抽样定理

2 X 2Y (4 XY )(4 Bx By ) 16 XYBx By 1 (2 B ) 1 (2 B ) x y
式中 XY 表示函数在空域覆盖的面积, Bx B y 表示函数在频 域中覆盖的面积。在该区域的函数可由数目为 XYBx By 的抽样值来近似表示。 问题：为什么是近似？抽样定理不是准确的吗？ 空间带宽积 SW 就定义为函数在空域和频域中所占有的面积 之积： SW XYB B x y 15
这是二维傅里叶变换的特点，另一个变量是隐含着的。
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抽样定理例题（1.8）
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如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间 f x
f y统输入为非限带函数 g x, y ，输出 为 g ' x, y。证明，存在一个由脉冲的方形阵列构成的抽样函 数 g ' x, y，它作为等效输入，可产生相同的输出 g ' x, y ，并请 ' 确定 g x, y 。 这一个习题也有重要的实际意义，因为通常的光学成象系统都 是空间不变线性系统的限带低通成象系统。无论输入函数是否 是空间限带函数，其输出总是限带函数。那么在对非限带函数 的图象进行成象操作时，是否可以用原图象的抽样来替代就是 一个具有实际意义的问题。抽样定理并没有给出回答，本题的 结果却给出了肯定的答案，这使我们可以在输入图象是非限带 20 函数空间图象时，也可以进行抽样操作，不影响成象的结果。
F L( x) F δ( x) h( x, y) ( f y )H ( f x , f y ) H ( f x ,0)
这就是系统传递函数沿 f x 轴的截面分布 证毕。
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抽样定理例题（1）解续
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这里要注意的一点是
F x f y
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抽样定理例题（1）解
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证明： f x, y x 1 线脉冲实质上也是二维的函数，只是沿 y 方向函数值不 变，是常数1。
系统对线脉冲的输出响应，即线响应也是二维的函数，可 表示为 L x L x x h x, y 线响应的一维傅里叶变换则为
f x Bx
，
f y B y 之外恒为零，故有
输入函数的空间频谱为 A0 f x , f y ，输出函数的空间频谱则可 化为 A f , f A f , f H f , f
i x y 0 x y x y
fx H f x , f y H f x , f y rect 2B x
梳状函数是 函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分 布在平面 x, y上在 x ， y 两方向上间距为 X 和 Y 的 函数 与该函数的乘积 任何函数与 函数相乘的结果仍然是 函数，只是 函数 的“大小”要被该函数在 函数位置上的函数值所调制。 换句话说，每个 函数下的体积正比于该点函数的数值
空间带宽积的意义
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空间带宽积描述空间信号（如图象，场分布）的信息量，也 可用来描述成象系统、光信息处理系统的信息容量，即传递 与处理信息的能力。 空间带宽积决定了图象最低必须分辨的象素数，如数码相机 的技术指标 空间带宽积表达图象的自由度或自由参数数 图象是实函数，每一个抽样值为一个实数，自由度为

y com b g x, y Y

n m
g nX , m Y x nX , y m Y
4 Bx By sinc 2 Bx x sinc 2By y
f f h x, y F rect x rect y 2B 2 Bx y
1
A f
0
x
, f y
1
fy fx F A0 f x , f y * F rect 2B rect 2 B x y U 0 x, y * 4 B x B y sinc2 B x x sinc2 B y y
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抽样定理证明图解（1）
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抽样定理证明图解（2）
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抽样频率为奈奎斯特频率一半时
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坐标点值和斜率抽样：既要取其抽样点上的数值，由要取 其导数值；
交叉抽样：在抽样点左右取两个抽样值。
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空间带宽积
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若限带函数 g ( x, y ) 在频域中 f x Bx , f y B y 以外恒为 零，根据抽样定理，函数在空域中的范围内抽样数至少为
1 2B x X
1 2B y Y
X 2Bx
Y 2By
或者说抽样间隔必须满足
式中表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特 （Nyquist）抽样间隔
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原函数频谱的复原
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要原函数的复原首先要恢复其频谱 在满足奈奎斯特抽样间隔的情况下，只要用宽度 和 , 位于原点的矩形函数去乘抽样函数的频谱就可得 B y Bx 到原来函数的频谱。在频率域进行的这种操作去掉了部分 频谱成份，常常称作“滤波” 用频域中宽度 Bx 和 By
抽样定理
空间-带宽积
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1
抽样定理的由来和意义
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实际的宏观物理过程都是连续变化的，物理量的空间分布 也是连续变化的。
在今天的数字时代，连续变化的物理量要用它的一些离散 分布的采样值来表示，而且这些采样值的表达方式也是离 散的 这些离散的数字表示的物理量的含义或者说包含的信息量 与原先的连续变化的物理量是否相同？ 是否可以由这些抽样值准确恢复一个连续的原函数？
fy rect 2 B y

fy rect 2 B y fy fx H f x , f y rect f x A0 f x , f y rect rect 2B 2B y 2Bx x fx A0 f x , f y H f x , f y rect 2B x
y comb G Y
f ,f
x y
fx
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抽样函数的原函数的复原图
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奈奎斯特（Nyquist）抽样间隔
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假如函数 g ( x, y ) 是限带函数，即它的频谱仅在频率平面上 一个有限区域内不为零 若包围该区域的最小矩形在 f x 和 f y 方向上的宽度分别为 Bx 和 B y 欲使图中周期性复现的函数频谱不会相互混叠，必须使
抽样定理例题（ 1.8 ）解法一
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本题给出了一个传递函数为限带函数 需要证明两个不同的输入 U 0 和 x, y 的输出 ，即要证明 x, y U i和 U i x, y
x, y U i x, y U 0
Hfx , f y
的系统， 具有相等 x, y U0
这里提供一种逆向的思维，我们可以从与输入函数对 应的输出函数的频谱中制造出一个具有相同输出频谱 的输入限带函数，这并不困难，进一步再对这样一个 函数进行抽样就一定能够得到需要的等效输入。
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抽样定理例题（ 1.8 ）解
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设系统的传递函数为 H f x , f y ，因为它在频率域的区间
f H f x , f y rect x 2 Bx
的位于原点的矩形函数为

fy rect 2B y
滤波过程可写作
f Gs f x , f y rect x 2 Bx
fy rect 2B y
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新的函数显然是限带输入函数，且它通过同样系统会得到同 样的输出，这样一个限带输入函数是可以满足抽样定理的， 因此可以抽样得到需要的可作为等效输入的由脉冲的方形阵 列构成的抽样函数
但是上面只得出了其频谱，我们可以用反变换的方法得到原 函数 1
U 0 x, y F
N SW XYBx By
当图象是复函数，每一个抽样值为一个复数，要由两个实数 表示。自由度增大一倍， N SW XYB B x y
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抽样定理例题（1.7）
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若二维不变线性系统的输入是“线脉冲” f x, y x ， 系统对线脉冲的输出响应称为线响应 Lx 。如果系统的 传递函数为 H f x , ，求证：线响应的一维傅里叶变换 等于系统传递函数沿 f x 轴的截面分布 H f x , f y 。
本书用的是惠特克—香农（ Whittaker-Shannon）抽样定理 的二维形式
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函数的抽样
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最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘 如果被抽样的函数为 g x, y ，抽样函数可表示为 g s x, y
x y g s x, y com b com b g x, y X Y
可见用sinc函数做为插值函数可以准确恢复原函数(当然要 满足必要的条件)
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抽样定理的意义
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抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不 知道的非抽样点函数值，在数学上就是插值公式 抽样定理的重要意义在于它表明，准确的插值是存在的。 也就是说，由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现 一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不 丢失任何信息 ——因此抽样定理是数字化社会的基础，其重要意义怎么 讲也不过分
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抽样函数
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抽样函数的频谱
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利用卷积定理和梳状函数的傅里叶变换，可计算抽样函数 的频谱
x Gs f x , f y F comb X

XYcomb Xf x comb Yf y G f x , f y n m , f y G fx , f y X Y n m n m G fx , f y X Y n m
fy rect 2 B y

fy rect 2B y
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新的函数的空间频谱可以定义为
fx f x , f y A0 f x , f y rect A0 2B x

抽样定理例题（ 1.8 ）解续1
x y


若取最大允许的抽样间隔，即
n m g x, y g , n m 2 Bx 2 By

X
2Bx
，并且
Y
2By
，则

n m sinc 2 Bx x sinc 2 B y y 2 B 2 By x
结果得到无数 函数与sinc函数的卷积和
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原函数的复原(2)
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最后卷积的结果,原函数为
g x, y 4 Bx By XY
n m
g nX , mY sinc 2B x nX sinc 2B y mY
G fx , f y
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原函数的复原(1)
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做反变换就可直接得到原函数
根据卷积定理，在空间域得到 g s x, y hx, y g x, y
对上式左边两个因子分别进行化简有
x g s x, y com b X XY