上海市黄浦区2022年高三一模数学试卷

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设R ∈m ，已知集合=A m {1,3,}，=B {3,4}，若=A B {1,2,3,4}，则=m

2. 不等式−<x |1|1的解集为

3. 若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为

4. 设>a 0且≠a 1，若函数=y a x 的反函数的图像过点−(2,1)，则=a

5. 若线性方程组的增广矩阵为⎝

⎭ ⎪⎛⎫c c 012321，解为⎩=⎨

⎧=y x 53

，则−=c c 12 6. 圆+−−+=x y x y 244022的圆心到直线++=x y 3440的距离为

7. 以双曲线−=x y 45

122

的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是

8. 若O 为△ABC 内一点，则⋅+⋅+⋅=OA BC OB CA OC AB

9. 设无穷等比数列a n {}的公比为q ，且=+a q 112，则该数列的各项和的最小值为

10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，若要求男、女教师都有，则选取方式的种数为 （结果用数值表示）

11. 设R ∈b ，若曲线=−+y x ||12与直线=−+y x b 有公共点，则b 的取值范围是

12. 若数列a n {}满足=a 00，且=+−a a k k |||3|1（N ∈k *），则++⋅⋅⋅++a a a a ||121920的最小值为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 下列函数中，既是偶函数，又在区间+∞(0,)上单调递减的函数为（ ） A . =−y x 2

B . =−y x 1

C . =y x 2

D . =y x 3

1

14. 若z 1、C ∈z 2，则“z 1、z 2均为实数”是“−z z 12是实数”的（ ）条件 A . 充分非必要 B . 必要非充分 C . 充要 D . 非充分非必要

上海市黄浦区２０２２年高三一模数学试卷

15. 下列不等式中，与不等式

++<x +8

x x 23

22解集相同的是（ ）

A . +++<x x x (8)(23)22

B . +<++x x x 82(23)2

C . +++<x x x 238122

D . +>++x x x 82

231

2

16. 设ω为正实数，若存在a 、b （≤<≤ππa b 2），使得==ωωa b sin sin 1，则ω的值可以是（ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 在直三棱柱−ABC A B C 111中，∠=

π

ABC 2

，==AB BC 1.

（1）求异面直线B C 11与AC 所成角的大小； （2）若A C 1与平面ABC 所成角为

π

4

，求三棱锥−A ABC 1的体积.

18. 已知直线=x t R ∈t ()与函数=y x sin 2、=+

π

y x 6

cos(2)的图像分别交于M 、N 两点.

（1）当=

π

t 4

时，求MN ||的值；

（2）求MN ||关于t 的表达式f t ()，写出函数=y f t ()的最小正周期，并求其在区间π[0,2]内的零点.

19. 某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理.根据预测，解答下列问题：（1）求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到0.1万吨）（2）该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？20. 设常数>m 0且≠m 1，椭圆Γ+=m

y x :1222

，点P 是Γ上的动点.

（1）若点P 的坐标为(2,0)，求Γ的焦点坐标；

（2）设=m 3，若定点A 的坐标为(2,0)，求PA ||的最大值与最小值； （3）设=

m 2

1

，若Γ上的另一动点Q 满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求证：O 到直线PQ 的距离是定值.

21. 设函数=y f x ()定义在区间a b (,)上，若对任意的x 1、x 2、'x 1

、∈'x a b (,)2，当+=+''x x x x 1212且−<−''x x x x ||||1

212时，不等式+<+''f x f x f x f x ()()()()1212成立，就称函数=y f x ()具有M 性质. （1）判断函数=f x x ()2，∈−x (3,3)是否具有M 性质，并说明理由；

（2）己知函数=y f x ()在区间a b (,)上恒正，且函数=y f x lg ()，∈x a b (,)具有M 性质，求证：对任意的x 1、∈x a b (,)2，且≠x x 12，有⋅<+f x f x f x x 2

()()[(

)]12122

； （3）① 已知函数=y f x ()，∈x a b (,)具有 M 性质，证明：对任意的x 1、x 2、∈x a b (,)3，有

++≤++f x f x f x f x x x 2

()()()3(

)123123

，其中等号当且仅当==x x x 123时成立； ② 已知函数=f x x ()sin ，∈π

x 2

(0,)具有M 性质，

若A 、B 、C 为三角形ABC 的内角，求++A B C sin sin sin 的最大值.