习题集

抽出， 抽出，则基本事件 总数为n! 个，
所求事件包含的基本事 件数为 m × ( n − 1)! 种 m × ( n − 1)! m ∴ p= = n! n! n 解法2 仍将球编上号码 ， 记Ai =" 第k次抽出 i号球" ,1 ≤ i ≤ n 解法 则有Ω = { A1 , A2 , L , An }, 不难确定诸 Ai 是等可能的 ， 而所求事件 A即为 { A1 ,L , Am } m ∴ p= n
2 = 3
1/ 6 1/ 6 p1 − + 1− 2/ 3 1− 2/ 3
n −1
1 2 = 1 + 2 3

例8( 敏感性问题调查 ) :
对敏感性问题的调查方 案， 关键要使被调查者愿意 作 出真实回答而又能保守 个人秘密 。 经过多年研究和实 践， 统计学家和心理学家们 设计了一种调查方案 。
P (是) = P (白球 ) P (是白球 ) + P (红球 ) P (是 红球 ) 是 k 上式中 ，P (是) ≈ , P (红球 ) = q, P (白球 ) = 1 − q , n P (是白球 ) = 0.5, P (是 红球 ) = p
( k / n) − 0.5(1 − q ) ∴p= q
由全概率公式 P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A |B3)
概率论
为求P(Bi ) , 为求 飞机被第i人击中 设 Hi={飞机被第 人击中 i=1,2,3 飞机被第 人击中}, 可求得
( ) P( B ) = P( H H H ∪ H H H ∪ H H H )
为完备事件组， 以An −1 , An −1为完备事件组，
pn = P ( An ) = P ( An −1 ) P ( An An −1 ) + P ( An−1 ) P ( An An −1 ) = 5 1 2 1 pn −1 + (1 − pn−1 ) = pn −1 + 6 6 3 6
n −1
例 2 : 试计算在桥牌游戏中一 个人手中持有如下牌型 的概率 :
(1)5 − 3 − 3 − 2; ( 2)7 − 3 − 2 − 1; ( 3)4 − 4 − 4 − 1
1 (1)最长套花色有 C 4 一种选法 ， 解:
1 之后最短套花色有 C 3 种选法 ， 5 3 3 2 C13C13C13C13 1 1 p1 = C 4 C 3 , 13 C 52 7 3 2 1 C13C13C13C13 ( 2) p2 = C C C , 13 C 52 1 4 1 3 1 2 4 4 4 1 C13C13C13C13 ( 3) p3 = C , 13 C 52 1 4
解法3： 将球看成不可辨， n只球排成一排， 解法 将球看成不可辨， 只球排成一排，
m m 种排法， 共有C n 种排法， 满足条件的排法是 C n −−1 , 1 m C n −−1 m ∴ p = m1 = Cn n
2 L 10 例4： 从数字1， ， ， 中不放回地任取一数 ， 连取n次，
求这n个数中最大的数是 k的概率(1 ≤ n ≤ k ≤ 10). 解 ： 设 A = “n个数中最大的是 k ”，
n Cm P ( Bm ) = n , C10
Bm = “最大的数不超过 m ”， 最大的数不超过
而A = Bk − Bk −1 , 且Bk ⊃ Bk −1 , P ( A) = P ( Bk ) − P ( Bk −1 )
问题B， 且罐中只有这两种球 。
被调查者无论回答问题 A或B， 只需在下面答卷上 认可的方框内打钩 ， 然后将其投入一只投票 箱内即可 。
答， 我们对问题 A不感兴趣 。 是 假设有 n张问卷 (n要较大 ， 譬如1000以上 )，其中有 k张回答 “是”， 我们不知道有多少是回 答问题 B的，但有两个信息 ： 的 (1)人数较多时 ， 任选一人其生日在 7月1 日之前的概率为 0.5 ( 2)罐中红球的比率 是已知的 罐中红球的比率q
i 注意： 注意： 用抽签的等可能性也可 得出 P ( B C i ) = N
例6 某人一次写了n封信，又写了n个信封，如果他任意地 某人一次写了 封信，又写了 个信封， 封信 个信封 将信纸装入信封，问至少装对一封的概率是多少？ 将信纸装入信封，问至少装对一封的概率是多少？ 解： 令Ai = {第i张信纸恰好装进第 i个信封 }
3 解；此例中，基本事件总数为 C15 = 455种， 有利于 A, B , C 此例中， 2 1 1 2 的基本事件数分别为 C 9 ，C 6 C 8， 6 × C 8
36 于是，P ( A) = ≈ 0.0791, 455 48 56 P( B) = ≈ 0.1055, P (C ) = ≈ 0.1231 455 455
则所求概率为 P ( ∑ Ai )
i =1
n
易知有：
n 1 P ( Ai ) = , ∑ P ( Ai ) = 1 n i =1 1 1 2 1 P ( Ai A j ) = C n = , P ( Ai A j ) = ( i ≠ j ), 1≤∑≤ n n( n − 1) 2! i< j n( n − 1) 1 1 3 ∑kPn( Ai A j Ak ) = C n n( n − 1)(n − 2) = 3! , 1≤ i < j < ≤ 1 P ( A1 A2 L An ) = , LLLL n! n 1 1 n −1 1 P ( ∑ Ai ) = 1 − + − L + ( −1) n→ ∞→ 1 − e −1 2! 3! n! i =1
§1.1-1.3 习 1.1一.基本概念 什么是概率? 什么是概率? 什么是独立性? 什么是独立性?
题
课
什么是贝努里(Bernoulli)试验? 什么是贝努里(Bernoulli)试验? (Bernoulli)试验 二.基本公式 加法公式;乘法公式; 加法公式;乘法公式; 贝努里(Bernoulli)概型 贝努里(Bernoulli)概型 (Bernoulli) 全概率公式与贝叶斯公式. 全概率公式与贝叶斯公式.
个数中随机取出3 例1 从1，2，……，15等15个数中随机取出 个，试求下 ， ， ， 等 个数中随机取出 列事件的概率： 三个数最大的是10”， 个数大于、 列事件的概率：A=“三个数最大的是 ，B=“3个数大于、 三个数最大的是 个数大于 等于和小于7的各 的各1个 个数两个大于7， 个小于7”。 等于和小于 的各 个”，C=“3 个数两个大于 ，1 个小于 。
即飞机被击落的概率为0.458. 即飞机被击落的概率为
15 25 例9 : 设有来自三个地区的各 10名、 名、 名考生的
7 5 报名表 ， 其中女生的报名表分别 为3份、 份、 份。 随机地 取一个地区的报名表 ， 从中先后抽出两份 。 (1)求先抽到的一份是女生 的概率 p; ( 2)已知后抽到的一份是男 生表， 求先抽到的一份是女生 表的概率 。 解 : 设H i=" 报名表是 i地区考生的" , i = 1,2,3 A j =" 第j次抽到的是男生表 " , j = 1,2
三.模型的分析 及方法的选择 1.直接用古典概型计算(注意等可能性); 1.直接用古典概型计算(注意等可能性); 直接用古典概型计算 2.用几何概型计算; 2.用几何概型计算; 用几何概型计算 3.用公式性质计算(注意加法时相容考虑,乘法时 3.用公式性质计算(注意加法时相容考虑, 用公式性质计算 独立性考虑, 构造); 独立性考虑,全概与逆概中完备事件的 构造); 4.贝努里(Bernoulli)概型的构造与识别 4.贝努里(Bernoulli)概型的构造与识别 贝努里(Bernoulli)
n n C k − C k −1 = n C10
有外表相同的N个袋子 个袋子， 个袋子中装有k只红球和 例5 有外表相同的 个袋子，第k个袋子中装有 只红球和 个袋子中装有 只红球和N-k 只白球，现任选一袋并从中任取一球，求下列事件的概率： 只白球，现任选一袋并从中任取一球，求下列事件的概率： 第一次取得红球， （1）A=“第一次取得红球，放回后再从该袋取得红球”； ） 第一次取得红球 放回后再从该袋取得红球” 前两次取出的球不放回， （2）B=“前两次取出的球不放回，第三次时取出红球”。 ） 前两次取出的球不放回 第三次时取出红球” 解： 设C i = “取得的是第 i号袋子”， 则C1 ,L , C N 构成一个完备事件组 ，
P ( B1 ) = P H1 H2 H3 ∪ H1H2 H3 ∪ H1 H2 H3
2 1 2 3 1 2 3 1 2 3
P ( B3 ) = P ( H1H2 H3 )
将数据代入计算得 P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.
概率论
于是
P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.36× =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458
1 i 2 ( N + 1)( 2 N + 1) P ( A) = ∑ P ( C i ) P ( A C i ) = ∑ ( ) = 6N 2 i =1 i =1 N N
N N
P ( B ) = ∑ P (C i ) P ( B C i ) = ∑
i =1 i =1
N
N
1 i ( N − 1)( N − 2) N +1 = N N ( N − 1)( N − 2) 2N
骰子，甲先掷， 例7：甲乙两人轮流掷一枚 骰子，甲先掷，每当某 人掷出
1点时，则交给对方掷， 否则此人继续掷，试求 第n次由 点时，则交给对方掷， 否则此人继续掷， 甲掷的概率。 甲掷的概率。
次由甲掷” , 解： 设An = 第n次由甲掷”n = 1,2,L , 记pn = P ( An ), “
设箱中有n个球 其中m个是红球 其余是白球， 个球， 个是红球， 例3 设箱中有 个球，其中 个是红球，其余是白球，现从 中不放回地一个接一个抽出，求第k次抽得红球的概率 次抽得红球的概率。 中不放回地一个接一个抽出，求第 次抽得红球的概率。 解法1 解法 设想将球一一编号， 号是红球， 设想将球一一编号，1 ~ m号是红球，并将球逐个 号是红球
(1) p = P ( A1 ) = ∑ P ( H i ) P ( A1 H i )
i =1
3
= =
1 3 1 7 1 5 + + 3 10 3 15 3 25 29 90
( 2)q = P ( A1 A2 ) =
3
P ( A1 A2 ) P ( A2 )
而P ( A2 ) = ∑ P ( H i ) P ( A2 H i ) = 1 ( 7 + 8 + 20 ) = 61 3 10 15 25 90 i =1 P ( A1 A2 ) = ∑ P ( H i ) P ( A1 A2 H i )
概率论
丙三人同时对飞机进行射击, 例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击 三人击 中的概率分别为0.4、 、 中的概率分别为 、0.5、0.7, 飞 机被一人击中而击落 的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为 被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都 的概率为 被两人击中而击落的概率为 击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. 击中 飞机必定被击落 求飞机被击落的概率 飞机被击落} 设A={飞机被击落 飞机被击落 Bi={飞机被 人击中 i=1,2,3 飞机被i人击中 飞机被 人击中}, 则 A=B1A+B2A+B3A 依题意， 依题意， P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=1 解
被调查者只需回答以下 两个问题中的一个 ， 而且只需 回答“是”或“否”， A : 你的生日是否在 7月1 日以前 ？ B : 你是否在考试中曾作弊 过？
为消除被调查者的顾虑 ， 在操作上有以下关键点 ： (1)被调查者独自一人回答 问题 ( 2)被调查者从一个罐子中 随机抽一只球 ， 看过颜色 后即放回 。 若抽到白球则回答问题 A， 抽到红球则回答