第二章线性规划

解：设产品 A、B 的产量分别为x , y 。则，数学模型为：
m inZ 2 x 3 y x 125 x y 350 2 x y 600 x, y 0
例3 营养问题
某公司饲养试验用的动物以供出售。已知这些动物的生长 对饲料中的三种营养元素特别敏感，分别称为营养元素A 、B、C。已求出这些动物每天至少需要700克营养元素 A,30克营养元素B，而营养元素C每天恰好为200克。现有 五种饲料可供选择，各种饲料的营养元素及单价如下表22所示，为了避免过多使用某种饲料，规定混合饲料中各 种饲料的最高含量分别为：50、60、50、70、40克。求满 足动物需要且费用最低的饲料配方。
最优解必定可在可行域的某个顶点上 取得。
QM软件求解两个变量的LP问 题的方法。（演示）
Step1 Step2 Step3 Step4
1 A B C 价 格 3 1 0.5 2
2 2 0.5 1 7
3 1 0.2 0.2 4
4 6 2 2 9
5 18 0.5 0.8 5
需 求 700 30 200
解：设 x j
j 1,2 ,3,4 ,5 为每天混合饲料内包含的
第 j 种饲料的数量 （克） 则营养问题的数学模型为： 。
m inZ 2 x1 7 x 2 4 x3 9 x 4 5 x5 3x1 2 x 2 x3 6 x 4 18x5 700 x 0.5 x 0.2 x 2 x 0.5 x 30 2 3 4 5 1 0.5 x1 x 2 0.2 x3 2 x 4 0.8 x5 200 x 50, x 60, x 50, x 70, x 40 2 3 4 5 1 x j 0, j 1,2,3,4,5,
以这些例子可以看出,它们的共同特征是:
(1)每个问题都用一组决策变量(x1 , x2 , · · · , xn)表示某一方案 ,这组未知数的值在满 足限制条件下，就代表一个具体的方案,通 常要求这些未知数取值是非负的。
(2) 存在一定的限制条件(称为约束条件),这 些条件都可以用关于决策变量的一组线性等式 或不等式来表示。
例4 某昼夜服务的公交线路每天每个时 间段内所需司机和乘务人员数如下： 班次 时间 所需人数 1 6： ~ 10： 00 00 60 2 10： ~ 14： 00 00 70 3 14： ~ 18： 00 00 60 4 18： ~ 22： 00 00 50 5 22： ~ 2： 00 00 20 6 2： ~ 6： 00 00 30
(Linear Programming)
线性规划是一种对问题进行求解的方法， 可以帮组决策者制定决策.1947年丹捷格 (G.B.Dantzig)提出一般线性规划问题的求 解方法——单纯形法后，LP在理论上趋向 成熟。在世界500家大公司中，有85%使用
LP方法。
一、使用线性规划方法的典型情况。
生产的组织与计划问题 运输问题 合理下料问题 配料问题 布局问题 营销管理问题 投资组合问题 分派问题
松弛变量(Slack Variable)
除了最优解和利润外，管理者还想知道再此最优解情况下，设 备台时数和原材料的使用数量， 约束条件 需要的资源数量 资源限制 剩余资源 设备台时 1×4+2×2=8 8 0 原料 A 4×4=16 16 0 原料 B 4×2=8 12 4 这里原料 B 有声誉，为 4 千克，称为该资源的松弛。任何一个 小于等于形式的约束条件中未使用的能力称为该种约束条件的松弛 变量。 通常松弛变量加入到线性规划的方程中，表示该资源的空闲能力。 未使用的资源对利润没有贡献；因此，在目标函数里松弛变量的系 数为零。显然有多少种资源（约束条件）就有多少个松弛变量。对 于上述例题增加 3 个松弛变量。
图解法求模型的解
可行解(Feasible Solution)：满足所有约束条件的解为 可行解。 可行域(Feasible region)：可行解所组成的区域称为可 行域。 图解法步骤： · 画出满足每个约束条件的范围。 · 确定可行域 · 画出一条目标函数的直线 · 平移目标函数直线，使其可行域在直线的一侧。 · 确定最优解。
练习：找可行域的极点，并通过计算和比 较极点所对应的目标函数值来求最优解。
一个简单的最小化问题 M&D公司生产两种产品 ----。
m inZ 2 x 3 y x 125 x y 350 2 x y 600 x, y 0
用图解法进行求解
通过作图法我们找到了最小成本的解为：（250， 100）最小成本为800。同时，我们也发现最优解仍 然在极点出。
本章学习的目的使学员掌握线性规划问 题的一般定义和数学模型的特征。掌握两 个变量的线性规划问题的几何作图求解方 法。重点是数学模型的建立和两个变量线 性规划模型的可行域的特点及最优解存在 的位置。同时理解最优解在极点达到这一 结果对于一般线性规划也成立。熟悉计算 机QM软件求解LP问题的步骤。
第二章、线性规划LP
4
0 2
0
4 3
16千克
12千克
解：假设 x1、x2分别表示在计划期内生产产品 甲、乙的数量，则该计划问题可用如下数学模 型表示为： 目标函数
约束条件
Max Z = 2x1 +3x2
x1 2 x2 8 4 x 16 1 4 x2 1 2 x1 , x2 0
无可行解(Infeasibility Solution)
无可行解是指不存在满足全部约束条件 的解。在图形中，无可行解是指可行域不 存在。也就是说，没有任何一个点能够同 时满足所有约束条件。
举例说明这一情况。在2.1中如果我们增加约束条 件，生产Ⅰ、Ⅱ两种产品至少分别需要3千克。
现有的资源无法生产满足需要（3，3）的产品， 此外，我们可以准确地告诉管理者要生产(3,3) 换需要多少资源
极点和最优解(Extreme Point and optimal)
对于上述问题现在假设每生产一单位产品Ⅰ可获 利1元，每生产一单位产品Ⅱ可获利5元，约束条 件不变，显然约束条件不变，可行域就不变，此 时目标函数的改变对最优解产生什么影响呢？ 我们仍用图解法进行求解
线性规划问题的最优解一定可以在可 行域的一个极点上找到
如将 2.1 中的目标函数改变为：
min Z x1 2 x2
其它约束条件不变，此时图解法求 解为
最优解为:A(2,3),B(4,2)。而且在A、B两 点之间的任何点也都是最优解，因为线段A 、B及其内部的点都使得目标函数值最大。 对于一个LP问题来讲，有无穷多最优解是 一个好消息，有多种决策变量的组合可供 选择。
(3) 都有一个目标要求,并且这个目标可表示为这 组决策变量的线性函数(称为目标函数),按研究问 题的不同要求目标函数实现最大化或最小化。
满足以上三个条件的数学模型称为线性规 划数学模型。其一般形式为(1.1)和(1.2)形式。 在该模型中,方程(1.1)称为目标函数(1.2)称为约 束条件。
三、图解法 对于简单的线性规划问题(只有两个 决策变量的线性规划问题),我们通过图解法 可以对它进行求解。 我们可以参考教材具体给出求解的方法。 图解法简单直观，有助于了解线性规划问题 求解的基本原理.
剩余变量(Surplus Variable)
通过对该公司的最优解的分析，我们知道最大 生产量已经达到，需要的生产时间是600小时， 此外，A的产量已达到其最低要求，事实上，已 经超过了A的最小限额250-125=125，多生产出来 的这一部分产品就称为剩余。由于剩余不参与目 标函数值的计算，因此剩余变量在目标函数中的 系数为零，将该模型引入松弛变量和剩余变量后 为：
可行域D非空有界：（1）有唯一解、（2）有无 穷多最优解 可行域D非空无界：求max（1）无界解。求min （1）有唯一解、 （2）有无穷多组最优解 可行域D空：无可行解
幻灯片 18
从图解法中可直观地看到:
※ 当线性规划问题的可行域非空时, 它是有界或无界凸多面体(形).
※若线性规划问题存在有界最优解,则
二、线性规划问题的提出及数学模型
例1 某工厂在计划期内要安排生产甲、 乙两种产品，已知生产单位产品所需要 的设备台时和A、B两种原材料的消耗以 及资源的限制情况，如表1-1所示： 问工厂应分别生产多少个甲产品和乙产 品才能使工厂获利最大？
表1-1
甲 设备 1 乙 2 资源限制 8台时
原料A
原料B 利润
例2
M&D公司生产两种产品A和B，基于对现有 的存储水平和下一个月的市场潜力的分析， M&D公司管理层决定A和B的总产量至少要达到 350千克，此外，公司的一个客户订了125千克 的A产品必须首先满足。每千克A、B产品的制 造时间分别为2小时和1小时，总工作时间为 600小时。每千克A、B产品的原材料成本分别 为2$和3$。确定在满足客户要求的前提下，成 本最小的生产计划。
我们通过画图可以知道该线性规划问题的可行解所在 的范围是无界的,目标函数值可以增大到无穷大,称这种 情况为无界解或无最优解,如下图所示: x2
Z
0
x1
进一步来看,是否可行解所在的范围无界就意味着解
无界,找不到最优解呢?那也不一定,如在(1.3)中,将目 标函数由 Max Z = x1 + x2 改为 Min Z = x1 + x2 , 则可行解所在的范围虽然无界,但有最优解 x1 = x2 = 0 ,即 (0,0)点. 当求解结果出现(2)、(3)两种情况时,一般均说明线性 规划问题的数学模型存在错误,前者缺乏必要的约束条 件,后者是存在矛盾的约束条件,在建立数学模型时， 应当注意。
max z 2 x1 3 x2 0 x3 0 x4 0 x5 x1 2 x2 x3 8 4 x1 x4 16 4 x2 x5 12
xi 0, i 1,2, 5
当线性规划的所有约束条件都用等式来表达时， 这种形式就称为标准型。 注释 在线性规划的标准型中，松弛变量的系数为零， 这个零表示未使用的资源，不对目标函数产生任 何影响，但在实际中，可以出售未使用的资源， 以使公司获利，从这一角度看，松弛变量就变成 了表示公司可以出售多少未使用的资源的决策变 量。
假设司机和乘务人员分别在各时间段一经 上班，就连续工作八小时。问该公司怎样 安排司机和乘务人员，既能满足工作需要， 又配备最少司机和乘务人员。
解：设
xi , i 1,2,,6
表示第 i 班次时开始上班的司机和乘务人员数， 在第 i 班工作的人数应包括——第 i 班才开 始上班的人数和第 i -1班次开始上班的还需继 续工作的人数。 这样建立的数学模型为：
min z x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 x6 60 x x 70 1 2 x3 x 2 60 x 4 x3 50 x x 20 4 5 x6 x5 30 x 0, i 1,,6 i
minZ 2x 3y 0s1 0s2 0s3 125 1x 1s1 1x 1y 1s 350 2 2 x 1y 1s3 600 x, y, s1 , s2 , s3 0
特殊情况
无穷多最优解(Alternative optimal solution)
资源
最少资源需求
可用资源
需增加的资源
设备台时
1×3+2×3=9
8
1
原料A
4×3=Hale Waihona Puke 216无原料B
3×4=12
12
0
无界解Unbounded solution)
Ma x Z x1 x2 2 x1 x2 4 x1 x2 2 x1 , x2 0 (1.3)