高二数学双曲线知识点及例题

高二数学双曲线知识点及例题
一 知识点
1. 双曲线第一定义：
平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义：
平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。

3. 双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的：
x a y b
a b 222
2100-=>>()，
（2）焦点在y 轴上的：
y a x b
a b 222
2100-=>>()，
（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。

注：c 2＝a 2＋b 2
线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。

<>=>41离心率：e c
a
e ()
e 越大，双曲线的开口就越开阔。

<>±5渐近线：y b
a
x =
<>=±62
准线方程：x a c
5．若双曲线的渐近线方程为：x a
b y ±
= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：
)0(22
22≠=-λλb
y a x
【典型例题】 例1. 选择题。

121
122
.若方程
表示双曲线，则的取值范围是（）x m y m m +-+=
A m
B m m ..-<<-<->-2121或
C m m
D m R ..≠-≠-∈21
且
2022.ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（）
A. 必要但不充分条件
B. 充分但不必要条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
322.s i n s i n c o s 设是第二象限角，方程表示的曲线是（）ααααx y -=
A. 焦点在x 轴上的椭圆
B. 焦点在y 轴上的椭圆
C. 焦点在y 轴上的双曲线
D. 焦点在x 轴上的双曲线
416913
221212.双曲线
上有一点，、是双曲线的焦点，且，x y P F F F PF -=∠=π 则△F 1PF 2的面积为（ ） A B C D (9)
633393
例2. ()
已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程P P 12342945-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
例3. 已知B （-5，0），C （5，0）是△ABC 的两个顶点，且
sin sin sin B C A -=3
5
，求顶点A 的轨迹方程。

例4. （1）求与椭圆x y 229415
2
+=有公共焦点，并且离心率为
的双曲线的标准方程。

（2）求与双曲线x y M 2294
1921-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪有共同渐近线，且经过点，的双曲线
的标准方程。

例5. 已知双曲线方程x y 22
42
1-
= （1）过点M （1，1）的直线交双曲线于A 、B 两点，若M 为AB 的中点，
求直线AB 的方程；
（2）是否存在直线l ，使点N 112，⎛⎝ ⎫
⎭
⎪为直线l 被双曲线截得的弦的中点，
若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

例六：1. 若x k y k 22
211-+-=表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c
的取值范围是（ ） A. ()1，+∞
B. （0，2）
C. ()2，+∞
D. （1，2）
2. 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（ ） A. 2或
23
3
B. 2
C.
23
3
D. 3
3. 圆C 1：()x y ++=312
2和圆C 2：()x y -+=392
2，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

[例题答案]
例一：
解：1. 把所给方程与双曲线的标准方程对照
易知：2+m 与m+1应同号即可。

∴+>+>⎧⎨⎩+<+<⎧⎨
⎩20102010m m m m 或 ∴>->-⎧⎨⎩<-<-⎧⎨
⎩m m m m 2121或 ∴>-<-m m 12或
2022. 若表示双曲线，则一定有；ax by c ab +=<
若当时，表示双曲线
当时，表示直线ab c c <≠=⎧⎨⎩000
∴选A
300.s i n c o s ααα是第二象限角，，∴>< ∴
<s i n cos α
α
0 原方程化为：
x y 221⋅-=sin cos sin cos ααα
α
易知：x 2的系数为负，y 2的系数为正
∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线 4. 由双曲线方程知：a ＝4，b ＝3，c ＝5
设，，则，PF m PF n m n F F c 12128210==-=== 由余弦定理：(223
222c m n mn )cos =+-⋅π
()10022
=-+-m n mn mn ∴=mn 36 ∴=
⋅︒=⋅⋅=S mn F PF ∆121260123632
93sin 、 例二：
解：设所求双曲线方程为Ax 2－By 2＝1，（AB>0）
依题意：932181162511
9
116
A B A B A B -=-=⎧⎨⎪⎩⎪⇔=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
∴-=所求双曲线方程为：
y x 22
169
1 例三：
分析：在△ABC 中由正弦定理可把sin sin sin B C A -=3
转化为b c a -=3
5
，结合
∴-=<-顶点的轨迹方程为
A x y x 22
916
13() 注：（1）利用正弦定理可以实现边与角的转换，这是求轨迹方程的关键； （2）对于满足曲线定义的，可以直接写出轨迹方程； （3）求轨迹要做到不重不漏，应删除不满足条件的点。

例四：
解：（1）由椭圆方程知： a b c ===325，， ()(
)
∴-焦点，，，F F 12
5050
∴-=设双曲线的标准方程为：x a y b 2122
1
21
由已知条件得：c c
a c a
b a b 111
1
21212
1155221===+⎧⎨⎪
⎪⎩⎪⎪⇒==⎧⎨
⎩ ∴-=所求双曲线的标准方程为：x y 2
241 （2）解法一： M 921，在第四象限-⎛⎝ ⎫⎭
⎪ 又双曲线的渐近线为 x y y x 2294123-==± 将点的横坐标代入M x y x =
=-=-922
3
3 ∴双曲线的焦点必在x 轴上
∴-=设双曲线方程为：x a y b 222
21
()∴=⎛⎝ ⎫⎭⎪--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒==⎧⎨⎩b a a b
a b 2
392111882
22
22
2
∴-=所求双曲线标准方程为：
x y 22
188
1 解法二： 所求双曲线与已知双曲线有共同的渐近线y x =±2
3
∴-=≠设所求双曲线方程为：x y 22
940λλ() 又所求双曲线过点， M 921-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
()∴⎛⎝ ⎫
⎭⎪--=∴=92914
22
2
λλ， ∴-=所求双曲线方程为：
x y 22
188
1
例五：
解：（1）设AB 的方程为：y －1＝k （x －1）
y kx k x y y =+--=⎧⎨⎪
⎩⎪142
122，消去
()()124424602222-+--+-=k x k k x k k
()()设，，，，则，A x y B x y M x x y y 112212
1222++⎛⎝ ⎫⎭⎪
∴+=--+=--=x x k k k x x k k k
122
21222
4412222121，即 ∴=
k 1
2
()()()又 ∆=----+-4441224622
22k k k k k 将代入k =
>1
2
0∆ ∴-+=所求直线的方程为：AB x y 210 （1）另解法：
()()设，，，，则，A x y B x y M x x y y 112212
1222++⎛⎝ ⎫⎭⎪
A B x y 、在双曲线上22
42
1-= ∴-=<>
-=<>
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪x y x y 1212
22
22
42
1142
12
()()()()<>-<>+--+-=122012121212：x x x x y y y y 又， x x y y 121222+=+= ()()∴-=-241212x x y y
当x 1＝x 2时，直线AB 与双曲线没有交点。

∴≠--=∴=x x y y x x k AB 121212121
2
，那么
，
∴-+=直线的方程为：AB x y 210 双曲线的一条渐近线为y x =
22
又，直线与双曲线有两个交点
1222
<∴ ∴-+=x y AB 210即为的方程
（2）假设过N 112，⎛⎝ ⎫
⎭
⎪的直线l 交双曲线于C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）两点
则x y x y 3232
42
42
42
1342
14-=<>
-=<>
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
()()()()<>-<>+---+=342034343434：x x x x y y y y 依题意，又，x x x x y y 34343421≠+=+= ∴
--==y y x x k CD 34
34
1
双曲线的一条渐近线为y x =
22
∴>
∴12
2
，直线与双曲线没有公共点l ∴⎛⎝ ⎫
⎭
⎪使点，为弦的中点的直线不存在N 112
例六：
1. 答案：A
2. 答案：A
3. 分析：解决本题的关键是寻找动点M 满足的条件，对于两圆相切，自然找圆心距与半径的关系。

解：条件知：
MC MC MA MB
MC AC MC BC MC MC BC AC 121122
2121312
-∴=∴-=-∴-=-=-=
即动点M 与两定点C 1、C 2的距离的差是2
根据双曲线定义，动点M 的轨迹是双曲线左支（点M 与C 2的距离大于与C 1的距离）
这里a c b ==∴=1382，， 设M （x ，y ）
∴轨迹方程为x y x 2
2
8
10-=<()。