全国初中数学联赛数论题目汇编

9. (1986 联赛) 设 a, b, c 是三个互不相等的正整数, 求证: 在 a3 b − ab3 ,b3 c − bc3 ,c3 a − ca3 三个数中, 至 少有一个数能被 10 整除. 10. (1987 联赛) 把由 1 开始的自然数依次写下去, 直写到第 198 位为止:123456789101112 · · ·, 那么这个
20. (1990 联赛)12 , 22 , 32 , · · · , 1234567892 的和的个位数的数字是 21. (1990 联赛)[x] 表示不超过实数 x 的最大整数, 令 {x} = x − [x] 1 (1) 找出一个实数 x, 满足 {x} + { } = 1 x (2) 证明: 满足上述等式的 x, 都不是有理数.
23. (1994 联赛) 周长为 6, 面积为整数的直角三角形是否存在? 若不存在, 请给出证明; 若存在, 请证明共 xy + yz = 63 24. (1995 联赛) 方程组 xz + yz = 23 (A) 1; (B) 2; 有几个?
的正整数解的组数是 ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( (C) 3; (D) 4 . 个.
3 29. (1997 联赛) 若正整数 x,y 满足 x2 + y 2 = 1997, 则 x + y 等于 .
30. (1997 联赛) 已知定理:“若三个大于 3 的质数,a, b, c 满足关系式 2a + 5b = c, 则 a + b + c 是整数 n 的倍数”. 试问: 上述定理中的整数 n 的最大可能值是多少? 并证明你的结论. 31. (1998 联赛) 满足 19982 + m2 = 19972 + n2 (0 < m < n < 1998) 的整数对 (m, n), 共有 32. (1998 联赛) 设平方数 y 2 是 11 个相继整数的平方和, 则 y 的最小值是 . . 个.
198位
数用 9 除的余数是 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( (A) 4; (B) 6; (C) 7; (D) 非上述答案 .
18. (1989 联赛) 在十进位中, 各位数码是 0 或 1, 并且能被 225 整除的最小自然数
19. (1990 联赛) 恰有 35 个连续自然数的算术平方根的整数部分相同, 那么这个相同整数是 . . . . . . ( (A) 17; (B) 18; (C) 35; (D) 36 . .
)
11. (1987 联赛)[a] 表示不大于数 a 的最大整数. 例如 [2] = 1,[−Байду номын сангаас] = −2. 那么方程 [3x + 1] = 2x − 所有根的和是 .
1 的 2
12. (1987 联赛) 设自然数 n 具有以下性质: 从 1, 2, 3, · · · , n 中任取 50 个不同的数, 这 50 个数中必有两 个数之差等于 7. 这样的 n 最大的一个是 .
35. (1998 联赛) 试写出 5 个自然数, 使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除. ( 1 )( ) 1 1 1 1 2 36. (1999 联赛) 已知 a, b 为整数, 且满足 1 a 1 − 1 b 1 − , 则 a+b= . 1 1 = a b a2 − b2 3 −b +b a a [n] [n] [n] 37. (2000 联赛) 正整数 n 小于 100, 并满足等式 + + = n, 其中 [x] 表示不超过 x 的最大整 2 3 6 数, 这样的正整数 n 有 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) (A) 2 个; (B) 3 个; (C) 12 个; (D) 16 个 .
2 13. (1987 联赛) 有一个五位正奇数 x, 将 x 中的所有 2 都换成 5, 所有 5 都换成 2, 其它数字不变, 得到 一个新的五位数, 记作 y . 若 x 和 y 满足等式 y = 2(x + 1), 那么 x 是 14. (1987 联赛) 已知存在正整数 n, 能使数 11 · · · 11 被 1987 整除. 求证: 数
2. (1984 联赛) 下列哪一个数一定不是某个自然数的平方 (其中 n 为自然数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( (A) 3n2 − 3n + 3; (B) 4n2 + 4n + 4; (C) 5n2 − 5n − 5; (D) 7n2 − 7n + 7;
22. (1991 联赛) 若 1 × 2 × 3 × · · · × 99 × 100 = 12n M , 其中 M 为自然数,n 为使得等式成立的最大的自 然数, 则 M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( (A) 能被 2 整除, 但不能被 3 整除; (C) 能被 4 整除, 但不能被 3 整除; (B) 能被 3 整除, 但不能被 2 整除; (D) 不能被 2 整除, 也不能被 3 整除 . )
全国初中数学联赛数论题目汇编 1. (1984 联赛) 一个两位数, 交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的 (A) 1 个; (B) 2 个; (C) 4 个; (D) 无数多个; 7 倍, 则这样的两 4 位数有 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) (E) 0 个 . )
16. (1988 联赛) 一串数 1, 4, 7, 10, · · · , 697, 700 的规律是: 第一个数是 1, 以后的每一个数等于它前面的 一个数加 3, 直到 700 为止. 将所有这些数相乘, 试求所得数的尾部零的个数.(例如 12003000 的尾部 零的个数是 3) 17. (1988 联赛) 如果 p,q , 2p − 1 2q − 1 , 都是整数, 并且 p > 1,q > 1. 试求 p + q 的值. q p . )
)
25. (1995 联赛) 在 12 , 22 , 32 , · · · , 952 这 95 个数中, 十位数字为奇数的数共有
26. (1995 联赛) 试证: 每个大于 6 的自然数 n, 都可以表示为两个大于 1 且互质的自然数之和. 27. (1996 联赛) 某校在向“希望工程”捐款活动中, 甲班的 m 个男生和 11 个女生的捐款总数与乙班的 9 个男人和 n 个女生的捐款总数相等, 都是 (mn + 9m + 11n + 145) 元, 已知每人的捐款数相同, 且 都是整数元, 求每人的捐款数. 28. (1997 联赛) 当 a 取遍 0 到 5 的所有实数值时, 满足 3b = a(3a − 8) 的整数 b 的个数是 .
33. (1998 联赛)1, 2, 3, · · · , 98 共 98 个自然数中, 能够表示成两整数的平方差的个数是
34. (1998 联赛) 每一本书都有一个国际书号:ABCDEF GHIJ , 其中 ABCDEF GHI 由九个数字排列而 成, J 是检查号码. 令 S = 10A + 9B + 8C + 7D + 6E + 5F + 4G + 3H + 2I ,r 是 S 除以 11 所得的 余数, 若 r 不等于 0 或 1, 则规定 J = 11 − r. (若 r = 0, 则规定 J = 0; 若 r = 1, 规定 J 用 x 表示) 现有一本书的书号是 962y 707015, 那么 y = .
(E) 11n2 + 11n − 11 .
3. (1984 联赛) 已知:A = 6 lg p + lg q , 其中 p、 q 为质数, 且满足 q − p = 29. 求证:3 < A < 4. [ ] ( ]) [ 15 x + [u] x + [u] 4. (1985 联赛)[x] 表示取数 x 的整数部分, 例如 = 3 等, 若 y = 4 , 且当 − 4 4 4 x = 1, 8, 11, 14时, y = 1; x = 2, 5, 12, 15时, y = 2; x = 3, 6, 9, 16时, y = 3; x = 4, 7, 10, 13时, y = 0. 则表达式中的 u 等于 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( x+1 x x−1 x+2 ; (B) ; (C) ; (D) . (A) 4 4 4 4 5. (1985 联赛) 有一个长、宽、高分别为正整数 m、 n、 r(m 正方体个数得 1985, 求 m、 n、 r 的值. √ 6. (1986 联赛) 记号 [x] 表示不超过 x 的最大整数 (例如 [ 5] = 2), 设 n 是自然数, 且 I = (n + 1)2 + √ n − [ (n + 1)2 + n + 1]2 , 那么 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) (A) I > 0; (B) I < 0; (C) I = 0; (D) 当 n 取不同的值时, 以上三种情况都可能出现 . 7. (1986 联赛) 将自然数 N 接写在每一个自然数的右面 (例如, 将 2 接写在 35 的右面得 352), 如果得 到的新数都能被 N 整除, 那么 N 成为魔术数, 在小于 130 的自然数中, 魔术数的个数为 . n )
n个
.
p = 11 · · · 11 99 · · · 99 88 · · · 88 77 · · · 77
n个 n个 n个 n个
和 q = 11 · · · 11 99 · · · 99 88 · · · 88 77 · · · 77
(n+1)个 (n+1)个 (n+1)个 (n+1)个
都能被 1987 整除. 15. (1988 联赛) 如果, 质数 p、 q 满足关系式 3p + 5q = 31, 且, 那么 log2 p 的值是 3q + 1 .
r) 的长方体, 表面涂上红色后切
成棱长为 1 的正方体, 已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和, 减去一面带红的
8. (1986 联赛) 设 a,b,c,d 都是整数, 且 m = a2 + b2 ,n = c2 + d2 , 则 mn 也可表示成两个整数的平方和, 其形式是:mn = .