2020届上海市宝山区高三一模数学试题(解析版)

2020届上海市宝山区高三一模数学试题
一、单选题
1．若函数1
()ln f x x a x
=-
+在区间(1)e ，上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ）
A ．01a <<
B ．
1
1a e
<< C ．
1
11a e
-<< D ．
1
11a e
+<< 【答案】C
【解析】函数f(x)在定义域内单调递增，由零点存在性定理可知()()10,0f f e <>，解不等式即可求得a 的取值范围. 【详解】 函数1
()ln f x x a x
=-
+在区间()1,e 上为增函数， ∵(1)ln110f a =-+<，1
()ln 0f e e a e
=-
+>， 可得
1
11a e
-<< 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况. 2．下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．2()log (41)x f x x =+-
B ．()||2cos f x x x =-
C ．22
1
0()0
x x f x x
x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩
D ．|lg |()10x f x =
【答案】A
【解析】由偶函数的定义，及在[0,)+∞上单调即可求解；
【详解】 解：
对于2241
:()log (41)log 4
x x
x A f x x x -+-=++=+
2222log (41)log 2log (41)()x x x x x f x =+-+=+-=．
且2222(2)11()log (41)log log (2)22
x x
x
x x
f x x +=+-==+， Q 当0x …时，函数1
22
x x
y =+
单调递增，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，故A 正确； :0B x >时，()2cos f x x x =-，令()12sin 0f x x '=->，
得(0x ∈，52)(266
k k ππ
ππ++⋃，*22)()k k N ππ+∈，故B 不正确；
:0C x ≠时，2
212x x +
…，当且仅当2
21x x
=，即1x =±时，等号成立， ∴不满足在[)0,+∞上单调递增，故C 不正确；
对于D ：|lg |()10x f x =定义域为()0,∞+，由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D 错；
故选：A ． 【点睛】
考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于基础题；
3．已知平面γβα、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线
a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ）
A ．两两垂直
B ．两两平行
C ．两两相交
D ．两两异面
【答案】B
【解析】通过假设//a b ，可得,a b 平行于,αβ的交线，由此可得c 与交线相交或异面，由此不可能存在////a b c ，可得正确结果. 【详解】
设l αβ=I ，且l 与,a b 均不重合
假设：////a b c ，由//a b 可得：//a β，//b α 又l αβ=I ，可知//a l ，//b l 又////a b c ，可得：//c l
因为,,αβγ两两互相垂直，可知l 与γ相交，即l 与c 相交或异面 若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.
4．提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x j ++，
πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ）
A ．当0a >，0b >时，辅助角arctan b
a ϕ= B ．当0a >，0
b <时，辅助角arctan b
a ϕπ=+
C ．当0a <，0b >时，辅助角arctan b
a ϕπ=+
D ．当0a <，0b <时，辅助角arctan b
a
ϕπ=-
【答案】B
【解析】分别判断出a ，b 的值，对辅助角ϕ的影响． ①0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限； ②0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限； ③0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限； ④0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限． 【详解】 解：因为
cos ϕ=
sin ϕ=
，tan b
a
ϕ=
，(,]ϕππ∈- 对于A ，因为0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限02
π
ϕ∴<<
，
0b a
>Q
，arctan (0,)2b a π
∴∈，故A 选项正确；
对于B ，因为0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限02
π
ϕ∴-
<<；
0b a <Q
， arctan (,)2
b a π
ππ∴+∈，故B 选项错误； 对于C ，因为0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限2
π
ϕπ∴
<<；
0b a <Q
， arctan (,)2
b a π
ππ∴+∈，故C 选项正确；
对于D ，因为0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限2
π
πϕ∴-<<-
，
0b a <Q
， arctan (,)2
b a π
ππ∴-∈--，故D 选项正确； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题．
二、填空题
5．若(1)2z i i +=（i 是虚数单位），则||z =________．
【解析】根据复数代数形式的运算性质先求出z ，再根据模的计算公式求解即可． 【详解】
解：∵(1)2z i i +=，
∴21i
z i =
=
+()(
)()21111i i i i i -=++-，
∴||z ==
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题． 6．已知
42
51
λλ-=-，则λ=________
【答案】3
【解析】由行列式的计算公式化简求解即可． 【详解】
解：42
51
λλ-=-Q
()()4125λλ∴-⨯-⨯-=，解得3λ=， 故答案为：3． 【点睛】
本题考查二阶行列式的计算，属于基础题．
7．函数13x y -=（1x ≤）的反函数是________ 【答案】31log ,(0,1]y x x =+∈
【解析】首先求出函数的值域，再利用反函数的求法，先反解x ，再对换x ，y ，求出即可． 【详解】
解：13(1)x y x -=Q …，(]0,1y ∴∈，得31log x y -=，
x ，y 对换，得31log y x =+，(]0,1x ∈，
故答案为：31log y x =+，(]0,1x ∈， 【点睛】
本题考查了反函数的求法，属于基础题．
8．2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_______ 场球赛. 【答案】66
【解析】直接利用组合数的应用求出结果． 【详解】
解：根据题意利用组合数得2
121211
662
C ⨯=
=． 故答案为：66． 【点睛】
本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
9．以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________
【答案】2
2392x y ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭
【解析】首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程． 【详解】
解：抛物线26y x =-的焦点坐标为3
,02
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，准线的方程为32
x =， 所以焦点到准线的距离为3，
所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：2
2392x y ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭．
故答案为：2
2392x y ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭． 【点睛】
本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
10．在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为________ 【答案】9-
【解析】利用二项展开式把5
(1)x -展开，再求展开式中3x 的系数． 【详解】
解：53(1)(1)x x -+
()()2345315101051x x x x x x =-+-+-+
()()23453234515101051510105x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-
则含3x 的项有310x -与3x 两项
∴展开式中3x 的系数为1109-=-．
故答案为：9-． 【点睛】
本题考查了二项式系数的性质与应用问题，属于基础题． 11．不等式22|2|36x x x x -->--的解集是________ 【答案】(4,)-+∞
【解析】将不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--，再根据220x x -+>恒成立，则原不等式等价于22236x x x x -+>--解得即可； 【详解】
解：不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--， 由于函数
22y x x =-+的图象在x 轴上方，所以220x x -+>恒成立，
所以22236x x x x -+>--， 解得4x >-，
故不等式的解集为(4,)-+∞．
故答案为：(4,)-+∞ 【点睛】
本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
12．已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x -=，则k =_____
【答案】2±
【解析】由题意设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈，利用根与系数的关系结合
12||2x x -=求得a 与b 的值，则k 可求．
【详解】
解：Q 方程程220x kx -+=的两个虚根为1x 、2x ， 可设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈． 122x x a k ∴+==，22122x x a b =+=，
12||2x x -=Q ，|2|2bi ∴
=， 联立解得：1b =±，1a =±．
2k ∴=±．
故答案为：2±． 【点睛】
本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线
l 相交所得的弦长为__
【答案】【解析】先求出直线l 的方程，再求出圆心C 与半径r ，计算圆心到直线l 的距离d ，由垂径定理求弦长||AB ． 【详解】
解：由题意可得，l 的方程为210x y ++=，
22480x y x y +-+=Q 可化为22(2)(4)20x y -++=，圆心(2,4)-，半径r =，
∴圆心(2,4)-到l 的距离
d =
AB ∴==
故答案为： 【点睛】
本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，属于基础题．
14．有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是________cm （钢的密度为7.93
/g cm ，精确到0.1cm ）
【答案】4.5
【解析】直接利用球的体积公式和物理学的关系式的应用求出结果． 【详解】
解：设钢球的内半径为r ，
所以334
57.9 3.1414232r ⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
解得 2.25r ≈． 故内直径为4.5cm ． 故答案为：4.5． 【点睛】
本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
15．已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =_______
【答案】47-
【解析】{}n a 、{}n b 均是等差数列，故{}n c 为二次函数，设2n c an bn c =++，根据前3项，求出a ，b ，c 的值，即可得到10c ． 【详解】
解：因为{}n a 、{}n b 均是等差数列，其通项公式均为关于n 的一次式，所以n n n c a b =⋅为关于n 的二次式，
故设2n n n c c b n a an b =+⋅+=，
17c =Q ，29c =，39c =
则7429939
a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
，解得153a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
253n c n n ∴+-+=
210110510347c ∴=-⨯+⨯+=-， 故答案为：47-． 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．
16．已知0a b >>，那么，当代数式2
16
()
a b a b +
-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为
________
【答案】
【解析】先根据基本不等式得到2
2()24b a b a b a b +-⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
…；再利用基本不等式即可求解． 【详解】
解：因为0:a b >>
2
2()24b a b a b a b +-⎛⎫
∴-≤=
⎪⎝⎭
；
所以2
2
2166416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，
即a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等
号，
此时(,)P a b
的坐标为：(．
故答案为：(． 【点睛】
本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．
三、解答题
17．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，
60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.
（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；
（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 【答案】（133
（2）5arccos 8；
【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE 的面积，再由棱锥体积公式求解； （2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，由题意可得11//AD B C ，则11B C E ∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，求解三角形得答案． 【详解】
解：（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，
Q 底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，
B ∴到D
C 3E 是AB 的中点，1BE ∴=，
则()331
1232BCDE S =
+=
梯形． 13DD =Q ，
∴1
1333311333C BCDE BCDE V S DD -=⨯==四边形；
（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，
11//AD B C Q ，11B C E ∴∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，
连接1B E ，在11C B E ∆中，112B C =，2213110B E =+= 2222111
21211()942
C E EC CC =++-⨯⨯⨯-+．
2221124(10)5
cos 8
B C E +-∴∠=，
∴异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5
arccos 8
．
【点睛】
本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．
18．已知函数()sin cos(
)3sin cos 2
f x x x x x π
=+.
（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心； （2）若()f x a =在区间[0,
]2
π
上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.
【答案】（1）π，对称中心：1,,2122k k Z ππ⎛⎫--∈
⎪⎝⎭
；（2）10,2a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭，123x x π+=
【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．
（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a 的范围和12x x +的值． 【详解】
解：（1）函数()sin cos 3cos 2f x x x x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
231cos 231sin 22sin 2262x x x x x π-⎛
⎫=-+
=-+=+- ⎪⎝
⎭． 所以函数的最小正周期为22
T π
π==， 令2()6
x k k Z π
π+
=∈，解得()212
k x k Z ππ
=
-∈， 所以函数的对称中心为1,()2122k k Z ππ
⎛⎫--∈
⎪⎝⎭
． （2）由于02
x π
剟
，所以
726
66
x π
π
π
+
剟，在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，
所以函数1sin 2126x π⎛
⎫+< ⎪⎝
⎭…时，函数的图象有两个交点，
故a 的范围为10,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
．
由于函数的图象在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上关于6x π=对称， 故1226
3
x x π
π
+=⋅=
．
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
19．一家污水处理厂有A B 、两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.
（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）
（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A B 、两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时） 【答案】（1）7小时；（2）17小时
【解析】（1）由题意可得A 池每小时剩余原来的90%，设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半，则0.90.5x =，两边取对数，计算可得所求值；
（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小
时剩余原来的81%，可得
090.810.12
x x
+=g ，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值． 【详解】
解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%， 设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半， 则0.90.5x =，可得0.5
70.9
lg x lg =
≈， 则A 池要用7小时才能把污物的量减少一半；
（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，
B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%， 可得
090.810.12
x x
+=g ，即20.90.90.20x x +-=，
可得0.9x =
，
可得1.81
17
0.9
lg
x
lg
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
=≈
．
则A、B两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．
【点睛】
本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．已知直线:l x t=(02)
t<<与椭圆
22
:1
42
x y
Γ+=相交于A B、两点，其中A在第一象限，M是椭圆上一点.
（1）记1F、2F是椭圆
1
(,]
2
t∈-∞的左右焦点，若直线AB过2F，当M到1F的距离与到直线AB的距离相等时，求点M的横坐标；
（2）若点M A
、关于y轴对称，当MAB
△的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P Q
、，证明：||||
OP OQ
⋅为定值.
【答案】（1）642
-+（2）
2
2
y x
=-；（3）证明见解析
【解析】（1）由题意可得焦点1F，2F的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，注意横坐标的范围[]
22
-,，在椭圆上，又M到
1
F的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；
（2）M，A，3
B个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；
（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．
【详解】
（1）设
1
(,),(2,0)
M x y F-，依题意得，22
(2)||
x y x t
++=-，联立椭圆方程：
22:142x y Γ+=，把2
2122
y x =-代入得：
22221
2222
x x x tx t +++-=-+
，(22x t ∴=--；
又因为t =
，代入得：6M x =-+
（2）设()()11,,A t y B t y -，则()1,M t y -，则12MAB S t y =⋅V ，
又因为()1,A t y 在椭圆22
:142x y Γ+=上，
所以2
21142y t +=，
11122t y ∴≥
1ty ∴≤
则 MAB S ≤V ，
当且仅当1t =时，取等号，
即t =，
则(1)M B -，
所以:2
MB l y x =-
； （3）设()()()1100,,,,,A t y B t y M x y -，
则01
1
001
1
0:():()MA MB y y l y x t y x t
y y l y x t y x t
-⎧
=-+⎪-⎪⎨
+⎪=--⎪-⎩
100101001
,00,0d y t y x P y y y y t y x Q y y ⎧⎛⎫
-⎪
⎪-⎪⎝⎭
=⎨⎛⎫+⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎩u u u u u u u r 令， 则22
22010220
1
||||=y t y x O Q y P O y --⋅，又因为2
212200122
122y t y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，代入得：
22
22022||||41122
t x OP OQ t x -⋅==-，故为定值.
【点睛】
考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
21．已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数）
，且2n a +
令ln n n b a =（n ∈*N ）. （1
）证明：2n b +> （2）证明：21
1{
}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32
n n b -=--；
（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，1
2
t ≤
【解析】（1）由已知可得：1n a >
．利用基本不等式的性质可得：
1n n lna lna ++…
，代入化简即可得出．
（2）设1+=-n n n c b b
，由2n a +=*()n n b lna n N =∈．可得
121112n n n n n n c b b c b b ++++-==--．即可证明211n n n n b b b b +++⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭
是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．
（3）假设存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +…
成立．由（2）可得：1
211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
．1n =时，10t g …，解得t R ∈．2n …时，1min n n b t b +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭，利
用单调性即可得出． 【详解】
解：（1
）依题意得，要证明2n b +
21ln ln n n n a a ++>⋅，
又因为2n a +=
2ln n a +>
要证明2ln n a +>
>
>(
)1ln n n a a +⋅>
又因为1ln ln n n a a ++≥.
（2）设1+=-n n n c b b
，因为2n a +=*
ln ()n n b a n N =∈，
则
21
121111
11ln
ln 21
2ln ln n n n n n
n n n n n n n n n a a
c b b a a a a c b b a a +++++++++--=⋅==--.
所以：{}1n n b b +-是公比为12的等比数列，则()1
1
1211122n n n n b b b b --+⎛⎫⎛⎫
-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
()()()121321n n n b b b b b b b b -∴=+-+-++-L
22111
01()()()222
n -=++-+-+⋯⋯+-
11
111221113212n n --⎡⎤
⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥
⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪
⎝⎭
． {}n b ∴的通项公式是1
21132n n b -⎡⎤
⎛⎫=--⎢⎥ ⎪
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
；
（3）假设存在存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +≥成立，
由（2）知，1
211032n n b -⎡⎤
⎛⎫
=--≥⎢⎥ ⎪
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
， 1︒当1n =时，t R ∈；
2︒
当2n ≥时，1min
n n b t b +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭， 而1111(2)1(2)23321(2)2(2)2(2)2112n
n n n n n n n b b +-⎛⎫
-- ⎪---+-⎝⎭--==--+-+-+⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
， 则当2n =时，m 132in 12
n n b b b b +⎛⎫== ⎪⎝⎭，故存在这样的t ，1
2t ≤
【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。