初三数学知识梳理讲义

初三数学讲义
第一讲将军饮马之线段和最小值问题
领跑一线考点定位
知识点一轴对称性质
成轴对称的两个图形全等，其对应边相等，对应角相等.
知识点二“将军饮马”
解决线段最值问题的实质是利用轴对称性质“化折为直”，转化为两点之间线段最短或者点到直线垂线段最短.
将军饮马基础模型
如图，在直线异侧两个点A 和B ，在直线上求一点P ，使得PA+PB 最短.
做法：1.找出定点和动点
2.找河（即动点出现两次点所在直线或线段）
3.做对称（做定点的对称点）
4.连线计算
典例分析
例1（2016 某一中滨河分校模拟）
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）
A．BC B．CE C．AD D．AC
思路点拨：因为AB=AC得△ABC为等腰三角形，根据等腰
三角形“三线合一”，AD为底边中线，也为BC边上的高线，
易得点B、点C关于AD对称.若求BP+EP最小，即求PE+PC
最小值，再根据三角形三边关系得PE+PC最小值，即求线段
CE的长度.
解析：如图，连接PC，
△AB＝AC，AD为中线，
△点B、点C关于AD对称
△PB＝PC，
△PB+PE＝PC+PE，
在△CPE中，PC+PE≥CE
△PE+PC最小值为CE长度，
△PB+PE最小值为CE长度，
故选B.
例2（2015陕西）
如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD△BC，CD△BC，△ABC＝60°，AD＝8，
BC＝12．如图，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，
请你求出△BNC周长的最小值.
思路点拨：作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，
C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC＝
BN+NC′，BC′＝BN′+C′N′，△BN+NC′≥BC′，则可得到
△BNC周长的最小值，即BN+NC′+BC＝BC′+BC.
解析：过点A作AE△BC于E，如图所示：
△AD△BC，AE△BC，△ABC＝60°，
△CE＝AD＝8，
△BE＝4，AE＝BE•3＝43
△CC′＝2CD＝2AE＝83
△BC＝12，
△BC22421
′
BC CC
+=
△△BNC周长的最小值为421+12.
实战演练
1.如图，菱形ABCD中，AB＝2，△BAD＝60°，E是AB的中点，
P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．
2.如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，点P是
对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为．
3.如图，菱形ABCD的边长为6，M、N分别是边BC、CD上的点，且MC=2MB，ND=2NC，点P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是________．
4.如图，正方形ABCD的面积为18,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，求PD + PE的最小值.
5.如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是△BAC的角平分线，E是AD上的动点，F 是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为．
6.如图，正方形ABCD的边长是2，△DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．
7.如图，在锐角△ABC中，AB＝√2，△BAC＝45°，△BAC的平分线交BC于点D，M、N分
别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．
8.如图，直线l外有一点D，D到l的距离为3，让腰长为2的等腰直角三角板ABC的腰AB 在直线l上滑动，则AD+DC的最小值为.
9.如图,在菱形ABCD中,AB=10,∠ABC=60°,E为BC上一动点, P为BD上一动点,则PE+PC最小值为_______.
10.如图，矩形ABCD中，AD＝3，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD 上的动点，则AQ+QP的最小值是_______.
第二讲 折叠求长度问题
知识点一
折叠是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 解题步骤
知识点二
1. 找对应边、对应角
2. 设未知数（一般设所求边或其对应相等边）
3. 利用勾股定理列方程
4. 计算
典例分析
例1.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在BC 边上，将△DCE 沿DE 折叠，使点C 恰好落在对角线BD 上的点F 处，求DE 的长．
解：△四边形ABCD 为矩形，
△AB ＝CD ，AD ＝BC ，△DCB ＝90°，
△AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，
在Rt△BCD 中，BD ＝222286AC AB +=+＝10，
由于折叠△DFE ＝△DCB ＝90°，DF ＝DC ＝6，EF ＝EC ，
△△BFE ＝180°−△DFE ＝90°，
设EC ＝x ，则BE ＝8−x ，
在Rt△BEF 中，由勾股定理得：BE2＝EF 2＋BF 2，
△（8−x ）2＝x 2＋42，
解得：x ＝3，即：EC ＝3，
在Rt△DEC 中，由勾股定理得：DE 2＝CE 2＋DC 2，
△DE ＝5363DC CE 2222=+=+
例2.如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上．若AB ＝6，BC ＝9，求BF 的长．
解：△将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C′上
△BC'＝2
1AB ＝3，CF ＝C'F 在Rt△BC'F 中，C'F 2＝BF 2＋C'B 2，
△CF 2＝（9−CF ）2＋9
△CF ＝5
△BF ＝4
1.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，点E 在AB 边上，EF △AC 于点F ，连接EC ，AF ＝3，△EFC 的周长为12，则EC 的长为（ ）
A ．
B ．3
C ．5
D ．6
2.（2017秋•长岭县月考）如图，正方形ABCD 中，AC 是对角线，AE 平分△BAC ，EF △AC 于点F ，求证：BE ＝CF ．
3.（2016春•潮南区期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得
到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．
（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；
（2）若AB＝3，AD＝4，求线段GC的长．
4.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，
折痕为EF，则△ABE的面积为（）
5.如图，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若△A＝60°，AD＝6，
AB＝12，则AE的长为．
6.如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，且AC＝8，BC＝6．点P是边AC上一动点，以直线
BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP 的长是．
7.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE
与CD相交于点O，BE与DC相交于G点，且OE＝OD．
（1）求证：AP＝DG；
（2）求AP的长度．
8.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F，点B的对应点为B′．
（1）证明：AE＝CF；
（2）若AD＝12，DC＝18，求DF的长．
9．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，求△BDE的面积．
10．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于F．（1）求证：△AFE△△CFD；
（2）若AB＝3，BC＝6，求图中阴影部分的面积．
第三讲菱形
知识点：
菱形定义：有一组临边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形性质：△具有平行四边形的所有性质。

△四条边都相等；
△两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

△是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是两条对角线所在直线。

特殊菱形：含有60°和120°的菱形。

典例分析
例1.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，则菱形ABCD的周长是（）
A．4B．8C．12D．16
解：△E、F分别是AB、AC的中点，
△EF是△ABC的中位线，
△BC＝2EF＝2×2＝4，
△菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
故选：D．
例2.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，若EF＝3，BD＝8，则菱形ABCD的周长为（）
A．5B．14C．20D．28
【解答】解：△四边形ABCD是菱形，
△AB＝BC＝CD＝AD，AC△BD，OA＝AC，OB＝BD＝4，
△△AOB＝90°，
△E、F分别是AB、BC边上的中点，
△EF是△ABC的中位线，
△AC＝2EF＝6，
△OA＝3，
△AB＝＝5，
△菱形ABCD的周长＝4AB＝20；
故选：C．
例3.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE△BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（）
A．4B．4.5C．8D．9
解：△四边形ABCD是菱形，
△OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD△AC，
△BD＝2OB＝12，
△S菱形ABCD═AC×BD＝54，
△AC＝9，
△AE△BC，
△△AEC＝90°，
△OE＝AC＝4.5，
故选：B．
实战演练
1.下面性质中，菱形不一定具备的是（）
A．四条边都相等
B．每一条对角线平分一组对角
C．邻角互补
D．对角线相等
2.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH△AB于点H，连接OH，若
OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）
A．4B．8C．D．6
3．在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝12，则此菱形的面积是（）
A．48B．96C．60D．120
4．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（）
A．5B．20C．24D．32
5．在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC＝10，BD＝24，则菱形的面积是（）A．100B．52C．120D．48
6．一个菱形的边长为5，两条对角线的长度之和为14，则此菱形的面积为（）A．20B．24C．28D．32
7．如图，菱形ABCD的边长为2，△B＝45°，AE△BC，则这个菱形的面积是（）
A．4B．8C．D．
8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若周长为20，BD＝8，则AC的长是（）
A．3B．4C．5D．6
9．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH△AB于点H．则DH＝（）
A．6B．C．D．5
10．如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，DH△AB于点H，则BH的长为（）
A．1B．C．D．
11．若菱形的一条边长为5cm，则这个菱形的周长为（）
A．20cm B．18cm C．16cm D．12cm
12．菱形的周长为8厘米，两相邻角度数比是1：2，则菱形的面积是（）平方厘米．A．2B．2C．4D．4
13．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH△AB于H，则DH＝（）
A．B．C．12D．24
14．菱形ABCD的两条对角线的长分别为10和24，则边AB的长为（）A．10B．12C．13D．17
15．如图，菱形ABCD对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形高DE长为（）
A．5cm B．10cm C．4.8cm D．9.6cm
16．如图，△ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分△BAD，DP△AC．CP△BD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝6，求OP的长．
17．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE△AB，连结CE．（1）求证：△ECB＝90°；
（2）若AE═ED＝1时，求菱形的边长．
18．如图，在四边形ABCD中，AD△BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．。