湖南四大名校内部资料 数学 2020-2021-2广益九下期中考试

湖南广益实验中学2020-2021学年第二学期期中考试试卷
九年级数学
命题人：易波 审题人：李朝文 刘新巧 时量：120分钟 分值：120分
一、选择题(本大题共10小题，共30分) 1.下列各数中，是无理数的是（ ）
A.3.1415
C.
227
2.
函数y x 的取值范围是（ ）
A.2
3
x ≤-
B.23x ≥-
C.2
3
x ≥
D.2
3
x ≤
3.华为手机Mate X 在5G 网络下能达的理论下载速度为603000000B/s ，3秒内就能下载好1 GB 的电影，将603000000用科学计数法表示为（ ）
A.660310⨯
B.86.0310⨯
C.760.310⨯
D.90.60310⨯
4.下列电视台标志中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5.若2
1x y =⎧⎨=⎩
是关于x 、y 的方程组27ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则a b +的值为（ ）
A.3
B.3-
C.2
D.2-
第6题图 第7题图
6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是()1,2A ，()1,1B ，()3,1C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（ ）
B.2
C.4
D.7.如图，在△ABC 中，10AB =，8AC =，6BC =.按以下步骤作图：
①以A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于1
2
MN 的
长为半径作弧，两弧交于点E ；③作射线AE ；④以同样的方法作射线BF ，AE 交BF 于点O ，连结OC ，则OC 为（ ）
A.
B.2
D.1
N
M O
F
E C
B
A
8.已知一次函数()1y k x =-与反比例函数k
y x
=
，那么它们在同一坐标系中的图象可能是( ) A.
B.
C.
D.
9.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积12
=
(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图)是由圆弧和共所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB ，“矢”等于半径长与圆心O 到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos OAB ∠=( )
A.3
5
B.
24
25
C.4
5
D.12
25
10.如图，在矩形ABCD 中，10AD =，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转至BC 恰好经过点D ，得到矩形AB C D '''，
此时旋转角为θ，若3
tan 4
θ=
，则cos D AD ∠'为( ) A.13
D.
3
5
二、填空题(本大题共6小题，共18分)
11.单项式433m x y +与211
2
n x y -是同类项，则n m =________.
12.某药品经过两次降价，每盒零售价由105元降到88元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程为________.
13.在一只不透明的口袋中放入红球5个，黑球1个，黄球n 个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别.搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为1
3
，则放入口袋中的黄球总数n 是________.
14.如图，AB//CD ，FG 平分∠EFD ，交AB 于G ，154FGB ∠=︒，则∠AEF 的度数等于________.
15.如图，在33⨯的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 、O 是格点，则图中扇形OAB 中阴影部分的面积是________.
第14题图 第15题图 第16题图
16.如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则方程2ax bx c =+的解是________.
G
F
E
D
C
B
A B
A
O
B
A B'
C'D'
D
C
B
A
三、解答题(本大题共9题，共72分)
17.（6分）计算：(
)2
01202112cos302π-⎛⎫
+-+︒ ⎪⎝⎭
18.（6分）先化简，再求值：2
2
21
111x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭
，其中1x .
19.（6分）如图，一艘渔船位于码头M 的南偏东45°方向，距离码头120海里的B 处，渔船从B 处沿正北方向航行一段距离后，到达位于码头北偏东60°方向的A 处.
（1）求渔船从B 到A 的航行过程中与码头M 之间的最小距离；
（2）若渔船以20海里/小时的速度从A 沿AM 方向行驶，求渔船从A 到达码头M 的航行时间.
20.（8分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A .器乐，B .舞蹈，C .朗诵，D .唱歌.每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有________人； （2）补全条形统计图； （3）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？ （4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的
器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率.
B
A
M
45°
60°
北
30%
D C B A
21.（8分）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，E 是AB 延长线上一点且BE AB =，连接CE ，BD .
（1）求证：四边形BECD 是平行四边形；
（2）连接DE ，若4AB BD ==
，DE =，求
BECD 的面积.
22.（9分） “垃圾分一分，环境美十分”.某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A ，B 两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶，已知B 品牌垃圾桶比A 品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A 品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B 品牌垃圾桶数量的2倍.
（1）求购买一个A 品牌、一个B 品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A ，B 两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A 品牌按第一次购买时售价的九折出售，B 品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B 品牌垃圾桶？
23.（9分）如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，90ABC ∠=︒，D 为圆上一点，且B ，D 两点位于AC 异侧，连接BD ，交AC 于E ，点F 为BD 延长线上一点，连接AF ，使得DAF ABD ∠=∠.
（1）求证：AF 为⊙O 的切线；
（2）当点D 为EF 的中点时，求证：2AD AO AE =⋅；
（3）在(2)的条件下，若1
sin 3
BAC ∠=
，AF =，求BF 的长.
E
D
C
B
A
C
A
24. （10分）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标的值与横坐标的值的平方相等的点称为“益心”， 例如点()1,1-，()0,0
，
)
2，…都是“益心”，显然，这样的“益心”有无数个.
（1）求一次函数2y x =+上的所有“益心”的坐标；
（2）若过点()1,1-的直线上恰好有一个“益心”，请求出符合要求的直线解析式；
（3）若二次函数2691y ax ax a =-+-(a 是常数，0a >)的图象上存在两个不同的“益心”且至少有一个“益心”的横坐标的值大于2，试求实数a 的取值范围.
25.（10分）如图，已知直线2y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，P ，Q 为线段AB 上的两个动点(P 在的右侧)，且始终满足45POQ ∠=︒.
（1）求证：AOQ BPO △∽△；
（2）记点P 的横坐标为m ，Q 的纵坐标为n ，试判断：P ，Q 两点在移动的过程中，动点(),M m n 是否始终在一个确定的反比例函数上；若是，求出反比例函数的解析式；若不是，也请说明理由；
（3）在(2)的情况下，
①请判断：以线段AP ，BQ ，PQ 围成的三角形的形状，并给出理由；
②若△AOQ 与△BPO 的面积相等时，记tan t AOP =∠，当1
t x t
≤≤时，抛物线()220y ax x mn a =-+<的
最小值恰好等于以线段AP ，BQ ，PQ 围成的三角形的面积.求该抛物线二次项系数a 的值.。