《复变函数论》第二章

第二章 复变函数
第一节 解析函数的概念及C.-R.方程
1、导数、解析函数
定义2.1：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且0z D ∈。

如果极限
00,0
()()
lim
z z z D
f z f z z z →∈--
存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0'()f
z ，或
z z dw dz
=。

定义2.2：如果()f z 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称()f z 在0z 处解析；如果()f z 在区域D 内处处解析，则我们称()f z 在D 内解析，也称()f z 是D 的解析函数。

解析函数的导（函）数一般记为'()f z 或
d ()d f z z。

注解1、εδ-语言，如果任给0ε>，可以找到一个与ε有关的正数
()0δδε=>，使得当z E ∈，并且0||z z δ-<时，
00
()()
|
|f z f z a z z ε
--<-，则称)(z f 在0z 处可导。

注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；
注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；
注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此
在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。

解析函数的四则运算：
()f z 和()
g z 在区域D 内解析，那么()()f z g z ±，()()f z g z ，
()/()f z g z （分母不为零）也在区域D
内解析，并且有下面的导数的
四则运算法则：
(()())''()'()[()()]''()()()'()
f z
g z f z g z f z g z f z g z f z g z ±=±=+
2
()'()()()'()
()[()]
'f z f z g z f z g z g z g z -⎡⎤=
⎣⎦。

复合求导法则：设()f z ζ=在z 平面上的区域D 内解析，()w F ζ=在
ζ平面上的区域1D 内解析，而且当z D ∈时，1()f z D ζ=∈，那么复
合函数[()]w F f z =在D 内解析，并且有
d [()]
d ()d ()d d d F f z F f z z
z
ζζ
=
求导的例子：
（1）、如果()f z a ≡（常数），那么d ()0d f z z
=；
（2）、
d 1d z z
=，
1
d d n
n z
nz
z
-=；
（3）、z 的任何多项式
01()...n
n P z a a z a z
=+++
在整个复平面解析，并且有
1
12'()2...n n P z a a z na z
-=+++
（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同。

2、柯西-黎曼条件
可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：
定理 2.1 设函数(,)(,)(,)f x y u x y iv x y =+在区域D 内确定，那么
(,)f x y 在点z x iy D
=+∈可微的充要条件是：
1、 实部(,)u x y 和虚部(,)v x y 在(,)x y 处可微；
2、 (,)u x y 和(,)v x y 满足柯西-黎曼条件（简称C R -方程）
u
v u v
x
y y x
∂∂∂∂
∂∂∂∂=
=-
证明：（必要性）设()f z 在z x iy D =+∈有导数a ib α=+，根据导数的定义，当z z D +∆∈时(0)z ≠
()()(||)f z z f z z o z α+∆-=∆+∆()()(||)a ib x i y o z =+∆+∆+∆
其中，z x i y ∆=∆+∆。

比较上式的实部与虚部，得
(,)(,)(||)u x x y y u x y a x b y o z +∆+∆-=∆-∆+∆(,)(,)(||)v x x y y v x y b x a y o z +∆+∆-=∆+∆+∆
因此，由实变二元函数的可微性定义知，(,)u x y ，(,)v x y 在点(,)x y 可微，并且有
,
,, u
u v v
x
y x y
a b b a ∂∂∂∂∂∂∂∂==-== 因此，柯西-黎曼方程成立。

（充分性）设(,)u x y ，(,)v x y 在点(,)x y 可微，并且有柯西-黎曼方程成立：
u v u v
x
y y x
∂∂∂∂
∂∂∂∂=
=-
设, ,u v
x x
a b ∂∂∂∂==则由可微性的定义，有： (,)(,)(||)u x x y y u x y a x b y o z +∆+∆-=∆-∆+∆(,)(,)(||)v x x y y v x y b x a y o z +∆+∆-=∆+∆+∆
令z x i y ∆=∆+∆，当z z D +∆∈（0z ∆≠）时，有
()()(||)f z z f z z o z α+∆-=∆+∆()()(||)a ib x i y o z =+∆+∆+∆
令a ib α=+，则有
()()
(||)lim
lim ()z z f z z f z o z z
z
αα
∆→∆→+∆-∆=+
=∆∆
所以，(,)f x y 在点z x iy D =+∈可微的。

定理2.2 设函数(,)(,)(,)f x y u x y iv x y =+在D 区域D 内确定，那么
(,)f x y 在区域D
内解析的充要条件是：
1、 实部(,)u x y 和虚部(,)v x y 在D 内可微；
2、 (,)u x y )和(,)v x y 在D 内满足柯西-黎曼条件（简称C R -方程）
u
v u v x
y
y
x
∂∂∂∂∂∂∂∂=
=-
关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：
注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C R -方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的； 注解2、解析函数的导数形式更简洁：
公式可避免利用定义计算带来的困难。

注解3、利用两个定理，可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析。

3、例题
例1 证明()f z z x iy ==-在任何点都不可微。

解 (,),1,0,x y u x y x u u === (,),0,1x y v x y y v v =-==-， 四个偏导数在复平面内连续，但任何点都不满足C R -方程， 故()f z z x iy ==-在任何点都不可微。

例2 试讨论定义于复平面内的函数222()()2f z z x y ixy ==-+的可导性。

解：
2
2
(,),
2,2,
x y u x y x y u x u y =-==-
(,)2,
2,
2,x y v x y xy v y v x ===
四个偏导数在复平面内连续，且()f z 在复平面内满足C R -方程， 故222()()2f z z x y ixy ==-+在复平面内处处可导。

例3 设函数3232()()f z my nx y i x lxy =+++在复平面可导，试确定常数
,,m n l 之值。

解 3222(,),2,3,x y u x y my nx y u nxy u my nx =+==+ 3222(,),3,2,x y v x y x lxy v x ly v lxy =+=+=
由C R -方程 ,x y y x u v u v ==- 得 ()0,xy n l -= （1）
222233my nx x ly +=-- （2） 由（1） 得 ,n l = （3） 由（2） 得 30,n += （4） 30,m l += （5） 解（3），（4），（5）得 3,1n l m ==-=。

第二节 初等解析函数
1、幂函数
利用对数函数，可以定义幂函数：设a 是任何复数，则定义z 的a 次幂函数为
Ln (0)a
a z
w z e
z ==≠
当a 为正实数，且0z =时，还规定0
a
z
=。

由于
ln 2(ln 10,arg )a
a z
a k i
w z e
e
z πππ===-<≤
因此，对同一个0,a z w z ≠=的不同数值的个数等于不同数值的因子
2(),a k i
e
k Z π⋅∈个数。

2、幂函数的基本性质：
1、由于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数；
2、当a 是正整数时，幂函数是一个单值函数；
3、当1a n =（当n 是正整数）时，幂函数是一个n 值函数；
4、当m a n
=
是有理数时，幂函数是一个n 值函数；
5、当a 是无理数或虚数时，幂函数是一个无穷值多值函数。

设在区域G 内，我们可以把Lnz 分成无穷个解析分支。

对于Lnz 的一个解析分支，相应地a z 有一个单值连续分支。

根据复合函数求导法则，a w z =的这个单值连续分支在G 内解析，并且
ln d 1d a
a z
w z
a e
a z
z z
=⋅
=⋅
,
其中a z 应当理解为对它求导数的那个分支，ln z 应当理解为对数函数相应的分支。

对应于Lnz 在G 内任一解析分支：当a 是整数时，a z 在G 内是同一解析函数；当(1)m a n n
=
>既约分数，时，a
z
在G 内有n 个解析分
支；当a 是无理数或虚数时，幂函数a z 在G 内有无穷多个解析分支，是一个无穷值多值函数。

例如当n 是大于1
的整数时，1
n w z ==
n
z w
=的反函数。

当0z ≠时，有
1
1
1
1
ln 2(ln||arg )
21
(arg 2)
(arg ,)
z
k i
z i z k i
n
n
n
n
i z k n
w e
e
e
e
z k Z πππππ++=
===-<≤∈
这是一个n 值函数。

在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得得区域D 内，它有n 个不同的解析分支：
1(arg 2)
(arg ;0,1,...,1)i
z k n
w z k n πππ+=
-<<=-
它们也可以记作
12
)i
k n
w e
π
=
=，
这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致。

当a 不是整数时，原点及无穷远点是a w z =的支点。

但按照a 是有理数或者a 不是有理数，这两个支点具有完全不同的性质。

为了理解这些结论，我们在0或无穷远点的充分小的邻域内，任作一条简单闭曲线C 围绕0或无穷远点。

在C 上任取一点1z ，确定
Argz 在1z 的一个值11arg z θ=；相应地确定
(ln )
a
a z iArgz w z e
+==,
在1z 的一个值1
1
1
(ln arg )
ln
a z i z a z e e
+=。

现在考虑下列两种情况：
(1) a 是有理数
(1)
m n n
>既约分数，，当一点z 从1z 出发按反时针
或顺时针方向连续变动n 周时，arg z 从1θ连续变动到1
2n θπ
±，而
m
n
w z
=则从1
11ln (ln ||)
m
m
z z i n
n
e
e
θ+=相应地连续变动到
11
(ln 2)
ln m
m
z n z n
n
e e π+=,
也即第一次回到了它从1z 出发时的值。

这时，我们称原点和无穷远点
是m
n w z =的1n -阶支点，也称1n -为阶代数支点。

（2）a 不是有理数时，容易验证原点和无穷远点是a w z =的无穷阶支点。

当a 不是整数时，由于原点和无穷远点是a w z =的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为割线1K ，得一个区域1D 。

在1D 内，可以把a w z =分解成解析分支。

关于幂函数a w z =当a 为正实数时的映射性质，有下面的结论： 设ω是一个实数，并且0,2a ωωπ<<。

在z 平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域*D 。

考虑*D 内的角形:0arg A z ω<<，并取a w z =在*D 内的一个解析分支
(11)a
a
w z ==
当z 描出A 内的一条射线0:arg l z θ=时（不包括0）
，w 在w 平面描出一条射线10:arg l w
a θ=。

让0θ从
0增加到ω（不包括0及ω），那么
射线l 扫过角形A ，而相应的射线1l 扫过角形1:0arg A w a ω<<，因此
(11)a
a
w z ==把夹角为ω
的角形双射成一个夹角为a ω的角形，同时，
这个函数把A 中以原点为心的圆弧映射成中1A 以原点为心的圆弧。

类似地，我们有，当1n >
是正整数时，w =
n 个分支
12) (0,1,2,...,1)i
k n
w e
k n π
=
==-
分别把区域*D 双射成w 平面的n 个角形
22(1)arg k k w n
n
ππ
+<<
.
3、例题
例1、 作出一个含i 的区域，使得函数
w =
在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在i 点的值。

解：由于
1
[(1)(2)]
2
2
|(1)(2)|i Argz Arg z Arg z w z z z e
+-+-=--
我们先求函数w 的支点。

因为1
2z 的支点是0及无穷远点，所以函数w 可能的支点是0、1、2及无穷远点。

任作一条简单连续闭曲线C ，使其不经过0、1、2，并使其内区域含0，但不包含1及2。

设1z 是C 上一点，我们确定Argz 、(1)Arg z -及(2)Arg z -在这点的值分别为
111arg ,arg(1),arg(2)z z z --。

当z 从1z 按反时针
方向沿C 连续变动一周时，通过连续变动可以看到，1arg z 增加了2π，
而11arg(1),arg(2)z z --没有变化，于是w 在1z 的值就从
1111
[arg arg(1)arg(2)]
22
1111|(1)(2)|i
z z z z z z e w +-+---=
连续变动到
1)]
2arg()1arg(2[arg 2
2
1
111111|)2)(1(|w e
z z z z z z i -=---+-++π
因此0是函数w 的一个支点；
同时，任作一条简单连续闭曲线C ，使其不经过0、1、2，并使其内区域含1，但不包含0及2。

设1z 是C 上一点，我们确定Argz 、
(1)Arg z -及(2)Arg z -在这点的值分别为
111arg ,arg(1),arg(2)z z z --。

当z
从1z 按反时
针方向沿C 连续变动一周时，通过连续变动可以看到，
1a r g (1)z -
增
加了2π，而11arg ,arg(2)z z -没有变化，于是w 在1z 的值
就从
1111
[arg arg(1)arg(2)]
2
2
1111|(1)(2)|i z z z z z z e
w +-+---=
连续变动到
1111[arg arg(1)2arg(2)]
2
2
1111|(1)(2)|i z z z z z z e
w π+-++---=-因此
1也是函数w 的一
个支点；
同理，2和无穷远点∞也是它的支点。

支点确定后，我们作区域，把函数分解成单值解析分支。

首先，在复平面内作一条连接0、1、2及无穷远点的任意无界简单连续曲线作为割线，在所得区域内，可以把w 分解成连续分支。

例如可取[0,)+∞作为复平面上这样的割线，得区域D 。

其次，任作作一条简单连续闭曲线1C ，使其不经过0、1、2，并使其内区域包含这三个点中的两个，但不包含另外一点。

设2z 是1C 上一点，确定w 在2z 的一个值，同样的讨论，有当z 从2z 沿1C 连续变化一周回到2z 时，连续变化而得的值没有变化。

所以，我们可以作为割线如下，取线段[]0,1及从2出发且不与
[]0,1 相交的射线为割线，也可以把分解成连续分支。

例如取在所得
区域内，可以把w 分解成连续分支。

例如可取[]0,1及[2,)+∞作为复平面上的割线，得区域1D 。

求w 在上述区域中的一个解析分支
(1))w w =
-=
在z i =的值。

在1z =-，取
arg ,arg(1),arg(2),z z z πππ=-=-=
于是在D 或1D 内，w 可以分解成两个解析分支
1[arg arg(1)arg(2)2]
2
2
1
[arg arg(1)arg(2)]2
2
|(1)(2)| |(1)(2)| (0,1)
i z z z k i z z z ki w z z z e
z z z e
k ππ
+-+-++-+-+=--=--=
由于所求的分支在1z =-
的值为，可见这个分支是
1
[arg arg(1)arg(2)]
2
2
|(1)(2)|i z z z w z z z e
+-+-=--
由下图可以得到，在D 或1D 内z i =处，
3arg ,arg(1),
2
41arg(2)arctan
,
2z z z π
ππ=
-=
-=-
因此w 的所求分支在z i =的值是
11arctan
(arctan )2
3
242
i
i π-=.
例2、 验
证函数w
=
[0,1]D C =-内可以分解成解析
分支；求出这个函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支在处的值及函数在(0,1)下沿的值。

证明：我们有
1
[3(1)]
3
4
4
|(1)|i Argz Arg z w z z e
+-=-
则0及1是的三阶支点，而无穷远点不是它的支点。

事实上，任作一条简单连续闭曲线*C ，使其内区域包含0、1，设*z 是*C 上一点，确定w 在*z 的一个值，当z 从*z 沿*C 连续变化一周回到*z 时，w 连续变化而得的值没有变化。

因此，在区域[0,1]D C =-内，可以把w 分解成解析分支。

现在选取在(0,1)上沿取正实值的那一支，即在(0,1)上沿，
arg 0,w w ==
其中01x <<，根号表示算术根。

求这一支在1z =-的值。

在(0,1)上沿，取arg 0z =，arg(1)0z -=。

于是所求的一支为
1
[arg 3arg(1)]
3
4
4
|(1)|i z z w z z e
+-=-
其中01x <<，根号表示算术根。

求这一支在1z =-的 在D 内1z =-处
arg ,arg(1)0z z π=-=
于是w 的指定的一支在1z =-处的值是
4
)i
i π
=
+.
最后，考虑上述单值分支在(0,1)下沿取值的情况。

在区域D 内，当z 沿右边的曲线，从
(0,1)上沿变动到(0,1)下沿时，arg z
没有变
化，而arg(1)z -减少了2π，于是在(0,1)的下沿，有
14
3arg [arg 3arg(1)]2
w z z π=
+-=-
当z 沿左边的曲线，从(0,1)上沿变动到(0,1)下沿时，arg z 增加了π2，而arg(1)z - 没有变化，于是在(0,1)的下沿，有
14
1arg [arg 3arg(1)]2
w z z π=
+-=
因此，无论怎样，当z x =在(0,1)的下沿时，上述单值分支的值是
w =
注解1： 对具有多个有限支点的多值函数，不便采取限制辐角范围的办法，而是首先求出该函数的一切支点，然后适当联结支点以割破复平面，于是，在复平面上以此割线为边界的区域D 内就能分出该函数的单值解析分支。

因为在D 内变点不能穿过支割线，也就不能单独绕任一支点转一整周，函数就不可能在D 内同一点取不同的值了。

注解2： 解例1，例2这类题的要点，就是作图观察，当动点z 沿路线C （C 在D 内，且不穿过支割线）从起点1z 到终点2z 时，各因子辐角的连续改变量：arg ,arg(1),C
C z z ∆∆-
，即观察向量,1,z z - 的
辐角的连续改变量。

由此可计算arg ()C f z ∆。