x2_4分块矩阵

A 11 A 21
A 12 就是分成两行两列四 A 22 块的分块矩阵。
a 11 其 中 ， A11 a 21
a 12 a 13 , A12 a 22 a 23 A 21 a 31
a 14 , a 24 a 34 .
A,B都是2×2分块矩阵,而且对应子块的行数与列 数都相等.因此两个分块矩阵可以相加,得
A B 2 0 2 1 0 1 3 3 2 3 5 0 0 2 2 0
例4 设
A 1， 2， 3， ， B 1， 2， 3，
0 1 ,I 0 0
0 0 ,B 1 0
3 . 1
一个矩阵可以有多种分块的方法,究竟怎么分 比较好,要看具体需要而定.
例2
A
1 1 0 0 0
1 1 0 0 0
0 0 2 2 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 1
1 0 B 1 0 2
0 1 1 1 0
2 0 3 1 1
现在的分 法已满足 乘法要求
B 11 , B B 21 B 31
B 12 B 22 B 32
AB=C 作为分块矩阵应该是2×2的分块矩阵,其第(i, j)块为
i=1,2; j=1,2
0 2 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 0
1 0 A 0 1
0 1 0 0
2 1 3 2
Байду номын сангаас
1 2 1 0
0 1 ， 0 1
C12= A11B12+ A12B22+ A13B32
B 12 B 22 Bs2 B1 t B2t B st
其中对应子块
A pq 与 B pq 有相同的行数与相同的列数，则
A B ( Apq ) ( BPq ) ( Apq Bpq )
例3 设有两矩阵分块如下
1 0 A 1 1 0 1 3 2 4 2 5 1 1 1 7 0 ， B 1 0 0 0 0 2 0 1 2 1 0 1 1 5 2 0
a 32 , A 22 a 33
我们称他们为A的“子块”，或称为A的第( i, j )块.

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
3 1 0 1
ε1
ε2
ε3
α
1×4块的 分块矩阵
I O
B I
2×2块的 分块矩阵
pq
设k为数，则
kA k ( A pq ) ( kA
)
３. 分块矩阵的转置
如果将矩阵A分块为
A A11 A 21 As1 A12 A 22 As 2 A1 t A2 t A st
T
则A

Ci j= Ai1B1j+ Ai2B2j+ Ai3B3j ,
C11= A11B11+ A12B21+ A13B31
1 0 0 1 10 0 2 1 1 1 1 1 2 0 0 1 2 1 0 1 0
(类P70)
先观察如何分块方便简化运算?然后就要从乘法所 要求的条件出发,注意左右两矩阵分块的协调.
1 0 A 0 1
0 1 0 0
2 1 3 2
1 2 1 0
0 1 ， 0 1
也可写成 A11 A A 21 A12 A 22 A13 A 23
按列向量分块法
A 1， 2， ， n ，
其中
j
a1 j a2 j a mj
2 ， j 1，， ， n
分块矩阵的相等 如果两个分块矩阵A=(Ai j)r×s,B=(Bi j)l×k中, r=l, s=k 且 Ai j = Bi j (i=1,2,·,r; j=1,2,·,s). · · · ·

都是四阶方阵的按列分块矩阵，已知
求行列式 解 ：
3
A 2, B 3,
A B .
A B d et 2 1， 2 2， 2 3，

2 d et 1， 2， 3，
2 d et 1， 2， 3，
0 1
0 3 0 2
3 2
0 2
1 3 0 5
4 2
0 2
9 1 8 ; 6 1 3
C12= A11B12+ A12B22+ A13B32
B l n ( B kq ) B 11 B 21 Br1 B 12 B 22 Br 2

B1 t B2t B rt
l1 l2 lr
l1
l2

lr
r
m
1
m
2
m
t
其中 A pk 的列数与
B kq
的行数相同，则
1 0 0 2 2 1 3 1 0 1 2 0 1 2 6 1 9 ; 1 1 0 3 3 6
3

2， 3，
d et 1，
2 A B
3
2
3
2. 分块矩阵的数乘
如果将矩阵 A m n 分块为
A A11 A 21 As1 A12 A 22 As 2 A1 l A2 l ( A pq ) A st
例1 将下列两个矩阵分块,并计算 C=AB.
1 0 A 0 1 0 1 0 0 2 1 3 2 1 2 1 0 0 1 ， B 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1 1 0 2 0 3 1 1
1 0 0 3 0 1 0 1 ; 其 中 , ε1 , ε 2 , ε 3 , α 0 0 1 0 0 0 0 1
0 O 0
A作为分块矩阵，除了主对角线上的子块外其余各子 块都是零矩阵。这种分块矩阵在运算上是比较简便的。
一般来说，称矩阵
A
A1 O O
O A2

O
O O An
为对角分块阵。
常常还采用下面两种特殊的分块方法： 按行向量分块法
1 2 A ， 其中 i a i 1， a i 2， ， a in ， i 1，， ， m 2 m
是一个分块矩阵。A的分块有一个特点，若记
A1 1 1 1 1 2 ， A22 1 2 0 ， A33 1 2
则
A1 1 A O O
O A22 O
O O ， A33
其 中 的 子 块 O表 示 相 应 的 不 同 的 零 矩 阵 。
A1 1 A1 2 A1 t
T T
T
A21 A22 A2 t
T
T

T As1 T As2 。 T A st
结果表明：不但每个子矩阵的位置作转置，而且
每个子矩阵的内部也需做转置。 例.设 A 1 , 2 , , n 是一个按列向量分块的
m×n矩阵,其中βj都是m维列向量,则矩阵A的转置矩阵 是

T 1 T
A
T
2 . T n
例如
1 若 A 3 1 2 4 2 4 5 3
1,
2 ,
3
则
A
T
1T T 2 T 3
则称这两个分块矩阵A与B是相等的. 显然,两个矩阵作为分块矩阵相等,则作为普通矩阵 也应该是相等的.
前已说过,矩阵分块的目的是为了简化运算, 所以下面主要就是介绍分块矩阵的运算.
二、 分块矩阵的运算
1.加法
如果将矩阵 A m n , B m n 分块为
A m n ( A pq ) A 11 A 21 As1 A 12 A 22 As 2 A1 t B 11 A2 t B 21 B m n ( B pq ) A st B s1
1 0 0 2 2 1 3 1 0 1 2
1 0 B 1 0 2
0 1 1 1 0
2 0 3 1 1
2 6 1 9 0 1 ; 1 1 0 3 3 6
C21= A21B11+ A22B21+ A23B31
0 1 0 1 0 0 0 3 1 1 2 1 1 0 0 0 1 2 1 0
C22= A21B12+ A22B22+ A23B32
0 1 0 2 3 1 3 0 0 2 0 0 1 1 1
§2.4 分块矩阵
一、 分块矩阵的概念
为了简化复杂的矩阵运算，我们引进分块矩阵及 其运算的概念。用横线与竖线将一个矩阵分成若干， 这样得到的矩阵称为“分块矩阵”。
a 11 A a 21 a 31
例1
a a a
12
22
32
a a a
13
23
33
a a a
14
24 34
k 1
C AB ( A pk )( B kq ) ( A pk B kq )
即 分块关 键：
Cp q =Ap1B1 q+ Ap 2B2 q+·+ Ap rBr q · ·
当A与B可乘时，分块的原则是:A的列如何划分，B 的行就如何划分(A的列分成r块,B的行也分成r块;对 应的子块也要保证符合矩阵相乘的条件)。 左 （分析）…..左矩阵在哪两列之间画竖线,右矩 右 阵就在相应的哪两行之间画横线.

1 2 3
3 4 4
1 2 3
４.分块矩阵的乘法
如果将矩阵 A m l ，B l n 分块为
A m l ( A pk
) A11 A 21 As1 A12 A 22 As 2 A1 r A2 r A sr m1 m2 ms