有限差分法

有限差分法
有限差分法是数学领域的一项最新成果，它在某些特定情况下能得到非常好的结果。

所谓有限差分方程就是利用积分和求差公式将差分方程化成为多个等价的偏微分方程组的组合形式，然后再应用最优化方法求解这种方程组，从而得出未知数的近似值。

当已知方程组的每个参数及其变量代入数据计算后的误差时，只要对其进行必要的调整或者修改后，就可获得满意的精度与效率的估计值。

此外，还可以通过有限差分方程的求解来了解其物理背景。

比如说在物体碰撞问题中，两个质点之间距离的测量往往涉及到很复杂的三维几何关系。

即使是一个小的距离误差也会引起很大的误差。

因此，对于碰撞问题中两个质点之间的相互位置误差测量，必须考虑它们之间的三维几何关系，并根据具体问题建立相应的坐标系统。

有限差分方程可以用来描述许多不同类型的实际问题，例如质量、压力、速度、温度、流动、热传导、声音和电磁场等。

但是由于数学模型本身的复杂性，使得有限差分方程在求解上遇到了困难。

因此，人们开始寻找一种更加直观的方法来解决问题。

有限差分法正是基于此原理提出的。

利用有限差分方程求解偏微分方程，我们首先要给出所求解的偏微分方程的数学表达式，这样才能够在有限差分方程的数学模型中寻找解析解。

有限差分方程的解析解，需要借助解析函数的理论来确定。

但是在自然科学和工程技术领域里，对于一般的实际问题，很少会存在着某种数学模型完全适合于所有的具体问题，那么对于任意一个偏微分方程，总是存在着一个解析解。

当把偏微分方程的解析解用适当
的坐标表示出来后，有限差分方程的求解就转化为如何寻找与这个解相对应的函数值的问题。

通常，解析函数的形式是比较复杂的，因此需要运用数值方法进行拟合，从而得到符合实际的数学表达式。

然后通过对这个数学表达式的求解来确定所求偏微分方程的解析解。

这种数值求解方法称为数值积分法。

在研究有限元法和边界元法时都可以采用一些简单易行而且计算机可能很容易处理的函数作为边界条件，而这些函数本身又是很容易计算的。

所以，这些边界条件和解析解联系起来构成了一个比较简便的数学模型，即边界元法。

在有限差分方程的数学模型中，往往包含着众多的未知函数。