考研数学三必背知识点：概率论与数理统计

概率论与数理统计必考知识点
一、随机事件和概率
1、 随机事件及其概率
运算律名称 表达式
交换律
A B B A +=+ BA AB =
结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()(
分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+
德摩根律
B A B A =+ B A AB +=
2、概率的定义及其计算
公式名称
公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+
条件概率公式 )
()
()(A P AB P A B P =
乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P =
全概率公式
∑==
n
i i
i
A B P A P B P 1
)()()(
贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞
==
1
)
()()
()()(i i
j
j j j A B P A P A B P A P B A P
伯努力概型公式 n k p p C k P k n k
k n n ,1,0,)1()(=-=-
两件事件相互独立相应
公式
)()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ；
1)()(=+A B P A B P
二、随机变量及其分布
1、分布函数性质
)()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤<
2、 散型随机变量
分布名称 分布律
0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k
二项分布),(p n B
n k p p C k X P k n k
k n ,,1,0,)1()( =-==-
泊松分布)(λP
,2,1,0,!
)(===-k k e
k X P k
λλ
几何分布)(p G
,2,1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k
超几何分布),,(n M N H
),min(,,1,,)(M n l l k C C C k X P n
N
k
n M
N k M +==
=--
3..续型随机变量
分布名称
密度函数 分布函数
均匀分布),(b a U
⎪⎩
⎪
⎨⎧<<-=其他
,0,1
)(b x a a
b x f
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(
指数分布)(λE
⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,
00
,)(x e x f x λλ
⎩
⎨⎧≥-<=-0,10,
0)(x e x x F x
λ 正态分布),(2
σμN
+∞<<∞-=
--
x e
x f x 2
2
2)(21)(σμσ
π ⎰∞
---
=
x
t t e
x F d
21
)(222)(σμσπ
标准正态分布)1,0(N
+∞<<∞-=
-
x e
x x 2
221)(π
ϕ
⎰
∞
---
=
x
t t e
x F d
21
)(222)(σμσπ
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量边缘分布 ∑∑====
==⋅j
j
ij
j
i
i i p
y Y x X P x X P p ),()(
∑∑====
==⋅i
i
ij
j
i
j j p
y Y x X P y Y P p ),()(
2、离散型二维随机变量条件分布
2,1,)
()
,()(======
===⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p j
ij j j i j i j i
2,1,)
()
,()(==
====
===⋅
j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j
3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰
∞-∞
-=
x y
dvdu v u f y x F ),(),(
4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰∞-+∞
∞
-=x
X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞
∞
-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰
∞-+∞
∞-=
y
Y dudv v u f y F ),()( ⎰
+∞
∞
-=
du y u f y f Y ),()(
5、二维随机变量的条件分布 +∞<<-∞=
y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)
()
,()(
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
离散型随机变量：∑
+∞
==1
)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰
+∞
∞
-=
dx x xf X E )()(
2、数学期望的性质
(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =
(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质
(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<
(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov
6、相关系数：)
()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY ==ρρ 若XY 相互独立则：0=XY ρ即XY 不相关
7、协方差和相关系数的性质
(1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y C o v Y X C o v =
(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X a b C o v d bY c aX Cov =++
8、常见数学分布的期望和方差
分布 数学期望
方差
0-1分布),1(p B p
)1(p p - 二行分布),(p n B np
)1(p np -
泊松分布)(λP λ
λ
几何分布)(p G p
1 2
1p
p -
超几何分布),,(n M N H N M n
1
)
1(---N m
N N M N M n
均匀分布),(b a U 2
b a + 12
)(2
a b - 正态分布),(2σμN μ
2σ
指数分布)(λE
λ
1 2
1
λ
五、大数定律和中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2
)
(})({ξ
ξX D X E X P ≤
≥-或2
)
(1})({ξ
ξX D X E X P -
≥<-
2、大数定律：若n X X 1相互独立且∞→n 时，
∑∑
==−→
−n
i i
D
n
i i X E n
X n
11
)(1
1
(1)若n X X 1相互独立，2)
(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2
σ则：
∑∑
==∞→−→
−n
i i
P
n
i i n X E n
X n
1
1
)(),(1
1
(2)若n X X 1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−
∑=P
n i i X n 1
1 3、中心极限定理
(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：
)1,0(~1
N n n X
Y n
k k
n −→−-=
∑=σ
μ
(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有： ⎰
∞
--
+∞
→Φ==
≤--x
t n x x dt
e
x p np np P )(21})
1({
lim 22
π
η
(3)近似计算：)(
)(
)(
)(1
1
σ
μσ
μσ
μσ
μ
σ
μn n a n n b n n b n n X
n n a P b X
a P n
k k
n
k k
-Φ--Φ≈-≤
-≤
-=≤≤
∑∑==
六、数理统计
1、总体和样本
总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k n
k n x F x x x F =∏=
2、统计量
(1)样本平均值：∑
==
n
i i X n
X 1
1
(2)样本方差：∑
∑
==--=
--=
n
i i n
i i X n X n X X n S 1
2
21
2
2
)(11
)(1
1
(3)样本标准差：∑
=--=
n
i i X X n S 1
2
)(1
1
(4)样本k 阶原点距： 2,1,1
1
==
∑=k
X
n A n
i k
i k
(5)样本k 阶中心距：∑==-=
=n
i k i
k k k X X
n
M B 1
3,2,)(1
(6)次序统计量：设样本),(21n X X X 的观察值),(21n x x x ，将n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列，得到
)()2()1(n x x x ≤≤≤ ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为样本),(21n X X X 的次序统计
量。

),min(21)1(n X X X X =为最小次序统计量；),max(21)(n n X X X X =为最大次序统计量。

3、三大抽样分布
(1)2χ分布：设随机变量n X X X 21,相互独立，且都服从标准正态分布)1,0(N ，则随机变量222
212n X X X ++=χ所服从的分布称为自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ
性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22==χχ②设)(~),(~22n Y m X χχ且相互独立，则)(~2n m Y X ++χ (2)t 分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 独立，则随机变量：n
Y X T =所服从的分布称为自由度
的n 的t 分布，记为)(~n t T
性质：①)2(,2)]([,0)]([>-=
=n n n
n t D n t E ②2
2
2)(21)1,0()(lim σμπ
--
∞→=
=x n e N n t
(3)F 分布：设随机变量)(~),(~2212n V n U χχ，且U 与V 独立，则随机变量2
1
21),(n V n U n n F =所服从的分布称为自由度),(21n n 的F 分布，记为),(~21n n F F 性质：设),(~n m F X ，则
),(~1
m n F X
七、参数估计
1、参数估计
(1) 定义：用),,(21n X X X ∧θ估计总体参数θ，称),,(21n X X X ∧θ为θ的估计量，相应的),,(21n X X X ∧
θ为总体θ的估计值。

(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值 2、点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩）
离散型样本均值：∑
==
=n
i i X n X E X 1
1)( 连续型样本均值：dx x xf X E X ⎰
+∞
∞
-=
=),()(θ
离散型参数：∑==
n
i i
X
n
X E 1
22
1
)(
3、点估计中的最大似然估计
最大似然估计法：n X X X ,,21取自X 的样本，设)]()()[,(~θθP X X P x f X i ==或则可得到概率密度：
])()(),,([),(),,,(1
1
21
1
21∏∏∏======
===
n
i i
n i i
n n n
i i
n P x X P x X X
X X P x f x x x f θθθ 或
基本步骤： ①似然函数：])([),()(1
1
∏∏===
n
i i
n i i
P x f L θθθ或
②取对数：∑==
n
i i
X f L 1
),(ln ln θ
③解方程：0ln ,,0ln 1=∂∂=∂∂k
L
L θθ 最后得：),,(,),,,(212111n k k n x x x x x x ∧∧∧∧==θθθθ。