a a +=，则110a a 的值为（ ）A ．16B ．8C ．-8D ．-16【答案】C【解析】由472a a +=，224720a a +=，可得()24747202a a a a =+-，可得11047a a a a =．【详解】∵472a a +=，224720a a +=，∴()24747202a a a a =+-，解得478a a =-， ∴110478a a a a ==-， 故选：C ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 8．设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】若为坐标原点可得，从而可求得，根据，可得轨迹为圆，为直径，从而求得结果.【详解】若为坐标原点，即为中点，则又在以点为圆心的圆上，且为直径本题正确选项： 【点睛】本题考查利用轨迹方程求解椭圆中的角度问题，关键是能够利用长度关系确定点的轨迹为圆.9．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++= D ．()()22114x y +++=【答案】C【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --==设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --=的左上方，=且0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=.故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．10．已知点()7,3P ，圆M ：22210250x y x y +--+=，点Q 为在圆M 上一点，点S 在x 轴上，则SP SQ +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】根据条件，转化为在x 轴上找一点S ，使得S 到点P 和点M 距离之和最小问题，只需作P 关于x 轴的对称点P'，连接'P M ，则'P M 与x 轴交点即为点S ．'P M -半径即为SP SQ +的最小值．【详解】由题意知，圆的方程化为：()()22151x y -+-=； 所以，圆心()1,5M ，半径为1；如图所示，作点()7,3P 关于x 轴的对称点()'7,3P -；连接'MP ，交圆与点Q ，交x 轴与点S ，则SP SQ +的值最小； 否则，在x 轴上另取一点'S ，连接'S P ，''S P ，'S Q ， 由于P 与P'关于x 轴对称，所以'SP SP =，'''S P S P =；所以，'''''SP SQ SP SQ P Q S P S Q +=+=<+''S P S Q =+； （三角形中两边之和大于第三边）．故SP SQ +的最小值为'119P M -==；故选：C ．． 【点睛】本题考查了点关于直线的对称问题，属于作图题，数形结合有利于解决问题，属于基础题11．如图，在平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面ABD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．B ．3πC ．3D ．2π【答案】B【解析】由题意，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积． 【详解】解：由题意，四面体A BCD -顶点在同一个球面上，BCD ∆和ABC ∆都是直角三角形，所以BC 的中点就是球心，所以BC =，球的半径为：2，所以球的表面积为：2432ππ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭．故选：B ． 【点睛】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力．12．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．⎣⎦D ．3⎣⎦【答案】D【解析】由已知设M （x ，2a -），N （x ，2a ），代入椭圆方程，得N ，2a ），由α为直线ON 的倾斜角，得tanα=，由此能求出椭圆C 的离心率的取值范围． 【详解】解：∵OP 在y 轴上，且平行四边形中，MN ∥OP ， ∴M 、N 两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M ，N 两点关于x 轴对称，MN ＝OP ＝a ， 可设M （x ，2a -），N （x ，2a ）， 代入椭圆方程得：|x|=，得N，2a ），α为直线ON 的倾斜角，tanαa==，,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴221193b a ≤≤，≤e 3=≤． ∴椭圆C的离心率的取值范围为⎣⎦． 故选：D ．【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题、离心率计算公式、平行四边形的性质、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．椭圆22149x y +=的焦距长是________【答案】【解析】求得椭圆的a ，b ，由2c ． 【详解】椭圆2249x y +=1的a=3，b=2，可得即有椭圆的焦距为故答案为： 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要是椭圆的焦距的求法，注意运用椭圆的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．14．已知圆C ：22810x y x m ++-+=与直线10x +=相交于A ，B 两点．若2AB =，则实数m 的值为______．【答案】-11【解析】化圆C 的方程为标准方程，利用圆心到直线10x ++=10x ++=的距离d 与弦长和半径的关系列方程求出m 的值． 【详解】圆C ：22810x y x m ++-+=化为标准方程是()22415x y m ++=+；则圆心()4,0C -，半径为r =15m >-）；所以圆心C 到直线10x ++=的距离为d ===解得11m =-． 故答案为：-11． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了点到直线的距离应用问题，是中档题．15．已知ABC ∆的角,,A B C 对边分别为,,a b c ，若222a b c bc =+-，且ABC ∆的，则a 的最小值为________.【解析】由题得2221,2cos ,cos ,.23b c a bc bc A bc A A π+-=∴=∴=∴=因为ABC ∆，所以1 3.2bcsinA bc ==因为222a b c bc =+-，所以223,a bc bc bc a ≥-==∴≥.16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()*21n n S a n N=-∈，则12100S S S ++⋅⋅⋅+=______．【答案】1012102-【解析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用前n 项和公式求出结果． 【详解】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()*21n n S a n N =-∈①当1n =时，解得11a =， 当2n ≥时，1121n n S a --=-②①-②得122n n n a a a -=-，即12nn a a -=（常数）， 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列．则12n n a -=（首项符合通项）． 故122121n nn S -=⋅-=-，所以()1210012100222100S S S ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-()100101221100210221-=-=--.故答案为：1012102-． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，等比数列的前n 项和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题17．已知直线()12:310,:20l ax y l x a y a ++=+-+=． （1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离．【答案】（1）32a =；（2）3【解析】试题分析：（1）由两直线垂直可知两直线斜率之积为-1，或一条斜率为0，另一条斜率不存在；（2）由两直线平行可知斜率相等，由此求得a 值，通过两直线的系数可求得直线间的距离试题解析：（1）由12l l ⊥知()320a a +-=，解得32a =； ……4 （2）当12l l 时，有()()230{320a a a a --=--≠解得3a =， (8)12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即3390x y ++=，距离为3d ==．……10 【考点】两直线平行垂直的判定及直线间的距离18．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，两个焦点与上顶点组成一个正三角形，且右焦点到右顶点的距离为1． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点()3,0M 作斜率为12的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求AB ．【答案】(1) 22143x y += (2)【解析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a ，b c ，，得到椭圆方程． （2）将直线方程与椭圆联立，利用韦达定理，弦长公式转化求解即可． 【详解】（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，两个焦点与上顶点组成一个正三角形， 且右焦点到右顶点的距离为1．可得：2211a c ab ac c ⎧==⎧⇒⇒=⎨⎨-==⎩⎩ 故椭圆的方程为22143x y +=；（2）过点()3,0M 作斜率为12的直线l ，可得直线方程为：()132y x =-，联立()22213463023412y x x x x y ⎧=-⎪⇒--=⎨⎪+=⎩，设 ()()1122,,,A x y B x y ， 所以12128103234x x x x ⎧⎪∆=>⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，12AB x =-===【点睛】本题考查椭圆的简单性质、椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及设而不求思想方法的应用，是中档题．19．如下图，为对某失事客轮AB 进行有效援助，现分别在河岸MN 选择两处C 、D 用强光柱进行辅助照明，其中A 、B 、C 、D 在同一平面内．现测得CD 长为100米，105ADN ∠=︒，30BDM ∠=︒，45ACN ∠=︒，60BCM ∠=︒．（1）求△BCD 的面积；（2）求船AB 的长．【答案】（1）32500；（2）3. 【解析】试题分析：（1）由题意可得30CBD ∠=︒，所以11sin 10010022BCD S CB CD BCD ∆=⋅⋅∠=⨯⨯；（2）由题意75ADC ∠=︒，45ACD ∠=︒，45BDA ∠=︒，结合正弦定理得AD =在BC D ∆中，由余弦定理得3100=BD ，可得在AB ∆中，AB 10153=试题解析：（1）由题意30BDM ∠=︒，45ACN ∠=︒，60BCM ∠=︒，得30CBD ∠=︒， ∴100BC BD ==，∴11sin 10010022BCD S CB CD BCD ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=．（2）由题意75ADC ∠=︒，45ACD ∠=︒，45BDA ∠=︒， 在△ACD 中，sin sin CD AD CAD ACD =∠∠，即100sin 60sin 45AD=︒︒，∴AD =在△BCD 中，BD ==在△ABD中，AB=1003=．米． 【考点】正、余弦定理的应用．20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90,ABD EB ∠=⊥平面,//,2,1,ABCD EF AB AB EB EF BC ====M 是BD 的中点.（1）求证：//EM 平面ADF ； （2）求多面体ABCDEF 的体积V .【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）取AD 的中点N ，连接MN 、NF ．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE 为平行四边形，从而得到EM ∥FN ，结合线面平行的判定定理，证出EM ∥平面ADF ；（2）利用F ABD F BED E BDC V V V V ---=++，可得多面体ABCDEF 的体积V .试题解析：（1）取AD 的中点N ，连接,MN NF . 在DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点， 所以1//,2MN AB MN AB =，又因为1//,2EF AB EF AB =， 所以//MN EF 且MN EF =.所以四边形MNFE 为平行四边形，所以//EM FN ，又因为FN ⊂平面,ADF EM ⊄平面ADF ，故//EM 平面ADF .（2）F ABD F BED E BDC V V V V ---=++111233123333=⨯⨯⨯+⨯⨯=21．已知圆C 的圆心C 在直线上．若圆C 与y 轴的负半轴相切，且该圆截x 轴所得的弦长为，求圆C 的标准方程；已知点，圆C 的半径为3，且圆心C 在第一象限，若圆C 上存在点M ，使为坐标原点，求圆心C 的纵坐标的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】根据圆心在直线上，可设圆心，再根据圆C 与y 轴负半轴相切得，弦长为列方程可解得，从而可得圆C 的标准方程；根据可得点M 的轨迹为圆，记为圆D ，再根据圆C 和圆D 有公共点列式可解得． 【详解】 解：因为圆C 的圆心在直线上，所以可设圆心为因为圆C 与y 轴的负半轴相切，所以，半径，又因为该圆截学轴所得弦的弦长为， 所以，解得， 因此，圆心为，半径所以圆C 的标准方程为圆C 的半径为3，设圆C 的圆心为，由题意， 则圆C 的方程为又因为，，设则，整理得，它表示以为圆心，2为半径的圆，记为圆D ，由题意可知：点M 既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有公共点． 所以，且所以，即，解得，解得所以圆心C 的纵坐标的取值范围时【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了方程的思想，考查了化归与转化的数学思想方法，属中档题．有关直线和圆相交所得的弦长，一方面可以利用联立直线的方程和圆的方程，解方程组求得交点的坐标，然后利用两点间的距离公式来求解，这样求解运算量较大.另一个方面可以先求得圆心到直线的距离，然后利用来求得.22．已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是()1F 、)2F ，并且经过点12P ⎫-⎪⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与圆O ：221x y +=相切，并与椭圆C 交于不同的两点A 、B .当OA OB λ=，且满足1223λ≤≤时，求AOB ∆面积S 的取值范围. 【答案】（1）2214x y +=；（2）,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）设出椭圆方程，根据题意列方程组，求出待定系数的值；（2）可设直线方程为0x my n --=，根据其与圆相切可得221n m =+，联立方程组22,440,x my n x y =+⎧⎨+-=⎩可得()2224240m y mny n +++-=，根据韦达定理求出12y y +和12y y ⋅，2121AB m y y =+-，所以整理可得()222112324AOBm S d AB m∆+==+，根据向量数量积的定义可得2214m OA OB m λ+==+，换元设21t m =+，则[]12,3,6323t t t λ⎡⎤=∈⇒∈⎢⎥+⎣⎦，最后再根据均值不等式求出AOB ∆面积S 的取值范围.试题解析：（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由条件有2223,1,2a b b a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩解得2a =，1b =.∴椭圆C 的方程为：2214x y +=. （2）依题结合图形知直线l的斜率不为零，∵直线l 即0x my n --=与圆O ：221x y +=相切，1=得221n m =+.设()11,A x y ，()22,B x y ， 由22,440,x my n x y =+⎧⎨+-=⎩消去x 整理得()2224240m y mny n +++-=，得212122224,44mn n y y y y m m -+=-=++.又2121AB m y y =+-，点O 到直线l 的距离1d ==，∴2122111221AOB n S d AB m y y m ∆==+-+ ()()22122222112323244n m n y y mm+=-==++，()()()()12121212222221212225441144OA OB x x y y my n my n y y n m m m y y mn y y n m m λ==+=+++--+=++++==++.1223λ≤≤,令21t m =+，则[]12,3,6323t t t λ⎡⎤=∈⇒∈⎢⎥+⎣⎦， ∴()()222221323239634AOB m ttS t tt m∆+====++++，9159276,612,22t t t t ⎡⎤⎡⎤+∈⇒++∈⇒⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴3AOB S ∆⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴AOB S ∆的取值范围为：3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【考点】椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系，考查了函数与方程的思想和考生的运算能力及数据处理能力，属于难题.求椭圆方程，通常用待定系数法，根据焦点位置设出方程，列待定系数的方程组求解，研究直线与椭圆的位置关系通常设而不解，根据韦达定理进行整体代换，本题的难点是面积的表示和最后函数值域的求解，面积分解为两个同底的三角形面积和，建立面积的函数关系后，通过换元，利用均值不等式求范围，这是这类问题最常用的策略.。
高二10月月考(数学)试卷含答案
三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）17．（1）求离心率为 ，长轴长为6，焦点在 轴上的椭圆的标准方程；
（2）求以椭圆 的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程；
18.（12分）18．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ，点 在双曲线上.
联立 ，得 ．
可知△ ． ， ，
从而 ． 原点到直线 的距离 ，
，
又由 ，得 ．
，得 ，即 ，
；
当 的斜率不存在时， ， ，
，又 ，解得 ， ． ．
综上， 的面积为定值1．
焦点在 轴上的椭圆的标准方程： ．
（2）椭圆 的焦点 ， 在x轴上，在x轴上的顶点坐标为 ， ，
可得双曲线的顶点坐标 ， ，焦点坐标 ， ，即 ， ，则 ，
所以双曲线的方程： ．
18.（12分）18.（1）∵ ，∴双曲线的实轴、虚轴相等.则可设双曲线方程为
∵双曲线过点 ，∴ ，即 .∴双曲线方程为 ..
A． B． C． D．
8.（5分）8.下列双曲线中，焦点在 轴上，且渐近线互相垂直的是（）
A． B．
C． D．
9.（5分）9．已知 、 是椭圆 的两个焦点，过 的直线与椭圆交于 、 两点，若 ，则该椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
10.（5分）10.已知椭圆 ，过点 的直线交椭圆 于 、 两点，若 为 的中点，则直线 的方程为
（2）证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则 ， .∴ ，
∵M点在双曲线上，∴ ，即 ，∴ ·.
19.（12分）19.（1）由已知可得 ，
山东省济南市高二上学期数学10月月考试卷
山东省济南市高二上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知ii为虚数单位，复数z满足，则z等于（）A . 1-iB . -1+iC . 2-2iD . -2+2i2. （2分） (2018高二上·北京期中) 已知数列为等差数列，且，，则等于（）A . 80B . 40C . 24D .3. （2分）(2019·枣庄模拟) 若复数z满足z（i-1）=2i（i为虚数单位），则为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017高二上·宜昌期末) 等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A . 1+log35B . 2+log35D . 105. （2分）在各项都为正数的等比数列中，，前三项的和为21，则（）A . 33B . 72C . 84D . 1896. （2分）已知等比数列的首项，公比，等差数列的首项，公差，在中插入中的项后从小到大构成新数列，则的第100项为（）A . 270B . 273C . 276D . 2797. （2分）等差数列中，已知公差，且，则（）A . 170B . 150C . 145D . 1208. （2分）已知等差数列{an}的公差为2，若a1 ， a3 ， a4成等比数列，则a2=（）A . -4B . -6C . -89. （2分） (2016高一下·上栗期中) 已知正项等差数列{an}满足a1+a2015=2，则的最小值为（）A . 1B . 2C . 2014D . 201510. （2分）(2017高一下·吉林期末) 已知正项数列中，，记数列的前项和为，则的值是（）A .B .C .D . 1111. （2分）(2020·西安模拟) 在等差数列中, ,且不大于 ,则a8的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分）若数列前8项的值各异，且an+8=an对任意的都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·沈阳月考) 在数列中，，，，则________．14. （1分）已知数列{an}（n∈N*）中，a1=2，a2=3，当n≥3时，an=3an﹣1﹣2an﹣2 ，则an=________15. （1分） (2017高二上·河南月考) 在中，角所对的边分别为，若，的面积等于，则的取值范围是 ________.16. （1分）(2017·葫芦岛模拟) 已知数列{an}满足：2a1+22a2+23a3+…+2nan=n（n∈N*），数列{ }的前n项和为Sn ，则S1•S2•S3…S10=________．三、解答题 (共6题；共75分)17. （10分） (2018高一下·四川期中) 已知数列是等差数列，且 .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和 .18. （15分）(2019·通州模拟) 已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为4．（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）过点的直线与曲线交于点，，与轴交于点，设，，求证：是定值．19. （10分） (2018高一下·北京期中) 已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn ，且满足a3·a5=112，a1+a7=22.（1）求等差数列{an}的第七项a7和通项公式an；（2）若数列{bn}的通项bn=an+an+1，{bn}的前n项和Sn，写出使得Sn小于55时所有可能的bn的取值. 20. （15分） (2018高二上·沭阳月考) 设数列满足， .（1）求；（2）先猜想出的一个通项公式，再用数学归纳法证明你的猜想.21. （10分）(2017·蚌埠模拟) 等差数列{an}前n项和为Sn ，且S5=45，S6=60．（1）求{an}的通项公式an；（2）若数列{an}满足bn+1﹣bn=an（n∈N*）且b1=3，求{ }的前n项和Tn．22. （15分）(2019高三上·瓦房店月考) 已知数列中，，，且，（1）求；（2）若，，当为何值时，取最小值？并求出最小值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2024-2025学年云南省昆明市高二上学期10月月考数学检测试卷(含解析)
2024-2025学年云南省昆明市高二上学期10月月考数学检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集，集合，集合 ，则图中阴影部分表U R ={}|10A x x =-≤{}|23B x x =-<<示的集合为（）A.B.C.D.{}|3x x <{}|31x x -<≤{}|2x x <{}|21x x -<≤2. 已知复数在复平面内对应的向量为，为坐标原点，则为（）z OZOzA. 1D. 23.一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等()13,0F -()23,0F P 于8，则该椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.2216428x y +=221167x y +=221169x y +=22143x y +=4. 已知直线与平行，且过点，则（ ）1:250l x y ++=2:30l x ay b ++=2l ()3,1-a b =A. B. 3C. D. 23-2-5. 若圆C 的圆心为，且被y 轴截得的弦长为8，则圆C 的一般方程为（）()3,1A. B. ²²62150x y x y +-+-=²²6270x y x y +-+-=C. D. ²²62150x y x y +---=²²6270x y x y +---=6. 已知在四面体中，，，，，为BC 的中点，O ABC -a OA = b OB = c OC = 13OM MA=N 若.则（ ）MN xa yb zc =++x y z ++=A. B. C. D. 31334127.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线1111ABCD A B C D -M N DB 11A C和夹角的余弦值为（ ）1A MBN A. B. C. D. 23-13-23138. 已知点，直线，则到的距离的最大值为()1,3A -()():21210l m x m y m +-++-=A l（ ）A. B. C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 直线：（），直线：．下列命题正确的有（ ）1l ()11x a y a ++=-R a ∈2l 12y x =-A. ，使得B. ，使得R a ∃∈12l l //R a ∃∈12l l ⊥C. ，与都相交 D. ，使得坐标原点到的距离R a ∀∈1l 2lR a ∃∈1l为210. 已知，则下列说法正确的是(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1),(0,4,4)AB AC AP AQ =-==-=（）A. 是平面的一个法向量B. 四点共面APABC ,,,A B C QC. D. PQ BC∥BC =11. 已知圆，点是圆上的点，直线，则（ 22:4O x y +=()00,P x y O :0l x y -+=）A. 直线与圆相交弦长l OB. 04y x -C. 圆上恰有3个点到直线的距离等于1O lD. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为P ()()22:341M x y -+-=A PA三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若点为直线______．(),P m n 280x y --=13. 已知直线过点和点，则点到直线的距离为l ()1,2,1P ()2,2,0Q ()1,1,1A --l ____________.14. 人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设，，则A ，B 两点间的曼哈顿距离()11,A x y =()22,B x y =.已知，若点满足，点N 在圆()1212,d A B x x y y =-+-()1,2M =P (),2d M P =上运动，则的最大值为______22:640C x y x y +++=PN 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知的顶点坐标为.ABC V ()()()1,6,3,1,4,2A B C ---（1）若点是边上的中点，求直线的方程；D AC BD （2）求边上的高所在的直线方程.AB 16. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，，P ABCD -PD ⊥ABCD AD BD ⊥是的中点．M PA（1）证明：平面；PC ∥BDM （2）若，求直线与平面所成角的大小．PD AD BD ==AB BDM 17. 在长方体中，.1111ABCD A B C D -1AD AA =（1）证明：平面面；1A BD ⊥11BC D （2）若，求二面角的余弦值.2AB AD =11A BD D --18. 已知圆过两点，，且圆心在直线上．C ()1,1A -()1,3B C 210x y -+=（1）求圆的标准方程；C （2）设，过点作两条互相垂直的直线和直线，交圆于、两点，()2,0D D l m l C E F 交圆于、两点，求的最小值和四边形面积的最大值．m C G H EF EGFH19. 已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线，(0,4),(0,1)A B P ||2||PA PB =P E 直线．:4l y kx =-（1）求曲线的方程；E （2）若与曲线交于不同的，两点，且（为坐标原点），求直线l E C D 120COD ︒∠=O 的斜率；l （3）若是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为、1,k Q =l Q E QM QN 、M ，设点在圆上，求点到直线距离的最大值．N T 22:(4)(3)1F x y -+-=T MN2024-2025学年云南省昆明市高二上学期10月月考数学检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集，集合，集合 ，则图中阴影部分表U R ={}|10A x x =-≤{}|23B x x =-<<示的集合为（ ）A.B.C.D.{}|3x x <{}|31x x -<≤{}|2x x <{}|21x x -<≤【正确答案】D【分析】由图可得阴影部分表示,进而利用交集的定义求解即可A B ⋂【详解】由题,,由图,图中阴影部分表示,{}|1A x x =≤A B ⋂所以,{}|21A B x x =-<≤ 故选:D本题考查集合的交集运算,考查利用韦恩图求集合2. 已知复数在复平面内对应的向量为，为坐标原点，则为（ ）z OZO zA. 1D. 2【正确答案】B【分析】由图,,进而由复数的模的定义求解即可()1,1OZ =【详解】由图,,所以()1,1OZ =z ==故选:B本题考查复数的模,考查复数在复平面上的表示3.一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等()13,0F -()23,0F P 于8，则该椭圆的标准方程为（）A.B. C.D.2216428x y +=221167x y +=221169x y +=22143x y +=【正确答案】B【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故，P 28,4a a ==且，故，()13,0F -2223,7c b a c ==-=所以椭圆的标准方程为.221167x y +=故选：B4. 已知直线与平行，且过点，则（ ）1:250l x y ++=2:30l x ay b ++=2l ()3,1-a b =A. B. 3C. D. 23-2-【正确答案】D【分析】根据两直线平行的条件求出，将代入直线求出即可.6a =()3,1-2l 3b =【详解】因为直线与直线平行，1:250l x y ++=2:30l x ay b ++=所以，解得，123a ⨯=⨯6a =又直线过，则，解得，2l()3,1-960b -++=3b =经验证与不重合，所以.1l 2l 2ab =故选：D.5. 若圆C 的圆心为，且被y 轴截得的弦长为8，则圆C 的一般方程为（）()3,1A. B. ²²62150x y x y +-+-=²²6270x y x y +-+-=C. D. ²²62150x y x y +---=²²6270x y x y +---=【正确答案】C【分析】运用弦长结合垂径定理求出圆的半径即可.【详解】如图，过点 C 作CD ⊥AB 于D ，依题意，因为故142BD AB ==，()3,1C ，|CD |=3，从而，圆的半径为故所求圆的方程为5BC ==，()()3²1²25x y -+-=，即 ²²62150.x y x y +---=故选：C6. 已知在四面体中，，，，，为BC 的中点，O ABC -a OA = b OB = c OC = 13OM MA=N 若.则（ ）MN xa yb zc =++x y z ++=A. B. C. D. 3133412【正确答案】B【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解.【详解】因为，为BC 的中点，13OM MA= N 所以，()1111124422MN ON OM OB OC OA a b c=-=+-=-++又，则，，，MN xa yb zc =++ 14=-x 12y =12z =所以.11134224x y z ++++==-故选：B.7.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线1111ABCD A B C D -M N DB 11A C 和夹角的余弦值为（ ）1A MBNA. B. C. D. 23-13-2313【正确答案】C【分析】由正方体结构特征证得，化为求直线和夹角余弦值，应用余弦1//A M NC NC BN 定理求结果.【详解】连接，由正方体的性质，知也是的中点，且，即,AC CN M AC 11//A C AC ，1//A N CM 又，故为平行四边形，则，112A N CM AC==1A MCN 1//A M NC 所以直线和夹角，即为直线和夹角，1A MBN NC BN 若正方体棱长为2，则，2NC BN BC ===所以，即直线和夹角余弦值为.22282cos 2263NC BN BC BNC NC BN +-∠===⋅⨯1A M BN 23故选：C8. 已知点，直线，则到的距离的最大值为()1,3A -()():21210l m x m y m +-++-=A l （ ）A. B. C.D.【正确答案】B【分析】先确定直线过定点，由时点线距离最大，再应用两点距离公式求最大(3,5)B AB l ⊥值.【详解】直线可化为，()():21210l m x m y m +-++-=:(2)210l m x y x y -++--=联立，即直线过定点，2032105x y x x y y -+==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩l (3,5)B 要使到的距离的最大，只需，即距离最大值为.A l AB l⊥||AB ==故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 直线：（），直线：．下列命题正确的有（ ）1l ()11x a y a ++=-R a ∈2l 12y x =-A. ，使得B. ，使得R a ∃∈12l l //R a ∃∈12l l ⊥C. ，与都相交 D. ，使得坐标原点到的距离R a ∀∈1l 2lR a ∃∈1l为2【正确答案】BD【分析】由斜率相等计算判断AC ；由斜率互为负倒数计算判断B ；由点到直线距离公式列式计算判断D.【详解】对于A ，当，即时，直线与重合，A 错误；1112a-=-+1a =1:20l x y +=2l 对于B ，由，即时，与斜率互为负倒数，，B 正确；121a -=+32a =-1l 2l 12l l ⊥对于C ，由选项A 知，当时，与重合，C 错误；1a =1l 2l对于D，得，，此方程有解，2=231070a a ++=2104370∆=-⨯⨯>D 正确.故选：BD10. 已知，则下列说法正确的是(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1),(0,4,4)AB AC AP AQ =-==-=（）A. 是平面的一个法向量B. 四点共面APABC ,,,A B C Q C. D. PQBC∥BC =【正确答案】AD【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A ，根据共面定理即可求解B ，根据向量共线即可求解C ，由模长公式即可求解D.【详解】，(2)11(2)410,14(2)2100AP AB AP AC ⋅=-⨯+⨯-+⨯=⋅=⨯+-⨯+⨯=所以平面，,,,,AP AB AP AC AB AC A AB AC ⊥⊥=⊂ ABC 所以平面，所以是平面的一个法向量，故A 正确；AP ⊥ABC APABC 设，则，无解，所以四点不共面，故B 错误；AB AC AQ λμ=+ 2412444λλμμ-=⎧⎪=+⎨⎪=⎩,,,A B C Q ，所以与不平163(1,6,3),(6,1,4),614PQ AQ AP BC AC AB -=-=-=-=-≠≠- PQ BC行，故C 错误；，故D正确；||BC ==故选：AD.11. 已知圆，点是圆上的点，直线，则（ 22:4O x y +=()00,P x y O :0l x y -+=）A. 直线与圆相交弦长l OB.4y x -C. 圆上恰有3个点到直线的距离等于1O l D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为P ()()22:341M x y -+-=A PA【正确答案】ACD【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据的几何意义可4y x -得最值，再根据切线长的计算公式可得最值.【详解】如图所示，由已知圆，则圆心，半径，22:4O x y +=()0,0O 2r =A 选项：圆心到直线的距离，O:0l x y -+=1d则弦长为，A 选项正确；==B 选项：可表示点与点连线的斜率，4y x -()00,P x y ()4,0N 易知当直线与圆相切时，斜率取得最值，PN 22:4O x y +=设斜率，则直线，即，04y kx -=():4PN y kx =-40kx y k --=，解得，2=k =所以04y x ⎡∈⎢-⎣C 选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，正确；3d r +=1d r -=O 3l 1D选项：由圆可知圆心，半径，()()22:341M x y -+-=()3,4M 1M r =由切线长可知，PA ==所以当取得最小值时，取最小值，PMPA又，即的最小值为，23PM OM r ≥-=-=PM3所以的最小值为，D 选项正确；PA故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若点为直线______．(),P m n280x y --=【正确答案】可看成点与定点的距离，=(),P m n (0,1)A 结合点到直线的距离公式，即可求解.可看成点与定点的距离，=(),P m n (0,1)A 因为点为直线上的动点，(),P m n 280x y --=则点到直线的距离为，(0,1)A 280x y --=d 的最小值为.故答案为.13. 已知直线过点和点，则点到直线的距离为l ()1,2,1P ()2,2,0Q ()1,1,1A --l ____________.【分析】取直线的一个单位方向向量为，由点到直线的距离公式为l ||PQ m PQ =【详解】由题意知，直线的一个方向向量为,0,，l (1PQ =1)-取直线的一个单位方向向量为，l ||PQ m PQ ==又为直线外一点，且直线过点,2,，()1,1,1A --l (1P 1)，∴(0,3,2)PA =--,,，∴(0PA m ⋅= 3-2)-⋅=||AP =点到直线．∴A l ==．14. 人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设，，则A ，B 两点间的曼哈顿距离()11,A x y =()22,B x y =.已知，若点满足，点N 在圆()1212,d A B x x y y =-+-()1,2M =P (),2d M P =上运动，则的最大值为______22:640C x y x y +++=PN【正确答案】【分析】根据题意，作出点的轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，从而得解.P【详解】由题意得，圆，圆心，半径，22:(3)(2)13C x y +++=()3,2C --r =设点，则，P (x 0,y 0)00122x y -+-=故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，P ()1,4A ()3,2B则，，AC ==BC ==则，即的最大值为.PN AC r ≤+=+=PN故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知的顶点坐标为.ABC V ()()()1,6,3,1,4,2A B C ---（1）若点是边上的中点，求直线的方程；D AC BD （2）求边上的高所在的直线方程.AB 【正确答案】（1） 109210x y -+=（2）27220x y +-=【分析】（1）由中点坐标公式得到，再由两点求出斜率，最后有点斜式方程求出即3,42D ⎛⎫⎪⎝⎭可；（2）由两直线垂直求出边上的高所在的直线的斜率为，再由点斜式得到直线方程即AB 27-可；【小问1详解】因为点是边上的中点，则，D AC 3,42D ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，14103932BD k --==--所以直线的方程为，BD ()10139y x +=+即；109210x y -+=【小问2详解】因为，167312AB k --==-+所以边上的高所在的直线的斜率为，AB 27-所以边上的高所在的直线方程为，即.AB ()2247y x -=--27220x y +-=16. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，，P ABCD -PD ⊥ABCD AD BD ⊥是的中点．MPA （1）证明：平面；PC ∥BDM （2）若，求直线与平面所成角的大小．PD AD BD ==AB BDM 【正确答案】（1）证明见解析； （2）.30o【分析】（1）证明，原题即得证；//MO PC （2）证明就是直线与平面所成的角，再解三角形得解.ABM ∠AB BDM 【小问1详解】证明：连接交于点,连接.AC BD O MO 因为 所以.,,AM PM AO OC ==//MO PC 又平面，平面,MO ⊂BDM PC ⊄BDM 所以平面.PC ∥BDM 【小问2详解】解：设，1PD AD BD ===因为平面，所以.PD ⊥ABCD ,PD BD PB ⊥∴=因为，所以.AD BD⊥AB =因为.,AM PM MB AM =∴⊥因为,,,PD AD AM PM AM AM DM ==∴=⊥又平面,,,AM BM M AM BM =⊂ BDM 所以平面,AM ⊥BDM 所以就是直线与平面所成的角，ABM ∠AB BDM由题得1sin ,302ABM ABM ∠==∴∠=所以直线与平面所成的角为.AB BDM 30o17. 在长方体中，.1111ABCD A B C D -1AD AA =（1）证明：平面面；1A BD ⊥11BC D （2）若，求二面角的余弦值.2AB AD =11A BD D --【正确答案】（1）见解析；（2【分析】（1）通过证明，来证明平面，进而证明平面11A D BC ⊥111A D C D ⊥1A D ⊥11BC D 面；1A BD ⊥11BC D （2）建立空间直角坐标系，求出面和面的法向量，通过求法向量的夹角来得到1BDD 1A BD 二面角的余弦值．11A BD D --【详解】（1）证明：因为，所以四边形是正方形，所以，1AD AA =11AA D D 11A D AD ⊥又四边形是平行四边形，所以，所以，11ABC D 11//AD BC 11A D BC ⊥因为长方体中，平面，所以，1111ABCD A B C D -11C D ⊥11AA D D 111A D C D ⊥又，平面，所以平面，1111BC C D C = 111BC C D ⊂、11BC D 1A D ⊥11BC D 而平面，所以平面平面.1A D ⊂1A BD 1A BD ⊥11BC D （2）建立如图所示的空间直角坐标系，D xyz -设，则，，，，，11AD AA ==2AB =()11,0,1A ()1,2,0B ()0,0,0D ()10,0,1D 设平面的一个法向量为，1BDD ()1111,,x n y z =，，()10,0,1DD =()1,2,0DB =则，取，所以，11111100200z n DD x y n DB ⎧=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩ 11y =-()12,1,0n =-设平面的一个法向量为，，，1A BD ()2222,,n x y z =()11,0,1DA =()1,2,0DB =，取，所以，222122200200x z n DA x y n DB ⎧+=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩21y =-()22,1,2n =-- 故，又二面角是锐角，121212cos ,n n n n n n ⋅==11A BD D --所以，二面角.11A BD D --本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求面面角，考查计算能力与空间想象能力，是中档题．18. 已知圆过两点，，且圆心在直线上．C ()1,1A -()1,3B C 210x y -+=（1）求圆的标准方程；C （2）设，过点作两条互相垂直的直线和直线，交圆于、两点，()2,0D D l m l C E F 交圆于、两点，求的最小值和四边形面积的最大值．m C G H EF EGFH 【正确答案】（1）()()22114x y -+-=（2）；6【分析】（1）设，表示出圆C 的标准方程，利用待定系数法计算即可求解；1(,2a C a +（2）当直线时最小，利用几何法求弦长即可；如图，先证，l CD ⊥EF2224EF GH +=结合基本不等式计算即可求解.【小问1详解】由题意知，设，则圆C 的标准方程为，1(,2a C a +2221()()2a x a y r +-+-=又圆C 过点，(1,1),(1,3)A B -所以，解得，2222221(1)(121(1)(3)2a a r a a r +⎧--+-=⎪⎪⎨+⎪-+-=⎪⎩12a r =⎧⎨=⎩故圆C 的标准方程为；22(1)(1)4x y -+-=【小问2详解】由（1）知，连接，则(1,1),2C r =CD CD ==当直线时，最小，此时，l CD⊥EF 2EF DE==所以的最小值为；EF 如图，取弦长的中点，连接，，,GH EF ,M N ,,CM CN CD ,CG CE 则四边形为矩形，，CMDN 2222CM CN CD +==222222(2)(2)4()EF GH EN GM EN GM +=+=+，222222224()4[2()]4(22)24r CN r CM r CN CM r =-+-=-+=-=又，所以，，222EF GH EFGH +≥242EF GH ≥12EF GH ≤当且仅当时，等号成立.EF GH ==所以四边形的面积为，EGFH 11()622S GH DE DF GH EF =+=≤即四边形面积的最大值为6.EGFH 19. 已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线，(0,4),(0,1)A B P ||2||PA PB =P E 直线．:4l y kx =-（1）求曲线的方程；E （2）若与曲线交于不同的，两点，且（为坐标原点），求直线l E C D 120COD ︒∠=O 的斜率；l （3）若是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为、1,k Q =l Q E QM QN 、M ，设点在圆上，求点到直线距离的最大值．N T 22:(4)(3)1F x y -+-=T MN 【正确答案】（1）；224x y +=（2）（3）.6【分析】（1）设，利用两点间的距离公式表示出，，再代入(,)P x y ||PA ||PB ，化简即可；||2||PA PB =（2）取中点，连接，可求得，再利用点到线的距离公式求解即可；CD E OE ||1OE =（3）根据四点在以为直径的圆上，可求得直线过定点，作出,,,Q M O N OQ MN (1,1)S -图象，结合图象可知当为的延长线与圆的交点时，点到直线距离的最大值，T SF F T MN 求解即可.【小问1详解】解：设，(,)P x y则有，|||PA PB ==又因为，||2||PA PB ==整理得，224x y +=所以曲线的方程为；E 224x y +=【小问2详解】解：因为，，120COD ︒∠=||||2OD OC ==取中点，连接，CD E OE 则且平分，OE CD ⊥OE CD 又因为，30OCD ︒∠=所以，||1OE =即圆心到直线的距离为，O l 1，1=解得，k =所以直线的斜率为；l 【小问3详解】解：因为，所以直线，1k =:4l y x =-设，(,4)Q m m -由题意可知四点在以为直径的圆上，,,,Q M O N OQ 所以此圆的方程为，22224(4)()()224m m m m x y -+--+-=即，22(4)0x y mx m y +---=由，可得，2222(4)04x y mx m y x y ⎧+---=⎨+=⎩(4)4mx m y +-=即，()440m x y y +--=即直线的方程为：，MN ()440m x y y +--=所以直线过定点：，MN (1,1)S -点在圆上，T 22:(4)(3)1F x y -+-=所以当为的延长线与圆的交点时，点到直线距离的最大值，T SF F T MN 此时，||||1TS SF =+又因为，||5SF ==所以.6TS =即点到直线距离的最大值为.T MN 6关键点睛：本题第（3）问的关键是求出直线过定点，再数形结合.MN (1,1)S -。
南京市建邺高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题及答案
故选：B．
7. 正三棱锥 P﹣ABC 的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A. 1：3
B. 1： 3 3
C. 3 1 ：3
D. 3 1 ：3
【答案】D 【解析】 【分析】设侧棱长为 a ，用补形法求得外接球的半径，用体积法求得内切球的半径后即可得． 【详解】三棱锥扩展为长方体（本题实质上是正方体），它的对角线的长度，就是球的直径，
则 MN 的最大值是______．
四、解答题
17. 已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn 2n2 19n 1． （1）求数列an 通项公式；
（2）若 bn an ，求数列bn 的前 n 项和 Tn ．
18. 在 ABC 中， c 2bcosB,C 2π . 3
（1）求 B；
（2）若 ABC 的周长为 4 2 3 ，求 BC 边上中线的长.
MF1
22.
已知双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的离心率为
2 ，且点 A(2,1) 在双曲线 C 上.
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）若点 M，N 在双曲线 C 上，且 AM AN ，直线 MN 不与 y 轴平行，证明：直线 MN 的斜率 k 为定值.
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20. 如图， 四棱锥 P ABCD 中， ABC BAD 90 ．
在 （1）若 AD 2BC ，M 为 PD的中点，求证：MC//平面 PAB；
（2）若 PAD 是边长为 3 的正三角形，平面 PAD 平面 ABCD ，直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值
为 3 3 ，且 AB BC ，求四棱锥 P ABCD 的体积．
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若 ，且 ，试确定椭圆离心率的取值范围。
参考答案
一、 单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、 多选题 (共3题；共9分)
11-1、
12-1、
13-1、
三、 填空题 (共4题；共4分)
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
A .
B .
C .
D .
二、 多选题 (共3题；共9分)
11. （3分） (2019高二上·中山月考) 已知曲线 ，则曲线 （ ）
A . 关于 轴对称
B . 关于 轴对称
C . 关于原点对称
D . 关于直线 轴对称
12. （3分） (2019高二上·辽宁月考) 已知双曲线 的离心率为 ，右顶点为 ，以 为圆心， 为半径作圆 ，圆 与双曲线 的一条渐近线交于 ， 两点，则有（ ）
A . 过点 且与 垂直的直线
B . 与 重合的直线
C . 过点 且与 平行的直线
D . 不过点 ，但与 平行的直线
3. （2分） (2015高二上·安徽期末) 若椭圆的短轴长为 ， 它的一个焦点是 ， 则该椭圆的标准方程是（ ）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2019高二下·深圳月考) 曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点的坐标为（ ）
16. （1分） (2018高二上·陆川期末) 双曲线 的渐近线方程为________.
17. （1分） (2017高二上·哈尔滨月考) 设F1,F2分别为椭圆 的左、右焦点，椭圆上存在一点P，使得 则椭圆的离心率为________．
四、 解答题 (共6题；共65分)
18. （10分） (2019高二上·四川期中) 平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别为 ， ， .
14. （1分） 已知过定点P（﹣2，0）的直线l与曲线y= 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为________ ．
15. （1分） 直线l过椭圆 的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为________
A . 渐近线方程为
B . 渐近线方程为
C .
D .
13. （3分） (2019高二上·辽宁月考) 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，椭圆 的上顶点为 ，且 ，双曲线 和椭圆 有相同焦点，且双曲线 的离心率为 ， 为曲线 与 的一个公共点，若 ，则正确的是 （ ）
A .
B .
C .
D .
三、 填空题 (共4题；共4分)
A . 6
B . 0
C . -2
D . 2
7. （2分） 若点A（﹣2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A . k≤﹣ 或k≥﹣
B . k≤ 或k≥
C . ﹣ ≤k≤﹣
D . ≤k≤
8. （2分） 已知方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A .
B .
C . 和
D . 和
5. （2分） (2017高一上·福州期末) 已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x﹣3）2+（x+4）2=16，则圆O1与圆O2的位置关系为（ ）
A . 外切
B . 内切
C . 相交
D . 相离
6. （2分） 圆x2+y2﹣ax+2y+1=0关于直线x﹣y﹣1=0对称的圆的方程为x2+y2=1，则实数a的值为（ ）
A . m＜2
B . 1＜m＜2
C . m＜﹣1或1＜m＜2
D . m＜﹣1或1＜m＜
9. （2分） (2019高三上·牡丹江月考) 已知 是直线 ： 上一动点， 、 是圆 ： 的两条切线，切点分别为 、 ，若四边形 的最小面积为 ，则 （ ）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2019高一下·吉林月考) 各角分别为 ， ， ，满足 ，则角 的范围是（ ）
（Ⅱ）求数列 的前 项和 .
22. （10分） (2019高二上·开封期中) 在平面直角坐标 中， ， ，点 是平面上一点，使 的周长为 .
（1） 求点 的轨迹方程；
（2） 求 的最大值.
23. （15分）
如题（21）图，椭圆 的左右焦点分别为 且过 的直线交椭圆于 两点，
且 。
（1）
若 求椭圆的标准方程。
（1） 求 边上的高所在的直线方程；
（2） 求 的面积.
19. （10分） (2019高三上·北京月考) 如图： 的三个内角A ， B ， C对应的三条边长分别是a ， b ， c ， 角B为钝角， ， ， ，
（1） 求 ，边a和 的值；
（2） 求CD的长， 的面积．
20. （10分） (2018高二上·万州期中) 已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点 .
四、 解答题 (共6题；共65分)
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
20-3、
21-1、
22-1、
22-2、
23-1、
23-2、
（1） 求圆 的圆心坐标；
（2） 求线段 的中点 的轨迹 的方程；
（3） 是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．
21. （10分） (2018高三上·丰台期末) 等差数列 中， ， ，等比数列 的各项均为正数，且满足 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式及数列 的公比 ；
2020年高二上学期ห้องสมุดไป่ตู้学10月月考试卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 单选题 (共10题；共20分)
1. （2分） 直线l的倾斜角是斜率为 的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为 （ ）
A . 1
B .
C .
D .
2. （2分） (2019高二上·砀山月考) 已知直线 方程为 ， 和 分别为直线 上和 外的点，则方程 表示（ ）