1-2数列极限-1

k
若 lim an a, 则
n
lim an 1 a, lim an k a, lim a2 n 1 a, lim a2 n a
讨论
n
n n n
1. 数列的子数列如果发散,原数列是否发散? 2. 数列的两个子数列收敛,但其极限不同,原数列的 收敛性如何? 3. 发散的数列的子数列都发散吗？
设在数列{ xn }中，第一次抽取 xn ，
1
第二次在 xn 后抽取 xn , 第三次在 xn 后抽取 xn , 这样无休止地抽取下去 ，得到一个数列 x n , x n , , x n , ,
1 2 2 3
1 2 k
这个数列{ xn } 就是数列{ xn } 的一个子数列 .
k
注意：在子数列{xnk } 一般项 xnk 是第k项,而 中， 显然 nk k 在原数列{xn } 中却是第 nk项。
x1 x2
x n f (n)
A的邻域 自然数 N 对一切 n > N 相应的点都落 在绿色区域内
A
xn
A
x3
0
1
2
3
N
N+1
N+2
n
.
数列的极限
lim x n A
n
当 x = n, 则 f(n)
A A
A
A
x n f (n)
A的邻域 自然数 N 对一切 n > N 相应的点都落 在绿色区域内
散
数列的极限
lim x n A
n
当 x = n, 则 f(n)
A
x1 x2
x n f (n)
A的邻域 自然数 N 对一切 n > N 相应的点都落 在绿色区域内
A
xn
A
x3
0
1
2
3
N
N+1
N+2
n
数列的极限
lim x n A
n
当 x = n, 则 f(n)
A
例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
n (1) n 1 xn 1 n
1 只要 n 即 0 , 欲使 1 因此 , 取 N [ ] , 则当 n N 时, 就有 n n (1) 注意：数列极限 1 n 的定义未给出求
故
极限的方法. n (1) n lim xn lim 1 n n n

x1 , x2 , x3 , ..., xn , ...
(1)
称为数列, 其中的每个数称为数列的项，x n称为
数列的通项或一般项，数列(1)记为 { xn }
例如
4 6 2n (1) 1, , , , , 3 4 n1 1 1 1 1 , , ,, n , 2 4 8 2
例如 数列 1,1,1,, ( 1)n1 , 的子数列{ x2 k 1 }收敛于1，而子数列{ x2 k }收敛于 1,
因此数列 1,1,1,, ( 1)n1 ,是发散的.
有界性
使得对一切 定义： 对数列 xn ，若存在正常数M， 正整数n,恒有 xn M成立， 则称数列 xn 有界； 否则，称数列 xn 无界。
N+2
n
.
数列的极限
lim x n A
n
当 x = n, 则 f(n)
x1 x2
x n f (n)
A的邻域 自然数 N 对一切 n > N 相应的点都落 在绿色区域内
A

A
A

xn
x3
0
1
2
3
N N N N N
N+1
N+2
n
.
因此，数列的极限定义也称数列极限的 —N定义
例2. 证明 lim q n 0, 其中 q 1.
n
证: 0, 若q 0, 则 lim q n lim 0 0; n n ( 1) xn 0 q n , n ln q ln , 若0 q 1,
ln ln n , 取N [ ],则当 n N 时, ln q ln q
给定 0, 只要 n N [ 1 ] 时,
有 xn 1 成立.
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a. 分析 当n无限增大时, xn无限接近于a .
当n无限增大时, |xna|无限接近于0 .
当n无限增大时, |xna|可以任意小,要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意 小的正数. 因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事 先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近 于常数a.
M max x1 , x2 , , xN , 1 a xn M ( n 1 , 2 , ) .
xn a a 1 a

由此证明收敛数列必有界. 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 . 推论 无界数列必定发散.
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
我国古代数学家刘徽创立的 “割圆术”中把圆周分成三等 分、六等分、十二等分、二十四等分、· · ·这样继续分割下 去,所得多边形的面积就无限接近于圆的面积.
一 、数列的定义
按某一法则，对每个 n N ，对应着一个
确定的实数 xn , 这些实数按 n 从小到大排 列得到的一个序列
n , 有界；数列 xn 2n , 无界. 例如, 数列 xn n1
数轴上对应于有界数列 的点 xn 都落在某一闭区间 [ M , M ]上.
定理4（有界性） 收敛数列一定有界. 证: 设 取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有
xn a 1,ຫໍສະໝຸດ 从而有取 则有就有 q n 0 , lim q n 0. n 小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0, 寻找N,但不必要求最小的N.
华罗庚先生曾经说过“学数学不做题就等于没学” 学习数学，必须做一定数量的习题 做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且也 可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方法。但 我们不应该仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了 题，就算学好了数学。
说明：
• 的任意性及相对固定性: 除限制于正数外， 不受任何限制，但一经给出，就应看作是 固定不变的。 • N 的 相 应 性一般，N 随着 的变小而变大， : 但N并不是由 所唯一确定的.
• 定义中 “当 n > N 时, 总有
” 是指：
当 n N 时, 所有的点 xn 都落在 (a , a ) 内, 只有有限个(至多只有 N 个)落在其外.
极限是研究在指定的过程中某变量的变化趋势，这 里所讲的变化趋势有其明确的含义：不管所指定的变 化过程多么复杂，我们所关心的仅仅是变量变化的终 极目标，若这个终极目标存在，就称之为变量的极限.
第一章
第二节 数列的极限
一、数列的定义 二、数列的极限 三、数列极限的性质
割之弥细， 所失弥少，割 之又割，以至 于不可割，则 与圆合体而无 所失矣.
0
x2 x4 1 x nx3
x1
1
二、数列的极限
可以看到数列(1),(2),(3)有一个共性： 当n无限增大时，xn 无限接近于常数a
对于数列（3）
( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于1. n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.

xn 1 ( 1)
A

x1 x2
A
A

A
A A
xn
x3
A
0
1
2
3
N
N+1
N+2
n
.
数列的极限
lim x n A
n
当 x = n, 则
f(n)
x1 x2
x n f (n)
A的邻域 自然数 N 对一切 n > N 相应的点都落 在绿色区域内
A

A
A

xn
x3
0
1
2
3
N
N+1
n
二、收敛数列的性质
定理1（唯一性）. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n
及
且 a b.
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时, 从而 xn a b 2
同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
n 1
1 1 n n
1 1 1 1 由 , 只要 n 100时, 有 xn 1 , 给定 , n 100 100 100
1 给定 , 1000
1 , 只要 n 1000时, 有 xn 1 1000
1 1 , 给定 , 只要 n 10000时, 有 xn 1 10000 10000
n
从而 xn a b 2
取 N max N1 , N 2 , 则当 n > N 时, xn 满足的不等式 a b 3a b x x b a ba xn b ba a b2 a n n 3 a b 2 2 2 2 22 矛盾. 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
高等数学的特点
概念更复杂 理论性更强
表达形式更加抽象 推理更加严谨
高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极 限概念是高等数学的重要概念。 极限理论是高等数学的基础理论， 是高等数学的精华所在， 是高等数学的灵魂。 因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键， 也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。
例3. 设 xn 0, 且 lim xn a 0, 证明 lim xn a .
n
n
证:
0, 因为 lim xn a, 所以 n
当 n > N 时, 总有 xn a xn a xn a
xn a a a
从而
故 lim xn a .
2n { } n1
1 { n} ( 2) 2 n ( 1) n1 1 4 n ( 1) n1 ( 3) 2, , , , , { } 2 3 n n (4) 1,1,1,, (1) n1 , {( 1) n1 }
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
1 2 3 n , , , , , 例如, 2 3 4 n 1 n xn 1 ( n ) n 1
收 敛
n (1) n1 xn 1 ( n ) n 2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
xn (1) n1 趋势不定
定理2. 收敛数列的保号性.
若 时, 有 且
( 0) ,
( 0) .
证: 对 a > 0 , 取
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0) . (用反证法证明)
子数列 在数列{ xn }中任意抽取无限多项并 保持这些项
在原数列{ xn }中的先后次序，这样得 到的一个数列 称为原数列{ xn } 的子数列 或子列). (
定义
简称 N 定义
及常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有
若数列
则称该数列
n
的极限为 a , 记作
lim xn a 或 xn a (n )
a xn a 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . (n N ) 几何解释 : 即 xn ( a , ) ) ( (n N ) x N 1 x N 2 a a
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列是整标函数 xn f (n).
4 6 2n (1) 1, , , , , 3 4 n1
x1
0 1
x2
x3
xn2
2
( 2)
1 1 1 1 , , ,, n , 2 4 8 2
0
x4 x 3 x 2
x1
0
1 4 n ( 1) n1 ( 3) 2, , , , , 2 3 n
xnk
定理3. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列 若 是数列
的任一子数列 .
时, 有
则 0 , N , 当
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk
N
xN
*********************
N
从而有 x n a , 由此证明 lim x nk a . k