带电粒子在电场重力场中的运动

E=Ud=10000.1V/m=104 V/m 则其加速度大小为：a水平 =qEm=10−7×1040.02×10−3m/s2=50m/s2，则 t=2vAa=2×350s=0.12s 在竖直方向上：sAB=12gt2 联立以上四式求解得：sAB=7.2×10-2 m．
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即 1.25mg＝mvRD2
①
由动能定理：
mg(h－R－Rcos37°)－34mg(hcot θ＋2R＋Rsin37°)
＝12mvD2
②
联立①②两式求得 h≈7.7R
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即学即练 半径为 r 的绝缘光
滑圆环固定在竖直平面内，环上 套有一质量为 m，带正电荷的珠 子，空间存在水平向右的匀强电 场，如图所示，珠子所受静电 力是其重力的34倍，将珠子从环上 最低位置 A 点由静止释放，则： (1)珠子所能获得的最大动能是多大？ (2)珠子对环的最大压力是多大？
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解析 珠子在运动过程中，受重力和电场力的大
小、方向都不发生变化，则重力和电场力的合力大小、 方向也不变，这样就可以用合力来代替重力和电场 力，当珠子沿合力方向位移最大时，合力做功最多， 动能最大． (1) qE＝34mg，所以 qE、mg 的 合力 F 合与竖直方向夹角的正切 tan θ＝mqEg＝34，即 θ＝37°，则珠 子由 A 点静止释放后从 A 到 B 过 程中做加速运动，如右图所示，B 点动能最大，由动能定理得
l＝ x2＋h2 x＝0.4 m h＝12gt2＝12×10×(0.4)2 m＝0.8 m
所以 l＝ 0.42＋0.82 m≈0.89 m
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(3) 电 场 力 所 做 的 功
W
电
＝
qU′
＝
q(
x d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U)
＝
6×10
－
8×
0.4 0.6
×4×103 J＝1.6×10－4 J
重力所做的功 W 重＝mgh＝8×10－5×10×0.8 J＝6.4×10－4
解析 如图所示，由小球平衡可知
qE＝mg·tan 37°＝43mg，把小球在电
场中的运动速度分解为水平和竖直
分速度 vx、vy.小球在水平方向上做 初速度为零的匀加速运动，在竖直方向上做匀变速运动． 所以 vx＝qmE·t＝34gt，vy＝v0－gt.
任意时刻小球的速度为
v＝ vx 2＋vy 2＝
qErsin θ－mgr(1－cos θ)＝Ek
解得 B 点动能即最大动能第E7k页＝/共142m0页gr
(2)设珠子在 B 点受圆环弹力为 FN，有 FN－F 合＝mrv2， 即 FN＝F 合＋mrv2＝ (mg)2＋(qE)2＋12mg＝54mg＋21mg ＝74mg.由牛顿第三定律得，珠子对圆环的最大压力也 为74mg.
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【即学即练】如图所示，绳长为L，一端固定在O点 ，另一端拴一个带电荷量＋q的小球，已知qE＝3mg ，要使球能在竖直面内做圆周运动，则球在A点最小 速度为多少？
解析 球受重力mg，静电力qE，其 合力为2mg，方向向上，用此合力代替重 力场中的重力，B点相当于圆周运动的最 高点，在“最高点”B有2mg＝mv2Bmin/L( 此时TB＝0)．
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解析 小球所受的重力和电场力
都为恒力，故可将两力等效为一 个力 F，如图所示，可知 F＝ 1.25mg，方向与竖直方向成 37°.由 图可知，小球能否做完整的圆周运 动的临界点是 D 点，设小球恰好能 通过 D 点，即达到 D 点时小球与圆环的弹力恰好为 零．
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由圆周运动知 F＝mvRD2，
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解：（1）小球m在A处以vA水平射入匀强电场后，受到重力和 电场力，合力一定，而且合力与初速度不在同一直线上，则小 球做匀变速曲线运动．其运动轨迹如图所示
（2）把小球的曲线运动沿水平和竖直方向进行分解．在水平方 向上，小球有初速度vA，受恒定的电场力qE作用，做匀变速直 线运动，且由qU＞12mvA2知，小球不会到达左极板处．在竖 直方向上，小球做自由落体运动．两个分运动的运动时间相等， 设为t，则 在水平方向上：
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解析 微粒受电场力和重力共同作用，根据力的独 立作用原理，在电场力作用下微粒在水平方向将做 初速度为零的匀加速直线运动，在重力作用下微粒 在竖直方向将做自由落体运动，微粒在电场中的运 动便可以看做是这两个分运动的合运动．电场力和 重力均为恒力，所以其合力也是恒定不变的力，又 因为微粒的初速度为零，根据运动条件可判定，微 粒在电场中运动的轨迹应为直线．
一、利用“等效思想”巧解复合场中 的圆周运动问题
等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等 效为一个熟知的物理模型或问题的方法．例如我们 学习过的等效电阻、分力与合力、合运动与分运动 等都体现了等效思维方法．常见的等效法有“分解”、 “合成”、“等效类比”、“等效替换”、“等效变换”、 “等效简化”等，从而化繁为简，化难为易．
2156g2t2－2v0gt＋v0 2.
当
t＝1265vg0时，v
有最小值，且
3 vmin＝5v0.
答案
35v0
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【例4】将带电平行板电容器竖直安放，如图所示， 两板间距d=0.1m，电势差U=1000V．现从平行板 上A处以vA=3m/s的速度水平向左射入一带正电小 球（已知小球的带电荷量q=10-7C、质量 m=0.02g），经一段时间后发现小球打在A点正下 方的B处， （1）小球在极板间做什么运动？试画出轨迹图． （2）该运动可分解为水平方向的什么运动和竖直 方向的什么运动？ （3）求A、B间的距离SAB．（g取10m/s2）
J.
答案 (1)4×103 V (2)运动轨迹为直线 0.89 m (3)1.6×10－4 J 6.4×10－4 J
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答题技巧 正交分解法处理带电粒子的复杂运动问题
用正交分解法处理带电粒子的复杂运动，它区别于类平 抛运动的带电粒子的偏转，它的轨迹常是更复杂的曲线， 但处理这种运动的基本思想与处理偏转运动相类似，也 就是说，可以将复杂运动分解为两个相互正交的比较简 单的直线运动，而这两个直线运动的规律我们是可以掌 握的，然后再按运动合成的观点求解相关的物理量．解 这种综合题时重要的是分析清楚题目的物理过程，才能 找出相应的物理规律．研究两个分运动的合运动是否是 直线运动，一般根据运动条件去判断．物体所受合外力 方向和初速度方向在一条直线上，物体做直线运动；合 外力方向和初速度方向成某一角度，物体将做曲线运动．
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(1)依题意，微粒在水平方向是经 0.4 s 加速运动
了 0.4 m 而抵达负极板．
x＝12at2
①
a＝qmE
②
由①②得 E＝2qmt2x，
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U＝Ed＝2mqtx2 d ＝2×68××1100－－85××(00..44×)2 0.6 V ＝4×103 V
(2)微粒在电场中做初速度为 零的匀加速直线运动，其轨迹 为直线．由图可看出
从“最高点”B到“最低点”A用动能定理 ： qE•2L－mg•2L＝mv2A/2－mv2Bmin/2
vA＝√10gL，即要想让小球在竖直面内做圆周运动，小 球在A点的速度满足vA≥√10gL.
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二、正交分解法处理带电体的复杂运动问题
【例 2】 如图所示，在真空中， 竖直放着一个平行板电容器，在 它的两极板间有一个带正电的微 粒，质量为 m＝8×10－5 kg，电荷 量 q＝6×10－8 C．这个微粒在电场力和重力共同作用下，从 距负极板 0.4 m 处，由静止开始运动，经 0.4 s 抵达负极 板．则： (1)如果两极板相距 d＝0.6 m，则板间电压是多少？ (2)微粒在极板间运动的轨迹是什么形式？微粒通过的路程 是多少？ (3)在整个过程中，电场力和重力各做了多少功？(g 取 10 m/s2)
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带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中 做圆周运动的问题是高中物理教学中一类重要而典 型的题型．对于这类问题，若采用常规方法求解， 过程复杂，运算量大．若采用“等效法”求解，则能 避开复杂的运算，过程比较简捷．先求出重力与电 场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将 a＝Fm合视为“等效重力加速度”．再将物体在重力场中 做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解即 可．下面通过实例分析说明“等效法”在此类问题中 的应用．
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[例 3]．在足够大的真空空间中，存在水 平向右方向的匀强电场，若用绝缘 细线将质量为 m 的带正电小球悬挂 在电场中，静止时细线与竖直方向 夹角为 θ＝37°.若将小球从电场中的某点竖直向上抛出， 抛出的初速度大小为 v0，如图所示．求小球在电场内运动 过程中的最小速度．
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【例 1】 如图 12 所示的装置 是在竖直平面内放置的光滑 绝缘轨道，处于水平向右的 匀强电场中，带负电荷的小 球从高 h 的 A 处由静止开始 下滑，沿轨道 ABC 运动并进入圆环内做圆周运动．已 知小球所受电场力是其重力的34，圆环半径为 R，斜面 倾角 θ＝60°，BC 段长为 2R.若使小球在圆环内能做完 整的圆周运动，h 至少为多少？