中考数学三轮冲刺-真题集训：知识点37 解直角三角形及其应用(pdf版,含答案)

一、选择题1．（2019·苏州）如同，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度．将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度是1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30°，则教学楼的高度是（ ） A ． 55.5 m B ．54 m
C ．19. 5 m
D ．18 m
【答案】C
【解析】过D 作DE ⊥AB ，∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为30°，∴∠ADE ＝30°，∵BC ＝DE ＝
18
m ，∴AE ＝DE •tan30°＝18m ，∴AB ＝AE +BE ＝AE +CD ＝18+1.5＝19.5m ，故选C ．
2．（2019·温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB 的长为（ ） A ．
9
5sin α
米
B ．
95cos α
米 C ．59sin α米 D ．5
9cos α米
【答案】B
【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ，则BD=1.5+0.3=1.8(米).在Rt △ABD 中，∠ADB=90°，cosB=
BD AB
，所以AB =cos BD α= 1.8cos α=
9
5cos α．故选B.
D C
B
A
知识点37——解直角三角
形及其应用
3．（2019·长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile 的小岛A 出
发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是( )
A ． n mile
B ．60 n mile
C ．120 n mile
D ．(30+ n mile
【答案】D
【解析】过C 作CD ⊥AB 于D 点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt △ACD 中，cos ∠ACD=
CD
AC
，
∴CD=AC•cos ∠．在Rt △DCB 中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴
答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是（nmile ．故本题选：D ．4．（2019·益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图1，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为（）A. asin α+asin β B. acos α +a cos β C. atan α+atan β D.
tan αtan β
a
a +
【答案】C
【解析】在Rt △ABD 中，∵tan β=AB
BD ，∴BD=atan β.
在Rt △ABD 中，∵tan α=
AB
BC
，∴BC=atan α.∴CD=BD+BC=atan α+atan β.
5.(2019·泰安)如图,一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行至B 港,然后再沿北偏西40°方向航
行至C 港,C 港在A 港北偏东20°方向,则A,C 两港之间的距离为________km.
【答案】B
【解析】如图,由题中方位角可知∠A ＝45°,∠ABC ＝75°,∠C ＝60°,过点B 作BD ⊥AC 于点D,在Rt
△ABD 中,∠A ＝45°,AB ＝,∴AD ＝ABcosA ＝30,BD ＝ABsinA ＝30,在Rt △BCD 中,∠C ＝60°,∴CD ＝
tan BD
C
＝,∴AC ＝AD+CD ＝故选B.
6.（2019·重庆B 卷）
如图，AB 是垂直于水平面的建筑物，为测量AB 的高度，小红从建筑物底端B 出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC=BC.在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角∠AEF 为27°（点A ,B ,C ,D 在同一平面内）.斜坡CD 的坡度（或坡比）i=1：2.4,那么建筑物AB 的高度约为（）
【答案】B
【解析】作EN ⊥AB 于N,EM ⊥BC 交BC 的延长线于M . ∵斜坡CD 的坡度（或坡比）i=1：2.4,
DC=BC =52米，设DM =x 米，则CM =2.4x 米，
在Rt △ECM 中，∵2
DM + 2CM =2DC ，∴2x +()2
2.4x =252
解得x =20 ∴CM =48米，EM =20+0.8=20.8米，BM =ED +DM =52+48=100米
∵EN ⊥AB,EM ⊥BC ，AB ⊥BC ∴四边形ENBM 是矩形. ∴EN=BM=100米，BN=EM =20.8米. 在Rt △AEN 中，∵∠AEF =27°∴AN=EN ﹒tan 27°≈100×0.51=51米 ∴AB=AN +BN =51+20.8=71.8米.故选B ．
7.（2019·重庆A 卷）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活
动．如图，在一个坡度（或坡比）i ＝1:2.4的山坡AB 上发现有一棵古树CD ．测得古树底端C 到山脚点A 的距离AC ＝26米，在距山脚点A 水平距离6米的点E 处，测得古树顶端D 的仰角∠AED ＝48°（古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面上，古树CD 与直线AE 垂直），则古树CD 的高度约为（
）
（参考数据：sin 48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）A ．17.0米
B ．21.9米
C ．23.3米
D ．33.3米
【答案】C ．
【解析】如答图，延长DC 交EA 于点F ，则CF ⊥EA ．∵山坡AC 上坡度i ＝1:2.4，AC ＝26米，∴令CF ＝k ，则AF ＝2.4k ，由勾股定理，得k 2＋(2.4k )2＝262，解得k ＝10，从而AF ＝24，CF ＝10，EF ＝30．在Rt △DEF 中，tan E ＝DF
EF
，故DF ＝EF •tan E ＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3，于是，CD ＝DF －CF ＝23.3，故选C ．
二、填空题
1.（2019·遂宁）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固，如图，加固前大坝背水坡坡面从A 至B 共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm ，斜坡AB 的坡度i=1:1，加固后坝顶宽度增加2米，斜坡EF 的坡度i=1:5,问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石时忽略阶梯，结果保留根号）
解：如图，分别过点A,E 作AN ⊥FC 于N,EM ⊥F 于M ， 则AN=EM,
∵从A 至B 共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm ， ∴AN=9米=EM ，
∵斜坡AB 的坡度i=1:1， ∴BN=AN=9米，
∵斜坡EF 的坡度i=1:5， ∴FM=95，
∴FB=FM+MN-BN=95+2-9=95-7,
S 梯=EM BF AE ×+)21
（=24552819)75922
1−=×−+（, ∴体积为200S 梯=81005-4500（m3) 答:共需土石81005-4500立方米.
2．(2019·广元)如图,某海监船以60海里时的速度从A 处出发沿正西方向巡逻,一可疑船只在A 的西北
方向的C 处,海监船航行1.5小时到达B 处时接到报警,需巡查此可疑船只,此时可疑船只仍在B 的北偏西30°方向的C 处,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃离,海监船立刻加速以90海里/时的速度追击,在D 处海监船追到可疑船只,D 在B 的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)(1)求B,C 两处之间的距离;
(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.
解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E,在Rt △BEC 中,设BC ＝x,∵∠BCE ＝30°,∴BE ＝12BC ＝1
2
x,CE
x,在Rt △ACE 中,AE ＝CE ∴AB ＝AE －BE x －1
2
x,已知AB ＝60×1.5＝90,x －12x ＝
90,解之得,x ＝
答:B,C 两处之间的距离海里;
过点B作BF⊥DC于点F,在Rt△BDF中,∠DBF＝60°,由(1)得,BF＝CE＝CE
＝
∴BD＝2BF＝
∴时间为
(270+90)÷90＝
.答:海监船追到可疑船只所用的时间为
(3+小时.
3．（2019·温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角∠COD=60°，晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且HO=FO=4分米．当∠AOC=90°时，点A离地面的距离AM 为分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO 延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′-BE为分米．
【答案】4
【解析】（1）过点O分别作OL⊥MD、ON⊥AM，垂足分别为点L、N，则∠LON=90°，四边形NMLO是矩形，∴MN=LO. ∵OC=OD=10分米，∠COD=60°，∴∠COL=30°，
CL=
1
2CD=5，
∵∠AOC=90°，∴∠AON=30°，∴AN=
1
2AO=5，∴
AM=5+5；（2）过点F分别作FQ⊥OB、FP⊥OC，垂足分别为点Q、N. 在Rt△OPQ中，∠OQP=90°，∠BOD=60°，∴OQ=2，
在Rt△EFQ中，∠EQF=90°，
EF=6，∴
，
；同理可得PE′
，∴B′E′
，∴B′E′
)=4. 故填：
F
E
4．（2019·盐城）如图，在△ABC 中，BC ＝∠C ＝45°，AB ＝，则AC 的长为________.
【答案】2
【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，又∠C ＝45°，
故sin AD
C
AC
==tan 1AD
C
CD
==，
设AD x =，
则AC =，CD=x
，2AB x =，在Rt △ACD 中，∠ADB=90°，由勾股定理可得：
AD 2+BD 2=AB 2
，得BD =
，所以BC BD CD x =+=1）
x =,故AC =2.
5.(2019·枣庄)如图,小明为了测量校园里旗杆AB 的高度,将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点6m 的位置,在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB 的高度约为________m(精确到0.1m).(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈
1.33)
B
C
B
C
【答案】
【解析】由题可知BC＝6m,CD＝1.5m,过D作DE∥BC交AB于点E,易知四边形BCDE是矩形,∴DE＝BC＝6m,在Rt△ADE中,AE＝DE·tan53°＝7.98m,EB＝CD＝1.5m,∴AB＝AE+EB＝9.48m≈9.5m.
6.（2019·湖州）有一种落地晾衣架如图①所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣
杆的高度．图②是支撑杆的平面示意图．AB和CD分别是两根不同的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为________cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
【答案】120．
【解析】如图，过点A作AE⊥BD于点E，则∠AEB＝90°．
∵AO＝85cm，BO＝DO＝65cmα＝74°，
∴∠ODB＝∠B＝53°，AB＝150cm．
在Rt△ABE中，sin B＝h AB，
故h＝AB•sin B＝150×sin53°≈150×0.8＝120．
7.（2019·金华）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是___________．
【答案】40°．
【解析】量角器的0刻度线AB 对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则过AB 中点的水平线对应的是140°，所以此时观察楼顶的仰角度数是40°．
8.（2019·金华）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME 、EF 、FN 是门轴的滑动轨道，∠E =∠F =90°，两门AB 、CD 的门轴A 、B 、C 、D 都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A 、D 分别在E 、F 处，门缝忽略不计（即B 、C 重合）；两门同时开启，A 、D 分别沿E→M ，F →N 的方向匀速滑动，带动B 、C 滑动；B 到达E 时，C 恰好到达F ，此时两门完全开启，已知AB =50cm ，CD =40cm.（1）如图3，当∠ABE =30°时，BC =_______cm.
（2）在（1）的基础上，当A 向M 方向继续滑动15cm 时，四边形ABCD 的面积为_______cm 2.
【答案】（1）（90－
；（2）2256．
【解析】（1）利用直角三角形的性质先求得EB ，CF ，然后进行线段加减即可； （2）根据题意，得S 四边形ABCD ＝S 梯形AEFD －S △ABE －S △CDF ，计算可得. 解：(1)∵ AB =50，CD =40，∴AB ＋CD = EB ＋CF ＝EF =90. 在Rt △ABE 中，∵∠E =90°，∠ABE =30°，∴EB ＝
同理可得CF ＝
∴BC =90－
cm ）.
（2）根据题意，得AE ＝40, DF =32, EB
30，CF
24, ∴S 四边形ABCD ＝S 梯形AEFD －S △ABE －S △CDF
＝1
2
(AE ＋DF )·EF －12AE ·EB －12CF ·DF
＝
12(40＋
32)×90－1
2
×40×30－12×24×32
＝2256.
图3
图2
图1
D )
9. (2019·宁波)如图,某海防哨所O 发现在它的西北方向,距离哨所400米的A 处有一艘船向正东方向航
行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B 处,则此时这艘船与哨所的距离OB 约为________米.
【答案】566
【解析】在Rt △AOH 中,OH ＝AOcos45°＝,在Rt △BOH 中,BO ＝566cos60OH
=
≈
.
10.（2019·衢州）如图，人字梯AB ，AC 的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高
度AD 是米_________（结果精确到0.1m 参考数
据；sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）.
【答案】1.5
【解析】由三角函数的定义得:sin α= sin50°=
AD AC =2
AD
≈0.77，所以AD ≈2×0.77=1.54≈1.5米. 三、解答题
1.（2019年浙江省绍兴市，第20题，8分 如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC ，CD 与AB 始终在同一平面上．
（1）转动连杆BC ，CD ，使∠BCD 成平角，∠ABC ＝150°，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE ．
（2）将（1）中的连杆CD 再绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝165°，如图3，问此时连杆端点D 离桌面l 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm ，参考数据：73.13,41.12≈≈）
【解题过程】
2．（2019·嘉兴）某挖掘机的底座高AB ＝0.8米，动臂BC ＝1.2米，CD ＝1.5米，BC 与CD 的固定夹角∠BCD ＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D 与铲斗顶点E 所在直线DE 垂直地面AM 于点E ，测得∠CDE ＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC 会绕点B 转动，当点A ，B ，C 在同一直线时，斗杆顶
点D升至最高点（示意图4）．
（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．
（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米（精确到0.1米）？
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34， 1.73）
【解题过程】（1）如图2-1，过点C作CG⊥AM于点G，∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB//DE//CG ∴∠DCG=180°-∠CDE=110°.
∴∠BCG=∠BCD -∠DCG=30°.
∴∠ABC=180°-∠BCG=150°.
∴动臂BC与AB的夹角为150°.
（2）如图2-2，过点C作CP⊥DE于点P，过点BQ⊥DE于点Q交CG于点N.
在Rt△CPD中，DP=CD×cos70°=0.51（米）
在Rt△BCN中，CN=BC×sin60°≈1.04（米）
∴DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB≈2.35（米）
如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K.
在Rt△CKD中，DK=CD×sin5°≈1.16（米）
∴DH=DK+KH≈3.16（米）
∴DH-DE≈0.8（米）.
所以斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8米.
3.（2019浙江省杭州市，23，12分）(本题满分12分)
如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D.连接0A.
(1)若∠BAC=60°，
①求证：OD=1
2OA.
②当OA=1时，求△ABC面积的最大值.
(1)点E在线段0A上.OE=OD.连接DE，设∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED(m，n是正数).
若∠ABC＜∠ACB.求证:m-n+2=0
【解题过程】（1）①连接OB、OC，
则∠BOD=BOC=∠BAC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OD=1
2OB=
1
2OA；
②∵BC长度为定值，
∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，
当AD过点O时，AD最大，即：AD=AO+OD=3 2，
△ABC面积的最大值=1
2×BC×AD=
1
2×2OBsin60°×
3
2
（2）如图2，连接OC，
设∠OED=x，则∠ABC=mx，∠ACB=nx，
则∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=1
2∠BOC=∠DOC，
∵∠AOC=2∠ABC=2mx，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx，
∵OE=OD，∴∠AOD=180°-2x，即：180°+mx-nx=180°-2x，化简得：m-n+2=0．
4．（2019山东烟台，23，10分）
如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA，OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点P，支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N．当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的傾斜角发生変化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康．现测得OP的长为12 cm ，OM为10cm，支柱PQ为8cm．
(1)当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求∠AOB的度数．
(2)当支柱的端点Q放在卡孔N处时，∠AOB=20.5°，若相邻两孔的距离相等，求此间距．（结果
精确到十分位）．
【解题过程】
（1）解：当支柱的端点Q放在卡孔M处时，作出该支架的截面图如图（1），
过点P 作
，垂足为E ，
此时，12OP =，10OM OQ ==，8PQ =， 因为PE OA ⊥，
所以90OEP PEQ ∠=∠=°，
设OE x =，所以10EQ OQ OE x =−=−， 在Rt △OPE 中，由勾股定理得，
222
PE OP PE =−2212x −，
在Rt △PEQ 中，由勾股定理得，
2
22PE PQ EQ =−228(10)x =−−，
所以2222128(10)x x −=−−，解得9x =，
所以9OE =,
在Rt △OPE 中，9
cos 0.4512OE AOB OP ∠=
==, 由参考数据表，可得，41AOB ∠=
°． （2）解：当支柱的端点Q 放在卡孔N 处时，作出该支架的截面图如图（2），
过点P 作PE OA ⊥，垂足为F ，
O
A
O
A
此时，OP =，ON OQ =，PQ =，AOB ∠=°，
因为PE OA ⊥，
所以90OEP PEQ ∠=∠=°， 在Rt △OPE 中，
sin PE
AOB OP
∠=， 所以sin sin 20.5120.45 4.2PE
OP AOB OP =×∠=×°=×=， 在Rt △PEQ 中，由勾股定理得，
6.8FQ =，
在Rt △OPE 中，由勾股定理得，
11.24OF ====2212x −，
所以11.24 6.818.04ON OF FQ =+=+=，
所以18.0410 1.655
ON OM d
−−=≈,
【解题过程】∵BH ＝0.6，sinα
＝， ∴AB ＝
＝1， ∴AH ＝0.8，
∵AF ＝FC ＝2，∴BF ＝1，
作FQ ⊥BG 于点Q ，作EP ⊥FQ 于点P ，
∵EF ＝FB ＝AB ＝1，∠EPF ＝∠FQB ＝∠AHB ＝90°，∠EFP ＝∠FBQ ＝∠ABH ，
所以相邻两孔的距离为1.6cm ．
5.（2019山东威海，22，9分）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG ＝2米，货厢底面距地面的高度BH ＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH ＝α，木箱的长（FC ）为2米，高（EF ）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C 与坡面底部点A 重合时，木箱上部顶点E 会不会触碰到汽车货厢顶部．
3
5
35
0.6
3sin 5
BH α
=
∴△EFP≌△FBQ≌△ABH，
∴EP＝FQ＝AH，BQ＝BH，
∴BQ＋EP＝0.6＋0.8＝1.4（米）＜2米，
∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．
6．（2019江西省，20，8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B—A—O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm.(结果精确到01)
(1)如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE.
①填空：∠BAO＝°；
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离.
(2)如图3，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小.
(参考数：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60)
【解题过程】解：（1）①如图所示，延长OA交BC于点F，
∵BC∥OE，OA⊥OE，
∴∠BFA=∠AOE=90°，
∴∠BAO=∠BFA+∠ABC=90°+70°=160°.
答案：160
②∵∠BFA=90°，∠ABC=70°，AB＝30cm，sin70°≈0.94，
∴AF=AB·sin70°≈30×0.94=28.2（cm）.
∵OA=6.8cm，
∴OF=AF+OA=28.2+6.8=35（cm）.
又∵CD始终垂直于水平桌面OE，且CD＝8cm，
∴点D 到桌面OE 的距离为：OF-CD=35-8=27（cm ）. （2）如图所示，作BH ⊥CD 于点H ，
∵D 到桌面OE 的距离为6cm ，H 到桌面OE 的距离为35cm ，CD ＝8cm ， ∴CH=35-8-6=21（cm ）， 又∵BC ＝35cm ，∠H=90°， ∴sin ∠CBH=
6.05
3
3521===BC CH ，∵sin36.8°≈0.60，∴∠CBH=36.8°.又∵∠ABH=70°,
∴∠ABC=∠ABH-∠CBH=70°-36.8°=33.2°.7．（2019·山西）某"综合与实践"小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制定了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).
课题 测量旗杆的高度
成员 组长:××× 组员:×××,×××,×××
测量工具
测量角度的仪器,皮尺等
测量 示意图
说明:线段GH 表示旗杆,测量角度的仪器的高度AC ＝BD ＝1.5m,测点A,B 与H 在同一条水平直线上,A,B 之间的距离可以直接测得,且点G,H,A,B,C,D 都在同一竖直平面内.点C,D,E 在同一直线上,点E 在GH 上. 测量数据
测量项目
第一次 第二次 平均值 ∠GCE 的度数 25.6° 25.8° 25.7° ∠GDE 的度数 31.2° 30.8° 31° A,B 之间的距离
5.4m
5.6m
……
……
任务一:两次测量A,B 之间的距离的平均值是______m.
任务二:根据以上测量结果,请你帮助该"综合与实践"小组求出学校旗杆GH的高度.
(参考数据:sin25.7°≈0.43,cos25.7°≈0.90,tan25.7°≈0.48,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60) 任务三:该"综合与实践"小组在制定方案时,讨论过"利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度"的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)
【解题过程】任务一:平均值＝(5.4+5.6)÷2＝5.5m
任务二:由题意可得,四边形ACDB,ACEH都是矩形,∴EH＝AC＝1.5,CD＝AB＝5.5,设EG＝xm,在Rt△
DEG中,∠DEG＝90°,∠GDE＝31°,∵tan31°＝EG
DE,∴DE＝tan31
x
,在Rt△CEG中,∠CEG＝90°,∠
GCE＝25.7°,∵tan25.7°＝EG
CE
,∴CE＝
tan25.7
x
,∵CD＝CE－DE,∴
tan25.7
x
－
tan31
x
＝5.5,∴x＝
13.2,∴GH＝GE+EH＝13.2+1.5＝14.7.答:旗杆GH的高度为14.7m.
任务三:答案不唯一:没有太阳光,旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等.
8．（2019·娄底）如图（11），某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1:1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α，β．已知tanα=2，tanβ=4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．
解：如图（11－1），设DA与CB的交点为O．
∵
96
tan tan2
DC
O
OC OC
α
∠====，
∴48
OC=
同理，∵
96
tan tan4
DC
DBC
BC BC
β
∠====∴24
BC=．
∴482424
OB OC BC
=−=−=．
设AE x
=米,则则由i＝1:1得BE x
=,
1
2
OE x
=；
∴1
242x x +
=， ∴16x =
∴山顶A 的高度AE 为16米．
9．（2019·衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D 处测得楼房顶部A 的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C 处，然后向楼房方向继续行走10米到达E 处，测得楼房顶部A 的仰角为60°，已知坡面CD ＝10米，山坡的坡度i ＝1(坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB 高度.（结果精确到0.1≈1.73≈1041）
解：设楼房AB 的高为x 米，则EB
x ， ∵坡度i ＝
1: ，∴坡面CD 的铅直高度为5
米，坡面的水平宽度为米，
∴10
5)+
x =x −，解得x ＝15＋（米）.
所以楼房AB 的高度约为237米.10．(2019·泰州,21题,10分)某体育看台侧面的示意图如图所示,观众区AC 的坡度i 为1∶2,顶端C 离水平地面AB 的高度为10m,从顶棚的D 处看E 处的仰角α＝18°30′,竖直的立杆上C 、D 两点间的距离为
4m,E
处到观众区底端A处的水平距离AF为3m,求:
⑴观众区的水平宽度AB;
⑵顶棚的E处离地面的高度EF.
(sin18°30′≈0.32,tan18°30′≈0.33,结果精确到0.1m)
【解题过程】(1)因为AC的坡度i为1∶2,所以
1
2
CB
AB=,因为BC＝10m,所以AB＝20m;
(2)在Rt△DEG中,∠EDG＝18°30′,tan∠EDG＝EG
GD
,GD＝FB＝FA+AB＝23m,所以EG＝7.59m,所以EF＝EG+GF＝EG+DB＝EG+DC+CB＝21.59≈21.6m,顶棚的E处离地面的高度EF为21.6m.
第10题答图
11.（2019·黄冈）如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的
俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度.≈1.414）
【解题过程】
12．（2019·陇南）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC ＝40cm ，灯罩CD ＝30cm ，灯臂与底座构成的∠CAB ＝60°．CD 可以绕点C 上下调节一定的角度．使用发现：当CD 与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D 到桌面的距离为49.6cm ．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：
取1.73）．
解：如图，作CE ⊥AB 于E ，DH ⊥AB 于H ，CF ⊥DH 于F ．
∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，
∴四边形CEHF是矩形，
∴CE＝FH，
在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，
∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），
∴FH＝CE＝34.6（cm）
∵DH＝49.6cm，
∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），
在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，
∴∠DCF＝30°，
∴此时台灯光线为最佳．
13．（2019·株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时
在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝1
3，若直线AF与地面l1
相交于点B，点A
到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．
（1）求BC的长度；
（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN 为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点）．求障碍物的高度．
【解题过程】
(1) 如图，
∵l 1∥l 2
∴∠ABC=α
∴tan ∠ABC=AC
BC =tan α＝13，
∴BC=3AC==×3 1.64.8(米）
∴BC 的长度为4.8米。

（2) 根据题意得DF 1∥AF,
∵l 1∥l 2∴四边形ABED 是平行四边形， ∴BE=BM=FF1=0.6(米），
∴EM=BM-BE=1
2BC-BE=2.4-0.6=1.8（米）, ∵tan ∠NEM=tan ∠ABC=1
3， ∴MN=1
3EM=0.6（米）
∴障碍物的高度为0.6米.
14.(2019·台州)图1是一辆在平地上滑行的滑板车,图2是其示意图,已知车杆AB 长92cm,车杆与脚踏所成的角∠ABC ＝70°,前后轮子的半径均为6cm,求把手A 离地面的高度.(结果保留小数点后一位;参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)
解：过点A 作AD ⊥BC 于点D, 在Rt △ABD 中,AB ＝92,∠B ＝70°, ∴AD ＝ABsinB ＝86.48,
∴A 离地面高度为86.48+6≈
92.5(cm).
答：求把手A 离地面的高度92.5cm.
15.（2019·天津）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点C 的仰角为31°，再向东继续航行30m 到达B 处，侧的灯塔的最高点C 的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD.（结果保留整数）参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60
解：如图，根据题意∠CAD=31°，∠CBD=45°，∠CDA=90°，AB=30， ∵在Rt △ACD 中，tan ∠CAD=
CD
AD
∴AD=
tan 31CD
∵在Rt △BCD 中，tan ∠CBD=CD
BD
, ∴BD=
tan 45
CD
CD =
， ∵AD=BD+AB, ∴
tan 31CD
=30+CD,∴CD=45.
答：这座灯塔的高度CD 约为45m.
16.（2019·眉山）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB ，左岸边有一坡度i =1:2的山坡CF ，点
C 与点B 在同一水平面上，CF 与AB 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB
的高度，在坡底C 处测得楼顶A 的仰角为45°，然后沿坡面CF 上行了米到达点D 处，此时在D 处测得楼顶A 的仰角为30°，求楼AB 的高度．
解：在Rt △DEC 中，∵i=DE ∶DC=1∶2，且DE 2+EC 2=DC 2.∴DE 2+（2DE ）2=（2.解得：DE=20m ，
EC=40m.过点D 作DG ⊥AB 于点G ，过点C 作CH ⊥DG 于点H ，则四边形DEBG 、DECH 、BCHG
都是矩形.∵∠ACB=45°，AB ⊥BC ，∴AB=BC ，设AB=BC=xm ，则AG=（x-20）m ，DG=（x+40）
m ，在Rt △ADG 中，∵AG
DG =tan ∠ADG ，∴2040x x −=
+x=50+.答：楼AB 的高度
为（50+）米.
17.（2019·达州）渠县賨人谷是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享
誉巴渠，被誉为川东“小九寨”，蹲坐着观音崖一块奇石是一只“哮天犬”，昂首向天，望穿古今.
一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“哮天犬”上嘴尖与头顶的距离，他们把蹲着的“哮天犬”抽象成ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40°，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60°，CB=5米，CD=2.7米，景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3米，他们很快就算出了AB 的长，你也算算？（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.
2≈1.41
3≈1.73）
解：过点B 作BF ⊥CE 于点F ，再过点A 作AG ⊥BF 于点G ，则四边形AEFG 是矩形. 在Rt △ADE 中，tan60°DE AE =
AE=3，33
=DE
，∴DE=3.
在Rt △CBF 中，sin40°
64.0=BC
BF
，CB=5， ∴BF ≈3.2，cos40°=
BC
CF
≈0.77 ， CB=5，∴CF ≈3.85. ∵CD=2.7 ，∴EF=CD+DE-CF ≈0.58 ，BG=BF-AE ≈0.2， ∴AB=22BG AG +≈0.6m.
18.(2019·巴中)某区域平面示意图如图所示,点D 在河的右侧,红军路AB 与某桥BC 互相垂直.某校”数学兴趣小组”在”研学旅行”活动中,在C 处测点D 位于西北方向,又在A 处测得点D 位于南偏东65°方向,另测得BC ＝414m,AB ＝300m,求出点D 到AB 的距离.(参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14)
解：过点D 作DE ⊥AB 于点E,作DF ⊥BC 于点F, ∵AB ⊥BC,∴四边形DEBF 是矩形,DE ＝BF,EB ＝DF,
在Rt △AED 中,AE ＝tan 65ED
,∴BE ＝AB －AE ＝300－tan 65ED ,
∴DF ＝BE ＝300－tan 65
ED
, 在Rt △CDF 中,∠DCF ＝45°, ∴∠FDC ＝∠FCD,
∴CF ＝DF ＝300－
tan 65ED
, ∴BC ＝BF+FC ＝300－
tan 65ED
+ED, ∵BC ＝414, ∴300－tan 65
ED
+ED ＝414, ∴ED ＝214, ∴点D 到AB 的距离为214m.
19.（2019·潍坊）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众步行健
身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB =200米，坡度为
1AB 的高度AE 降低AC =20米后，斜坡AB 改造为斜坡CD ，其坡度为1∶4．求斜坡CD
的长．（结果保留根号）
解：在Rt △ABE 中，∵tan ∠ABE =1 ∴∠ABE =30°． ∵AB =200， ∴AE =
1
2
AB =100． ∵AC =20，
∴CE =100－20=80． 在Rt △CDE 中， ∵tanD =1∶4，
∴sinD ．
∴
CE CD =
∴CD =
答：斜坡CD 的长是
20.(2019·聊城)某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度(如图①所示,CD 部分),在起点A 处测得大楼部分楼体CD 的顶端C 点的仰角为45°,底端D 点的仰角为30°,在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B 处,测得顶端C 的仰角为63.4°(如图②所示),求大楼部分楼体CD 的高度约为多少米?(精确到1米)
(参考数据:sin63.4°≈0.89,cos63.4°≈0.45,tan63.4°≈ 1.73)
解：设楼高CE为x米,∵在Rt△AEC中,∠CAE＝45°,∴AE＝CE＝x,∵AB＝20,∴BE＝x－20,在Rt△
CEB中,CE＝BEtan63.4°≈2(x－20),∴2(x－20)＝x,解得x＝40,在Rt△DAE中,DE＝AEtan30°＝,
∴CD＝CE－DE＝40≈17(米).答:大楼部分楼体CD的高度约为17米.
21.（2019·岳阳）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）
（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）
（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．
解：（1）在Rt△AEH中，∠AEH=62.3°，
tan62.3AH
°=．
EH
∴AH=EH·tan62.3°=BF·tan62.3°=1.9a．
∵GH=GB－HB=CD－EF=1.7－1.5=0.2，
∴AG=AH－GH=1.9a－0.2．
在Rt△ACG中，
∵∠ACG=45°，
∴CG =AG =1.9a －0.2． ∴BD =CG =1.9a －0.2．
所以小亮与塔底中心的距离BD 为（1.9a －0.2）米． （2）∵DF =BD +BF ， ∴1.9a －0.2＋a =52． 解得：a =18
∴AB =AH ＋BH =1.9a ＋1.5=1.9×18＋1.5=35.7（米）． 所以慈氏塔的高度AB 为35.7米．
22.（2019·怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B 处测得对岸A 处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C 处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度.
解：过A 点作AD ⊥BC ，垂足为D. 根据题意可得∠ABC=30°，∠ACD=60°，BC=40×1.5=60米，
在Rt △ABD 中，BD=
tan 30AD
AD ，
在Rt △ACD 中，CD=
tan 60
AD
AD ，
∴BC=BD ，
∴.
所以此段河面的宽度为.。