高等数学公式汇总(大全)

高等数学公式汇总(大全)
一 导数公式：
二 基本积分表：
三 三角函数的有理式积分：
2
22212211cos 12sin u du
dx x tg u u u x u u x +=
=+-=+=，　，　，　a
x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22
=
'='⋅-='⋅='-='='2
2
22
11
)(11
)(11
)(arccos 11
)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-
='+=
'--
='-=
'⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==C
a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C
a a dx a C
x ctgxdx x C
x dx tgx x C
ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x
x
)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222
22
22
2C a
x
x a dx C x a x
a a x a dx C a x a
x a a x dx C a x
arctg a x a dx C
ctgx x xdx C tgx x xdx C
x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2
2222222⎰
⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-=
==-C
a
x a x a x dx x a C
a x x a a x x dx a x C
a x x a a x x dx a x I n
n xdx xdx I n n n
n arcsin 22ln 22)ln(221
cos sin 22
2222222
2222222
22
2
22
2
π
π
四 一些初等函数： 五 两个重要极限：
六 三角函数公式： ·诱导公式：
x
x
arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x
x
x x
x x
x -+=-+±=++=+-==+=
-=
----11ln
21)1ln(1ln(:2
:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x
x
x x x x
·和差角公式： ·和差化积公式：
2
sin
2sin 2cos cos 2cos
2cos 2cos cos 2sin
2cos 2sin sin 2cos
2sin
2sin sin β
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβ
αβα-+=--+=+-+=--+=+α
ββαβαβαβ
αβαβ
αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=
±⋅±=
±=±±=±1
)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(
·倍角公式：
·半角公式：
α
α
αααααααααααα
α
ααα
cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12
2
cos 12cos 2cos 12
sin -=
+=-+±=+=-=+-±
=+±=-±=ctg tg
·正弦定理：R C
c
B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：
C ab b a c cos 2222-+=
·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=
-=
2
arccos 2
arcsin π
π
七 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：
)
()
()()2()1()(0
)
()()
(!
)1()1(!2)1()
(n k k n n n n n
k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+
'+==---=-∑
八 中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=
---'=-)(F )
()
()()()()())(()()(ξξξ
九 曲率：
.
1
;0.)
1(lim M s M M :.,13202a
K a K y y ds d s K M M s
K tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆=
=''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。

：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：α
ααα
α
十 定积分的近似计算：
α
ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=
-=-=α
α
αααααααααα
αα22222212221
2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=
-=
-=-=-==
⎰⎰⎰----+++++++++-≈
++++-≈
+++-≈
b
a
n n n b
a
n n b
a n y y y y y y y y n
a
b x f y y y y n a b x f y y y n
a
b x f )](4)(2)[(3)(])(2
1
[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：
十一 定积分应用相关公式：
⎰⎰--==⋅=⋅=b
a
b a dt t f a b dx
x f a b y k r
m
m k F A
p F s
F W )(1)(1
,2
221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：
十二 空间解析几何和向量代数：。

代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22
2
2
2
2
2
212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k
j i
b a
c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M
d z
y
x z y x
z
y x
z
y
x
z y x
z
y x z y x z
z y y x x z z y y x x u u
⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==
（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：
同号）
（、抛物面：、椭球面：二次曲面：
参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：
1
1
3,,2221
1};,,{,1
302),,(},,,{0)()()(122
222222
22222
222
22220000002
220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++=
=++=+++==-+-+-c
z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt
z z nt
y y mt
x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D
Cz By Ax d c
z
b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A
十三 多元函数微分法及应用
z
y z x y x y x y x y x F F y z
F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x
v
v z x u u z x z y x v y x u f z t
v
v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z
u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -
=∂∂-=∂∂=⋅
-∂∂
-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅
∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=
， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式：
时，
，当
：
多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22
)
,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0
),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v
G u
G v F
u
F
v u G F J v u y x G v u y x F v
u v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：
十四 微分法在几何上的应用：
)
,,(),,(),,(30
))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}
,,{,0
),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()
()()
(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y
x y x x z x z z y z y -=
-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨
⎧====-'+-'+-''-=
'-='-⎪⎩
⎪
⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：
上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线
ωψϕωψϕωψϕ十五 方向导数与梯度：
上的投影。

在是单位向量。

方向上的
，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。

轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数l y x f l f
l j i e e y x f l
f j y
f i x f y x f y x p y x f z l x y f
x f l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(∂∂∴⋅+⋅=⋅=∂∂∂∂+∂∂=
=∂∂+∂∂=∂∂=
ϕϕϕϕ
ϕ
十六 多元函数的极值及其求法：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧=-<-⎩⎨⎧><>-===== 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22
000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x
十七 重积分及其应用：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰++-=++=++==>===
=
==
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+==='
D
z D
y D
x z y x D
y D
x D
D
y D
x
D
D D
a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M
M y d y x d y x x M
M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2
3
22
2
2
3
22
2
2
3
22
2
22D
2
2
)
(),()
(),()
(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ
ρσ
ρσ
ρσρσρσ
ρσ
ρσ
ρσ
ρθ
θθ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面
十八 柱面坐标和球面坐标：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
ΩΩ+=+=+====
=
=
===⋅⋅⋅=⎪⎩
⎪⎨⎧=====⎪⎩⎪
⎨⎧===dv
y x I dv z x I dv z y I dv
x M dv z M
z dv y M
y dv x M
x dr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z
z r y r x z y x r ρρρρρρρϕθϕϕ
θθϕϕθϕθ
ϕϕθϕϕϕθϕθϕθθθθθθθπ
πθϕ)()()(1,1,1
sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin )
,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220
)
,(0
2
2
2
， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中： 柱面坐标：
十九 曲线积分：
⎩⎨
⎧==<'+'=≤≤⎩
⎨
⎧==⎰
⎰)()()()()](),([),(),(,)()(),(22t y t
x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L
ϕβαψϕψϕβαψϕβ
α
特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：
第一类曲线积分（对弧。

0，通常设),(),(),(的全微分，其中：),(才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积·注意方向相反！
减去对此奇点的积分，，应)0,0(。

注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在),(，),(、2是一个单连通区域；
、1无关的条件：
平面上曲线积分与路径·2
1
的面积：时，得到2，即：,当)(格林公式：的方向角。

上积分起止点处切向量分别为
和，其中)cos cos (系：两类曲线积分之间的关)}()](),([)()](),([{),(),(，则：
)
()(的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐00)
,()
,(00==+=
+∂∂∂∂∂∂∂∂-=
=
=∂∂-∂∂=-=+=∂∂-∂∂+=
+'+'=
+⎩⎨⎧==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y x dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y
P x Q y
P
x Q G y x Q y x P G ydx
xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P
x Q L ds Q P Qdy Pdx dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y
x D
L
D L
L
L
L
βαβαψψϕϕψϕψϕβ
α
二十 曲面积分：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
++=++±=±=±=++++=ds
R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy
y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx
yz
xy
xy
D D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(2
2γβα系：两类曲面积分之间的关号。

，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正
号；，取曲面的上侧时取正
，其中：
对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：
二十一 高斯公式：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∑
∑
∑
∑
∑
Ω
∑=++==⋅<∂∂+∂∂+∂∂=++=++=∂∂+∂∂+∂∂ds
A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n
div )cos cos cos (...
,0div ,div )cos cos cos ()(
成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：
—高斯公式的物理意义γβαννγβα二十二 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Γ
Γ
∑
∑∑
Γ
⋅=++Γ∂∂
∂∂∂∂=
∂∂=
∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂
=∂∂∂∂∂∂++=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂ds
t A Rdz Qdy Pdx A R
Q P z y x A y P
x Q x R z P z Q y R R
Q
P
z y x R Q P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx dxdy y P
x Q dzdx x R z P dydz z Q y R
的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，　，　关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：k
j i rot cos cos cos )()()(
γβ
α
二十三 常数项级数：
是发散的
调和级数：等差数列：等比数列：n
n
n n q q q q q n n 1
312112
)1(3211111
2
+++++=
++++--=
++++- 二十四 级数审敛法：
散。

存在，则收敛；否则发、定义法：
时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：
时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：
—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=⎪⎩
⎪⎨⎧=><=⎪⎩
⎪⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ。

的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：
—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞
→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 二十五 绝对收敛与条件收敛：
∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛
１时发散ｐ 级数： 收敛；
级数：收敛；
发散，而调和级数：为条件收敛级数。

收敛，则称发散，而如果收敛级数；
肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；
，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n
n n n
二十六 幂级数：
0010)3(lim )3(1111111221032=+∞=+∞===
≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定
时发散时收敛
，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全
，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散
时，收敛于
ρρρ
ρρ
二十七 函数展开成幂级数：
+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !
)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!
1()()(!
)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ 二十八 一些函数展开成幂级数：
)()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+
+=+--x n x x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n m 二十九 欧拉公式：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix
ix ix e
e x e e x x i x e 或 三十 三角级数：。

上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。

，，，其中，0]
,[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )sin cos (2)sin()(00101
0ππωϕϕϕω-====++=++=∑∑∞
=∞= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n
三十一 傅立叶级数： 是偶函数 ，余弦级数：是奇函数 ，正弦级数：（相减）（相加） 其中，周期∑⎰∑⎰⎰⎰∑+=======
==+-+-=++++=+++=+++⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=====++=--∞
=nx a a x f n nxdx x f a b nx b x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a a x f n n n n n n n n n n n cos 2
)(2,1,0cos )(20sin )(3,2,1n sin )(2012413121164131211246
14121851311)3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(12)sin cos (2)(000222222222
2222
221
0 π
ππππππππππππππ 周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====++=⎰⎰∑--∞=l l n l l n n n n n dx l x n x f l b n dx l x n x f l a l l
x n b l x n a a x f )3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(12)sin cos (2)(10 其中，周期ππππ
微分方程的相关概念：
即得齐次方程通解。

，代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成
齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：
为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x
y y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='⎰⎰)()(),(),()()()()()()(0
),(),(),(ϕϕϕ一阶线
性微分方程：
)1,0()()(2))((0)(,0)()()(1)()()(≠=+⎰+⎰
=≠⎰
===+⎰--n y x Q y x P dx
dy e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx
dy n dx x P dx x P dx x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：
全微分方程： 通解。

应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：
中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y
u y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=∂∂=∂∂=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),( 二阶微分方程：
时为非齐次
时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
2
122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；
式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：
为常数；
，其中∆'''=++∆=+'+''式的通解：
出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r
二阶常系数非齐次线性微分方程
型为常数；
型，为常数
，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。