第02章拉压题解

第2章 习题解答
2-1 试求图示各杆1-1，2-2，3-3截面的轴力并画出杆的轴力图。

解：
（a ）N 1-1 = 50 kN ，N 2-2 = 10 kN ，
N 3-3 = -20 kN
（b ）N 1-1 = F ，N 2-2 = 0 ，N 3-3 = F
（c ）N 1-1 = 0 ，N 2-2 = 4F ，N 3-3 = 3F
2-2 图示螺旋压板夹紧装置。

已知螺栓为M20（螺纹内径d ＝17.3mm ），许用应力［ζ］
＝50MPa 。

若工件所受的夹紧力为2.5kN ，试校核螺栓的强度。

∑=0B
M
03
=⋅-⨯l F l
F A
得
F = 3 F A
24
3d
F A F A
π==σ
2
33.174105.23⨯π⨯⨯⨯=
= 31.9 MPa ＜[ζ]
安全
2-3 图示结构，A 处为铰链支承，C 处为滑轮，刚性杆AB 通过钢丝绳悬挂在滑轮上。

已知F ＝70kN ，钢丝绳的横截面积A ＝500mm 2，许用应力［ζ］＝160MPa 。

试校核钢丝绳的强度。

由AB 杆的平衡条件得：
∑
=0A M 05s i n 4=⋅α-N F α= 45°，2.7945sin 570
445sin 54=︒
⨯=︒=F N kN
4.158500
102.793=⨯==σA N MPa ＜[ζ] ，安全 2-4 图示为一手动压力机，在物体C 上所加的最大压力为150kN ，已知立柱A 和螺杆
BB 所用材料的许用应力［ζ］＝160MPa 。

1. 试按强度要求设计立柱A 的直径D ；2. 若螺
（a ）
（b ）
杆BB 的内径d ＝40mm ，试校核其强度。

解：由平衡条件得 752
150
==
A N kN 1. 由立柱的强度条件 24D
N A N A
A A π==σ≤[ζ] 得 D ≥4.2416010754][43
=⨯π⨯⨯=πζA N mm
2. 螺杆的应力
11940
10150423
=⨯π⨯⨯==σBB BB A N MPa ＜[ζ] 螺杆强度足够。

2-5 一悬臂吊车如图，最大起吊重量W =20kN ，斜钢杆AB 的截面为圆形，［ζ］＝160MPa 。

试设计AB 杆的直径。

解： 由CD 杆的平衡条件得：
∑=0C
M
030sin 35=︒⋅-AB F W
得 7.6630sin 3205=︒
⨯=AB F kN
由AB 杆的强度条件 24d
N A N AB
AB AB π==σ≤[ζ] 得 d ≥23160
107.664][43=⨯⨯⨯=ππζAB N mm
2-6 吊环最大起吊重量W =900kN ，α=24°，许用应力［ζ］＝140MPa 。

两斜杆为相同的矩形截面且
4.3=b
h
，试设计斜杆的截面尺寸h 及b 。

解：斜杆的轴力 6.49224cos 2900
24cos 2=︒
=︒=
F N kN
由斜杆的强度条件 24.3b N
bh N A N ===σ≤[ζ]
得 b ≥2.32140
4.3106.492][4.33
=⨯⨯=ζN mm
h = 3.4 b =3.4×32.2 = 109.5 mm
2-7 图示链条的直径d ＝20mm ，许用拉应力［ζ］＝70MPa ，试按拉伸强度条件求出链
条能承受的最大载荷F 。

解：链条的受力面积
2
422
2d
d A π=
π⋅= 最大载荷 44702
20][2
max =⨯⨯π=σ=A F kN
2-8 图示结构中AC 为钢杆，横截面积A 1＝200mm 2
， 许用应力［ζ］1＝160MPa ；BC 为铜杆，横截面积A 2＝300mm 2，许用应力［ζ］2 ＝100MPa 。

试求许可载荷F 。

解：节点C 的平衡条件
∑
=0x F 045sin 30sin 12=︒-︒N N ∑=0y
F
F N N =︒+︒45cos 30cos 12
得 F N 1321+=
， F N 1322+= 由1杆的强度条件 N 1 ≤ [ζ]1A 1 得 F 1 ≤ [ζ]1A 18.612
132********=+⨯⨯=
+⋅
）
（ kN
由2杆的强度条件 N 2≤ [ζ]2A 2
得 F 2 ≤ [ζ]2A 2412
133********=+⨯⨯=+⋅）（ kN
所以许可载荷 [ F ] = 41 kN
2-9 图示横截面尺寸为75mm ×75mm 正方形的木柱，承受轴向压缩。

欲使木柱任意截面上的正应力不超过2.4MPa ，切应力不超过0.77MPa ，试求其最大载荷F 。

解：由正应力ζ≤ 2.4 MPa 得
F ≤ζA = 2.4×75×75 = 13.5 kN
最大切应力 2
45max σ
=τ=τ︒
ζ= 2×0.77 MPa
由切应力η≤ 0.77 MPa ， 得 F ≤ζA = 2×0.77×75×75 = 8.66 kN 所以 F max = 8.66 kN
2-10 图示拉杆由两段胶合而成，胶合面为α斜截面m -m 。

其强度由胶合面的胶结强度控制，胶合面的许用拉应力[ζ]=69MPa ，许用切应力[η]=40MPa ，拉杆的横截面积A =1000mm 2。

试求：1. 拉力F 达到最大值时，最小的α角；2. 最大拉力。

解：拉杆横截面的应力
N x
A
F A N ==
σ α斜截面的强度条件为
α=
σα2c o s A F ≤[ζ] ， αα=ταc o s s i n A
F ≤[η] 拉力F 应满足 F ≤
α
σ2cos ]
[A ； F ≤
α
ατcos sin ]
[A
两个条件同时满足，则有 ασ2
c o s ][A αατ=c o s s i n
]
[A 即 69
40
][][tan =στ=α ， 所以 α=30.1° 当α=30.1°时，拉力达到最大值。

最大拉力 F max =2.921.30cos 69
1000cos ][2
2=︒
⨯=ασA kN 2-11 变截面直杆如图所示，横截面积A 1＝800mm 2，A 2＝400mm 2
，材料的弹性模量E =200GPa 。

试求杆的总伸长。

解：杆的总伸长
22211121EA l N EA l N l l l +=∆+∆=∆
075.0400
10200200
104080010200200
10203333=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-
=mm
2-12 图示结构中AB 杆为刚性杆。

杆1和杆2由同一材料制成，已知F ＝40kN ，E =200GPa ，［ζ］＝160MPa 。

1. 求两杆所需的面积；2. 如要求刚性杆AB 只作向下平移，不作转动，此两杆的横截面积应为多少？
解：1. 由AB 杆的平衡条件可知： 325
40
4541=⨯==
F N kN 85
40
52===F N kN
由强度条件得两杆的面积
A 1≥2001601032][31=⨯=σN mm 2 A 2≥50160
108][3
2=⨯=σN mm 2 2. 由AB 杆的向下平移条件可知：Δl 1 = Δl 2
即 2
22111EA l
N EA l N =
得
33.55
.182********=⨯⨯==l N l N A A 满足杆1的强度条件 5.3733
.520033.512===
A A mm 2
满足杆2的强度条件 5.2665033.533.521=⨯==A A mm 2
同时满足两杆的强度条件和平移条件，应选取 A 1 = 267 mm 2
，A 2 = 50 mm 2
2-13 图中的M12螺栓内径d 1=10.1mm ，螺栓拧紧后，在其计算长度l =80mm 内产生伸长为Δl =0.03mm 。

已知钢的弹性模量E =210GPa ，试求螺栓内的应力及螺栓的预紧力。

解：拧紧后螺栓的应变为 41075.380
03.0-⨯==∆=
εl l 螺栓横截面上的应力
ζ= E ε=210×103×3.75×10- 4 =78.8 MPa 螺栓的预紧力
31.64
1.108.782
=⨯π⨯
=σ=A F kN 2-14 图示圆台形杆受轴向拉力F 作用，已知弹性模量E ，试求此杆的伸长。

解：x 截面的直径和面积
x l
d d d x d 1
21-+=）（ ， 2
121244⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⋅π=π=x l d d d x d x A ）（）（ 微段伸长
）
（）（）（x EA Fdx
dx x EA N l d =
=∆ 杆的伸长 ⎰
⎰=
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-+=
∆=∆l l
d Ed
x l d d d E Fdx
l d l 0
2
12
1
214ππ）（
2-15 长度为l 、横截面面积为A 的等截面直杆被悬吊，其材料的单位体积重量为γ，弹性模量为E 。

试求杆横截面上的应力及杆的伸长。

若杆材料的破坏应力为ζ°，杆的长度最长不能超过多少？
解：在自重作用下x 截面的轴力和应力为
Ax x N γ=）（ ； x A
x N x γ==σ）
（）（
微段的伸长 E
x d x
dx EA x N l d γ=
=∆）（）（
杆的伸长 ⎰
⎰γ=
γ=∆=∆l
l
E l E x d x l d l 0
2
2）（ 杆的破坏条件为 ζmax =ζ° 即ζmax =
γl max =ζ°
所以杆最长为 l max =ζ°/γ 。

2-16 图示一简单托架，AB 杆为直径d ＝20mm 的圆截面钢杆，BC 杆为8号槽钢，两杆
的E =200GPa 。

已知F = 60kN ，试求B 点的位移。

解：以节点B 为研究对象，设AB ，AC 杆的轴力N 1为拉力，N 2为压力，如图所示。

列出静力平衡方程 ∑=0x F 0c o s 21=α-N N ∑
=0y F 0s i n 2=-αF N 求得两杆轴力为
kN ， 45755
3
5321=⨯==N N kN 计算结果表明AB 杆受拉，BC 杆受压。

AB 杆的面积 314204
4221=⨯π=π=
d A mm 2 查型钢表得BC 杆面积 A 2 = 1024 mm 2
两杆的变形为
15.2314
10200103104533
311111=⨯⨯⨯⨯⨯===∆EA l N BB l mm 83.11024
10200105107533322222=⨯⨯⨯⨯⨯==
=∆EA l N BB l mm 节点B 的位移： 如图所示
节点B 的水平位移
15.211=∆==∆l BB H mm 节点B 的垂直位移
9.34
3
53544354122422344131=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⨯∆+⨯∆=⨯+⨯=+==∆l l l B B BB B B B B B B V mm
节点B 的位移
45.49.315.22
2223=+=∆+∆=V H BB mm
Δl 2
Δ
l 1 B 4
B 3 B α B 1 B 2
V
解法[2 ]：设∆H , ∆V 为B 点的位移分量，由小变形（切线代圆弧）可得 ⎩⎨
⎧=∆+∆=∆=∆=∆⇒⎩⎨⎧∆-∆=∆∆=∆mm
l l mm l l l V H H V H
9.3sin /tan /15.2cos sin 21121
ααα
α
2-17 图示边长为a 的正方形结构，各杆材料相同，且横截面积相等。

已知杆材料的E ，杆的横截面积A ，试求A ，C 两点之间的相对位移。

解： 1. 计算各杆的轴力 由图（b ）所示节点A 的平衡条件得 N AD = N AB ， N AD cos45°+ N AB cos45°= F 即
F N N AB AD 2
2
== （拉） 由节点B 的平衡条件得
F N N AB BC 2
2
== （拉），N BD = N BC cos45°+ N AB cos45°= F （压） 同理 F N N AB CD 2
2
== （拉） 2. 计算各杆的变形
=∆AB l =∆BC l =∆CD l EA
Fa
EA a N l AB AD 22==
∆ （伸长） EA
Fa
EA a N l BD BD 22==
∆ （缩短） 3. 计算A ，C 两点之间的相对位移 由于结构和受力对称，所以结构的变形也是对称的， 结构变形后为图（c ）所示的菱形A 1B 1C 1D 1 。

由图知 EA
Fa
l BB AA BD 22212=∆=
= ()
2222112AA E A l AA A A AA AD -+∆=-=
EA
Fa EA Fa EA Fl EA Fa ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+
=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=22122222222 （b ）
（a ）
（c ） （d ）
2 11
EA
Fa
AA AC ）（2221+=⨯=∆（← →）
解法[2 ]：设∆1, ∆2分别为A 点和B 点的位移（图d ），由小变形（切线代圆弧）可得
⎪⎩⎪⎨
⎧+=∆=∆+=∆+∆=∆⇒⎪⎩⎪⎨⎧∆-∆=∆∆=∆EA
Fa EA
Fa l l l l AB BD AB BD /)22(22/)22(45cos /2/45
cos 45cos 211212
2-18 图示桁架由三根钢杆组成，各杆的横截面面积均为A =300mm 2
，弹性模量
E =200GPa ，
F =15kN 。

试求C 点的垂直及水平位移。

解：1. 几何尺寸 由图（a ）可知
5.25.12221=+=l m ，61.
332222=+=l m ，5.435.13=+=l m 6.05.25.1s i n ==
α ，8.05.22cos ==α ，75.025
.1tan ==α 831.061.33sin ==
β ，554.061.32cos ==β ，5.123
tan ==β 554.061.32sin ==
γ ，831.061
.33
cos ==γ ，
2. 各杆的内力
由图（b ）可知，节点C 的平衡条件为 β=αsin sin 21N N
F N N =β+α
c o s c o s 21 节点B 的平衡条件为 γ=c o s
23N N 代入数据得 N 1 =12.51 kN （压力）， N 2 =9.03 kN （压力）， N 3 =7.5 kN （拉力） 3. 各杆的变形
52.030010200105.21051.12333111=⨯⨯⨯⨯⨯==∆EA l N l mm （缩短） 54.0300
102001061.31003.9333222=⨯⨯⨯⨯⨯==
∆EA l N l mm （缩短） （b ）
（a ） （c ） （d ）
56.0300
10200105.4105.733
3333=⨯⨯⨯⨯⨯==∆EA l N l mm （伸长）
4. 节点C 的位移 在载荷作用下，1，2两杆缩短，3杆伸长。

由于3杆的伸长，2杆
同时向右平移Δl 3，如图（c ）所示。

由1，2两杆变形后的C 点，分别作两杆的垂线交于C 4点，C 4点即C 点变形后的位置。

作相应的辅助线后，可得
01.154.0831.056.054.0sin 32332=+⨯=+β∆=+=l C C CC CC mm
82.1554.001.1cos 27==β=
CC CC mm ，65.08
.052
.0cos 15==α∆=l CC mm 17.165.082.15775=-=-=CC CC C C mm
17.125.25.175.0tan tan 64646475==+=β+α=C C C C C C C C ）（）（ mm 52.025
.217
.164==
C C mm ，39.075.052.0tan 6465=⨯=α=C C C C mm C 点的水平位移 517.064==∆C C H mm
C 点的铅垂位移 038.139.065.06556=+=+==∆C C CC CC V mm
解法[2]：设∆1, ∆2和∆3分别为C 点和B 点的位移分量，由小变形（切线代圆弧）可得 ⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎨⎧=∆+∆=∆=+∆+∆-∆=∆=∆=∆⇒⎪⎩⎪⎨⎧∆-∆+∆=∆∆-∆=∆∆=∆mm
l mm l l l mm
l l l l 038.1cos /)sin (517.0)sin(sin cos cos cos 56.0sin cos sin sin cos 11231213332121
2133ααβαβαβαβββαα2-19 图示支架，AB 为钢杆，BC 为铸铁杆。

已知两杆横截面积均为A ＝400mm 2，钢的许用
应力［ζ］＝160MPa ，铸铁的许用拉应力［ζ+］＝30MPa ，许用压应力［ζ-］＝90MPa 。

试求许可载荷 F 。

如将AB 改用铸铁杆，BC 改用钢杆，这时许可载荷又为多少？
解：由节点B 的平衡条件可得 N AB = N BC = F 由AB 杆的强度条件得
F = N AB ≤[ζ]A = 160×400 = 64 kN
由BC 杆的强度条件得 F=N BC ≤[ζ-]A =90×400 = 36 kN 许可载荷 [ F ] = 36 kN 如将AB 改用铸铁杆，BC 改用钢杆时，则
F =N AB ≤[ζ]A = 30×400 = 12 kN 许可载荷 [ F ]1 = 12 kN
2-20 一拉伸钢试件，E ＝200GPa ，比例极限ζp ＝200MPa ，直径d ＝10mm ，在标距 l ＝100mm 长度上测得伸长量Δl ＝0.05mm 。

试求该试件沿轴线方向的线应变ε，所受拉力及横截面上的应力。

解： 3105.0100
05.0-⨯==∆=
εl l ζ= E ε= 200×103×0.5×10-3 = 100 MPa ＜ζ
p
85.7104
1002=⨯π
⨯=σ=A F kN
2-21 某拉伸试验机的结构示意图如图所示。

设试验机的CD 杆与试件AB 材料同为低碳钢，其ζp =200MPa ，ζs =240MPa ，ζb =400MPa 。

试验机最大拉力为100kN 。

试求：
1. 若设计时取试验机的安全系数n =2，则CD 杆的横截面积应为多少？
2. 用这一试验机作拉断试验时，试件的直径最大可达多大？
3. 若试件直径d = 10mm ，欲测弹性模量E ，则所加载荷最大不能超过多少？
解：1. 1202
240][==σ=
σn s MPa A ≥833120
10100][3=⨯=σF mm 2 2. 拉断试验时24
d N
A N π==σ≥ζ b ，即
d ≤8.17400
10100443
=⨯π⨯⨯=πσb N mm
3. 2
4
d N
A N π==
σ≤ζp
所以 N F =≤7.15104
200422=⨯π
⨯=π⋅σd p kN
2-22 一低碳钢拉伸试件，在试验前测得试件的直径d = 10mm ，长度l = 50 mm ，试件
拉断后测得颈缩处的直径d 1 = 6.2mm ，杆的长度l 1 = 58.3 mm 。

试件的拉伸图如图所示，图中屈服阶段最高点a 相应的载荷F a =22kN ，最低点b c 相应的载荷F c =33.8kN 。

试求材料的屈服极限、强度极限、 延伸率及断面收缩率。

解：屈服极限 6.24910106.19423
=⨯π⨯⨯==σA F b s MPa 强度极限 4.43010108.3342
3
=⨯π⨯⨯==σA F c b MPa
延伸率 %6.16%50
50
3.58%1⨯=⨯-=⨯-=
δl l l 断面收缩率 %6.61%10
2.610%%22
222121⨯=⨯-=⨯-=⨯-=ψd d d A A A
*2-23 弹性模量E =200GPa 的试件，其应力-应变曲线如图所示，A 点为屈服点，屈服极
限ζs =240MPa 。

当拉伸到B 点时，在试件的标距中测得纵向线应变为3×10-3。

试求从B 点卸载到应力为140MPa 时，标距内的纵向线应变ε。

解：B 点所相应的应变包括弹性应变ε e
和塑性应变εp ，即
p e ε+ε=⨯-3
103 其中 33102.110
200240-⨯=⨯=σ=
εE e 333108.1102.1103---⨯=⨯-⨯=εP
当从B 点卸载到C 点，应力为140MPa 时，试件失去了一部分弹性应变，剩余弹性应变
3
3
10
7.010200140-⨯=⨯=σ=
ε'E e C 点所相应的应变，即标距内的纵向线应变为
33
3105.210
8.1107.0---⨯=⨯+⨯=ε+ε'=εp e 2-24 两端固定的等截面直杆，横截面积为A ，弹性模量为E 。

试求受力后，杆两端的
反力。

解：解除固定端约束，代以约束反力F A ，F B ，列静力平衡方程 0=-+-B A F F F F 得 B A F F =
是一次超静定问题。

各段内力：A F N =1 ，F F N A -=2，B F N =3
变形几何条件：0321=∆+∆+∆=∆l l l l 物理条件：EA l F EA l N l A 3311==∆ ，EA
l
F F EA l N l A 3322）（-==∆
EA l
F EA l N l A 3333==∆
解联立方程得： 3
F F F B A =
=
2-25 图示结构AB 为刚性杆，1杆和2 杆为长度相等的钢杆，E ＝200 GPa ，许用应力
［ζ］＝160MPa ，两杆横截面积均为A ＝300mm 2。

已知F ＝50kN ，试校核1，2两杆的强度。

解：是一次超静定问题。

1. 静力平衡方程
∑
=0A M 02221=-+F N N
2. 变形几何方程
212l l ∆=∆
3. 物理方程
EA l N l 11=∆ ，EA
l N l 22=∆ 解联立方程得
20505
2
521=⨯==F N kN
40212==N N kN 1，2两杆的应力为
7.66300
10203
11
=⨯==A N σ MPa ＜[ζ] 3.133300
1040322
=⨯==A N σ MPa ＜[ζ] 两杆强度足够。

2-26 图示结构，刚性杆AB 左端铰支，右端B 点与CB 杆和DB 杆铰接。

CB 杆和DB
杆的刚度均为EA ，试求各杆的内力。

解：是一次超静定问题。

1. 静力平衡方程
∑
=0A M 045cos =-+︒F N N BD BC 2. 变形几何方程 ︒∆=∆45cos BD BC l l
3. 物理方程
EA l
N l BD BD =∆
︒
=∆45cos EA l N l BC BC 解联立方程得
F F N BC 369.02
42
=+=
F N N BC BD 739.02==
BD 45° B A Δl BD Δl BC Δl 1 Δl 2
2-27 图示支架中的三根杆件材料相同，横截面面积均为A ，试求各杆的轴力。

解：是一次超静定问题
1. 静力平衡方程 设1，2杆受拉，3杆受压，由节点
A 的平衡条件得
0c o s c o s 213=--N N N αα 0s i n s i n 31=-α+αF N N
2. 变形几何条件
由节点A 的位移图得 α
∆+α∆=α∆s i n t a n 2s i n 321l l l
3. 物理方程
EA l N l 111=
∆ ，α==∆cos 12222EA l
N EA l N l ，EA
l N EA l N l 13333==∆ 解联立方程得 α
=
=s i n 231F
N N （N 1为拉力，N 3为压力）， 02=N 解法[2]：设∆x , ∆y 分别为A 点的位移分量，由小变形（切线代圆弧）可得
⎪⎩
⎪
⎨⎧∆=∆-∆∆∆⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧∆-∆=∆∆+∆=∆∆=∆后面求解同上。

得变形几何方程
和消去α
α
αααcos 2cos sin sin cos 231312l l l l l l y x x y y x x
解法[3]：由结构的对称性，在铅垂载荷F 作用下，根据对称性，可知02=N ，然后
由静力平衡条件可求得上述结果。

2-28 两刚性横梁AB 和CD 相距200mm ，用钢螺栓1，2联结，弹性模量E 1＝E 2＝200GPa 。

1. 如将长度为200.2mm ，截面积A ＝600mm 2的铜杆3安装在图示位置，E 3＝100GPa 。

试求所需的拉力F 为多少？ 2. 如杆3安装好后将力F 去掉，这时各杆的应力将为多少？
解：1. 要安装杆3，杆1和杆2需伸长 2.02===∆EA Fl EA Nl mm 所需拉力F 为 4.312.04
2001010200222
3=⨯⨯⨯π⨯⨯⨯=∆=l EA F kN
2. 为一次超静定问题 静力平衡方程 N 1 = N 2
N 3 = 2N 1
变形几何方程 ｜Δl 1｜+｜Δl 3｜=Δ= 0.2 mm
F F B
A A N x A 1 l 1
物理方程 1111A E l
N l =
∆， 3
333A E l N l =∆ 解联立方程并代入数据得
N 1 = N 2 = 10.3 kN （拉力）
N 3 = 2N 1 = 20.6 kN （压力） 各杆的应力
131104103.102
3112
1
=⨯⨯⨯===πσσA N MPa （拉应力） 3.34600
106.203333
=⨯==σA N MPa （压应力） 2-29 一结构如图所示。

刚性杆吊在材料相同的钢杆1和2上，两杆横截面面积比为
A 1/A 2 = 2，弹性模量E = 200GPa 。

制造时杆1短了δ= 0.1mm 。

杆1和刚性杆连接后，再加载荷F =120kN 。

已知许用应力［ζ］＝160MPa ，试选择各杆的面积。

解：是一次超静定问题 1. 静力平衡方程
∑
=0A M 03221=-+aF aN aN （1）
2. 变形几何方程
）
（δ-∆=∆122l l （2） 3. 物理方程
2
2
22221
1
1111,C N EA l N l C N EA l N l ==
∆==
∆（3）
4. 联立求解得
2
11
21
22
12/23,
/4143C C C F N C C C F N +-=
++=
δδ （4）
将A 1=2A 2 代入式（4）得
δδl
EA F N l EA F N 32,342
221-=+
= 5．强度计算
由⇒≤+=
=][321111σδ
σl
E A
F A N A 1≥ 8183/2][=-l
E F
δσ mm 2
由⇒≤-==
][322222σδ
σl
E A
F A N A 2≥
6923/2][=+l
E F
δσ mm 2
为满足强度条件和A 1=2A 2 ，应选取 A 2 = 692 mm 2 ，A 1 =2×692 = 1384 mm 2 。

2-30 刚性板重量为32kN ，由三根立柱支承，长度均为4m ，左右两根为混凝土柱，弹性
模量E 1=20GPa ，横截面面积A 1= 8×104mm 2
；中间一根为木柱，弹性模量E 2=12GPa ，横截面面积A 2 = 4×104mm 2。

试求每根立柱所受的压力。

解：是一次超静定问题 1. 静力平衡方程 2N 1 + N 2 = 32 2. 变形几何方程 Δl 1 =Δl 2 3. 物理方程 2
222111
1,A E l
N l A E l N l =∆=∆
解联立方程得 kN A E A E F
N kN A E A E F
N 2.4/21,
9.13/22
21121
1221=+=
=+=
2-31 阶梯形钢杆如图所示，于温度t 0 =15℃时两端固定在刚性支承上，杆内无应力。

试
求当温度升至55℃时，杆内的最大应力。

已知材料的E =200GPa ，α=12.5×10-6 K -1，两段横
截面积A 1= 20×102mm 2，A 2 = 10×102mm 2。

解：解除固定端约束，两端支反力均为F ，是一次超静定问题。

变形几何方程 0=∆+∆N T l l
物理方程 ）
（155********.12l 6T -⨯⨯⨯=∆=∆-T l α = 1.5 mm 111EA l N l N =
∆+⎪⎭
⎫
⎝⎛
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2323221
122210101020010001020102002000F EA l EA l F EA l N 解联立方程得 F = 150 kN 杆的最大应力在第2段
1501000
10150322max =⨯==σA N MPa （压应力）
*2-32 钢制薄壁圆环加热到60℃，然后密合地套在温度为15℃的铜制薄壁圆环上，如图所示。

钢环的壁厚t 1=1mm ，铜环的壁厚t 2=4mm ，套合时钢环的内径和铜环的外径均为100mm 。

已知钢环和铜环的弹性模量分别为E 1 = 200GPa ，E 2 = 100GPa ，线膨胀系数分别为
α1=12.5×10-6 K -1 ，α2=16.5×10-6 K -1。

试求套合后，温度降至15℃时钢环和铜环横截面上的应力。

1 1 2
解法[1]：在高温套合时，两环无应力。

当温度下降时，钢环的收缩受到铜环制约，这样，钢环受均匀内压，铜环受均匀外压，两环所受的压力都等于q ，如图（b ）所示。

将两环截分为二 ，如图（c ）所示，由半个环的平衡可知，两环横截面上的周向内力相等，即 N
1 = N 2
其中钢环的内力N 1为拉力，铜环的内力N 2为压力。

这是一次超静定问题。

由例2-7可知承受均匀内压（或外压）薄壁圆环的周向应力为t
qD
2=σ。

因此，钢环的周向拉应力12t qD =
σ
钢，铜环的周向压应力2
2t qD
=σ铜。

冷却时，两环一起收缩而不分离，两环接触处径向位移相等。

由于t << D ，可以近似认为两环的平均直径都等于D ，并不计厚度的影响。

这样两环的周向线应变相等 21t t ε=ε 即变形几何条件。

两环的物理条件：
钢环： 内压引起的周向线应变 1
11
12t E qD
E t =
σ=
ε'钢 （拉应变） 总周向线应变 1
110112)(t E qD
T T t +-α-=ε 铜环： 外压引起的周向线应变 2
22
22t E qD
E t =
σ=
ε'铜 （压应变） 总周向线应变 2
222t E qD
t -=ε 把物理条件代入几何条件中，得到
=+-α-111012)(t E qD T T 2
22t E qD
- 解之得 )
()(222112
121101t E t E D t t E E T T q +-α=
两环的应力 钢环： 12t qD =σ钢
754
10100110200410100102001560105.122)(333362*********=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=+-α=-）（t E t E t E E T T MPa （b ） （a ） （c ）
铜环：
22t qD =σ铜
75.184
10100110200110100102001560105.122)(333362*********=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=+-α=-）（t E t E t E E T T Mpa 解法[2]：设两环平均直径为D ，钢环在15℃时的过盈量为∆，装配后，钢环内径增大∆D 1，铜环外径减小∆D 2，环间的压强为q ，钢环套装温差∆t=45℃,则变形几何方程为 ∆D ＝∆D 1＋∆D 2， （1）
物理方程为
∆＝α1∆t D =0.563 mm （2）
2
22
21
12
12,2t E qD D t E qD D =∆=
∆ （3）
解联立方程得 2
2112
12112t E t E t t E E D t q +∆=
α
MPa tE t qD MPa tE t qD 75.183
1
2,7532221221111=∆===∆==ασασ
*2-33 钢螺栓从铜管中通过，如图所示。

螺帽每转一圈沿螺栓轴向移动h =1.5mm ，螺
栓的横截面积A 1= 150mm 2 ，弹性模量E 1=200GPa ；铜管的横截面积A 2= 250mm 2
，弹性模量E 2=100GPa ，铜管的长度l =300mm 。

试求：1. 螺帽转1/4圈后，螺栓与铜管中应力； 2. 螺帽转1/4圈后，结构的温度升高100℃，螺栓与铜管中应力的变化。

已知钢的线膨胀系数α1=12.5×10-6 K -1，铜的线膨胀系数α2=16.5×10-6 K -1。

解：1. 当旋紧螺帽时，铜管受压，同 时使螺栓受拉，用m -m 截面将螺栓与铜 管截开，画出左部分的受力图，如图（b ） 所示，由左部分的平衡条件得
s c N N =
式中N c 为铜管中的压力，N s 为螺栓中的 拉力。

是一次超静定问题。

设想螺栓不变形，螺帽转1/4圈后，铜 管被压缩h /4，即铜管的变形Δl c = h /4。

再考
虑到螺栓的伸长变形s ∆后，得到变形几何条件
Δl c +Δl s = h /4
代入物理条件得 4
2211h
A E N A E N c S =+ 即
4
5
.125010100300
1501020030033=
⨯⨯⨯+
⨯⨯⨯C s N N
（a
N C （b C
S
解得
s c N N == 17.05 kN
螺栓应力 7.1131501005.1731=⨯==σA N s 钢
MPa （拉应力）
铜管应力 2.68250
1005.1732=⨯==σA N c 铜
MPa （压应力） 2. 结构的温度升高后，螺栓和铜管将伸长，由于铜的线膨胀系数比钢的大，使两者的伸
长互相制约，螺栓将受到拉力s
N '，铜管受压力c N '。

由平衡条件得c s N N '='。

螺栓和铜管的伸长量相等，变形几何条件为
c s '∆='∆
物理条件： 111A E N T s s '+∆α='∆ ； 2
22A E N T c c
'-∆α='∆ 将物理条件代入几何条件得
='+∆α111A E N T s 2
22A E N T c
'-∆α 即 150
10200300100300105.1236⨯⨯⨯'+
⨯⨯⨯-s
N 250
10100300100300105.1636⨯⨯⨯'-
⨯⨯⨯=-c
N
解得
s c
N N '='= 5.46 kN 由于结构的温度升高，螺栓和铜管中产生的应力分别为 4.361501046.531=⨯='=σ∆A N s 钢
MPa （拉应力） 8.21250
1046.532=⨯='=σ∆A N c 铜
MPa （压应力） 解法[2]：设温升∆ t =100℃后，在自由热膨胀下铜管比钢螺栓长∆，装配后铜管缩短∆l 2，
钢螺栓伸长∆l 1，则可转化为装配问题。

变形几何方程 ∆ l 1＋∆ l 2＝∆ 与问题（1）相同，将问题（1）中的h/4用∆＝(α1－α1)∆t l =0.12 mm 替换，则可直接求出螺栓和铜管中由于温升所产生的应力变化为
MPa MPa 8.21,4.3621=∆=∆σσ。