卡诺图教学

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3.1.3 用卡诺图化简逻辑函数
由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量 取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻 最小项，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去 一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。
（1）卡诺图中最小项合并的规律 合并相邻最小项，可消去变量。 合并两个最小项，可消去一个变量； 合并四个最小项，可消去两个变量； 合并八个最小项，可消去三个变量。 合并2N个最小项，可消去N个变量。
关键是画卡诺圈 。
(3)画卡诺圈的原则
①每个圈中相邻最小项的个数必须是2n (n=0,1,2,3…) 个；
②圈中的1可重复使用,但至少有一个1没被圈过； ③圈要尽可能的大（消去的变量就越多）; ④ 圈要尽可能的少（与项就少）；
⑤一般是先圈孤立的1 ，再画只有一种圈法的1，最 后画大圈。
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表2-18 三变量最小项的编号表
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（3）最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的
形式——标准与或表达式。而且这种形式是惟一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。
解： YA B B C A(C BC)(AA )BC AC B AB A C BC
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m3
BC
D
m11
图2-15 两个最小项合并
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图2-16 四个最小项合并
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图2-17 八个最小项合并
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（2）利用卡诺图化简逻辑函数 的步骤
① 画出逻辑函数的卡诺图；
② 合并相邻最小项（圈组）；
③ 从圈组写出最简与或表达式。
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（4）由卡诺圈写出最简与或表达式的方法：
① 将每个圈用一个与项表示 圈内各最小项中互补的因子消去， 相同的因子保留， 相同取值为1用原变量， 相同取值为0用反变量； ② 将各与项相或，便得到最简与或表达式。
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例2-10 用卡诺图化简逻辑函数 Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11) 解：
AB是三推变 广量 ：函 一数 个的 变最量小仅项有吗原？变量和反变量两种形式，
A因BB此C是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
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最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
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（2）卡诺图的画法
首先讨论三变量（A、B、C）函数卡诺图的画 法。
① 3变量的卡诺图 有23个小方块；
相邻 相邻
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图2-11 三变量卡诺图的画法
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不 相邻
相邻
相邻
图2-12 四变量卡诺图的画法
或： Y(A,B,C)m3m6m7
m(3,6,7)
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2.卡诺图及其画法 （1）卡诺图及其构成原则
卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方 框图。构成卡诺图的原则是：
① N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）； ② 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。 逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不 同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。 几何相邻的含义： 一是相邻——紧挨的； 二是相对——任一行或一列的两头；
1、最小项 （1）最小项
设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变量按以 下规则构成乘积项：
①每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是它的一个 因子；
②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、B、C)的 形式出现一次，且仅出现一次。
具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘 积项为三变量A、B、C的最小项。
利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它 克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函 数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方 法。
卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论一 下最小项及最小项表达式。
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3.1.1 最小项与卡诺图
表2-17 三变量最小项真值表
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（2）最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它 的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；
②任意两个不同的最小项之积恒为0； ③变量全部最小项之和恒为1。
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最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小 项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的 那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十 进制数，就是该最小项的编号。
A
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相邻
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A
来自百度文库BC
相邻
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A
BC
B D
YABCBD
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例2-11 化简图示逻辑函数。 解：
1
2
多余
的圈
4
3
YA C D A B C A C D ABC
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1
2
3
4
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3.1.4具有无关项的逻辑函数的化简
1、逻辑函数中的无关项
（1）概念：无关项是指那些与所讨论的逻辑问题 没有关系的变量取值组合所对应的最小项。
（2）化简时，无关项变量取值组合视为1或视为0 都可以。
2、利用无关项化简逻辑函数
在卡诺图中，无关项对应的方格中常用“×” 或“d”来标记，表示根据需要，可以看作是1或 0。
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小结: 1、最小项表达式的意义; 2、用卡诺图化简逻辑函数的方法。
作业：2-9; 2-11
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3.1逻辑函数的卡诺图化简法
3.1.1 最小项与卡诺图 3.1.2 用卡诺图表示逻辑函数 3.1.3 用卡诺图化简逻辑函数 3.1.4 具有无关项的逻辑函数的化简法
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复习
与或表达式最简的标准是什么？ 公式化简法的优点？局限性？
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3.1逻辑函数的卡诺图化简法
公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简 有时不易判断。
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图1-14 例1-9的卡诺图
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（3）从与－或表达式画卡诺图
把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项 就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上 1，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。
例 已知Y＝AB＋ACD＋ABCD，画卡诺图。
AB＝11
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1 1 1 +1 1 1
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再 见！
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正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。
对角线上不相 邻。
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3.1.2 用卡诺图表示逻辑函数 （1）从真值表画卡诺图
根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一 个小方块的值（0或1）即可。需注意二者顺序不同。
例 已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。
表2-19 逻辑函数Y的真值表
ABC
Y
000
0
001
1
010
1
011
0
100
1
101
0
110
0
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1
图2-13 例2-8的卡诺图
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（2）从最小项表达式画卡诺图 把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入
1，其余的小方块中填入0。
例2-9 画出函数Y(A、B、C、D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15) 的卡诺图。
1
ABCD=0111
ACD=101
最后将剩 下的填0
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Y1 AB AB(CC)(DD) ABCDABCDABCDABCD
m(12,13,14,15)
Y2 AC D A(B B )C D
Y3 ABCD m7
A B C D AB C D
m (9,13 )
（4）从一般形式表达式画卡诺图 先将表达式变换为与或表达式，则可画出卡诺图。