待定系数法求二次函数解析式(讲义)

变式 1：已知二次函数的图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。 解法 1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8).
设解析式为 y=a(x-h)2+k, 即 y=a(x-1)2-8. 把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x2-4x-6. 解法 2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2, ∴解析式为 y=2x2-4x-6. 解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8.
c 2.
∴解析式为 y=x2+2. 变式：已知一个二次函数，当 x=-1 时，y=3；当 x=1 时，y=3；当 x=2 时，y=6。求这个二次函数的 解析式。 解:设解析式为 y=ax2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得
3 a b c, 3 a b c, 6 4a 2b c.
设所求二次函数为 y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到 c＝4，又由于其图 象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到
64a＋8b＝－4 4a－2b＝－4
解这个方程组，得
a b
3 2
1 4
所以，所求二次函数的关系式是 y＝－1x2＋3x＋4 42
练习： 一条抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是 3，求这条抛物线的解析式。
设所求抛物线的解析式为 y 1 ( x 2)2 h 。 4
将点 (0, 3) 代入，得 1 (0 2)2 h 3 ，解得 h 1 。
2
4
2
2
这条抛物线的解析式为 y 1 (x 2)2 1 ，即 y 1 x 2 x 3 。
4
2
4
2
点评：当点 M（ x1 , y1 ）和 N（ x2 , y2 ）都是抛物线上的点时，若 y1
又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线9a＋3b＝6
a＝－2 解这个方程组，得： b＝8
所以所求的二次函数的关系式为 y＝－2x2＋8x－5。
解法二：设所求二次函数的关系式为 y＝a(x－2)2＋k，
由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到
（1）求二次函数的表达式； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随 x 的增大而增大． （4）当 x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？
【例 3】 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距 离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过 130km/h），对这种汽车进行测试， 测得数据如下表：
【例 4】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场 售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线 表示．（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式 P=f（t），写出图②中表示的种植成本与时 间函数表达式 Q=g（t）；
待定系数法求二次函数解析式（讲义）
一、【基础知识精讲】
(一）、中考导航图
顶点 对称轴 1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质 开口方向 增减性
顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)
4.二次函数
待定系数法确定函数解析式
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
5.二次函数与一元二次方程的关系。 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
轴;b 的符号由对称轴来决定.当对称轴在 y轴左侧时,b 的符号与 a 的符号相同;当对称轴在 y 轴右侧 时,b 的符号与 a 的符号相反;简记左同右异.
6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,应用数形结合思想来解决有关的综合 性问题.
二、【典型例题精析】
一般式： 例 1 已知二次函数的图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); 求它的解析式。
a(3－2)2＋k＝1 a(0－2)2＋k＝－5
a＝－2 解这个方程组，得： k＝3
所以，所求二次函数的关系式为 y＝－2(x－2)2＋3，即 y＝－2x2＋8x－5。
变式 3：已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4，求函数的关系式。 解法 1：设所求的函数关系式为 y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得 y＝a(x－2)2－4
a 1, 解得 b 0,
c 2.
∴解析式为 y=x2+2. 顶点式： 例 2 已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 分析：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 通过配方可得 y＝a(x＋h)2＋k 的形式称为顶点式，(－h，k)为抛 物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： y＝a(x －8)2＋9 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出 a 的值。 请同学们完成本例的解答。
因为抛物线与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4，所以抛物线过点(0，4)，于是 a(0－2)2－4＝4，解得 a＝2。所以，所求二次函数的关系式为 y＝2(x－2)2－4，即 y＝2x2－8x＋4。 解法 2：设所求二次函数的关系式为 y＝ax2＋bx＋c?依题意，得
b － ＝2
2a
a＝2
4ac－b2 ＝－4
y2 ，则对称轴方程为 x
x1
x2 2
，
这一点很重要也很有用。
两根式： 例 3 已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.求它的解析式。 解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1,
又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6. 由抛物线的对称性可得 A、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0),
分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出 函数解析式,列出方程或方程组来求解. 解:设解析式为 y=ax2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得
3 a b c, 3 a b c, 6 4a 2b c.
a 1, 解得 b 0,
函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点 (0, 3), (4, 3) 的特征入手：这两点关于抛物 22
线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线 x 2 ，这样又可以从抛物线的顶点式入手。
解：抛物线 y 1 x 2 mx n 经过点（ 0, 3 ）和 (4, 3) ，
4
2
2
这条抛物线的对称轴是直线 x 2 。
解这个方程组，得：
b＝－8
4a
c＝4
c＝4
所以，所求二次函数关系式为 y＝2x2－8x＋4。
变式 4：一条抛物线 y 1 x 2 m x n 经过点 (0， 3) 与 (4， 3) 。求这条抛物线的解析式。
4
2
2
分析：解析式中的 a 值已经知道，只需求出 m, n 的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次
4a(3a) (2a)2
∴
=-8.
4a
又∵a≠0,∴a=2. ∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.
变式 2： 已知抛物线对称轴是直线 x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
解法 1：设所求二次函数的解析式是 y＝ax2＋bx＋c，
因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得 c＝－5，
根据图像求解析式： 例 1．如图所示，求二次函数的关系式。 分析：观察图象可知，A 点坐标是(8，0)，C 点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线 x＝3，由
于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在 x 轴上的另一交点 B 的坐标是(－2，0)，问题转 化为已知三点求函数关系式。
解：观察图象可知，A、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线 x＝3。因为对称轴是 直线 x＝3，所以 B 点坐标为(－2，0)。
刹车时车速（km/h） 0
10 20 30 40 50 60 70
刹车距离（m）
0
1．1 2．4 3．9 5．6 7．5 9．6 11．9
（1）以车速为 x 轴，刹车距离为 y 轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点， 并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式； （3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为 26．4m，问在事故发生时，汽 车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由．
设出两根式 y=a(x-x1)·(x-x2), 将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x2-2x+8. 变式： 已知二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标分别是 x1=－3，x2=1，且与 y 轴交点为(0，－3)， 求这个二次函数解析式。
想一想:还有其它方法吗?
点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为 y=ax2+bx+c, 组成三元一次方程组来求解;如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来 求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x1)(x-x2).
6.抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 a、b、c 之间的关系。
（二）、中考知识梳理
1.二次函数的图象
b
4ac-b2
在画二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成 y=a(x+ )2+
的形式,先
2a
4a
b 4ac-b2
确定顶点(- ,
),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.
.
2a
4a
3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法 一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对 x,y的值)可设解析式为 y=ax2+bx+c,然后组 成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为 y=a(x-h)2+k; 在所给条件中已知抛物线与 x轴两交点坐标或已知抛物线与 x 轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为 y=a(x-x1)(x-x2)来求解. 4.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线 y=ax2+bx+c 当 y=0 时抛物线便转化为一元二次方程 ax2+bx+c=0,即抛物线与 x 轴有两个交点 时,方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等实根;当抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有一个交点,方程 ax2+bx+c=0 有两 个相等实根;当抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴无交点,方程 ax2+bx+c=0 无实根. 5.抛物线 y=ax2+bx+c 中 a、b、c 符号的确定 a 的符号由抛物线开口方向决定,当 a>0 时,抛物线开口向上;当 a<0 时,抛物线开口向下;c 的符号 由抛物线与 y 轴交点的纵坐标决定.当 c>0 时,抛物线交 y 轴于正半轴;当 c<0 时,抛物线交 y 轴于负半
2a 4a
2.理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由 a 的符号来确定,当 a>0 时,在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小;在对称轴的右
b
4ac-b2
侧,y 随 x 的增大而增大;简记左减右增,这时当 x=- 时,y = 最小值
;反之当 a<0 时,简记左增右
2a
4a
b
4ac-b2
减,当 x=- 时 y = 最大值
其它应用类型： 【例 1】已知函数 y=x2＋bx＋1 的图象经过点（3，2）． （1）求这个函数的表达式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当 x＞0 时，求使 y≥2 的 x 的取值范围．
【例 2】 一次函数 y=2x＋3，与二次函数 y=ax2＋bx＋c 的图象交于 A（m，5）和 B（3，n）两点， 且当 x=3 时，抛物线取得最值为 9．