面面垂直的判定习题课
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判定方法多样性
面面垂直的判定方法有多种，包括定义法、向量法、三垂线定理及其逆定理等，这些方法 各有特点，适用于不同的问题情境。
学生掌握情况
学生在前面已经学习了线面垂直、面面平行的判定和性质，对于空间图形的认知有了一定 的基础，但对于面面垂直的判定方法可能还不够熟练，需要通过习题课进行巩固和提高。
教学目标
m⊥n。
习题三
已知三棱锥A-BCD中， AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5, 试判断AB与CD是否垂直，并说
明理由。
自测题
自测题一
已知平面α内有一个四 边形ABCD，其中 AB=BC=CD=DA=a， 且AC⊥BD。若平面α外 有一点P到平面α的距离 为h，且 PA=PB=PC=PD。试求 h的最大值。
注意事项
准确理解题意
规范书写过程
灵活运用知识
及时总结反思
在解题前要认真审题，准 确理解题意和要求，避免 误解或遗漏重要信息。
在解题过程中要注意书写 规范，步骤清晰，逻辑严 密，方便检查和复查。
在解题时要灵活运用所学 知识，善于将复杂问题转 化为简单问题进行处理。
在解题后要及时总结反思， 归纳解题方法和技巧，提高
根据面面垂直的判定定理，若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂 直。因此，由已知条件$l perp beta$且$l$在$alpha$内，可得$alpha perp beta$。
例题二：综合题型
题目描述
在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩 形，侧棱$PA perp$底面$ABCD$，且$PA = AB = 1$，$AD = sqrt{2}$，$E$是$PD$的 中点。求证：平面$AEB perp$平面$PCD$。
线与平面垂直的判定定理可知，若一条直线 同时垂直于平面内的两条相交直线，则该直 线与此平面垂直。因此，由上述推导可知，
$AE perp$平面$PCD$。又因为直线$AE
例题三：拓展题型
要点一
题目描述
在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，棱长为1。求证： 平面$AB_1C perp$平面$BC_1D_1D$。
要点二
解析过程
首先，由正方体的性质可知，对角线BD与AC互相垂直且 平分。又因为棱长相等，所以四边形$BC_1D_1D$是正方 形。因此，对角线BD与对角线BC_1互相垂直且平分。其 次，由已知条件可得，直线AB_1与直线BC_1相交于点B。 最后，由面面垂直的判定定理可知，若一个平面过另一个 平面的垂线且两平面有交点，则这两个平面垂直。因此， 由上述推导可知，平面AB_1C与平面BC_1D_1D垂直。
答案及解析
• 习题三答案：连接AC、BD交于点O，连接AO、BO、CO、DO。 由于AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5，我们可以得出 AO=BO=CO=DO。因此，点O是△ABC和△ACD的外心。又因 为AB=CD，所以点O也是线段AB、CD的中点。由此可得 AB⊥CD。
答案及解析
• 自测题一答案
如果一条直线与一个平面 垂直，那么这条直线所在 的任意平面也与这个平面 垂直。
性质三
如果两个平面都垂直于第 三个平面，那么这两个平 面互相平行或在同一条直 线上。
面面垂直的判定定理
判定定理一
如果一个平面的垂线与另一个平 面平行，那么这两个平面互相垂
直。
判定定理二
如果一个平面内的一条直线与另一 个平面垂直，且这条直线不在第一 个平面的边界上，那么这两个平面 互相垂直。
自测题二
已知四棱锥P-ABCD的 底面是边长为a的正方 形，侧面PAD是等边三 角形，且平面PAD⊥底 面ABCD。若E为PC的 中点，求证：DE⊥平面 PBC。
自测题三
已知正方体ABCDA'B'C'D'中，E、F分别 为棱AA'、CC'的中点。 求证：四边形BFDE是菱 形。
答案及解析
• 习题一答案
判定定理及其证明
介绍面面垂直的定义及符号表示，引导学 生理解其含义。
详细讲解面面垂直的判定定理，包括定义 法、向量法、三垂线定理及其逆定理等， 并给出严格的证明过程。
性质定理及其应用
典型例题解析
介绍面面垂直的性质定理，如两个平面垂 直则它们的法线也垂直等，并通过实例说 明其应用。
选取具有代表性的例题进行详细解析，帮 助学生掌握解题方法和技巧。
连接AC、BD交于点O连接A'C'、 B'D'交于点O'。由于E、F分别为 棱AA'、CC'的中点且ABCDA'B'C'D'是正方体，我们可以得 出四边形BFDE是平行四边形。又 因为BD=AC且AC∥A'C'，所以四 边形BFDE是菱形。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
学生们可以比较使用定义法、判定定理等方法判断面面垂直的难易程度、
适用范围以及准确性等方面的优劣。
02
分享解题思路与技巧
学生们可以分享自己在解题过程中采用的思路、方法以及技巧，如如何
寻找与已知垂直平面相交的直线、如何证明该直线与另一个平面垂直等。
03
探讨面面垂直在实际问题中的应用
学生们可以探讨面面垂直在实际问题中的应用，如建筑设计、机械制造
解题能力和思维水平。
05 互动环节：学生提问与讨 论
学生提问
如何判断两个平面是否垂直？
可以通过判断两个平面内的两条相交直线是否互相垂直来推断两个平面是否垂直 。
如何应用面面垂直，并证明该直线与另一个平面垂直，从 而证明两个平面垂直。
学生讨论
01
讨论不同方法判断面面垂直的优劣
面面垂直的判定习题课
contents
目录
• 引言 • 面面垂直的定义与性质 • 典型例题解析 • 解题思路与方法总结 • 互动环节：学生提问与讨论 • 课后作业与自测题
01 引言
课程背景
面面垂直是立体几何中的重要概念
在立体几何中，面面垂直是研究空间图形性质的基础，对于理解空间图形的结构、性质和 计算具有重要意义。
04 解题思路与方法总结
解题思路
观察图形特征
首先观察图形，判断是否存在 明显的垂直关系，如直线与平 面垂直、平面与平面垂直等。
寻找已知条件
分析题目中给出的已知条件，找出 与垂直关系相关的信息，如直线的 方向向量、平面的法向量等。
建立数学模型
根据已知条件，建立相应的数 学模型，如直线的一般式方程 、平面的点法式方程等。
• 自测题二答案
• 自测题三答案
当点P位于底面ABCD的中心上方 或下方时，h达到最大值。此时h 等于从底面中心到顶点的距离加 上或减去底面中心到底面的距离。 具体计算过程略。
连接AC、BD交于点O'，连接EO'、 FO'。由于侧面PAD是等边三角形 且E为PC的中点，我们可以得出 EO'⊥PC。又因为平面PAD⊥底 面ABCD且交线为AD，所以 FO'⊥AD。由此可得FO'⊥平面 ABCD。因此DE⊥FO'。又因为 EO'与FO'相交于点O'，所以DE⊥ 平面PBC。
进行推理证明
利用数学模型和垂直关系的判 定定理，进行推理证明，得出
面面垂直的结论。
解题方法
向量法
综合法
利用向量的点积性质判断两个平面的 法向量是否垂直，从而判断两个平面 是否垂直。
结合向量法和坐标法的优点，灵活运 用多种方法解决问题。
坐标法
建立空间直角坐标系，将点的坐标代 入平面方程，通过计算判断两个平面 是否垂直。
拓展面面垂直的应用场景
教师可以进一步拓展面面垂直的应用场景，介绍一些实际问题中需要应用面面垂直知识的案例，激发学 生们的学习兴趣和探索欲望。
06 课后作业与自测题
课后作业
习题一
已知平面α与平面β相交于直线l， 直线m在平面α内且m⊥l，试证
明：平面α⊥平面β。
习题二
已知平面α与平面γ相交于直线m， 平面β与平面γ相交于直线n，且 α⊥β，m与n不重合。试证明：
02 面面垂直的定义与性质
面面垂直的定义
两平面垂直
如果两个平面相交，且它们的法 线向量互相垂直，则称这两个平 面互相垂直。
面与直线垂直
如果一条直线与一个平面内的任 意两条相交直线都垂直，那么这 条直线与这个平面垂直。
面面垂直的性质
性质一
如果两个平面互相垂直， 那么它们的法线向量也互 相垂直。
性质二
01
02
03
知识与技能
掌握面面垂直的定义、判 定定理和性质定理，能够 运用所学知识解决相关问 题。
过程与方法
通过独立思考、小组合作、 教师指导等多种学习方式， 提高学生的空间想象能力 和逻辑推理能力。
情感态度与价值观
培养学生严谨、细致的学 习态度，体会数学在解决 实际问题中的应用价值。
教学内容
面面垂直的定义
等领域中需要判断面面是否垂直的情况。
教师点评与总结
点评学生提问与讨论的表现
教师可以对学生们的提问和讨论进行点评，肯定学生们的积极思考和互动交流，同时指出存在的问题和不足，提出改 进建议。
总结面面垂直的判定方法与技巧
教师可以对本次习题课所涉及的面面垂直的判定方法与技巧进行总结和归纳，强调解题的关键步骤和注意事项，帮助 学生们更好地掌握相关知识。
解析过程
首先，由已知条件可得，$PA perp CD$且 $AD perp CD$，因此$CD perp$平面
$PAD$。又因为$AE subset$平面$PAD$， 所以$CD perp AE$。其次，由已知条件可得， $triangle PAD$是等腰直角三角形，且$E$是 斜边中点，因此$AE perp PD$。最后，由直
判定定理三
如果两个平面的法线向量互相垂直， 且这两个平面有公共点或公共直线， 那么这两个平面互相垂直。
03 典型例题解析
例题一：基础题型
题目描述
已知平面$alpha$和$beta$，若直线$l$在$alpha$内，且$l perp beta$，求 证：$alpha perp beta$。
解析过程
根据面面垂直的判定定理，若一个平 面过另一个平面的垂线，则这两个平 面垂直。因此，由于直线m在平面α内 且m⊥l，我们可以得出平面α⊥平面β。
• 习题二答案
由于α⊥β且α∩β=γ，我们可以分别在α、 β内作直线a、b垂直于γ。因为a与b都 垂直于γ，所以a∥b。又因为m与n分别 是α、β与γ的交线，所以m⊥n。
面面垂直的判定方法有多种，包括定义法、向量法、三垂线定理及其逆定理等，这些方法 各有特点，适用于不同的问题情境。
学生掌握情况
学生在前面已经学习了线面垂直、面面平行的判定和性质，对于空间图形的认知有了一定 的基础，但对于面面垂直的判定方法可能还不够熟练，需要通过习题课进行巩固和提高。
教学目标
m⊥n。
习题三
已知三棱锥A-BCD中， AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5, 试判断AB与CD是否垂直，并说
明理由。
自测题
自测题一
已知平面α内有一个四 边形ABCD，其中 AB=BC=CD=DA=a， 且AC⊥BD。若平面α外 有一点P到平面α的距离 为h，且 PA=PB=PC=PD。试求 h的最大值。
注意事项
准确理解题意
规范书写过程
灵活运用知识
及时总结反思
在解题前要认真审题，准 确理解题意和要求，避免 误解或遗漏重要信息。
在解题过程中要注意书写 规范，步骤清晰，逻辑严 密，方便检查和复查。
在解题时要灵活运用所学 知识，善于将复杂问题转 化为简单问题进行处理。
在解题后要及时总结反思， 归纳解题方法和技巧，提高
根据面面垂直的判定定理，若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂 直。因此，由已知条件$l perp beta$且$l$在$alpha$内，可得$alpha perp beta$。
例题二：综合题型
题目描述
在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩 形，侧棱$PA perp$底面$ABCD$，且$PA = AB = 1$，$AD = sqrt{2}$，$E$是$PD$的 中点。求证：平面$AEB perp$平面$PCD$。
线与平面垂直的判定定理可知，若一条直线 同时垂直于平面内的两条相交直线，则该直 线与此平面垂直。因此，由上述推导可知，
$AE perp$平面$PCD$。又因为直线$AE
例题三：拓展题型
要点一
题目描述
在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，棱长为1。求证： 平面$AB_1C perp$平面$BC_1D_1D$。
要点二
解析过程
首先，由正方体的性质可知，对角线BD与AC互相垂直且 平分。又因为棱长相等，所以四边形$BC_1D_1D$是正方 形。因此，对角线BD与对角线BC_1互相垂直且平分。其 次，由已知条件可得，直线AB_1与直线BC_1相交于点B。 最后，由面面垂直的判定定理可知，若一个平面过另一个 平面的垂线且两平面有交点，则这两个平面垂直。因此， 由上述推导可知，平面AB_1C与平面BC_1D_1D垂直。
答案及解析
• 习题三答案：连接AC、BD交于点O，连接AO、BO、CO、DO。 由于AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5，我们可以得出 AO=BO=CO=DO。因此，点O是△ABC和△ACD的外心。又因 为AB=CD，所以点O也是线段AB、CD的中点。由此可得 AB⊥CD。
答案及解析
• 自测题一答案
如果一条直线与一个平面 垂直，那么这条直线所在 的任意平面也与这个平面 垂直。
性质三
如果两个平面都垂直于第 三个平面，那么这两个平 面互相平行或在同一条直 线上。
面面垂直的判定定理
判定定理一
如果一个平面的垂线与另一个平 面平行，那么这两个平面互相垂
直。
判定定理二
如果一个平面内的一条直线与另一 个平面垂直，且这条直线不在第一 个平面的边界上，那么这两个平面 互相垂直。
自测题二
已知四棱锥P-ABCD的 底面是边长为a的正方 形，侧面PAD是等边三 角形，且平面PAD⊥底 面ABCD。若E为PC的 中点，求证：DE⊥平面 PBC。
自测题三
已知正方体ABCDA'B'C'D'中，E、F分别 为棱AA'、CC'的中点。 求证：四边形BFDE是菱 形。
答案及解析
• 习题一答案
判定定理及其证明
介绍面面垂直的定义及符号表示，引导学 生理解其含义。
详细讲解面面垂直的判定定理，包括定义 法、向量法、三垂线定理及其逆定理等， 并给出严格的证明过程。
性质定理及其应用
典型例题解析
介绍面面垂直的性质定理，如两个平面垂 直则它们的法线也垂直等，并通过实例说 明其应用。
选取具有代表性的例题进行详细解析，帮 助学生掌握解题方法和技巧。
连接AC、BD交于点O连接A'C'、 B'D'交于点O'。由于E、F分别为 棱AA'、CC'的中点且ABCDA'B'C'D'是正方体，我们可以得 出四边形BFDE是平行四边形。又 因为BD=AC且AC∥A'C'，所以四 边形BFDE是菱形。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
学生们可以比较使用定义法、判定定理等方法判断面面垂直的难易程度、
适用范围以及准确性等方面的优劣。
02
分享解题思路与技巧
学生们可以分享自己在解题过程中采用的思路、方法以及技巧，如如何
寻找与已知垂直平面相交的直线、如何证明该直线与另一个平面垂直等。
03
探讨面面垂直在实际问题中的应用
学生们可以探讨面面垂直在实际问题中的应用，如建筑设计、机械制造
解题能力和思维水平。
05 互动环节：学生提问与讨 论
学生提问
如何判断两个平面是否垂直？
可以通过判断两个平面内的两条相交直线是否互相垂直来推断两个平面是否垂直 。
如何应用面面垂直，并证明该直线与另一个平面垂直，从 而证明两个平面垂直。
学生讨论
01
讨论不同方法判断面面垂直的优劣
面面垂直的判定习题课
contents
目录
• 引言 • 面面垂直的定义与性质 • 典型例题解析 • 解题思路与方法总结 • 互动环节：学生提问与讨论 • 课后作业与自测题
01 引言
课程背景
面面垂直是立体几何中的重要概念
在立体几何中，面面垂直是研究空间图形性质的基础，对于理解空间图形的结构、性质和 计算具有重要意义。
04 解题思路与方法总结
解题思路
观察图形特征
首先观察图形，判断是否存在 明显的垂直关系，如直线与平 面垂直、平面与平面垂直等。
寻找已知条件
分析题目中给出的已知条件，找出 与垂直关系相关的信息，如直线的 方向向量、平面的法向量等。
建立数学模型
根据已知条件，建立相应的数 学模型，如直线的一般式方程 、平面的点法式方程等。
• 自测题二答案
• 自测题三答案
当点P位于底面ABCD的中心上方 或下方时，h达到最大值。此时h 等于从底面中心到顶点的距离加 上或减去底面中心到底面的距离。 具体计算过程略。
连接AC、BD交于点O'，连接EO'、 FO'。由于侧面PAD是等边三角形 且E为PC的中点，我们可以得出 EO'⊥PC。又因为平面PAD⊥底 面ABCD且交线为AD，所以 FO'⊥AD。由此可得FO'⊥平面 ABCD。因此DE⊥FO'。又因为 EO'与FO'相交于点O'，所以DE⊥ 平面PBC。
进行推理证明
利用数学模型和垂直关系的判 定定理，进行推理证明，得出
面面垂直的结论。
解题方法
向量法
综合法
利用向量的点积性质判断两个平面的 法向量是否垂直，从而判断两个平面 是否垂直。
结合向量法和坐标法的优点，灵活运 用多种方法解决问题。
坐标法
建立空间直角坐标系，将点的坐标代 入平面方程，通过计算判断两个平面 是否垂直。
拓展面面垂直的应用场景
教师可以进一步拓展面面垂直的应用场景，介绍一些实际问题中需要应用面面垂直知识的案例，激发学 生们的学习兴趣和探索欲望。
06 课后作业与自测题
课后作业
习题一
已知平面α与平面β相交于直线l， 直线m在平面α内且m⊥l，试证
明：平面α⊥平面β。
习题二
已知平面α与平面γ相交于直线m， 平面β与平面γ相交于直线n，且 α⊥β，m与n不重合。试证明：
02 面面垂直的定义与性质
面面垂直的定义
两平面垂直
如果两个平面相交，且它们的法 线向量互相垂直，则称这两个平 面互相垂直。
面与直线垂直
如果一条直线与一个平面内的任 意两条相交直线都垂直，那么这 条直线与这个平面垂直。
面面垂直的性质
性质一
如果两个平面互相垂直， 那么它们的法线向量也互 相垂直。
性质二
01
02
03
知识与技能
掌握面面垂直的定义、判 定定理和性质定理，能够 运用所学知识解决相关问 题。
过程与方法
通过独立思考、小组合作、 教师指导等多种学习方式， 提高学生的空间想象能力 和逻辑推理能力。
情感态度与价值观
培养学生严谨、细致的学 习态度，体会数学在解决 实际问题中的应用价值。
教学内容
面面垂直的定义
等领域中需要判断面面是否垂直的情况。
教师点评与总结
点评学生提问与讨论的表现
教师可以对学生们的提问和讨论进行点评，肯定学生们的积极思考和互动交流，同时指出存在的问题和不足，提出改 进建议。
总结面面垂直的判定方法与技巧
教师可以对本次习题课所涉及的面面垂直的判定方法与技巧进行总结和归纳，强调解题的关键步骤和注意事项，帮助 学生们更好地掌握相关知识。
解析过程
首先，由已知条件可得，$PA perp CD$且 $AD perp CD$，因此$CD perp$平面
$PAD$。又因为$AE subset$平面$PAD$， 所以$CD perp AE$。其次，由已知条件可得， $triangle PAD$是等腰直角三角形，且$E$是 斜边中点，因此$AE perp PD$。最后，由直
判定定理三
如果两个平面的法线向量互相垂直， 且这两个平面有公共点或公共直线， 那么这两个平面互相垂直。
03 典型例题解析
例题一：基础题型
题目描述
已知平面$alpha$和$beta$，若直线$l$在$alpha$内，且$l perp beta$，求 证：$alpha perp beta$。
解析过程
根据面面垂直的判定定理，若一个平 面过另一个平面的垂线，则这两个平 面垂直。因此，由于直线m在平面α内 且m⊥l，我们可以得出平面α⊥平面β。
• 习题二答案
由于α⊥β且α∩β=γ，我们可以分别在α、 β内作直线a、b垂直于γ。因为a与b都 垂直于γ，所以a∥b。又因为m与n分别 是α、β与γ的交线，所以m⊥n。