第5章 机械振动

dt 2
令
2＝ mgh
J
单摆或复摆在小角度摆动情况下， 经过近似处理，它们的运动方程与弹簧振 子的运动方程具有完全相同的数学形式。
O h C
P
例题
【例 题】 一质量为 m 的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平
衡位置附近的振动是简谐振动。
证 如图所示，以平衡位置 A 为原点，向下为 x 轴正向，设某一 瞬时振子的坐标为 x 。
5.1.2 微振动的简谐近似
一端固定且不可伸长的细线与可视为质的物体相连，当它在竖
直平面内作小角度( ≤5°)摆动时，该系统称为单摆，如图所示。
单摆过 C 点的力矩：
M＝－mglsin 很小，近似简化
C l
M＝－mgl
T
摆球的动力学方程：
P sin m
－mgl＝ml
2
d2
dt 2
解 设此简谐振动为
x＝Acos( t+0 )
x cm 4
A＝0.4 m,只需求出0 和 。
2
P
0
从图中分析可知，t＝0 时，x0＝－2cm ， 2
1
ts
且
v0＝
dx dt
＜0
(由曲线的斜率决定)，
4
代入振动方程，有
－2＝4cos0
故 0＝
2π 3
，又由
v0＝－ Asin0＜0

x0＝Acos0
－
v0

＝Asin0
注意：
A＝
x02

(
v0

)2
（1）振幅 A 是离开平衡位置的最大位移的绝对值，只能取正值； （2）振幅 A 确定了系统运动的范围。
5.2.2 描述简谐振动的三个重要参量
2. 周期、频率、圆频率
（1）周期 A：系统完成一次完全振动所需的时间。
Acos(t+0 )＝Acos(t+T )+0 ＝Acos(t+0+2π)
受到的弹力作用为
m k
F＝－kx
O
x x
5.1.1 弹簧振子模型
不计阻力时，则振子的运动微分方程为
－kx＝m
d2 dt
x
2
令
2＝ k
m
简谐振动的运动微分方程
则有
d2 x 2 x＝0
dt 2
①
如某力学系统的动力学方程可归结为式①的形式，且其中ω 仅决定
于振动系统本身的性质，则该系统的运动即为简谐振动。能满足式① 的系统，又可称为谐振子系统。
置就是系统的稳定平衡位置。
Ep
( x)＝Ep
(0)


dEp dx
x＝0
x

1 2

d 2 Ep dx2
x＝0
x2
L
考虑 dEp ＝0 且略去 x3 以上高阶项
dx
Ep
(x)
≈
Ep
(0)

1 2

d 2 Ep dx2
x＝0
x2
根据保守力与势能函数的关系 F＝－ dEp x ，将上式对 x 求导可得
后两者的共同速度为V0 ，则有
Mu0＝(m+M )V0
时的旋转矢量图。
解 设此简谐振动的振动方程为
x＝Acos( t+0 )
则其速度为
v＝
dx dt
＝－
Asin(
t
+0
)
将
A＝0.4
m,＝
2π T
＝π
和
t＝0
时，x0＝0.2
m，代入
x＝Acos( t+0 ) 得
0＝
π 3
例题
再由t＝0 时，v0＜0 的条件，得 v0＝－0.4sin0＜0 ，所以
如图所示，光滑水平面上的弹簧振子由质量为M 的木块和倔强系数
为 k 的轻弹簧构成。现有一个质量为m，速度为u0 的子弹射入静止的木
块后陷入其中，此时弹簧处于自由状态。（1）试写出该谐振子的振动方程；
（2）求出x＝ A 处系统的动能和势能。
2
u0
解 （1）子弹射入木块过程中，
M
k
m
x
水平方向动量守恒。设子弹陷入木块
O

P cos
令 2＝ g
P
l
d2 +2＝0 单摆的小角度摆动是简谐振动。
dt 2
5.1.2 微振动的简谐近似
复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。
如图所示，质心 C 在铅直位置时为平衡
位置，以质心 C 至轴心 的距离 h为摆长。
当 ≤5°时复摆的动力学方程为
－mgh＝J
d2
，得
sin0＞0
例题
因此只能取

＝
0
2π 3
。
再从图中分析，t＝1 s 时，x＝2 cm ,v＞0 ，代入振动方程有
2
＝4
cos(
+0
)＝4cos(
+
2π 3
)
即
cos( + 2π )＝ 1
32
所以 + 2 π＝5 π或 7 π (应注意这里不能取 π )。
333
3
因同时要满足v＝－ Asin( + 2π )＞0 ，即 sin( + 2π )＜0 ，
第5章 机 械 振 动
振动是一种普遍的运动形式
广义振动: 任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化。 机械振动: 物体在某固定位置附近的往复运动。
阻尼自由振动
振动

自由振动 受迫振动



无阻尼自由振动

无阻尼自由非谐振动
无阻尼自由谐振动(简谐振动)
共振
5.1
简谐振动的动力学特征
lO A
A
k(x l)
x
x mg
例题
物体在振动过程中的运动方程为
m
d2 dt
x
2
＝－k
(
x

l
)

mg
mg＝kl
m
d2 dt
x
2
＝－kx
d2 dt
x
2
+

2
x＝0
式中 2＝ k ，于是该系统作简谐振动。
m
若一个谐振子系统受到一个恒力(以使系统中不出现非线性因素
为限)作用，只要将其坐标原点移至恒力作用下新的平衡位置，则该系
x
x
4
A 2 b t 1s 2
2 3

a t 0
O
5 3

A2
P 0
a 2
1
4
t
5.3
简谐振动的能量
返回
5.3 简谐振动的能量
以弹簧振子为例，得到能量的一般表示式：
x＝Acos( t+0 ) v＝－ Asin( t+0 )
动能
Ek＝
1 2
mv
2＝
1 2
m
2
A2sin
2
(
t＋0
动的初相位 0 ，然后使 A 以等于角频率 的角速度在平面上绕 O 点作逆时针转
动，这样作出的矢量称为旋转矢量。
v A t 0 t 0 2
a 2A A
t 0
O 0 x
x
5.2.3 简谐振动的旋转矢量表示法
x＝Acos( t+0 ) 旋转矢量A任一时刻在X轴上的投影
（上） (第5版)
主编 赵近芳 王登龙
第一篇
——CONTENTS——
力学基础
第1章
第2章
第3章
第4章
第5章
第6章
质点运动学 质点动力学 刚体力学基础 狭义相对论 机械振动 机械波
第5章 机 械 振 动
目录
——CONTENTS——
1 简谐振动的动力学特征 2 简谐振动的运动学 3 简谐振动的能量 4 简谐振动的合成 *振动的频谱分析 5 阻尼振动 受迫振动 共振
统仍是一个与原系统动力学特征相同的谐振子系统。此时的回复力
－k(x l) mg 称为准弹性力。
5.2 简谐振动的运动学
返回
5.2.1 简谐振动的运动学方程
微分方程
d2 dt
x
2
+

2
x＝0
简谐振动的运动学方程 x＝Acos( t+0 )
cos( t+0 )＝sin
令

＝0
+
2
返回
5.1 简谐振动的动力学特征
简谐振动：一个做往复运动的物体，偏离平衡位置的位移 x (或
角位移 ) 随时间 t 按余弦(或正弦)规律变化的振动 x＝Acos(t+0 )
x t
x 可作广义理解:
位移、体积、电流、场强、温度……
5.1.1 弹簧振子模型
将轻弹簧（质量可忽略不计）一端固定，另一端与质量为m 的物体(可
)＝
1 2
kA2sin
2
(t
+0
)
势能
Ep＝
1 2
kx
2＝
1 2
kA2
cos2
(t
+0
)
E
O
总能量
E
＝
1 2
kA2＝
1 2
m
2
A2＝
1 2
mvm2
x
O
E
=
1 2
kA2
Ep
Ek t
x Acost t
5.3 简谐振动的能量
动能和势能在一个周期内的平均值为
Ek＝T1
T 0
Ek
(t)dt
A2 O
x1
T t
＝2－1
同相
当 ＝2k 时 ，两振动步调一致，称同相。
x A1
x2
当 ＝ (2k 1) 时，两振动步调相反， A2
T
称反相。
O
t
x1
当 0＜＜ 时，2 超前于1 或 1 滞后于 2
反相
5.2.2 描述简谐振动的三个重要参量
初相位： t＝0 时的相位 0 ，由初始条件 x0 ，v0 确定：
由

x0＝Acos0
－
v0

＝Asin0
可得
tan0＝－
v0
x0
代入
x＝Acos( t+0 ) v＝－ Asin( t+0 )
初始相位值
0＝arctan(－
v0
x0
)
5.2.3 简谐振动的旋转矢量表示法
从坐标原点 O(平衡位置)画一矢 量 A ，使它的模等于简谐振动的振幅 A ， 并令 t＝0 时 A 与 x 轴的夹角等于简谐振
dx
F ＝－
d2 Ep dx 2
x＝0
x(＝－kx)
5.3 简谐振动的能量
一个微振动系统一般都可以当作谐振动处理。
Ep 平衡位置
A原子 r0 B原子
O
r
（a)双原子分子的势能曲线
Ep
O
x
（b)晶格离子的势能曲线
这些原子或离子在其平衡位置附近的振动都可当作简谐振动。
例题
【例 题】
＝1 T
T 0
1 2
kA2sin 2
(+0
)dt＝
1 4
kA2
同理，有 即
Ep＝
1 4
kA2
Ek＝Ep＝
1 4
kA2＝
1 2
E
动能和势能在一个周期内的平均值相等，且均等于总能量的一半。
5.3 简谐振动的能量
实际的振动系统，可以通过讨论它的势能曲线来研究其能否做简谐振
动近似处理。
系统沿 x 轴振动，势能函数为 Ep (x) ，势能曲线存在极小值，该位
0＝
π 3
于是此简谐振动的振动方程为
x＝0.4cos(π t + π ) (m) 3
t＝0 时的旋转矢量图如图所示。


3
O
0.4 x m
例题
补充例题
一物体作简谐振动，振动方程为x＝Acos( t + π / 2)，在 t＝T /4
时，物体的加速度为
A. － 1 2 A 2
2
B. 1 2 A 2
故应取+
2
π＝
5
π
3
，即 ＝π，所以振动方程为
3
33
x＝4cos(πt+ 2 π) cm
3
例题
用旋转矢量法也可以简单地求出简谐振动的0 和 。
如图所示，在 x-t 曲线的左侧作 Ox 轴与位移坐标轴平行，由振 动曲线可知，a、b 两点对应于t＝0s 、1 s 时刻的振动状态，可确定
uur uur 这两个时刻旋转矢量的位置分别为 Oa 和 Ob 。
(
t
+0
+
2
)
x＝Asin( t+)
5.2.2 描述简谐振动的三个重要参量
1. 振幅 A
振幅：物体偏离平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。
振幅 A由初始条件 x0 、v0 决定：
x＝Acos(t+0 ) t＝0,x＝x0,v＝v0

v＝
Asin
(t
+0
)
取二式平方和，即求出振幅
＝ g
l
复摆
＝ mgh
J
T＝2π m k
T＝2π l g
T＝2π J mgh
5.2.2 描述简谐振动的三个重要参量
3. 相位和初相位
在 A 和 确定之后，能唯一确定系统运动状态，且又能反映其周期性
的是相位：
＝ t +0
x
A1
x2
相位是描述系统的机械运动状态的物理量。 相位差：两振动相位之差。
2
C. － 1 3A2
2
D. 1 3A2
2
答：选（ B ） Q a＝d2x＝－A2cos( t+ π )
dt 2
4
t＝T ＝2π 1＝ π
4 4 2 a＝－A2cos( π + π )＝1
2 4 2
2 A 2
例题
【例 题】
已知简谐振动曲线如图所示，试写出其振动方程。
T＝ 2π
（2）频率 ：系统单位时间内所完成的完全振动的次数。
＝ 1 ＝
T 2π
（3）圆频率： 2 秒内完成的完全振动的次数。 ＝ 2π＝2π
T
因为它们仅由振动系统的力学性质所决定，故亦称固有周期（频率、 圆频率）。
5.2.2 描述简谐振动的三个重要参量
弹簧振子
＝ k
m
单摆
视为质点)相连，若该系统在振动过程中弹簧的形变较小（即形变弹簧作用于 物体的力总是满足胡克定律），那么，这样的弹簧-物体系统称为弹簧振子。
弹簧振子如图所示，将弹簧振 子水平放置，使振子在水平光滑支
撑面上振动。以弹簧处于自然状态
（弹簧既未伸长也未压缩的状态）
的稳定平衡位置为坐标原点，当振
子偏离平衡位置的位移为 x 时，其
简谐振动的速度方程
Acos( t+0+ )＝－ Asin( t+0 ) 速度V在X轴上的投影
2 Acos( t+0 +)＝－2 Acos( t+0 )＝－2x