2022-2023学年人教A版选择性必修第一册 1-2 空间向量基本定理 课件(44张)

知识点二 空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量_两__两__垂__直_，且长度都为_____1___，那么这个基底 叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk 使 得 a＝xi＋yj＋zk，像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进 行正交分解．
A．x＝y＝z＝12
B．x＝y＝z＝1
C．x＝y＝z＝
2 2
D．x＝y＝z＝2
解析：AC→′＝A→B＋BC→′＝A→B＋BB→′＋B→C＝A→B＋AA→′＋A→D＝12(A→B＋A→D)＋12(A→B＋
AA→′)＋12(AA→′＋A→D)＝12A→C＋12AB→′＋12AD→′＝A→O1＋A→O2＋A→O3，对比AC→′＝xA→O1＋yA→O2
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
新课程标准
新学法解读
1.了解空间向量基本定理及其正交分解的意义．
1.了解空间向量基 2．了解基底的意义．
本定理及其意义． 3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向
2．掌握空间向量的 量为基底表示其他向量的方法．
正交分解.
4．运用空间向量基本定理解决简单的立体几何
∴{O→A，O→B，O→C}可以作为空间的一个基底．
[பைடு நூலகம்归纳]
基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共
面，就可以作为一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从
同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
强研习•重点难点要突破
研习 1 空间向量基本定理的理解 [典例 1] 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且O→A＝e1＋2e2－e3，O→B＝－3e1＋e2 ＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，试判断{O→A，O→B，O→C}能否作为空间的一个基底．
[自主记]解：假设O→A，O→B，O→C共面．
问题.
精梳理•自主学习固基础
[笔记教材] 知识点一 空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c__不__共__面__，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数 组(x，y，z)，使得 p＝___x_a_＋__y_b_＋__z_c____. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个___基__底___，a，b，c 都叫做基向量．
解析：对于 A，有 3a＝2(a－b)＋a＋2b，则 3a，a－b，a＋2b 共面，不能作为基底； 同理可判断 B，D 中的向量共面．故选 C.
3．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，可以作为空间一个基底的是( C )
A.A→B，A→C，A→D
B.A→B，A→A1，A→B1
C.D→1A1，D→1C1，D→1D
＋zA→O3，得 x＝y＝z＝1.
5．在四面体 O－ABC 中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中 点，则O→E＝___12_a_＋__14_b_＋__14_c____.(用 a，b，c 表示)
解析：O→E＝O→A＋12A→D ＝O→A＋12×12(A→B＋A→C) ＝O→A＋14×(O→B－O→A＋O→C－O→A) ＝12O→A＋14O→B＋14O→C ＝12a＋14b＋14c.
[练习 1]设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列 向量组：
①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间
的基底的向量组有_____3___个．
解析：如图所示，设 a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D，则 x＝A→B1，y＝A→D1，z＝A→C，a＋b＋ c＝A→C1，由 A，B1，D1，C 四点不共面可知向量 x，y，z 也不共面，同理可知 b，c，z 和 x， y，a＋b＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因为 x＝a＋b，所以 a，b，x 共面，故不能 作为基底．
D.A→C1，A→1C，C→C1
解析：在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，只有 C 中的三个向量D→1A1，D→1C1，D→1D不共面， 可以作为空间的一个基底．
4．在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3 分别是 AC，AB′，AD′的中 点，以{A→O1，A→O2，A→O3}为基底，AC→′＝xA→O1＋yA→O2＋zA→O3，则( B )
[重点讲解] 1．对于基底{a，b，c}应明确以下三点： (1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底． (2)基底中的三个向量 a，b，c 都不是 0.这是因为 0 与任意向量共线，与任意两个向量 共面． (3)空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底 中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
解析：由基底的概念可知 A，B，D 正确；对于 C，因为满足 c＝λa＋μb，所以 a，b， c 共面，不能构成基底，故错误．
2．已知 a，b，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( C )
A．3a，a－b，a＋2b
B．2b，b－2a，b＋2a
C．a,2b，b－c
D．c，a＋c，a－c
则存在实数 λ，μ 使得O→A＝λO→B＋μO→C，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3， ∵e1，e2，e3 不共面，
－3λ＋μ＝1， ∴λ＋μ＝2，
2λ－μ＝－1，
此方程组无解，
∴O→A，O→B，O→C不共面，
2．空间向量基本定理的推论 设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间内任意一点 P 都存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C. 推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．
[自我排查] 1．下列结论错误的是( C ) A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C．若 a，b 是两个不共线的向量，且 c＝λa＋μb(λ，μ∈R 且 λμ≠0)，则{a，b，c}构 成空间的一个基底 D．若O→A，O→B，O→C不能构成空间的一个基底，则 O，A，B，C 四点共面