2019年黑龙江省各市中考数学试卷汇总

2019年大庆市初中升学统一考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1．有理数-8的立方根为（ ）
A ．-2
B ．2
C ．±2
D ．±4 【答案】A
2．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】D
3．小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，搜索到与之相关的结果条数为608000，这个数用科学记数法表示为（ ）
A ．60.8×104
B ．6.08×105
C ．0.608×106
D ．6.08×107
【答案】B
4．实效m ，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ）
A ．n m >
B ．||m n >-
C ．||n m >-
D ．||||n m <
【答案】C
5．正比例函数y =kx （k ≠0）的函数值y 随着x 增大而减小，则一次函数y =x +k 的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
6．下列说法中不正确的是（ ）
A ．四边相等的四边形是菱形
B ．对角线垂直的平行四边形是菱形
C ．菱形的对角线互相垂直且相等
D ．菱形的邻边相等 【答案】C
7．某企业1-6月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是（ ）
A ．1-6月份利润的众数是130万元
B ．1-6月份利润的中位数是130万元
C ．1-6月份利润的平均数是130万元
D ．1-6月份利润的极差是40万元 【答案】D
7题图 8题图
8．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是（ ）
A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60° 【答案】B
9．—个“粮仓”的三视图如图所示（单位：m ），则它的体积是（ ）
A ．21πm 3
B ．30πm 3
C ．45πm 3
D ．63πm 3
【答案】C
10．如图，在正方形ABCD 中，边长AB =1，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转180°至正方形AB 1C 1D 1，则线段CD 扫过的面积为（ ）
A ．
4
π B ．
2
π C ．π D ．π2
【答案】
B
俯视图
11
9题图 10题图
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．=÷3
5
a a _____． 【答案】2
a
12．分解因式：=--+b a ab b a 2
2_______________． 【答案】))(1(b a ab +-
13．一个不透明的口袋中共有8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是____． 【答案】
5
2 14．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 相交于点G ，若DG =1，则AD =__________． 【答案】3
③②①
14题图 15题图
15．归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n 个“T”字形需要的棋子个数为_________． 【答案】3n +2 16．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直
角三角形的两直角边长分别为a 、b ，那么2
)(b a -的值是_________．
【答案】1
17．已知x =4是不等式ax -3a -1＜0的解，x =2不是不等式ax -3a -1＜0的解，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】a ≤-1 18．如图，抛物线2
41x p
y =
（p ＞0），点F （0，p ），直线l ：y =-p ，已知抛物线上的点到点F 的距离与到直线l 的距离相等，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，垂足分别为A 1、B 1，连接A 1F ，B 1F ，A 1O ，B 1O ．若A 1F =a ，B 1F =b 、则△A 1OB 1的面积=__________．（只用a ，b 表示）． 【答案】
4
ab
b
a
16题图 18题图
三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题4分）
计算：︒--+-60sin |31|)2019(0
π．
解：︒--+-60sin 31)2019(0
π:23131-
-+=2
3=． 20．（本题4分）
已知：ab =1，b =2a -1，求代数式
b
a 2
1-的值． 解：∵ab =1，b =2a -1，∴b -2a =-1，∴ab a b b a 221-=-11
1
-=-=．
21．（本题5分）
某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？
解：设该工厂原来平均每天生产x 台机器，则现在平均每天生产(x +50)台机器． 根据题意得
x
x 450
50600=
+，解得x =150． 经检验知x =150是原方程的根．
答：该工厂原来平均每天生产150台机器． 22．（本题6分）
如图，一艘船由A 港沿北偏东60°方向航行10km 至B 港，然后再沿北偏西30°方向航行10km 至C 港．
（1）求A ，C 两港之间的距离（结果保留到0.1km ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）； （2）确定C 港在A 港的什么方向．
东
北
解：（1）由题意可得，∠PBC =30°，∠MBB =60°，∴∠CBQ =60°，∠BAN =30°，∴∠ABQ =30°，∴∠ABC =90°． ∵AB =BC =10，∴AC =
22BC AB +=210≈14.1．
答：A 、C 两地之间的距离为14.1km ．
（2）由（1）知，△ABC 为等腰直角三角形，∴∠BAC =45°，∴∠CAM =15°， ∴C 港在A 港北偏东15°的方向上． 23．（本题7分）
某校为了解七年级学生的体重情况，随机抽取了七年级m 名学生进行调查，将抽取学生的体
请根据图表信息回答下列问题：
（1）填空：①m =_____，②n =_____，③在扇形统计图中，C 组所在扇形的圆心角的度数等于__________度；
（2）若把每组中各个体重值用这组数据的中间值代替（例如：A 组数据中间值为40千克），则被调查学生的平均体重是多少千克？
（3）如果该校七年级有1000名学生，请估算七年级体重低于47.5千克的学生大约有多少人？ 解：（1）①100，②20，③144； （2）被抽取同学的平均体重为：
50100
10
602055405020451040=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯．
答：被抽取同学的平均体重为50千克． （3）300100
30
1000=⨯
． 答：七年级学生体重低于47.5千克的学生大约有300人． 24．（本题7分） 如图，反比例函数x
m
y 2=
和一次函数y =kx -1的图象相交于A （m ，2m ），B 两点． （1）求一次函数的表达式；
（2）求出点B 的坐标，并根据图象直接写出满足不等式
12-<kx x
m
的x 的取值范围．
解：（1）∵A (m ，2m )在反比例函数图象上，∴m
m
m 22=
，∴m =1，∴A (1，2)． 又∵A (1，2)在一次函数y =kx -1的图象上，∴2=k -1，即k =3， ∴一次函数的表达式为：y =3x -1．
（2）由⎪⎩
⎪⎨⎧
-==
132x y x
y 解得B (32-，-3) ∴由图象知满足
12-<kx x m 的x 取值范围为03
2
<<-x 或x ＞1． 25．（本题7分）
如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．M 、N 在对角线AC 上，且AM =CN ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．
（1）求证：△ABM ≌△CDN ；
（2）点G 是对角线AC 上的点，∠EGF =90°，求AG 的长．
（1）证明∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠MAB = ∠NCD ． 在△ABM 和△CDN 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CN AM NCD MAB CD AB ∴△ABM ≌△CDN ；
（2）解：如图，连接EF ，交AC 于点O ． 在△AEO 和△CFO 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠∠=∠=FCO EAO FOC EOA CF AE ∴△AEO ≌△CFO ，∴EO =FO ，AO =CO ，∴O 为EF 、AC 中点． ∵∠EGF =90°，2
3
21==EF OG ，∴AG =OA -OG =1或AG =OA +OG =4， ∴AG 的长为1或4．
26．（本题8分）
如图，在Rt△ABC 中，∠A =90°．AB =8cm ，AC =6cm ，若动点D 从B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止（不考虑D 与B ，A 重合的情况），运动速度为2cm/s ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接BE ，设动点D 运动的时间为x （s ），AE 的长为y （cm ）． （1）求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x
为何值时，△BDE 的面积S 有最大值？最大值为多少？
解：（1）动点D 运动x 秒后，BD =2x ． 又∵AB =8，∴AD =8-2x ．
∵DE ∥BC ，∴
AC AE AB AD =，∴x x AE 2
3
68)28(6-=-=， ∴y 关于x 的函数关系式为62
3
+-=x y (0＜x ＜4)．
（2）解：S △BDE =AE BD ⋅⋅21)623(221--⨯=x x =x x 62
32
+-(0＜x ＜4)．
当2)
2
3(26=-⨯-
=x 时，S △BDE 最大，最大值为6cm 2．
27．（本题9分）
如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是AC 中点，直线OD 与⊙O 相交于E ，F 两点，P 是⊙O 外一点，P 在直线OD 上，连接PA ，PC ，AF ，且满足∠PCA =∠ABC ． （1）求证：PA 是⊙O 的切线； （2）证明：OP OD EF ⋅=42
； （3）若BC =8，tan∠AFP =
3
2
，求DE 的长．
27题图 27题备用图
（1）证明∵D 是弦AC 中点，∴OD ⊥AC ，∴PD 是AC 的中垂线，∴PA =PC ，∴∠PAC =∠PCA ． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠CAB +∠CBA =90°．
又∵∠PCA =∠ABC ，∴∠PCA +∠CAB =90°，∴∠CAB +∠PAC =90°，即AB ⊥PA ，∴PA 是⊙O 的切线；
（2）证明：由（1）知∠ODA =∠OAP =90°， ∴Rt△AOD ∽Rt△POA ，∴AO
DO PO AO =
，∴OD OP OA ⋅=2
． 又EF OA 21=
，∴OD OP EF ⋅=24
1
，即OD OP EF ⋅=42． （3）解：在Rt△ADF 中，设AD =a ，则DF =3a ．42
1
==BC OD ，AO =OF =3a -4．
∵2
22AO AD OD =+，即222)43(4-=+a a ，解得524=a ，∴DE =OE -OD =3a -8=5
32．
28．（本题9分）
如图，抛物线c bx x y ++=2
的对称轴为直线x =2，抛物线与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线c bx x y ++=2图象x 轴下方部分沿x 轴向上翻折，保留抛物线在x 轴上的
点和x 轴上方图象，得到的新图象与直线y =t 恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D ，E ，F ，G ．当以EF 为直径的圆过点Q （2，1）时，求t 的值；
（3）在抛物线c bx x y ++=2
上，当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是m ≤y ≤7，请直接写出x 的取值范围．
28题图 28题备用图
解：（1）抛物线的对称轴是x =2，且过点A (-1，0)点，∴⎪⎩
⎪⎨⎧=+-⨯+-=-0
)1()1(2
22c b b
，∴⎩⎨⎧-==54c b ，
∴抛物线的函数表达式为：542
--=x x y ；
（2）解：∵9)2(5422
--=--=x x x y ，∴x 轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：542
++-=x x y =9)2(2
+--x (-1＜x ＜5)，其顶点为(2，9)． ∵新图象与直线y =t 恒有四个交点，∴0＜t ＜9． 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)． 由⎩⎨
⎧++-==5
42
x x y t
y 得0542
=-+-t x x ，
解得t x --=921，t x -+=922
∵以EF 为直径的圆过点Q (2，1)，∴1212x x t EF -=-=， 即|1|292-=-t t ，解得2
33
1±=
t ．
又∵0＜t ＜9，∴t 的值为
2
33
1+；
（3）x 的取值范围是：722-≤≤-x 或62
5
35≤≤+x ．
黑龙江省哈尔滨市2019年中考试卷试卷
第I 卷选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题（每小题3分，共计30分） 1、-9的相反数是（ ）。

A 、-9； B 、-
91； C 、9； D 、9
1
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：﹣9的相反数是9， 故选：C ．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2、下列运算一定正确的是（ ）。

A 、2222a a a =+；
B 、632a a a =∙；
C 、6
326)2(a a =； D 、
22))((b a b a b a -=-+
【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可； 【解答】解：2a +2a ＝4a ，A 错误；
a 2•a 3＝a 5，B 错误；
（2a 2
）3
＝8a 6
，C 错误；
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式是解题的关键．
3、下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）。

【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解答此题的关键．4、七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其左视图是（）。

【分析】左视图有2列，从左到右分别是2，1个正方形．
【解答】解：这个立体图形的左视图有2列，从左到右分别是2，1个正方形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三视图的画法，正确掌握三视图观察的角度是解题关键．
5、如图,PA、PB分别与⊙0相切于A、B两点,点C为⊙O上一点,连接AC、
BC,若∠P=50°,则∠ACB的度数为（）。

A、60°；
B、75°；
C、70°；
D、65°。

【分析】先利用切线的性质得∠OAP ＝∠OBP ＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB 的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB 的度数． 【解答】解：连接OA 、OB ，
∵PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点， ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ， ∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，
∴∠AOB ＝180°﹣∠P ＝180°﹣50°＝130°， ∴∠ACB ＝∠AOB ＝×130°＝65°． 故选：D ．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
6、将抛物线22x y =向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为（ ）。

A 、3)2(22++=x y ；
B 、3)2(22
+-=x y ； C 、3)2(22--=x y ；D 、3)2(22
-+=x y 。

【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y ＝2x 2
向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y ＝2（x ﹣2）2
+3， 故选：B ．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7、某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件25元降到每件16元,则平均每次降价的百分率为（ ）。

A 、20%；
B 、40%；
C 、18%；
D 、36%。

【分析】设降价得百分率为x ，根据降低率的公式a （1﹣x ）2
＝b 建立方程，求解即可．
【解答】解：设降价的百分率为x 根据题意可列方程为25（1﹣x ）2
＝16 解方程得
，
（舍）
∴每次降价得百分率为20% 故选：A ．
【点评】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式a （1﹣x ）2
＝b 对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键．
8、方程
x x 3
132=-的解为（ ）。

A 、x=113； B 、x=311； C 、x=73； D 、x=3
7。

【解答】解：x
x 3
132=-
，
∴2x ＝9x ﹣3，
∴x ＝7
3； 将检验x ＝7
3
是方程的根，
∴方程的解为x ＝7
3
；
故选：C ．
【点评】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键．
9、点(-1,4)在反比例函数 的图象上,则下列各点在此函数图象上的是（ ）。

【分析】将点（﹣1，4）代入y ＝，求出函数解析式即可解题； 【解答】解：将点（﹣1，4）代入y ＝， ∴k ＝﹣4， ∴y ＝
，
∴点（4，﹣1）在函数图象上， 故选：A ．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法
是解题的关键．
10、如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在对角线BD 上,EM ∥AD,交AB 于点M,EN ∥AB,交AD 于点N,则下列式子一定正确的是（ ）。

A 、
DE NE BM AM =； B 、AD AN
AB AM =
； C 、BD BE ME BC =； D 、EM
BC BE BD =。

【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质． 【解答】解： ∵在▱ABCD 中，EM ∥AD
∴易证四边形AMEN 为平行四边形 ∴易证△BEM ∽△BAD ∽△END ∴＝
＝
，A 项错误
＝，B 项错误
＝＝，C 项错误
＝＝
，D 项正确
故选：D ．
【点评】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11、将数6 260 000科学记数法表示为_______________。

【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n
的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【解答】解：6260000用科学记数法可表示为6.26×106
， 故答案为：6.26×106
．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n
的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 12、在函数3
23-=
x x
y 中,自变量x 的取值范围是_______________。

【解答】解：函数3
23-=x x
y 中分母2x ﹣3≠0，
∴x ≠； 故答案为x ≠；
【点评】本题考查函数自变量的取值范围；熟练掌握函数中自变量的取值范围的求法是解题的关键．
13、分解因式：22396ab b a a +-=_______________。

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：a 3
﹣6a 2
b +9ab 2
＝a （a 2
﹣6ab +9b 2） ＝a （a ﹣3b ）2
． 故答案为：a （a ﹣3b ）2
．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14、不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧≥+≤-1
23023x x
的解集是________________。

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式
≤0，得：x ≥3，
解不等式3x +2≥1，得：x ≥﹣， ∴不等式组的解集为x ≥3， 故答案为：x ≥3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15、二次函数8)6(2+--=x y 的最大值是_______________。

【分析】利用二次函数的性质解决问题． 【解答】解：∵a ＝﹣1＜0， ∴y 有最大值，
当x ＝6时，y 有最大值8． 故答案为8．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 16、如图将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C,其中点A ′与A 是对应点,点B ′与B 是对应点,点B ′落在边AC 上,连接A ′B,若∠ACB=45°,AC=3,BC=2,则A ′B 的长为____。

【分析】由旋转的性质可得AC ＝A 'C ＝3，∠ACB ＝∠ACA '＝45°，
可得∠A 'CB ＝90°，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ， ∴AC ＝A 'C ＝3，∠ACB ＝∠ACA '＝45° ∴∠A 'CB ＝90° ∴A 'B ＝＝
故答案为
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 17、一个扇形的弧长是11πcm,半径是18cm,则此扇形的圆心角是_____________度。

【分析】直接利用弧长公式l ＝即可求出n 的值，计算即可． 【解答】解：根据l ＝＝
＝11π，
解得：n ＝110， 故答案为：110．
【点评】本题考查了扇形弧长公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键．
18、在△ABC 中,∠A=50°,∠B=30°,点D 在AB 边上,连接CD,若△ACD 为直角三角形,则∠
BCD的度数为_______________度。

【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝30°，
∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，
∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，
综上，则∠BCD的度数为60°或10°；
故答案为：60°或10；
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，分情况讨论是本题的关键．
19、同时掷两枚质地均匀的骰子,每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为_______________。

【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子点数相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：列表得：
由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种，
所以两枚骰子点数相同的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20、如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,∠A=60°,点E为AD边上一点,连接BD、CE,CE 与BD交于点F,且CE∥AB,若AB=8,CE=6,则BC的长为_______________。

【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC，BC的长．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O
∵AB ＝AD ，BC ＝DC ，∠A ＝60°， ∴AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形 ∴∠BAO ＝∠DAO ＝30°，AB ＝AD ＝BD ＝8，
BO ＝OD ＝4
∵CE ∥AB
∴∠BAO ＝∠ACE ＝30°，∠CED ＝∠BAD ＝60° ∴∠DAO ＝∠ACE ＝30° ∴AE ＝CE ＝6 ∴DE ＝AD ﹣AE ＝2 ∵∠CED ＝∠ADB ＝60° ∴△EDF 是等边三角形 ∴DE ＝EF ＝DF ＝2
∴CF ＝CE ﹣EF ＝4，OF ＝OD ﹣DF ＝2 ∴OC ＝＝2 ∴BC ＝
＝2
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
三、解答题（其中21~22题各7分，23-24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21、先化简再求值：2
4
)44422(
2--÷
+----+x x x x x x x ,其中x=4tan45°+2cos30°。

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再依据特殊锐角三角函数值求得x 的值，代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝（﹣）•
＝•
＝，
当x＝4tan45°+2cos30°＝4×1+2×＝4+时，
原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22、图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上；(1)在图1中画出以AC为底边的等腰直角△ABC,点B在小正方形顶点上；(2)在图2中画出以AC为腰的等腰△ACD,点D在小正方形的顶点上,且△ACD的面积为8。

【分析】（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平
分线与圆的交点即为点B；
（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；
【解答】解；（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；
（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；
【点评】本题考查尺规作图，等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形和直角三角形的尺规作图方法是解题的关键．
23、建国七十周年到来之际,海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动，为了使活动更具有针对性,学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中,选取自己最想读的一种(必选且只选一种)，学校将收集到的调查结果适当整理后,绘制成如图所示的不完整的统计图，请根据图中所给的信息解答下列问题:(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?(2)请通过计算补全条形统计图；(3)如果海庆中学共有1500名学生,请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名
【分析】（1）由最想读教育类书籍的学生数除以占的百分比求出总人数即可；
（2）确定出最想读国防类书籍的学生数，补全条形统计图即可；
（2）求出最想读科技类书籍的学生占的百分比，乘以1500即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：18÷30%＝60（名），
答：在这次调查中，一共抽取了60名学生；
（2）60﹣（18+9+12+6）＝15（名），
则本次调查中，选取国防类书籍的学生有15名，
补全条形统计图，如图所示：
（3）根据题意得：1500×
＝225（名），
答：该校最想读科技类书籍的学生有225名．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
24、已知:在矩形ABCD 中,BD 是对角线,AE ⊥BD 于点E,CF ⊥BD 于点F ；(1)如图1,求证:AE=CF ；(2)如图2,当∠ADB=30°时,连接AF 、CE,在不添加任何辅助线的情况下,请直
接写出图2中四个三角形，使写
出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的8
1。

【分析】（1）由AAS 证明△ABE ≌△CDF ，即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出∠CBD ＝∠ADB ＝30°，由直角三角形的性质得出BE ＝AB ，AE ＝AD ，得出△ABE 的面积＝81AB ×AD ＝8
1
矩形ABCD 的面积，由全等三角形的性质得出△CDF 的面积═
8
1
矩形ABCD 的面积；作EG ⊥BC 于G ，由直角三角形的性质得出EG ＝BE ＝×AB ＝AB ，得出△BCE 的面积＝81矩形ABCD 的面积，同理：△ADF 的面积＝8
1
矩
形ABCD 的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ， ∴∠ABE ＝∠DF ，
∵AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ， ∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°， 在△ABE 和△CDF 中，，
∴△ABE ≌△CDF （AAS ）， ∴AE ＝CF ；
（2）解：△ABE 的面积＝△CDF 的面积＝△BCE 的面积＝△ADF 的面积＝矩形ABCD 面积的
8
1
．理由如下： ∵AD ∥BC ，
∴∠CBD ＝∠ADB ＝30°， ∵∠ABC ＝90°， ∴∠ABE ＝60°， ∵AE ⊥BD ， ∴∠BAE ＝30°， ∴BE ＝AB ，AE ＝AD ，
∴△ABE 的面积＝BE ×AE ＝×AB ×AD ＝81AB ×AD ＝8
1
矩形ABCD 的面积， ∵△ABE ≌△CDF ， ∴△CDF 的面积═
8
1
矩形ABCD 的面积； 作EG ⊥BC 于G ，如图所示： ∵∠CBD ＝30°，
∴EG ＝BE ＝×AB ＝AB ，
∴△BCE 的面积＝BC ×EG ＝BC ×AB ＝81BC ×AB ＝8
1
矩形ABCD 的面积， 同理：△ADF 的面积＝
8
1
矩形ABCD 的面积．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
25、寒梅中学为了丰富学生的课余生活,计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用，若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；
(1)求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副,总费用不超过550元,那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋?
【分析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：，求解即可；
（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，即可求解；
【解答】解：（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，
根据题意得：，
∴，
∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；
（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，
根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，
∴z≤25，
∴最多可以购买25副围棋；
【点评】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组和不等式是解题的关键．
26、已知:MN为⊙O的直径,OE为⊙O的半径,AB、CH是⊙O的两条弦,AB⊥OE于点D,CH⊥MN 于点K,连接HN、HE,HE与MN交于点P；(1)如图1,若AB与CH交于点F,求证:∠HFB=2∠EHN；
(2)如图2,连接ME、OA,OA与ME交于点Q,若OA⊥ME,∠EON=4∠CHN,求证:MP=AB；
(3)如图3,在(2)的条件下,连接OC、BC、AH,OC与EH交于点G,AH与MN交于点R,连接RG,若HK：ME=2：3,BC=2,求RG的长。

【分析】（1）利用“四边形内角和为360°”、“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”即可；
（2）根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，先证AB＝MB，再根据“等角对等边”，证明MP＝ME；
（3）由全等三角形性质和垂径定理可将HK：ME＝2：3转化为OQ：MQ＝4：3；可设Rt△OMQ两直角边为：OQ＝4k，MQ＝3k，再构造直角三角形利用BC＝2，求出k的值；求
得OP＝OR＝OG，得△PGR为直角三角形，应用勾股定理求RG．
【解答】解：（1）如图1，∵AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K
∴∠ODB＝∠OKC＝90°
∵∠ODB+∠DFK+∠OKC+∠EON＝360°
∴∠DFK+∠EON＝180°
∵∠DFK+∠HFB＝180°
∴∠HFB＝∠EON
∵∠EON＝2∠EHN
∴∠HFB＝2∠EHN
（2）如图2，连接OB，
∵OA⊥ME，
∴∠AOM＝∠AOE
∵AB⊥OE
∴∠AOE＝∠BOE
∴∠AOM+∠AOE＝∠AOE+∠BOE，
即：∠MOE＝∠AOB
∴ME＝AB
∵∠EON＝4∠CHN，∠EON＝2∠EHN
∴∠EHN＝2∠CHN
∴∠EHC＝∠CHN
∵CH⊥MN
∴∠HPN＝∠HNM
∵∠HPN＝∠EPM，∠HNM＝HEM
∴∠EPM＝∠HEM
∴MP＝ME
∴MP＝AB
（3）如图3，连接BC，过点A作AF⊥BC于F，过点A作AL⊥MN于L，连接AM，AC，由（2）知：∠EHC＝∠CHN，∠AOM＝∠AOE
∴∠EOC＝∠CON
∵∠EOC+∠CON+∠AOM+∠AOE＝180°
∴∠AOE+∠EOC＝90°，∠AOM+∠CON＝90°
∵OA⊥ME，CH⊥MN
∴∠OQM＝∠OKC＝90°，CK＝HK，ME＝2MQ，
∴∠AOM+∠OMQ＝90°
∴∠CON＝∠OMQ
∵OC＝OA
∴△OCK≌△MOQ（AAS）
∴CK＝OQ＝HK
∵HK：ME＝2：3，即：OQ：2MQ＝2：3
∴OQ：MQ＝4：3
∴设OQ＝4k，MQ＝3k，
则OM＝＝＝5k，AB＝ME＝6k
在Rt△OAC中，AC＝＝＝5 k
∵四边形ABCH内接于⊙O，∠AHC＝∠AOC＝×90°＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠AHC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣135°＝45°
∴AF＝BF＝AB•cos∠ABF＝6k•cos45°＝3k
在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2
即：，解得：k1＝1，（不符合题意，舍去）
∴OQ＝HK＝4，MQ＝OK＝3，OM＝ON＝5
∴KN＝KP＝2，OP＝ON﹣KN﹣KP＝5﹣2﹣2＝1，
在△HKR中，∠HKR＝90°，∠RHK＝45°，
∴＝tan∠RHK＝tan45°＝1
∴RK＝HK＝4
∴OR＝RN﹣ON＝4+2﹣5＝1
∵∠CON＝∠OMQ
∴OC∥ME
∴∠PGO＝∠HEM
∵∠EPM＝∠HEM
∴∠PGO＝∠EPM
∴OG＝OP＝OR＝1
∴∠PGR＝90°
在Rt△HPK中，PH＝＝＝2 ∵∠POG＝∠PHN，∠OPG＝∠HPN
∴△POG∽△PHN
∴，即，PG＝
∴RG＝＝＝．
27、如图,在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,直线y=
3
4
x+4与x 轴交于点A,与y 轴交 于点B,直线BC 与x 轴交于点C,且点C 与点A 关于y 轴对称；(1)求直线BC 的解析式； (2)点P 为线段AB 上一点,点Q 为线段BC 上一点,BQ=AP ，连接PQ,设点P 的横坐标为t ， △PBQ 的面积为S(S ≠0),求S 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围)； (3)在(2)的条件下,点E 在线段OA 上,点R 在线段BC 的延长线上,且点R 的纵坐标为-
5
2, 连接PE 、BE 、AQ,AQ 与BE 交于点F,∠APE=∠CBE,连接PF,PF 的延长线与y 轴的负半轴交 于点M,连接QM 、MR,若tan ∠QMR=23
24
,求直线PM 的解析式。

【解答】解：（1）∵y ＝
3
4
x +4， ∴A （﹣3，0）B （0，4）， ∵点C 与点A 关于y 轴对称， ∴C （3，0），
设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ， 将B （0，4），C （3，0）代入，
，
解得k ＝
3
4
，b ＝4， ∴直线BC 的解析式
；
（2）如图1，过点A 作AD ⊥BC 于点点D ，过点P 作PN ⊥BC 于N ，PG ⊥OB 于点G ．
∵∠APE＝∠EBC，∠BAC＝∠BCA，
∴180°﹣∠APE﹣∠BAC＝180°﹣∠EBC﹣∠ACB，
∴∠PEA＝∠BEC＝∠AET，
∴PT⊥AE，PS＝ST，
∴AP＝AT，∠TAE＝∠PAE＝∠ACB，AT∥BC，
∴∠TAE＝∠FQB，
∵∠AFT＝∠BFQ，AT＝AP＝BQ，
∴△ATF≌△QBF，
∴AF＝QF，TF＝BF，
∵∠PSA＝∠BOA＝90°，
∴PT∥BM，
∴∠TBM＝∠PTB，
∵∠BFM＝∠PFT，
∴△MBF≌△PTF，
∴MF＝PF，BM＝PT，
∴四边形AMPQ为平行四边形，
∴AP∥MQ，MQ＝AP＝BQ，
∴∠MQR＝∠ABC，
过点R作RH⊥MQ于点H，
【点评】本题考查了一次函数，熟练运用待定系数法、三角形全等以及三角函数是解题的关键．
2019年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
一、填空题（每题3分，满分30分）
1．（3分）中国政府提出的“一带一路”倡议，近两年来为沿线国家创造了约180000个就业岗位．将数据180000用科学记数法表示为．
2．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．
3．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．
4．（3分）在不透明的甲、乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球，乙盒中有1个白球、1个黄球，分别从每个盒中随机摸出1个球，则摸出的2个球都是黄球的概率是．
5．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞1，则m的取值范围是．
6．（3分）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为．
7．（3分）若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为．。