【重点资料】2019高中物理 第二章 圆周运动 微型专题2 两类竖直面内的圆周运动学案 粤教版必修2

微型专题2 两类竖直面内的圆周运动

一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型

如图1所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例．

图1

(1)最低点运动学方程：F T1－mg ＝m v 12

L

所以F T1＝mg ＋m v 12

L

(2)最高点运动学方程：F T2＋mg ＝m v 22

L

所以F T2＝m v 22

L

－mg

(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由F T2＋

mg ＝mv 22

L

可知，当F T2＝0时，v 2最小，最小速度为v 2＝gL .

讨论：当v 2＝gL 时，拉力或压力为零． 当v 2>gL 时，小球受向下的拉力或压力． 当v 2<gL 时，小球不能到达最高点．

例1 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图2所示，水的质量m ＝0.5 kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm.(g 取10 m/s 2

)

图2

(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字) (2)若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小． 答案 (1)2.24 m/s (2)4 N

解析 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．

此时有：mg ＝m v 02

l

，

则所求的最小速率为：v 0＝gl ≈2.24 m/s.

(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为F N ，则由牛顿第二定律有：F N ＋mg ＝m v 2

l

，

代入数据可得：F N ＝4 N.

由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小：F N ′＝F N ＝4 N. 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型

针对训练 (多选)如图3所示，用长为l 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )

图3

A ．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力

B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零

C ．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为gl

D ．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 答案 CD

解析 小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A 错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则可以使绳子的拉力为零，B 错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提

供向心力，mg ＝mv 2

l

，v ＝gl ，C 正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，

处于超重状态，绳子的拉力一定大于小球的重力，故D 正确． 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型 二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型

如图4所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球在重力和杆(管)的弹力作用下做圆周运动．

图4

(1)最高点的最小速度

由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v ＝0，此时小球受到的支持力F N ＝mg .

(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况

①v >gL ，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或压力，mg ＋F ＝m v 2L ，所以F ＝m v 2

L

－mg ，F 随v

增大而增大．

②v ＝gL ，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F ＝0，mg ＝m v 2

L

.

③0<v <gL ，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，mg －F ＝m v 2L ，所以F ＝mg －m v 2

L

，F 随v 的增

大而减小．

例2 长L ＝0.5 m 的轻杆，其一端连接着一个零件A ，A 的质量m ＝2 kg.现让A 在竖直平面内绕O 点做匀速圆周运动，如图5所示．在A 通过最高点时，求下列两种情况下A 对杆的作用力大小(g ＝10 m/s 2

)．

图5

(1)A 的速率为1 m/s ； (2)A 的速率为4 m/s. 答案 (1)16 N (2)44 N

解析 以A 为研究对象，设其受到杆的拉力为F ，

则有mg ＋F ＝m v 2

L

.

(1)代入数据v 1＝1 m/s ，可得F ＝m (v 12L －g )＝2×(1

2

0.5

－10) N ＝－16 N ，即A 受到杆的支持

力为16 N ．根据牛顿第三定律可得A 对杆的作用力为压力，大小为16 N.

(2)代入数据v 2＝4 m/s ，可得F ′＝m (v 22L －g )＝2×(4

20.5

－10) N ＝44 N ，即A 受到杆的拉力

为44 N ．根据牛顿第三定律可得A 对杆的作用力为拉力，大小为44 N. 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型

例3 (多选)如图6所示，半径为L 的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P 时的速度为v ，则( )

图6

A ．v 的最小值为gL

B ．v 若增大，球所需的向心力也增大

C ．当v 由gL 逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小

D ．当v 由gL 逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大 答案 BD

解析 由于小球在圆管中运动，在最高点速度可为零，A 错误；根据向心力公式有F ＝m v 2

L

，v

若增大，球所需的向心力一定增大，B 正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v ＝gL 时，圆管受力为零，故v 由gL 逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C 错误；v 由gL 逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D 正确． 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型

1.(轻绳作用下物体的运动)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m 的细绳的一端，系一个