初中物理竞赛及自主招生专题讲义第一讲物体的运动第四节相对运动含解析

第四节 相对运动
研究一个物体的运动时，总要选择一个参照物作为标准。

很多问题中的参照物就是我们认为静止的地面.在一些问题中，我们也需要选择其他运动着的物体作为参照物，这样会使得解决问题更加方便快捷。

一、共线的两个物体的相对运动
在同一直线上运动的A ，B 两个物体，其相对运动又分为两种情况：
（1）如图3。

51所示,若两者同向运动，其中B 物体相对于A 物体的运动速度B A B A v v v =-对，若B A v 对为正，则B 离A 越来越远，反之，B 离A 越来越近.
（2）如图3.52所示,若两者反向运动，其中B 物体相对于A 物体的运动速度B A B A v v v =+对。

上述相对速度的计算也可以将表示A ，B 两物体速度的有向线段的起点画在同一点，则从A v 的末端指向B
v 末端的有向线段就表示B A
v 对,如图3.53所示例子.
例1 一条船逆流而上航行，已知河水流速为0
v ，船在静水中的速度为1
v .船行至靠近岸边的A 处时一只木箱子掉入水中，直至0
t 时间后被船员发现，于是船立即掉头寻找箱子,并于靠近岸边B 处将箱子捞起。

不计船掉头所需的时间，河道笔直，求A ，B 之间的距离。

分析与解 船在静水中的速度1
v 并不是船相对于地面的速度,而是指船相对于河水的速度，下面我们分别以地面和河水为参照物，来求解这个问题。

(1)以地面为参照物。

船逆流而上时对地速度为10
v v -，掉头后顺流而下对地的速度为10v v +，木箱顺水漂流对地速度为0
v ，画出船及木箱的运动示意图如图3。

54所示。

从木箱掉落的O 处到A 处,船向上游前进了()100OA s
v v t =-的距离，设从船掉头到追上木箱用时1t ，则船追赶箱子向下游前进了距离()101AB s
v v t =+.从木箱掉落到被捞起,木箱向下游移动的距离为()001OB s
v t t =+，则有()()()100001101v v t v t t v v t -++=+，
解得10t t =，因此A ，B 之间的距离为()()101100AB s v v t v v t =+=+。

（2)以河水为参照物.无论船向上游还
是向下游行驶，相对于河水的速度大小总是1
v ，而相对于水，木箱保持静止，因此，船在木箱落水后0
t 时间返回，则一定又经过
0t 时间找到木箱，从船返回到找到木箱这个过程,船对地移动的距
离即为()110AB s v v t =+.
由本题可以看出,选择合适的参照物往往可以使解决问题变得更简便，甚至使得看起来无从下手的问题也轻而易举就得到解决。

如果参照物选择不当就会适得其反，需要同学们多总结、多思考.
例 2 商场中有一自动扶梯,某顾客以相对扶梯的速度1
v 沿开动上行的扶梯走上楼时，数得走了116N =级，当他用同样的速
度相对扶梯沿向下开动的自动扶梯走上楼时，数得走了248N
=级,已知自动扶梯向上、向下运行的速度大小恒为0v ,问:1v ,0v 的比值为
多少？静止时自动扶梯露出的级数为多少？
分析与解 人沿着扶梯上行时，人相对扶梯的速度为1
v ，则人对地的速度为01v v +,设扶梯露出的级数为0N ，每一级长度为l ，则人上行的时间为0101
N l t v v =+，人“数得”的扶梯级数相当于是人相对扶梯走过的距离，因此有
0111101N l N l v t v v v ==+ ①
人沿着扶梯下行时,人对地的速度为10v v -,则人下行的时间为
0210N l
t v v =-，因此
2121
10
N l
N l v t v
v v
==
-
②联立①②两式可得
121
021
2
v N N
v N N
+
==
-
，
24
N=
二、不共线的两个物体的相对运动
如图3。

55所示，当两个物体速度方向不共线时，我们仍
将表示A，B两物体速度的有向线段的起点画在同一点，则从
A
v的
末端指向
B
v末端的有向线段就表示B对A的相对速度B A
v
对,
自B点画
虚线BC平行于
B A
v
对
，则BC就是B相对于A的运动路线，即以A为参
照物时，B的速度为
B A
v
对
，运动路线为BC直线。

例3 如图3。

56所示，甲、乙两物体相
距100m,甲在乙的正东方，某时刻甲以10m/s
v=
甲
的
速度向正北方向运动，同时乙以10m/s
v=
乙
的速度
向正东方向运动.
（1）以甲为参照物，乙向________运动.
（2)开始运动时,经过________时间甲和乙的距离最小。

分析与解 （1）如图3.57所示，将v 甲，v 乙
起点画在乙物体上，则从v 甲末端指向v 乙
末端的有向线段v 相
相即为乙相对于甲的速度。

以乙初始位置为起点作平行于v 相
相的虚线,此虚线即为乙相对于甲的运动轨迹,可见，乙相对于甲的运动方向是东偏北45︒。

（2）以甲为参照物，则认为甲静止在初始位置。

自甲的初始位置向乙的相对运动轨迹作垂线，该垂线段的长度即为甲、乙间的最小距离,垂足与乙的初始距离记为s 相，由几何关系可得502m s =相,102m /s v =相，则最短时间为min 502s 5s 102
s t v ===相相. 参照物的合理选取以及两物体间相对速度的关系这类问题在竞赛中经常出现,也是考生失分较为严重的试题，下面我们再举几个例子,希望读者能够熟练掌握这种方法.
例4 如图3。

58所示，A 船从港口P 出发去拦截正以速度0v 沿直线航行的船B ，P 与B 所在航线的垂直距离为a ,A 船起航时，B 与P 的距离为()b b a >，若忽略A 起动的时间，并认为A 一起航就做匀速运动，为使A 船能以最小速率拦截到B 船,下列说法正确的是（ ）。

A ．A 船应以PC 方向运动
B ．A 船应以PD 方向运动
C ．A 船的最小速率为0v a b
D ．A 船的最小速率为220v b a b -
分析与解 以B 为参照物,则B 可视为静止，
A 若拦截到
B ，则A 相对于B 的运动轨迹必为AB
连线，即A 对B 的相对速度v 相
的方向应由A 指向B .将B 船的速度0v 画在A 上，
以0v 的末端为起点作AB 连线的平行线如图3。

59所示，则该平行线的方向即为v 相的方向,A
v 应由A 点指向相的末端，A v ,v 相，0v 三者构成一个三角形.当v 相取不同值时，A v 亦随之变化。

当A v ,v 相相互垂直时,可知A
v 取得最小值。

根据图3。

59三角形相似的关系，可得0A
v
PC a v PB b ==，可得A 船最小速度为0A v a v b
=，C 选项正确.以地面为参照物，A 船的运动方向为最小速度A v 的方向，该方向与DB 交于F 点，因此A 船应以PF 方向运动。

本题正确选项为C 。

例5 （上海第30届大同杯初赛)如图3。

60所示，实验室内有一宽度12cm d =的跑道.假
设有一连串半径5cm r =的机器人在跑道上沿一
直线鱼贯驶过，速度均为2cm /s v =，相邻机器人中心之间的距离为26cm .某智能机器人（不考虑大小)用最小的速度沿一直线匀速安全穿越此跑道（不与任何机器人相撞)的时间为( ）。

A ．6s
B ．12s
C ．14.4s
D ．16.9s
分析与解 以圆形机器人为参照物，则智
能机器人按照如图3。

61所示的路径AB (与前
后两个圆形机器人相切）穿越跑道所用速度可
以取得最小值.设智能机器人相对于圆形机器
人的速度为v 相，v 相的方向即为AB 方向，则智能机器人的速度与v 相垂直时，智能机器人速度取最小值min v 。

min v ，v 相
，v 围成一个直角三角形，如图3.61所示。

由相似三角形关系，可得1213v v =相，解得24cm /s 13v =相，又513d AB =，可得156cm 5
AB =,因此最短时间min 16.9s AB t v ==相。

本题正确选项为D.
例6 （上海第29届大同杯初赛）轮船以恒定速度沿直线航行，由于风速的影响，轮船旗杆上的服役旗飘动的方向与轮船航行过程中所沿的直线之间往往会存在一个夹角。

若船速为v ,夹角为60︒；若船速为2v （航向不变）,夹角为30︒，假设风速的大小和方向始终保持不变，则风速的大小可能为( ）.
A ．v
B ．1
2v C ．32v D ．72
v 分析与解 旗子飘动的方向，实际是以船为参照物，风对船的相对速度方向。

本题存在两种可能。

（1)如图3.62（a ）所示,船速为v 时，旗子飘动方向与航速夹角60︒朝船的斜后方，即此时风对船的相对速度1
v 的方向与船速夹角60︒斜向后方，当船速为2v 时旗子飘动方向与航速夹角30︒朝船的斜后方，即此时风对船的相对速度2
v 方向与船速夹角30︒斜向后方，根据如图 3.62（a ）所示速度三角形,结合几何关系可得风速v v =风。

（2）如图3。

62(b ）所示，船速为v 时，旗子飘动方向与航速夹角60︒朝船的斜前方,即此时风对船的相对速度60︒方向与船速夹角60︒斜向前方,当船速为2v 时旗子飘动方向与航速夹角2v 朝船的斜后方，即此时风对船的相对速度2
v 方向与船速夹角30︒斜向后方，根据如图 3.62(b ）所示速度三角形，结合几何关系可得风速72v v =风.本题正确选项为AD 。

例7 下雨时,雨滴均匀竖直下落，某人在雨中前进同样的路程，第一次步行,第二次跑步前进，问：此人头顶和身体侧面哪一次淋雨较多？
分析与解 针对题述问题,假设如下:雨滴下
落速度1
v ，方向竖直向下，空中单位体积内雨滴
数为N ，人头顶面积为1s ,人身体侧面(迎着雨的一面）的面积为2s ,人前进的速度为2v ，前进路程为l 。

下面分析2
v 对头顶和身体侧面淋雨多少的影响.
将人视为如图3。

63所示的长方体,当人以速度2
v 前进时,以人为参照物,雨滴是倾斜着下落的，雨滴相对于人的速度记为v 相，v 相与竖直方向的夹角θ满足21tan v v θ=。

人以速度2
v 前进路程l 时，淋雨时间2
l t v =。

以人为参照物，人头顶有效的淋雨面积为垂直于v
相的投影面积1cos s θ，因此头顶总的淋雨量为11cos Q v t s N θ=⋅⋅相Q ，由于1cos v v θ=相，将2l
t v =代入，可得1112v s lN Q v =，可见，2
v 越大，人头部淋雨越少。

人身体侧面有效淋雨面积为2s
sin θ，因此侧面总的淋雨量为22sin Q v t s N θ=⋅⋅相，将2l
t v =代入并考虑到2sin v
v θ=相，得22Q ls N =，可见，身体侧面的淋雨量与前进速度2v 无关。

三、合运动与分运动，速度的分解
物体在做某种运动时,有时根据需要，我们可以将
物体的运动视为两个运动的合成，例如沿与水平方
向成37︒夹角斜向上飞行的飞机,其速度大小为50m /s v =,则1s 内物体前进50m 。

1s 内物体沿水平方向前进40m ，竖直向上升高了30m 。

因此我们可以说，飞机同时参与了两个分运动：水平方向速度为
140m/s
v=的匀速直线运动和竖直方向速度为2v=30m/s的匀速直线运动。

其中飞机的速度v通常叫做合速度
1
v和2v叫做它的分速度，如图3。

64所示。

合速度与分速度满足平行四边形定则，即以分
速度为邻边画一个平行四边形,则两邻边所夹的对角线就是合速度。

当然,图3.64所示的平行四边形恰为矩形，这仅是一种特殊情况。

例8 降落伞在下落一定时间以后的运动是匀速的。

设无风时某跳伞员着地的速度是5m/s。

现有正东风,风速大小是4m/s，跳伞员将以多大的速度着地？
分析与解无风时，跳伞员在下落过程，由于空气
阻力的作用，最终会匀速运动。

当有正东风时,运动员
最终的运动可以视为竖直向下的和水平向西的匀速直
线运动的合成，由于风速水平，运动员竖直向下的运
动仍与无风时相同，而水平方向的分运动速度与风速相同。

如
图3。

65所示，则落地速度22
45m/s41m/s
v=+=，速度与竖直方向
夹角θ满足tan0.8
θ=,斜向下偏西。

物理竞赛试题中，有一类求解杆交点速度的问题--相交杆交点移动速度问题，下面通过例题给出这类问题的解答.
所谓“相交杆"，即两个细杆交于一点,当其中一杆运动或者
两杆均运动时，两杆的交点也可能会随之而移动。

这里之所以
说两杆交点是“可能”会移动,是因为有时候杆移动,交点未必移动。

例如，图 3.66（a）所示的两个细杆AB,CD交于M点，若AB杆沿着AB所在直线方向运动,则交点M的位置不改变,同理，若CD杆沿着CD所在直线的方向运动，两杆交点M位置亦不会改变。

可见，某一杆运动时，沿着自身所在直线方向的速度不会引起交点的移动。

当某一杆运动速度不沿着自身所在直线方向时，我们可以把它的速度分解为沿着自身所在直线方向和沿着对方所在直线方向的分速度，若对方静止，则沿着对方所在直线方向的分速度，即为交点的移动速度.例如，如图3.66(b)所示，AB杆的速
度为
v，CD杆静止，则可以用下列方向求得交点M的移动速度:
AB
将AB杆的速度
v分解为沿着AB方向的分速度1v和沿着CD方向的
AB
分速度
v，则2v即为交点移动的分速度。

若AB杆运动的同时，CD
2
杆也具有速度
v,则我们也要把CD杆的速度CD v分解为沿着AB方
CD
向的分速度
v'和沿着CD方向的分速度2v'，于是交点M
1
的移动速度即为
v与1v'的合速度.
2
例9 (上海第30届大同杯初赛）如图3。

67
所示，在同一平面上的AC,BD两杆分别以相同的转
动周期绕A，B两轴顺时针匀速转动，当两杆转动到如图所示的
位置时，60CAB DBA ∠=∠=︒,此时两杆交点M 的速度为1
v 。

若BD 杆变为逆时针匀速转动，不改变两杆的转动周期，当两杆恰好也转动到如图所示的位置时，两杆交点M 的速度为2v 。

则关于1v 和2
v 关系的判断正确的是（ )。

A ．大小相等，方向不同
B ．大小不等,方向相同
C ．大小、方向都相同
D ．大小、方向都不同
分析与解 当AC ,BD 两杆分别绕A ，B 两轴顺时
针匀速转动时，如图3。

68所示，AC 杆上和BD 杆上
的M 点转动的速度均为v L ω=，方向垂直于AC 杆，将
其分解为沿BD 杆和沿AC 杆的两个分速度，因为(假
设BD 杆不动）沿AC 杆的速度不引起交点的变化，所
以只考虑沿BD 杆的速度分量，该分量大小为23cos303BD L
L v ωω==︒。

同理，把BD 杆上M 点转动的速度v 分解为沿BD 杆及沿AC 杆方向的分速度，只考虑沿AC 杆的速度分量，则23cos303AC L
L
v ωω==︒。

AC v ，BD
v 两速度夹角为120︒，两者合成后即为此时
M 的速度大小
1123:3AC BD L v v v v ω===，方向水平向右. 当AC 杆绕A 轴顺时针匀速转动，BD 杆绕B 轴逆时针匀速转动
时，同样可求得M 的速度大小为22v L ω=，方向竖直向下。

本题正
确选项为D 。

练习题
1．一船往返于甲、乙两码头之间，船在静水中的速度为0
v ，水速为1v ，且01v v >，则船往返一次的平均速度为（
）。

A ．0
12v v + B ．01v v + C ．22010v v v - D ．0101
2v v v v + 2．（上海第25届大同杯初赛)小轿车匀速行驶在公路上，坐在副驾驶位置的小青观察到轿车速度盘的指针始终在100km /h 位置处,在超越相邻车道上同向匀速行驶的另一辆普通轿车的过程中，小青发现该轿车通过自己的时间恰好为1s ，则该轿车的车速范围为（ ）。

A ．15~20m /s
B ．20~25m /s
C ．25~30m /s
D ．30~35m /s
3．（上海第27届大同杯初赛）匀速前进的队伍长为40m ，通信员以恒定速度从队尾走到队首，然后保持速度大小不变再回到队尾，此时队伍走过的路程为30m 。

则通信员走过的路程为（ ）.
A ．70m
B ．80m
C ．90m
D ．100m
4．(上海第20届大同杯初赛)小明乘坐索道到山上游玩，每
隔1min能遇见6部缆车，已知索道单程距离为2160m，缆车的速度保持为1.2m/s，则整个索道上的缆车总数为（）。

A．150部B．180部C．210部D．240部
5．某商场的自动扶梯在0.5min内，可以把站在扶梯上的顾客送到二楼。

如果扶梯不动，人走上去需要1.5min,那么,当人沿着开动的自动扶梯走上去时，需要的时间为（)。

A．2min B．1min C．0.375min D．0.5min
6．(上海第20届大同杯初赛）由于受到水平方向风力的影响，使得原先竖直下落的雨滴斜向下方匀速下落，则（）。

A．风速越大，雨滴下落时间会越短B．风速越大,雨滴下落时间会越长
C．风速越大,雨滴着地速度会越大D．风速越大,雨滴着地速度会越小
7．(上海第23届大同杯初赛）某人骑车向正东方向行驶，看到插在车上的小旗向正南方向飘动，假设风速保持不变，骑车人沿正南方向行驶时，小旗的飘动方向不可能是（).
A．正东方向B．正北方向C．东偏南方向D．东偏北方向
8．（上海第22届大同杯初赛）轿车以5m /s 的速度匀速行驶，
车前窗倾斜角为37︒，车前窗和车顶部面积相同，雨滴竖直落下的速度为2.5m /s ,则车窗和车顶部承受的雨量之比为( ）。

A ．4：1
B ．3:1
C ．2：1
D ．1：1
9．（上海第22届大同杯初赛）如图3。

69所示，某一实验室内有一宽度为d 的跑道，
假设有一连串玩具车沿着同一直线以相同
的速度v 鱼贯驶过,玩具车的宽度为b ,前、后两车间的间距为a 。

某智能机器人用最小的速度沿一直线匀速安全穿过此跑道，则智能机器人要穿越跑道的时间为( ）。

A ．ad bv
B ．22d a b av +
C ．22d a b bv +
D ．()22d a b abv +
10．（上海第21届大同杯初赛）长度为300m 的油轮在大海
中匀速直线行驶，小汽艇从油轮的船尾匀速驶向船头再返回船尾,速度始终保持为90km /h ，所用时间为37.5s ,则油轮的速度为________km /h 。

11．如图3。

70所示，两根细直硬杆a ，b 分别沿与各自垂直
的方向以1v ，2
v 的速率运动，并保持两杆始终垂直。

此时两杆交点O 的运动速度大小v ________.
12．（上海第23届大同杯初赛)如图3。

71所示，B，C两点相距60m,C，A两点相距80m，AC与BC相互垂直。

甲以2m/s的速
度由B点向C点运动，乙以4m/s的速度同时由C点向A点运动。

经过________s,甲、乙之间的距离最近;经过________s,甲、乙所处位置
与C点构成的三角形和ABC
△可能相似.
13．（上海第21届大同杯复赛)以速度v竖直下落的雨滴,落在水平匀速行驶的汽车驾驶室的挡风玻璃和顶棚上。

驾驶室的挡风玻璃和水平顶棚均可视为平面，且面积都是S；挡风玻璃和水平面成53︒角，如图3.72所示.当司机观察到雨点垂直打在挡风玻璃上时，汽车行驶的速度为________;落在挡风玻璃和顶棚上的雨水量之比为________.
14．（上海第20届大同杯复赛)如图3。

73所示，
在竖直平面内，长为1m的直杆AB的A端紧靠在竖直的
墙面上，B端可以沿水平地面运动，现使B端匀速向
右运动,从AB杆与竖直墙面的夹角为30︒时开始,到AB
杆与竖直墙面的夹角为60︒时结束，此过程中直杆AB的中点O经过的路程为________m(精确到0.01m)，A端运动的速度大小________（选
填“增大“不变”或“减小”）.
参考答案
1．C 。

设两地间距离为s ，则船顺水航行时的速度为s ，用
时01v v +，逆水航行时的速度为01v v -，用时201
s t v v =-，则往返一次的平均速度为22011202v v s v t t v -==+。

2．B.小轿车的长度大约为3m ,小青所坐轿车的速度
0100km /h 27.8m /s v ==，以小青所坐轿车为参照物,则相邻车道轿车的相对速度大小为3m /s s v
t
==相相，因此该车的速度为27.8m /s 3m /s 24.8m /s -=,选项B 正确. 3．C.设通信员速度为1v ，队伍速度为2
v ,以队伍为参照物，通信员从队尾走到队首过程中的相对速度为12
v v -，通信员从队首回到队尾过程中的相对速度为12
v v +,设队伍长为l ,则通信员来回的时间t 可表示为122121212
2v l l l t v v v v v v =+=-+-，此时间内队伍前进距离122222122v v l
s v t v v ==-,代入数据可得123v v =，因此通信员通过的路程为
12390m s s ==,本题正确选项为C 。

4．B 。

小明相对于迎面而来的缆车的速度2 2.4m /s v v ==相车，小
明每隔1min 能遇见6部缆车,则每10s 遇见一次缆车，因此缆车的
间距为 2.4m /s 10s 24m s ∆=⨯=,所以，一条索道上的缆车数为21609024s s ==∆，由于是双索道，因此缆车总数为180部,选项B 正确。

5．B.设扶梯长为L ，人步行速度为1v ，电梯运行速度为2
v ，则扶梯不动人走上去用时11L t
v =，人站在扶梯上被电梯送上楼用时22L
t v =,人沿着开动的自动扶梯走上用时3t
=12L v v +.比较上述三个式子可得312111t t t =+，因此30.375min t
=.选项B 正确。

6．C 。

有风时，雨滴参与了两个运动：水平方向
和竖直向下速度为v 雨
的匀速运动，雨滴实际的运动可以视为这两个分运动的合成，由于风速水平，运动员竖直向下的运动仍与无风时相同,因此下落时间和风速无关，而水平方向的分运动速度最终会与风速v 风相同。

如图3。

74所示,落地速度22v v v =+风雨
，可见风速越大，落地速度越大.选项C 正确。

7．B.当车速v 车
向东时,小旗向正南方向飘动,说明此时风相对于车的速度是正南方向,但是风对车的速度大小未知.画出如图3。

75所示三个可能的风对车的相对速度1V ，2V ，3
V ，与之对应的风对地面的速度1v ，2v ,3v 亦可画出。

当车速v 车
向正南方向时，由于风对地面的速度有多种可能，风对车的相对速度亦有多种可能.如图3。

76所示，若风对地面的速度分别为1v ，2v ，3
v ，则对应
的风对车的速度分别为1u ,2u ,3u ，即旗子的飘动方向可能为1u 所指的东偏北方向、2u 所指的正东方向、3
u 所指的东偏南方向，因此本题正确选项为B 。

8．C 。

本题有两种解答：
(1）以车为参照物，则雨水参与了两个
分运动：水平方向速度为v 车
的匀速直线运动和竖直方向速度为v 雨
的匀速直线运动。

将车窗的面积沿着两个分运动投影，投影面积分别为1s ,2
s ，如图3。

77所示，则1sin 370.6s s s =︒=,2cos370.8s s s =︒=。

投影面承受的雨量与投影面面积和垂直于投影面的雨水的速度的乘积成正比,且车窗承受雨量等于投影面1s ，2
s 承受雨量之和。

因此，车窗和车顶部承受的雨量之比
121250.6 2.50.822.5v s v s Q s s Q v s s
+⨯+⨯===雨车雨 （2）同样以车为参照物，画出v 车，v 雨以及雨对车的速度v 相
的三角形关系图如图3。

78所示,设v 相
与水平方向夹角为θ，则
2222
55
=5 2.5m/s m/s
2
v v v
=++=
雨
相车
5
sin
5
v
v
θ==
雨
相
，25
cos
5
v
v
θ==
车
相
以车为参照物时相当于车不动，雨以v
相
的速度沿着图3。

78所示的虚线落到车上.由于车窗和车顶部承受的雨量与它们垂直
于v
相
方向的投影面积有关，求出它们投影面积
1
sin
s s
=()
37θ
︒+, 2
sin37
s s
=︒因此承受雨量之比
()
1
1
22
sin37
sin
v s
Q
Q v s
θ
θ
︒+
==
相
相
考虑到辅助角公式
()
sin37sin37cos cos37sin
θθθ
︒+=︒+︒
有
()
1
2
255
0.60.8
sin37sin37cos cos37sin55
2
sin sin5
5
Q
Q
θθθ
θθ
⨯+⨯
︒+︒+︒
====综上所述，本题正确选项为C。

9．D。

以玩具车为参照物，智能机器人
若要以最小速度穿过此跑道,智能机器人相
对于玩具车的运动路线应如图3。

79所示的虚线AB ，即智能机器人的相对速度v 相
方向为AB 方向,画出速度三角形可知，只有当智
能机器人对地速度与v 相
垂直时,方能使其取得最小速度min
v 。

结合
几何关系，可得AB 之间的距离AB s
满足AB
s d b
=
，得AB
s
b
=。

又v v
相
=
，得v
=
相
，因此()22
min
AB d a b s t
v abv
+==相，选项D 正确。

10．54。

设油轮长为L ，油轮速度为2
v ，小汽艇速度为1
v ，
190km /h 25m /s v ==，取油轮为参照物，则汽艇从油轮的船尾匀速驶
向船头的相对速度为1
2
v v -,从船头再返回船尾的相对速度为1
2
v v +,
则往返所用时间1
2
12
L
L t v v
v v =+
-
+,代入数据可解得。

11
．
a 杆前进的速度为2
v ，沿b 杆前进
的速度为1
v ，交点的实际速度为1
v ，2
v
的矢量和，即v =
12．6；12或9011。

求解甲、乙之间的距离何时最近，我们可以以乙为参照物（即认为乙静止不动），如图3.80所示,将甲、乙的速度v 甲
,v 乙
的起点画在B 点，则由v 乙
末端指向v 甲
末端的有向线
段v 相
即表示甲相对于乙运动的速度，由勾股定理知v
==
相
/s ，过B 点作BD 平行于v 相，则直线BD 即为甲相对于乙运动的
轨迹。

过C 点作CE 垂直于BD ，则CE 的长度即为甲、乙之间的最短距离。

由几何关系知CEB △与v 甲
，v 乙
,v 相
围成的三角形相似，可得
v BE BC v =甲
相
，
解得BE =，
因此经过1BE t v =
=相6s =时甲、乙相距最近。

设经过2
t 时间，甲、乙两物体分别运动至1
B ，1
C 位置，如图
3.81所示,则1
2BB
v t =甲，12CC v t =乙，12BC B C l v t =-甲，若此时11B CC △与BCA △相
似,则根据对应边成比例，有下列两种可能的比例式成立：1
1
B C CC
BC CA
=或1
1
B C CC
CA BC
=，即有22
BC
BC CA
l v t v t l l -=甲乙或22
BC
CA BC
l
v t v t l l -=甲乙，代入数据可解得2
12s t
=或
290
s 11
t =。

13．43
v ，5：4.略，可参考练习题8的两种解法. 14．0。

262，增大。

如图3.82(a)所示,设墙角为点C ，则ACB
△为直角三角形，CO 为斜边上的中线，因此0.5m CO =,在杆移动过程中，CO 长度不变，O 点运动轨迹为以C 点为圆心、以0.5m 为半径的
OO '
.易得
OO '
所对的圆心角为
30︒
，因此
OO '
的长度为
3020.5m 0.262m 360s π︒
=
⨯⨯=︒
.如图3.82（b ）所示，由于AB 杆长度不变，
因此杆端A ,B 的速度A
v ，B
v 沿杆方向的分速度等大，设杆与竖直墙夹角为θ，则有cos sin A
B v
v θθ=，解得tan A B v v θ=，由于B
v 不变，θ逐渐
增大，因此A
v 逐渐增大。